Kertausosa. 1. a) Lenkkareiden merkki on laatueroasteikollinen muuttuja. Montako millimetriä on tällöin satanut?

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kertausosa. 1. a) Lenkkareiden merkki on laatueroasteikollinen muuttuja. Montako millimetriä on tällöin satanut?"

Transkriptio

1 V πr h π 7 0,...(cm,0...(l) Montako millimetriä on tällöin satanut? V,0...l,7...(mm) 8 l 8 l Täytyy sataa vähintään,7 mm, että astia täyttyisi. Lasketaan todennäköisyys, että sataa vähintään,7 mm.,7... z, , ,9 P("sataa enintään,7...mm") Φ(-0,9) - Φ(0,9) - 0,88 0,7 ) Kertausosa. a) Lenkkareiden merkki on laatueroasteikollinen muuttuja. Kännykkälaskun suuruus on suhdelukuasteikollinen muuttuja. Luokka on järjestysasteikollinen muuttuja. b) Diskreettejä muuttujia ovat lenkkareiden merkki ja luokka. Kännykkälaskun suuruus on jatkuva muuttuja.. a) Kun valitaan satunnaisesti 00 asukasta, otanta suoritetaan yksinkertaisella satunnaisotannalla. b) Kun poimitaan joka kymmenes asukas aakkosissa, otanta suoritetaan käyttäen systemaattista otantaa. c) Kun valitaan kolmesta ikäryhmästä yhtä monta edustajaa, käytetään otoksen valintaan ositettua otantaa. d) Kun valitaan eri ammattiryhmien edustajia, käytetään otoksen valintaan ryväsotantaa.. Järjestetään määrärahan saajat suuruusjärjestykseen suurimmasta pienimpään. P("sataa vähintään,7...mm") Φ(-0,9) - 0,7 0,88 8 a) Muodostetaan suhteellinen frekvenssijakauma ja suhteellinen summafrekvenssijakauma. Vastaus: 0,8 80

2 f (mrd ) 9,0 f % sf % 9,0 7,7 0,..., Hallinnonalat Sosiaali- ja terveysministeriö,% Opetusministeriö,09,, Valtiovarainministeriö,8,, Valtionvelan,80 7,70,8 korot Maa- ja,0 7,08 70,9 metsätalousministeriä Työministeriö,, 77, Puolustusministeriö,0, 8,7 Liikenneministeriö,7,7 87, Sisäministeriö,0,88 9, Kauppa- ja 0,9,9 9,9 teollisuusministeriö Ulkoministeriö 0,7,0 9,0 Ympäristöministeriö 0,7,8 97,8 Oikeusministeriö 0,9,80 99, Presidentti, 0, 0,0 00 valtioneuvosto. Luokitellaan aineisto. Luokka f Luokkakeskus 0,0,9 9,9 +,9,9,0 7,9,9 + 7,9,9 8,0 7,9 7,9 + 7,9 9,9 7,0 7,9 7,9 + 7,9 7,9 7,0 79,9 7,9 + 79,9 77,9 Suomessa odotettu elinikä on eurooppalaisittainkin korkea, joten Suomi kuuluu viimeiseen luokkaan 7,0 79,9. Suomalaisten odotettu elinikä vuonna 00 on noin 77 vuotta. Miesten odotettu elinikä on matalampi (noin 7 vuotta) kuin naisten odotettu elinikä (noin 8 vuotta). Koko Euroopan Unionin kansalaisten odotettu elinikä vuonna 00 on noin 70 vuotta (noin 8 vuotta miehillä ja noin 7 vuotta naisilla).. Havainnollistetaan ruoka-aineiden kulutusta henkeä kohden pylväsdiagrammilla kg b) Suhteellisen summafrekvenssijakauman perusteella kolme suurinta saa, % määrärahoista c) Suhteellisen summafrekvenssijakauman perusteella kaikki muut paitsi kolme pienintä saa määrärahoista 9,0 % Tällöin kolmen pienimmän osuus määrärahoista on 00 % -9,0 %,0 %. 0 Nestem. maitotuotteet Hedelmät ja marjat Viljat Liha Peruna Sokerit Muut maitotuotteet Kala Kananmunat Pähkinä, kaakao Vihannekset Öljyt ja rasvat 8

3 % Suhteellisia osuuksia voisi havainnollistaa myös sektoridiagrammilla. % % % 0 % % 0 % % % % 8 % % Nestem. maitotuotteet Hedelmät ja marjat Viljat Liha Peruna Sokerit Muut maitotuotteet Kala Kananmunat Pähkinä, kaakao Vihannekset Öljyt ja rasvat a) Piirretään frekvenssijakauman kuvaaja. Koska muuttuja (pituus) on jatkuva, frekvenssijakaumaa kuvataan histogrammilla. Histogrammissa pylväät ovat kiinni toisissaan. f Lasketaan ruoka-aineiden kokonaiskulutus (kg) Viljatuotteiden kulutus on 78 kg. Tämä on prosentteina kokonaiskulutuksesta 78 0,8... % 0 0 b) Piirretään summafrekvenssijakauman kuvaaja. Koska muuttuja (pituus) on jatkuva, summafrekvenssijakaumaa kuvataan frekvenssimonikulmiolla. sf cm 0. Luokitellaan opiskelijoiden pituudet ja muodostetaan frekvenssijakauma ja summafrekvenssijakauma. Pituus (cm) f sf , 9, 0, 9, 70 7, 7 79, 80 8, 8 89, 90 cm 7. Tarkastellaan riippuuko myöhästymisten määrä koulumatkan pituudesta. Tällöin koulumatkan pituutta kuvataan vaakaakselilla ja myöhästymisten määrää pystyakselilla. Piirretään pistejoukon kuvaaja. 8

4 kpl Pistejoukon kuvaajan perusteella koulumatkan pituuden ja myöhästymisten lukumäärän välillä näyttäisi olevan riippuvuutta. Koska pistejoukkoon voi sijoittaa laskevan suoran, riippuvuus on lineaarista. 8. Tarkastellaan hauen pituuden riippuvuutta hauen iästä pistejoukon kuvaajan avulla. cm km Sovitetaan pistejoukkoon suora ja luetaan kysytyt hauen pituudet suoran avulla. cm vuotta Kuvaajan perusteella hauen pituus silloin, kun hauki on -vuotias, on noin 7 cm. Kuvaajan perusteella pituus -vuotiaalle hauelle on noin cm. (Tehtävän täsmälliseen ratkaisuun tulee määrittää suoran yhtälö laskimen tilastotoiminnoilla tai taulukkokirjan kaavojen avulla. Suoran yhtälö on y 8,x + 9,) vuotta Riippuvuutta kuvaa parhaiten lineaarinen malli, koska pistejoukkoon voi parhaiten sovittaa suoran. 9. a) Kuvaajan perusteella sademäärä on noin mm. b) Kuvaajan perusteella keskilämpötila on noin 7, º C. 0. koska lukujen keskiarvo on 8, saadaan yhtälö ( x + ) + x + ( x ) + ( x + ) 8 x + + x + x x + x + x 9 : 9 x 8

5 Luvut ovat tällöin: 9 8 x x x 9 9 -x Suojelualueen keskimääräinen koko on ,... 9 ( ha) 0 f i x i i x Vastaus: keskimääräinen koko on 9 ha.. Koska moodi on 7, se on yleisin arvosana. Koska ei ole muita moodeja ja arvosanoja on on arvosanoja 7 oltava vähintään kaksi kappaletta. Koska keskimmäinen arvo (mediaani) on,, arvosanoja 7 ei voi olla kolmea kappaletta. Jos arvosanoja 7 olisi kolme, olisi neljästä arvosanasta keskimmäinen aina 7. Arvosanoja 7 on siis täsmälleen kaksi kappaletta. Jotta mediaani olisi, on kahden jäljellä olevan arvosanan oltava pienempiä kuin 7. Koska arvosanoja on yhteensä neljä kappaletta, on keskimmäisiä arvosanoja kaksi, joista toinen on siis 7. Merkitään toista kirjaimella x. Tällöin x + 7, x + 7 x Toinen keskimmäisistä arvosanoista on siis. Tähän mennessä tiedetään siis kolme koearvosanaa, jotka ovat, 7 ja 7. Merkitään puuttuvaa arvosanaa kirjaimella y. Koska arvosanojen keskiarvo on, saadaan yhtälö y y + 0 y Neljäs arvosana on siis. Koearvosanat suuruusjärjestyksessä ovat siis,, 7, 7.. Lasketaan mittareiden virheet ja niiden keskiarvot. Mittari A T T A T A - T +0,0 +, +, +,0 +7, +, +,0 +0,7 -, -,0 -, +0,8 -,0 -,9-0,9-0,0-0,7-0,7 Virheiden keskiarvo on, +,, + 0,8 0,9 0,7 x A 0, 0,

6 Mittari B T T B T B - T +0,0 +0, +0, +,0 +, +0, +,0 +, +0, -,0 -, +0, -,0 -,7 +0, -0,0-9,8 +0, Virheiden keskiarvo on 0, + 0, + 0, + 0, + 0, + 0, x B, 0, Mittarin A virheiden keskiarvo on pienempi kuin mittarin B virheiden keskiarvo. Mittari B on kuitenkin tarkempi. Se näyttää aina hieman liikaa. Mittarin A virheiden keskiarvo on pienempi, koska virheet ovat erimerkkisiä. yhteenlaskettuna virheet tällöin kumoavat toisiaan. Parempi tunnusluku saadaan, jos otetaan huomioon virheiden itseisarvot. Mittarin A virheiden keskiarvo on tällöin, +, +, + 0,8 + 0,9 + 0,7 x A. Piirretään taulukon tietojen perusteella pylväsdiagrammi. Koska muuttuja (arvosana) on diskreetti, pylväät ovat erilliset. Lasketaan ensin arvosanojen keskiarvo. f i x i i x ,... 8, 7 Lasketaan arvosanojen keskihajonta taulukoimalla. x i f i x i x ( x ) f x x i ( x ) 0 -, 7, 0 8 -, 9,90 79, 0 -,,8, ,, 9,7 8-0, 0,08 0, ,88 0,70 8, ,88,7 99, i i 8

7 Keskihajonta s 7 i,9 f ( x x ) ,... +, ,... 9,9...,9... i i. Tarkastellaan ensin muuttujaa x, joka saa arvot,,,,,,,. s x Muuttujan x keskiarvo on x 8 8 8, Muuttujan x keskihajonta (,) + (,) + (,) (,) 7,... 8 Muuttujan x varianssi x ( ) s. Muuttujan x vaihteluväli on [, ], joten vaihteluvälin pituus R x. Muuttuja y saa arvot,,,,,,,. Muuttujan y keskiarvo on y 8 8 8, Muuttujan y keskihajonta (,) + (,) + (,) (,) s y 7,... Muuttujan y varianssi ( ) s. y 8 Muuttujan y vaihteluväli on [, ], joten vaihteluvälin pituus R y. Tällöin s R y y 0, Muodostetaan muuttujien x ja y arvoista frekvenssijakauma. x f y f Tällöin s R x x 0, Kuvataan jakaumia pylväsdiagrammeilla. Pylväät ovat erilliset, koska muuttujat ovat diskreettejä. 8

8 Muuttujan x jakauma. f c) Suotuisia ovat mainitut tuntia vuorokauden tunnista, joten P( syntynyt klo- ). 0 x 7. Suotuisia tapauksia kuvaa Suomen pintaala. Alkeistapauksia kuvataan koko maapallon alalla, joka on A ( pallo) πr π ( 70 km) 0990, 8... km Muuttujan y jakauma. f Tällöin P( meteoriitti putoaa Suomeen ) 7000 km 0990, 8... km 0, Lamppuja yhteensä y a)lamppuja, jotka ovat palaneet jo 00 tuntia, on Niistä vielä korkeintaan 00 palaa, joten Koska molempien muuttujien keskiarvot, keskihajonnat ja varianssit ovat samat, mutta jakaumat kuitenkin erilaiset (vaihteluvälien pituudet eri suuret), kuvaa luku R s arvojen leviämistä paremmin.. a) Koska viikonpäiviä on 7 kpl, P( syntynyt maanantaina ) 7. b) Kuukausia, joten P( syntynyt tammikuussa ). P( palaa vielä 00 tuntia ) 88 0, b) 00 tuntia palaneita lamppuja on 00. Niistä vain 00 0 toimii yli 900 tuntia, joten P( toimii yli 900 tuntia ) 0,

9 9. Kun kolikko heitetään pöydälle, sen keskipiste O osuu johonkin ruutuun tai ruudun reunalle. Ruudun ala on ( mm) 00 mm 0. Kolikko peittää ruudun kärjen P, jos tämä piste kuuluu ympyrän neljännesalueeseen, jonka keskipisteenä on O ja jonka säde on mm. Tämän neljänneksen ala on π ( mm) P O, 7... mm Koska ruudulla on neljä kärkeä, suotuisia tapauksia kuvaa ala, 7... mm 0, mm P( kolikko peittää ruudun kärjen ) 0, , Tilannetta voi havainnollistaa puumallilla: R E SA K MA BI MAANT V LI Jos Unto valitsee ruotsin, kemian ja valokuvauksen, hän voi valita. aineeksi jonkin kolmesta vaihtoehdosta. Vastaava määrä vaihtoehtoja on, jos valitaankin valokuvauksen sijaan liikunta. Näin kaikkiaan erilaista kokoonpanoa. Vaihtamalla kemia matematiikkaan saadaan taas erilaista jne. Jos ruotsi valitaan, erilaisia kokoonpanoja on yhteensä. Vastaavalla tavalla englanti ja saksa tuottavat kukin erilaista kokoonpanoa, joten kaikkiaan erilaisia kokoonpanoja on 7. Kaikista mahdollisuuksista suotuisa on vain yksi: ruotsi, biologia, valokuvaus ja psykologia. Sen todennäköisyys on siis 7 0, Luonnollisista luvuista joka. on jaollinen :llä. Vastaavasti viidellä jaollisia on joka. luku. Ensimmäinen luku, joka on jaollinen molemmilla, on luku 0. Koska kuudella jaollisen luvun täytyy olla kahdella jaollisuuden lisäksi olla jaollinen kolmella, ensimmäinen tällainen luku on 0. Tällöin P( luku jaollinen luvuilla, ja ) 0.. Loppukilpailuun voi Nean (N) ja Leevin (L) lisäksi päästä henkilö A, B tai C. Muodostetaan kaikki mahdolliset parit: NL NA NB NC LA LB LC AB AC BC Erilaisia pareja on yhteensä 0. HI US PS 88

10 a) Jos valittu pari on NL, NA, NB tai NC, Nea pääsee loppukilpailuun eli P( Nea pääsee ). 0 b) Parit, joissa Leevi pääsee, mutta Nea ei, ovat LA, LB ja LC. Näin ollen P( Leevi pääsee, Nea ei ) 0.. Kahden nopan heitossa alkeistapauksia on. Näistä on lihavoitu ne, joissa jälkimmäisellä heitolla saadaan suurempi silmäluku. (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Tämän tapahtuman todennäköisyys on siis. Jos ensimmäisen nopanheiton tulos oli, kaksi seuraavaa tulosta voivat olla vain (,), (,) ja (,), jotta annettu ehto toteutuisi. Näin ollen tapahtuman ensimmäisellä saadaan kolme, toisella tätä suurempi ja kolmannella taas edellistä suurempi silmäluku todennäköisyys on.. Noppaa heitetään kertaa. a) P( saadaan kuutosta ) 0, b) Silmälukuja, jotka ovat korkeintaan neljä, on neljä kuudesta. P( saadaan joka heitolla kork. nelonen ) 0,..... laskimissa on virhe 0,0 ei ole virhettä 0,98 P( yksikään laskimesta ei ole viallinen ) 0, 98 0, Koska kortteja ei palauteta pakkaan, joka nostolla pakassa on yksi kortti vähemmän. a) Punaisia maita on pakassa, jolloin P( saadaan vain punaisia maita ) 0 9 0, b) Pakassa on kuvakorttia, joten P( saadaan vain kuvakortteja ) , c) Ensimmäisellä kerralla kelpaa mikä tahansa kortti. Toisella nostolla suljetaan pois korttia suotuisten joukosta, koska yksi maa on jo käytetty. Näin toimitaan myös kahdella seuraavalla nostolla. Niinpä P( saadaan joka kortilla eri maa ) ,

11 7. Olkoon suomalaisia kolikoita x kappaletta. Näin ollen todennäköisyys, että nostetaan molemmilla kerroilla suomalainen kolikko, on x x x x. Tämän tapahtuman todennäköisyyden tuli tehtävänannon mukaan olla. Saadaan siis yhtälö x x x x x 0 x 0 0 ( ) ± ( ) ( 0) x ± 8 x ± 9 x x tai x Koska kolikoiden määrä ei voi olla negatiivinen luku, vain x kelpaa ratkaisuksi. Saksalaisia kolikoita on siis 7 kappaletta. Silmälukujen,,,, ja todennäköisyydet ovat siis,,,, ja. Tapahtuman kahdella heitolla saadaan kaksi kuutosta todennäköisyys on näin ollen 0, kultakoruja hopeakoruja pronssikoruja yhteensä Nostetaan kaksi korua. a) P( molemmat hopeaa ) b) P( molemmat samaa metallia ) P( molemmat kultaa ) + P( molemmat hopeaa ) + P( molemmat pronssia ) Olkoon todennäköisyys saada ykkönen x. Tällöin muiden silmälukujen todennäköisyydet ovat x, x, x, x ja x. 0. tytöt suomenkieliset 9 ruotsinkieliset 8 pojat suomenkieliset ruotsinkieliset Koska silmälukujen todennäköisyyksien summa on yksi, saadaan yhtälö x + x + x + x + x + x x : x 90

12 a) Valitaan umpimähkään yksi opiskelija. P( suomenkielinen tai poika ) P( suomenkielinen ) + P( poika ) - P( suomenkielinen poika ) , b) Valitaan kaksi opiskelijaa. P( ainakin toinen ruotsinkielinen ) P(. ruotsinkielinen,. ei ) + P(. ei ole ruotsinkielinen,. on ) + P( molemmat ruotsinkielisiä ) , pisteen kortteja pakassa kpl (mukana kuvat ja kympit) pisteen kortteja pakassa kpl a) P( saadaan :lla kortilla summaksi ) P(. kortti ässä,. kuva tai kymppi ) + P(. kortti kuva tai kymppi,. on ässä ) + 0, b) Kahden ensimmäisen kortin pistesumma on 0 +. Jos pelaaja nostaa kolmannella kortilla 9, 0 tai kuvan, peli menee metsään. Pakassa on jäljellä näitä kortteja seuraavasti: 9 kpl 0 kpl kuvat kpl Näin ollen 9 P( pistesummaksi yli ) 0, Voittoketju alussa on A B B Jotta C voittaisi pelin, B ei voi enää saada kolmatta voittoa ja A voittaa vain kerran. Tällaisia ketjuja ovat: C C C C A C C A - C C C C C A C Koska kaikilla pelaajilla on yhtä suuri todennäköisyys voittaa, ensimmäisen rivin todennäköisyys on. Kolmen alimman rivin todennäköisyydet ovat kaikki samat,. Näin ollen P( kilpailun voittaa C ) P(" malaria" ) 0,0 P (" ei sairastu") 0,0 0,70 a) P ("kukaan ei sairastu") 0, b) P ("ainakin yksi sairastaa" ). 0,7 8 0,9 Vastaus: a) 0,08 b) 0,9 P ("arpa voittaa" ) P ("arpa ei voita" ) a) P ("ainakin yksi voittaa ") 8 9

13 . b) P (" voittaa korkeintaan viidellä ") P(" voittaa kuudella" ) 9998 Vastaus: a) 0,8 b) 0,9998 P (" sairastaa") P (" ei sairasta") P("ainakin yksi sairastaa") P("ei kukaan sairasta") 8 Vastaus: 0,9 9. Merkitään pysäköintipaikkoja A ja B. P("A vapaa ja B vapaa") A varattu tai B varattu) , 0 0 Vastaus: 0,0 7. a) vaihtoehtoja on kpl b) a) 9 b) Jos Tupu, Hupu ja Lupu ovat mukana, niin viimeinen pelaaja voidaan valita 9 henkilön joukosta. On siis yhdeksän suotuisaa tapausta. P("samassa pöydässä" ) Vastaus: a) 9 b) 0,08 9. a) P ("I kirjain vokaali" ) 0, 0 b) Kolmesta kirjaimesta vain yksi on vokaali. P (" vain yksi kirjain vokaali" ) c) P (" I, L ja O jossain järj." ) Vastaus: a) 0, b) 0, c) 0,00 0. a) P ("neljä oikein" ) 8 00 b) P ("viisi ja lisä oikein" ) 7 9,8 0 8 Vastaus: a) 0,00 b) 9,

14 . P (" poika" ) 0, P (" tyttö" ) 0, 0,87 P ("puolet tyttöjä, puolet poikia" ) 0 0, Vastaus: 0, 0,87 c) P (" vähintään 7 kpl sokeita" ) 8 0,08 7, ,9 + 0,08 Vastaus: a) 0,09 b) 0,98 c), a) z P (" saadaan kuutonen" ) P (" ei saada kuutosta") P("saadaan kuutonen ainakin kahdesti" ) P("0 tai kertaa kuutonen" ) + Koska todennäköisyys on alle 0,, niin ei kannata lyödä vetoa. Vastaus: Ei kannata.. P (" pun.vihr. sokea") 0,08 P (" ei pun.vihr. sokea" ) 0,08 0,9 a) P (" kpl sokeita" ) 8 0, ,9 b) P ("korkeintaan kpl sokeita" ) ,9 + 0,08 0, ,08 0,9 98 P( x < 70) Φ( ) Φ() 0,8 0, b) z 8, 8 7 z 8 Φ(,) Φ(,) 0,99 0,0808 P(8 < x < 8) Φ() Φ(,) 0,977 0,0808 0,89 9 Vastaus: a) 0, b) 0,9 9

15 . σ A 9, Alina 8 p μ 7 σ B,8 Bertta 80 p Normitetaan pistemäärät: z, , 9, z,7...,8,8 Koska,8>,09, Bertta pärjäsi paremmin Lukio B:,09,8. N(000, 000) Tulpan toimintavarmuus alle 9 %: Etsitään kohta, johon mennessä toimintavarmuus on vähintään 9 %. Φ (,9) 0,9, joten Φ (,9) 0,9 0,0 % % % z, z z, z 7 0 z 80,8 P("pisteet yli 7, mutta alle 80") Φ(,8) - Φ(0) 0,880-0, 0,8 8 8 % Lukio A: Merkitään ajokilometrejä kirjaimella x. x 000,9 000 x ,8 x 70, Vastaus: 700 km 700( km) P("pisteet yli 8") Φ(,09) 0,8 0,79 % Vastaus: Bertta pärjäsi paremmin. P ("pisteet yli 8" ) %, P ("pisteet yli 7, mutta alle 80" ) 8% 7. Φ (,9) 0,9 9% P ("haastattelu ei ylitä 0 min") 0 z 0,9 σ,9 σ σ,9,00...,0(min) Vastaus: Hajonta korkeintaan,0 min 9

16 Harjoituskokeiden ratkaisut 8. P (" vähintään 7 tikkua" ) 0, 00 Φ (,) 0, Merkitään keskimääräistä tikkujen määrää kirjaimellaμ. 7 μ z 7, 7 μ,9 μ,08 μ,08 Vastaus: tikkua Harjoituskokeiden ratkaisut Harjoituskoe. a) Havaintoyksiköinä ovat eri ammattikorkeakoulut, muuttujana opiskelijamäärät. b) Opiskelijamäärä on muuttujana kvantitatiivinen. c) Muuttuja on mitattu suhdelukuasteikolla. Sillä on absoluuttinen nollakohta. d) Muuttuja on jatkuva.. a) Kuusitahkoisessa nopassa kaikkien mahdollisten alkeistapausten määrä on. Ensimmäinen tyttö voi heittää minkä tahansa silmäluvun. Suotuisia alkeistapauksia on siis kappaletta. Toisen ja kolmannen tytön on saatava juuri tuo sama silmäluku. Kummallakin on siis suotuisia alkeistapauksia kappale. Todennäköisyys, että kaikki kolme tyttöä saavat saman silmäluvun on siis P( ensimmäinen tyttö heittää minkä tahansa silmäluvun JA toinen heittää saman JA kolmas heittää saman ) 0,

17 Harjoituskokeiden ratkaisut b) Jokaisen pojan todennäköisyys saada heitollaan vähintään silmäluku on sama. Poikien heittämässä nopassa kaikkien alkeistapausten määrä on. Näistä suotuisia tapauksia ovat silmäluvut, 7, 8, 9, 0, ja. Suotuisia alkeistapauksia on siis 7 kappaletta. Todennäköisyys, että kaikki pojat saavat vähintään silmäluvun on P( ensimmäinen poika saa vähintään JA toinen poika saa vähintään JA kolmas poika saa vähintään ) , Kyseessä on toistokoe. Todennäköisyys saada kolikonheitossa kruuna on 0,. Kymmenestä heitosta kuudella pitää saada kruuna, joten P( kymmenellä heitolla saadaan kuusi kruunaa ) 0 0, 0 0, 0, , 0, 0. a) Jokaiseen pinoon tulee korttia. Kun jokaisesta neljästä pinosta otetaan yksi kortti, erilaisia neljän kortin ryhmiä saadaan 8 kappaletta. b) Kun nostettua korttia ei palauteta takaisin pakkaan, korttien määrä vähenee jokaisella kierroksella yhdellä. Tapauksen vähintään yksi ässä komplementti on ei yhtään ässää. Koska korttipakassa on ässää, on ensimmäisellä nostokerralla suotuisia tapauksia 8 kappaletta. Toisella nostokerralla suotuisia tapauksia on 7, kolmannella jne. Tapauksen ei yhtään ässää todennäköisyys on P( kahdeksalla kortilla ei yhtään ässää ) P( ensimmäisellä kortilla joku muu kuin ässä JA toisella kortilla joku muu kuin ässä JA JA kahdeksannella kortilla joku muu kuin ässä ) 8/ 7/ / / 0 9 8/ 7/ / / ,0... Todennäköisyys P( kahdeksalla kortilla vähintään yksi ässä ) P( kahdeksalla kortilla ei yhtään ässää ) ,0... 0,

18 Harjoituskokeiden ratkaisut. Luokalla on opiskelijoita yhteensä + 7 kappaletta. Tällöin luottamusoppilaan valintaan on vaihtoehtoja 7 ja varahenkilön valintaan vaihtoehtoja (koska sama henkilö ei voi olla molempia). a) Luokalla on poikia. Luottamusoppilaan valinnassa suotuisia alkeistapauksia on tällöin. Varahenkilön valinnassa suotuisia alkeistapauksia on. Todennäköisyys P( luottamusoppilas on poika JA varahenkilö on poika ) , b) Koska luokalla on tyttöä ja poikaa, niin todennäköisyys P( luottamusoppilaaksi valitaan tyttö JA varahenkilöksi valitaan poika ) ,... P("yli 8 g" ) - Φ(0,7) - 0,77 0,8 8 b) 0 z 0 0,9... 0,9,, 0 z 0 0,9... 9,, P("yli 0 g, mutta alle 0 g" ) Φ(0,9) - Φ(-0,9) 0,8 - [ - 0,8] 0,8-0,7 0,8 Vastaus: a) 0,8 b) 0,. μ g, σ,g 8 a) z 8 0,... 7,, 97

19 Harjoituskokeiden ratkaisut Harjoituskoe. Määritetään ensin aineiston frekvenssijakaumat. x f f% sf%,,, 9, 7 9, 8,9 7,0,9 0,, 7 9, 7, 8 7,0 90, 9,8 97, 0,7 00,0 7 00,0 a) Koska suhteellisen summafrekvenssin mukaan enintään pistettä sai, %, vähintään 7 pistettä sai loput eli 00 % -, %, % %. b) Mediaani saadaan myös suhteellisesta summafrekvenssistä, mediaani sijaitsee kohdassa, jossa 0 % täyttyy. Tämän aineiston mediaani on siis. Moodi on muuttujan arvoista yleisin eli Mo tai Mo 8. Aineiston keskiarvo x : x 7,..., c) Keskihajonta lasketaan laskimen tilastotoimintojen avulla. Aineisto syötetään laskimeen, jolloin (otos)keskihajonnaksi saadaan s, , 99.. Kahta noppaa heitetään. a) P( molemmat viitosia ) P(. on viitonen ) P(. on viitonen ) b) Kahden nopan heitossa alkeistapauksia on. Taulukkoon on lihavoitu kaikki ne tapaukset, joissa silmälukujen summa on vähintään 7. (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) P( silmälukujen summa vähintään 7 ) 7 c) Taulukoon on lihavoitu ne tapaukset, joissa silmäluvuista ainakin toinen on kuutonen. (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) P( silmäluvuista ainakin toinen on ). Itämistodennäköisyydet siemenille R ja S: Itää Ei idä R 0,9 0, S 0,8 0, 98

20 Harjoituskokeiden ratkaisut Nostetaan pussista kaksi siementä. a) Kaksi itävää siementä voidaan nostaa seuraavilla tavoilla (viereen on laskettu kyseisen tapahtuman todennäköisyys): RR 0, 0, 9 0, 9 RS 0, 0, 9 0, 0, 8 0, 78 SR 0, 0, 8 0, 0, 9 0, 78 SS 0, 0, 8 0, 0 Kysytty todennäköisyys on em. todennäköisyyksien summa: P( molemmat itävät ) 0, 9 + 0, , 0 0, b) Tapahtuman ainakin toinen itää komplementti kumpikaan ei idä on helpompi laskea. Tämä sisältää seuraavat tapahtumat (ja todennäköisyydet sille, että nostetut siemenet eivät idä): RR 0, 0, 0, 00 RS 0, 0, 0, 0, 0, 008 SR 0, 0, 0, 0, 0, 008 SS 0, 0, 0, 0 P( ainakin toinen itää ) - P( kumpikaan ei idä ) 0, , , 0 0, ( ). käyttää laseja 0, ei käytä laseja 0, Valitaan satunnaisesti 8 henkilöä. a) P( joukosta käyttää laseja, ei käytä ) 8 0, 0, 0, b) P( ainakin kaksi käyttää laseja ) - P( korkeintaan yksi käyttää laseja ) [P( 0 käyttää ) + P( käyttää )] 8 8 0, + 0, 0, 0, keskiarvo μ 0 keskihajonta σ 0 a) Pituutta cm vastaa normitettu arvo z , Koska normaalijakauman kertymäfunktion arvot on taulukoitu vain positiivisille normitetuille arvoille, käytetään hyväksi jakauman symmetriaa: arvoa 0,7 vastaa prosenttiluku 77, %. Näin ollen arvoa 0,7 vastaa (00 77,)% %. Oppilaista % on siis lyhyempiä kuin cm. b) Määritetään ensin pituuksia 70 cm ja 80 cm vastaavat normitetut arvot: 70 0 z 70 0, z 80, 00 0 Arvoa 0,0 vastaa prosenttiluku 9, %. Arvoa,00 vastaa prosenttiluku 8, %. 7 99

21 Harjoituskokeiden ratkaisut + x x 0 x 8 Näiden pituuksien väliin jää siis (8, 9,)% % opiskelijoista.. a) Koska Arthur istuu kiinteällä paikalla, muut asettuvat jonoon kuninkaan paikasta alkaen. Erilaisia jonoja voidaan muodostaa! 0 erilaista. b) Viiden ritarin joukosta voidaan muodostaa erilaisia pareja 0 kappaletta. c) Kandidaatteja ovat Lancelot (L) ja ritarit A, B, C ja D. Lancelot pääsee mukaan seuraavissa kokoonpanoissa: LA, LB, LC ja LD. Koska erilaisia pareja oli 0, P( Lancelot pääsee ) 0, Olkoon kahden viimeisen heiton silmälukujen summa x. Tällöin koko heittosarjan keskiarvo on x 0 + x 0 Kahden viimeisen heiton silmälukujen summan on oltava siis vähintään 8. Taulukkoon on koottu kahden nopanheiton mahdolliset tulokset. Suotuisat tapaukset on lihavoitu. (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Suotuisia tapauksia on. Niinpä P( heittosarjan keskiarvo väh. ). 8. keskiarvo μ 00 keskihajonta σ Jos annoksen ylivalumisen todennäköisyys on alle 0 %, kahvimukin on oltava niin suuri, että 90 % annoksista on pienempiä kuin tämä tilavuus. Olkoon tämä tilavuus x (cm ). Sitä vastaa normitettu arvo z x 00 x Toisaalta tiedetään, että tätä normitettua arvoa vastaava prosenttiluku on 90 %. Taulukosta nähdään, että z x, 8. Keskiarvon on oltava vähintään kolme, joten saadaan yhtälö 00

22 Harjoituskokeiden ratkaisut Saadaan siis yhtälö x 00, 8 x 00, x 0, x 0 Mukin on oltava 0 cm. Harjoituskoe. Määritetään ensin luokkien luokkakeskukset. Pituus Luokkakeskus x i f i (cm) (cm) 9, + 9, , +, Keskiarvo 990 0,... f x i i i x ( cm) Mediaanin määrittämiseksi muodostetaan summafrekvenssijakauma ja suhteellinen summafrekvenssijakauma. Pituus f sf sf % (cm) ,... 0 % 0 0,... 0 % 9 9 0, % ,9 90 % ,9 9 % % Mediaani on sen luokan luokkakeskus, jonka suhteellinen summafrekvenssi on ensimmäisenä vähintään 0 %. Tällainen luokka on 9 cm, joten Md 7 cm Lasketaan keskihajonta taulukoimalla. x i f i x 7 7 x i ( x x ) i f ( x x ) 7, ( 9,... ) 9,... 87,... i i 7 87,... 09, , 8,777, 7 0, 0,, 7 8,,, ,,77,77 8,, 90,88 Moodi on sen luokan luokkakeskus, jonka frekvenssi on suurin. Suurin frekvenssi (8) on luokassa 70 7 cm, joten moodi Mo 7 cm 0

23 Harjoituskokeiden ratkaisut Keskihajonta s i 7,0 f i ( x x ) 0 09, , , , ,9... i ( cm) Piirretään frekvenssijakauman kuvaaja, histogrammi. Koska muuttuja (pituus) on jatkuva, pylväät piirretään yhteen.. Saadaan vähintään kaksi yhtäsuurta silmälukua. Vastatapahtuma on: Ei yhtään samaa silmälukua. P("ei yhtään samaa silmälukua") 0,0... P(" vähintään samaa silmälukua" ) P("ei yhtään samaa silmälukua") - 0,0... 0, Vastaus: 0,98. P (" vasenkätinen" ) 0,0 P (" oikeakätinen" ) 0,0 0,9 a) P (" viisi vasenkätistä" ) 8 0,0 0,9 0, b) Vastaus: a) 0,0 b) 0. a) P ("tarttuu oikeaan kirjaan" ) 0, b) P ("kaikki tarttuvat oikeaan kirjaan" ) 9,7 0. μ 77 km/h, σ 7,0km/h z 80 0, z 9,7...,7 7 7 c) P ("ässä tai hertta kymppi" ) + 09 Vastaus: a) b),7 9 0 c) 0

24 Harjoituskokeiden ratkaisut P("nopeus välillä 80-9 km/h") Φ(,7) - Φ(0,) 0,999-0, 0,8 % Vastaus: %. P ("peruuttaa") 0,07 P (" pitää paikkansa" ) - 0,07 0,9 Pekka saa paikan, jos neljä tai enemmän peruuttaa paikkansa. Vastatapahtuma on: ei yhtään tai korkeintaan kolme peruuttaa. Lasketaan vastatapahtuman todennäköisyys ,07 0,9 + 0,07 0, ,07 0, ,07 0,9 0,08... P("Pekka saa paikan" ) - 0, , Vastaus: 0,97 9 0

Kertausosa. 1. a) Muodostetaan taulukon perusteella frekvenssijakaumat. b) Moodi on se muuttujan arvo, jonka frekvenssi on suurin. Mo = 5.

Kertausosa. 1. a) Muodostetaan taulukon perusteella frekvenssijakaumat. b) Moodi on se muuttujan arvo, jonka frekvenssi on suurin. Mo = 5. Kertausosa 1. a) Muodostetaan taulukon perusteella frekvenssijakaumat. Äänimäärä f f % 0 1 1 0,0169... 59 4 4 0,0677... 59 3 7 7 0,1186... 59 4 15 15 0,54... 59 5 18 18 0,3050... 59 6 1 1 0,033... 59 7

Lisätiedot

A-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.

A-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. MAA6 koe 26.9.2016 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 3 MAA Todennäköisyys ja tilastot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Todennäköisyys ja tilastot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Kertaustehtäviä Pakassa on jäljellä 50 korttia, joista 11 on herttoja Alkeistapauksia ovat silmälukuparit, joita on 36 kappaletta.

Kertaustehtäviä Pakassa on jäljellä 50 korttia, joista 11 on herttoja Alkeistapauksia ovat silmälukuparit, joita on 36 kappaletta. 0. Pakassa on jäljellä 50 korttia, joista on herttoja. P(kolmas kortti hertta) 50 0,22 02. Alkeistapauksia ovat silmälukuparit, joita on kappaletta. a) Kuvion perusteella pistesumma 4 saadaan tavalla.

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin!

Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! MAA6 Kurssikoe 1.11.14 Jussi Tyni ja Juha Käkilehto Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A-OSIO: Laske kaikki

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta - tehtävät

Todennäköisyyslaskenta - tehtävät Todennäköisyyslaskenta - tehtävät Todennäköisyyslaskentaa käsitellään Pitkän matematiikan kertauskirjan sivuilla 253 276. Klassinen todennäköisyys Kombinatoriikka Binomitodennäköisyys Satunnaismuuttuja,

Lisätiedot

Huippu 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. Ensimmäiselle paidalle on 5 vaihtoehtoa, toiselle 4, kolmannelle 3 ja niin edelleen. Axel voi pitää paitoja 5! = 0:ssä eri järjestyksessä. Vastaus: 0:ssä eri järjestyksessä K.

Lisätiedot

Kertaustesti Perheessä on neljä lasta, joista valitaan arpomalla kaksi tiskaajaa. Millä todennäköisyydellä nuorin joutuu tiskaamaan?

Kertaustesti Perheessä on neljä lasta, joista valitaan arpomalla kaksi tiskaajaa. Millä todennäköisyydellä nuorin joutuu tiskaamaan? Kertaustesti 1 Nimi: 1. a) Noppaa heitetään kerran. Millä todennäköisyydellä saadaan silmäluku 2? b) Noppaa heitetään kaksi kertaa peräkkäin. Millä todennäköisyydellä molemmilla heitoilla saadaan silmäluku

Lisätiedot

ikä (vuosia) on jo muuttanut 7 % 46 % 87 % 96 % 98 % 100 %

ikä (vuosia) on jo muuttanut 7 % 46 % 87 % 96 % 98 % 100 % Testaa taitosi 1 1. Noppaa heitetään kahdesti. Merkitse kaikki alkeistapaukset koordinaatistoon. a) Millä todennäköisyydellä ainakin toinen silmäluvuista on 3? b) Mikä on a-kohdan tapahtuman vastatapahtuma?

Lisätiedot

4 Kertaus: Tilastot ja todenna ko isyys

4 Kertaus: Tilastot ja todenna ko isyys 4 Kertaus: Tilastot ja todenna ko isyys 4.1 Kurssin keskeiset asiat 1. Viimeisen muuttujan arvon 4 summafrekvenssi on 25, joten havaintoyksiköiden lukumäärä on 25. Lasketaan puuttuvat frekvenssit taulukkoon:

Lisätiedot

LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Arvosanat

LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Arvosanat 3 Tilastotutkimuksen analysointi ja raportointi 194. Arvosanat taulukkona: Arvosana f f % Keskuskulma (astetta) 1 4,8 % 17 6 3,8 % 86 7 3,8 % 86 8 8 38,1 % 137 9 9, % 34 Sektoridiagrammina: 37 % 10 % Arvosanat

Lisätiedot

1.1 Tilastotieteen peruskäsitteitä

1.1 Tilastotieteen peruskäsitteitä Tilastotieteen peruskäsitteitä 1.1 Tilastotieteen peruskäsitteitä 1. Muodostetaan taulukon perusteella suhteellinen frekvenssijakauma. Lehti Levikki f % Helsingin 365994 365 994 0,13579... 13,6% Sanomat

Lisätiedot

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo.

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Kertaus Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Luokiteltu aineisto. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Hajontaluvut luokittelemattomalle

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset Todennäköisyyslaskenta I, kesä 207 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus, ratkaisuehdotukset. Kokeet ja Ω:n hahmottaminen. Mitä tarkoittaa todennäköisyys on? Olkoon satunnaiskokeena yhden nopan

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma 9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma Kahta joukkoa sanotaan erillisiksi, jos niillä ei ole yhtään yhteistä alkiota. Jos pysytellään edelleen korttipakassa, niin voidaan ilman muuta sanoa, että

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Todennäköisyys (englanniksi probability)

Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyyslaskenta sai alkunsa 1600-luvulla uhkapeleistä Ranskassa (Pascal, Fermat). Nykyisin todennäköisyyslaskentaa käytetään hyväksi mm. vakuutustoiminnassa,

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

Tilastolliset toiminnot

Tilastolliset toiminnot -59- Tilastolliset toiminnot 6.1 Aineiston esittäminen graafisesti Tilastollisen aineiston tallentamisvälineiksi TI-84 Plus tarjoaa erityiset listamuuttujat L1,, L6, jotka löytyvät 2nd -toimintoina vastaavilta

Lisätiedot

Järvi 1 Valkjärvi. Järvi 2 Sysijärvi

Järvi 1 Valkjärvi. Järvi 2 Sysijärvi Tilastotiedettä Tilastotieteessä kerätään tietoja yksittäisistä asioista, ominaisuuksista tai tapahtumista. Näin saatua tietoa käsitellään tilastotieteen menetelmin ja saatuja tuloksia voidaan käyttää

Lisätiedot

Todennäköisyys ja tilastot Tehtävien ratkaisut Kertaustehtävät. Kertaustehtävien ratkaisut

Todennäköisyys ja tilastot Tehtävien ratkaisut Kertaustehtävät. Kertaustehtävien ratkaisut Ratkaisuista Nämä Todennäköisyys ja tilastot -kurssin kertaustehtävien ja -sarjojen ratkaisut perustuvat oppikirjan tietoihin ja menetelmiin. Kustakin tehtävästä on yleensä vain yksi ratkaisu, mikä ei

Lisätiedot

A-Osio. Ei saa käyttää laskinta, maksimissaan tunti aikaa. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat:

A-Osio. Ei saa käyttää laskinta, maksimissaan tunti aikaa. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat: MAA6 Loppukoe 26..203 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! Lue ohjeet huolella! A-Osio. Ei saa

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

OTATKO RISKIN? peli. Heitä noppaa 3 kertaa. Tavoitteena on saada

OTATKO RISKIN? peli. Heitä noppaa 3 kertaa. Tavoitteena on saada OTATKO RISKIN? peli 1. Heitä noppaa 20 kertaa. Tavoitteena on saada vähintään 10 kertaa silmäluku 4, 5 tai 6. Jos onnistut, saat 300 pistettä. Jos et onnistu, menetät 2. Heitä noppaa 10 kertaa. Tavoitteena

Lisätiedot

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet VAASAN YLIOPISTO/AVOIN YLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia 1 KURSSIKYSELYAINEISTO: 1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa. Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

1. Tässä tehtävässä päätellään kaksilapsisen perheen lapsiin liittyviä todennäköisyyksiä.

1. Tässä tehtävässä päätellään kaksilapsisen perheen lapsiin liittyviä todennäköisyyksiä. TODENNÄKÖISYYS Aihepiirejä: Yhden ja kahden tapahtuman tuloksien käsittely ja taulukointi, ovikoodit, joukkueen valinta, bussin odotus, pelejä, urheilijoiden testaus kielletyn piristeen käytöstä, linnun

Lisätiedot

Totta vai tarua matematiikan paradokseja

Totta vai tarua matematiikan paradokseja Totta vai tarua matematiikan paradokseja Onko intuitio aina oikeassa todennäköisyyksiä pohdittaessa? Tilastot eivät valehtele, eiväthän? Työohjeet: 1) Muodostetaan noin 3 henkilön ryhmät. 2) Valitkaa yhden

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

Ma8 Todennäköisyys ja tilastot

Ma8 Todennäköisyys ja tilastot Ma8 Todennäköisyys ja tilastot Arvioitavat tehtävät 1. Kuvaajassa on esitetty väkivaltaisesti tai tapaturmaisesti kuolleiden miesten ja naisten lukumäärät eri ikäryhmittäin vuonna 1999. (Lähde: Tilastokeskus)

Lisätiedot

D ( ) E( ) E( ) 2.917

D ( ) E( ) E( ) 2.917 Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,

Lisätiedot

(x, y) 2. heiton tulos y

(x, y) 2. heiton tulos y Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen

Lisätiedot

1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet VAASAN YLIOPISTO/KESÄYLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia A KURSSIKYSELYAINEISTO: 1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka

Lisätiedot

GeoGebra tutkivan oppimisen välineenä: havainto-hypoteesi-testaus

GeoGebra tutkivan oppimisen välineenä: havainto-hypoteesi-testaus GeoGebra tutkivan oppimisen välineenä: havainto-hypoteesi-testaus Mitä jäi mieleen viime viikosta? Mitä mieltä olet tehtävistä, joissa GeoGebralla työskentely yhdistetään paperilla jaettaviin ohjeisiin

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 12.1.2016/1 MTTTP5, luento 12.1.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla:

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla: MAA6.3 Loppukoe 9.11.01 Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Matikan

Lisätiedot

TILASTOT JA TODENNÄKÖISYYS

TILASTOT JA TODENNÄKÖISYYS TILASTOT JA TODENNÄKÖISYYS Perusopetuksen opetussuunnitelmien perusteissa 2004 on vuosiluokille 6 9 määritelty tietyt tavoitteet koskien tilastoja ja todennäköisyyttä. Seuraavat keskeiset sisällöt tulevat

Lisätiedot

Esimerkki 1: auringonkukan kasvun kuvailu

Esimerkki 1: auringonkukan kasvun kuvailu GeoGebran LASKENTATAULUKKO Esimerkki 1: auringonkukan kasvun kuvailu Auringonkukka (Helianthus annuus) on yksivuotinen kasvi, jonka varren pituus voi aurinkoisina kesinä hyvissä kasvuolosuhteissa Suomessakin

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 25.10.2016/1 MTTTP5, luento 25.10.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Til.yks. x y z

Til.yks. x y z Tehtävien ratkaisuja. a) Tilastoyksiköitä ovat työntekijät: Vatanen, Virtanen, Virtanen ja Voutilainen; muuttujina: ikä, asema, palkka, lasten lkm (ja nimikin voidaan tulkita muuttujaksi, jos niin halutaan)

Lisätiedot

Matin alkuvuoden budjetti

Matin alkuvuoden budjetti 1 TILASTOJEN TULKINTAA 1. euroa Matin alkuvuoden budjetti 600 500 400 300 200 100 0 tammikuu helmikuu maaliskuu huhtikuu a) Milloin Matti on kuluttanut eniten rahaa ostoksiin? Arvioi, kuinka paljon vaatteisiin

Lisätiedot

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva

14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva 4 Jatkuva jakauma Edellä määriteltiin diskreetiksi satunnaismuuttujaksi sellainen, joka voi saada vain (hyppäyksittäin) erillisiä arvoja. Jatkuva satunnaismuuttuja voi saada mitä hyvänsä arvoja yleensä

Lisätiedot

Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja.

Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja. Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Kurssi käsittelee todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä. Laaditaan satunnaisilmiöille todennäköisyysmalleja. Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta?

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,

Lisätiedot

Kenguru 2016 Ecolier (4. ja 5. luokka)

Kenguru 2016 Ecolier (4. ja 5. luokka) sivu 1 / 13 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.

Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin. Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 1.2.2013 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.

Lisätiedot

1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut

1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut 1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut D1. Heitetään kahta virheetöntä noppaa, joiden kuudella tahkolla on silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Tällöin heittotuloksiin liittyvä otosavaruus on S = {(x, y)

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Näistä standardoiduista arvoista laskettu keskiarvo on nolla ja varianssi 1, näin on standardoidulle muuttujalle aina.

Näistä standardoiduista arvoista laskettu keskiarvo on nolla ja varianssi 1, näin on standardoidulle muuttujalle aina. [MTTTP1] TILASTOTIETEEN JOHDANTOKURSSI, Syksy 2017 http://www.uta.fi/sis/mtt/mtttp1/syksy_2017.html HARJOITUS 3 viikko 40 Joitain ratkaisuja 1. Suoritetaan standardointi. Standardoidut arvot ovat z 1 =

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 13. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 13. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Klassinen todennäköisyys 2 Kombinatoriikkaa Kombinatoriikan perusongelmat Permutaatiot

Lisätiedot

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA 4..005 OSA 1 Laskuaika 30 min Pistemäärä 0 pistettä 1. Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Minkä säännön mukaan lukujono muodostuu? 1 4 5 1 1 1

Lisätiedot

KURSSIKYSELYAINEISTO: HUOM! Aineiston tilastoyksikkömäärä 11 on kovin pieni oikean tilastotieteen tekemiseen, mutta Harjoitteluun se kelpaa kyllä!

KURSSIKYSELYAINEISTO: HUOM! Aineiston tilastoyksikkömäärä 11 on kovin pieni oikean tilastotieteen tekemiseen, mutta Harjoitteluun se kelpaa kyllä! VAASAN YLIOPISTO/KESÄYLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia A KURSSIKYSELYAINEISTO: HUOM! Aineiston tilastoyksikkömäärä 11 on kovin pieni oikean tilastotieteen tekemiseen, mutta Harjoitteluun

Lisätiedot

1 TILASTOMATEMATIIKKA... 2 2 TILASTOTIETEEN PERUSKÄSITTEITÄ... 3 3 MUUTTUJAT... 6 4 FREKVENSSIJAKAUMA... 8 5 AINEISTON LUOKITTELU...

1 TILASTOMATEMATIIKKA... 2 2 TILASTOTIETEEN PERUSKÄSITTEITÄ... 3 3 MUUTTUJAT... 6 4 FREKVENSSIJAKAUMA... 8 5 AINEISTON LUOKITTELU... SISÄLLYSLUETTELO 1 TILASTOMATEMATIIKKA... 2 1.1 JOHDANTO... 2 1.2 LINKKEJÄ... 2 1.3 LÄHTEET... 2 2 TILASTOTIETEEN PERUSKÄSITTEITÄ... 3 2.1 HAVAINTOAINEISTO... 3 2.2 POPULAATIO... 3 2.3 OTOS... 3 2.4 HAVAINTOAINEISTON

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Kenguru 2017 Benjamin (6. ja 7. luokka)

Kenguru 2017 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta saat 3, 4 tai 5 pistettä.

Lisätiedot

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin)

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin) 1/10 Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yhteensä Pisteet (tarkastaja merkitsee) Kokeessa on kymmenen tehtävää, joista jokainen on erillisellä paperilla. Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 6 pistettä. Ratkaise

Lisätiedot

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta Tuloperiaate Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta ja 1. vaiheessa valinta voidaan tehdä n 1 tavalla,. vaiheessa valinta voidaan tehdä n tavalla,

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Pylväsdiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna Piirakkadiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna 2003 LKM 14.8% 11.2% 19.7% 4.9% 3.6% 45.

Pylväsdiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna Piirakkadiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna 2003 LKM 14.8% 11.2% 19.7% 4.9% 3.6% 45. Pylväsdiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna Piirakkadiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna 8.8% 8.9%.%.% 9.7%.7% Etelä Länsi Itä Oulu Lappi Ahvenanmaa Länsi Etelä Itä Oulu Lappi Ahvenanmaa Läänien

Lisätiedot

1 Kuvien ja kaavioiden tulkintaa

1 Kuvien ja kaavioiden tulkintaa 1 Kuvien ja kaavioiden tulkintaa 2 Kokonaisuuden jakaminen osiin 3 Tietojen kerääminen ja taulukointi 4 Kaavioiden piirtäminen 5 Luokittelua ja piirtämistä 6 Tilastollisia tunnuslukuja 7 Erilaisia tilastoja

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Tehtävät 1/11. TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden tiedekunta Valintakoe Matematiikka ja tilastotiede. Sukunimi (painokirjaimin)

Tehtävät 1/11. TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden tiedekunta Valintakoe Matematiikka ja tilastotiede. Sukunimi (painokirjaimin) 1/11 Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yhteensä Pisteet (tarkastaja merkitsee) Kokeessa on kymmenen tehtävää, joista jokainen on erillisellä paperilla. Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 6 pistettä. Ratkaise

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi Yksiulotteisen

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Pelaajien lukumäärä: suositus 3 4 pelaajaa; peliä voi soveltaa myös muille pelaajamäärille

Pelaajien lukumäärä: suositus 3 4 pelaajaa; peliä voi soveltaa myös muille pelaajamäärille Heli Vaara ja Tiina Komulainen OuLUMA, sivu 1 MERIROSVOJEN AARTEENJAKOPELI Avainsanat: matematiikka, pelit, todennäköisyys Pelaajien lukumäärä: suositus 3 4 pelaajaa; peliä voi soveltaa myös muille pelaajamäärille

Lisätiedot

Ma8 Todennäköisyys ja tilastot

Ma8 Todennäköisyys ja tilastot Ma8 Todennäköisyys ja tilastot H1 Tilastollisen aineiston kuvaaminen 1.1 Vastaa kuvaajan perusteella kysymyksiin. a) Kuinka paljon tarvitset kuvaajan mukaan unta? b) Paljonko 20-vuotias tarvitsee unta?

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) ratkaisut sivu 1 / 6

Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) ratkaisut sivu 1 / 6 Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) ratkaisut sivu 1 / 6 3 pisteen tehtävät 1) Mikä on pienin? A) 2 + 0 + 0 + 8 B) 200 : 8 C) 2 0 0 8 D) 200 8 E) 8 + 0 + 0 2 2) Millä voidaan korvata, jotta seuraava yhtälö

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ YLIOPPILSTUTKINTO- LUTKUNT..7 MTEMTIIKN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ -osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan ruudukkoon.

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot