Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin!

Transkriptio

1 MAA6 Kurssikoe Jussi Tyni ja Juha Käkilehto Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A-OSIO: Laske kaikki tehtävät. Ei saa käyttää laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla esillä. A1. a) Kahta noppaa heitetään. Millä todennäköisyydellä silmälukujen summa on vähintään 9? (p) b) Satunnaismuuttuja Z noudattaa normaalijakaumaa N~ (0,1). Laske todennäköisyydet b1) (Z 1,35) b) P( 0,70 Z 0,45) (p) A. Tässä tehtävässä vastaukseksi riittää tarkka murtolukuvastaus: Laatikossa on 8 sukkaa, joista 5 valkoista ja 3 harmaata. Kolmessa valkoisessa ja yhdessä harmaassa sukassa on reikä. Nostetaan laatikosta sokkona kaksi sukkaa. Millä todennäköisyydellä a) Molemmat sukat ovat ehjät? b) Molemmat sukat ovat valkoiset? c) Molemmat sukat ovat harmaat ja ehjät? d) Molemmat sukat ovat harmaat tai molemmat ovat rikkinäiset? 4p A3. Tässä tehtävässä vastaukseksi riittää tarkka murtolukuvastaus: a) Erään bussilinjan bussi saapuu pysäkille aina tasatunnein ja aina minuuttia yli tasan. Pekka tulee pysäkille satunnaiseen aikaan. Kuinka suurella todennäköisyydellä hän selviytyy lyhyemmällä kuin 7 minuutin odotuksella? b) Erään matematiikan ryhmän arvosanat on esitetty seuraavassa taulukossa: Arvosana Frekvenssi Yhteensä - Määritä arvosanojen moodi - Määritä arvosanojen mediaani - Määritä arvosanojen keskiarvo 4p

2 B-OSIO: Valitse seuraavasta kuudesta tehtävästä neljä, joihin vastaat. Saa käyttää laskinta ja MAOL:ia! B4. Renkaiden valmistaja haluaa testata renkaiden kulutuskestävyyttä. Renkaiden annettiin kulua loppuun jolloin mitattiin kunkin renkaan kestämä matka. Tuloksena saatiin oheiset lukemat ( yksikkönä 1000 km ) 43,9 4,9 47, 45,6 47,3 51,6 44,7 47,9 48,8 50,1 45,7 4,8 49,6 45,9 48,0 49,9 49,0 47,9 48,1 51,1 a) Luokittele aineisto neljään tasaväliseen luokkaan siten, että ensimmäinen luokka on 40,1-43,0. b) Laske luokkakeskukset ja niiden avulla kulutuskestävyyden keskiarvo ja keskihajonta 3p c) Havainnollista aineistoa sopivalla diagrammilla p B5. a) Rengastetuista kanahaukoista tavataan myöhemmin 15 %. Millä todennäköisyydellä rengastetusta kanahaukan poikasesta tavataan myöhemmin ainakin kolme? b) Kolikko heitetään ämpäriin. Millä todennäköisyydellä ämpärin pohjan ja kolikon keskipisteiden etäisyys on pienempi kuin 10 cm, kun ämpärin pohjan halkaisija on 40 cm ja kolikon halkaisija 4 mm? B6 a) Alokkaat Aaltonen, Berg ja Cajanus saavat alikersantin mukaan aseen purettua tavoiteajassa todennäköisyyksin 88 %, 77 % ja 66 %. Laske todennäköisyys, a1) että tasan yksi heistä saa purettua aseen tavoiteajassa ja a) vähintään kaksi saa purettua aseen tavoiteajassa, kun jokaisella on yksi suorituskerta. b) Soveltuvuuskokeen keskiarvo oli 16, pistettä ja keskihajonta 4,0 pistettä. Määritä sellainen pisteraja, että saadaan selville parhaiden hakijoiden 7 % kärkiryhmä, kun tulosten oletetaan noudattavan normaalijakaumaa. B7 a) Ykkösiä on 7 ja kakkosia on 3. Ykkösiä lisätään yhtä monta kuin kakkosia. vastaa perustellen esim epäyhtälön avulla, montako lukua on lisättävä, jotta keskiarvo ylittää luvun 1,49 b) Korttipakassa on neljää maata (hertta, ruutu, pata ja risti), kutakin 13 kpl. Millä todennäköisyydellä kaikki kolme käteen nostettavaa korttia ovat samaa maata? c) Kenopömpelissä on 70 palloa numeroituna yhdestä 70: een. Pömpelistä valitaan satunnaisesti 10 palloa. Millä todennäköisyydellä Pekka arvasi tasan kolmen pallon numerot oikein? B8. Koneen valmistamista tuotteista 8 % on lievästi väriviallisia ja 7 % pintaviallisia. Viat esiintyvät toisistaan riippumatta. Virheettömät tuotteet myydään A-laatuna. Tuotteet, joissa on vain toinen vika, myydään B- laatuna. Tuotteet joissa on molemmat viat, särjetään. A-laatuinen tuote voidaan myydä 500 euron voitolla ja B-laatuinen tuote 100 euron voitolla. Särjetystä tuotteesta tulee euroa tappiota. Kuinka suuri on yhdestä tuotteesta saatavan voiton odotusarvo? B9. a) Millä vakion k tiheysfunktioksi. arvolla funktio 1 kx, kun 0 x f ( x) 0, kun x 0 tai x sopii jatkuvan satunnaismuuttujan X t 1 0,95, kun t 0 b) Lampun eliniän kertymäfunktio F( t), missä aika t on ilmaistu viikkoina. Laske 0, kun t 0 todennäköisyys, että lampun elinikä on neljästä kuuteen viikkoon.

3 Ratkaisut: A1 a) Mahdolliset kahden nopan silmäluvut: Vastaavasti summat: P(summa on vähintään 9) =10/36=5/18 b) b1: P(Z 1,35) 0,9115 => 91% b: P( 0,70 Z 0,45) = Φ(0,45) (1 Φ(0,7)) = 0,6736 (1 0,758) = 0,6736 0,4 = 0,4316 0,43 A a) P(Ehjä ja Ehjä) = = = 3 14 b) P(Valkoinen ja Valkoinen) = = = 5 14 c) P(Harmaa ehjä JA harmaa ehjä) = = 56 = 1 8 d) P(H ja H tai Rikki ja Rikki) = = = = 9 8 A3 a) Tunnin jakson tarkastelu: Yhden tunnin aikana on 60 minuuttia, joiden aikana Pekka voi kaiken kaikkiaan saapua pysäkille. Mallikuvasta nähdään, että on x 7 = 14 min suotuisia aika-alueita, joiden aikana Pekka selviytyy alle 7 min odotuksella. Eli P(Pekka odottaa alle 7 min.)=14/60=7/30 b) Moodi on tyyppiarvo, eli mitä esiintyy eniten. => 7. - Mediaani on keskiluku, eli järjestetään arvosanat suuruusjärjestyksessä jonoon ja valitaan keskimmäinen => 7 - Keskiarvo = = = 140 = 7

4 B4 a) f luokkakeskus 40,1-43,0 41,55 43,1-46,0 5 44,55 46,1-49,0 8 47,55 49,1-5,0 5 50,55 b) Luokkakeskus=(alaraja+yläraja)/ Keskiarvo: x = 41, , , ,55 = 46,95 c) Keskihajonta: s = (41,55 46,95) +5 (44,55 46,95) +8 (47,55 46,95) +5 (50,55 46,95),78, Renkaiden kulutuskestävyys 40,1-43,0 43,1-46,0 46,1-49,0 49,1-5,0 = = B5 a) Toistokoe: P(tavataan myöhemmin ainakin kolme)=1-p(tavataan 0 tai 1 tai ) = 1 (P(0) + P(1) + P()) = 1 (( 0 ) 0,150 0,85 + ( 1 ) 0,151 0, ( ) 0,15 0,85 18 ) = 0,8444 0,8 => 8% todennäköisyydellä tavataan ainakin kolme. b) Mallikuva: Kolikon putoamispaikkaa mallinnetaan sen keskipisteen kautta. Mallikuvasta havaitaan, että kolikon

5 keskipisteen pitää pudota ämpärin keskipisteen ympärille muodostuvan 10 cm säteeltään olevan ympyrän sisään. Koko ämpärin pohjan pinta-ala: A ämpäri = π = 400π ja Kolikon putoamisalueen pinta-ala: A kolikko = π10 = 100π Siis P(keskipisteiden etäisyys on alle 10cm)= 100π = 1 => 5% 400π 4 B6 a) a1:p(tasan yksi saa purettua tavoiteajassa) = P(A ja B ja C tai A ja B ja C tai A ja B ja C ) = 0,88 0,3 0,34 + 0,1 0,77 0,34 + 0,1 0,3 0,66 0,118 => 11,8% a: P(ainakin kaksi saa purettua tavoiteajassa)=1-p(0 tai 1 saa purettua tavoiteajassa) = 1 (0,1 0,3 0,34 + 0,118) 0,87 => 87, % b) 1 φ(z) = 0,07 1 0,07 = φ(z) 0,93 = φ(z) sopiva z-arvo taulukosta => z=1,475 Normeeraus: z = X x s 1,475 = X 16, 4 X =,1 pistettä B7 a) 7+ 3+x+ x 10+x > 1,49 laskimesta solverilla x < 5 tai x > 95 => negatiivinen vastaus ei tietenkään käy, eli x:n pitää olla 96 tai suurempi, silloin keskiarvo ylittää 1,49. Eli lisätään 96 ykköstä ja 96 kakkosta, yhteensä 19 lukua. b) P(kolme samaa maata) = P(HHH tai RiRiRi tai RuRuRu tai PPP ) = = näköisyys on ihan sama) c) Suotuisat: ( 10 3 ) (60 7 ) 0,05 => 5,% (kaikkien kolme samaa maata kombinaatioiden tod. Kaikki mahdolliset kymmenen pallon valinnat: ( ) P(tasan kolme oikeaa)= (10 3 ) (60 7 ) ( ) = 0,117 => 11,7% B8 P(väriviallinen) = P(C) = 0,08 => P(C ) = 0,9 P(pintaviallinen) = P(D) = 0,07 => P(D ) = 0,93 P(A laatua) = P(C ja D ) = 0,9 0,93 = 0,8556 P(B laatua) = P(C ja D tai C ja D ) = 0,9 0,07 + 0,08 0,93 = 0,1388 P(Särjetään)= P(C ja D) = 0,0056 Jakauma: Voitto: p A-laatu=500 0,8556 B-laatu=100 0,1388 särjetään= ,0056 E(voitto) = 500 0, , ,0056 = 385,68

6 B9 a) On tiheysfunktio, kun käyrän alle jäävä pinta-ala = 1 y=kx+1 on suoran yhtälä. Voi olla nouseva tai laskeva. Pinta-ala on puolisuunnikas ja A=1, siis a + b A = h = 1 Nyt a = 1 ja b = f() = k + 1 sekä h= 1 = 1+k+1 k + = 1 k = 1, oli laskeva suora b) Kertymäfunktio ilmoittaa suoraan kertyneen pinta-alan, eli P(4 t 6) = F(6) F(4) = 1 0,95 6 (1 0,95 4 ) = 0,0794