Huippu 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Huippu 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty"

Transkriptio

1 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. Ensimmäiselle paidalle on 5 vaihtoehtoa, toiselle 4, kolmannelle 3 ja niin edelleen. Axel voi pitää paitoja 5! = 0:ssä eri järjestyksessä. Vastaus: 0:ssä eri järjestyksessä K. Ensimmäisessä vaiheessa on 5 vaihtoehtoa, toisessa vaiheessa 3 vaihtoehtoa ja kolmannessa vaiheessa vaihtoehtoa. Tuloperiaatteen mukaan puhelimen voi valita 5 3 = 30 vaihtoehdosta. Vastaus: 30 vaihtoehdosta K3. Yhdeksästä työntekijästä voidaan valita neljän työntekijän ryhmä 9 4 = 6:lla eri tavalla, joten 6 erilaista kokoonpanoa voi tulla valituksi. Vastaus: 6 kokoonpanoa K4. Kun joukkueet pelaavat toisiaan vastaan, ne muodostavat kahden alkion 5 = 0:llä eri tavalla. Alkusarjassa pelataan siis 0 peliä. joukkoja. Viidestä alkiosta voidaan muodostaa kahden alkion joukko Vastaus: 0 peliä

2 7 K5. Seitsemän nuken joukosta voidaan valita kolme 3 = 35:llä tavalla, ja kahdeksasta nukesta voidaan valita viisi 8 = 56:lla tavalla. Erilaisia 5 nukkekokoonpanoja on yhteensä = 960. Leikissä voi olla 960 eri nukkekokoonpanoa. Vastaus: 960 nukkekokoonpanoa K6. Matematiikan kirjat voidaan järjestää 4 3 = 4! eri tavalla. Vastaavasti psykologian kirjat voidaan järjestää 5! eri tavalla ja yhteiskuntaopin kirjat! eri tavalla. Lisäksi kolme oppiainetta voidaan järjestää 3! eri tavalla. Tuloperiaatteen mukaan on 4! 5!! 3! = eri tapaa järjestää kirjat. Vastaus: järjestystä K7. a) Sanassa PERUNA on kuusi eri kirjainta, joten uuden sanan ensimmäinen kirjain voidaan valita kuudesta vaihtoehdosta, toinen viidestä vaihtoehdosta ja niin edelleen. Erilaisia merkkijonoja voidaan muodostaa = 6! = 70 kappaletta. Vastaus: 70 merkkijonoa b) Viidellä kirjaimella on 5! mahdollista järjestystä, mutta näistä osa on samoja, koska U esiintyy sanassa kahdesti. Luku 5! on siis jaettava luvulla, joka kertoo kuinka monessa järjestyksessä kaksi U-kirjainta voivat olla, eli luvulla!. Erilaisia merkkijonoja voidaan siis muodostaa 5! 60! kappaletta. Vastaus: 60 merkkijonoa

3 K8. a) Viikossa on seitsemän päivää, joista viisi on arkipäiviä, joten P(itsenäisyyspäivä on arkipäivänä) = 5 7 = 0, ,7. Itsenäisyyspäivä on arkipäivänä todennäköisyydellä 5 7 0,7. Vastaus: 5 7 0,7 b) Viikossa on seitsemän päivää ja viikonloppuna on kaksi päivää, joten P(itsenäisyyspäivä on viikonloppuna) = 7 = 0, ,9. Itsenäisyyspäivä on viikonloppuna todennäköisyydellä 7 0,9. Vastaus: 7 0,9 K9. Muodostetaan taulukko, jossa on kahden arpakuution silmälukujen summat. Kahden arpakuution heitossa alkeistapauksia on 36 ja alkeistapauksia, joissa silmälukujen summa on 7 tai 8, on. P(silmälukujen summa on 7 tai 8) = 36 = 0,30555 = 30, % 3 % Silmälukujen summa on 7 tai 8 todennäköisyydellä 3 %. Vastaus: 3 %

4 K0. Tilastossa on tutkittu 39:ää lukiolaista. Lukiolaisia, joilla lemmikkinä on kissa tai lisko, on 8 + = 9. Kysytty todennäköisyys on (3 P(lemmikkinä kissa tai lisko) = 9 3 = 0,30 0, Lukiolaisella on lemmikkinä kissa tai lisko todennäköisyydellä 0,3. Vastaus: 3 3 0,3 K. Korttipakasta voidaan nostaa erilaisia viiden kortin joukkoja 5 kappaletta. 5 Korttipakassa on 4 ässää, joten siellä on 5 4 = 48 muuta korttia. Erilaisia viiden kortin joukkoja, joissa ei ole ässää, eli joissa kortit on 48 valittu muiden 48:n kortin joukosta, on 5 kappaletta. Kysytty todennäköisyys on 48 5 P(ei yhtään ässää) = 0, , Todennäköisyys sille, ettei saada yhtään ässää, kun otetaan pakasta viisi korttia, on 0,66. Vastaus: 0,66

5 K. Merkitään suotuisan alueen sädettä kirjaimella a. Tällöin koko ympyrän säde on a. Piirretään mallikuva. Käytetään geometrisena mittana pinta-alaa. Koko alueen pinta-ala on π (a) = π 4a = 4πa ja suotuisan alueen pinta-ala πa. Kysytty todennäköisyys on P(kivi osuu lähemmäksi ympyrän keskipistettä kuin sen kehää) πa 0,5. 4πa 4 Kivi osuu lähemmäs ympyrän keskipistettä kuin sen kehää todennäköisyydellä 0,5. 4 Vastaus: 0,5 4

6 K3. Taskussa on aluksi = 8 kolikkoa, joista 5 on 50 sentin ja 3 kahden euron kolikoita. TAPA : Saadaan täsmälleen,50 euroa, jos ensimmäinen otettu kolikko on kahden euron kolikko ja toinen 50 sentin kolikko, tai toisin päin. Jos ensimmäinen kolikko on euron kolikko, niin taskussa on vielä jäljellä 7 kolikkoa, joista 5 on 50 sentin kolikoita. Tällöin todennäköisyys sille, että toisena otettu kolikko on 50 sentin kolikko, on 5. 7 Jos ensimmäinen kolikko on 50 sentin kolikko, niin taskussa on vielä jäljellä 7 kolikkoa, joista 3 on euron kolikoita. Tällöin todennäköisyys sille, että toisena otettu kolikko on euron kolikko, on 3. 7 P(täsmälleen,50 euroa) = P(. kolikko on ja toinen 50 snt) + P(. kolikko on 50 snt ja toinen ) = P(. kolikko on ) P(toisella 50 snt, kun. kolikko oli ) + P(. kolikko on 50 snt) P(toisella, kun. kolikko oli 50 snt) = = 5 8 = 0, ,54 Täsmälleen parkkimaksuun tarvittava,50 euroa saadaan todennäköisyydellä 5 8 0,54.

7 TAPA : Saadaan täsmälleen,50 euroa, jos saadaan yksi kahden euron ja yksi 50 sentin kolikko. Kahden euron kolikko voidaan valita kolmen samanlaisen kolikon 3 tavalla. joukosta 5 50 sentin kolikko voidaan valita viiden samanlaisen kolikon joukosta tavalla. Suotuisia kolikkoyhdistelmiä on tuloperiaatteen mukaan 3 5 kappaletta. 8 Kaksi kolikkoa voidaan valita kahdeksan kolikon joukosta 3 5 Kysytty todennäköisyys on 5 0, , Täsmälleen parkkimaksuun tarvittava,50 euroa saadaan todennäköisyydellä 5 8 0,54. Vastaus: 5 8 0,54 eri tavalla.

8 K4. Kaikki valot toimivat, kun ensimmäinen valo toimii ja toinen valo toimii ja kolmas valo toimii ja niin edelleen. Kysytty todennäköisyys on P(kaikki valot toimivat) = 0,995 0, ,995 4 kpl = 0,995 4 = 0, = 88,665 % 89 % Todennäköisyys sille, että kaikki valot toimivat, on 89 %. Vastaus: 89 % K5. Viljami voittaa ainakin yhden pelin, jos hän voittaa yhden pelin, kaksi peliä tai kolme peliä. Tämän todennäköisyys on helpompi laskea vastatapahtuman Viljami ei voita yhtään peliä avulla kuin suoraan. Todennäköisyys, että Viljami ei voita yksittäistä peliä on P(Viljami voittaa ainakin yhden pelin) = P(Viljami ei voita yhtään peliä) 3 = 3 = 9 7 = 0, ,70 Todennäköisyys sille, että Viljami voittaa ainakin yhden pelin, on 0,70. Vastaus: 9 7 0,70

9 K6. Merkitään ryhmän tyttöjen määrä kirjaimella n. Tällöin todennäköisyys sille, että ensimmäinen valittu opiskelija on tyttö, on n. Jos ensimmäinen valittu opiskelija on tyttö, niin seuraava 5 opiskelija valitaan 4 opiskelijan joukosta, jossa on n tyttöä. Toinen opiskelija on siis tyttö todennäköisyydellä n. Muodostetaan 4 todennäköisyyden avulla yhtälö ja ratkaistaan siitä n. n n nn n n n n n 0n400 0n 0n400 0 : 0 n n n n 840 n 84 n 9 n 9 tai n 9 n5 tai n4 Lukumäärä ei voi olla negatiivinen, joten ryhmässä on 5 tyttöä. Vastaus: 5 tyttöä

10 K7. a) Neljän henkilön toimikunta seitsemästä henkilöstä voidaan valita 7 = 35:llä tavalla. 4 Kaksi veljestä voidaan valita kahden veljeksen joukosta tavalla. Loput kaksi henkilöä voidaan valita muiden viiden muun henkilön joukosta 5 eri tavalla. Toimikunta, jossa molemmat veljekset ovat mukana, voidaan siis valita 5 = 0 tavalla. Kysytty todennäköisyys on P(molemmat veljekset joutuvat toimikuntaan) (5 0 0, , Molemmat veljekset joutuvat toimikuntaan todennäköisyydellä 0,9. Vastaus: 7 0,9 b) Yksi veli voidaan valita kahden veljen joukosta tavalla. Loput 5 kolme henkilöä voidaan valita viiden muun henkilön joukosta 3 eri tavalla. Toimikunta, jossa on vain toinen veljeksistä, voidaan siis valita 5 = 0 tavalla. 3 Kysytty todennäköisyys on P(toinen veljeksistä joutuu toimikuntaan) ( , , Vain toinen veljeksistä joutuu toimikuntaan todennäköisyydellä 0,57. Vastaus: 4 7 0,57

11 K8. a) Vapaa-aikaa vuorokaudesta on 6,3 tuntia eli 6,3 h 0,65 6,5 % 6 % 4 h. Vuorokaudesta on vapaa-aikaa 6 %. Vastaus: 6 % b) Ansiotyöhön käytettävä aika voi näyttää pieneltä. Aikaa pienentää se, että kaikki 0 64-vuotiaat eivät tee töitä, eikä töitä yleensä tehdä joka päivä.

12 K9. Videossa https://vimeo.com/89609/00d855a4b näytetään, miten tehtävä voidaan ratkaista taulukkolaskentaohjelmalla. K0. Piirretään pylväskaavio taulukkolaskentaohjelmalla megafauna ihmiset hyötyeläinnisäkkäät vuotta sitten (milj.tonnia) Nykyisin (milj.tonnia)

13 K. Lasketaan suhteelliset frekvenssit f %, summafrekvenssit sf ja suhteelliset summafrekvenssit f %. kruunien f f % sf sf % määrä ,8 % ,8 % ,4 % = 8 8 8, % , % = 54 5,4 % ,7 % = 8 8,% ,4 % = ,5 % ,5 % = 00 % 000 Vastaus: kruunien f % sf sf % määrä 0 3,8 % 38 3,8 % 4,4 % 8 8, % 34, % 54 5,4 % 3 8,7 % 8 8, % 4 6,4 % ,5 % 5,5 % ,0 %

14 K. Lasketaan ensin tyttöjen ja poikien vastausten määrät yhteen. Lasketaan lisäksi, kuinka monta kutakin vastausta on yhteensä. Vastaus Tyttö Poika Yhteensä ehdottoman 0 tärkeää tärkeää melko tärkeää ei merkitystä yhteensä Määritetään suhteelliset frekvenssit. Vastaus Tyttö Poika Yhteensä ehdottoman tärkeää 6% 3 0 0% 5 4% 56 tärkeää 0 65 % % % 56 melko 8 tärkeää 6 % % % 56 ei merkitystä 3% 3 4% 5 4% 56 Piirretään pylväskaavio sopivalla ohjelmalla.

15 Vastaus: Vastaus Tyttö Poika Yhteensä ehdottoman 6 % 0 % 4 % tärkeää tärkeää 65 % 60 % 63 % melko 6 % 36 % 30 % tärkeää ei merkitystä 3 % 4 % 4 %

16 K3. Videossa https://vimeo.com/89648/7f9f8a96d4 näytetään, miten tehtävä voidaan ratkaista taulukkolaskentaohjelmalla. Vastaus: Maiden lukumäärä f K4. Järjestetään arvosanat ja määritetään mediaani. Jonin arvosanat olivat 5, 6, 6, 7, 9 ja 9. Koska arvosanat 6 ja 7 ovat molemmat keskimmäisiä, mediaani on niiden keskiarvo. Siis Md = 6 7 6,5. Nikon arvosanat olivat 5, 6, 7, 7, 8 ja 8. Koska kaksi keskimmäistä arvosanaa ovat molemmat seiskoja, mediaani on Md = 7. Jonin arvosanojen keskiarvo on x Nikon arvosanojen keskiarvo on x , , Vastaus: Joni: Md = 6,5, x 7, Niko: Md = 7, x 6,8

17 K5. Yhden maalin pelejä on eniten, joten moodi on Mo =. Pelien lukumäärä on = 8. Maalien määrän keskiarvo on x ,573...,6. Vastaus: Mo =, x,6 K6. Videossa https://vimeo.com/89653/833046e7b näytetään, miten tehtävä voidaan ratkaista taulukkolaskentaohjelmalla. Vastaus: [53, 97], Md = 75, Q = 67,5, Q 3 = 8,5, x 75,3, s 0,4 K7. Videossa https://vimeo.com/89668/ea504b7ec näytetään, miten korrelaatiokerroin voidaan määrittää taulukkolaskentaohjelmalla. Tyttären ja äidin pituuksilla on kohtalainen positiivinen korrelaatio. Tämä johtunee siitä, että pituus riippuu osittain perimästä, mutta ei pelkästään siitä. Lisäksi myös isän pituus vaikuttaa lapsen pituuteen. Vastaus: r 0,49

18 KOKOAVIA TEHTÄVIÄ ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. Ensimmäisessä vaiheessa on vaihtoehtoa, toisessa vaiheessa 3 ja viimeisessä vaiheessa vaihtoehtoa. Vaihtoehtojen määrä on tuloperiaatteen mukaan 3 =. Kolmen ruokalajin kokonaisuuksia on. Vastaus: kokonaisuutta. Järjestetään poikasmäärät suuruusjärjestykseen:,,,, 3, 3, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7 Huomataan, että lukumäärää 6 on eniten, joten moodi Mo = 6. Järjestetyn aineiston keskimmäinen arvo on 5, joten mediaani Md = 5. Vastaus: Mo = 6, Md = 5

19 3. Piirroksessa havainnollistetaan sitä, miten vastaukset luetaan kuvaajasta. a) Mediaani-ikä on ikä, jota nuorempia ja vanhempia on puolet palomiehistä. Etsitään y-akselilta arvo 50 % ja huomataan, että sitä vastaava x-akselin arvo on noin 43 vuotta. Vastaus: n. 43 vuotta b) Kuvaajasta nähdään, että 5 % palomiehistä oli nuorempia kuin 35 vuotta. Alakvartiili oli siis 35 vuotta. Vastaus: n. 35 vuotta c) Kuvaajasta nähdään, että 75 % palomiehistä oli vanhempia kuin 50 vuotta. Alakvartiili oli siis 50 vuotta. Vastaus: n. 50 vuotta d) Katsotaan kuvaajalta mikä y-akselin arvo vastaa x-akselin arvoa 30 vuotta. Prosenttiluku on noin 0. Vastaus: n. 0 % e) 50 vuotta on yläkvartiili-ikä, joten 50 vuotta täyttäneitä oli 5 %. Vastaus: n. 5 %

20 4. Kysytty todennäköisyys voidaan laskea geometrisena todennäköisyytenä. Käytetään geometrisena mittana pituutta. Koko putken pituus on 3 m ja suotuisan osan pituus on 3 m 4 m = 8 m. Kysytty todennäköisyys on P(tukos ei ole varaston alla) = ( ,875 0, Todennäköisyys sille, että tukos ei ole varaston alla, on 0,88. Vastaus: 7 8 0,88

21 5. a) Tutkitaan vaihtoehdot I-VII yksi kerrallaan. Tapahtumassa I kuutosia voi olla enemmänkin, koska muista heitoista ei tiedetä. Ehto ei siis välttämättä täyty. Tapahtumassa II saadaan kuutosta, joten ehto ei täyty. Tapahtumassa III saadaan yksi kuutonen ja muilla kerroilla ei saada kuutosta, joten ehto täyttyy varmasti. Tapahtumassa IV kuutosia voi olla enemmän kuin yksi, joten ehto ei välttämättä täyty. Tapahtumassa V kuutosia ei välttämättä saada yhtään, joten ehto ei välttämättä täyty. Tapahtumassa VI ei saada kuutosia, joten ehto ei täyty. Tapahtumassa VII kuutosia saadaan kaksi, joten ehto ei täyty. Vastaus: III b) Tutkitaan tapahtumat I-VII yksi kerrallaan. Tapahtumassa I saadaan ensin kuutonen ja ehkä vielä lisää kuutosia, joten ehto täyttyy varmasti. Tapahtumassa II saadaan kuutosta, joten ehto täyttyy varmasti. Tapahtumassa III saadaan aluksi yksi kuutonen, joten ehto täyttyy varmasti. Tapahtumassa IV kuutosia saadaan vähintään yksi, joten ehto täyttyy varmasti. Tapahtumassa V kuutosia ei välttämättä saada yhtään, joten ehto ei välttämättä täyty. Tapahtumassa VI ei saada kuutosia, joten ehto ei täyty. Tapahtumassa VII kuutosia saadaan kaksi, joten ehto täyttyy varmasti. Vastaus: I, II, III, IV ja VII

22 6. a) Opiskelijoita oli yhteensä 0. Kuvan mukaan 3 opiskelijaa valitsi kaikkien aineiden syventäviä kursseja, joten kysytty todennäköisyys on P(opiskelee kaikkien aineiden syventäviä kursseja) (3 3 0, Satunnainen opiskelija opiskelee kaikkien aineiden syventäviä kursseja todennäköisyydellä 40 = 0,05. Vastaus: 40 = 0,05 b) Fysiikan opiskelijoita oli 5. Heistä 3 opiskeli kaikkien muidenkin aineiden syventäviä kursseja, joten kysytty todennäköisyys on P(fysiikkaa opiskeleva opiskelee kaikkien muidenkin aineiden syventäviä kursseja) 3 0,. 5 Fysiikkaa opiskeleva opiskelee myös kaikkien muiden aineiden syventäviä kursseja todennäköisyydellä 3 5 = 0,. Vastaus: 3 5 = 0, c) Kuvan mukaan matematiikan ja fysiikan syventäviä kursseja oli valinnut = 5 opiskelijaa, ja heistä 0 ei ollut valinnut biologiaa eikä kemiaa. Kysytty todennäköisyys on siis P(matematiikan ja fysiikan syventäviä kursseja opiskeleva ei opiskele (5 biologiaa eikä kemiaa) 0 0, Todennäköisyys sille, että matematiikan ja fysiikan syventäviä kursseja opiskeleva ei opiskele biologiaa eikä kemiaa, on 5 = 0,4. Vastaus: 5 = 0,4

23 7. Taulukoidaan tiedot. Sinisilmäisiä Ruskeasilmäisiä Yhteensä 6-vuotias 0 7-vuotias 4 8 Yhteensä a) Ryhmässä on 34 henkilöä, joista 4 on 7-vuotiaita sinisilmäisiä. Kysytty todennäköisyys on P(valittu henkilö on 7-vuotias sinisilmäinen) ( 4 0,7... 0, Ryhmästä umpimähkään valittu henkilö on 7-vuotias sinisilmäinen todennäköisyydellä 7 0,. Vastaus: 7 0, b) Ryhmässä oli 8 ruskeasilmäistä, joista 8 oli 7-vuotiaita. Kysytty todennäköisyys on P(valittu ruskeasilmäinen on 7-vuotias) ( 8 4 0, , Ryhmästä umpimähkään valittu ruskeasilmäinen on 7-vuotias todennäköisyydellä 4 9 0,44. Vastaus: 4 9 0,44

24 APUVÄLINEET SALLITTU 8. Parittomia numeroita ovat, 3, 5, 7 ja 9. Ensimmäinen numero voi olla mikä tahansa niistä, joten sille on 5 vaihtoehtoa. Koska mikään numero ei esiinny kuin kerran, niin toinen numero ei voi olla sama kuin ensimmäinen, joten toiselle numerolle on 4 vaihtoehtoa. Vastaavasti kolmannelle numerolle on 3 vaihtoehtoa ja neljännelle numerolle vaihtoehtoa. Tuloperiaatteen mukaan erilaisia tunnuslukuvaihtoehtoja on = 0. Jere joutuu arvaamaan 0:n eri tunnusluvun joukosta. Vastaus: 0:n eri tunnusluvun

25 9. a) Piirretään pylväskaavio sopivalla ohjelmalla. b) Määritetään keskiarvot ja keskihajonnat sopivalla ohjelmalla. Sademäärän keskiarvo on x 63 mm ja keskihajonta s 76,3 mm. Rypsi- ja rapsisadon keskiarvo on x 0 miljoonaa kilogrammaa ja keskihajonta s 3,5 miljoonaa kilogrammaa. Vastaus: sademäärä: x 63 mm, s 76,3 mm; sato: x 0 milj. kg, s 3,5 milj. kg

26 c) Sademäärän ja sadon välinen korrelaatiokerroin ja selitysaste ovat b- kohdan perusteella r 0,5 ja r 0,7. Korrelaatio on kohtalainen negatiivinen eli sademäärän kasvaessa sato vähenee. Sademäärä selittää noin 7 % rypsi- ja rapsisadon vaihtelusta. Vastaus: r 0,5; r 0,7. Korrelaatio on kohtalainen negatiivinen eli sademäärän kasvaessa sato vähenee. Sademäärä selittää noin 7 % satomäärän vaihtelusta. d) Sademäärän ja sadon riippuvuutta kuvaavan regressiosuoran yhtälö on b-kohdan perusteella y = 0,x + 36,49. Vastaus: y = 0,x + 36,49 e) Arvio rypsi- ja rapsisadosta saadaan sijoittamalla regressiosuoran yhtälöön sademäärän keskiarvo x = 63,5. Ohjelma antaa rypsi- ja rapsisadon suuruudeksi 0, milj. kg 0 milj. kg. Vastaus: 0 milj.kg

27 0. a) Lasketaan kuinka monella tavalla kuuden koria voidaan valita 0 0 heiton joukosta. 0, joten kysyttyjä sarjoja on 0. 6 Erilaisia 0 heiton sarjoja, joissa Jaajo saa tasan 6 koria, on 0. Vastaus: 0 sarjaa b) Todennäköisyys, että pallo menee koriin on 0,7, joten todennäköisyys, että pallo ei mene koriin on 0,7 = 0,3. Ensimmäinen menee koriin todennäköisyydellä 0,7, samoin toinen jne. Kertolaskusäännön perusteella P(6 ensimmäistä koriin ja loput 4 ohi) = 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,3 0,3 0,3 0,3 = 0,7 6 0,3 4 = 0,00095 = 0,095 % 0,095 % Todennäköisyys sille, että 0 heiton sarjassa 6 ensimmäistä heittoa menee koriin ja loput 4 ohi, on 0,095 %. Vastaus: 0,095 %. Kättelyssä muodostuu pari eli kahden henkilön joukko, joten kun juhlissa n Muodostetaan yhtälö ja on n vierasta, kättelyiden määrä on. ratkaistaan siitä n. n 76 Sopivalla ohjelmalla yhtälön ratkaisuksi saadaan n = 4. Vieraita oli siis 4. Vastaus: 4 vierasta

28 . a) Videossa https://vimeo.com/89698/ab57c803 näytetään, miten tehtävä voidaan ratkaista taulukkolaskentaohjelmalla. Vastaus: Mo = min ja Mo = 5 min, Md = min, x 0,5 min, s 5,3 min. b) Videossa https://vimeo.com/89698/ab57c803 näytetään, miten tehtävä voidaan ratkaista sopivalla ohjelmalla. Vastaus: Jonotusaika (min) f 0,5 5,5 5,5 0,5 3 0,5 5,5 6 5,5 0, Puhelin ei joudu korjattavaksi, jos kaikki 50 osaa pysyvät ehjinä. Todennäköisyys, että yksittäinen osa pysyy ehjänä on 00 % % = 99 %. Lasketaan todennäköisyys sille, että kaikki osat pysyvät ehjinä. P(puhelimen kaikki 50 osaa pysyvät ehjinä) = 0,99 50 = 0, 0, Todennäköisyys sille, että ainakin yksi osa rikkoontuu, on P(ainakin yksi osa rikkoutuu) = P(kaikki osat pysyvät ehjinä) = 0, = 0,778 0,78 = 78 %. Vastaus: Todennäköisyys, että ainakin osa rikkoutuu, on noin 78 %.

29 4. a) Lasketaan todennäköisyys sille, että toinen osapuoli on syntynyt tammikuussa ja toinen kesäkuussa. P(toinen tammikuussa ja toinen kesäkuussa) = P(. tammikuussa ja. kesäkuussa, tai. kesäkuussa ja. tammikuussa) = P(. tammikuussa) P(. kesäkuussa) + P(. kesäkuussa) P(. tammikuussa) 7 0, ,04 Toinen osapuoli on syntynyt tammikuussa ja toinen kesäkuussa todennäköisyydellä 0,04. Vastaus: 7 0,04 b) Jos molemmat ovat syntyneet samassa kuussa, voi ensimmäinen olla syntynyt missä kuussa tahansa, ja toisen pitää olla syntynyt samassa kuussa. P(molemmat samassa kuussa) = P(toinen samassa kuussa kuin ensimmäinen) 0, ,083 Molemmat ovat syntyneet samassa kuussa todennäköisyydellä 0,083. Vastaus: 0,083

30 c) Jos pari on syntynyt peräkkäisinä kuukausina, ensimmäinen voi olla syntynyt missä kuussa tahansa, ja toisen pitää olla syntynyt joko edellisenä tai seuraavana kuukautena. P(peräkkäisinä kuukausissa) = P(toinen edellisenä tai seuraavana kuin ensimmäinen) 6 0, ,7 Syntymäpäivät ovat peräkkäisinä kuukausina todennäköisyydellä 0,7. Vastaus: 6 0,7

31 HARJOITUSKOE H. a) Täydennetään taulukko. Tulos f sf f % sf % (5 5 5 % 5 % = 3 (4 8 5 % + 40 % = 65 % 40 % = 7 ( % + 0 % = 85 % 0 % = 9 ( 85 % + 0 % = 95 % 0 % = 0 5% 0 00 % Vastaus: Tulos f sf f % sf % % 5 % % 65 % % 85 % % 95 % % 00 % b) Alle 0 leukaa vetäneet kuuluvat kahteen ensimmäiseen luokkaan, joiden osuus nähdään luokan 5-9 suhteellisen summafrekvenssin arvosta 65 %. Vastaus: 65 % c) Ainakin 5 mutta alle 0 leukaa vetäneet kuuluvat toiseen, kolmanteen ja neljänteen luokkaan, joiden yhteenlasketut suhteelliset frekvenssit ovat 40 % + 0 % + 0 % = 70 %. Vastaus: 70 %

32 H. a) Elokuvia on yhteensä + 3 = 5. Ensimmäiselle elokuvalle on 5 vaihtoehtoa, toiselle 4 ja niin edelleen. Tuloperiaatteen mukaan järjestysten määrä on = 0. Ira voi katsoa elokuvat 0:ssä eri järjestyksessä. Vastaus: 0 järjestyksessä b) Jos komediat katsotaan ensin, ensimmäiselle elokuvalle on vaihtoehtoa ja toiselle. Kolmas elokuva on jännityselokuva, ja sille on 3 vaihtoehtoa. Neljännelle on ja viimeiselle vaihtoehto. Tuloperiaatteen mukaan järjestysten määrä on 3 =. Ira voi katsoa elokuvat :ssä eri järjestyksessä. Vastaus: järjestyksessä c) Ensimmäiselle elokuvalle on 5 vaihtoehtoa ja toiselle 4. Kahden elokuvan jonojen määrä on siis 5 4 = 0. Kaksi elokuvaa voivat kuitenkin olla kummassa tahansa järjestyksessä, joten kahden elokuvan jonojen määrässä on laskettu jokainen elokuvapari kahteen kertaan. Elokuvapareja on siis 0 0. Ira voi valita elokuvat 0:llä eri tavalla. Vastaus: 0 tavalla

33 H3. Järjestetään aineistot suuruusjärjestykseen. A 0, 0,,,,,,,, 3, 4 B,,,,, 4, 4, 4, 5, 6 C,,,,, 3, 4, 5 Aineiston A moodi on Mo =, joten aineisto A ja tunnusluku II kuuluvat yhteen. Aineiston B mediaani on lukujen ja 4 keskiarvo eli Siis aineisto B ja tunnusluku III kuuluvat yhteen. Md 4 3. Aineiston C keskiarvo on x ,5, 8 8 joten aineisto C ja tunnusluku I kuuluvat yhteen. Vastaus: A: II, B: III ja C: I (4

34 H4. a) Todennäköisyys, että ensimmäinen lapsi on poika, on, samoin todennäköisyys sille että toinen lapsi on poika ja todennäköisyys sille, että kolmas lapsi on poika. Kysytty todennäköisyys on kertolaskusäännön mukaan P kaikki kolme ovat poikia 3 3 0, Todennäköisyys sille, että kaikki lapset ovat poikia, on 0,5. 8 Vastaus: 0,5 8 b) Komplementtisäännön mukaan todennäköisyys sille, että perheessä on ainakin yksi tyttölapsi, on P(ainakin tyttö) = P(ei yhtään tyttöä) = P(kaikki kolme ovat poikia) ,875. Todennäköisyys sille, että perheessä on ainakin yksi tyttölapsi, on 7 0, Vastaus: 7 0,875 8

35 c) Perheessä on täsmälleen kaksi tyttölasta, jos tyttöjä ovat vain kaksi ensimmäistä, vain ensimmäinen ja kolmas tai vain toinen ja kolmas. Merkitään T = tyttö ja P = poika. Tällöin suotuisat tapahtumat ovat TTP, TPT JA PTT. Kysytty todennäköisyys on yhteenlaskusäännön ja kertolaskusäännön mukaan P(täsmälleen tyttöä) = P(TTP) + P(TPT) + P(PTT) = P(. on tyttö) P(. on tyttö) P(3. on poika) + P(. on tyttö) P(3. on tyttö) P(. on poika) + P(. on tyttö) P(3. on tyttö) P(. on poika) ,375. Todennäköisyys sille, että perheessä on täsmälleen kaksi tyttölasta, on 3 0, Vastaus: 3 0,375 8

36 H5. Lasketaan kunkin henkilön todennäköisyys saada lyhyt tikku. P(Ada saa lyhyen tikun) = 4 Elin saa lyhyen tikun, jos Ada vetää ensin jonkin kolmesta pitkästä tikusta ja sen jälkeen Elin vetää kolmesta jäljellä olevasta tikusta ainoan lyhyen. PElin saa lyhyen tikun PAda saa pitkän ja Elin lyhyen tikun PAda saa pitkän P Elin saa lyhyen Joona saa lyhyen tikun, jos Ada vetää ensin jonkin kolmesta pitkästä tikusta, ja sen jälkeen Elin kolmesta jäljellä olevasta tikusta jommankumman pitkän, ja sen jälkeen Joona vetää kahdesta jäljellä olevasta tikusta ainoan lyhyen. PJoona saa lyhyen tikun PAda ja Elin saavat pitkän ja Joona lyhyen tikun PAda saa pitkän PElin saa pitkänp Joona saa lyhyen

37 Kasper saa lyhyen tikun, jos Ada vetää ensin jonkin kolmesta pitkästä tikusta, ja sen jälkeen Elin kolmesta jäljellä olevasta tikusta jommankumman pitkän, ja sen jälkeen Joona vetää kahdesta jäljellä olevasta tikusta ainoan pitkän, ja sen jälkeen Kasper vetää jäljellä olevan tikun. PKasper saa lyhyen tikun Pkolme muuta saavat pitkän ja Kasper lyhyen PAda saa pitkänpelin saa pitkän PJoona saa pitkänpkasper saa lyhyen Vastaus: Kaikilla on yhtä suuri todennäköisyys.

38 H6. a) Kopioidaan luvut sopivaan ohjelmaan ja analysoidaan aineisto. Tuomarin A antamien arvosanojen keskihajonta on 7,48 7,4 ja tuomarin B antamien arvosanojen keskihajonta 6,57 6,6. Vastaus: A: s 7,4 ja B: s 6,6 b) Suoran yhtälö saadaan ohjelman avulla. Ohjelma antaa suoran yhtälöksi y = 0,6770 x +,546 ja korrelaatiokertoimeksi r = 0,90 0,90. Vastaus: y = 0,68x +,54; r 0,90 c) Määritetään tuomarin B luultavasti antama arvosana ohjelman avulla. Kun tuomari A antaa arvosanan 0, antaa tuomari B mallin mukaan arvosanan 8,35 8. Vastaus: arvosanan 8

39 H7. a) P(varusmies sairastuu) = 5 0, , = 0,07 % Satunnainen varusmies sairastuu aivokalvontulehdukseen todennäköisyydellä 0,07 %. Vastaus: 0,07 % b) P(muu kuin varusmies sairastuu) , Lasketaan, kuinka moninkertainen varusmiesten sairastumisriski on tähän verrattuna 0, , , Varusmiehen sairastumisriski on muuhun väestöön nähden 0,59 0-kertainen. Vastaus: n. 0-kertainen

40 H8. Kyseessä on geometrinen todennäköisyys, jossa mittana on tilavuus. Piste on lähempänä pallon pintaa kuin sen keskipistettä, jos piste ei ole pallon sisällä olevan samankeskisen pienemmän pallon sisällä. Merkitään pienemmän pallon sädettä kirjaimella a. Tällöin ison pallon säde on a. Koko pallon tilavuus on 4π a π a 4π 8a 3πa Sisällä olevan pienemmän pallon 3 tilavuus on 4π a. 3 Lasketaan suotuisa tilavuus eli ison ja pienen pallon tilavuuksien erotus a a a Kysytty todennäköisyys on P(piste on lähempänä pallon pintaa kuin keskipistettä) 3 8πa 3 3 3πr πr : 3πr πr πr ( ,875 0,88. Piste on lähempänä pallon pintaa kuin keskipistettä todennäköisyydellä 7 8 0,88. Vastaus: 7 8 0,88

Kertaustesti Perheessä on neljä lasta, joista valitaan arpomalla kaksi tiskaajaa. Millä todennäköisyydellä nuorin joutuu tiskaamaan?

Kertaustesti Perheessä on neljä lasta, joista valitaan arpomalla kaksi tiskaajaa. Millä todennäköisyydellä nuorin joutuu tiskaamaan? Kertaustesti 1 Nimi: 1. a) Noppaa heitetään kerran. Millä todennäköisyydellä saadaan silmäluku 2? b) Noppaa heitetään kaksi kertaa peräkkäin. Millä todennäköisyydellä molemmilla heitoilla saadaan silmäluku

Lisätiedot

Kertausosa. 1. a) Muodostetaan taulukon perusteella frekvenssijakaumat. b) Moodi on se muuttujan arvo, jonka frekvenssi on suurin. Mo = 5.

Kertausosa. 1. a) Muodostetaan taulukon perusteella frekvenssijakaumat. b) Moodi on se muuttujan arvo, jonka frekvenssi on suurin. Mo = 5. Kertausosa 1. a) Muodostetaan taulukon perusteella frekvenssijakaumat. Äänimäärä f f % 0 1 1 0,0169... 59 4 4 0,0677... 59 3 7 7 0,1186... 59 4 15 15 0,54... 59 5 18 18 0,3050... 59 6 1 1 0,033... 59 7

Lisätiedot

A-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.

A-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. MAA6 koe 26.9.2016 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja

Lisätiedot

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta Tuloperiaate Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta ja 1. vaiheessa valinta voidaan tehdä n 1 tavalla,. vaiheessa valinta voidaan tehdä n tavalla,

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 3 MAA Todennäköisyys ja tilastot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Todennäköisyys ja tilastot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset Todennäköisyyslaskenta I, kesä 207 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus, ratkaisuehdotukset. Kokeet ja Ω:n hahmottaminen. Mitä tarkoittaa todennäköisyys on? Olkoon satunnaiskokeena yhden nopan

Lisätiedot

Kertausosa. 1. a) Lenkkareiden merkki on laatueroasteikollinen muuttuja. Montako millimetriä on tällöin satanut?

Kertausosa. 1. a) Lenkkareiden merkki on laatueroasteikollinen muuttuja. Montako millimetriä on tällöin satanut? V πr h π 7 0,...(cm,0...(l) Montako millimetriä on tällöin satanut? V,0...l,7...(mm) 8 l 8 l Täytyy sataa vähintään,7 mm, että astia täyttyisi. Lasketaan todennäköisyys, että sataa vähintään,7 mm.,7...

Lisätiedot

4 Kertaus: Tilastot ja todenna ko isyys

4 Kertaus: Tilastot ja todenna ko isyys 4 Kertaus: Tilastot ja todenna ko isyys 4.1 Kurssin keskeiset asiat 1. Viimeisen muuttujan arvon 4 summafrekvenssi on 25, joten havaintoyksiköiden lukumäärä on 25. Lasketaan puuttuvat frekvenssit taulukkoon:

Lisätiedot

A-Osio. Ei saa käyttää laskinta, maksimissaan tunti aikaa. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat:

A-Osio. Ei saa käyttää laskinta, maksimissaan tunti aikaa. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat: MAA6 Loppukoe 26..203 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! Lue ohjeet huolella! A-Osio. Ei saa

Lisätiedot

LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Arvosanat

LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Arvosanat 3 Tilastotutkimuksen analysointi ja raportointi 194. Arvosanat taulukkona: Arvosana f f % Keskuskulma (astetta) 1 4,8 % 17 6 3,8 % 86 7 3,8 % 86 8 8 38,1 % 137 9 9, % 34 Sektoridiagrammina: 37 % 10 % Arvosanat

Lisätiedot

ikä (vuosia) on jo muuttanut 7 % 46 % 87 % 96 % 98 % 100 %

ikä (vuosia) on jo muuttanut 7 % 46 % 87 % 96 % 98 % 100 % Testaa taitosi 1 1. Noppaa heitetään kahdesti. Merkitse kaikki alkeistapaukset koordinaatistoon. a) Millä todennäköisyydellä ainakin toinen silmäluvuista on 3? b) Mikä on a-kohdan tapahtuman vastatapahtuma?

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo.

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Kertaus Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Luokiteltu aineisto. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Hajontaluvut luokittelemattomalle

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin!

Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! MAA6 Kurssikoe 1.11.14 Jussi Tyni ja Juha Käkilehto Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A-OSIO: Laske kaikki

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta - tehtävät

Todennäköisyyslaskenta - tehtävät Todennäköisyyslaskenta - tehtävät Todennäköisyyslaskentaa käsitellään Pitkän matematiikan kertauskirjan sivuilla 253 276. Klassinen todennäköisyys Kombinatoriikka Binomitodennäköisyys Satunnaismuuttuja,

Lisätiedot

Tilastolliset toiminnot

Tilastolliset toiminnot -59- Tilastolliset toiminnot 6.1 Aineiston esittäminen graafisesti Tilastollisen aineiston tallentamisvälineiksi TI-84 Plus tarjoaa erityiset listamuuttujat L1,, L6, jotka löytyvät 2nd -toimintoina vastaavilta

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

1. Tässä tehtävässä päätellään kaksilapsisen perheen lapsiin liittyviä todennäköisyyksiä.

1. Tässä tehtävässä päätellään kaksilapsisen perheen lapsiin liittyviä todennäköisyyksiä. TODENNÄKÖISYYS Aihepiirejä: Yhden ja kahden tapahtuman tuloksien käsittely ja taulukointi, ovikoodit, joukkueen valinta, bussin odotus, pelejä, urheilijoiden testaus kielletyn piristeen käytöstä, linnun

Lisätiedot

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet VAASAN YLIOPISTO/AVOIN YLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia 1 KURSSIKYSELYAINEISTO: 1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka

Lisätiedot

MB5 YHTEENVETO. Todennäköisyyslaskenta

MB5 YHTEENVETO. Todennäköisyyslaskenta MB5 YHTEENVETO Todennäköisyyslaskenta Klassinen todennäköisyys Suotuisten tapahtumien lukumäärä Kaikkien mahdollisten tulosten lukumäärä k n Todennäköisyys = P (A) = suotuisat kaikki k n Todennäköisyys

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

c) A = pariton, B = ainakin 4. Nyt = silmäluku on5 Koska esim. P( P(A) P(B) =, eivät tapahtumat A ja B ole riippumattomia.

c) A = pariton, B = ainakin 4. Nyt = silmäluku on5 Koska esim. P( P(A) P(B) =, eivät tapahtumat A ja B ole riippumattomia. Tehtävien ratkaisuja 4. Palloja yhteensä 60 kpl. a) P(molemmat vihreitä) = P((1. pallo vihreä) ja (. pallo vihreä)) = P(1. pallo vihreä) P(. pallo vihreä 1. pallo vihreä) = 0.05 (yleinen kertolaskusääntö)

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Kertaustehtäviä Pakassa on jäljellä 50 korttia, joista 11 on herttoja Alkeistapauksia ovat silmälukuparit, joita on 36 kappaletta.

Kertaustehtäviä Pakassa on jäljellä 50 korttia, joista 11 on herttoja Alkeistapauksia ovat silmälukuparit, joita on 36 kappaletta. 0. Pakassa on jäljellä 50 korttia, joista on herttoja. P(kolmas kortti hertta) 50 0,22 02. Alkeistapauksia ovat silmälukuparit, joita on kappaletta. a) Kuvion perusteella pistesumma 4 saadaan tavalla.

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

8.1. Tuloperiaate. Antti (miettien):

8.1. Tuloperiaate. Antti (miettien): 8.1. Tuloperiaate Katseltaessa klassisen todennäköisyyden määritelmää selviää välittömästi, että sen soveltamiseksi on kyettävä määräämään erilaisten joukkojen alkioiden lukumääriä. Jo todettiin, ettei

Lisätiedot

KORJAUSMATIIKKA 3, TEHTÄVÄT

KORJAUSMATIIKKA 3, TEHTÄVÄT 1 SISÄLTÖ KORJAUSMATIIKKA, TEHTÄVÄT 1) Potenssi 2) Juuri ) Polynomit ) Ensimmäisen asteen yleinen yhtälön ratkaisu 5) Yhtälöt ongelmaratkaisuissa ja toisen asteen yhtälön ratkaisukaava TEHTÄVÄT: Käythän

Lisätiedot

Todennäköisyys (englanniksi probability)

Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyyslaskenta sai alkunsa 1600-luvulla uhkapeleistä Ranskassa (Pascal, Fermat). Nykyisin todennäköisyyslaskentaa käytetään hyväksi mm. vakuutustoiminnassa,

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma 9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma Kahta joukkoa sanotaan erillisiksi, jos niillä ei ole yhtään yhteistä alkiota. Jos pysytellään edelleen korttipakassa, niin voidaan ilman muuta sanoa, että

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa. Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Pisteytyssuositus. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät

Pisteytyssuositus. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät Lyhyen matematiikan pisteitysohjeet kevät 0 ver..0 Pisteytyssuositus Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 0..0 Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

3.5 Todennäköisyyden laskumenetelmiä

3.5 Todennäköisyyden laskumenetelmiä MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 3.5 Todennäköisyyden laskumenetelmiä Aloitetaan esimerkillä, joka on sitä sarjaa, mihin ei ole mitään muuta yleispätevää ohjetta kuin että on edettävä järjestelmällisesti

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Laske 20 12 11 21. Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut a) 31 b) 0 c) 9 d) 31 Ratkaisu. Suoralla laskulla 20 12 11 21 = 240 231 = 9. (2) Kahden peräkkäisen

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Kirjoita ohjelma jossa luetaan kokonaislukuja taulukkoon (saat itse päättää taulun koon, kunhan koko on vähintään 10)

Kirjoita ohjelma jossa luetaan kokonaislukuja taulukkoon (saat itse päättää taulun koon, kunhan koko on vähintään 10) Tehtävä 40. Kirjoita ohjelma, jossa luetaan 20 lukua, joiden arvot ovat välillä 10 100. Kun taulukko on täytetty, ohjelma tulostaa vain ne taulukon arvot, jotka esiintyvät taulukossa vain kerran. Tehtävä

Lisätiedot

Esimerkki 1: auringonkukan kasvun kuvailu

Esimerkki 1: auringonkukan kasvun kuvailu GeoGebran LASKENTATAULUKKO Esimerkki 1: auringonkukan kasvun kuvailu Auringonkukka (Helianthus annuus) on yksivuotinen kasvi, jonka varren pituus voi aurinkoisina kesinä hyvissä kasvuolosuhteissa Suomessakin

Lisätiedot

YLEISKUVA - Kysymykset

YLEISKUVA - Kysymykset INSIGHT Käyttöopas YLEISKUVA - Kysymykset 1. Insight - analysointityökalun käytön mahdollistamiseksi täytyy kyselyn raportti avata Beta - raportointityökalulla 1. Klikkaa Insight välilehteä raportilla

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Järvi 1 Valkjärvi. Järvi 2 Sysijärvi

Järvi 1 Valkjärvi. Järvi 2 Sysijärvi Tilastotiedettä Tilastotieteessä kerätään tietoja yksittäisistä asioista, ominaisuuksista tai tapahtumista. Näin saatua tietoa käsitellään tilastotieteen menetelmin ja saatuja tuloksia voidaan käyttää

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) ratkaisut sivu 1 / 6

Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) ratkaisut sivu 1 / 6 Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) ratkaisut sivu 1 / 6 3 pisteen tehtävät 1) Mikä on pienin? A) 2 + 0 + 0 + 8 B) 200 : 8 C) 2 0 0 8 D) 200 8 E) 8 + 0 + 0 2 2) Millä voidaan korvata, jotta seuraava yhtälö

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

10, 9, 5, 6, 7, 4, 7, 9, 8, 7, 6, 7, 8, 6

10, 9, 5, 6, 7, 4, 7, 9, 8, 7, 6, 7, 8, 6 MAA6.1 Loppukoe 23.11.2012 Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Matikan

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 13. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 13. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Klassinen todennäköisyys 2 Kombinatoriikkaa Kombinatoriikan perusongelmat Permutaatiot

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Til.yks. x y z

Til.yks. x y z Tehtävien ratkaisuja. a) Tilastoyksiköitä ovat työntekijät: Vatanen, Virtanen, Virtanen ja Voutilainen; muuttujina: ikä, asema, palkka, lasten lkm (ja nimikin voidaan tulkita muuttujaksi, jos niin halutaan)

Lisätiedot

Kenguru 2016 Ecolier (4. ja 5. luokka)

Kenguru 2016 Ecolier (4. ja 5. luokka) sivu 1 / 13 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

8.2. Permutaatiot. Esim. 1 Kirjaimet K, L ja M asetetaan jonoon. Kuinka monta erilaista järjes-tettyä jonoa näin saadaan?

8.2. Permutaatiot. Esim. 1 Kirjaimet K, L ja M asetetaan jonoon. Kuinka monta erilaista järjes-tettyä jonoa näin saadaan? 8.2. Permutaatiot Esim. 1 irjaimet, ja asetetaan jonoon. uinka monta erilaista järjes-tettyä jonoa näin saadaan? Voidaan kuvitella vaikka niin, että hyllyllä on vierekkäin kolme laatikkoa (tai raiteilla

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

vkp 4*(1+0)/(32-3)-1= vkp 2*(1+0)/(32-3)=

vkp 4*(1+0)/(32-3)-1= vkp 2*(1+0)/(32-3)= JÄRJESTYSKORRELAATIO 1. Hannu ja Kerttu pitävät karamelleista, mutta heidän mieltymyksensä poikkeavat hieman. Hannun mielestä punaiset karkit ovat parhaita ja keltaiset miellyttävät häntä vähiten. Kerttu

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Johdatus Ammattikorkeakoulun matematiikkaan ja fysiikkaan

Johdatus Ammattikorkeakoulun matematiikkaan ja fysiikkaan Johdatus Ammattikorkeakoulun matematiikkaan ja fysiikkaan ammattiopiston viimeisenä keväänä vahvistaa AMK:uun pyrkivien taitoja pääsykoetta varten saada jo etukäteen 5 op:n suoritus valinnaisiin Tulos:

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 26..208 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

TILASTOT JA TODENNÄKÖISYYS

TILASTOT JA TODENNÄKÖISYYS TILASTOT JA TODENNÄKÖISYYS Perusopetuksen opetussuunnitelmien perusteissa 2004 on vuosiluokille 6 9 määritelty tietyt tavoitteet koskien tilastoja ja todennäköisyyttä. Seuraavat keskeiset sisällöt tulevat

Lisätiedot

OTATKO RISKIN? peli. Heitä noppaa 3 kertaa. Tavoitteena on saada

OTATKO RISKIN? peli. Heitä noppaa 3 kertaa. Tavoitteena on saada OTATKO RISKIN? peli 1. Heitä noppaa 20 kertaa. Tavoitteena on saada vähintään 10 kertaa silmäluku 4, 5 tai 6. Jos onnistut, saat 300 pistettä. Jos et onnistu, menetät 2. Heitä noppaa 10 kertaa. Tavoitteena

Lisätiedot

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =? Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Todennäköisyys ja tilastot Tehtävien ratkaisut Kertaustehtävät. Kertaustehtävien ratkaisut

Todennäköisyys ja tilastot Tehtävien ratkaisut Kertaustehtävät. Kertaustehtävien ratkaisut Ratkaisuista Nämä Todennäköisyys ja tilastot -kurssin kertaustehtävien ja -sarjojen ratkaisut perustuvat oppikirjan tietoihin ja menetelmiin. Kustakin tehtävästä on yleensä vain yksi ratkaisu, mikä ei

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Ecolier, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet VAASAN YLIOPISTO/KESÄYLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia A KURSSIKYSELYAINEISTO: 1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot