c) A = pariton, B = ainakin 4. Nyt = silmäluku on5 Koska esim. P( P(A) P(B) =, eivät tapahtumat A ja B ole riippumattomia.

Transkriptio

1 Tehtävien ratkaisuja 4. Palloja yhteensä 60 kpl. a) P(molemmat vihreitä) = P((1. pallo vihreä) ja (. pallo vihreä)) = P(1. pallo vihreä) P(. pallo vihreä 1. pallo vihreä) = 0.05 (yleinen kertolaskusääntö) b) P(nostetut pallot ovat samanvärisiä) = P(molemmat vih tai molemmat sin tai molemmat pun) = P(molemmat vih) + P(molemmat sin) + P(molemmat pun) = (yleinen kertolaskusääntö ja erillisten tapahtumien yhteenlaskusääntö) 5. silmäluku todennäköisyys a) P( silmäluku on pariton) = P(silmäluku on 1 tai 3 tai 5) = P(silmäluku on 1) + P(3) + P(5) = = + + = 0.48 (erillisten tapahtumien yhteenlaskusääntö) b) P(silmäluku on ainakin 4) = P(silmäluku on 4 tai 5 tai 6) = + + = (erillisten tapahtumien yhteenlaskusääntö) c) A = pariton, B = ainakin 4. Ny silmäluku on5 Koska esim. P( P(A) P(B) =, eivät tapahtumat A ja B ole riippumattomia. 6. a) P(molemmat elävät 60-vuotiaina) = P(mies elää) P(nainen elää) = b) P(vain nainen elää 60-vuotiaana) = P(mies ei elä) P(nainen elää) = (1-0.71) 0.8 = c) P(molemmat ovat kuolleet ennen 60-vuotispäiväänsä) = P(mies ei elä) P(nainen ei elä) = (1 0.71) (1-0.8) = P(p) = 0., P(n) = 0.33 ja P(r) = 0.45 P(i p) = 0.75, P(i n) = 0.80 ja P(i r) = 0.60 a) P(i) = P(p) P(i p) + P(n) P(i n) + P(r) P(i r) = = 0.699, eli 70% (kokonaistodennäköisyys) b) P(r i) = = = 0.386, eli 39 % (Bayesin kaava) 8. x = oikeille omistajille tulleiden hattujen lukumäärä Alkeistapauksia 3! = 6 kpl: KAVERUKSET A B C x i Hatut a b c 3 a c b 1 b a c 1 b c a 0 c a b 0 c b a 1

2 Jakauma x i p i Odotusarvo Ex = Varianssi Var x = Keskihajonta Dx = = 1 9. Kyllä, koska kaikki todennäköisyydet ovat ainakin 0 ja todennäköisyyksien summa on x = kolmosten lukumäärä 5:ssä heitossa ~ Bin(5, 0.5) n = 5, koska 5 heittoa ja p = 0.5, koska todennäköisyys saada yhdellä heitolla kolmonen on 1/4 1) P(yksi kolmonen) = P(x = 1) = ( ) ) P(ainakin kerran kolmonen) = 1 - P(ei kolmosia) = 1 - P(x = 0) = 1- ( ) = x = ottelussa tehtävien maalien lkm~ Poi (5), koska tehtyjen maalien keskiarvo (tai 5.3) P(tulos on 0-0) = P(ei tehdä yhtään maalia) = P(x = 0) = (e = Neperin luku, jonka likiarvo on parilla desimaalilla.7) 3. a) P(z < -0.95) = (-0.95) = 1- (0.95) = = b) P( 0.1 < z < 0.75) = (0.75) - (0.1) = = c) P(z > 0.8) = 1 P(z 0.8) = = x = ÄO ~ N(100, 16 ) a)p(x 10 ) =P ( ) P(z 1.5) = (1.5 ) = b) Olk. A=Neropattikerhon vähimmäisäo P(x A) = 0.0 ja siten P(x < A) = 0.98 ja vielä P( ) = 0.98, joten ( )= 0.98 A 100 Taulukosta (.05) 0.98, joten. 05, josta A = x = proteiinimäärä (100 grammassa tuotetta) ~ N(9.04,.99 ) a) P(x 11) = 1 P(x < 11) = 1 - ( ) = 1 - ( ) = = b) Taulukosta (0.67) 0.75, joten 0.67 on N(0, 1) jakauman yläkvartiili ja proteiinimäärän yläkvartiilille: = 0.67, josta = 11.04

3 35. x = tänä keväänä toimiston kautta töitä saaneiden lukumäärä ~ Bin(150, 0.70) likimain ~ N(150, ) = N(105, 31.5) P(x ) = P(x 100) = 1- P(x < 100) = 1 P( ) = 1 P( z < -0.89) = 1 - ( ) = 1 [1 - ( ) ] = n=15, x = 7.4, = 0.1; populaatiovarianssi tunnettu = 0.05, z 0.05 = 1.96, koska (1.96) = = %:n luottamusväli koko populaation keskiarvolle on ( , ) = (7.35, 7.45) n = 3, minun satunnaisotoksessani mukana henkilöt: 4, 7 ja. Tästä otoksesta laskettu x = ja s = 8.038; populaatiovarianssi tuntematon = 0.05, t 0.05 (3-1) = %:n luottamusväli tunnit-muuttujan populaatiokeskiarvolle on ( , ) = (1, 151) n = ; P = 100 = 68.4 % = 0.05, z 0.05 = %:n luottamusväli tuuli- ja vesivoimaa kannattavien %-osuudelle ( , ) = (47.5, 89.3) 39. n = 5, x = ja s = 6.57; populaatiovarianssi tuntematon = 0.05, t 0.05 (5-1) =.000 Hypoteesit: H 0 : µ = 16 H 1 : µ 16 Kriittinen alue C = { t t >.000} Testisuureen arvo = -.4 Testisuureen arvo kuuluu kriittiselle alueelle, joten nollahypoteesi hylätään. Otos ei anna tukea oletukselle vaan näyttää siltä, että keskimääräinen opintoviikkomäärä jää populaatiossakin alle 16/lukukausi. 40. Keskiarvotesti, kaksi riippumatonta otosta; populaatiovarianssit ja tunnetaan n 1 = 8 n = 8 = 10.5 = 9. 1 = 3.5 = 3.0

4 Hypoteesit: H 0 : = H 1 : = 0.05, z 0.05 = 1.96 ja kriittinen alue C ={ z z > 1.96} z = = 0.80 Poikien ja tyttöjen testipistekeskiarvoilla ei ole eroa. 41. n 1 = 1 n = 7 = = s 1 = s = a) Varianssien yhtäsuuruustesti: Hypoteesit: H 0 : = H 1 : = 0.05, F 0.05 (7-1, 1-1) = 3.88; C ={ F F > 3.88} Populaatioiden variansseja voidaan siis pitää yhtäsuurina b) Keskiarvotesti, kaksi riippumatonta otosta; populaatiovariansseja ja ei tunneta, mutta oletetaan ne a)- kohdan perusteella yhtäsuuriksi Hypoteesit: H 0 : = H 1 : = 0.05, t 0.05 (1+7-) =.110 ja kriittinen alue C ={ t t >.110} Määritetään populaatioiden yhteisen varianssin estimaatti: s (1 1) (7 1) = = = 107.8, ja s = Ikäkeskiarvoilla ei ole eroa. 4. Kaksi riippumatonta otosta, prosenttilukutesti Oikea lääke Plasebo n 1 = 93 n = 94 P 1 = 5 P = 40

5 Hypoteesit: H 0 : 1 = H 1 : 1 > = 0.01, z 0.01 =.33 ja kriittinen alue C ={ z z >.33} P = = z = Uusi lääke ei ole plaseboa parempi riippumattomuustesti Hypoteesit: H 0 : laatu ja hinta ovat riippumattomia H 1 : laatu ja hinta eivät ole riippumattomia = 0.05; 0.05 ((3-1). (-1)) = 5.99 ja kriittinen alue C ={ > 5.99} Tehtävän 17 tulos: = Testisuureen arvo on kriittisellä alueella, joten nollahypoteesi hylätään eli muuttujien välillä on tilastollista riippuvuutta siten, että kun laatu on huono, on tavara hinnaltaan usein edullinen. 46. Korrelaatiotesti r = 0.86 n = 10 Hypoteesit: H 0 : = 0 H 1 : 0 Valit. = 0.05; t 0.05 (10-) =.306 ja kriittinen alue C = {t t >.306} = 4.14 Testisuureen arvo on kriittisellä alueella, joten nollahypoteesi hylätään, joten populaatiokorrelaatiokerrointa ei voi olettaa nollaksi.