Algoritmit 1. Luento 10 Ke Timo Männikkö

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Algoritmit 1. Luento 10 Ke 11.2.2015. Timo Männikkö"

Transkriptio

1 Algoritmit 1 Luento 10 Ke Timo Männikkö

2 Luento 10 Algoritminen ongelman ratkaisu Suunnittelumenetelmät Raaka voima Järjestäminen eli lajittelu Kuplalajittelu Väliinsijoituslajittelu Valintalajittelu Permutaatiot Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

3 Algoritminen ongelman ratkaisu Algoritmi: Askel askeleelta suoritettava tekniikka tai ohje tehtävän suorittamiseksi tai ongelman ratkaisemiseksi Ongelman ymmärtäminen: Tutkitaan tarkasti ongelman kuvaus Esimerkkitapausten läpikäynti Onko ongelma lähellä jotain usein esiintyvää ongelmaa Onko ratkaistavana ongelman jokin tietty esiintymä Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

4 Algoritminen ongelman ratkaisu Valmiit ratkaisumenetelmät samantyyppisille ongelmille Ratkaisuympäristön asettamat rajoitukset Onko rinnakkaisprosessointi mahdollinen Aikarajoitukset, rajoitukset muistitilan käytölle Halutaanko tarkka ratkaisu vai riittääkö likimääräinen ratkaisu Tietorakenteiden suunnittelu ja valinta Tarvittaessa lähtötietojen uudelleenkäsittely (järjestäminen, muokkaus) Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

5 Algoritminen ongelman ratkaisu Algoritmin suunnittelu: Käytetään hyviksi osoittautuneita suunnittelumenetelmiä Samantyyppisille ongelmille sopivat samantyyppiset algoritmit Voidaanko ongelma muuntaa joksikin tunnetuksi ongelmaksi Algoritmin kuvaus: Sanallinen kuvaus Pseudokoodi Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

6 Algoritminen ongelman ratkaisu Algoritmin osoittaminen oikeaksi: Joskus helppoa, joskus hyvin hankalaa Esimerkiksi matemaattinen induktio Pelkkä testaus joillain syöttötiedoilla ei riitä Algoritmin analysointi: Tehokkuus suoritusajan suhteen Muistitilan ja muiden resurssien käyttö Likiarvoratkaisujen hyvyys Algoritmin optimaalisuus ongelman suhteen Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

7 Algoritminen ongelman ratkaisu Algoritmin toteutus: Koodaus jollain ohjelmointikielellä Huolellinen ohjelman suunnittelu Huolellinen ohjelman testaus Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

8 Suunnittelumenetelmät Yleisiä tekniikoita ja periaatteita algoritmin muodostamiseksi Joskus algoritmi voidaan katsoa kuuluvan usean eri suunnittelumenetelmän mukaiseksi Joskus algoritmin ei voida katsoa kuuluvan mihinkään erityiseen suunnittelumenetelmäluokkaan Monesti algoritmi käyttää hyväksi ongelman erityisominaisuuksia Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

9 Raaka voima Ongelman suoraviivainen ratkaiseminen Algoritmit yksinkertaisia, helpohkoja Mutta usein eivät kovin tehokkaita Esimerkki: Tehtävänä laskea a n = a a... a (n kpl) tulo=1; for (i=1; i<=n; i++) tulo=tulo*a; Aikavaativuus O(n) Voidaan laskea paljon nopeammin (miten?) Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

10 Järjestäminen eli lajittelu Taulukko, jossa n samantyyppistä tietuetta Tietueiden kesken määritellään järjestys avainkentän (tai kenttien) perusteella Tehtävä: Järjestää tietueet tiettyyn järjestykseen avainkentän mukaan (esimerkiksi kasvavaan järjestykseen) Taulukon sijaan järjestettävänä voi olla linkitetty lista, tiedosto jne. Järjestämisen avulla voidaan nopeuttaa useita muita algoritmeja Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

11 Stabiili lajittelu Stabiili lajittelumenetelmä: Jos samanarvoisten tietueiden R i ja R j alkuperäiset paikat taulukossa ovat i 0 ja j 0, ja i 0 < j 0, niin lajittelun jälkeen on i < j Toisin sanoen: Tietueet, joilla on sama avainkentän arvo, säilyttävät alkuperäisen keskinäisen järjestyksensä Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

12 Indeksitaulukon käyttö Lajittelussa tietueita siirrellään taulukossa Suurten tietueiden siirtely hidasta/työlästä Indeksitaulukko: Järjestys ilmoitetaan kokonaislukutaulukolla: xt[i]= tietueen i paikka järjestyksessä Siirrellään vain taulukon xt alkioita Lajiteltavat tietueet pysyvät paikoillaan Vastaavasti linkitetyille listoille voidaan käyttää osoitintaulukkoa Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

13 Kuplalajittelu Taulukko t, indeksit 0,...,n-1 Siirretään pienin tietue paikkaan 0 Siirretään toiseksi pienin tietue paikkaan 1 Jne. 1. Suoritetaan kaikilla i=1,...,n-1: 2. Suoritetaan kaikilla j=n-2,...,i-1: Jos t[j]>t[j+1], vaihdetaan t[j] t[j+1] Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

14 Kuplalajittelu Kaksi sisäkkäistä silmukkaa, molempien suorituskertojen lukumäärä riippuu n:stä Vertailuja tehdään (n 1) + (n 2) = n(n 1)/2 kappaletta Pahimmassa tapauksessa vaihtoja tehdään yhtä monta Aikavaativuus O(n 2 ) Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

15 Väliinsijoituslajittelu Oletetaan: Tietueet paikoissa 0,...,i-1 toisiinsa nähden järjestyksessä Siirretään t[i] syrjään Siirretään paikasta i alkaen alkuosan tietueita eteenpäin yhdellä askeleella, kunnes tullaan kohtaan, johon t[i] kuuluu Sijoitetaan t[i] tuohon kohtaan Tämän jälkeen: Tietueet paikoissa 0,...,i toisiinsa nähden järjestyksessä Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

16 Väliinsijoituslajittelu 1. Suoritetaan kaikilla i=1,...,n-1: 2. Kopioidaan p=t[i] ja asetetaan j=i-1 Tietueiden siirtely: Jos j 0 ja t[j]>p, kopioidaan t[j+1]=t[j], asetetaan j=j-1 ja toistetaan Muutoin lopetetaan tietueiden siirtely Kopioidaan t[j+1]=p Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

17 Väliinsijoituslajittelu Kaksi sisäkkäistä silmukkaa, molempien suorituskertojen lukumäärä riippuu n:stä Pahimmassa tapauksessa taulukko aluksi vähenevässä järjestyksessä, jolloin: Vertailuja ja kopiointeja tehdään (n 2) + (n 1) = n(n 1)/2 kappaletta Lisäksi 2 muuta kopiointia (aputietue p) Aikavaativuus O(n 2 ) Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

18 Valintalajittelu Oletetaan: Tietueet paikoissa 0,...,i-1 lopullisessa järjestyksessä Selvitetään loppuosan tietueista (paikat i,...,n-1) pienin Tarvittaessa vaihdetaan se tietueen t[i] kanssa Tämän jälkeen: Tietueet paikoissa 0,...,i lopullisessa järjestyksessä Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

19 Valintalajittelu 1. Suoritetaan kaikilla i=0,...,n-2: 2. Kopioidaan p=t[i] ja asetetaan k=i Suoritetaan kaikilla j=i+1,...,n-1: Jos t[j]<p, kopioidaan p=t[j] ja asetetaan k=j 3. Jos k i, kopioidaan t[k]=t[i] ja t[i]=p Huom: Kohdassa 2 ei tarvitse kopioida tietueita, vaan vertailussa aputietue p voidaan korvata tietueella t[k] (mutta kohdassa 3 aputietuetta tarvitaan) Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

20 Valintalajittelu Kaksi sisäkkäistä silmukkaa, molempien suorituskertojen lukumäärä riippuu n:stä Vertailuja tehdään (n 1) + (n 2) = n(n 1)/2 kappaletta Aikavaativuus O(n 2 ) Pahimmassa tapauksessa myös kopiointeja kertaluokan O(n 2 ) verran Jos kohdassa 2 ei kopioida tietuetta t[j], niin kopiointeja enintään kertaluokan O(n) verran Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

21 Lähin pistepari Tason pisteet p i = (x i, y i ), i = 1, 2,..., n Pisteiden välinen etäisyys: d(p i, p j ) = (x i x j ) 2 + (y i y j ) 2 Tehtävä: Etsi kaksi toisiaan lähinnä olevaa pistettä Raa an voiman algoritmi: Käydään läpi kaikki pisteparit, lasketaan niiden välinen etäisyys ja pidetään yllä pienintä etäisyyttä Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

22 Lähin pistepari 1. Asetetaan pienin = 2. Suoritetaan kaikilla i = 1, 2,..., n 1: Suoritetaan kaikilla j = i + 1, i + 2,..., n: Lasketaan e = (x i x j ) 2 + (y i y j ) 2 Jos e < pienin, niin pienin = e, p1 = i ja p2 = j 3. Palautetaan pisteparin indeksit p1 ja p2 Huom: Neliöjuurta ei tarvitse laskea (miksi?) Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

23 Lähin pistepari Kaksi sisäkkäistä silmukkaa, molempien suorituskertojen lukumäärä riippuu n:stä Perusoperaatio (esimerkiksi) toisen potenssin laskeminen Perusoperaatioita tehdään (n 1) + (n 2) = n(n 1)/2 kappaletta Aikavaativuus O(n 2 ) Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

24 Raaka voima Tutkitaan mahdollisia ratkaisuvaihtoehtoja kunnes: Haluttu ratkaisu löytyy Tai kaikki vaihtoehdot on tutkittu Tutkitaan järjestelmällisesti kaikki osajoukot tai permutaatiot Ongelmana ratkaisuvaihtoehtojen suuri lukumäärä Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

25 Permutaatiot Kuvataan ongelmaan liittyvät alkiot kokonaisluvuilla Ratkaisu esitetään kokonaislukujen jonona Ratkaisuvaihtoehtojen läpikäyminen tarkoittaa kokonaislukujen eri järjestysten eli permutaatioiden läpikäymistä Kokonaisluvut {1, 2,..., n} Erilaisia permutaatiota n! = n kpl Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

26 Esimerkki Hamiltonin kehä-ongelma: Verkko, jossa solmut N = {1, 2,..., n} ja kaaret E = {(i, j) i N ja j N} Tehtävä: Etsi silmukka, joka käy jokaisessa verkon solmussa täsmälleen kerran Permutaatioratkaisu: Permutaatio {1, 2,..., n} esittää Hamiltonin kehää n 1 Sallittu permutaatio: Verkossa on olemassa kaikki permutaation mukaiset kaaret Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

27 Esimerkki jatkuu Hamiltonin kehä-ongelman raakaan voimaan perustuva ratkaiseminen: Muodostetaan kaikki permutaatiot Tutkitaan, mitkä niistä ovat sallittuja Ei käyttökelpoinen, jos n suuri Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

28 Permutaatioiden muodostaminen Kaikki permutaatiot voidaan muodostaa rekursiivisesti: Kiinnitetään 1 ensimmäiseksi luvuksi, muodostetaan permutaatiot {2, 3,..., n} Kiinnitetään 2 ensimmäiseksi luvuksi, muodostetaan permutaatiot {1, 3,..., n} Jne. Kiinnitetään n ensimmäiseksi luvuksi, muodostetaan permutaatiot {1, 2,..., n 1} Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

29 Permutaatioiden muodostaminen // muodostetaan kaikki lukujen // {1,2,...,n} permutaatiot permutaatio(m) { if (m == n) // seuraava permutaatio on nyt // taulukossa p[1..n] else for (j = m; j <= n; j++) { swap(p[j], p[m]); permutaatio(m+1); swap(p[j], p[m]); } } Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

30 Permutaatioiden muodostaminen // alustus ja ensimmäinen kutsu for (j = 1; j <= n; j++) p[j] = j; permutaatio(1); Permutaatioita n! kpl Tehdään kullekin permutaatiolle jotain, esimerkiksi jokin O(n)-operaatio Koko algoritmin aikavaativuus O(n n!) Algoritmit 1 Kevät 2015 Luento 10 Ke /30

Algoritmit 1. Luento 14 Ke 25.2.2015. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 14 Ke 25.2.2015. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 14 Ke 25.2.2015 Timo Männikkö Luento 14 Heuristiset menetelmät Heuristiikkoja kapsäkkiongelmalle Kauppamatkustajan ongelma Lähimmän naapurin menetelmä Kertaus ja tenttivinkit Algoritmit

Lisätiedot

Itseindeksit Kun tiivistetty teksti ja sen indeksi ovatkin sama asia

Itseindeksit Kun tiivistetty teksti ja sen indeksi ovatkin sama asia Tietojenkäsittelytiede 25 Joulukuu 2006 sivut 28 37 Toimittaja: Jorma Tarhio c kirjoittaja(t) Itseindeksit Kun tiivistetty teksti ja sen indeksi ovatkin sama asia Veli Mäkinen Helsingin yliopisto Tietojenkäsittelytieteen

Lisätiedot

Laskennanteoria: Mitä voimmelaskea tietokoneella ja kuinkatehokkaasti?

Laskennanteoria: Mitä voimmelaskea tietokoneella ja kuinkatehokkaasti? Laskennanteoria: Mitä voimmelaskea tietokoneella ja kuinkatehokkaasti? Wilhelmiina Hämäläinen Johdatus tietojenkäsittelytieteeseen 1.-2.12. 2003 Tietojenkäsittelytieteen laitos Joensuun yliopisto 1 Johdanto

Lisätiedot

DISKREETTI MATEMATIIKKA

DISKREETTI MATEMATIIKKA DISKREETTI MATEMATIIKKA 1 2 DISKREETTI MATEMATIIKKA Sisällysluettelo 1. Relaatio ja funktio 3 1.1. Karteesinen tulo 3 1.2. Relaatio ja funktio 3 2. Kombinatoriikkaa 8 2.1. Tulo- ja summaperiaate 9 2.2.

Lisätiedot

Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä

Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä Tommi Syrjänen 1 Yleistä pumppauslemmoista Pumppauslemmalla voidaan todistaa, että kieli ei kuulu johonkin kieliluokkaan.

Lisätiedot

1.1 Tavallinen binäärihakupuu

1.1 Tavallinen binäärihakupuu TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 1 1 Puurakenteet http://imgur.com/l77fy5x Tässä luvussa käsitellään erilaisia yleisiä puurakenteita. ensin käsitellään tavallinen binäärihakupuu sitten tutustutaan

Lisätiedot

Lukiotason matematiikan tietosanakirja

Lukiotason matematiikan tietosanakirja niinkuin matematiikka Simo K. Kivelä Lukiotason matematiikan tietosanakirja Versio 1.12 / 10.08.2000 Simo K. Kivelä Riikka Nurmiainen TKK 1998 2005 Taustat 1/1 Lukiotason matematiikan tietosanakirja M

Lisätiedot

1.Kuvauksen lähtöaineisto

1.Kuvauksen lähtöaineisto 1.Kuvauksen lähtöaineisto 1 Tieteen tehtävänä on uuden tiedon hankkiminen. Käyttäytymistieteet tutkivat elollisten olioiden käyttäytymistä voidakseen ymmärtää sitä tai ainakin löytääkseen siitä säännönmukaisuuksia;

Lisätiedot

Y100 kurssimateriaali

Y100 kurssimateriaali Y kurssimateriaali Syksy Jokke Häsä ja Jaakko Kortesharju Sisältö Johdanto 4 Reaaliarvoiset funktiot 5. Funktio.................................... 5. Yhdistetty funktio.............................. 7.3

Lisätiedot

Karttojen värittäminen

Karttojen värittäminen Karttojen värittäminen Neliväriongelman värityskombinaatioiden lukumäärän etsiminen graafien avulla Eero Räty & Samuli Thomasson Valkeakosken Tietotien lukio / Päivölän Kansanopisto Tieteenala: Matematiikka

Lisätiedot

Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 1995 2015

Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 1995 2015 Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 995 05 Tehtävät 9. Pohjoismainen matematiikkakilpailu, 5.3.995 995.. Olkoon AB O-keskisen ympyrän halkaisija. Valitaan ympyrän kehältä pistec

Lisätiedot

Condes. Suunnistuksen ratamestariohjelmisto. Versio 7 KOULUTUSMATERIAALI. Copyright 2004 OL-Fellows. Kopiointi kielletty Sivu 1 (78)

Condes. Suunnistuksen ratamestariohjelmisto. Versio 7 KOULUTUSMATERIAALI. Copyright 2004 OL-Fellows. Kopiointi kielletty Sivu 1 (78) Condes Suunnistuksen ratamestariohjelmisto Versio 7 KOULUTUSMATERIAALI Copyright 2004 OL-Fellows. Kopiointi kielletty Sivu 1 (78) Sisältö KOULUTUKSEN SISÄLTÖ... 3 MIKÄ ON CONDES?... 4 CONDESIN OSAT JA

Lisätiedot

Kreikkalainen historioitsija Herodotos kertoo, että Niilin tulvien hävittämät peltojen rajat loivat maanmittareiden

Kreikkalainen historioitsija Herodotos kertoo, että Niilin tulvien hävittämät peltojen rajat loivat maanmittareiden MAB2: Geometrian lähtökohdat 2 Aluksi Aloitetaan lyhyellä katsauksella geometrian historiaan. Jatketaan sen jälkeen kuvailemalla geometrian atomeja, jotka ovat piste ja kulma. Johdetaan näistä lähtien

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

Windows 7. Hannu Matikainen. Päivitetty 4.7.2014

Windows 7. Hannu Matikainen. Päivitetty 4.7.2014 Windows 7 Hannu Matikainen Päivitetty 4.7.2014 Sisältö WINDOWS-VERSIOT... 1 TYÖPÖYTÄ... 1 KUVAKKEET... 2 Kuvakkeiden ominaisuudet... 3 Pikakuvakkeet... 3 TEHTÄVÄPALKKI... 4 Tehtäväpalkin kuvakkeet... 5

Lisätiedot

14. Haku sisällön perusteella 14.1. Johdanto

14. Haku sisällön perusteella 14.1. Johdanto 4. Haku sisällön perusteella 4.. Johdanto Tietokantojen yhteydessä perinteinen kyselyn käsite on hyvin määritelty. Tiedonlouhinnassa on kyse edellistä yleisimmistä, mutta vähemmän täsmällisistä kyselyistä.

Lisätiedot

D I G I T A A L I N E N K U VA N K Ä S I T T E L Y, O S A I I. origo x

D I G I T A A L I N E N K U VA N K Ä S I T T E L Y, O S A I I. origo x D I G I T A A L I N E N K U VA N K Ä S I T T E L Y, O S A I I origo f ( x, y ) x y 4 1 Segmentointi...43 1.1 Epäjatkuvuuskohtiin perustuva segmentointi... 43 1.1.1 Pisteentunnistus (point etection)...

Lisätiedot

WORD- ja EXCEL-opas Office 2010

WORD- ja EXCEL-opas Office 2010 Aalto Yliopiston Teknillinen Korkeakoulu Kemian ja materiaalitieteiden tiedekunta Kemian laitos Fysikaalisen kemian ja sähkökemian tutkimusryhmä WORD- ja EXCEL-opas Office 2010 Annukka Aarnio asantasa@cc.hut.fi

Lisätiedot

Palloja voi pyörittää kevyellä liikkeellä normaaliasennosta (harmaa) vaakatasossa niin, että numerot tulevat

Palloja voi pyörittää kevyellä liikkeellä normaaliasennosta (harmaa) vaakatasossa niin, että numerot tulevat PELIOHJE 1 (14) Pelaajat: 2-4 pelaajaa Ikäsuositus: 6+ SISÄLTÖ / PELIVÄLINEET 1 kääntyvä satataulu 100 lukukorttia (sis. luvut 1-100) 6 jokerikorttia 2 noppaa (sis.luvut 1-10) 30 pelimerkkiä PELI OPETTAA

Lisätiedot

1.1 Yhtälön sieventäminen

1.1 Yhtälön sieventäminen 1.1 Yhtälön sieventäminen Lausekkeeksi voidaan kutsua jokaista merkittyä laskutoimitusta. Sellaisia matema-tiikan tehtäviä on vähän, joita suorittaessaan ei joutuisi sieventämään lausekkeita, millä tarkoitetaan

Lisätiedot

Luova ympäristö lasten omaaloitteisen

Luova ympäristö lasten omaaloitteisen Luova ympäristö lasten omaaloitteisen toiminnan tukemiseksi (Miten käytimme TRIZ:a lasten TV-pelin suunnittelutyössä?) Kirjailija Karl Rautio Creavit Media Osk (Suomi) 2013 Opetusaineisto on valmistunut

Lisätiedot

Kirjallisuuden vaihto hankintatapana

Kirjallisuuden vaihto hankintatapana Tieteellisen kirjallisuuden vaihtokeskus - Georg Strien Kirjallisuuden vaihto hankintatapana Tieteellisen kirjallisuuden vaihdolla on pitkä perinne, vanhimmat viitteet löytyvät vuodesta 1694 Ranskasta.

Lisätiedot

Eero Ojanen. Hyvä päätös? polemia KAKS KUNNALLISALAN KEHITTÄMISSÄÄTIÖ

Eero Ojanen. Hyvä päätös? polemia KAKS KUNNALLISALAN KEHITTÄMISSÄÄTIÖ polemia Eero Ojanen Hyvä päätös? KAKS KUNNALLISALAN KEHITTÄMISSÄÄTIÖ Hyvä päätös? Eero Ojanen Hyvä päätös? Filosofisia näkökulmia päätöksentekoon kaks kunnallisalan kehittämissäätiö HYVÄ PÄÄTÖS? Kieliasun

Lisätiedot

ARVIOINNIN OPAS. Ammatillinen peruskoulutus Näyttötutkinnot. Oppaat ja käsikirjat 2012:9

ARVIOINNIN OPAS. Ammatillinen peruskoulutus Näyttötutkinnot. Oppaat ja käsikirjat 2012:9 ARVIOINNIN OPAS Ammatillinen peruskoulutus Näyttötutkinnot Oppaat ja käsikirjat 2012:9 Opetushallitus Oppaat ja käsikirjat 2012:9 ISBN 978-952-13-5194-5 (nid.) ISBN 978-952-13-5195-2 (pdf) ISSN-L 1798-8950

Lisätiedot

Sisältö 1 Tekijänoikeudet...8 2 Johdatus M-Filesiin...9 3 Ohjelmiston asennus ja käyttöönotto...10 4 M-Filesin päivittäinen käyttö...

Sisältö 1 Tekijänoikeudet...8 2 Johdatus M-Filesiin...9 3 Ohjelmiston asennus ja käyttöönotto...10 4 M-Filesin päivittäinen käyttö... M-Files 10 Sisältö 1 Tekijänoikeudet...8 2 Johdatus M-Filesiin...9 3 Ohjelmiston asennus ja käyttöönotto...10 3.1 Järjestelmävaatimukset...10 3.2 Automatisoitu asennus ja jakelu...11 3.3 Asennuksen läpivienti...11

Lisätiedot

Kolmannen asteen yhtälöä ratkaisemassa

Kolmannen asteen yhtälöä ratkaisemassa Solmu 1/2000 2001 Kolmannen asteen yhtälöä ratkaisemassa Taustana tarinallemme on tämän kevään lyhyen matematiikan yo-tehtävä, jossa käskettiin osoittamaan, että yhtälöllä f(x) = x 3 4x 2 = 0 on juuri

Lisätiedot

Aki Taanila MÄÄRÄLLISEN AINEISTON KERÄÄMINEN

Aki Taanila MÄÄRÄLLISEN AINEISTON KERÄÄMINEN Aki Taanila MÄÄRÄLLISEN AINEISTON KERÄÄMINEN 19.5.2014 SISÄLLYS 0 JOHDANTO... 1 1 LAADULLINEN VAI MÄÄRÄLLINEN?... 2 2 TUTKIMUSPROSESSI... 3 2.1 Suunnittelu... 3 2.2 Toteutus... 5 3 EI-KOKEELLINEN TUTKIMUSASETELMA...

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 9 lk. Osio 2: Trigonometriaa ja geometrian tietojen syventämistä

AVOIN MATEMATIIKKA 9 lk. Osio 2: Trigonometriaa ja geometrian tietojen syventämistä Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA 9 lk. Osio : Trigonometriaa ja geometrian tietojen syventämistä Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY.0 -lisenssillä. 1 Osio : Trigonometriaa ja geometrian

Lisätiedot

Tuki- ja virikeaineisto

Tuki- ja virikeaineisto Osallistavat menetelmät Tuki- ja virikeaineisto Kansan Sivistystyön Liitto KSL ry 1 OSALLISTAVAT MENETELMÄT 2 1.1 Osallistavien menetelmien määritelmä 2 1.2 Ohjaajan rooli 3 1.3 Osallistavat menetelmät

Lisätiedot

Maarit Hynninen-Ojala. Moodle 2.3.2+ Opiskelijan opas

Maarit Hynninen-Ojala. Moodle 2.3.2+ Opiskelijan opas Moodle 2.3.2+ Opiskelijan opas Sisällys 1 Opiskelijana Moodlessa ohje 1 1.1 Kirjautuminen Moodleen 1 1.2 Etusivu 2 1.3 Navigointi 3 1.4 Minun Moodleni 4 1.5 Omat käyttäjätiedot 4 1.6 Omien käyttäjätietojen

Lisätiedot