MB5 YHTEENVETO. Todennäköisyyslaskenta
|
|
- Pauliina Pääkkönen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MB5 YHTEENVETO Todennäköisyyslaskenta
2 Klassinen todennäköisyys Suotuisten tapahtumien lukumäärä Kaikkien mahdollisten tulosten lukumäärä k n Todennäköisyys = P (A) = suotuisat kaikki k n
3 Todennäköisyys P(A) Mahdottoman tapahtuman todennäköisyys 0 Varman tapahtuman todennäköisyys 1 0 < P(A) < 1 0% < P(A) < 100%
4 Todennäköisyyden yhteenlaskusääntö TAI Yhteenslasku Jos tapahtumat A ja B eivät mitenkään vaikuta toisiinsa eli ovat toisistaan riippumattomia, niin P(A tai B) = P(A) + P(B)
5 ESIMERKKI Otetaan korttipakasta kortti. P(kortti on joko pataässä tai hertta) P(pataässä) + P(hertta) , ( 27%)
6 Todennäköisyyden kertosääntö JA, Molemmat Kertolasku Jos tapahtumat A ja B eivät mitenkään vaikuta toisiinsa eli ovat toisistaan riippumattomia, niin P(A ja B) = P(A). P(B)
7 ESIMERKKI Pussissa on 5 sinistä, 3 valkoista ja 7 mustaa kuulaa. Pelaaja ottaa umpimähkään pussista kuulan, palauttaa sen pussiin ja ottaa toisen kuulan P(molemmat kuulat sinisiä) =? P(eka sininen JA toka sininen) ,11
8 Todennäköisyyden kertosääntö Jos tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippuvia P(ensin A ja sitten B) = P(A). P(B, kun A on tapahtunut) B-tapahtumassa otetaa huomioon muuttunut tilanne: suotuisat muuttuneet kaikki muuttuneet jne.
9 ESIMERKKI Pussissa on 5 sinistä, 3 valkoista ja 7 mustaa kuulaa. Pelaaja ottaa peräkkäin pussista kaksi kuulaa palauttamatta kuulaa välillä pussiin. P(molemmat kuulat sinisiä) Eka Toka ,095
10 Mikä on todennäköisyys, että pakasta nostetaan peräkkäin 4 ässää? ,
11 A:n vastatapahtuma ei-a Tapahtuma A Vastatapahtuma (=ei-tapahtuma) eia Todennäköisyyksien summa = 1 = 100 % P(A) + P(eiA) = 1 = 100 % P(A) = 1 P(eiA) P(eiA) = 1 P(A) Yleensä: Ainakin yksi Vastatapahtuman avulla
12 ESIMERKKI Perheeseen syntyy neljä lasta P(A)= P(kaikki ovat sunnuntailapsia) 1 P( su) 7 Eka toka kolmas neljäs PA ( ) 4,
13 ESIMERKKI Perheeseen syntyy neljä lasta P(A)= P(kaikki eri viikonpäivinä) PA ( ) 0,
14 AINAKIN... A= Ainakin yhden kerran = 1,2,3, kertaa vastatapahtuma = eia = ei kertaakaan= 0 kertaa P(A ainakin 1 kertaa) = 1 - P(A 0 kertaa) 1 P(ei kertaakaan)
15 Millä todennäköisyydellä 4 lapsesta ainakin yksi on syntynyt sunnuntaina? P(ainakin yksi on syntynyt sunnuntaina) = 1 P(kaikki syntyneet ei-su) P( ei su) suotuisat päivät 6 kaikki päivät 7 eka toka kolmas neljäs ,
16 ESIMERKKI Tullissa tarkastetaan sattumanvaraisesti 5% matkailijoista. Kuinka suuri on todennäköisyys, että 10 hengen seurueesta ainakin 1 joutuu tarkastukseen? tarkastus p = 0,05 ei-tarkastus = 1 0,05 = 0,95 P(ainakin 1) = 1 P(ei yhtään joudu tarkastukseen) P(ainakin 1) = 1 0,95 10 = 0, %
17 Todennäköisyys Erilaisia vaihtoehtoja Peräkkäiset tapahtumat ensin A, sitten B -viittaavat kertolaskuun Rinnakkaiset tapahtumat A tai B viittaavat yhteenlaskuun
18 Jonon järjestyksiä n alkiota voidaan järjestää jonoon n! = n eri tavalla Kuinka monella eri tavalla viisi erilaista pelinappulaa voidaan asettaa pelilaudalle peräkkäin? 5! = = 120 eri tavalla
19 Valintoja: alijoukkoja isommasta joukosta Kuinka monta erilaista k:n alkion ryhmää voidaan valita n :stä alkiosta? "n yli k" = n k Laskimessä yleensä ncr
20 ESIMERKKI Kuinka monella eri tavalla voidaan 10:stä henkilöstä valita 4 henkilöä?
21 Todennäköisyys saada lotossa 7 oikein yhdellä rivillä , Yksi mahdollisuus noin 15 miljoonasta
22 Todennäköisyys saada Viking-lotossa 6 oikein 48 numeron joukosta 6 oikein: , Yksi mahdollisuus noin 12 miljoonasta
23 Lotossa kaikki 7 väärin Lotossa numeroita 39, niistä oikeita 7 Joten vääriä numeroita 39 7 = 32 kpl Vääriä 7:n rivejä yhteensä 32 Kaikki rivit 39 7 Kaikki vääriä: rastitettu 7 numeroa 32:n joukosta 32 väärät rivit 7 P(kaikki 7 väärin) = 0,219 kaikki rivit
24 Lotossa yhdellä rivillä ainakin yksi Numero oikein P(ainakin 1 oikein ) = 1 P(ei yhtään oikein) 1 P(kaikki väärin) 1 P(kaikki väärin) = 1-0,219 = 0,781 V: 0,78
25 KORTTIPELIN TODENNÄKÖISYYKSIÄ (Pakassa 52 korttia. 5 KORTIN KÄSI) 1) Kuinka monta eri kättä? eri "kättä 2) Herttareeti = herttavärisuora = 10, jätkä, rouva kuningas,ässä (Kuningasvärisuora) P(herttareeti) suotuisat tapaukset 1 1 kaikki tapaukset
26 KORTTITODENNÄKÖISYYKSIÄ 4) P (ässäneloset) =? 4 ässää ja yksi muu kortti Muita kortteja 52 4 ässää = 48 kpl Ässäneloset sisältäviä käsiä on siis 48 kpl P(Ässäneloset) suotuisat 48 1 kaikki ,
27 Miten monella eri tavalla voi veikata? Joka rivillä kolme vaihtoehtoa: 1, x, = mahdollisuutta x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2
28 Mikä on todennäköisyys veikata 13 oikein? Suotuisia veikkausrivejä 1 Kaikkia rivejä Tai erikseen 13 ottelua, kukin 1/ ,3 10 7
29 Tehtäviä: Kuinka monella eri tavalla 16 oppilasta voi tehdä jonon? Kuinka monella eri tavalla voidaan 16 oppilaan joukosta valita 4 oppilasta?
30 Harjoitus 5 Millä todennäköisyydellä 16 oppilaan joukossa ainakin kaksi on syntynyt samassa kuussa? Varma tapaus, koska kuukausia on enemmän kuin oppilaita Todennäköisyys = 1 = 100%
31 Tehtävä Kuinka monta kättelyä tarvitaan 16 oppilaan joukossa, jos kaikki kättelevät toisiaan? Siis kuinka monta erilaista kättelyparia voidaan muodostaa 16 oppilaasta
32 Tehtävä Ampuja osuu yleensä kymppiin joka viidennellä laukauksella. Hän ampuu kolme kertaa. Miten suuri mahdollisuus hänellä on saada a) kolme kymppiä? P( kymppiin) 1 5 P(eka10 ja toka10 ja kolmas10)
33 Tehtävä Ampuja osuu yleensä kymppiin joka viidennellä laukauksella. Hän ampuu kolme kertaa. Miten suuri mahdollisuus hänellä on saada b) ei yhtään kymppiä? p = P(kymppi) = 1/5=0,20 P(ei-kymppi) = 0,80 0,8 0,8 0,8 = 0,512 = 51,2 %
34 Tehtävä Laskettelija kaatuu rinteessä 20% todennäköi - syydellä. Hän laskee kolme laskua peräkkäin. Millä todennäköisyydellä hän kaatuu ainakin yhden kerran. Ainakin kerran Lasketaan vastatapahtuman avulla. P(kaatuu) = 0,20 p(ei-kaadu) = 0,80 P(kaatuu ainakin kerran) = 1 P(ei kaadu kertaakaan) 1-0,8 0,8 0,8 0,49
35 HARJOITUS Seuran hallitus valitaan 9 ehdokkaan joukosta. Hallituksen jäsenet tulevat olemaan puheenjohtaja, varapuheenjohtaja, sihteeri ja rahastonhoitaja. Kuinka monta erilaista vaihtoehtoa on vaalissa, kun a) valitaan hallituksen jäsenet ja heille tehtävät
36 Tehtävä Seuran hallitus valitaan yhdeksän ehdokkaan joukosta. Hallituksen jäsenet tulevat olemaan puheenjohtaja, varapuheenjohtaja, sihteeri ja rahastonhoitaja. Kuinka monta erilaista vaihtoehtoa on vaalissa, kun b) valitaan neljä henkilöä hallitukseen ja annetaan heidän päättää myöhemmin keskinäisestä työnjaosta. Valitaan siis 4 henkilö 9 joukosta:
37 HARJOITUS Elossa olevia syntynyttä kohti ikä naiset miehet Laske tilaston mukaan seuraavien tapahtumien todennäköisyydet: a) Vastasyntynyt tyttö elää vähintään 70-vuotiaaksi = 82% b) 30-vuotias mies elää vähintään 80-vuotiaaksi = 31% c) 50-vuotias nainen elää 80- vuotiaaksi, mutta ei 85-vuotiaaksi = 21% 96179
Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta
Tuloperiaate Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta ja 1. vaiheessa valinta voidaan tehdä n 1 tavalla,. vaiheessa valinta voidaan tehdä n tavalla,
LisätiedotOtanta ilman takaisinpanoa
Otanta ilman takaisinpanoa Populaatio, jossa N alkiota (palloa, ihmistä tms.), kahdenlaisia ( valkoinen, musta ) Poimitaan umpimähkään (= symmetrisesti) n-osajoukko eli otos Merkitään tapahtuma A k = otoksessa
LisätiedotTODENNÄKÖISYYS JA TILASTOT MAA6 KERTAUS
TODENNÄKÖISYYS JA TILASTOT MAA6 KERTAUS Klassinen todennäköisyys P suotuisten alkeistapausten lkm kaikkien alkeistapausten lkm P( mahdoton tapahtuma ) = 0 P( varma tapahtuma ) = 1 0 P(A) 1 Todennäköisyys
LisätiedotA-Osio. Ei saa käyttää laskinta, maksimissaan tunti aikaa. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat:
MAA6 Loppukoe 26..203 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! Lue ohjeet huolella! A-Osio. Ei saa
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015
12.1.2016/1 MTTTP5, luento 12.1.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa
Lisätiedot&idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015
20.10.2015/1 MTTTP5, luento 20.10.2015 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa
Lisätiedot9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma
9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma Kahta joukkoa sanotaan erillisiksi, jos niillä ei ole yhtään yhteistä alkiota. Jos pysytellään edelleen korttipakassa, niin voidaan ilman muuta sanoa, että
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta - tehtävät
Todennäköisyyslaskenta - tehtävät Todennäköisyyslaskentaa käsitellään Pitkän matematiikan kertauskirjan sivuilla 253 276. Klassinen todennäköisyys Kombinatoriikka Binomitodennäköisyys Satunnaismuuttuja,
LisätiedotTilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo.
Kertaus Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Luokiteltu aineisto. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Hajontaluvut luokittelemattomalle
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 13. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 13. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Klassinen todennäköisyys 2 Kombinatoriikkaa Kombinatoriikan perusongelmat Permutaatiot
Lisätiedot1. Kuinka monella tavalla joukon kaikki alkiot voidaan järjestää jonoksi? Tähän antaa vastauksen: tuloperiaate ja permutaatio
TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Kombinatoriikka Todennäköisyyksiä (-laskuja) varten tarvitaan tieto tapahtumille suotuisien alkeistapausten lukumäärästä eli tapahtumaa vastaavan osajoukon alkioiden lukumäärästä.
LisätiedotTOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Kombinaatio, k-kombinaatio
1..018 TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Kombinaatio, k-kombinaatio Esimerkki 1: Sinulla on 5 erilaista palloa. Kuinka monta erilaista kahden pallon paria voit muodostaa, kun valintajärjestykseen a) kiinnitetään
LisätiedotA-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.
MAA6 koe 26.9.2016 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja
LisätiedotKertaustehtäviä Pakassa on jäljellä 50 korttia, joista 11 on herttoja Alkeistapauksia ovat silmälukuparit, joita on 36 kappaletta.
0. Pakassa on jäljellä 50 korttia, joista on herttoja. P(kolmas kortti hertta) 50 0,22 02. Alkeistapauksia ovat silmälukuparit, joita on kappaletta. a) Kuvion perusteella pistesumma 4 saadaan tavalla.
Lisätiedot****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.
8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi
LisätiedotKertaustesti Perheessä on neljä lasta, joista valitaan arpomalla kaksi tiskaajaa. Millä todennäköisyydellä nuorin joutuu tiskaamaan?
Kertaustesti 1 Nimi: 1. a) Noppaa heitetään kerran. Millä todennäköisyydellä saadaan silmäluku 2? b) Noppaa heitetään kaksi kertaa peräkkäin. Millä todennäköisyydellä molemmilla heitoilla saadaan silmäluku
Lisätiedot1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla:
MAA6.3 Loppukoe 9.11.01 Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Matikan
LisätiedotOhjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 26.1.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 26.1.2009 1 / 33 Valintakäsky if syote = raw_input("kerro tenttipisteesi.\n") pisteet = int(syote) if pisteet >=
LisätiedotKertausosa. 1. a) Muodostetaan taulukon perusteella frekvenssijakaumat. b) Moodi on se muuttujan arvo, jonka frekvenssi on suurin. Mo = 5.
Kertausosa 1. a) Muodostetaan taulukon perusteella frekvenssijakaumat. Äänimäärä f f % 0 1 1 0,0169... 59 4 4 0,0677... 59 3 7 7 0,1186... 59 4 15 15 0,54... 59 5 18 18 0,3050... 59 6 1 1 0,033... 59 7
LisätiedotTodennäköisyys ja tilastot Tehtävien ratkaisut Kertaustehtävät. Kertaustehtävien ratkaisut
Ratkaisuista Nämä Todennäköisyys ja tilastot -kurssin kertaustehtävien ja -sarjojen ratkaisut perustuvat oppikirjan tietoihin ja menetelmiin. Kustakin tehtävästä on yleensä vain yksi ratkaisu, mikä ei
LisätiedotOTATKO RISKIN? peli. Heitä noppaa 3 kertaa. Tavoitteena on saada
OTATKO RISKIN? peli 1. Heitä noppaa 20 kertaa. Tavoitteena on saada vähintään 10 kertaa silmäluku 4, 5 tai 6. Jos onnistut, saat 300 pistettä. Jos et onnistu, menetät 2. Heitä noppaa 10 kertaa. Tavoitteena
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015
25.10.2016/1 MTTTP5, luento 25.10.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa
Lisätiedot7 TODENNÄKÖISYYSLASKENTAA
7 TODENNÄKÖISYYSLASKENTAA ALOITA PERUSTEISTA 277A. a) 8! = 40 320 Vastaus: 40 320 5 b) 5005 6 Vastaus: 5005 7 c) 7 Vastaus: 278A. Tuloperiaatteen mukaan asukokonaisuuksia on 4 2 2 = 6. Vastaus: 6 asukokonaisuutta
Lisätiedot1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle
Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)
Lisätiedotikä (vuosia) on jo muuttanut 7 % 46 % 87 % 96 % 98 % 100 %
Testaa taitosi 1 1. Noppaa heitetään kahdesti. Merkitse kaikki alkeistapaukset koordinaatistoon. a) Millä todennäköisyydellä ainakin toinen silmäluvuista on 3? b) Mikä on a-kohdan tapahtuman vastatapahtuma?
Lisätiedot8.1. Tuloperiaate. Antti (miettien):
8.1. Tuloperiaate Katseltaessa klassisen todennäköisyyden määritelmää selviää välittömästi, että sen soveltamiseksi on kyettävä määräämään erilaisten joukkojen alkioiden lukumääriä. Jo todettiin, ettei
LisätiedotKenguru 2015 Benjamin (6. ja 7. luokka)
sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä
LisätiedotMATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009
EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 3 tuntia (180 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa
LisätiedotHuippu 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. Ensimmäiselle paidalle on 5 vaihtoehtoa, toiselle 4, kolmannelle 3 ja niin edelleen. Axel voi pitää paitoja 5! = 0:ssä eri järjestyksessä. Vastaus: 0:ssä eri järjestyksessä K.
LisätiedotA = B. jos ja vain jos. x A x B
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Avainsanat: Bayesin kaava, Binomikaava, Binomikerroin,
Lisätiedot(x, y) 2. heiton tulos y
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen
Lisätiedot!!!!!! SUOMEN ANESTESIASAIRAANHOITAJAT RY:N TOIMINTAKERTOMUS 2014
SUOMEN ANESTESIASAIRAANHOITAJAT RY:N TOIMINTAKERTOMUS 2014 Yleistä Toimintavuosi2014oliYhdistyksen49.toimintavuosi. Yhdistyksensääntöjenmääräämätkokouksetpidettiin. YleistenkokoustenlisäksijäsenistölläonollutmahdollisuusvaikuttaaYhdistyksentoimintaan
LisätiedotKoontitehtäviä luvuista 1 9
11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:
Lisätiedotc) A = pariton, B = ainakin 4. Nyt = silmäluku on5 Koska esim. P( P(A) P(B) =, eivät tapahtumat A ja B ole riippumattomia.
Tehtävien ratkaisuja 4. Palloja yhteensä 60 kpl. a) P(molemmat vihreitä) = P((1. pallo vihreä) ja (. pallo vihreä)) = P(1. pallo vihreä) P(. pallo vihreä 1. pallo vihreä) = 0.05 (yleinen kertolaskusääntö)
LisätiedotMääritelmiä. Nopanheitossa taas ω 1 = saadaan 1, ω 2 = saadaan 2,..., ω 6 = saadaan
Todennäköisyys Todennäköisyys on epävarman matematiikkaa. Matemaattinen todennäköisyys mallintaa satunnaisia ilmiöitä, kuten esimerkiksi nopantai lantinheitto. Todennäköisyyttä voi lähestyä mm. tilastollisesti
LisätiedotTodennäköisyys (englanniksi probability)
Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyyslaskenta sai alkunsa 1600-luvulla uhkapeleistä Ranskassa (Pascal, Fermat). Nykyisin todennäköisyyslaskentaa käytetään hyväksi mm. vakuutustoiminnassa,
LisätiedotAvainsanat: peli, matematiikka, polynomi, yhteen- ja vähennyslasku, kertolasku
Pasi Leppäniemi OuLUMA, sivu 1 POLYNOMIPELI Avainsanat: peli, matematiikka, polynomi, yhteen- ja vähennyslasku, kertolasku Luokkataso: 8-9 lk Välineet: pelilauta, polynomikortit, monomikortit, tuloskortit,
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) Kurssi-info ja lukion kertausta
031021P Tilastomatematiikka (5 op) Kurssi-info ja lukion kertausta Jukka Kemppainen Mathematics Division Käytännön asioita Luennot (yht. 7 4 h) ke 12-14 ja pe 8-10 (ks. tarkemmin Oodista tai Nopasta) Harjoitukset
LisätiedotJuuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Kertaus K. a) Alapaineiden pienin arvo on ja suurin arvo 74, joten vaihteluväli on [, 74]. b) Alapaineiden keskiarvo on 6676870774
LisätiedotOhjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 16.2.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 16.2.2010 1 / 41 Kännykkäpalautetteen antajia kaivataan edelleen! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti
Lisätiedot10, 9, 5, 6, 7, 4, 7, 9, 8, 7, 6, 7, 8, 6
MAA6.1 Loppukoe 23.11.2012 Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Matikan
LisätiedotOsa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka >> Klassinen
LisätiedotLUMATE-tiedekerhokerta, suunnitelma AIHE: PELIT JA TAKTIIKAT
LUMATE-tiedekerhokerta, suunnitelma AIHE: PELIT JA TAKTIIKAT 1. Alkupohdintaa Mitä lempipelejä oppilailla on? Ovatko ne pohjimmiltaan matemaattisia? (laskeminen, todennäköisyys ) Mitä taktiikoita esimerkiksi
LisätiedotKenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 5
Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 5 3 pisteen tehtävät 1) Mikä on pienin? A) 2 + 0 + 0 + 8 B) 200 : 8 C) 2 0 0 8 D) 200 8 E) 8 + 0 + 0 2 2) Millä voidaan korvata, jotta seuraava yhtälö olisi
LisätiedotJuuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Kertaus K. a) Alapaineiden pienin arvo on ja suurin arvo 74, joten vaihteluväli on [, 74]. b) Alapaineiden keskiarvo on 6676870774
LisätiedotKenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) ratkaisut sivu 1 / 6
Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) ratkaisut sivu 1 / 6 3 pisteen tehtävät 1) Mikä on pienin? A) 2 + 0 + 0 + 8 B) 200 : 8 C) 2 0 0 8 D) 200 8 E) 8 + 0 + 0 2 2) Millä voidaan korvata, jotta seuraava yhtälö
LisätiedotKärkipallo sijoitetaan alapisteelle, ja muut pallot sen taakse kiinni toisiinsa.
(Nämä säännöt ovat lyhennelmä virallisesta sääntökirjasta). Yleiset säännöt 1.1 PÖYTÄ Ennen pelin aloittamista pöytä merkitään seuraavasti: 1. Yläpiste 4. Alapiste 2. Ylälinja 5. Pakan paikka (3. Keskipiste)
LisätiedotHelsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Laske 6 5 4 5 4 3 + 4 3 2 3 2 1. a) 88 b) 66 c) 78 d) 76 Ratkaisu. Suoralla laskulla: 6 5 4 5 4 3 + 4 3 2 3 2 1
LisätiedotB. Siten A B, jos ja vain jos x A x
Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,
LisätiedotKOKO PERHEEN HAUSKA STRATEGIAPELI OHJEET
KOKO PERHEEN HAUSKA STRATEGIAPELI OHJEET ROBOGEM_Ohjevihko_148x210mm.indd 1 PELIN TAVOITE Robotit laskeutuvat kaukaiselle planeetalle etsimään timantteja, joista saavat lisää virtaa aluksiinsa. Ohjelmoi
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen
MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon
LisätiedotJännittävä seurapeli, jossa arvataan kanssapelaajien mieltymyksiä. Kuka tuntee sinut parhaiten?
Jännittävä seurapeli, jossa arvataan kanssapelaajien mieltymyksiä. Kuka tuntee sinut parhaiten? Pelin tarkoitus Kerätä pisteitä arvaamalla kanssapelaajien mieltymyksiä. Alkuvalmistelut 1. Asettakaa pistekiekot
Lisätiedotfinnish BOI 2015, päivä 1. Muistiraja: 256 MB. 30.04.2015
Tehtävä: BOW Keilaus finnish BOI 0, päivä. Muistiraja: 6 MB. 30.04.0 Jarkka pitää sekä keilauksesta että tilastotieteestä. Hän on merkinnyt muistiin muutaman viimeisimmän keilapelin tulokset. Valitettavasti
LisätiedotKASVOTON VIHOLLINEN - SÄÄNNÖT
KASTN IHLLINEN - SÄÄNNÖT A. LÄHTÖKHTA Kaksi armeijaa valmistautuu taisteluun. Torvet soivat, hevoset korskuvat malttamattomina. Sadat jalat marssivat tasatahtia ottaakseen paikkansa kentällä - paikan,
LisätiedotKokoukselle valitaan kolme (3) puheenjohtajaa, kolme (3) sihteeriä sekä kaksi (2) pöytäkirjantarkastajaa.
Kokouksen järjestyssääntö Edustajakokouksen esityslistan 4. kohdassa tehdyn päätöksen mukaisesti kokouksessa noudatetaan järjestäytymismuotojen ja menettelytapojen osalta seuraavaa järjestyssääntöä: 1
LisätiedotTilastotieteen perusteet
Tilastotieteen perusteet Esim. Arvostettu juoma-asiantuntija ekonomisti E osallistuu juomien makutestiin, jossa voi saada voi saada arvonimen Melko Suuri Maistaja (MSM *), Suuri maistaja (SM**) tai Erittäin
LisätiedotPeliteoria luento 1. May 25, 2015. Peliteoria luento 1
May 25, 2015 Tavoitteet Valmius muotoilla strategisesti ja yhteiskunnallisesti kiinnostavia tilanteita peleinä. Kyky ratkaista yksinkertaisia pelejä. Luentojen rakenne 1 Joitain pelejä ajanvietematematiikasta.
LisätiedotENNEN PELIN ALKUA. Osa A ALOITA 20 min
ENNEN PELIN ALKUA Laittakaa pelin violetit ohjekortit A E pinoon pelilaudan viereen. Laittakaa pelilaudalla siniset toimintakortit ja pinkit näkökulmakortit niille osoitettuihin paikkoihin. Osiot suoritetaan
LisätiedotKenguru 2014 Ecolier (4. ja 5. luokka)
sivu 1 / 11 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä
Lisätiedot(1) Pekan pakasta vetämät neljä korttia ovat hertta 5, hertta 6, hertta 7 ja pata 7. Mikä on todennäköisyys, että seuraava kortti
Todennäköisyyslaskenta: sarja 1 Todennäköisyyyslaskenta-tehtäväsarjassa on tehtäviä seuraavista asioista: klassinen todennäköisyys, todennäköisyyden laskusäännöt, kombinatoriikka, toistokoe sekä diskreetti-
LisätiedotVETERAANIYLEISURHEILUN LUOKITTELUTAULUKKO MIEHET. Pentti Nieminen
VETERAANIYLEISURHEILUN LUOKITTELUTAULUKKO Pentti Nieminen MIEHET M35 SM-lk M-lk A-lk B-lk C-lk 60m 7.00 7.20 7.43 7.68 7.93 100m 10.90 11.30 11.75 12.25 12.75 200m 22.00 22.90 23.90 25.00 26.10 400m 49.00
LisätiedotSCIFEST-loppuraportointi korttia. Sara Kagan, Suvi Rönnqvist
SCIFEST-loppuraportointi 2014 16 korttia Sara Kagan, Suvi Rönnqvist Ohjeet temppuun: Katsoja ottaa korttipakasta 16 korttia ja painaa yhden kortin mieleensä. Tämän jälkeen hän voi sekoittaa korttipakan
LisätiedotPäivi Kiviluoma Kimmo Nyrhinen Pirita Perälä Pekka Rokka Maria Salminen Timo Tapiainen. Mirjami Manninen. Nimi: Luokka:
3a Päivi Kiviluoma Kimmo Nyrhinen Pirita Perälä Pekka Rokka Maria Salminen Timo Tapiainen KUVITUS Mirjami Manninen Nimi: Luokka: Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Sisällys 1. jakso Yhteen- ja vähennyslasku
Lisätiedot1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla:
MAA6. Loppukoe 8.11.01 Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Matikan
LisätiedotOtteluohjelma perjantai
Otteluohjelma perjantai 29.9.2017 1.kenttä 2.kenttä 3.kenttä 16.30 Luoma/Järvensivu Puro/Muilu 16.30 Hakuli/Eklund Paakkunainen/Ahtee 16.30 Ahlroos/Tannerkoski Saunamäki/Väinölä 17.30 Visakova/Lilja (2)
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus Mitkä todennäköisyystulkinnat sopivat seuraaviin väitteisiin?
ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 200 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia. Mitkä todennäköisyystulkinnat sopivat seuraaviin väitteisiin? (a) Todennäköisyys että kolikonheitossa saadaan lopulta
Lisätiedotb) Jos Ville kaataisikin karkit samaan pussiin ja valitsisi sieltä sattumanvaraisen karkin, niin millä todennäköisyydellä hän saisi merkkarin?
MAA1-harjoituskoe RATKAISUT 1. Villellä on kaksi karkkipussia. Ensimmäisessä pussissa on 3 salmiakkiufoa, 2 merkkaria ja 5 liitulakua. Toisessa pussissa on 5 merkkaria, 3 liitulakua ja 4 hedelmäkarkkia.
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2018-2019 7. Kombinatoriikka 7.1 Johdanto Kombinatoriikka tutkii seuraavan kaltaisia kysymyksiä: Kuinka monella tavalla jokin toiminto voidaan suorittaa? Kuinka monta tietynlaista
LisätiedotSisällysluettelo. 1. Johdanto
Säännöt Sisällysluettelo 1. Johdanto 3 2. Sisältö 4 3. Alkuvalmistelut 5 4. Pelin aloitus ja kulku 6 5. Pelin lopetus 9 6. Vaikea peli ja muut pelimuunnelmat 10 1. Johdanto Pelilauta on 25 ruudusta muodostuva
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,
LisätiedotMyönteisen muistelun kortit. Suomen Mielenterveysseura
Myönteisen muistelun kortit Muistelulla voidaan vahvistaa ja lisätä ikäihmisten mielen hyvinvointia. Myönteisen muistelun korteilla vahvistetaan hyvää oloa tarinoimalla mukavista muistoista, selviytymistaidoista,
LisätiedotNeure - tehtäväluettelo 1 / 5 14.12.2005, 17:05
Neure - tehtäväluettelo 1 / 5 14.12.2005, 17:05 Matematiikka Huom! Mikäli tehtävällä ei vielä ole molempia teknisiä koodeja, tarkoittaa se sitä, että tehtävä ei ole vielä valmis jaettavaksi käyttöön, vaan
Lisätiedot1. Kuinka monta erilaista tapaa on 10 hengen seurueella istuutua pyöreän pöydän ympärille?
Diskreetti matematiikka, syksy 00 Harjoitus -, ratkaisuista. Kuinka monta erilaista tapaa on 0 hengen seurueella istuutua pyöreän pöydän ympärille? Ratkaisu. Paikat identtisiä, istumajärjestys oleellinen,
LisätiedotJohdatus go-peliin. 25. joulukuuta 2011
Johdatus go-peliin 25. joulukuuta 2011 Tämän dokumentin tarkoitus on toimia johdatuksena go-lautapeliin. Lähestymistapamme poikkeaa tavallisista go-johdatuksista, koska tässä dokumentissa neuvotaan ensin
LisätiedotToisessa kyselyssä alueella on 1 ruudussa A ja 3 ruudussa B, joten suosituin ehdokas on B.
A Alueet Bittimaassa järjestetään vaalit, joissa on 26 ehdokasta. Jokaisella ehdokkaalla on kirjaintunnus välillä A...Z. Bittimaa on suorakulmion muotoinen ja jaettu neliöruutuihin. Tehtäväsi on selvittää
LisätiedotLUKUKORTIT Lukukorteista on moneksi Toiminnallista matematiikkaa 1.-6. luokille. Riikka Lyytikäinen Liikkuva koulu Helsinki 2016
LUKUKORTIT Lukukorteista on moneksi Toiminnallista matematiikkaa 1.-6. luokille Riikka Lyytikäinen Liikkuva koulu Helsinki 2016 Lukujonot Tarvikkeet: siniset ja vihreät lukukortit Toteutus: yksin, pareittain,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Klassinen todennäköisyys Kombinatoriikan perusperiaatteet
LisätiedotTehy Tehyn ammattiosaston mallivaalijärjestys V103. Valtuuston kokous 27.5.2003 27.5.2003 1 (7)
Valtuuston kokous 27.5.2003 27.5.2003 1 (7) 1 ' VAALITAPA Tehyn... ammattiosasto ry:n sääntöjen 13 ':ssä mainitut hallituksen varsinaiset jäsenet ja heidän henkilökohtaiset varajäsenensä valitaan ammattiosaston
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 3, Ratkaisu
811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2018-2019, Harjoitus 3, Ratkaisu Harjoituksessa käsitellään algoritmien aikakompleksisuutta. Tehtävä 3.1 Kuvitteelliset algoritmit A ja B lajittelevat syötteenään
Lisätiedot2. laskuharjoituskierros, vko 5, ratkaisut
2. laskuharjoituskierros, vko, ratkaisut Aiheet: Klassinen todennäköisyys, kombinatoriikka, kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava D1. Eräässä maassa autojen rekisterikilpien tunnukset ovat muotoa XXXXNN,
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 2019 / Hytönen 2. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 019 / Hytönen. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Kurssilla on 0 opiskelijaa, näiden joukossa Jutta, Jyrki, Ilkka ja Alex. Opettaja aikoo valita umpimähkään opiskelijan
LisätiedotSUBSTANTIIVIT 1/6. juttu. joukkue. vaali. kaupunki. syy. alku. kokous. asukas. tapaus. kysymys. lapsi. kauppa. pankki. miljoona. keskiviikko.
SUBSTANTIIVIT 1/6 juttu joukkue vaali kaupunki syy alku kokous asukas tapaus kysymys lapsi kauppa pankki miljoona keskiviikko käsi loppu pelaaja voitto pääministeri päivä tutkimus äiti kirja SUBSTANTIIVIT
Lisätiedot(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt
LisätiedotScifest-loppuraportti Jani Hovi 234270 4.5.2014. 21 kortin temppu
Scifest-loppuraportti Jani Hovi 234270 4.5.2014 Toteutus 21 kortin temppu Temppuun tarvitaan nimensä mukaisesti 21 korttia. Kortit jaetaan kuvapuoli näkyvillä kolmeen pinoon, ensiksi kolme korttia rinnan
LisätiedotLASKUTOIMITUKSET. Montako ötökkää on kussakin ruudussa? Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos:
LASKUTOIMITUKSET Montako ötökkää on kussakin ruudussa? Nimi: 1 Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Jos laskit ötökät yksitellen, harjoittele ja mieti, miten voit tehdä laskun
LisätiedotHJS E10 Sininen Kausi 2013-2014
HJS E10 Sininen Kausi 2013-2014 HJS E10 TALVI 2013-2014 2. TALVEN HARJOITUS- JA PELIVUOROT Harjoitus- ja peliohjelma pojat E10 Päivämäärä Aika Paikka Toiminta ke 6.11. klo 17.00-18.00 Pullerin Säästöpankki
LisätiedotYksikönmuunnospelit Oppilaalle kopioitavat ohjeet:
Tekijät: Terho Hautala, Niina Suutari OuLUMA, sivu 1 Yksikönmuunnospelit Oppilaalle kopioitavat ohjeet: Etsi parit Pelataan pareittain. Otetaan käyttöön vain harjoiteltavan mittayksikön pelikortit, Oppilas
LisätiedotTURNAUSOHJEET. Turnauksen tavoite. Ennen aloitusta. Taistelukierroksen Pelaaminen. www.ninjago.com
Turnauksen tavoite Ennen aloitusta Haluatko Spinjitzumestariksi? Valitse vastustaja ja mittele taitojasi monella kierroksella. Voitat ottamalla vastustajaltasi kaikki aseet! Jokainen pelaaja tarvitsee
LisätiedotPaperiliitto r.y:n alaisten osastojen pääluottamusmiesten ja työosastojen luottamusmiesten. Ohjesääntö 1
Paperiliitto r.y:n alaisten osastojen pääluottamusmiesten ja työosastojen luottamusmiesten Ohjesääntö 1 Paperiliitto r.y:n alaiset ammattiosastot asettavat joka parillisen vuoden loka-marraskuussa pidettävässä
LisätiedotPääkirjoitus Polyteknikkojen kalastusseura POKA
T A P PA J A H A U K I 2 0 0 3 T A P P A J A H A U K I T A I S T E L E E J Ä L L E E N 1 P O LY T E K N I K K O J E N K A L A S T U S S E U R A P O K A Pääkirjoitus T o m M a r t o n e n 3. 1 2. 2 0 0
LisätiedotPelivaihtoehtoja. Enemmän vaihtelua peliin saa käyttämällä erikoislaattoja. Jännittävimmillään Alfapet on, kun miinusruudut ovat mukana pelissä!
Pelivaihtoehtoja Yksinkertaisin vaihtoehto: lfapetia voi pelata monella eri tavalla. Yksinkertaisimmassa vaihtoehdossa käytetään ainoastaan kirjainlaattoja. Pelilaudan miinusruudut ovat tavallisia ruutuja,
LisätiedotTässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.
Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Klassinen todennäköisyys Olkoon S = {s 1,s 2,...,s n } äärellinen otosavaruus. Oletetaan, että Pr(s i ) = 1, kaikille i = 1, 2,...,n n Tällöin alkeistapahtumat
Lisätiedot10:15 MIEHET LOHKO 1
MIEHET LOHKO 1 PETROIT PYDHONS (M1) 3 2 1 0 12 2 10 5 ARTSI JA ANAN KASETTI (M1) 3 2 0 1 6 11-5 4 ARTSINAL (M1) 3 1 1 1 7 7 0 3 SYMPAATTISET PENSAAT (M1) 3 0 0 3 3 8-5 0 ARTSINAL (M1) ARTSI JA ANAN KASETTI
LisätiedotPelin sisältö: Pelilauta, tiimalasi, 6 pelinappulaa ja 400 korttia.
7+ 4+ 60+ FI Pelin sisältö: Pelilauta, tiimalasi, 6 pelinappulaa ja 400 korttia. Selitä sanoja käyttäen eri sanoja, synonyymejä tai vastakohtia! Tarkoituksena on saada oma pelikumppani tai joukkue arvaamaan
Lisätiedot8.2. Permutaatiot. Esim. 1 Kirjaimet K, L ja M asetetaan jonoon. Kuinka monta erilaista järjes-tettyä jonoa näin saadaan?
8.2. Permutaatiot Esim. 1 irjaimet, ja asetetaan jonoon. uinka monta erilaista järjes-tettyä jonoa näin saadaan? Voidaan kuvitella vaikka niin, että hyllyllä on vierekkäin kolme laatikkoa (tai raiteilla
Lisätiedot