LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Arvosanat

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Arvosanat"

Transkriptio

1 3 Tilastotutkimuksen analysointi ja raportointi 194. Arvosanat taulukkona: Arvosana f f % Keskuskulma (astetta) 1 4,8 % ,8 % ,8 % ,1 % , % 34 Sektoridiagrammina: 37 % 10 % Arvosanat % 4 % 4 % Kuvaajasta vuoden 1989 vähenemisprosentti on noin 1,3 % ja lukumääräinen väheneminen on noin 81 asukasta. Merkitään asukasmäärää vuoden 1989 alussa muuttujalla x. Saadaan yhtälö 0,013 x 81 : 0,013 x 630, Vuoden 1989 alussa asukasmäärä on ollut 631 ja vuoden lopussa asukasmäärä on ollut = 610. Taulukoidaan vuosiarvot: Vuosi Asukasmäärä vuoden lopussa Muutos Hahmotellaan pylväsdiagrammi. KERTOMA! MAB 8

2 Asukasmäärä vuoden lopussa Ratkaisu riippuu graafin lukutarkkuudesta. Graafi antaa informaatiota ennen kaikkea muutoksesta ja tarkan asukasmäärän laskeminen on mahdotonta. Likimääräisen tuloksen tietojen perusteella voi laskea. Todelliset arvot ovat oheisessa taulukossa Vuosi Asukasluku Vastaus: Väestömäärän muutos prosentteina ilmoitettuna on suurempi vuonna 007 kuin 1989, koska väestömäärä on paljon pienempi 007 kuin vuonna Luokitellaan tulokset kolmeen luokkaan. Luokka Luokkakeskus f [76,80[ 78 3 [80,84[ 8 [84,88[ 86 Piirretään histogrammi. KERTOMA! MAB 83

3 f 197. Muutetaan ajat sekunneiksi. 4:9 4:08 4:1 4:7 :4 3:17 :00 3:1 6:9 4:39 3:4 6: 3:40 :30 : :07 4:36 4:8 0:44 4: 4:03 4:31 3:6 7:16 3:06 4:0 3:36 4:18 3:7 : Luokitellaan ajat viiteen luokkaan. Luokkakeskus Frekvenssi [0, 100[ 0 1 [100, 00] 10 [00, 300[ 0 17 [300, 400[ 30 4 [400, 00[ 40 3 Histogrammi: f Berliini Heiton pituus Kappaleiden kesto aika (s) 198. Jos koko kulutus on 100A, niin välillisen kulutuksen osuus on 6A ja välittömän 44A. Tällöin välilliselle kulutukselle esimerkiksi elintarvikkeiden osuus koko kulutuksesta on 0,38 6A = 1,8A eli noin 1,3 % koko kulutuksesta. Vastaavasti saadaan muut välillisen kulutuksen osuudet koko kulutuksesta. Välittömille saadaan vastaavasti esimerkiksi kotitaloussähkön osuus 0,18 44A = 7,9A eli 7,9 % koko kulutuksesta. Taulukoidaan arvot ja piirretään sektoridiagrammi. Osuus koko kulutuksesta % Elintarvikkeet 1 Tavarat ja palvelut 11 Vaatetus 4 Välillinen asuminen 1 Välillinen liikenne 8 Kotitaloussähkö 8 Valaistus 1 Lämmitys 0 Lämminkäyttövesi Henkilöautoliikenne 10 Sektoridiagrammi: Osuus koko kulutuksesta % % 0 % 1 % 10 % 8 % 8 % 1 % 11 % 4 % 1 % Elintarvikkeet Tavarat ja palvelut Vaatetus Välillinen asuminen Välillinen liikenne Kotitaloussähkö Valaistus Lämmitys Lämminkäyttövesi Henkilöautoliikenne KERTOMA! MAB 84

4 4 Tunnuslukuja 199. Yleisin arvosana on 3, joten se on moodi. Keskimmäinen arvosana on 3, koska suhteellinen summafrekvenssi ylittää 0 %. Mediaani on siis 3. Keskiarvo ja keskihajonta voidaan laskea laskimen tilastotoiminnoilla: Keskiarvo on x =,87,9. Otoskeskihajonta on s = 1,031 1,0. Perusjoukon keskihajonta on s = 1,07 1,0. Laaditaan arvosanoista pylväsdiagrammi. Arvosanat Jos (perusjoukon) keskihajonta lasketaan taulukoimalla, niin saadaan f( xi x) 118, 1,07 n Vastaus: Moodi on Mo = 3, mediaani on Md = 3, keskiarvo on x =,87,9 ja keskihajonta on s 1,0. Muodostetaan frekvenssitaulukko. Arvosana f f % sf sf % % 1 11 % 3 1 % 3 31 % 3 46 % % % % 8 7 % % Yhteensä 11 Silmien väriin voi soveltaa luokitteluasteikon tunnuslukuja, joten moodi on ainut sopiva tunnusluku. Vihreän frekvenssi on suurin, joten moodi on vihreä. Vastaus: Moodi on Mo = vihreä. KERTOMA! MAB 8

5 01. b) Harjoituksia on yhteensä 49. Viikossa on harjoituksia keskimäärin 49 3,76 3, Vastaus: 3,8 c) Kokonaisharjoitusaika on 7, h ja kertoja on 49. Harjoituksen pituus tunteina on keskimäärin 7, 1, 480 1, 49. Taulukoidaan molempien diagrammien frekvenssit. Lasketaan lisäksi neljänteen sarakkeeseen harjoitusaikojen keskiarvot d-kohtaa varten. Viikko Aika (h) Kerrat Keskimääräinen aika (h) ,6 4,1 3 1,4 3 10, 6 1, ,6,1 3 1, ,1 3 1, , 1, , 11 11, 7 1,6 1 8, 1, , Yhteensä 7, 49 1, Vastaus: 1, h d) Piirretään pylväsdiagrammi taulukon neljännen sarakkeen luvuista. aika (h) 3, 1, 1 0, 0 Keskimääräinen harjoitusaika viikko a) Viikoittaiset frekvenssit on esitetty kolmessa ensimmäisessä sarakkeessa. KERTOMA! MAB 86

6 0. Ryhmän arvosanat: Ryhmä 1 Ryhmä Laaditaan ensin frekvenssitaulukko. Arvosana Ryhmä 1 Ryhmä Lasketaan keskiarvot ja keskihajonnat laskimella molemmille ryhmille ja lasketaan vertailuluvut arvosanalle 7. Ryhmä 1: x 6, 9, s 1,63 Normitettu arvo on xx 76,9 z 0,049 s 1, 63 Ryhmä : x,87, s 1,9 Normitettu arvo on xx 7,87 z 0,71 s 1, 9 Arvosanan 7 vertailuluku (normitettu arvo) on parempi ryhmässä, joten 7 on parempi arvosana ryhmässä. Vastaus: Ryhmässä On laskettava keskiarvo ja keskihajonta molemmille ryhmille sekä niiden avulla vertailuluvut (normitetut arvot) arvosanalle 7. KERTOMA! MAB 87

7 03. Nikellä on kolme samaa arvosanaa. Merkitään tätä arvosanaa muuttujalla x. Yhden kurssin arvosana on yhden arvosanan verran huonompi, kuin nuo kolme, joten merkitään sitä x 1. Viidennen kurssin arvosanaa Nikke ei muista, joten merkitään sitä muuttujalla y. Viimeinen kuudes arvosana on vielä tulossa, ja merkitään sitä muuttujalla z. Jotta kuuden kurssin keskiarvo on vähintään 7,, arvosanojen summan on oltava vähintään 6 7, = 4. Niken arvosanojen summa on 3x + (x 1) + y + z = 4x 1 + y + z. Ajatellaan, että viimeisen kurssin suoritus on vähintään seitsemän. Lasketaan Niken erilaiset keskiarvovaihtoehdot. x y z 4x-1+y+z Taulukosta voidaan tarkastella tilannetta tarkemmin. Taulukosta voidaan päätellä, että kolmen saman arvosanan (x) on oltava vähintään seitsemän. Jos kolmesta ensimmäisestä kurssista tuli arvosanaksi 7, niin neljäs arvosana on x 1 = 7 1 = 6. Viides arvosana (y) riittää olla 8, jos kuudennesta tulee arvosana 10. Jos kolmesta ensimmäisestä kurssista tuli arvosanaksi 8, niin neljäs arvosana on x 1 = 8 1 = 7. Viides arvosana (y) riittää tällöin olla 4, jos kuudennesta tulee arvosana 10. Vastaus: Viidestä ensimmäisestä kurssista on pitänyt saada vähintään kolme seiskaa, yksi kuutonen ja kahdeksan, että keskiarvo kahdeksan on mahdollinen. 04. Merkitään: Musiikin numero on A ja kaikkien aineiden arvosanojen summa jouluna B ja keväällä C. Todistuksessa on n ainetta. Taulukoidaan tiedot. Keskiarvo musiikin numeron kanssa Joulu B x, josta saadaan B = nx. n Kevät C x 0,37, josta saadaan n C = n(x + 0,37). Keskiarvo ilman musiikin numeroa B A y n 1 C A y 0,4, josta saadaan n 1 C A y 0,4. n 1 Sijoitetaan saadut B ja C keskiarvon lausekkeisiin ilman musiikin numeroa. Kirjoitetaan yhtälö kevään ja joulun välille (jouluna y on sama kuin keväällä y). KERTOMA! MAB 88

8 y y BA CA 0, 4 n1 n1 nx A n( x 0,37) A 0, 4 ( n 1) n1 n1 nx A nx 0,37n A 0, 4( n 1) nx nx A A 0,37n 0, 4n 0, 4 00,37n0,4n0,4 0,37n0, 4n0, 4 0,0n 0, 4 : 0,0 n 16 Kun n = 16, niin C = nx + 0,37n = 16x + 0,37 16 = 16x + 6 ja B = nx = 16x. Huomataan, että arvosanojen summa kasvoi kuudella. Jos mikään ei noussut yli kahta numeroa, niin ainakin kolme ainetta nousi (kaikki nousivat kahdella.) Vastaus: Arvosanat kuudestatoista aineesta ja ainakin kolme arvosanaa nousi. Todennäköisyys 0. Luokalla on yhteensä = 30 oppilasta. a) Suotuisia on kappaletta: P(19 - vuotias) 0,166 0,17 30 Vastaus: 0,17 b) Suotuisia ovat 16- ja 17-vuotiaat, joita on = 1: 1 P(19 - vuotias) 0, 30 Vastaus: 0, c) Luokalla ei ole yhtään 19-vuotiasta. Vastaus: a) Ainut vaihtoehto on laskea, kuinka monta kuolemaa tilastollisesti sattuu miljoonan ajokilometrin aikana. Tässä ei voida huomioida Matin asemaa kuljettajana tai hänen ajotaitojaan yms P(kuolema) 0, 4 0, Vastaus: 0,08 % KERTOMA! MAB 89

9 b) Tehtävässä pitää arvioida, kuinka paljon keskimäärin autolla tai pyörällä ajetaan vuodessa. Jos autoilija ajaa km vuodessa ja pyöräilijä 00 km, niin todennäköisyydet kolmenkymmenen vuoden aikana ovat P(kuolema henkilöauto) 3,1 0, ja P(kuolema pyörä) 3,1 0, Vastaus: Henkilöautolla 0,01 % ja pyörällä 0,07 % 07. Laatikossa on 13 palloa, joista vihreitä on neljä. Lisätään laatikkoon n palloa, jolloin oranssin todennäköisyys on n 4 P(oranssi). n 13 Määritetään yhtälöstä P(oranssi) = 0,, millä arvolla päästään täsmälleen arvoon 0,. n 4 0, ( n 13) n 13 n40,( n13) n40,n6, 0,n, : 0, n Kun lisätään oranssia palloa, todennäköisyys on täsmälleen 0 %, joten oransseja palloja on lisättävä kuusi. 08. Määritetään etäisyys pohjasta: Ylempi osa kartiosta on suotuisa alue. (Jos ollaan täsmällisiä, niin reuna on kaareva, koska etäisyydet kärjestä ja pohjasta eivät ole samalla kohtisuoralla kuin erikoistapauksessa.) Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Ja tämä suhde on myös kysytty todennäköisyys. A 3 1 P(lähempänä kärkeä) 0,1 A 8 Vastaus: 0,1 A A Vastaus: 6 KERTOMA! MAB 90

10 09. 0cm 9cm 0cm b) Suotuisa aikaväli on tulla viisi minuuttia ennen bussin saapumista tai kun bussi odottaa pysäkillä. P(odotus alle min) 0,833 0,8 1 Vastaus: 0,8 c) Matkailijan odotusaika on 0 min minuutin aikavälillä, koska silloin pääsee suoraan bussiin. P(0 min) 0,1666 0,17 1 Suotuisa alue on oranssilla väritetty alue. Alueen pinta-ala on neliön pinta-ala vähennettynä ympyrän pinta-alalla. Ympyrän ala: A = πr Neliön ala: A = s 0 9 P(etäisyys keskipisteeestä yli 9) 0,3638 0,36 0 Vastaus: 0, Aikaväli on 1 min, josta min bussi on pysäkillä. min 1 min min a) Bussiin nousemista ei tarvitse odottaa koskaan yli 11 min, koska pisin odotusaika on 10 min. Vastaus: 0 Vastaus: 0, Ensimmäisen jaon jälkeen pakassa on = 47 korttia. P(ruutu) = 0,. Ruutujen määrä x: x 0, x 9, 4 Pakassa on täten joko 10 tai 9 ruutua Molemmat pyöristyvät arvoon 0,. Voidaan ajatella, että Matilla on kädessä jo 4 ruutua, joten pakassa on 9 ruutua. Vastaus: 9 1. Ihmisiä: 100, tupakoi: 0A Keuhkosyöpä niillä, jotka tupakoivat: 0,0 0A = A Keuhkosyöpä niillä, jotka eivät tupakoi: 0,01 80A = 0,8A Yhteensä keuhkosyöpäisiä on A + 0,8A = 1,8A. Näistä tupakoi A, joten A 100%, % 6% 1, 8A. Vastaus: 6 % KERTOMA! MAB 91

11 13. a) Erilaisia vaihtoehtoja on viisi, joissa yhdessä on teksti 1 P(teksti piilossa) 0,. Vastaus: 0, b) Koska vaihtoehtoja on viisi ja muoto on säännöllinen, niin sivu ei voi olla suoraan ylöspäin. Vastaus: 0 6 Lukumäärien laskeminen a) Kahdeksasta joukkueesta voidaan muodostaa pari 8 eri tavalla. (Tai 87 8 ) 4 b) Molemmissa lohkoissa pelataan loppuottelu (Tai ) eri peliä. Lopussa on yksi Tietyt kaksi joukkuetta (esim. joukkueet A ja B) voidaan valita siihen alkulohkoon vain yhdellä tavalla (eli 1 ). Heidän lisäksi samaan alkulohkoon voidaan valita kaksi muuta joukkuetta kuudesta jäljellä 6 olevasta 1 eri tavalla, joten saadaan todennäköisyys P(pari) 0,148 0, Vastaus: a) 8 b) 13 c) 0,14 1. a) Muodostetaan yhtälö: n 6 3 n! 6 3!( n 3)! nn ( 1)( n)( n3)! 6 3! ( n 3)! nn ( 1)( n) 6 3! Yhtälö ei ratkea lyhyen matematiikan taidoilla, joten ratkaistaan yhtälö kokeilemalla: , 10, 0, 3, 6, joten saadaan n = c) Alkulohkoon voidaan valita kahdeksasta joukkueesta neljä 8 joukkuetta 70 eri tavalla. 4 KERTOMA! MAB 9

12 b) Muodostetaan yhtälö, joka ratkaistaan. n 311 n! 311!( n )! nn ( 1)( n)! 311! ( n )! nn ( 1) 311! nn ( 1) 311 nn ( 1) 60 n n n n 0 tai n 49 Negatiivinen arvo n = 49 ei kelpaa, joten n = 0. Vastaus: a) n = 8 b) n = Psykologian kokeessa on 6 13 Fysiikan kokeessa on 8 10 erilaista tapaa valita tehtävät. 187 erilaista tapaa valita tehtävät. Prosentteina 187 6,18, eli 13 % enemmän (Tai laskemalla % ) a) 16 pelaajasta saadaan 8 paria, joten ensin pelataan 8 peliä. Sitten muodostetaan edellisten pelien voittajista peliparit eli pelataan 4 peliä. Seuraavaksi vielä peliä ja lopuksi finaali eli 1 peli. Yhteensä = 1 peliä. b) Paras pelaaja voi ensimmäisellä kierroksella kohdata 14 pelaajaa (ei toiseksi parasta) 1 mahdollisesta, toisella kierroksella vastaavasti 6 pelaajaa 7 mahdollisesta ja kolmannella pelaajaa 3 mahdollisesta ja viimeisessä eli finaalissa vain sen toiseksi parhaan eli P(kaksi parasta finaalissa) , 333 Vastaus: a) 1 b) 8 0, Maaliskuussa on 31 päivää. Peräkkäisiä päiviä on 30 eri tapaa (Peräkkäisistä päivistä ensimmäinen päivä voi olla 30 tavalla (jotta on molemmat maaliskuussa) ja sitä seuraava päivä vain 1 tavalla.). Peräkkäisiä päiviä ovat 1,;,3; 30,31. Siis peräkkäisiä päiviä on 30 kappaletta. Jos he ovat syntyneet eri päivinä, niin näitä vaihtoehtoja on Jos he ovat syntyneet samana päivänä, niin vaihtoehtoja on 31. Saadaan todennäköisyys 30 1 P(peräkkäin) 0, , Vastaus: 6,0 % Vastaus: Fysiikan kokelaalla on 13 % enemmän valintavaihtoehtoja. KERTOMA! MAB 93

13 19. Viisi korttia voidaan valita korttipakan kortista 707 eri tavalla. 13 Kaksi ruutua voidaan valita 13 ruudusta 78 eri tavalla. Niiden lisäksi kolme muuta korttia voidaan valita ei-ruuduista 39 (3 maata 13 korttia = 39) 9139 eri tavalla. 3 Saadaan todennäköisyys P(täsmälleen kaksi ruutua) , ,74. (Tai P(kaksi ruutua (mitkä vain viidestä) ja 3 jotain muuta maata) ,747 ) Vastaus: 0,74 0. Lippu voidaan värittää tuloperiaatteen mukaan = eri tavalla. Vastaus: a) Jos on 30 oppilasta ja 30 pulpettia, niin erilaisia istumajärjestyksiä voidaan muodostaa 30! =,6 10 3, b) Jos on 30 oppilasta ja 30 pulpettia, niin kolme tyhjää pulpettia 30 voidaan valita 4060 eri tavalla. 3 Ensimmäinen oppilas voi valita paikan 30 pulpetista. Seuraava 9 jne. Viimeinen valitsee 4 pulpetista, joten erilaisia istumajärjestyksiä voidaan muodostaa 30! , ,4 10 3! kappaletta. (Laskimella 30 npr 7) 30! 0 c) Aikaa kuluu, s. 1 vuosi = 36, vrk = 36, s = s. Kone käsittelee siis , järjestystä vuodessa. Kuluva aika vuosina on !,610, , , ,4010 8,410. Vastaus: a) 30!, b) tapaa ja c) 8, vuotta 31 4, 4 10 järjestystä 6. Kuudesta paikasta voidaan valita pisteelle kolme paikkaa tavalla. Vastaus: eri KERTOMA! MAB 94

14 7 Todennäköisyyden laskusääntöjä 3. a) Violetti pallo voi tulla joko laatikosta A (3 violettia ja yht. 6 palloa) tai laatikosta B (1 violetti ja yht. palloa). Tapahtumat ovat erilliset. PviolettiPlaatikko A JA violetti Plaatikko B JA violetti ,3 6 0 Vastaus: 0,3 b) Violetti tai keltainen. Laatikosta A saa varmasti ja laatikossa B (1 violetti ja yhteensä 6 palloa) P violetti TAI keltainen P laatikko A JA violetti tai keltainen Plaatikko B JA violetti ,6 6 Vastaus: 0,6 4. Hatussa on joko kaksi oranssia palloa tai musta ja oranssi pallo. Tässä esiintyy neljä yhtä todennäköistä vaihtoehtoa, joissa avustaja ottaa joko oranssin tai mustan pallon. Avustaja ottaa Hattuun jää ORANSSIN (kaksi O hatussa) ORANSSI ORANSSIN (kaksi O hatussa) ORANSSI ORANSSIN MUSTA MUSTAN ORANSSI Kun avustaja ottaa oranssin, niin on kolme alkeistapausta (keltaisella). Näistä kahdessa on oranssi pallo hatussa. P oranssi 3. Lasketaan vastatapahtuman avulla. Tällöin kaikkien korttien pitää olla eri numeroa. Ensimmäinen kortti voi olla mikä vain ( vaihtoehtoa). Toisen pitää olla eri kuin ensimmäisen (48 vaihtoehtoa). Kolmannen eri kuin ensimmäisen ja toisen jne. Pvähintään kaksi samaa 1Pkaikki eri numeroa ,0708 0,499 0, Vastaus: 0, Taulukoidaan tapahtumat ja merkitään suotuisat tapaukset rastilla. Ainakin toisen pitää olla kuutonen. 6 X X X X X X X 4 X 3 X X 1 X Suotuisia tapahtumia on 11 kappaletta. 11 P(suurempi kuin viisi) 0,30 36 Vastaus: 0, a) Kuuden pallon ryhmiä voidaan valita 48 pallosta 48 48! 1711 kappaletta. 6 6! (486)! Vastaus: Vastaus: 3 KERTOMA! MAB 9

15 b) Kuudesta oikeasta numerosta voidaan valita neljä 6 6! 6 1 eri tavalla. 4 4! (64)!! Väärät kaksi numeroa valitaan 4 numerosta. Nämä voidaan valita 4 4! 861 eri tavalla.! (4)! Erilaisia rivejä, joissa on neljä oikeaa numeroa (lisänumerot ovat tietysti mahdollisia, mutta tässä ei haeta voittoluokkia) on = 1 91 kappaletta. Kysytty todennäköisyys on a-kohdan avulla P(neljä oikein) 0, Vastaus: 0,0010 c) Kuudesta oikeasta numerosta voidaan valita viisi 6 6! 6 6! (6 )! 1 eri tavalla. Kahdesta lisänumerosta voidaan valita yksi oikea kahdella eri tavalla. Erilaisia rivejä, joissa on viisi oikeaa numeroa ja yksi lisänumero on 6 = 1 kappaletta. Kysytty todennäköisyys on a-kohdan avulla P(neljä oikein) 9, Vastaus: 9, = 0, a) Pyksi tai kaksi Pyksi Pkaksi p p 1 0,13 0,13 0,4 1!! Vastaus: 0,4 1 b) Pvähintään kolme1palle kolme 1PnollaPyksiPkaksi 1p0 p1 p ,13 0,13 0,13 0! 1!! 10,67 0,3 Vastaus: 0,3 c) Yhden tunnin kuluessa ei tule yhtään puhelua: 0 p0 0,13 0,13 0! Tämä tapahtuu kolmesti peräkkäin: P(ei yhtään puhelua) = 0,13 3 = 0,0046 0,00 Vastaus: 0,00 9. a) Jako on ensimmäinen, joten kuvien laskeminen ei vaikuta tilanteeseen. Pakassa on yhteensä kuvakorttia. Yhteensä jaetaan 10 korttia ja kaikkien on oltava kuvia. Lasketaan todennäköisyys 7 pakan tilanteessa, jolloin kortteja on 7 = 364, kuvakortteja = 11 ja ässiä on 4 7 = 8. KERTOMA! MAB 96

16 Ensimmäisen pelaajan jälkeen korttien määrä on vähentynyt kahdella ja kuvien ja ässien yhdellä jne. kaikilla ässä ja kuva P P P3.pelaajalla ässä ja kuvap4.pelaajalla ässä ja kuva P.pelaajalla ässä ja kuva P = 1.pelaajalla ässä ja kuva.pelaajalla ässä ja kuva , Vastaus: 1, = 0, b) P(ainakin yhdellä on molemmat 1-9) = 1 P(kaikilla on 10,11,1 TAI 13) Lasketaan jälleen 7 kortin pakalla , Vastaus: 0, Numerot voivat olla peräkkäin joko (1) 1XX tai () X1X tai (3) XX1, missä X on numero 1-6. Tapahtumat 1 ja 3 eivät ole erilliset. Jos kaksi tapahtuu, niin 1 ja 3 ei voi tapahtua. P 1 ja peräkkäin P 1 P P 3 P1 ja , Vastaus: 0, Arpojen määrä on pieni, joten se on otettava huomioon. Todennäköisyys on helpompi laskea vastatapahtuman avulla. Voitottomia arpoja on 44 kappaletta. P Mirkku saa ainakin yhden voiton 1P Mirkku ei saa voittoa ,4440,7 0,6 Vastaus: 0,6 3. P(arpa voittaa) = 0, P(arpa ei voita) = 0,7 Veikkauksen arpoja on miljoonia, joten tässä edellisen arvan voitottomuus ei merkittävästi vaikuta tulokseen. a) P(10 arpaa ja ei yhtään voittoa) = 0,7 10 = 0,0631 0,06 Vastaus: 0,06 b) Ostetaan n arpaa. P(vähintään yksi voitto) = 1 P(ei yhtään voittoa) Jos ostetaan n arpaa, niin P(ei yhtään voittoa) = 0,7 n. Todennäköisyydellä 0,99 vähintään yksi voitto: 1 P(ei yhtään) > 0,99. Ratkaistaan vastaava yhtälö. n 1 0,7 0,99 n 0,7 0, 01 lg n lg 0,7 lg 0,01 nlg 0,7 lg 0,01 : lg 0,7 n 16,007 Vastaus: On ostettava vähintään 17 arpaa. KERTOMA! MAB 97

17 33. A = Sami voittaa P(A) = 0,3 B = Teemu voittaa P(B) = 0,3 C = Tero voittaa P(C) = 0,4 Sami ei saa voittaa enää yhtään peliä. Teemu voi voittaa vielä kaksi peliä ja Teron pitää voittaa kolme peliä. Suotuisa tilanne päättyy Teron kolmanteen voittoon. Peli päättyy Teron voittoon seuraavilla kombinaatioilla: Teemu voittaa kahdesti 1) BBCCC ) BCBCC 3) BCCBC 4) CCBBC ) CBBCC 6) CBCBC Teemu voittaa kerran: 7) BCCC 8) CBCC 9) CCBC Tero voittaa kolmesti peräkkäin: 10) CCC On kymmenen erilaista tapaa päätyä Teron voittoon. Pelien 1) 6) todennäköisyydet ovat samat esim. P(1) = 0,3 0,4 3 = 0,0076. Samoin pelien 7) 9): P(7) = 0,3 0,4 3 = 0,019 P(Tero voittaa) = 6 0, , ,4 3 = 0,1616 Vastaus: 16 % 8 Normaalijakauma 34. Lasketaan, millä todennäköisyydellä satunnainen nainen on alle 17 cm pitkä. Keskiarvo on 163 (cm) ja keskihajonta on 6 (cm). Normitetaan muuttujan arvo x = 17. xx z s 6 Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. P(x < 17) = P(z <,00) 97,7 % = Ф(,00) = 0,977,00 Satunnainen nainen on alle 17 cm pitkä todennäköisyydellä 0,977. Lasketaan, millä todennäköisyydellä satunnainen mies on alle 17 cm pitkä. Keskiarvo on 177 (cm) ja keskihajonta on 7 (cm). Normitetaan muuttujan arvo x = 17. xx z 0, 8 0,9 s 7 Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. P(x < 17) = P(z < 0,9) = P(z > 0,9) = 1 Ф(0,9) = 1 0, ,9 % 61,41 % = 0,389 0,9 Satunnainen mies on alle 17 cm pitkä todennäköisyydellä 0,389. P(Satunnainen mies ja nainen ovat molemmat alle 17 cm pitkiä) = 0,389 0,977 = 0, % Vastaus: Satunnainen mies ja nainen ovat molemmat alle 17 cm pitkiä 38 %:n todennäköisyydellä. KERTOMA! MAB 98

18 Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto 3. Keskiarvo on 04 (g) ja keskihajonta on 6 (g). Lasketaan kuinka monella prosentilla pakkauksista massa oli alle 00 g eli P(x < 00). Normitetaan muuttujan arvo x = 00. x x z 0,666 0,67 s 6 Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. P(x < 00) = P(z < 0,67) = P(z > 0,67) = 1 Ф(0,67) = 1 0,7486 = 0,14 =,14 % %,14 % P(00 < x < 10) = P( 0,67 < z < 1) = P(z < 1,00) P(z < 0,67) = Ф(1,00) (1 Ф(0,67) ) = 0,8413 (1 0,7486) = 0,8413 0,14 = 0,899 9 % 84,13 %,14 % 9,99 % 0,67 1,00 84,13 % 1,00 74,86 % 0,67,14 % Lasketaan, kuinka monella prosentilla pakkauksista massa oli välillä 00 g 10 g eli P(00 < x < 10). 74,86 % 0,67 Vastaus: Massa oli alle 00 g % pakkauksista ja massa oli välillä 00 g 10 g 9 % pakkauksista. Normitetaan molemmat muuttujan arvot: x x z 0,666 0,67 s 6 x x z 1 s 6 Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. (Voidaan myös käyttää hyödyksi edellistä laskelmaa ja kuvaa.) KERTOMA! MAB 99

19 36. Keskiarvo on 97 (km/h) ja keskihajonta 1 (km/h). Nopeus noudattaa normaalijakaumaa v ~ N(97, 1). Määritetään ensin, kuinka monta prosenttia ylittää nopeusrajoituksen 100 km/h eli P(v > 100). xx z 0, s 1 Pv ( 100) Pz ( 0,) 1 Pz ( 0,) 1 (0,) 10,987 0,4013 9,87 % 40,13 % Katsotaan taulukosta, mikä arvo normeeratulle muuttujalle on lähinnä arvoa 0,968. Φ(1,8) = 0,9678 Φ(1,86) = 0,9686 Kun z = 1,8, niin saadaan yhtälö nopeudelle. x 97 1,8 1 1 x 97, x 97, x 119, Vastaus: 119 km/h 96,8 % 3, % 1,8 0, Jos autoilijoiden määrä on A, niin edellisen perusteella 0,4013A autoilijaa ylittää nopeusrajoituksen 100 km/h. Näistä 8 % on 0,08 0,4013A = 0,03104A. Merkitään puuttumisrajaa muuttujalla x, jolloin P(v > x) = 0,03 eli P(v < x) = 0,968. Normeerauksen jälkeen: x97 x97 pv ( x) Pz 0, KERTOMA! MAB 100

20 37. Keskiarvo on 7 (g) ja keskihajonta on 4, (g). Normitetaan muuttujan arvo x = 70. xx 70 7 z 0, 444 0, 44 s 4, Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. P(x < 70) = P(z < 0,44) = P (z > 0,44) = 1 Ф(0,44) = 1 0,6700 = 0,3300 = 33 % 33,00 % 67,00 % 0,44 Kiekoista 33 % on massaltaan alle 70 g. Merkitään keskiarvoa muuttujalla x ja keskihajonta on 4, (g). Valmistaja haluaa, että 70 % kiekoista painaa alle 70g eli P(x < 70) = 0,70. Normitetaan muuttujan arvo x = 70. x x 70 x z s 4, Halutaan löytää se muuttujan x = 70 normitettu arvo a, jolle pätee P(x < 70) = 0,70 eli P(z < a) = 0,70. Tutkitaan tilannetta mallikuvan avulla. 70 % a Etsitään taulukkokirjasta se normitettu arvo a, jolle Ф (a) = 0,70. Löydetään Ф(0,) = 0,698 ja Ф(0,3) = 0,7019. Kun haettavaa todennäköisyyden arvoa ei löydy taulukosta, valitaan lähin mahdollinen arvo. Lähempänä lukua 0,70 on 0,698, joten saadaan a = 0,. Voidaan merkitä P(x < 70) = 0,70 P(z < 0,) 0,70. Saadaan yhtälö, josta ratkaistaan muuttujan x arvo. 70 x 0, 4, 4, 70 x,34 x,34 70 x 747,66 x 747,66 Jos käytetään samaa tarkkuutta, kun tehtävän keskiarvossa on, niin saadaan keskiarvoksi 748. Tällöin xx 70 x z 0,444 0,44. s 4, 4, P(x < 70) = P(z < 0,44) = Ф(0,44) = 0,6700 = 67 % 67,00 % 0,44 Huom. Tarkkuudella 747,7 saadaan P(x < 70) = P(z < 0,1) = Ф(0,1) = 0,690 = 69,0 %. Vastaus: Kiekoista 33 % on massaltaan alle 70 g. Keskiarvolla 748 g noin 70 % painaa alle 70 g. KERTOMA! MAB 101

21 Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto 38. Keskiarvo on 76,0 (km/h) ja keskihajonta on (6,0 km/h). Kysytään todennäköisyyttä P(80 < x < 9). Normitetaan molemmat muuttujan arvot. x x z 0,666 0,67 s 6 x x 9 76 z 3,1666 3,17 s 6 Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. P(80 < x < 9) = P(0,67 < z < 3,17) = P(z < 3,17) P(z < 0,67) = Ф(3,17) Ф(0,67) = 0,999 0,7486 = 0,06 % Lasketaan seuraavaksi, kuinka suuri osuus lukion B opiskelijoista menestyi kokeessa keskiarvoa paremmin, mutta huonommin kuin Bertta, eli lasketaan P(7 < x < 80). Lukion B keskiarvo on 7 ja keskihajonta 6,8. Normitetaan molemmat muuttujan arvot. x x 7 7 z 0 6,8 s x x 80 7 z 1,1764 1,18 6,8 s Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. P(7 < x < 80). =P(0 < z < 1,18) = P(z < 1,18) P(z < 0) = Ф(1,18) Ф(0) = 0,8810 0,0 = 0,381 = 38,1 % 88,10 % 99,9 % 74,86 %,06 % 0,67 3,17 0 % Vastaus: Autoilijoista % voisi saada rikesakon Lukiossa A keskiarvo oli 7 ja keskihajonta 9,. Alinan pistemäärä oli 8 ja sen normitettu arvo on x x 8 7 1,0869 1,09. s 9, Lukiossa B keskiarvo oli 7 ja keskihajonta 6,8. Bertan pistemäärä oli 80 ja sen normitettu arvo on x x ,1764 1,18. s 6,8 1,18 0 % 0 88,10 % Bertan normitettu pistemäärä on suurempi, joten hän menestyi paremmin suhteessa oman lukionsa opiskelijoihin. KERTOMA! MAB 38,10 % 1,18 10

22 Keskiarvon ja Bertan välissä oli 38,1 % koulun B opiskelijoista. Lasketaan seuraavaksi, kuinka suuri osuus lukion A opiskelijoista menestyi kokeessa Alinaa paremmin eli lasketaan P(x > 8). Lukion A keskiarvo on 7 ja keskihajonta 9,. Normitetaan muuttujan arvo x = 8. xx 8 7 z 1,0869 1,09 s 9, Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. P(x > 8) = P(z > 1,09) = 1 Ф(1,09) = 1 0,861 = 0,1379 = 13,79 % 13,8 % 40. Hahmotellaan tilanne mallikuvien avulla. Keskiarvo on 100, joten arvot 97 ja 103 ovat yhtä kaukana keskiarvon molemmin puolin. 43 % 43 % % % = 43 % + 43 % 0 % + 43 % = 93 % Keskiarvo on 100 ja merkitään keskihajontaa muuttujalla s. Normitetaan muuttujan arvo x = 103: xx z s s s 86,1 % 13,79 % 1,09 Alinaa paremmin menestyi 13,8 % lukion A opiskelijoista. Vastaus: Bertta menestyi paremmin oman lukionsa tasoon verrattuna. Keskiarvon ja Bertan välissä oli 38,1 %. Alinaa parempia oli 13,8 %. 93 % Halutaan löytää se muuttujan x = 103 normitettu arvo a, jolle pätee P(x < 103) = 0,93 eli P(z < a) = 0,93. Etsitään taulukkokirjasta se normitettu arvo a, jolle Ф(a) = 0,93. Löydetään Ф(1,47) = 0,99 ja Ф(1,48) = 0,9306. a Jos kysyttyä todennäköisyyden arvoa ei löydy taulukosta, valitaan lähin mahdollinen arvo. Lähempänä lukua 0,93 on 0,9306, joten valitaan a = 1,48. KERTOMA! MAB 103

23 Saadaan yhtälö, josta ratkaistaan muuttujan s arvo. xx z s s s 3 1, 48 s s 3 1,48s 1, 48s 3 : 1, 48 s,070 Lasketaan P(x > 10), kun keskiarvo on 100 ja keskihajonta on s =,070 xx z, 4666, 47 s, 070 Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. P(x > 10) = P(z >,47) = 1 Ф(,47) = 1 0,993 = 0,0068 = 0,68 % 99,3 % 0,68 %,47 Vastaus: Mittausarvo on yli 10 todennäköisyydellä 0,68 %. 41. Taulukoidaan ja lasketaan arvosanojen keskiarvo ja keskihajonta. Sitten arvioidaan pisterajaa normaalijakaumalla. Pisteet f Pisteet f Lasketaan keskiarvo ja -hajonta laskimen toiminnoilla: Keskiarvo on 37,4. Keskihajonta on 1,9. Arvioidaan pistemäärää normaalijakaumalla, joten merkitään, että pistemäärä p noudattaa normaalijakaumaa p ~ N(37,4; 1,9). KERTOMA! MAB 104

24 Merkitään laudaturin rajaa muuttujalla x. Tällöin P(p < x) = 0,9. Normeerauksen jälkeen: x37,4 x37,4 P( p x) Pz 0,9 1,9 4, Katsotaan taulukosta, mikä arvo normeeratulle muuttujalle on lähinnä 0,9. Φ(1,64) = 0,949 Φ(1,6) = 0,90 Voidaan käyttää taulukon alaosasta löytyvää arvoa Φ(1,6449) = 0,9. Kun z = 1,6449, niin saadaan yhtälö rajapistemäärälle x 37, 4 1,6449 1,9 1,9 x 37,4 1,191 x 8,6191 Vastaus: Pisterajan on oltava 9 pistettä. Huom. Jos käytetään jakaumaa N(37,13), saadaan pisterajaksi 8. Tai keskiarvo ja hajonta taulukoimalla: Pisteet f Tulo , , , , , , , , , ,30 6 9, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,06 keskiarvo 37,3871 keskihajonta 1,979 KERTOMA! MAB 10

25 4. Heitetään kolikkoa 100 kertaa, joten n = 100. Tällöin keskiarvo on 0,n = 0, 100 = 0 ja keskihajonta on s 0,n 0,100, joten klaavojen määrä x ~ N(0, ). Tehtävässä oleva muuttuja on diskreetti. Tässä sitä sovelletaan kuitenkin normaalijakaumaan, jossa käytetään jatkuvaa muuttujaa. Siksi a-kohdassa luvun 60 tilalla käytetään lukua 9,, joka pyöristyy lukuun 60. Vastaavasti b-kohdassa välin 40 < x < 60 tilalla käytetään väliä 39, < x < 60,. c-kohdan Tasan 0 on ns. pistetodennäköisyys, jota ei voida laskea normaalijakaumalla. Tässä kuitenkin em. seikoista johtuen käytetään Tasan 0 tilalla väliä 49, < x < 0,, jonka todennäköisyys voidaan määrittää. a) On vähintään 60 klaavaa eli 9, (pyöristyy lukuun 60). P(x > 9,) = 1 P(x < 9,) 9, 0 1 Px ( 9,) 1Pz 11,910,97130,087 60, 0 39, 0 px ( 60,) px ( 39,) P z P z Pz (,1) pz (,1) (,1) 1 (,1) 0,981 (1 0,981) 0,964 Vastaus: 96 % c) P(0) = P(49, < x < 0,) = P(x < 0,) P(x < 49,) 0, 0 49, 0 px ( 0,) px ( 49, ) P z P z Pz ( 0,1) pz ( 0,1) (0,1) 1 (0,1) 0,398 (1 0,398) 0,0796 3,98 % Vastaus:,9 % 97,13 %,87 % 1,90 Vastaus: 8,0 % 46,0 % 7,96 % 0,1 0,1 b) P(39, < x < 60,) = P(x < 60,) P(x < 39,) 98,1 % 1,79 % 96,4 %,10,10 KERTOMA! MAB 106

Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin!

Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! MAA6 Kurssikoe 1.11.14 Jussi Tyni ja Juha Käkilehto Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A-OSIO: Laske kaikki

Lisätiedot

Kertausosa. 1. a) Lenkkareiden merkki on laatueroasteikollinen muuttuja. Montako millimetriä on tällöin satanut?

Kertausosa. 1. a) Lenkkareiden merkki on laatueroasteikollinen muuttuja. Montako millimetriä on tällöin satanut? V πr h π 7 0,...(cm,0...(l) Montako millimetriä on tällöin satanut? V,0...l,7...(mm) 8 l 8 l Täytyy sataa vähintään,7 mm, että astia täyttyisi. Lasketaan todennäköisyys, että sataa vähintään,7 mm.,7...

Lisätiedot

A-Osio. Ei saa käyttää laskinta, maksimissaan tunti aikaa. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat:

A-Osio. Ei saa käyttää laskinta, maksimissaan tunti aikaa. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat: MAA6 Loppukoe 26..203 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! Lue ohjeet huolella! A-Osio. Ei saa

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 3 MAA Todennäköisyys ja tilastot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Todennäköisyys ja tilastot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta Tuloperiaate Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta ja 1. vaiheessa valinta voidaan tehdä n 1 tavalla,. vaiheessa valinta voidaan tehdä n tavalla,

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla:

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla: MAA6.3 Loppukoe 9.11.01 Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Matikan

Lisätiedot

Tilastolliset toiminnot

Tilastolliset toiminnot -59- Tilastolliset toiminnot 6.1 Aineiston esittäminen graafisesti Tilastollisen aineiston tallentamisvälineiksi TI-84 Plus tarjoaa erityiset listamuuttujat L1,, L6, jotka löytyvät 2nd -toimintoina vastaavilta

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa. Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.

Lisätiedot

Kenguru 2015 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2015 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 12 3 pistettä 1. Annalla on neliöistä koostuva ruutupaperiarkki. Hän leikkaa paperista ruutujen viivoja pitkin mahdollisimman monta oikeanpuoleisessa kuvassa näkyvää kuviota. Kuinka monta ruutua

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

TILASTOT JA TODENNÄKÖISYYS

TILASTOT JA TODENNÄKÖISYYS TILASTOT JA TODENNÄKÖISYYS Perusopetuksen opetussuunnitelmien perusteissa 2004 on vuosiluokille 6 9 määritelty tietyt tavoitteet koskien tilastoja ja todennäköisyyttä. Seuraavat keskeiset sisällöt tulevat

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Klassisen ja geometrisen todennäköisyyden harjoituksia

Klassisen ja geometrisen todennäköisyyden harjoituksia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat Harjoitustehtävät Klassisen ja geometrisen todennäköisyyden harjoituksia 3.1 Heität tavallista noppaa. Millä todennäköisyydellä a) saat kuutosen? b) saat ykkösen? c)

Lisätiedot

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2004 4 200= 2004 800= 1204 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta

Lisätiedot

Kenguru 2014 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 7 ja Pakilan ala-aste

Kenguru 2014 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 7 ja Pakilan ala-aste (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 7 ja Pakilan ala-aste NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1 Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 010 Ratkaisuja OSA 1 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa seuraavat ehdot? Se on suurempi kuin 100. Se on pienempi kuin 00. Kun se pyöristetään

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi MAB 9 kertaus MAB 1 Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi Kertolaskussa osoittajat ja nimittäjät kerrotaan keskenään Jakolasku lasketaan kertomalla

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

Kenguru 2015 Student (lukiosarja)

Kenguru 2015 Student (lukiosarja) sivu 1 / 9 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

1.9 Harjoituksia. Frekvenssijakaumien harjoituksia. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat. a) Kaikki aakkoset b) Kirjaimet L, E, M, C, B, A ja i.

1.9 Harjoituksia. Frekvenssijakaumien harjoituksia. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat. a) Kaikki aakkoset b) Kirjaimet L, E, M, C, B, A ja i. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat 1.9 Harjoituksia 1.1 Ulkolämpömittari näytti eilen 10 C ja tänään 20 C. Onko tänään kaksi kertaa niin kylmä kuin eilen? Miksi tai miksi ei? 1.2 Minkä luokkien muuttujia

Lisätiedot

MB5 YHTEENVETO. Todennäköisyyslaskenta

MB5 YHTEENVETO. Todennäköisyyslaskenta MB5 YHTEENVETO Todennäköisyyslaskenta Klassinen todennäköisyys Suotuisten tapahtumien lukumäärä Kaikkien mahdollisten tulosten lukumäärä k n Todennäköisyys = P (A) = suotuisat kaikki k n Todennäköisyys

Lisätiedot

Klassisen ja geometrisen todennäköisyyden harjoituksia

Klassisen ja geometrisen todennäköisyyden harjoituksia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat Klassisen ja geometrisen todennäköisyyden harjoituksia 3.1 Heität tavallista noppaa. Millä todennäköisyydellä a) saat kuutosen? b) saat ykkösen? c) saat parittoman pisteluvun?

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

Todennäköisyys (englanniksi probability)

Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyyslaskenta sai alkunsa 1600-luvulla uhkapeleistä Ranskassa (Pascal, Fermat). Nykyisin todennäköisyyslaskentaa käytetään hyväksi mm. vakuutustoiminnassa,

Lisätiedot

TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 1

TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 1 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 1 Käsitteitä: Tilastoja voidaan havainnollistaa: o Tilastokuvioilla eli diagrammeilla Tavallisimmin käytettyjä tilastokuvioita ovat pylväsdiagrammit Muodostuu erillisistä

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla:

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla: MAA6. Loppukoe 8.11.01 Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Matikan

Lisätiedot

Kenguru 2011 Benjamin (6. ja 7. luokka)

Kenguru 2011 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua

Lisätiedot

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Laske 20 12 11 21. Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut a) 31 b) 0 c) 9 d) 31 Ratkaisu. Suoralla laskulla 20 12 11 21 = 240 231 = 9. (2) Kahden peräkkäisen

Lisätiedot

Kenguru 2014 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2014 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarja

Kenguru 2016 Student lukiosarja sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Vastaus: Kertymäfunktio on F( x) = x, kun 0 x 20. Todennäköisyydet ovat molemmat 1. Frekvenssi f

Vastaus: Kertymäfunktio on F( x) = x, kun 0 x 20. Todennäköisyydet ovat molemmat 1. Frekvenssi f 0, ku x < 0 Vastaus: Kertymäfuktio o F( x) = x, ku 0 x 0 0, ku x > 0 Todeäköisyydet ovat molemmat 0. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksii Tilastoje esittämie 3. a) Tietty kasvi b) Kukkie lukumäärä

Lisätiedot

Kenguru 2012 Benjamin sivu 1 / 8 (6. ja 7. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa

Kenguru 2012 Benjamin sivu 1 / 8 (6. ja 7. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa Kenguru 2012 Benjamin sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

1 Kuvien ja kaavioiden tulkintaa

1 Kuvien ja kaavioiden tulkintaa 1 Kuvien ja kaavioiden tulkintaa 2 Kokonaisuuden jakaminen osiin 3 Tietojen kerääminen ja taulukointi 4 Kaavioiden piirtäminen 5 Luokittelua ja piirtämistä 6 Tilastollisia tunnuslukuja 7 Erilaisia tilastoja

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi Yksiulotteisen

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet VAASAN YLIOPISTO/AVOIN YLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia 1 KURSSIKYSELYAINEISTO: 1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Benjamin, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi,

Lisätiedot

14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva

14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva 4 Jatkuva jakauma Edellä määriteltiin diskreetiksi satunnaismuuttujaksi sellainen, joka voi saada vain (hyppäyksittäin) erillisiä arvoja. Jatkuva satunnaismuuttuja voi saada mitä hyvänsä arvoja yleensä

Lisätiedot

Kenguru 2015 Benjamin (6. ja 7. luokka)

Kenguru 2015 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 12 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

ALHAMBRA. Muuri Seralji Puutarha Holvikäytävä Paviljonki Asuinrakennus Torni Rakennuksen nimi Hinta

ALHAMBRA. Muuri Seralji Puutarha Holvikäytävä Paviljonki Asuinrakennus Torni Rakennuksen nimi Hinta ALHAMBRA Parhaat rakennusmestarit kaikkialta Euroopasta ja Arabiasta haluavat näyttää taitonsa. Palkkaa sopivimmat työjoukot ja varmista, että sinulla on aina tarpeeksi oikeaa valuuttaa. Sillä kaikkia

Lisätiedot

8.1. Tuloperiaate. Antti (miettien):

8.1. Tuloperiaate. Antti (miettien): 8.1. Tuloperiaate Katseltaessa klassisen todennäköisyyden määritelmää selviää välittömästi, että sen soveltamiseksi on kyettävä määräämään erilaisten joukkojen alkioiden lukumääriä. Jo todettiin, ettei

Lisätiedot

Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) ratkaisut sivu 1 / 6

Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) ratkaisut sivu 1 / 6 Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) ratkaisut sivu 1 / 6 3 pisteen tehtävät 1) Mikä on pienin? A) 2 + 0 + 0 + 8 B) 200 : 8 C) 2 0 0 8 D) 200 8 E) 8 + 0 + 0 2 2) Millä voidaan korvata, jotta seuraava yhtälö

Lisätiedot

Kenguru 2014 Ecolier ratkaisut (4. ja 5. luokka)

Kenguru 2014 Ecolier ratkaisut (4. ja 5. luokka) sivu 1 / 13 3 pistettä 1. Mikä oheisista kuvista esittää ison tähtikuvion keskiosaa? Isossa tähtikuviossa on 9 sakaraa. 2. Kauppias Koikkalainen on maalannut liikkeensä ikkunaan kukkakuvion. Miltä kukkakuvio

Lisätiedot

Kenguru 2015 Benjamin (6. ja 7. luokka)

Kenguru 2015 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet VAASAN YLIOPISTO/KESÄYLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia A KURSSIKYSELYAINEISTO: 1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka

Lisätiedot

Ma8 Todennäköisyys ja tilastot

Ma8 Todennäköisyys ja tilastot Ma8 Todennäköisyys ja tilastot H1 Tilastollisen aineiston kuvaaminen 1.1 Vastaa kuvaajan perusteella kysymyksiin. a) Kuinka paljon tarvitset kuvaajan mukaan unta? b) Paljonko 20-vuotias tarvitsee unta?

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 008 MATEMATIIKKA TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtävä. Maljakossa on 0 keltaista ja 0 punaista tulppaania, joista puutarhuriopiskelijan on määrä

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

3. a) Otetaan umpimähkään reaaliluku väliltä [0,1]. Millä todennäköisyydellä tämän luvun ensimmäinen desimaali on 2 tai toinen desimaali on 9?

3. a) Otetaan umpimähkään reaaliluku väliltä [0,1]. Millä todennäköisyydellä tämän luvun ensimmäinen desimaali on 2 tai toinen desimaali on 9? MAA6 Kurssikoe 1.10.20 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Muista että välivaiheet perustelevat ratkaisusi! Lue ohjeet tarkasti! A-osio. Ei saa käyttää

Lisätiedot

MATEMATIIKKAKILPAILU

MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateollisuuden Kustannusosakeyhtiö Opetushallitus 100-vuotissäätiö Otava AMMATIKKA top 13.11.2014 Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

Blackjack on korttipeli, jossa pelaajan tavoitteena on voittaa pelinhoitaja.

Blackjack on korttipeli, jossa pelaajan tavoitteena on voittaa pelinhoitaja. POHDIN projekti Blackjack Blackjack on pelinhoitajaa vastaan pelattava korttipeli mutta myös ns. uhkapeli 1. Kun kyseessä on ns. rahapeli, niin ikäraja Suomessa on tällaiselle pelille K-18. Blackjackissä

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Ecolier, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Valmistelut: Aseta kartiot numerojärjestykseen pienimmästä suurimpaan (alkeisopiskelu) tai sekalaiseen järjestykseen (pidemmälle edenneet oppilaat).

Valmistelut: Aseta kartiot numerojärjestykseen pienimmästä suurimpaan (alkeisopiskelu) tai sekalaiseen järjestykseen (pidemmälle edenneet oppilaat). Laske kymmeneen Tavoite: Oppilaat osaavat laskea yhdestä kymmeneen ja kymmenestä yhteen. Osallistujamäärä: Vähintään 10 oppilasta kartioita, joissa on numerot yhdestä kymmeneen. (Käytä 0-numeroidun kartion

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

3.5 Todennäköisyyden laskumenetelmiä

3.5 Todennäköisyyden laskumenetelmiä MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 3.5 Todennäköisyyden laskumenetelmiä Aloitetaan esimerkillä, joka on sitä sarjaa, mihin ei ole mitään muuta yleispätevää ohjetta kuin että on edettävä järjestelmällisesti

Lisätiedot

Kenguru 2011 Cadet RATKAISUT (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2011 Cadet RATKAISUT (8. ja 9. luokka) sivu / 2 IKET VSTUSVIHTEHDT N LLEVIIVTTU. 3 pistettä. Minkä laskun tulos on suurin? () 20 (B) 20 (C) 20 (D) + 20 (E) : 20 20 20, 20, 20 20 20 202 ( suurin ) ja : 20 0,0005 2. Hamsteri Fridolin suuntaa

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4 Mb03 Koe 2..20 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu /4 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms.

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

Sisällysluettelo. 1. Johdanto

Sisällysluettelo. 1. Johdanto Säännöt Sisällysluettelo 1. Johdanto 3 2. Sisältö 4 3. Alkuvalmistelut 5 4. Pelin aloitus ja kulku 6 5. Pelin lopetus 9 6. Vaikea peli ja muut pelimuunnelmat 10 1. Johdanto Pelilauta on 25 ruudusta muodostuva

Lisätiedot

1. Jaa blini kolmella suoralla a) neljään, b) viiteen, c) kuuteen ja d) seitsemään osaan. Osien ei tarvitse olla samanlaisia. Piirrä suorat kuviin.

1. Jaa blini kolmella suoralla a) neljään, b) viiteen, c) kuuteen ja d) seitsemään osaan. Osien ei tarvitse olla samanlaisia. Piirrä suorat kuviin. Peruskoulun matematiikkakilpailu 2015 2016 alkukilpailu 29.10.2015. Ratkaisut 1. Jaa blini kolmella suoralla a) neljään, b) viiteen, c) kuuteen ja d) seitsemään osaan. Osien ei tarvitse olla samanlaisia.

Lisätiedot

Kenguru 2014 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2014 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 13 3 pistettä 1. Kauppias Koikkalainen on maalannut liikkeensä ikkunaan kukkakuvion. Miltä kukkakuvio näyttää ikkunan toiselta puolelta katsottuna? (A) (B) (C) (D) (E) Vasen ja oikea vaihtuvat

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. Tilastojen esittäminen. 212. a) 15-19 vuotiaita tyttöjä 156 377 Koko väestö 5 219 732 156 277 Näiden tyttöjen osuus

KERTAUSHARJOITUKSIA. Tilastojen esittäminen. 212. a) 15-19 vuotiaita tyttöjä 156 377 Koko väestö 5 219 732 156 277 Näiden tyttöjen osuus KERTAUSHARJOITUKSIA Tilastoje esittämie. a) -9 vuotiaita tyttöjä 377 Koko väestö 9 73 77 Näide tyttöje osuus 3, 0 % 9 73 b) Pojat ja tytöt: 3 377 + 77 = 39 4 39 4 Osuus koko väestöstä, % 9 73 c) Ikäluokka

Lisätiedot

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. 10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein

Lisätiedot