Algoritmit 2. Luento 14 Ke Timo Männikkö

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Algoritmit 2. Luento 14 Ke Timo Männikkö"

Transkriptio

1 Algoritmit 2 Luento 14 Ke Timo Männikkö

2 Luento 14 Ositus ja rekursio Rekursion toteutus Kertaus ja tenttivinkit Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

3 Ositus Tehtävän esiintymä ositetaan useammaksi pienemmäksi esiintymäksi Osatehtävät ratkaistaan, yleensä rekursiivisesti Osatehtävien ratkaisuista kootaan alkuperäisen tehtävän ratkaisu Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

4 Rekursio Algoritmi kutsuu itseään ratkaisun aikana Oltava lopetusehto, jotta rekursio päättyy Usein rekursiivinen ratkaisu on hyvin helppo löytää Mutta aina rekursio ei ole paras mahdollinen ratkaisu Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

5 Rekursion toteutus Algoritmin kutsu annetulla ongelmalla: Jos pieni yksinkertainen ongelma Ratkaistaan se ja palautetaan ratkaisu Muuten jaetaan ongelma pienempiin vastaavanlaisiin ongelmiin Ratkaistaan ne rekursiivisilla kutsuilla Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

6 Esimerkki: Taulukon summa Tehtävä: Laske taulukon lukujen summa Osittava ratkaisu: Jos taulukossa vain yksi luku, summa on tuo luku Jos taulukossa n kpl lukuja, missä n > 1 Lasketaan (n 1):n ensimmäisen luvun summa Lisätään siihen viimeinen luku Saadaan kaikkien n:n luvun summa Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

7 Rekursiivinen ratkaisu laskesumma(t, n) { if (n == 1) return t[0]; else return (laskesumma(t, n-1) + t[n-1]); } Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

8 Rekursiivinen ratkaisu laskesumma(t, n) { if (n == 1) return t[0]; else { alkusumma = laskesumma(t, n-1); summa = alkusumma + t[n-1]; return summa; } } Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

9 Toteutus ohjelmointikielellä public static int laskesumma(int[] t, int n) { if (n == 1) return t[0]; else { int alkusumma = laskesumma(t, n-1); int summa = alkusumma + t[n-1]; return summa; } } Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

10 Algoritmin toiminta Ensimmäisessä kutsussa n on koko taulukon pituus Siirrytään else-osaan Summaa ei voi laskea ennen kuin alkusumma on laskettu Tämän vaiheen suoritus jää toistaiseksi kesken Rekursiokutsu taulukon pituudella n-1 Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

11 Algoritmin toiminta jatkuu Saman algoritmin kutsu pituudella n-1 Siirrytään else-osaan Summaa ei voi laskea ennen kuin alkusumma on laskettu Tämän vaiheen suoritus jää toistaiseksi kesken Rekursiokutsu taulukon pituudella n-2 Jne. Huom: Kaikki suoritukset jäävät kesken odottamaan rekursion päättymistä Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

12 Algoritmin toiminta jatkuu Rekursio päättyy kun n pienenee arvoon 1 Jolloin palautetaan taulukon ensimmäinen luku Edellinen kesken jäänyt suoritus jatkuu Alkusumma saadaan paluuarvona Summa voidaan laskea Palautetaan summa Algoritmin tämän vaiheen suoritus päättynyt Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

13 Algoritmin toiminta jatkuu Edellinen kesken jäänyt suoritus jatkuu Alkusumma saadaan paluuarvona Summa voidaan laskea Palautetaan summa Algoritmin tämän vaiheen suoritus päättynyt Jne. Huom: Kesken jääneet suoritukset päättyvät päinvastaisessa järjestyksessä Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

14 Algoritmin toiminta jatkuu Algoritmin viimeinenkin kesken jäänyt suoritus viety loppuun Palataan sinne missä ensimmäinen kutsu tehtiin Algoritmin suoritus päättynyt Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

15 Kertaus ja tenttivinkit Algoritmin suunnittelu: Suunnittelumenetelmät Algoritmin esitys: Sanallisesti, pseudokoodina Algoritmin analysointi: Aikavaativuuden kertaluokka Tietorakenteiden valinta: Tietoalkiot ja operaatiot Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

16 Algoritmien analysointi Suoritusajan vaativuus: Lasketaan/arvioidaan algoritmin askelien/operaatioiden lukumääriä Määrätään suoritusajan riippuvuus syöttötiedon koosta Oleellista suoritusajan asymptoottinen kertaluokka Paras mahdollinen suoritusaika, huonoin mahdollinen suoritusaika, keskimääräinen suoritusaika Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

17 Asymptoottinen kertaluokka Θ(g(n)) = funktiot, jotka asymptoottisesti yhtäsuuria kuin g(n) Peruskertaluokkia: Θ(1), Θ(log n), Θ(n), Θ(n log n), Θ(n 2 ), Θ(n 3 ) Yleinen polynominen: Θ(n k ) Eksponentiaalinen: Θ(2 n ) Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

18 Prioriteettijono ja keko Minimiprioriteettijono: Perusoperaatiot (lisää alkio, poista pienin) Muita operaatioita perusoperaatioiden avulla Kekorakenne: Perusoperaatiot (lisäys, poisto) Toteutus taulukolla Aikavaativuus Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

19 Järjestäminen eli lajittelu Kekolajittelu: Muodostetaan alkioista keko Vaihdetaan ensimmäinen ja viimeinen alkio Jätetään viimeinen alkio keon ulkopuolelle Korjataan yhtä alkiota pienemmän keon osittainen järjestys kuntoon Jatketaan kunnes keossa enää yksi alkio Kekolajittelun aikavaativuus: Keko-operaatioiden aikavaativuus Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

20 Hajautus Yhteentörmäysten käsittely: Ketjutus Avoin osoitteenmuodostus Avoin osoitteenmuodostus: Hajautusfunktiot Lineaarinen etsintä Neliöllinen etsintä Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

21 B-puu Astetta m oleva B-puu Perusoperaatiot (haku, lisäys, poisto) Lisäys: Poisto: Tarvittaessa solmujen halkaisu Tarvittaessa alkioiden siirto tai solmujen yhdistäminen Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

22 Muita tietorakenteita Puut: Nelipuu Trie-rakenteet Joukot: Lista, taulukko, bittivektori Esitys ja operaatiot Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

23 Suunnittelumenetelmät Raaka voima: Ongelman suoraviivainen ratkaiseminen Osittaminen: Ositus osatehtäviin, rekursiivinen ratkaiseminen, ratkaisun kokoaminen Taulukointi: Osatehtävien ratkaisujen taulukointi, taulukon täyttäminen vaiheittain Ahne menetelmä: Parhaimmalta näyttävän vaihtoehdon valinta Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

24 Ositus ja rekursio Aikavaativuuden rekursioyhtälö: { c 1, kun n = 1 T (n) = at (n/b) + cn α, kun n = b k, k 1 Osituksen tasapainoisuus Rekursioyhtälön muodostaminen Master-lauseen soveltaminen (Lausetta ei tarvitse muistaa ulkoa) Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

25 Ahneita algoritmeja Verkon lyhin virittävä puu: Kruskalin menetelmä Primin menetelmä Merkkitiedon tiivistäminen: Huffmanin koodi Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

26 Raa an voiman algoritmeja Verkon 3-väritysongelma: Väritysvaihtoehtojen läpikäynti Peruutus Pelipuiden läpikäynti: Voittoarvojen määrittäminen Tehostaminen α-β-karsinnalla Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

27 Heuristisia algoritmeja Kauppamatkustajan ongelma: Linin ja Kernighanin 2-vaihtoalgoritmi Geneettiset algoritmit Simuloitu jäähdytys Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

28 Vaativuusluokat P = päätösongelmat, jotka voidaan ratkaista polynomisella algoritmilla NP = päätösongelmat, jotka voidaan ratkaista epädeterministisellä polynomisella algoritmilla Epädeterministinen arvaus Deterministinen polynominen tarkistus Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

29 NP-täydellisyys Päätösongelman muuntaminen toiseksi päätösongelmaksi Ongelma T NP on NP-täydellinen, jos jokainen ongelma S NP voidaan muuntaa polynomisessa ajassa ongelmaksi T NP-täydelliset ongelmat: Luokan NP vaikeimmat ongelmat Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

30 Onnea tenttiin! Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke /30

Algoritmit 1. Luento 14 Ke 25.2.2015. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 14 Ke 25.2.2015. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 14 Ke 25.2.2015 Timo Männikkö Luento 14 Heuristiset menetelmät Heuristiikkoja kapsäkkiongelmalle Kauppamatkustajan ongelma Lähimmän naapurin menetelmä Kertaus ja tenttivinkit Algoritmit

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 2 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 2 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 2 Ke 11.1.2017 Timo Männikkö Luento 2 Algoritmin esitys Algoritmien analysointi Suoritusaika Asymptoottinen kertaluokka Peruskertaluokkia NP-täydelliset ongelmat Algoritmit 1 Kevät

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 3 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 3 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 3 Ti 21.3.2017 Timo Männikkö Luento 3 Järjestäminen eli lajittelu Kekorakenne Kekolajittelu Hajautus Yhteentörmäysten käsittely Ketjutus Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 3 Ti 21.3.2017

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 2 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 2 Ke Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 2 Ke 15.3.2017 Timo Männikkö Luento 2 Tietorakenteet Lineaarinen lista, binääripuu Prioriteettijono Kekorakenne Keko-operaatiot Keon toteutus taulukolla Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 13 Ti 2.5.2017 Timo Männikkö Luento 13 Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Laskennallinen vaativuus Päätösongelmat Epädeterministinen algoritmi Vaativuusluokat NP-täydellisyys

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 1 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 1 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 1 Ti 14.3.2017 Timo Männikkö Luento 1 Algoritmi Algoritmin valinta Algoritmin analysointi Algoritmin suoritusaika Peruskertaluokkia Kertaluokkamerkinnät Kertaluokkien ominaisuuksia

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 1 Ti 10.1.2017 Timo Männikkö Luento 1 Algoritmi Algoritmin toteutus Ongelman ratkaiseminen Algoritmin tehokkuus Algoritmin suoritusaika Algoritmin analysointi Algoritmit 1 Kevät 2017

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 3 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 3 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 3 Ti 17.1.2017 Timo Männikkö Luento 3 Algoritmin analysointi Rekursio Lomituslajittelu Aikavaativuus Tietorakenteet Pino Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 3 Ti 17.1.2017 2/27 Algoritmien

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 11 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 11 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 11 Ti 14.2.2017 Timo Männikkö Luento 11 Algoritminen ongelmanratkaisu Osittaminen Lomituslajittelu Lomituslajittelun vaativuus Rekursioyhtälöt Pikalajittelu Algoritmit 1 Kevät 2017

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 7 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 7 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 7 Ti 4.4.2017 Timo Männikkö Luento 7 Joukot Joukko-operaatioita Joukkojen esitystapoja Alkiovieraat osajoukot Toteutus puurakenteena Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 7 Ti 4.4.2017 2/26

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 10 Ke 11.2.2015. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 10 Ke 11.2.2015. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 10 Ke 11.2.2015 Timo Männikkö Luento 10 Algoritminen ongelman ratkaisu Suunnittelumenetelmät Raaka voima Järjestäminen eli lajittelu Kuplalajittelu Väliinsijoituslajittelu Valintalajittelu

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 12 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 12 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 12 Ke 15.2.2017 Timo Männikkö Luento 12 Pikalajittelu Pikalajittelun vaativuus Osittamisen tasapainoisuus Lajittelumenetelmien vaativuus Laskentalajittelu Lokerolajittelu Kantalukulajittelu

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 6 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 6 Ke Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 6 Ke 29.3.2017 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot B-puun muunnelmia Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 6 Ke 29.3.2017 2/31 B-puu

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 4 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 4 Ke Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 4 Ke 22.3.2017 Timo Männikkö Luento 4 Hajautus Yhteentörmäysten käsittely Avoin osoitteenmuodostus Hajautusfunktiot Puurakenteet Solmujen läpikäynti Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 4

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 5 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 5 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 5 Ti 28.3.2017 Timo Männikkö Luento 5 Puurakenteet B-puu B-puun korkeus B-puun operaatiot Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 5 Ti 28.3.2017 2/29 B-puu Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 5 Ti

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015)

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) 58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Harjoitus 2 (14. 18.9.2015) Huom. Sinun on tehtävä vähintään kaksi tehtävää, jotta voit jatkaa kurssilla. 1. Erään algoritmin suoritus vie 1 ms, kun syötteen

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 8 Ke 1.2.2017 Timo Männikkö Luento 8 Järjestetty binääripuu Solmujen läpikäynti Binääripuun korkeus Binääripuun tasapainottaminen Graafit ja verkot Verkon lyhimmät polut Fordin ja Fulkersonin

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit. Kertaus. Ari Korhonen

Tietorakenteet ja algoritmit. Kertaus. Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit Kertaus Ari Korhonen 1.12.2015 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1 Presemosta: 12. Kertaus» Mitkä tekijät, miten ja miksi vaiku1avat algoritmien nopeuteen» Rekursiohistoriapuut

Lisätiedot

Olkoon S(n) kutsun merge-sort(a, p, q) tilavaativuus kun p q + 1 = n. Oletetaan merge toteutetuksi vakiotyötilassa (ei-triviaalia mutta mahdollista).

Olkoon S(n) kutsun merge-sort(a, p, q) tilavaativuus kun p q + 1 = n. Oletetaan merge toteutetuksi vakiotyötilassa (ei-triviaalia mutta mahdollista). Esimerkki Lomitusjärjestäminen merge-sort(a, p, q): var k % paikallinen muuttuja, vakiotila 1. if p < q then 2. r := (p + q)/2 3. merge-sort(a, p, r) 4. merge-sort(a, r + 1, q) 5. merge(a, p, r, q) Olkoon

Lisätiedot

ALGORITMIT 1 DEMOVASTAUKSET KEVÄT 2012

ALGORITMIT 1 DEMOVASTAUKSET KEVÄT 2012 ALGORITMIT 1 DEMOVASTAUKSET KEVÄT 2012 1.1. (a) Jaettava m, jakaja n. Vähennetään luku n luvusta m niin kauan kuin m pysyy ei-negatiivisena. Jos jäljelle jää nolla, jaettava oli tasan jaollinen. int m,

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 11 Ti 25.4.2017 Timo Männikkö Luento 11 Peruutusmenetelmä Osajoukon summa Pelipuut Pelipuun läpikäynti Rajoitehaku Kapsäkkiongelma Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti 25.4.2017 2/29

Lisätiedot

1.4 Funktioiden kertaluokat

1.4 Funktioiden kertaluokat 1.4 Funktioiden kertaluokat f on kertaluokkaa O(g), merk. f = O(g), jos joillain c > 0, m N pätee f(n) cg(n) aina kun n m f on samaa kertaluokkaa kuin g, merk. f = Θ(g), jos joillain a, b > 0, m N pätee

Lisätiedot

Algoritmit 1. Demot Timo Männikkö

Algoritmit 1. Demot Timo Männikkö Algoritmit 1 Demot 2 1.-2.2.2017 Timo Männikkö Tehtävä 1 (a) Ei-rekursiivinen algoritmi: laskesumma(t, n) sum = t[0]; for (i = 1; i < n; i++) sum = sum + t[i]; return sum; Silmukka suoritetaan n 1 kertaa

Lisätiedot

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit

Tietorakenteet ja algoritmit Tietorakenteet ja algoritmit Rekursio Rekursion käyttötapauksia Rekursio määritelmissä Rekursio ongelmanratkaisussa ja ohjelmointitekniikkana Esimerkkejä taulukolla Esimerkkejä linkatulla listalla Hanoin

Lisätiedot

lähtokohta: kahden O(h) korkuisen keon yhdistäminen uudella juurella vie O(h) operaatiota vrt. RemoveMinElem() keossa

lähtokohta: kahden O(h) korkuisen keon yhdistäminen uudella juurella vie O(h) operaatiota vrt. RemoveMinElem() keossa Kekolajittelu Prioriteettijonolla toteutettu keko InsertItem ja RemoveMinElem: O(log(n)) Lajittelu prioriteettijonolla: PriorityQueueSort(lajiteltava sekvenssi S) alusta prioriteettijono P while S.IsEmpty()

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 4 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 4 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 4 Ke 18.1.2017 Timo Männikkö Luento 4 Tietorakenteet Pino Pinon toteutus Jono Jonon toteutus Lista Listaoperaatiot Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 4 Ke 18.1.2017 2/29 Pino Pino, stack,

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 9 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 9 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 9 Ti 19.4.2016 Timo Männikkö Luento 9 Merkkitiedon tiivistäminen LZW-menetelmä Taulukointi Editointietäisyys Peruutus Verkon 3-väritys Algoritmit 2 Kevät 2016 Luento 9 Ti 19.4.2016

Lisätiedot

10. Painotetut graafit

10. Painotetut graafit 10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 5 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 5 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 5 Ti 24.1.2017 Timo Männikkö Luento 5 Järjestetty lista Järjestetyn listan operaatiot Listan toteutus taulukolla Binäärihaku Binäärihaun vaativuus Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 5 Ti

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari Korhonen

Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari 1 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä 1.2 Tietorakenteen ja algoritmin valinta 1.3 Algoritmit ja tiedon määrä 1.4 Tietorakenteet ja toiminnot 1.5 Esimerkki:

Lisätiedot

4. Joukkojen käsittely

4. Joukkojen käsittely 4 Joukkojen käsittely Tämän luvun jälkeen opiskelija osaa soveltaa lomittuvien kasojen operaatioita tuntee lomittuvien kasojen toteutuksen binomi- ja Fibonacci-kasoina sekä näiden totetutusten analyysiperiaatteet

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta kurssin alkuosasta

811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta kurssin alkuosasta 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2016-2017 Kertausta kurssin alkuosasta II Algoritmien analyysi: oikeellisuus Algoritmin täydellinen oikeellisuus = Algoritmi päättyy ja tuottaa määritellyn tuloksen

Lisätiedot

1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa:

1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa: Tietorakenteet, laskuharjoitus 10, ratkaisuja 1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa: SamaLuku(T ) 2 for i = 1 to T.length 1 3 if T [i] == T [i + 1] 4 return True 5 return

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1

Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 2 Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 2, , vastauksia

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 2, , vastauksia 58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 2, 652013, vastauksia 1 [6 pistettä] Vastaa jokaisesta alla olevasta väittämästä onko se tosi vai epätosi ja anna lyhyt perustelu Jokaisesta kohdasta

Lisätiedot

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT ALGORITMIEN ANALYYSISTÄ 1.ratkaisu Laskentaaika hakkeri - optimoitu ALGORITMIANALYYSIÄ hyvä algoritmi hakkeri -optimoitu hyvä algoritmi Tehtävän koko Kuva mukailtu

Lisätiedot

Algoritmianalyysin perusteet

Algoritmianalyysin perusteet Tietorakenteet ja algoritmit Algoritmianalyysin perusteet Ari Korhonen 1 5. ALGORITMIANALYYSI 5.1 Johdanto 5.2 Tavoitteet 5.3 Algoritmien luokittelu 5.4 Kertaluokkamerkinnät (Big Oh Notation) 5.5 Kertaluokkamerkinnöillä

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit III Lajittelualgoritmeista

811312A Tietorakenteet ja algoritmit III Lajittelualgoritmeista 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2016-2017 III Lajittelualgoritmeista Sisältö 1. Johdanto 2. Pikalajittelu 3. Kekolajittelu 4. Lajittelualgoritmien suorituskyvyn rajoista 811312A TRA, Lajittelualgoritmeista

Lisätiedot

Tietorakenteet, laskuharjoitus 7, ratkaisuja

Tietorakenteet, laskuharjoitus 7, ratkaisuja Tietorakenteet, laskuharjoitus, ratkaisuja. Seuraava kuvasarja näyttää B + -puun muutokset lisäysten jälkeen. Avaimet ja 5 mahtuvat lehtisolmuihin, joten niiden lisäys ei muuta puun rakennetta. Avain 9

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 9, ratkaisuja (Antti Laaksonen)

58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 9, ratkaisuja (Antti Laaksonen) 58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 9, ratkaisuja (Antti Laaksonen) 1. Lisäysjärjestämisessä järjestetään ensin taulukon kaksi ensimmäistä lukua, sitten kolme ensimmäistä lukua, sitten neljä ensimmäistä

Lisätiedot

f(n) = Ω(g(n)) jos ja vain jos g(n) = O(f(n))

f(n) = Ω(g(n)) jos ja vain jos g(n) = O(f(n)) Määritelmä: on O(g(n)), jos on olemassa vakioarvot n 0 > 0 ja c > 0 siten, että c g(n) kun n > n 0 O eli iso-o tai ordo ilmaisee asymptoottisen ylärajan resurssivaatimusten kasvun suuruusluokalle Samankaltaisia

Lisätiedot

Algoritmit 1. Demot Timo Männikkö

Algoritmit 1. Demot Timo Männikkö Algoritmit 1 Demot 1 25.-26.1.2017 Timo Männikkö Tehtävä 1 (a) Algoritmi, joka laskee kahden kokonaisluvun välisen jakojäännöksen käyttämättä lainkaan jakolaskuja Jaettava m, jakaja n Vähennetään luku

Lisätiedot

Algoritmien suunnittelu ja analyysi (kevät 2004) 1. välikoe, ratkaisuja

Algoritmien suunnittelu ja analyysi (kevät 2004) 1. välikoe, ratkaisuja 58053-7 Algoritmien suunnittelu ja analyysi (kevät 2004) 1. välikoe, ratkaisuja Malliratkaisut ja pisteytysohje: Jyrki Kivinen Tentin arvostelu: Jouni Siren (tehtävät 1 ja 2) ja Jyrki Kivinen (tehtävät

Lisätiedot

3SAT-ongelman NP-täydellisyys [HMU ]

3SAT-ongelman NP-täydellisyys [HMU ] 3SAT-ongelman NP-täydellisyys [HMU 10.3.4] erotukseksi yleisestä CNF-esityksestä, kaikilla kaavoilla ei ole 3-CNF-esitystä; esim. x 1 x 2 x 3 x 4 esitämme muunnoksen, jolla polynomisessa ajassa mielivaltaisesta

Lisätiedot

Nopea kertolasku, Karatsuban algoritmi

Nopea kertolasku, Karatsuban algoritmi Nopea kertolasku, Karatsuban algoritmi Mikko Männikkö 16.8.2004 Lähde: ((Gathen and Gerhard 1999) luku II.8) Esityksen kulku Algoritmien analysointia (1), (2), (3), (4) Klassinen kertolasku Parempi tapa

Lisätiedot

Tehtävän V.1 ratkaisuehdotus Tietorakenteet, syksy 2003

Tehtävän V.1 ratkaisuehdotus Tietorakenteet, syksy 2003 Tehtävän V.1 ratkaisuehdotus Tietorakenteet, syksy 2003 Matti Nykänen 5. joulukuuta 2003 1 Satelliitit Muunnetaan luennoilla luonnosteltua toteutusta seuraavaksi: Korvataan puusolmun p kentät p. key ja

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 7 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 7 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 7 Ti 31.1.2017 Timo Männikkö Luento 7 Järjestetty binääripuu Binääripuiden termejä Binääripuiden operaatiot Solmun haku, lisäys, poisto Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 7 Ti 31.1.2017

Lisätiedot

3. Laskennan vaativuusteoriaa

3. Laskennan vaativuusteoriaa 3. Laskennan vaativuusteoriaa tähän asti puhuttu siitä, mitä on mahdollista laskea äärellisessä ajassa siirrytään tarkastelemaan laskemista kohtuullisessa ajassa vaihtoehtoisesti voidaan laskenta-ajan

Lisätiedot

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2015-2016. VI Algoritmien suunnitteluparadigmoja

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2015-2016. VI Algoritmien suunnitteluparadigmoja 811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2015-2016 VI Algoritmien suunnitteluparadigmoja Sisältö 1. Hajota ja hallitse-menetelmä 2. Dynaaminen taulukointi 3. Ahneet algoritmit 4. Peruuttavat algoritmit 811312A

Lisätiedot

Muita vaativuusluokkia

Muita vaativuusluokkia Muita vaativuusluokkia Käydään lyhyesti läpi tärkeimpiä vaativuusluokkiin liittyviä tuloksia. Monet tunnetuista tuloksista ovat vaikeita todistaa, ja monet kysymykset ovat vielä auki. Lause (Ladner 1975):

Lisätiedot

2. Seuraavassa kuvassa on verkon solmujen topologinen järjestys: x t v q z u s y w r. Kuva 1: Tehtävän 2 solmut järjestettynä topologisesti.

2. Seuraavassa kuvassa on verkon solmujen topologinen järjestys: x t v q z u s y w r. Kuva 1: Tehtävän 2 solmut järjestettynä topologisesti. Tietorakenteet, laskuharjoitus 11, ratkaisuja 1. Leveyssuuntaisen läpikäynnin voi toteuttaa rekursiivisesti käsittelemällä jokaisella rekursiivisella kutsulla kaikki tietyllä tasolla olevat solmut. Rekursiivinen

Lisätiedot

Oikeasta tosi-epätosi -väittämästä saa pisteen, ja hyvästä perustelusta toisen.

Oikeasta tosi-epätosi -väittämästä saa pisteen, ja hyvästä perustelusta toisen. Tietorakenteet, kevät 2012 Kurssikoe 2, mallivastaukset 2. (a) Järjestämistä ei voi missään tilanteessa suorittaa nopeammin kuin ajassa Θ(n log n), missä n on järjestettävän taulukon pituus. Epätosi: Yleisessä

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 8 Ke 13.4.2016. Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 8 Ke 13.4.2016. Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 8 Ke 13.4.2016 Timo Männikkö Luento 8 Rekursioyhtälöt Master-lause Lähin pistepari Ahne menetelmä Lyhin virittävä puu Kruskalin menetelmä Primin menetelmä Merkkitiedon tiivistäminen

Lisätiedot

Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista

Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Ennen yleisempiä teoriatarkasteluja katsotaan joitain tyypillisiä esimerkkejä ongelmista ja niiden vaativuudesta kaikki nämä ongelmat ratkeavia

Lisätiedot

(a) L on listan tunnussolmu, joten se ei voi olla null. Algoritmi lisäämiselle loppuun:

(a) L on listan tunnussolmu, joten se ei voi olla null. Algoritmi lisäämiselle loppuun: Tietorakenteet ja algoritmit, kevät 201 Kurssikoe 1, ratkaisuja 1. Tehtävästä sai yhden pisteen per kohta. (a) Invariantteja voidaan käyttää algoritmin oikeellisuustodistuksissa Jokin väittämä osoitetaan

Lisätiedot

Lause (Cook-Levin) Kieli SAT = { on toteutuva lausekalkyylin kaava } on NP-täydellinen.

Lause (Cook-Levin) Kieli SAT = { on toteutuva lausekalkyylin kaava } on NP-täydellinen. 261 Lause (Cook-Levin) Kieli SAT = { on toteutuva lausekalkyylin kaava } on NP-täydellinen. Pitää osoittaa siis, että A mp SAT mielivaltaisella A NP Ainoa, mitä A:sta tiedetään on, että sillä on polynomisessa

Lisätiedot

10. Painotetut graafit

10. Painotetut graafit 10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 11.2.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 11.2.2009 1 / 33 Kertausta: listat Tyhjä uusi lista luodaan kirjoittamalla esimerkiksi lampotilat = [] (jolloin

Lisätiedot

C C. x 2. x 3 x 3. Lause 3SAT p m VC Todistus. Olk. φ = C 1 C 2 C m 3-cnf-kaava, jossa esiintyvät muuttujat. φ toteutuva:

C C. x 2. x 3 x 3. Lause 3SAT p m VC Todistus. Olk. φ = C 1 C 2 C m 3-cnf-kaava, jossa esiintyvät muuttujat. φ toteutuva: Lause 3SAT p m VC Todistus. Olk. φ = C 1 C C m 3-cnf-kaava, jossa esiintyvät muuttujat x 1,..., x n. Vastaava solmupeiteongelman tapaus G, k muodostetaan seuraavasti. G:ssä on solmu kutakin literaalia

Lisätiedot

Laskennan vaativuus ja NP-täydelliset ongelmat

Laskennan vaativuus ja NP-täydelliset ongelmat Laskennan vaativuus ja NP-täydelliset ongelmat TRAK-vierailuluento 13.4.2010 Petteri Kaski Tietojenkäsittelytieteen laitos Tietojenkäsittelytiede Tietojenkäsittelytiede tutkii 1. mitä tehtäviä voidaan

Lisätiedot

REKURSIO. Rekursiivinen ohjelma Kutsuu itseään. Rekursiivinen rakenne. Rakenne sisältyy itseensä. Rekursiivinen funktio. On määritelty itsensä avulla

REKURSIO. Rekursiivinen ohjelma Kutsuu itseään. Rekursiivinen rakenne. Rakenne sisältyy itseensä. Rekursiivinen funktio. On määritelty itsensä avulla REKURSIO Rekursiivinen ohjelma Kutsuu itseään Rekursiivinen rakenne Rakenne sisältyy itseensä Rekursiivinen funktio On määritelty itsensä avulla Esim. Fibonacci-luvut: X(i) = X(i-1) + X(i-2), X(0) = X(1)

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2014-2015, Harjoitus 7, ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2014-2015, Harjoitus 7, ratkaisu 832A Tietorakenteet ja algoritmit, 204-205, Harjoitus 7, ratkaisu Hajota ja hallitse-menetelmä: Tehtävä 7.. Muodosta hajota ja hallitse-menetelmää käyttäen algoritmi TULOSTA_PUU_LASKEVA, joka tulostaa

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit syksy Laskuharjoitus 1

Tietorakenteet ja algoritmit syksy Laskuharjoitus 1 Tietorakenteet ja algoritmit syksy 2012 Laskuharjoitus 1 1. Tietojenkäsittelijä voi ajatella logaritmia usein seuraavasti: a-kantainen logaritmi log a n kertoo, kuinka monta kertaa luku n pitää jakaa a:lla,

Lisätiedot

Koe ma 1.3 klo 16-19 salissa A111, koeaika kuten tavallista 2h 30min

Koe ma 1.3 klo 16-19 salissa A111, koeaika kuten tavallista 2h 30min Koe Koe ma 1.3 klo 16-19 salissa A111, koeaika kuten tavallista 2h 30min Kokeessa saa olla mukana A4:n kokoinen kaksipuolinen käsiten tehty, itse kirjoitettu lunttilappu 1 Tärkeää ja vähemmäntärkeää Ensimmäisen

Lisätiedot

Valitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I.

Valitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I. Vaihto-ominaisuudella on seuraava intuition kannalta keskeinen seuraus: Olkoot A I ja B I samankokoisia riippumattomia joukkoja: A = B = m jollain m > 0. Olkoon vielä n = m A B, jolloin A B = B A = n.

Lisätiedot

7. Aikavaativuus. Ohjelmistotekniikan laitos OHJ-2300 Johdatus tietojenkäsittelyteoriaan, syksy

7. Aikavaativuus. Ohjelmistotekniikan laitos OHJ-2300 Johdatus tietojenkäsittelyteoriaan, syksy 212 7. Aikavaativuus Edellä tarkasteltiin ongelmien ratkeavuutta kiinnittämättä huomiota ongelman ratkaisun vaatimaan aikaan Nyt siirrytään tarkastelemaan ratkeavien ongelmien aikavaativuutta Periaatteessa

Lisätiedot

Hakupuut. tässä luvussa tarkastelemme puita tiedon tallennusrakenteina

Hakupuut. tässä luvussa tarkastelemme puita tiedon tallennusrakenteina Hakupuut tässä luvussa tarkastelemme puita tiedon tallennusrakenteina hakupuun avulla voidaan toteuttaa kaikki joukko-tietotyypin operaatiot (myös succ ja pred) pahimman tapauksen aikavaativuus on tavallisella

Lisätiedot

Tietorakenteet, laskuharjoitus 10, ratkaisuja. 1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa:

Tietorakenteet, laskuharjoitus 10, ratkaisuja. 1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa: Tietorakenteet, laskuharjoitus 10, ratkaisuja 1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa: SamaLuku(T ) 2 for i = 1 to T.length 1 3 if T [i] = = T [i + 1] 4 return True 5

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 9 Ti 7.2.2017 Timo Männikkö Luento 9 Graafit ja verkot Kaaritaulukko, bittimatriisi, pituusmatriisi Verkon lyhimmät polut Floydin menetelmä Lähtevien ja tulevien kaarien listat Forward

Lisätiedot

12. Algoritminsuunnittelun perusmenetelmiä

12. Algoritminsuunnittelun perusmenetelmiä 12. Algoritminsuunnittelun perusmenetelmiä Ei vain toteuteta tietorakenteita algoritmeilla, vaan myös tietorakenteita käytetään tyypillisesti erilaisten algoritmien yhteydessä. Kun nämä tietojenkäsittelytieteen

Lisätiedot

4. Algoritmien tehokkuus

4. Algoritmien tehokkuus 4. Algoritmien tehokkuus (Harel luku 6) vastaa jo minulle! [Psalmi 69:18] Kuinka paljon suoritusaikaa tai -tilaa algoritmin suoritus vaatii? Keskitymme lähinnä aikavaativuuden tarkasteluun. Myös algoritmien

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 6 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 6 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 6 Ke 25.1.2017 Timo Männikkö Luento 6 Järjestetty lista Listan toteutus dynaamisesti Linkitetyn listan operaatiot Vaihtoehtoisia listarakenteita Puurakenteet Binääripuu Järjestetty

Lisätiedot

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 30.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 30.9.2015 1 / 27 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 ari.vesanen (at) oulu.fi 5. Rekursio ja induktio Rekursio tarkoittaa jonkin asian määrittelyä itseensä viittaamalla Tietojenkäsittelyssä algoritmin määrittely niin,

Lisätiedot

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa

Lisätiedot

1 Puu, Keko ja Prioriteettijono

1 Puu, Keko ja Prioriteettijono TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 1 1 Puu, Keko ja Prioriteettijono Tässä luvussa käsitellään algoritmien suunnitteluperiaatetta muunna ja hallitse (transform and conquer) Lisäksi esitellään binääripuun

Lisätiedot

Tarkennamme geneeristä painamiskorotusalgoritmia

Tarkennamme geneeristä painamiskorotusalgoritmia Korotus-eteen-algoritmi (relabel-to-front) Tarkennamme geneeristä painamiskorotusalgoritmia kiinnittämällä tarkasti, missä järjestyksessä Push- ja Raise-operaatioita suoritetaan. Algoritmin peruskomponentiksi

Lisätiedot

Tiraka, yhteenveto tenttiinlukua varten

Tiraka, yhteenveto tenttiinlukua varten Tiraka, yhteenveto tenttiinlukua varten TERMEJÄ Tietorakenne Tietorakenne on tapa tallettaa tietoa niin, että tietoa voidaan lisätä, poistaa, muokata ja hakea. Tietorakenteet siis säilövät tiedon niin,

Lisätiedot

6.1 Rekursiiviset palautukset

6.1 Rekursiiviset palautukset 6.1 Rekursiiviset palautukset Olk. = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q acc, q rej ) mv. standardimallinen Turingin kone ääritellään koneen laskema osittaisfunktio f : Σ Γ seur. u, jos q 0 w u q av, f (w) = q { q acc,

Lisätiedot

Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti

Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti Luku 6 Dynaaminen ohjelmointi Dynaamisessa ohjelmoinnissa on ideana jakaa ongelman ratkaisu pienempiin osaongelmiin, jotka voidaan ratkaista toisistaan riippumattomasti. Jokaisen osaongelman ratkaisu tallennetaan

Lisätiedot

3.4 Peruutus (backtracking)

3.4 Peruutus (backtracking) 3.4 Peruutus (backtracking) Tarkastellaan kahta esimerkkiongelmaa: Kahdeksan kuningattaren ongelma: sijoitettava 8 8 ruudun pelilaudalle 8 nappulaa siten, että millekään vaaka-, pysty- tai viistoriville

Lisätiedot

6. Approksimointialgoritmit

6. Approksimointialgoritmit 6. Approksimointialgoritmit Tässä luvussa käsitellään lyhyesti approksimointiin liittyvät peruskäsitteet ja joitain keskeisiä approksimoituvuustuloksia. Tavoitteena on, että opiskelija näkee approksimointialgoritmien

Lisätiedot

Onko algoritmiselle ongelmalle löydetty ratkaisualgoritmi riittävän hyvä?

Onko algoritmiselle ongelmalle löydetty ratkaisualgoritmi riittävän hyvä? Ongelman vaativuuden rajat Onko algoritmiselle ongelmalle löydetty ratkaisualgoritmi riittävän hyvä? Olisiko mahdollista löytää asymptoottisesti tehokkaampi ratkaisu, vai onko algoritmi optimaalinen? Kysymyksiin

Lisätiedot

= k 0 NTIME(n k + k) Siis polynomisessa ajassa epädeterministisellä Turingin koneella tunnistettavien kielten joukko

= k 0 NTIME(n k + k) Siis polynomisessa ajassa epädeterministisellä Turingin koneella tunnistettavien kielten joukko 238 7.2 Luokka NP Luokka NP on: NP = { NTIME(t) t on polynomi } = k 0 NTIME(n k + k) Siis polynomisessa ajassa epädeterministisellä Turingin koneella tunnistettavien kielten joukko P NP Luokan NP ongelmista

Lisätiedot

Tietorakenteet, laskuharjoitus 3, ratkaisuja

Tietorakenteet, laskuharjoitus 3, ratkaisuja Tietorakenteet, laskuharjoitus 3, ratkaisuja 1. (a) Toistolauseen runko-osassa tehdään yksi laskuoperaatio, runko on siis vakioaikainen. Jos syöte on n, suoritetaan runko n kertaa, eli aikavaativuus kokonaisuudessaan

Lisätiedot

Tietorakenteet (syksy 2013)

Tietorakenteet (syksy 2013) Tietorakenteet (syksy 2013) Harjoitus 1 (6.9.2013) Huom. Sinun on osallistuttava perjantain laskuharjoitustilaisuuteen ja tehtävä vähintään kaksi tehtävää, jotta voit jatkaa kurssilla. Näiden laskuharjoitusten

Lisätiedot

Esimerkkejä vaativuusluokista

Esimerkkejä vaativuusluokista Esimerkkejä vaativuusluokista Seuraaville kalvoille on poimittu joitain esimerkkejä havainnollistamaan algoritmien aikavaativuusluokkia. Esimerkit on valittu melko mielivaltaisesti laitoksella tehtävään

Lisätiedot

8. Yhteenvetoa. abstrakti tietotyyppi: mitä datalle halutaan tehdä tietorakenne: miten se tehdään (talletusrakenne, operaatioden toteutus)

8. Yhteenvetoa. abstrakti tietotyyppi: mitä datalle halutaan tehdä tietorakenne: miten se tehdään (talletusrakenne, operaatioden toteutus) 8. Yhteenvetoa Tietorakenteet ja abstraktit tietotyypit: abstrakti tietotyyppi: mitä datalle halutaan tehdä tietorakenne: miten se tehdään (talletusrakenne, operaatioden toteutus) Tietorakenteet ja algoritmit:

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016 V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit Sisältö 1. Johdanto 2. Leveyshaku 3. Syvyyshaku 4. Kruskalin algoritmi 5. Dijkstran algoritmi

Lisätiedot

Kombinatorinen optimointi

Kombinatorinen optimointi Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein

Lisätiedot

Tietorakenteet, laskuharjoitus 2,

Tietorakenteet, laskuharjoitus 2, Tietorakenteet, laskuharjoitus, 6.-9.1 Muista TRAKLA-tehtävien deadline 31.1. 1. Tarkastellaan ensin tehtävää yleisellä tasolla. Jos funktion T vaativuusluokka on O(f), niin funktio T on muotoa T (n) =

Lisätiedot

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan

Lisätiedot

Imperatiivisen ohjelmoinnin peruskäsitteet. Meidän käyttämän pseudokielen lauseiden syntaksi

Imperatiivisen ohjelmoinnin peruskäsitteet. Meidän käyttämän pseudokielen lauseiden syntaksi Imperatiivisen ohjelmoinnin peruskäsitteet muuttuja muuttujissa oleva data voi olla yksinkertaista eli primitiivistä (esim. luvut ja merkit) tai rakenteista jolloin puhutaan tietorakenteista. puhuttaessa

Lisätiedot

1 Erilaisia tapoja järjestää

1 Erilaisia tapoja järjestää TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 1 1 Erilaisia tapoja järjestää Käsitellään seuraavaksi järjestämisalgoritmeja, jotka perustuvat muihin kuin vertailuun alkioiden oikean järjestyksen saamiseksi. Lisäksi

Lisätiedot

Pienin virittävä puu (minimum spanning tree)

Pienin virittävä puu (minimum spanning tree) Pienin virittävä puu (minimum spanning tree) Jatkossa puu tarkoittaa vapaata puuta (ks. s. 11) eli suuntaamatonta verkkoa, joka on yhtenäinen: minkä tahansa kahden solmun välillä on polku syklitön: minkä

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:

Lisätiedot