Kytkentäkentät - Rekursio, Cantor-verkko. Kytkentäkentän ominaisarvoja

Transkriptio

1 Kytkentäkentät - Rekursio, Cantor-verkko Kertaus Estottomuus Uudelleen järjestely Tiukasti estoton Yleinen kolmiportainen verkko Closin -verkko Benes -verkko Cantor -verkko Kytkentäpisteet ja kompleksisuus Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7 - Kytkentäkentän ominaisarvoja Kytkentäpisteiden lukumäärä on ristikytkentäpisteiden lukumäärä kentässä. Looginen syvyys on signaalin kulkutiellä olevien kytkinten lukumäärä. Esto määräytyy kentän rakenteesta. Kytkentäpisteen ajokyky määritellään ajettavien kytkentäpisteiden lukumäärällä. Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7 - Page

2 Kolmiportaisen kytkentäkentän yleinen esitystapa Kolmiportainen kytkentäkenttä, palautettuna puhtaaseen tilakytkentään, voidaan esittää tilakytkiminä, joista jokainen on kytketty seuraavan portaan jokaiseen kytkimeen. M xn M xn M 3 x M M R R R 3 M Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7-3 Closin -verkko M xr R xr 3 R x M M R R R 3 M porras : N = R porras : M = R ja N = R 3 porras 3: M 3 = R Esim. 89 PCM, 6M = 8 x M perusnopeus: M = = 04, R = R 3 = 8*3 = 56, R = > tiukasti estoton Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7-4 Page

3 Tiukasti estoton Closin -verkko Closin -verkko on tiukasti estoton, kun toisen portaan kytkinten lukumäärä on R => M + - Erikoistapauksena symmetrinen kytkinkenttä, jossa M = = N R => N - Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7-5 Uudelleen järjesteltävä Clos -verkko Kolmiportainen Closin -verkko on uudelleen järjeteltävän estoton, kun R => max(m, ) Erikoistapauksena symmetrinen kytkinkenttä, jossa M = = N R => N Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7-6 Page 3

4 Kytkentä kytkimestä A kytkimeen B M xr R xr 3 R x M A B M R R R 3 M Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7-7 Closin teoreeman välttämättömyyden visualisointi n = r = 5 m = r = 3 n = r 3 = 4 m 3 = r = 5 n 3 = m = 3 r = 3 r = 5 r 3 = 4 Eli r = 4 = ( m + n 3 - ) riittää! Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7-8 Page 4

5 Kytkentäkenttien vaihtoehtoinen esitystapa Kytkentäkenttä voidaan esittää käsittelyn helpoittamiseksi joko verkkona tai tasokuviona. Tasokuviossa säästytään yksittäisten yhteyksien piirtämiseltä. Verkkokuva on ymmärtämisen kannalta helpompi. Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7-9 Kentän rekursiivinen rakentaminen tulot N = p X q Uudelleen järjestettävästi estoton p tasoa lähdöt N = p X q q tasoa p X p q X q p X p q tasoa Kytkentäpisteitä: p q + q p + p q = qp + q p Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7-0 Page 5

6 Kentän rekursiivinen rakentaminen - tulot N = p X q Tiukasti estoton (p - ) tasoa lähdöt N = p X q q tasoa p X (p-) (p-)xp q tasoa q X q Kytkentäpisteitä: p(p-)q + q (p-) + (p-)pq = p(p-)q + q (p-) Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7 - Kytkentäkentän rekursiivinen muodostaminen Rekursiivisessa muodostamisessa kytkentäkentän rakenne välittyy eri tasoille identtisenä. Tiukasti estottoman Closin-verkon yksittäiset kytkimet muodostetaan tiukasti estottomista Closin-verkoista, jne. Tiukasti estottomista kytkimistä voidaan saada aikaa uudelleen järjestettävästi estoton kenttä (CLOSin teoreema). Uudelleen järjestettävästi estottomista moduuleista voidaan rakentaa tiukasti estoton kenttä! Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7 - Page 6

7 Kytkentäkentän muodostamisen problematiikkaa Ihanteellinen ratkaisu: Vähän kytkentäpisteitä Pieni kompleksisuus Yksinkertainen muodostaa NxN -kytkentäkenttä, miten valita P ja Q??? Kytkentäkentän on laidoiltaan symmetrinen, joten oletuksena valitaan P mahdollisimman pieneksi (esim ) --> Q = N/P. Toisaalta tiukasti estottoman kytkentäkentän ongelma on kentän keskiportaan koon nopea kasvaminen pienillä P:n arvoilla. Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7-3 x-kytkinten tapaus Mikäli kentän koko on kahden potenssi ( N = n ), voidaan kenttä muodostaa valitsemalla P= ja Q=N/ N/ x N/ N/ x N/ Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7-4 Page 7

8 Esim N=8 ) N/ x N/ N/ x N/ ) Baseline -verkko Käänteinen Baseline -verkko BENES -verkko Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7-5 Benes -verkko Benes -verkko on rekursiivisesti x -kytkimistä muodostettu uudelleen järjesteltävä verkko. -puoliverkko tunnetaan nimellä baseline -verkko -puoliverkko tunnetaan nimellä käänteinen baseline - verkko Benes -verkossa on (log N-) porrasta. Kytkentä pisteiden lukumäärä on 4(N/)(log N-) = 4Nlog N-N ~ 4Nlog N Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7-6 Page 8

9 Tiukasti estottoman kytkentäkentän muodostaminen rekursiolla Tiukasti estoton kytkentäkenttä voidaan muodostaa aivan vastaavasti mutta kentän koko kasvaa hyvin nopeasti. Esim. NxN -kenttä muodostettuna Nx N - kytkimistä Valitaan N = n ja n = l, jolloin kenttä rakentuu portaassa n/ kappaleesta ( n/ x n/ )-kytkimiä portaassa (x n/ -) kappaleesta ( n/ x n/ )-kytkimiä 3 portaassa n/ kappaleesta ( n/ x n/ )-kytkimiä Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7-7 Jatkoa edelliseen Matemaattisen tarkastelun helpottamiseksi valitaan kytkinten koot hieman toisin. portaassa n/ kappaleesta ( n/ x n/+ )-kytkimiä portaassa (x n/ ) kappaleesta ( n/ x n/ )-kytkimiä 3 portaassa n/ kappaleesta ( n/+ x n/ )-kytkimiä ( n/ x n/+ ) = ( n/ x n/ ) Yhteensä 6( n/ ) kappaletta ( n/ x n/ ) -kytkimiä Rekursiivinen palautuskaava F( n )= 6( n/ )F( n/ ) = 6 l ( n/+n/4+n/8+ + )F( ) ~ N (log N),58 F() = 4N(log N),58 Tiukasti estoton kenttä sisältää eksponentin verran enemmän kytkimiä kuin uudelleen järjesteltävä kenttä Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7-8 Page 9

10 Cantor -verkko on tapa muodostaa tiukasti estottomia kenttiä pienemmällä kytkentäpiste määrällä Peruspalikkana on BENES -verkko. Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7-9 Cantor -verkko Cantor -verkko on tapa muodostaa tiukasti estottomia kenttiä pienemmällä kytkentäpiste määrällä. Log N rinnakkaista Benes verkkoa N tuloa N lähtöä Log N lähtöä Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7-0 Page 0

11 Cantor verkon ominaisuuksia Kytkentäpisteiden lkm = 4 Nlog N log N = 4N(log N) jos kanavointilaitteita ei lasketa. Cantor verkko on tiukasti estoton! Todistus: Merkataan rinnakkaisten Benes verkkojen määrää m ja Benes portaan numeroa k ja A(k) - portaassa k yhdestä Cantor verkon tulosta ilman uudelleen järjestelyä saavutettavien Benes -kytkinten määrä. A() = m. A() = A(). A(3) = A(). A(k) = A(k ) k = A(k ) k = k- A() (k ) k A(logN) = logn m (logν ) logn 4 = Nm (logν )Ν Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7 - Cantor todistus jatkuu Nm (logn )N > 4 Nm m > logn. Eli jos rinnakkaisia Benes verkkoja on logn kappaletta, Cantor verkko on tiukasti estoton. Ts. Tiukasti estoton Cantor verkko muodostuu laittamalla rinnan logn kappaletta uudelleen järjestettävästi estottomia Benes verkkoja. Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7 - Page

12 Cantor-verkossa saavutettavien kytkinten määrä Log N rinnakkaista Benes verkkoa N tuloa N lähtöä Log N lähtöä A() = A() (ilman uudelleen järjestelyä) Kytkimestä saavutettavien lähtöjen määrä Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7-3 Numeerinen esimerkki Cantor verkosta N = 3 x 048 = m = logn = 6 Demultiplekseissa lähtöjä = 6 kappaletta Multipleksereissa tuloja = 6 kappaletta Muxeja = kappaletta Demuxeja = kappaletta Benes verkkoja = 6 kappaletta Benes verkoissa portaita = logn - = x6- = 3 kappaletta Benes verkoissa kytkimiä = Nlog N = 6 * 3 M. kussakin Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7-4 Page

13 Kytkentöjen kokonaismäärä kentässä I O I O Yksi yhteen C = {(i,o) i I, o O} (i,o) C ja (i,o ) C o = o Yksi moneen C = {(i,n i ) i I, n i O} (i,o) C ja (i,o) C i = i C - Kytkentöjen kuvaus Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7-5 Kytkentäkentän kompleksisuus Kytkentäkentän kompleksisuus on likimain sama kuin kytkentäpisteiden lukumäärä. G on kytkentäkentän erilaisten, sallittujen kytkentöjen C{i,o} kuvaus. ζ(g) on log (G) eli logaritmi erilaisten, sallittujen kytkentöjen määrästä. ( ~ kytkentäpisteiden lukumäärä) ζ(g) käytetään kytkentäkentän kompleksisuuden aproksimoinnissa, sillä NxN -ristikytkentämatriisi sisältää suurimman määrän kytkentäpisteitä vastaavan kokoisista kytkentäkentistä. Mikäli ristikytkentämatriisissa on R-kytkentäpistettä, on siinä maksimissaan R erillistä tilaa (jokaisen kytkentäpisteen auki/kiinni -tila), minkä takia ζ <= R (osa ratkaisuista ei ole sallittuja). Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7-6 Page 3

14 Kompleksisuuden alaraja Oletetaan että kytkentäkenttä on NxN ja sen rakenne on täysiulotteinen. C = N! ζ = log (N!) ~ Nlog (N) -,44N + ½log (N) Benes -verkkolle on ζ ~ (N/)(log N-) = Nlog (N) - ½N eli likimain minimimäärä kytkimiä. Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7-7 Benes -verkon kasvu Kytkinten lukumäärä = N/ Baseline verkko BENES -verkko Käänteinen baseline verkko Porrasten lukumäärä = log N - Kytkentäpisteiden lukumäärä on porrasten lukumäärä kytkinten lkm portaassa = 4 N/ ( log N - ) 4N log N Rka/ML -k000 Tiedonvälitystekniikka I 7-8 Page 4