LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Arvosanat

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Arvosanat"

Transkriptio

1 3 Tilastotutkimuksen analysointi ja raportointi 194. Arvosanat taulukkona: Arvosana f f % Keskuskulma (astetta) 1 4,8 % ,8 % ,8 % ,1 % , % 34 Sektoridiagrammina: 37 % 10 % Arvosanat % 4 % 4 % Kuvaajasta vuoden 1989 vähenemisprosentti on noin 1,3 % ja lukumääräinen väheneminen on noin 81 asukasta. Merkitään asukasmäärää vuoden 1989 alussa muuttujalla x. Saadaan yhtälö 0,013 x 81 : 0,013 x 630, Vuoden 1989 alussa asukasmäärä on ollut 631 ja vuoden lopussa asukasmäärä on ollut = 610. Taulukoidaan vuosiarvot: Vuosi Asukasmäärä vuoden lopussa Muutos Hahmotellaan pylväsdiagrammi. KERTOMA! MAB 8

2 Asukasmäärä vuoden lopussa Ratkaisu riippuu graafin lukutarkkuudesta. Graafi antaa informaatiota ennen kaikkea muutoksesta ja tarkan asukasmäärän laskeminen on mahdotonta. Likimääräisen tuloksen tietojen perusteella voi laskea. Todelliset arvot ovat oheisessa taulukossa Vuosi Asukasluku Vastaus: Väestömäärän muutos prosentteina ilmoitettuna on suurempi vuonna 007 kuin 1989, koska väestömäärä on paljon pienempi 007 kuin vuonna Luokitellaan tulokset kolmeen luokkaan. Luokka Luokkakeskus f [76,80[ 78 3 [80,84[ 8 [84,88[ 86 Piirretään histogrammi. KERTOMA! MAB 83

3 f 197. Muutetaan ajat sekunneiksi. 4:9 4:08 4:1 4:7 :4 3:17 :00 3:1 6:9 4:39 3:4 6: 3:40 :30 : :07 4:36 4:8 0:44 4: 4:03 4:31 3:6 7:16 3:06 4:0 3:36 4:18 3:7 : Luokitellaan ajat viiteen luokkaan. Luokkakeskus Frekvenssi [0, 100[ 0 1 [100, 00] 10 [00, 300[ 0 17 [300, 400[ 30 4 [400, 00[ 40 3 Histogrammi: f Berliini Heiton pituus Kappaleiden kesto aika (s) 198. Jos koko kulutus on 100A, niin välillisen kulutuksen osuus on 6A ja välittömän 44A. Tällöin välilliselle kulutukselle esimerkiksi elintarvikkeiden osuus koko kulutuksesta on 0,38 6A = 1,8A eli noin 1,3 % koko kulutuksesta. Vastaavasti saadaan muut välillisen kulutuksen osuudet koko kulutuksesta. Välittömille saadaan vastaavasti esimerkiksi kotitaloussähkön osuus 0,18 44A = 7,9A eli 7,9 % koko kulutuksesta. Taulukoidaan arvot ja piirretään sektoridiagrammi. Osuus koko kulutuksesta % Elintarvikkeet 1 Tavarat ja palvelut 11 Vaatetus 4 Välillinen asuminen 1 Välillinen liikenne 8 Kotitaloussähkö 8 Valaistus 1 Lämmitys 0 Lämminkäyttövesi Henkilöautoliikenne 10 Sektoridiagrammi: Osuus koko kulutuksesta % % 0 % 1 % 10 % 8 % 8 % 1 % 11 % 4 % 1 % Elintarvikkeet Tavarat ja palvelut Vaatetus Välillinen asuminen Välillinen liikenne Kotitaloussähkö Valaistus Lämmitys Lämminkäyttövesi Henkilöautoliikenne KERTOMA! MAB 84

4 4 Tunnuslukuja 199. Yleisin arvosana on 3, joten se on moodi. Keskimmäinen arvosana on 3, koska suhteellinen summafrekvenssi ylittää 0 %. Mediaani on siis 3. Keskiarvo ja keskihajonta voidaan laskea laskimen tilastotoiminnoilla: Keskiarvo on x =,87,9. Otoskeskihajonta on s = 1,031 1,0. Perusjoukon keskihajonta on s = 1,07 1,0. Laaditaan arvosanoista pylväsdiagrammi. Arvosanat Jos (perusjoukon) keskihajonta lasketaan taulukoimalla, niin saadaan f( xi x) 118, 1,07 n Vastaus: Moodi on Mo = 3, mediaani on Md = 3, keskiarvo on x =,87,9 ja keskihajonta on s 1,0. Muodostetaan frekvenssitaulukko. Arvosana f f % sf sf % % 1 11 % 3 1 % 3 31 % 3 46 % % % % 8 7 % % Yhteensä 11 Silmien väriin voi soveltaa luokitteluasteikon tunnuslukuja, joten moodi on ainut sopiva tunnusluku. Vihreän frekvenssi on suurin, joten moodi on vihreä. Vastaus: Moodi on Mo = vihreä. KERTOMA! MAB 8

5 01. b) Harjoituksia on yhteensä 49. Viikossa on harjoituksia keskimäärin 49 3,76 3, Vastaus: 3,8 c) Kokonaisharjoitusaika on 7, h ja kertoja on 49. Harjoituksen pituus tunteina on keskimäärin 7, 1, 480 1, 49. Taulukoidaan molempien diagrammien frekvenssit. Lasketaan lisäksi neljänteen sarakkeeseen harjoitusaikojen keskiarvot d-kohtaa varten. Viikko Aika (h) Kerrat Keskimääräinen aika (h) ,6 4,1 3 1,4 3 10, 6 1, ,6,1 3 1, ,1 3 1, , 1, , 11 11, 7 1,6 1 8, 1, , Yhteensä 7, 49 1, Vastaus: 1, h d) Piirretään pylväsdiagrammi taulukon neljännen sarakkeen luvuista. aika (h) 3, 1, 1 0, 0 Keskimääräinen harjoitusaika viikko a) Viikoittaiset frekvenssit on esitetty kolmessa ensimmäisessä sarakkeessa. KERTOMA! MAB 86

6 0. Ryhmän arvosanat: Ryhmä 1 Ryhmä Laaditaan ensin frekvenssitaulukko. Arvosana Ryhmä 1 Ryhmä Lasketaan keskiarvot ja keskihajonnat laskimella molemmille ryhmille ja lasketaan vertailuluvut arvosanalle 7. Ryhmä 1: x 6, 9, s 1,63 Normitettu arvo on xx 76,9 z 0,049 s 1, 63 Ryhmä : x,87, s 1,9 Normitettu arvo on xx 7,87 z 0,71 s 1, 9 Arvosanan 7 vertailuluku (normitettu arvo) on parempi ryhmässä, joten 7 on parempi arvosana ryhmässä. Vastaus: Ryhmässä On laskettava keskiarvo ja keskihajonta molemmille ryhmille sekä niiden avulla vertailuluvut (normitetut arvot) arvosanalle 7. KERTOMA! MAB 87

7 03. Nikellä on kolme samaa arvosanaa. Merkitään tätä arvosanaa muuttujalla x. Yhden kurssin arvosana on yhden arvosanan verran huonompi, kuin nuo kolme, joten merkitään sitä x 1. Viidennen kurssin arvosanaa Nikke ei muista, joten merkitään sitä muuttujalla y. Viimeinen kuudes arvosana on vielä tulossa, ja merkitään sitä muuttujalla z. Jotta kuuden kurssin keskiarvo on vähintään 7,, arvosanojen summan on oltava vähintään 6 7, = 4. Niken arvosanojen summa on 3x + (x 1) + y + z = 4x 1 + y + z. Ajatellaan, että viimeisen kurssin suoritus on vähintään seitsemän. Lasketaan Niken erilaiset keskiarvovaihtoehdot. x y z 4x-1+y+z Taulukosta voidaan tarkastella tilannetta tarkemmin. Taulukosta voidaan päätellä, että kolmen saman arvosanan (x) on oltava vähintään seitsemän. Jos kolmesta ensimmäisestä kurssista tuli arvosanaksi 7, niin neljäs arvosana on x 1 = 7 1 = 6. Viides arvosana (y) riittää olla 8, jos kuudennesta tulee arvosana 10. Jos kolmesta ensimmäisestä kurssista tuli arvosanaksi 8, niin neljäs arvosana on x 1 = 8 1 = 7. Viides arvosana (y) riittää tällöin olla 4, jos kuudennesta tulee arvosana 10. Vastaus: Viidestä ensimmäisestä kurssista on pitänyt saada vähintään kolme seiskaa, yksi kuutonen ja kahdeksan, että keskiarvo kahdeksan on mahdollinen. 04. Merkitään: Musiikin numero on A ja kaikkien aineiden arvosanojen summa jouluna B ja keväällä C. Todistuksessa on n ainetta. Taulukoidaan tiedot. Keskiarvo musiikin numeron kanssa Joulu B x, josta saadaan B = nx. n Kevät C x 0,37, josta saadaan n C = n(x + 0,37). Keskiarvo ilman musiikin numeroa B A y n 1 C A y 0,4, josta saadaan n 1 C A y 0,4. n 1 Sijoitetaan saadut B ja C keskiarvon lausekkeisiin ilman musiikin numeroa. Kirjoitetaan yhtälö kevään ja joulun välille (jouluna y on sama kuin keväällä y). KERTOMA! MAB 88

8 y y BA CA 0, 4 n1 n1 nx A n( x 0,37) A 0, 4 ( n 1) n1 n1 nx A nx 0,37n A 0, 4( n 1) nx nx A A 0,37n 0, 4n 0, 4 00,37n0,4n0,4 0,37n0, 4n0, 4 0,0n 0, 4 : 0,0 n 16 Kun n = 16, niin C = nx + 0,37n = 16x + 0,37 16 = 16x + 6 ja B = nx = 16x. Huomataan, että arvosanojen summa kasvoi kuudella. Jos mikään ei noussut yli kahta numeroa, niin ainakin kolme ainetta nousi (kaikki nousivat kahdella.) Vastaus: Arvosanat kuudestatoista aineesta ja ainakin kolme arvosanaa nousi. Todennäköisyys 0. Luokalla on yhteensä = 30 oppilasta. a) Suotuisia on kappaletta: P(19 - vuotias) 0,166 0,17 30 Vastaus: 0,17 b) Suotuisia ovat 16- ja 17-vuotiaat, joita on = 1: 1 P(19 - vuotias) 0, 30 Vastaus: 0, c) Luokalla ei ole yhtään 19-vuotiasta. Vastaus: a) Ainut vaihtoehto on laskea, kuinka monta kuolemaa tilastollisesti sattuu miljoonan ajokilometrin aikana. Tässä ei voida huomioida Matin asemaa kuljettajana tai hänen ajotaitojaan yms P(kuolema) 0, 4 0, Vastaus: 0,08 % KERTOMA! MAB 89

9 b) Tehtävässä pitää arvioida, kuinka paljon keskimäärin autolla tai pyörällä ajetaan vuodessa. Jos autoilija ajaa km vuodessa ja pyöräilijä 00 km, niin todennäköisyydet kolmenkymmenen vuoden aikana ovat P(kuolema henkilöauto) 3,1 0, ja P(kuolema pyörä) 3,1 0, Vastaus: Henkilöautolla 0,01 % ja pyörällä 0,07 % 07. Laatikossa on 13 palloa, joista vihreitä on neljä. Lisätään laatikkoon n palloa, jolloin oranssin todennäköisyys on n 4 P(oranssi). n 13 Määritetään yhtälöstä P(oranssi) = 0,, millä arvolla päästään täsmälleen arvoon 0,. n 4 0, ( n 13) n 13 n40,( n13) n40,n6, 0,n, : 0, n Kun lisätään oranssia palloa, todennäköisyys on täsmälleen 0 %, joten oransseja palloja on lisättävä kuusi. 08. Määritetään etäisyys pohjasta: Ylempi osa kartiosta on suotuisa alue. (Jos ollaan täsmällisiä, niin reuna on kaareva, koska etäisyydet kärjestä ja pohjasta eivät ole samalla kohtisuoralla kuin erikoistapauksessa.) Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Ja tämä suhde on myös kysytty todennäköisyys. A 3 1 P(lähempänä kärkeä) 0,1 A 8 Vastaus: 0,1 A A Vastaus: 6 KERTOMA! MAB 90

10 09. 0cm 9cm 0cm b) Suotuisa aikaväli on tulla viisi minuuttia ennen bussin saapumista tai kun bussi odottaa pysäkillä. P(odotus alle min) 0,833 0,8 1 Vastaus: 0,8 c) Matkailijan odotusaika on 0 min minuutin aikavälillä, koska silloin pääsee suoraan bussiin. P(0 min) 0,1666 0,17 1 Suotuisa alue on oranssilla väritetty alue. Alueen pinta-ala on neliön pinta-ala vähennettynä ympyrän pinta-alalla. Ympyrän ala: A = πr Neliön ala: A = s 0 9 P(etäisyys keskipisteeestä yli 9) 0,3638 0,36 0 Vastaus: 0, Aikaväli on 1 min, josta min bussi on pysäkillä. min 1 min min a) Bussiin nousemista ei tarvitse odottaa koskaan yli 11 min, koska pisin odotusaika on 10 min. Vastaus: 0 Vastaus: 0, Ensimmäisen jaon jälkeen pakassa on = 47 korttia. P(ruutu) = 0,. Ruutujen määrä x: x 0, x 9, 4 Pakassa on täten joko 10 tai 9 ruutua Molemmat pyöristyvät arvoon 0,. Voidaan ajatella, että Matilla on kädessä jo 4 ruutua, joten pakassa on 9 ruutua. Vastaus: 9 1. Ihmisiä: 100, tupakoi: 0A Keuhkosyöpä niillä, jotka tupakoivat: 0,0 0A = A Keuhkosyöpä niillä, jotka eivät tupakoi: 0,01 80A = 0,8A Yhteensä keuhkosyöpäisiä on A + 0,8A = 1,8A. Näistä tupakoi A, joten A 100%, % 6% 1, 8A. Vastaus: 6 % KERTOMA! MAB 91

11 13. a) Erilaisia vaihtoehtoja on viisi, joissa yhdessä on teksti 1 P(teksti piilossa) 0,. Vastaus: 0, b) Koska vaihtoehtoja on viisi ja muoto on säännöllinen, niin sivu ei voi olla suoraan ylöspäin. Vastaus: 0 6 Lukumäärien laskeminen a) Kahdeksasta joukkueesta voidaan muodostaa pari 8 eri tavalla. (Tai 87 8 ) 4 b) Molemmissa lohkoissa pelataan loppuottelu (Tai ) eri peliä. Lopussa on yksi Tietyt kaksi joukkuetta (esim. joukkueet A ja B) voidaan valita siihen alkulohkoon vain yhdellä tavalla (eli 1 ). Heidän lisäksi samaan alkulohkoon voidaan valita kaksi muuta joukkuetta kuudesta jäljellä 6 olevasta 1 eri tavalla, joten saadaan todennäköisyys P(pari) 0,148 0, Vastaus: a) 8 b) 13 c) 0,14 1. a) Muodostetaan yhtälö: n 6 3 n! 6 3!( n 3)! nn ( 1)( n)( n3)! 6 3! ( n 3)! nn ( 1)( n) 6 3! Yhtälö ei ratkea lyhyen matematiikan taidoilla, joten ratkaistaan yhtälö kokeilemalla: , 10, 0, 3, 6, joten saadaan n = c) Alkulohkoon voidaan valita kahdeksasta joukkueesta neljä 8 joukkuetta 70 eri tavalla. 4 KERTOMA! MAB 9

12 b) Muodostetaan yhtälö, joka ratkaistaan. n 311 n! 311!( n )! nn ( 1)( n)! 311! ( n )! nn ( 1) 311! nn ( 1) 311 nn ( 1) 60 n n n n 0 tai n 49 Negatiivinen arvo n = 49 ei kelpaa, joten n = 0. Vastaus: a) n = 8 b) n = Psykologian kokeessa on 6 13 Fysiikan kokeessa on 8 10 erilaista tapaa valita tehtävät. 187 erilaista tapaa valita tehtävät. Prosentteina 187 6,18, eli 13 % enemmän (Tai laskemalla % ) a) 16 pelaajasta saadaan 8 paria, joten ensin pelataan 8 peliä. Sitten muodostetaan edellisten pelien voittajista peliparit eli pelataan 4 peliä. Seuraavaksi vielä peliä ja lopuksi finaali eli 1 peli. Yhteensä = 1 peliä. b) Paras pelaaja voi ensimmäisellä kierroksella kohdata 14 pelaajaa (ei toiseksi parasta) 1 mahdollisesta, toisella kierroksella vastaavasti 6 pelaajaa 7 mahdollisesta ja kolmannella pelaajaa 3 mahdollisesta ja viimeisessä eli finaalissa vain sen toiseksi parhaan eli P(kaksi parasta finaalissa) , 333 Vastaus: a) 1 b) 8 0, Maaliskuussa on 31 päivää. Peräkkäisiä päiviä on 30 eri tapaa (Peräkkäisistä päivistä ensimmäinen päivä voi olla 30 tavalla (jotta on molemmat maaliskuussa) ja sitä seuraava päivä vain 1 tavalla.). Peräkkäisiä päiviä ovat 1,;,3; 30,31. Siis peräkkäisiä päiviä on 30 kappaletta. Jos he ovat syntyneet eri päivinä, niin näitä vaihtoehtoja on Jos he ovat syntyneet samana päivänä, niin vaihtoehtoja on 31. Saadaan todennäköisyys 30 1 P(peräkkäin) 0, , Vastaus: 6,0 % Vastaus: Fysiikan kokelaalla on 13 % enemmän valintavaihtoehtoja. KERTOMA! MAB 93

13 19. Viisi korttia voidaan valita korttipakan kortista 707 eri tavalla. 13 Kaksi ruutua voidaan valita 13 ruudusta 78 eri tavalla. Niiden lisäksi kolme muuta korttia voidaan valita ei-ruuduista 39 (3 maata 13 korttia = 39) 9139 eri tavalla. 3 Saadaan todennäköisyys P(täsmälleen kaksi ruutua) , ,74. (Tai P(kaksi ruutua (mitkä vain viidestä) ja 3 jotain muuta maata) ,747 ) Vastaus: 0,74 0. Lippu voidaan värittää tuloperiaatteen mukaan = eri tavalla. Vastaus: a) Jos on 30 oppilasta ja 30 pulpettia, niin erilaisia istumajärjestyksiä voidaan muodostaa 30! =,6 10 3, b) Jos on 30 oppilasta ja 30 pulpettia, niin kolme tyhjää pulpettia 30 voidaan valita 4060 eri tavalla. 3 Ensimmäinen oppilas voi valita paikan 30 pulpetista. Seuraava 9 jne. Viimeinen valitsee 4 pulpetista, joten erilaisia istumajärjestyksiä voidaan muodostaa 30! , ,4 10 3! kappaletta. (Laskimella 30 npr 7) 30! 0 c) Aikaa kuluu, s. 1 vuosi = 36, vrk = 36, s = s. Kone käsittelee siis , järjestystä vuodessa. Kuluva aika vuosina on !,610, , , ,4010 8,410. Vastaus: a) 30!, b) tapaa ja c) 8, vuotta 31 4, 4 10 järjestystä 6. Kuudesta paikasta voidaan valita pisteelle kolme paikkaa tavalla. Vastaus: eri KERTOMA! MAB 94

14 7 Todennäköisyyden laskusääntöjä 3. a) Violetti pallo voi tulla joko laatikosta A (3 violettia ja yht. 6 palloa) tai laatikosta B (1 violetti ja yht. palloa). Tapahtumat ovat erilliset. PviolettiPlaatikko A JA violetti Plaatikko B JA violetti ,3 6 0 Vastaus: 0,3 b) Violetti tai keltainen. Laatikosta A saa varmasti ja laatikossa B (1 violetti ja yhteensä 6 palloa) P violetti TAI keltainen P laatikko A JA violetti tai keltainen Plaatikko B JA violetti ,6 6 Vastaus: 0,6 4. Hatussa on joko kaksi oranssia palloa tai musta ja oranssi pallo. Tässä esiintyy neljä yhtä todennäköistä vaihtoehtoa, joissa avustaja ottaa joko oranssin tai mustan pallon. Avustaja ottaa Hattuun jää ORANSSIN (kaksi O hatussa) ORANSSI ORANSSIN (kaksi O hatussa) ORANSSI ORANSSIN MUSTA MUSTAN ORANSSI Kun avustaja ottaa oranssin, niin on kolme alkeistapausta (keltaisella). Näistä kahdessa on oranssi pallo hatussa. P oranssi 3. Lasketaan vastatapahtuman avulla. Tällöin kaikkien korttien pitää olla eri numeroa. Ensimmäinen kortti voi olla mikä vain ( vaihtoehtoa). Toisen pitää olla eri kuin ensimmäisen (48 vaihtoehtoa). Kolmannen eri kuin ensimmäisen ja toisen jne. Pvähintään kaksi samaa 1Pkaikki eri numeroa ,0708 0,499 0, Vastaus: 0, Taulukoidaan tapahtumat ja merkitään suotuisat tapaukset rastilla. Ainakin toisen pitää olla kuutonen. 6 X X X X X X X 4 X 3 X X 1 X Suotuisia tapahtumia on 11 kappaletta. 11 P(suurempi kuin viisi) 0,30 36 Vastaus: 0, a) Kuuden pallon ryhmiä voidaan valita 48 pallosta 48 48! 1711 kappaletta. 6 6! (486)! Vastaus: Vastaus: 3 KERTOMA! MAB 9

15 b) Kuudesta oikeasta numerosta voidaan valita neljä 6 6! 6 1 eri tavalla. 4 4! (64)!! Väärät kaksi numeroa valitaan 4 numerosta. Nämä voidaan valita 4 4! 861 eri tavalla.! (4)! Erilaisia rivejä, joissa on neljä oikeaa numeroa (lisänumerot ovat tietysti mahdollisia, mutta tässä ei haeta voittoluokkia) on = 1 91 kappaletta. Kysytty todennäköisyys on a-kohdan avulla P(neljä oikein) 0, Vastaus: 0,0010 c) Kuudesta oikeasta numerosta voidaan valita viisi 6 6! 6 6! (6 )! 1 eri tavalla. Kahdesta lisänumerosta voidaan valita yksi oikea kahdella eri tavalla. Erilaisia rivejä, joissa on viisi oikeaa numeroa ja yksi lisänumero on 6 = 1 kappaletta. Kysytty todennäköisyys on a-kohdan avulla P(neljä oikein) 9, Vastaus: 9, = 0, a) Pyksi tai kaksi Pyksi Pkaksi p p 1 0,13 0,13 0,4 1!! Vastaus: 0,4 1 b) Pvähintään kolme1palle kolme 1PnollaPyksiPkaksi 1p0 p1 p ,13 0,13 0,13 0! 1!! 10,67 0,3 Vastaus: 0,3 c) Yhden tunnin kuluessa ei tule yhtään puhelua: 0 p0 0,13 0,13 0! Tämä tapahtuu kolmesti peräkkäin: P(ei yhtään puhelua) = 0,13 3 = 0,0046 0,00 Vastaus: 0,00 9. a) Jako on ensimmäinen, joten kuvien laskeminen ei vaikuta tilanteeseen. Pakassa on yhteensä kuvakorttia. Yhteensä jaetaan 10 korttia ja kaikkien on oltava kuvia. Lasketaan todennäköisyys 7 pakan tilanteessa, jolloin kortteja on 7 = 364, kuvakortteja = 11 ja ässiä on 4 7 = 8. KERTOMA! MAB 96

16 Ensimmäisen pelaajan jälkeen korttien määrä on vähentynyt kahdella ja kuvien ja ässien yhdellä jne. kaikilla ässä ja kuva P P P3.pelaajalla ässä ja kuvap4.pelaajalla ässä ja kuva P.pelaajalla ässä ja kuva P = 1.pelaajalla ässä ja kuva.pelaajalla ässä ja kuva , Vastaus: 1, = 0, b) P(ainakin yhdellä on molemmat 1-9) = 1 P(kaikilla on 10,11,1 TAI 13) Lasketaan jälleen 7 kortin pakalla , Vastaus: 0, Numerot voivat olla peräkkäin joko (1) 1XX tai () X1X tai (3) XX1, missä X on numero 1-6. Tapahtumat 1 ja 3 eivät ole erilliset. Jos kaksi tapahtuu, niin 1 ja 3 ei voi tapahtua. P 1 ja peräkkäin P 1 P P 3 P1 ja , Vastaus: 0, Arpojen määrä on pieni, joten se on otettava huomioon. Todennäköisyys on helpompi laskea vastatapahtuman avulla. Voitottomia arpoja on 44 kappaletta. P Mirkku saa ainakin yhden voiton 1P Mirkku ei saa voittoa ,4440,7 0,6 Vastaus: 0,6 3. P(arpa voittaa) = 0, P(arpa ei voita) = 0,7 Veikkauksen arpoja on miljoonia, joten tässä edellisen arvan voitottomuus ei merkittävästi vaikuta tulokseen. a) P(10 arpaa ja ei yhtään voittoa) = 0,7 10 = 0,0631 0,06 Vastaus: 0,06 b) Ostetaan n arpaa. P(vähintään yksi voitto) = 1 P(ei yhtään voittoa) Jos ostetaan n arpaa, niin P(ei yhtään voittoa) = 0,7 n. Todennäköisyydellä 0,99 vähintään yksi voitto: 1 P(ei yhtään) > 0,99. Ratkaistaan vastaava yhtälö. n 1 0,7 0,99 n 0,7 0, 01 lg n lg 0,7 lg 0,01 nlg 0,7 lg 0,01 : lg 0,7 n 16,007 Vastaus: On ostettava vähintään 17 arpaa. KERTOMA! MAB 97

17 33. A = Sami voittaa P(A) = 0,3 B = Teemu voittaa P(B) = 0,3 C = Tero voittaa P(C) = 0,4 Sami ei saa voittaa enää yhtään peliä. Teemu voi voittaa vielä kaksi peliä ja Teron pitää voittaa kolme peliä. Suotuisa tilanne päättyy Teron kolmanteen voittoon. Peli päättyy Teron voittoon seuraavilla kombinaatioilla: Teemu voittaa kahdesti 1) BBCCC ) BCBCC 3) BCCBC 4) CCBBC ) CBBCC 6) CBCBC Teemu voittaa kerran: 7) BCCC 8) CBCC 9) CCBC Tero voittaa kolmesti peräkkäin: 10) CCC On kymmenen erilaista tapaa päätyä Teron voittoon. Pelien 1) 6) todennäköisyydet ovat samat esim. P(1) = 0,3 0,4 3 = 0,0076. Samoin pelien 7) 9): P(7) = 0,3 0,4 3 = 0,019 P(Tero voittaa) = 6 0, , ,4 3 = 0,1616 Vastaus: 16 % 8 Normaalijakauma 34. Lasketaan, millä todennäköisyydellä satunnainen nainen on alle 17 cm pitkä. Keskiarvo on 163 (cm) ja keskihajonta on 6 (cm). Normitetaan muuttujan arvo x = 17. xx z s 6 Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. P(x < 17) = P(z <,00) 97,7 % = Ф(,00) = 0,977,00 Satunnainen nainen on alle 17 cm pitkä todennäköisyydellä 0,977. Lasketaan, millä todennäköisyydellä satunnainen mies on alle 17 cm pitkä. Keskiarvo on 177 (cm) ja keskihajonta on 7 (cm). Normitetaan muuttujan arvo x = 17. xx z 0, 8 0,9 s 7 Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. P(x < 17) = P(z < 0,9) = P(z > 0,9) = 1 Ф(0,9) = 1 0, ,9 % 61,41 % = 0,389 0,9 Satunnainen mies on alle 17 cm pitkä todennäköisyydellä 0,389. P(Satunnainen mies ja nainen ovat molemmat alle 17 cm pitkiä) = 0,389 0,977 = 0, % Vastaus: Satunnainen mies ja nainen ovat molemmat alle 17 cm pitkiä 38 %:n todennäköisyydellä. KERTOMA! MAB 98

18 Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto 3. Keskiarvo on 04 (g) ja keskihajonta on 6 (g). Lasketaan kuinka monella prosentilla pakkauksista massa oli alle 00 g eli P(x < 00). Normitetaan muuttujan arvo x = 00. x x z 0,666 0,67 s 6 Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. P(x < 00) = P(z < 0,67) = P(z > 0,67) = 1 Ф(0,67) = 1 0,7486 = 0,14 =,14 % %,14 % P(00 < x < 10) = P( 0,67 < z < 1) = P(z < 1,00) P(z < 0,67) = Ф(1,00) (1 Ф(0,67) ) = 0,8413 (1 0,7486) = 0,8413 0,14 = 0,899 9 % 84,13 %,14 % 9,99 % 0,67 1,00 84,13 % 1,00 74,86 % 0,67,14 % Lasketaan, kuinka monella prosentilla pakkauksista massa oli välillä 00 g 10 g eli P(00 < x < 10). 74,86 % 0,67 Vastaus: Massa oli alle 00 g % pakkauksista ja massa oli välillä 00 g 10 g 9 % pakkauksista. Normitetaan molemmat muuttujan arvot: x x z 0,666 0,67 s 6 x x z 1 s 6 Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. (Voidaan myös käyttää hyödyksi edellistä laskelmaa ja kuvaa.) KERTOMA! MAB 99

19 36. Keskiarvo on 97 (km/h) ja keskihajonta 1 (km/h). Nopeus noudattaa normaalijakaumaa v ~ N(97, 1). Määritetään ensin, kuinka monta prosenttia ylittää nopeusrajoituksen 100 km/h eli P(v > 100). xx z 0, s 1 Pv ( 100) Pz ( 0,) 1 Pz ( 0,) 1 (0,) 10,987 0,4013 9,87 % 40,13 % Katsotaan taulukosta, mikä arvo normeeratulle muuttujalle on lähinnä arvoa 0,968. Φ(1,8) = 0,9678 Φ(1,86) = 0,9686 Kun z = 1,8, niin saadaan yhtälö nopeudelle. x 97 1,8 1 1 x 97, x 97, x 119, Vastaus: 119 km/h 96,8 % 3, % 1,8 0, Jos autoilijoiden määrä on A, niin edellisen perusteella 0,4013A autoilijaa ylittää nopeusrajoituksen 100 km/h. Näistä 8 % on 0,08 0,4013A = 0,03104A. Merkitään puuttumisrajaa muuttujalla x, jolloin P(v > x) = 0,03 eli P(v < x) = 0,968. Normeerauksen jälkeen: x97 x97 pv ( x) Pz 0, KERTOMA! MAB 100

20 37. Keskiarvo on 7 (g) ja keskihajonta on 4, (g). Normitetaan muuttujan arvo x = 70. xx 70 7 z 0, 444 0, 44 s 4, Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. P(x < 70) = P(z < 0,44) = P (z > 0,44) = 1 Ф(0,44) = 1 0,6700 = 0,3300 = 33 % 33,00 % 67,00 % 0,44 Kiekoista 33 % on massaltaan alle 70 g. Merkitään keskiarvoa muuttujalla x ja keskihajonta on 4, (g). Valmistaja haluaa, että 70 % kiekoista painaa alle 70g eli P(x < 70) = 0,70. Normitetaan muuttujan arvo x = 70. x x 70 x z s 4, Halutaan löytää se muuttujan x = 70 normitettu arvo a, jolle pätee P(x < 70) = 0,70 eli P(z < a) = 0,70. Tutkitaan tilannetta mallikuvan avulla. 70 % a Etsitään taulukkokirjasta se normitettu arvo a, jolle Ф (a) = 0,70. Löydetään Ф(0,) = 0,698 ja Ф(0,3) = 0,7019. Kun haettavaa todennäköisyyden arvoa ei löydy taulukosta, valitaan lähin mahdollinen arvo. Lähempänä lukua 0,70 on 0,698, joten saadaan a = 0,. Voidaan merkitä P(x < 70) = 0,70 P(z < 0,) 0,70. Saadaan yhtälö, josta ratkaistaan muuttujan x arvo. 70 x 0, 4, 4, 70 x,34 x,34 70 x 747,66 x 747,66 Jos käytetään samaa tarkkuutta, kun tehtävän keskiarvossa on, niin saadaan keskiarvoksi 748. Tällöin xx 70 x z 0,444 0,44. s 4, 4, P(x < 70) = P(z < 0,44) = Ф(0,44) = 0,6700 = 67 % 67,00 % 0,44 Huom. Tarkkuudella 747,7 saadaan P(x < 70) = P(z < 0,1) = Ф(0,1) = 0,690 = 69,0 %. Vastaus: Kiekoista 33 % on massaltaan alle 70 g. Keskiarvolla 748 g noin 70 % painaa alle 70 g. KERTOMA! MAB 101

21 Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto 38. Keskiarvo on 76,0 (km/h) ja keskihajonta on (6,0 km/h). Kysytään todennäköisyyttä P(80 < x < 9). Normitetaan molemmat muuttujan arvot. x x z 0,666 0,67 s 6 x x 9 76 z 3,1666 3,17 s 6 Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. P(80 < x < 9) = P(0,67 < z < 3,17) = P(z < 3,17) P(z < 0,67) = Ф(3,17) Ф(0,67) = 0,999 0,7486 = 0,06 % Lasketaan seuraavaksi, kuinka suuri osuus lukion B opiskelijoista menestyi kokeessa keskiarvoa paremmin, mutta huonommin kuin Bertta, eli lasketaan P(7 < x < 80). Lukion B keskiarvo on 7 ja keskihajonta 6,8. Normitetaan molemmat muuttujan arvot. x x 7 7 z 0 6,8 s x x 80 7 z 1,1764 1,18 6,8 s Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. P(7 < x < 80). =P(0 < z < 1,18) = P(z < 1,18) P(z < 0) = Ф(1,18) Ф(0) = 0,8810 0,0 = 0,381 = 38,1 % 88,10 % 99,9 % 74,86 %,06 % 0,67 3,17 0 % Vastaus: Autoilijoista % voisi saada rikesakon Lukiossa A keskiarvo oli 7 ja keskihajonta 9,. Alinan pistemäärä oli 8 ja sen normitettu arvo on x x 8 7 1,0869 1,09. s 9, Lukiossa B keskiarvo oli 7 ja keskihajonta 6,8. Bertan pistemäärä oli 80 ja sen normitettu arvo on x x ,1764 1,18. s 6,8 1,18 0 % 0 88,10 % Bertan normitettu pistemäärä on suurempi, joten hän menestyi paremmin suhteessa oman lukionsa opiskelijoihin. KERTOMA! MAB 38,10 % 1,18 10

22 Keskiarvon ja Bertan välissä oli 38,1 % koulun B opiskelijoista. Lasketaan seuraavaksi, kuinka suuri osuus lukion A opiskelijoista menestyi kokeessa Alinaa paremmin eli lasketaan P(x > 8). Lukion A keskiarvo on 7 ja keskihajonta 9,. Normitetaan muuttujan arvo x = 8. xx 8 7 z 1,0869 1,09 s 9, Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. P(x > 8) = P(z > 1,09) = 1 Ф(1,09) = 1 0,861 = 0,1379 = 13,79 % 13,8 % 40. Hahmotellaan tilanne mallikuvien avulla. Keskiarvo on 100, joten arvot 97 ja 103 ovat yhtä kaukana keskiarvon molemmin puolin. 43 % 43 % % % = 43 % + 43 % 0 % + 43 % = 93 % Keskiarvo on 100 ja merkitään keskihajontaa muuttujalla s. Normitetaan muuttujan arvo x = 103: xx z s s s 86,1 % 13,79 % 1,09 Alinaa paremmin menestyi 13,8 % lukion A opiskelijoista. Vastaus: Bertta menestyi paremmin oman lukionsa tasoon verrattuna. Keskiarvon ja Bertan välissä oli 38,1 %. Alinaa parempia oli 13,8 %. 93 % Halutaan löytää se muuttujan x = 103 normitettu arvo a, jolle pätee P(x < 103) = 0,93 eli P(z < a) = 0,93. Etsitään taulukkokirjasta se normitettu arvo a, jolle Ф(a) = 0,93. Löydetään Ф(1,47) = 0,99 ja Ф(1,48) = 0,9306. a Jos kysyttyä todennäköisyyden arvoa ei löydy taulukosta, valitaan lähin mahdollinen arvo. Lähempänä lukua 0,93 on 0,9306, joten valitaan a = 1,48. KERTOMA! MAB 103

23 Saadaan yhtälö, josta ratkaistaan muuttujan s arvo. xx z s s s 3 1, 48 s s 3 1,48s 1, 48s 3 : 1, 48 s,070 Lasketaan P(x > 10), kun keskiarvo on 100 ja keskihajonta on s =,070 xx z, 4666, 47 s, 070 Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. P(x > 10) = P(z >,47) = 1 Ф(,47) = 1 0,993 = 0,0068 = 0,68 % 99,3 % 0,68 %,47 Vastaus: Mittausarvo on yli 10 todennäköisyydellä 0,68 %. 41. Taulukoidaan ja lasketaan arvosanojen keskiarvo ja keskihajonta. Sitten arvioidaan pisterajaa normaalijakaumalla. Pisteet f Pisteet f Lasketaan keskiarvo ja -hajonta laskimen toiminnoilla: Keskiarvo on 37,4. Keskihajonta on 1,9. Arvioidaan pistemäärää normaalijakaumalla, joten merkitään, että pistemäärä p noudattaa normaalijakaumaa p ~ N(37,4; 1,9). KERTOMA! MAB 104

24 Merkitään laudaturin rajaa muuttujalla x. Tällöin P(p < x) = 0,9. Normeerauksen jälkeen: x37,4 x37,4 P( p x) Pz 0,9 1,9 4, Katsotaan taulukosta, mikä arvo normeeratulle muuttujalle on lähinnä 0,9. Φ(1,64) = 0,949 Φ(1,6) = 0,90 Voidaan käyttää taulukon alaosasta löytyvää arvoa Φ(1,6449) = 0,9. Kun z = 1,6449, niin saadaan yhtälö rajapistemäärälle x 37, 4 1,6449 1,9 1,9 x 37,4 1,191 x 8,6191 Vastaus: Pisterajan on oltava 9 pistettä. Huom. Jos käytetään jakaumaa N(37,13), saadaan pisterajaksi 8. Tai keskiarvo ja hajonta taulukoimalla: Pisteet f Tulo , , , , , , , , , ,30 6 9, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,06 keskiarvo 37,3871 keskihajonta 1,979 KERTOMA! MAB 10

25 4. Heitetään kolikkoa 100 kertaa, joten n = 100. Tällöin keskiarvo on 0,n = 0, 100 = 0 ja keskihajonta on s 0,n 0,100, joten klaavojen määrä x ~ N(0, ). Tehtävässä oleva muuttuja on diskreetti. Tässä sitä sovelletaan kuitenkin normaalijakaumaan, jossa käytetään jatkuvaa muuttujaa. Siksi a-kohdassa luvun 60 tilalla käytetään lukua 9,, joka pyöristyy lukuun 60. Vastaavasti b-kohdassa välin 40 < x < 60 tilalla käytetään väliä 39, < x < 60,. c-kohdan Tasan 0 on ns. pistetodennäköisyys, jota ei voida laskea normaalijakaumalla. Tässä kuitenkin em. seikoista johtuen käytetään Tasan 0 tilalla väliä 49, < x < 0,, jonka todennäköisyys voidaan määrittää. a) On vähintään 60 klaavaa eli 9, (pyöristyy lukuun 60). P(x > 9,) = 1 P(x < 9,) 9, 0 1 Px ( 9,) 1Pz 11,910,97130,087 60, 0 39, 0 px ( 60,) px ( 39,) P z P z Pz (,1) pz (,1) (,1) 1 (,1) 0,981 (1 0,981) 0,964 Vastaus: 96 % c) P(0) = P(49, < x < 0,) = P(x < 0,) P(x < 49,) 0, 0 49, 0 px ( 0,) px ( 49, ) P z P z Pz ( 0,1) pz ( 0,1) (0,1) 1 (0,1) 0,398 (1 0,398) 0,0796 3,98 % Vastaus:,9 % 97,13 %,87 % 1,90 Vastaus: 8,0 % 46,0 % 7,96 % 0,1 0,1 b) P(39, < x < 60,) = P(x < 60,) P(x < 39,) 98,1 % 1,79 % 96,4 %,10,10 KERTOMA! MAB 106

ikä (vuosia) on jo muuttanut 7 % 46 % 87 % 96 % 98 % 100 %

ikä (vuosia) on jo muuttanut 7 % 46 % 87 % 96 % 98 % 100 % Testaa taitosi 1 1. Noppaa heitetään kahdesti. Merkitse kaikki alkeistapaukset koordinaatistoon. a) Millä todennäköisyydellä ainakin toinen silmäluvuista on 3? b) Mikä on a-kohdan tapahtuman vastatapahtuma?

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta - tehtävät

Todennäköisyyslaskenta - tehtävät Todennäköisyyslaskenta - tehtävät Todennäköisyyslaskentaa käsitellään Pitkän matematiikan kertauskirjan sivuilla 253 276. Klassinen todennäköisyys Kombinatoriikka Binomitodennäköisyys Satunnaismuuttuja,

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma 9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma Kahta joukkoa sanotaan erillisiksi, jos niillä ei ole yhtään yhteistä alkiota. Jos pysytellään edelleen korttipakassa, niin voidaan ilman muuta sanoa, että

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo.

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Kertaus Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Luokiteltu aineisto. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Hajontaluvut luokittelemattomalle

Lisätiedot

Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla:

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla: MAA6.3 Loppukoe 9.11.01 Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Matikan

Lisätiedot

1. Tässä tehtävässä päätellään kaksilapsisen perheen lapsiin liittyviä todennäköisyyksiä.

1. Tässä tehtävässä päätellään kaksilapsisen perheen lapsiin liittyviä todennäköisyyksiä. TODENNÄKÖISYYS Aihepiirejä: Yhden ja kahden tapahtuman tuloksien käsittely ja taulukointi, ovikoodit, joukkueen valinta, bussin odotus, pelejä, urheilijoiden testaus kielletyn piristeen käytöstä, linnun

Lisätiedot

Kertaustesti Perheessä on neljä lasta, joista valitaan arpomalla kaksi tiskaajaa. Millä todennäköisyydellä nuorin joutuu tiskaamaan?

Kertaustesti Perheessä on neljä lasta, joista valitaan arpomalla kaksi tiskaajaa. Millä todennäköisyydellä nuorin joutuu tiskaamaan? Kertaustesti 1 Nimi: 1. a) Noppaa heitetään kerran. Millä todennäköisyydellä saadaan silmäluku 2? b) Noppaa heitetään kaksi kertaa peräkkäin. Millä todennäköisyydellä molemmilla heitoilla saadaan silmäluku

Lisätiedot

Kenguru 2011 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2011 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Kenguru 2016 Ecolier (4. ja 5. luokka)

Kenguru 2016 Ecolier (4. ja 5. luokka) sivu 1 / 13 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

1.1. Alkuerä Kaikki kuljettajat mahtuvat mukaan yhteen alkuerälähtöön, koska enimmäisosallistujamäärä lähdössä on tuo 10.

1.1. Alkuerä Kaikki kuljettajat mahtuvat mukaan yhteen alkuerälähtöön, koska enimmäisosallistujamäärä lähdössä on tuo 10. 1. Luokassa enintään 10 kuljettajaa Tässä tapauksessa luokassa ajetaan kaksi (2) lähtöä, yksi (1) alkuerä ja yksi (1) finaali. 1.1. Alkuerä 1.1.1. Kaikki kuljettajat mahtuvat mukaan yhteen alkuerälähtöön,

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 12 3 pistettä 1. Annalla on neliöistä koostuva ruutupaperiarkki. Hän leikkaa paperista ruutujen viivoja pitkin mahdollisimman monta oikeanpuoleisessa kuvassa näkyvää kuviota. Kuinka monta ruutua

Lisätiedot

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,... Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.

Lisätiedot

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

10, 9, 5, 6, 7, 4, 7, 9, 8, 7, 6, 7, 8, 6

10, 9, 5, 6, 7, 4, 7, 9, 8, 7, 6, 7, 8, 6 MAA6.1 Loppukoe 23.11.2012 Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Matikan

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 12.1.2016/1 MTTTP5, luento 12.1.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

1.1 Tilastotieteen peruskäsitteitä

1.1 Tilastotieteen peruskäsitteitä Tilastotieteen peruskäsitteitä 1.1 Tilastotieteen peruskäsitteitä 1. Muodostetaan taulukon perusteella suhteellinen frekvenssijakauma. Lehti Levikki f % Helsingin 365994 365 994 0,13579... 13,6% Sanomat

Lisätiedot

Matin alkuvuoden budjetti

Matin alkuvuoden budjetti 1 TILASTOJEN TULKINTAA 1. euroa Matin alkuvuoden budjetti 600 500 400 300 200 100 0 tammikuu helmikuu maaliskuu huhtikuu a) Milloin Matti on kuluttanut eniten rahaa ostoksiin? Arvioi, kuinka paljon vaatteisiin

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Pisteytyssuositus. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät

Pisteytyssuositus. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät Lyhyen matematiikan pisteitysohjeet kevät 0 ver..0 Pisteytyssuositus Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 0..0 Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

OTATKO RISKIN? peli. Heitä noppaa 3 kertaa. Tavoitteena on saada

OTATKO RISKIN? peli. Heitä noppaa 3 kertaa. Tavoitteena on saada OTATKO RISKIN? peli 1. Heitä noppaa 20 kertaa. Tavoitteena on saada vähintään 10 kertaa silmäluku 4, 5 tai 6. Jos onnistut, saat 300 pistettä. Jos et onnistu, menetät 2. Heitä noppaa 10 kertaa. Tavoitteena

Lisätiedot

Kenguru 2015 Cadet Ratkaisut

Kenguru 2015 Cadet Ratkaisut sivu 1 / 16 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Kenguru 2011 Junior (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2011 Junior (lukion 1. vuosi) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua

Lisätiedot

1.9 Harjoituksia. Frekvenssijakaumien harjoituksia. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat. a) Kaikki aakkoset b) Kirjaimet L, E, M, C, B, A ja i.

1.9 Harjoituksia. Frekvenssijakaumien harjoituksia. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat. a) Kaikki aakkoset b) Kirjaimet L, E, M, C, B, A ja i. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat 1.9 Harjoituksia 1.1 Ulkolämpömittari näytti eilen 10 C ja tänään 20 C. Onko tänään kaksi kertaa niin kylmä kuin eilen? Miksi tai miksi ei? 1.2 Minkä luokkien muuttujia

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

2. laskuharjoituskierros, vko 5, ratkaisut

2. laskuharjoituskierros, vko 5, ratkaisut 2. laskuharjoituskierros, vko, ratkaisut Aiheet: Klassinen todennäköisyys, kombinatoriikka, kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava D1. Eräässä maassa autojen rekisterikilpien tunnukset ovat muotoa XXXXNN,

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a

Lisätiedot

MB5 YHTEENVETO. Todennäköisyyslaskenta

MB5 YHTEENVETO. Todennäköisyyslaskenta MB5 YHTEENVETO Todennäköisyyslaskenta Klassinen todennäköisyys Suotuisten tapahtumien lukumäärä Kaikkien mahdollisten tulosten lukumäärä k n Todennäköisyys = P (A) = suotuisat kaikki k n Todennäköisyys

Lisätiedot

Kenguru 2006 sivu 1 Cadet-ratkaisut

Kenguru 2006 sivu 1 Cadet-ratkaisut Kenguru 2006 sivu 1 3 pistettä 1. Kenguru astuu sisään sokkeloon. Se saa käydä vain kolmion muotoisissa huoneissa. Mistä se pääsee ulos? A) a B) b C) c D) d E) e 2. Kengurukilpailu on pidetty Euroopassa

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarja

Kenguru 2016 Student lukiosarja sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Kenguru 2015 Benjamin (6. ja 7. luokka)

Kenguru 2015 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla:

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla: MAA6. Loppukoe 8.11.01 Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Matikan

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Henkilötunnus Sukunimi Etunimet

Henkilötunnus Sukunimi Etunimet Valintakokeessa on kaksi osaa: Osa 1 sisältää viisi esseetehtävää kansantaloustieteestä. Osasta 1 voi saada 0 30 pistettä. Osa sisältää kuusi matematiikan laskutehtävää. Osasta voi saada 0 30 pistettä.

Lisätiedot

Todennäköisyys ja tilastot Tehtävien ratkaisut Kertaustehtävät. Kertaustehtävien ratkaisut

Todennäköisyys ja tilastot Tehtävien ratkaisut Kertaustehtävät. Kertaustehtävien ratkaisut Ratkaisuista Nämä Todennäköisyys ja tilastot -kurssin kertaustehtävien ja -sarjojen ratkaisut perustuvat oppikirjan tietoihin ja menetelmiin. Kustakin tehtävästä on yleensä vain yksi ratkaisu, mikä ei

Lisätiedot

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =? Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

Kenguru Benjamin, ratkaisut (1 / 6) luokka

Kenguru Benjamin, ratkaisut (1 / 6) luokka Kenguru Benjamin, ratkaisut (1 / 6) 3 pisteen tehtävät 1. Kuinka monta kokonaislukua on lukujen 19,03 ja,009 välissä? (A) 14 (B) 15 (C) 16 (D) 17 (E) enemmän kuin 17 Luvut 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Benjamin, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi,

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 008 MATEMATIIKKA TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtävä. Maljakossa on 0 keltaista ja 0 punaista tulppaania, joista puutarhuriopiskelijan on määrä

Lisätiedot

(x, y) 2. heiton tulos y

(x, y) 2. heiton tulos y Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 1

TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 1 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 1 Käsitteitä: Tilastoja voidaan havainnollistaa: o Tilastokuvioilla eli diagrammeilla Tavallisimmin käytettyjä tilastokuvioita ovat pylväsdiagrammit Muodostuu erillisistä

Lisätiedot

Kenguru Cadet, ratkaisut (1 / 6) luokka

Kenguru Cadet, ratkaisut (1 / 6) luokka Kenguru Cadet, ratkaisut (1 / 6) 3 pisteen tehtävät 1. Mikä luvuista on parillinen? (A) 2009 (B) 2 + 0 + 0 + 9 (C) 200 9 (D) 200 9 (E) 200 + 9 Ainoa parillinen on 200 9 = 1800. 2. Kuvan tähti koostuu 12

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

Sinulle on annettu bittijono, ja tehtäväsi on muuttaa jonoa niin, että jokainen bitti on 0.

Sinulle on annettu bittijono, ja tehtäväsi on muuttaa jonoa niin, että jokainen bitti on 0. A Bittien nollaus Sinulle on annettu bittijono, ja tehtäväsi on muuttaa jonoa niin, että jokainen bitti on 0. Saat käyttää seuraavia operaatioita: muuta jokin bitti vastakkaiseksi (0 1 tai 1 0) muuta kaikki

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla? 6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Til.yks. x y z

Til.yks. x y z Tehtävien ratkaisuja. a) Tilastoyksiköitä ovat työntekijät: Vatanen, Virtanen, Virtanen ja Voutilainen; muuttujina: ikä, asema, palkka, lasten lkm (ja nimikin voidaan tulkita muuttujaksi, jos niin halutaan)

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Matemaattisten Aineiden Opettajien Liitto MAOL ry Valtakunnallinen yhdeksännen luokan matematiikan koe

Matemaattisten Aineiden Opettajien Liitto MAOL ry Valtakunnallinen yhdeksännen luokan matematiikan koe Matemaattisten Aineiden Opettajien Liitto MAOL ry Valtakunnallinen yhdeksännen luokan matematiikan koe 2014-2015 MFKA-Kustannus Oy Asememiehenkatu 4, 00520 HELSINKI, puh. 010 322 3162 http://www.mfka.fi

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

1.1 Funktion määritelmä

1.1 Funktion määritelmä 1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8.9.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet. Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty.

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA 4..005 OSA 1 Laskuaika 30 min Pistemäärä 0 pistettä 1. Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Minkä säännön mukaan lukujono muodostuu? 1 4 5 1 1 1

Lisätiedot

Sovelletun fysiikan pääsykoe

Sovelletun fysiikan pääsykoe Sovelletun fysiikan pääsykoe 7.6.016 Kokeessa on neljä (4) tehtävää. Vastaa kaikkiin tehtäviin. Muista kirjoittaa myös laskujesi välivaiheet näkyviin. Huom! Kirjoita tehtävien 1- vastaukset yhdelle konseptille

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.3.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 13..015 MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Valmistelut: Aseta kartiot numerojärjestykseen pienimmästä suurimpaan (alkeisopiskelu) tai sekalaiseen järjestykseen (pidemmälle edenneet oppilaat).

Valmistelut: Aseta kartiot numerojärjestykseen pienimmästä suurimpaan (alkeisopiskelu) tai sekalaiseen järjestykseen (pidemmälle edenneet oppilaat). Laske kymmeneen Tavoite: Oppilaat osaavat laskea yhdestä kymmeneen ja kymmenestä yhteen. Osallistujamäärä: Vähintään 10 oppilasta kartioita, joissa on numerot yhdestä kymmeneen. (Käytä 0-numeroidun kartion

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja.

Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja. Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Kurssi käsittelee todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä. Laaditaan satunnaisilmiöille todennäköisyysmalleja. Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta?

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten Todennäköisyys Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten tietoliikennejärjestelmien ymmärtämisessä

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot