Verkon värittämistä hajautetuilla algoritmeilla

Transkriptio

1 Verkon värittämistä hajautetuilla algoritmeilla Jukka Suomela tammikuuta

2 Verkko 2

3 Verkko solmu 3

4 Verkko solmu kaari 4

5 Hajautettu järjestelmä solmu (tietokone) kaari (tiedonsiirtoyhteys) 5

6 Verkon väritys Naapurisolmut aina eri värisiä kukin solmu v tulostaa värin c(v) {1, 2,, k} jos verkossa on kaari {u, v} niin oltava c(u) c(v) 6

7 Verkon väritys Sovelluksia: resurssien jakaminen, aikatauluttaminen kaari = radiolähetykset häiritsevät toisiaan väri = radiokanava kaikki voivat lähettää samaan aikaan 7

8 Verkon väritys Keskeinen hajautetun laskennan alalla Moni ongelma palautettavissa verkon väritykseen joskus myös päinvastoin nopea algoritmi verkon väritykseen nopea algoritmi maksimaalisiin riippumattomiin joukkoihin 8

9 Verkon väritys Värittäminen mahdollisimman pienellä määrällä värejä vaikeaa olisiko 3 väriä riittänyt tässä? yleisesti NP-kova ongelma 9

10 Verkon väritys Värittäminen mahdollisimman pienellä määrällä värejä vaikeaa Mutta hyvin helppoa, jos värejä käytettävissä reilusti ahne algoritmi 10

11 Verkon väritys hajautetulla algoritmilla? Värittäminen mahdollisimman pienellä määrällä värejä vaikeaa Mutta hyvin helppoa, jos värejä käytettävissä reilusti ahne algoritmi 11

12 Verkon väritys Miten rikkoa symmetria? identtiset tietokoneet sama deterministinen algoritmi käynnistetään samaan aikaan, toimivat synkronisesti symmetrinen verkko 12

13 Verkon väritys Kaikki solmut samassa tilassa ennen kierrosta 1 kaikki lähettävät samat viestit kierroksella 1 kaikki vastaanottavat samat viestit kierroksella 1 Kaikki solmut samassa tilassa kierroksen 1 jälkeen 13

14 Verkon väritys Kaikki solmut samassa tilassa ennen kierrosta i kaikki lähettävät samat viestit kierroksella i kaikki vastaanottavat samat viestit kierroksella i Kaikki solmut samassa tilassa kierroksen i jälkeen 14

15 Verkon väritys Jos kierroksen i jälkeen jokin solmu tulostaa värin x ja pysähtyy 15

16 Verkon väritys Jos kierroksen i jälkeen jokin solmu tulostaa värin x ja pysähtyy niin kaikki muutkin solmut tulostavat samanaikaisesti saman värin x ja pysähtyvät 16

17 Verkon väritys Mikään deterministinen hajautettu algoritmi ei voi tuottaa kelvollista väritystä (esim. syklissä) Ellei käytettävissä ole jotain lisäinformaatiota, joka rikkoo symmetrian 17

18 Solmujen nimet Oletetaan, että kullakin solmulla on yksilöllinen tunniste esim. IP-osoite, MAC-osoite, koneen nimi Tällöin väritys on 15 4 helppo löytää ahneesti

19 Ahne väritys Solmu aktiivinen, jos sen oma tunniste on pienempi kuin naapureilla

20 Ahne väritys Solmu aktiivinen, jos sen oma tunniste on pienempi kuin naapureilla Aktiiviset solmut valitsevat ensimmäisen vapaan värin voidaan tehdä samanaikaisesti rinnakkain

21 Ahne väritys Solmu aktiivinen, jos sen oma tunniste on pienempi kuin naapureilla unohdetaan naapurit, jotka on jo väritetty

22 Ahne väritys Solmu aktiivinen, jos sen oma tunniste on pienempi kuin naapureilla Aktiiviset solmut valitsevat ensimmäisen vapaan värin

23 Ahne väritys Solmu aktiivinen, jos sen oma tunniste on pienempi kuin naapureilla unohdetaan naapurit, jotka on jo väritetty

24 Ahne väritys Solmu aktiivinen, jos sen oma tunniste on pienempi kuin naapureilla Aktiiviset solmut valitsevat ensimmäisen vapaan värin

25 Ahne väritys Löydetään aina kelvollinen väritys Esim. syklissä tarvitaan vain 3 väriä yleisemmin: enintään + 1 väriä, jossa = verkon maksimiasteluku

26 Ahne väritys Ahne algoritmi on kuitenkin pahimmassa tapauksessa hyvin hidas esim. solmujen tunnisteet kasvavassa järjestyksessä pitkin sykliä

27 Ahne väritys Ahne algoritmi on kuitenkin pahimmassa tapauksessa hyvin hidas esim. solmujen tunnisteet kasvavassa järjestyksessä pitkin sykliä

28 Ahne väritys Ahne algoritmi on kuitenkin pahimmassa tapauksessa hyvin hidas esim. solmujen tunnisteet kasvavassa järjestyksessä pitkin sykliä

29 Ahne väritys Ahne algoritmi on kuitenkin pahimmassa tapauksessa hyvin hidas esim. solmujen tunnisteet kasvavassa järjestyksessä pitkin sykliä

30 Ahne väritys Ahne algoritmi on kuitenkin pahimmassa tapauksessa hyvin hidas esim. solmujen tunnisteet kasvavassa järjestyksessä pitkin sykliä

31 Ahne väritys Ahne algoritmi on kuitenkin pahimmassa tapauksessa hyvin hidas esim. solmujen tunnisteet kasvavassa järjestyksessä pitkin sykliä jne

32 Ahne väritys Ahne algoritmi on kuitenkin pahimmassa tapauksessa hyvin hidas esim. solmujen tunnisteet kasvavassa järjestyksessä pitkin sykliä jne jne

33 Ahne väritys Ahne algoritmi on kuitenkin pahimmassa tapauksessa hyvin hidas esim. solmujen tunnisteet kasvavassa järjestyksessä pitkin sykliä valmistuihan se lopulta

34 Ahne väritys Vaaditaan pahimmillaan Θ(n) kommunikaatiokierrosta n-solmuisessa verkossa Onko mahdollista 12 4 nopeuttaa?

35 Nopea väritys Keskitytään yksinkertaiseen erikoistapaukseen sykli solmuilla uniikit nimet joukosta {1, 2,, n} kaaret suunnistettu: jokaisella solmulla yksi edeltäjä ja yksi seuraaja

36 Nopea väritys Tulkitaan solmujen nimet väritykseksi! kelvollinen väritys mutta hyvin suuri määrä värejä Ratkaistaan sitten värinvähennysongelma pienennetään värien määrää Toistetaan

37 Värinvähennys Annettu väritys, suuri väripaletti

38 Värinvähennys Verrataan omaa väriä edeltäjän väriin binäärilukuna

39 Värinvähennys Bitti numero 8 eroaa (8, 1)

40 Värinvähennys Bitti numero 8 eroaa (8, 0) (8, 1)

41 Värinvähennys Bitti numero 11 eroaa (11, 1) (8, 0) (8, 1)

42 Värinvähennys Uudet värit

43 Värinvähennys Kelvollinen väritys! (11, 1) eri bitti (8, 0) (8, 1) 17 43

44 Värinvähennys Kelvollinen väritys! (11, 1) eri bitti (8, 0) (8, 1) tai sama bitti, eri arvo 17 44

45 Värinvähennys Yhden kierroksen jälkeen

46 Värinvähennys Kahden kierroksen jälkeen 1 46

47 Värinvähennys Kolmen kierroksen jälkeen 1 47

48 Värinvähennys Väripaletin kokoa voidaan vähentää k väristä O(log k) väriin yhdessä kierroksessa Päästään hyvin nopeasti 6 väriin Esim.: Lopuksi ahneella algoritmilla 3 väriin 48

49 Värinvähennys Värien määrä vähennetty n 3 Yhteensä O(log* n) kierrosta log* x = montako kertaa pitää ottaa x:stä logaritmi, jotta tulos olisi alle 1 äärimmäisen hitaasti kasvava funktio! log* 10 = 3, log* = 4, log* = 5, 49

50 Yhteenveto Suunnatussa syklissä on mahdollista löytää 3-väritys erittäin nopeasti O(log* n) kommunikaatiokierrosta riittää Osoittautuu, että tämä algoritmi on myös asymptoottisesti nopein o(log* n) kommunikaatiokierrosta ei riitä lisää tästä IV periodin kurssilla! 50