Composition of binary quadratic forms Lause. On voimassa (a) ab 0 a 0 b (bb 0 + Dnn 0 )= 0 mod μ: (b) Jos m = m 0 =1, niin aa 0 0 mod μ : Todistus. Ko

Transkriptio

1 ARNDT.TEX Composition of binary quadratic forms by Veikko Ennola Tarkastellaan neliömuotojen kompositiota F. Arndtin esittämässä muodossa ([Ar59] ja [Ma61], p ) mutatis mutandis. Oletetaan, että f = ax + bxy + cy ; f 0 = a 0 x + b 0 xy + c 0 y Z[x; y]; d = b 4ac; d 0 = b 0 4a 0 c 0 ; missä d ja d 0 eivät ole neliöitä Z:ssa, mutta d 0 =d on rationaaliluvun neliö. Merkitään m = syt(a; b; c); m 0 = syt(a 0 ;b 0 ;c 0 ); D = syt(dm 0 ;d 0 m ); n = p d=d; n 0 = p d 0 =D: (Tässä D:lle on valittava d:n ja d 0 :n merkki. Seuraavasta käy ilmi, että n; n 0 Q. Huomaa, että Dnn 0 = ± p dd 0 Z, koska d 0 =d Q.) Edelleen merkitään P = an 0 ; Q = a 0 n; R = b0 n + bn 0 ; S = b0 n bn 0 ; T = c 0 n; U = cn 0 : Lause 1. On voimassa (a) mn 0 ;m 0 n Z, syt(mn 0 ;m 0 n)=1: (b) P; Q; R; S; T; U Z, syt(p; Q; R; S; T; U) =1: Todistus. Jos x = u=v Q nf0g, missä u; v Z ja p on alkuluku, merkitään ν p (x) =k `, kun p k ku, p`kv. Määritellään Koska d 0 =d Q, niin»» 0 mod. ν p (d) =»; ν p (d 0 )=» 0 ; ν p (m) = ; ν p (m 0 )= 0 : Kohta (a). Saadaan ν p (dm 0 )=»+ 0, ν p (d 0 m )=» 0 +. Symmetrian nojalla voidaan olettaa, että» + 0»» 0 +, jolloin ν p (D) =» + 0 ja ν p (m 0 n )= 0 +» (» + 0 )=0; ν p (m n 0 )= +» 0 (» + 0 ) 0: Koska vastaava tulos pätee kaikilla alkuluvuilla p, niin (a) on voimassa. Kohta (b). Oletetaan, että u fa; b; cg, u 0 fa 0 ;b 0 ;c 0 g, jolloin ν p (u), ν p (u 0 ) 0. Luvut ν p (u n 0 )=ν p (u)+» 0 (» + 0 ); ν p (u 0 n )=ν p (u 0 )+» (» + 0 ) ovat parillisia ei-negatiivilukuja, joista ainakin yksi on = 0. Todetaan vielä, että koska b 0 n b n 0 = 4 D (a0 c 0 d acd 0 ) 4Z; a 0 c 0 d 0 mod m 0 d; acd 0 0 mod m d 0 : Näinollen b 0 n bn 0 mod. Tästä kohta (b). Merkitään μ = syt(p; Q; R): Seuraavassa rajoitutaan päättelyn helpottamiseksi lähinnä tarkastelemaan tapausta m = m 0 =1,jolloin n; n 0 Z ja syt(n; n 0 )=1: Λ Typeset by AMS-TEX

2 Composition of binary quadratic forms Lause. On voimassa (a) ab 0 a 0 b (bb 0 + Dnn 0 )= 0 mod μ: (b) Jos m = m 0 =1, niin aa 0 0 mod μ : Todistus. Kohta (a). Seuraavat yhtälöt pätevät: (1) ab 0 mn 0 = b 0 mp; ab 0 m 0 n = m 0 (ar bp ); a 0 b m 0 n = bm 0 Q; a 0 b mn 0 = m(a 0 R b 0 Q); (bb 0 + Dnn 0 ) mn 0 = m(b 0 R 4c 0 Q); (bb 0 + Dnn 0 ) m 0 n = m 0 (br 4cP ): Väite seuraa lauseesta 1. Huomaa samalla, että bb 0 + Dnn 0 on parillinen. Kohta (b). Koska aa 0 n aa 0 n 0 0 mod μ ja (n; n 0 ) = 1, niin aa 0 0 mod μ. On voimassa () aa 0 S = aa 0 R a 0 bp; aa 0 T = ab 0 R bb0 + Dnn 0 P; aa 0 U = a 0 br bb0 + Dnn 0 Q: Koska (μ; S; T; U) =1,niinaa 0 0 mod μ : Merkitään ν (a) =ff; ν (a 0 )=ff 0 ; ν (b) =fi; ν (b 0 )=fi 0 : Jos nyt ff + ff 0 0 mod, niin asia on selvä. Oletetaan siksi, että ff + ff 0 1 mod. Jos fi fi 0 0 mod, niin yhtälöistä (1) nähdään, että ab 0 a 0 b bb0 + Dnn 0 0 mod μ; jolloin väite seuraa yhtälöistä (). Voimme siksi olettaa, että fi 0 1 mod. Jos myös fi 1 mod, niin n n 0 1 mod ja ν (μ)» min(ff; ff 0 ), joten asia on selvä. Voimme siksi olettaa, että fi 0 mod, jolloin j n, - n 0, - D. Jos ff 0 ff, niin ν (μ)» ff ja asia on selvä. Voimme siis olettaa, että ff 0 <ff. Samalla nähdään, että ff>0: Tapaus 1. fi >ff+. Asia on selvä, sillä Tapaus. fi < ff +. Silloin ν (d) =ff +; ν (n) =ff=+1; ν (R) =ff=: ν (d) =fi; ν (n) =fi; ν (Q) =ff 0 + fi: Tapaus (ff 0 + fi)» ff + ff 0 on selvä, joten voidaan olettaa, että ff 0 +fi >ff: Tarkastellaan aluksi mahdollisuutta fi = ff +1. Merkitään b = fi b 0, a = fi 1 a 0, jolloin d = fi (b 0 a 0 c). Tässä b 0 a 0 c 1 mod4,mikä on mahdotonta, koska (b 0 a 0 c)=(b 0 4a 0 c 0 ) on rationaaliluvun neliö. Siis fi 6= ff +1,josta samalla seuraa ff 0 > 0. On voimassa DRS = b a 0 c 0 b 0 ac: Tässä ν (b a 0 c 0 ) = fi + ff 0, ν (b 0 ac) = ff, joten ν (RS) = ff. Koska ν (S) fi, niin ν (R)» ff fi. Koska (ff fi) <ff+ ff 0, niin tämä riittää.

3 Composition of binary quadratic forms 3 Tapaus 3. fi = ff +. Koska ff + ff 0 1 mod, niin ff 0 > 0. On voimassa ν (b a 0 c 0 )= fi + ff 0, ν (b 0 ac) = ff. Tässä ff = fi + ff 0 ei käy, koska ff + ff 0 on pariton. Tapaus ff 0 +fi > ff käsitellään samoin kuin yllä. Mahdollisuus ff 0 +fi < ff johtaa ristiriitaan ff 0 +fi < fi : Λ Lause 3. Oletetaan, että m = m 0 =1. Merkitään A = aa 0 =μ. Kongruensseilla (3) μn 0 B μb 0 mod a 0 ; μnb μb mod a; μ(b 0 n + bn 0 )B μ(bb 0 + Dnn 0 ) mod 4aa 0 on yksikäsitteinen ratkaisu B modulo A. On voimassa B D 0 mod 4A, joten muoto (A;B;(B D)=4A) on primitiivinen ja kokonaiskertoiminen. Määritelmä. Muoto (A;B;(B D)=4A) on muotojen f;f 0 kompositio f ffi f 0. Se on ekvivalenssia vaille riippumaton B:n valinnasta. Todistus. Kongruenssiryhmä (3) on ekvivalentti seuraavan kanssa: (30 ) P μ B ab0 μ mod A; Q μ B a0 b μ mod A; R μ B bb0 + Dnn 0 μ mod A: Jos siis ratkaisu on olemassa, niin se on yksikäsitteinen modulo A. Olemassaolo todetaan seuraavasti: Määrätään sellaiset luvut t; u; v Z, että (4) an 0 t + a 0 nu + b0 n + bn 0 v = μ: Tehdään yrite (5) B = ab0 t μ Saadaan + a0 bu μ + bb0 + Dnn 0 v: μ μn 0 B = ab 0 n 0 t + a 0 bn 0 u + bb0 n 0 + Dnn 0 v = b 0 μ a 0 nu b0 n + bn 0 v + a 0 bn 0 u + bb0 n 0 + Dnn 0 v = μb 0 a 0 (b 0 n bn 0 )u a 0 c 0 nv; joten ryhmän (3) ensimmäinen kongruenssi pätee. Toinen todistetaan symmetrisesti. Edelleen μ(b 0 n + bn 0 )B =(b 0 n + bn 0 ) ab 0 t + a 0 bu + bb0 + Dnn 0 v =(b 0 n + bn 0 )(ab 0 t + a 0 bu)+(bb 0 + Dnn 0 )(μ an 0 t a 0 nu) =(bb 0 + Dnn 0 )μ +4aa 0 c 0 nt +4aa 0 cn 0 u; joten myös kolmas kongruenssi pätee. Yhdistämällä (4) ja (5) saadaan μ (B D) =4aa 0 (ac 0 t + a 0 cu + cc 0 v + bb0 Dnn 0 tu + bc 0 tv + b 0 cuv); joten B D 0 mod 4A:

4 4 Composition of binary quadratic forms Merkitään C =(B D)=4A, sekä F (X; Y )=AX + BXY + CY = aa0 μ X + BXY + (B D)μ 4aa 0 Y ; p 0 = μ; p 1 = μ(b0 Bn 0 ) a 0 ; p = Edelleen merkitään q 0 =0; q 1 = an0 μ ; μ(b Bn) ; p 3 = μ(bb0 + Dnn 0 B(b 0 n + bn 0 )) a 4aa 0 ; q = a0 n μ ; q 3 = b0 n + bn 0 : μ X 0 = p 0 x 1 x + p 1 x 1 y + p y 1 x + p 3 y 1 y ; Y 0 = q 0 x 1 x + q 1 x 1 y + q y 1 x + q 3 y 1 y ; jolloin saadaan (6) F (X 0 ;Y 0 )=f(x 1 ;y 1 )f 0 (x ;y ): Jos nyt alkuluku p jakaa kaikki luvut A;B;C,niinvoidaan valita luvut x i ;y i siten, että p - f(x 1 ;y 1 ), p - f 0 (x ;y ), mikä johtaa ristiriitaan yhtälön (6) kanssa. Λ Lause 4. Oletetaan, että m = m 0 = n = n 0 =1(jolloin d = d 0 = D) ja että muodot f;f 0 ovat yhteensopivat tutkielmassa [En04] määritellyssä mielessä. Silloin tässä tutkielmassa määritelty kompositio on sama kuin käsilläolevassa työssä määritelty. Todistus. Yhteensopivuus merkitsee, että μ = 1. lemmassa 3 määriteltyä lukua. On voimassa Merkitään tässä B:llä työn [En04] B b mod a; B b 0 mod a 0 ; B D mod 4aa 0 : Tässä kaksi ensimmäistä ehtoa ovat samat kuin (3):n ensimmäiset ehdot. Koska 0 (B b)(b b 0 ) B (b + b 0 )B + bb 0 mod 4aa 0 ; niin (3):n viimeinen ehto pätee tarkalleen silloin, kun B D mod 4aa 0. Kompositio on (aa 0 ;B;C). Λ Määritelmä. Oletetaan, että n = n 0 = 1 (jolloin d = d 0 = D) ja että syt(m; m 0 ) = 1. Sanotaan, että muodot f;f 0 ovat rinnakkaiset, joss ne ovat tyyppiä f =[a; b; a 0 c]; f 0 =[a 0 ;b;ac]: Lause 5. Olkoot C ja C 0 kaksi muotoluokkaa, joilla on sama diskriminantti d ja joiden divisorit m; m 0 täyttävät ehdon syt(m; m 0 ) = 1. Silloin on olemassa äärettömän monta rinnakkaista paria f C, f 0 C 0. Todistus. Koska f=m, f 0 =m 0 ovat primitiiviset, niin voidaan valita f C, f 0 C 0 siten, että a a 0 m ; dm0 = m 0 ; da =1: Erikoisesti siis (a; a 0 )=1,joten on olemassa ehdot B 0 b mod a; B 0 b 0 mod a 0 täyttävä B 0 Z. Todetaan helposti, että joko B = B 0 tai B = B 0 + aa 0 täyttää ehdot B b mod a; B b 0 mod a 0 :

5 Composition of binary quadratic forms 5 (Huomaa tässä, että b b 0 mod, koska d b b 0 mod 4. Erota tapaukset a a 0 1 mod ja a 6 a 0 mod.) Suorittamalla muunnokset ([En04], Lemma 4) voidaan olettaa, että f =[a; B; c]; f 0 =[a 0 ;B;c 0 ]: Näinollen ac = a 0 c 0, joten c 0 = ac 0, c = a 0 c 0. Määritelmä. Oletetaan, että (i) n = n 0 =1; (ii) syt(m; m 0 )=1; (iii) f =[a; b; a 0 c] C; f 0 =[a 0 ;b;ac] C 0 : Muotojen f;f 0 tulomuoto (product form) on [aa 0 ;b;c]: Lause 6. Oletetaan, että määritelmän ehdot (i), (ii), (iii) ovat voimassa. Silloin (a) syt(a; a 0 ;b)=1, syt(aa 0 ;b;c)=mm 0. (b) Tulomuodon [aa 0 ;b;c] edustama luokka on riippumaton siitä miten rinnakkaiset muodot f;f 0 valitaan luokista C; C 0. Todistus. (a) Oletetaan, että alkuluku p jakaa luvut a; a 0 ;b. Silloin p jakaa luvut m; m 0 vastoin ehtoa (ii). Siis syt(a; a 0 ;b)=1. On voimassa m j a, m j b, m j a 0 c. Äskeisen tuloksen nojalla m j c. Samoin saadaan m 0 j a 0, m 0 j b, m 0 j c, joten mm 0 jakaa kaikki luvut aa 0 ;b;c. Oletetaan, että alkuluku p jakaa kaikki luvut aa0 b c a mm ; 0 mm ; 0 mm. Oletetaan esimerkiksi, että p j 0 m. Silloin p jakaa kaikki luvut a m ; b m ; a0 c m, mikä onvastoin m:n määritelmää. (b) Olennaisesti sama kuin lauseen 4 todistus työssä [En04]. Toinen erittäin hieno todistus on työssä [BP68] sivulla 30. Λ Kompositio Buttsin ja Pallin mukaan. Oletetaan, että m = m 0 =1. Tarkastellaan muotoja n 0 f =[n 0 a; n 0 b; n 0 c]; nf 0 =[na 0 ;nb 0 ;nc 0 ]; joilla on sama diskriminantti Dn n 0. Etsitään näiden muotojen edustamista luokista rinnakkaiset muodot. Muodostetaan näiden tulo. Tulo jaettuna luvulla nn 0 on silloin muotojen f;f 0 kompositio f ffif 0. Väitämme, että saatu tulos on sama kuin edellä lauseen 3 avulla määritelty käsite. Todistus. Voimme olettaa muodot f;f 0 siten valituiksi, että (7) (a; a 0 )=(a; n) =(a 0 ; n 0 )=1: Pyritään ratkaisemaan kongruenssit Saadaan ο = nn 0 ο 0, missä ο n 0 b mod n 0 a; ο nb 0 mod na 0 : (8) nο 0 b mod a; n 0 ο 0 b 0 mod a 0 : Jos nyt b b 0 0 mod, ratkaistaan nο 1 b= mod a; n 0 ο 1 b 0 = mod a 0 ja valitaan ο 0 = ο 1. Oletetaan siksi, että b 1 mod. Koska n D = b 4ac, niin n D 1 mod ja n 0 b 0 mod. Tämän nojalla todetaan helposti ο 0 :n olemassaolo. Λ

6 6 Composition of binary quadratic forms Suoritetaan Gaussin lemman mukainen muunnos, jolloin kolmansien kertoimien merkintöjä vaihtaen saadaan Tästä n 0 f ο [n 0 a; nn 0 ο 0 ;n 0 c]; nf 0 ο [na 0 ;nn 0 ο 0 ;nc 0 ]: Dn n 0 = n n 0 ο 0 4n 0 ac = n n 0 ο 0 4n a 0 c 0 ; joten n 0 ac = n a 0 c 0, mistä (7):n nojalla Rinnakkaiset muodot ovat siis niiden tulomuoto on joten kompositio on [aa 0 ;ο 0 ;c 00 ]. c = n a 0 c 00 ; c 0 = n 0 ac 00 : [n 0 a; nn 0 ο 0 ;n n 0 a 0 c 00 ]; [na 0 ;nn 0 ο 0 ;n 0 nac 00 ]; [nn 0 aa 0 ;nn 0 ο 0 ;nn 0 c 00 ]; Toisaalta μ = 1, joten (8) on yhtäpitävä (3):n kahden ensimmäisen ehdon kanssa. Ehdot (8) antavat bb 0 (b 0 n + bn 0 )ο 0 + nn 0 ο 0 (b nο 0 )(b 0 n 0 ο 0 ) 0 mod 4aa 0 : Koska ο 0 D mod 4aa 0, niin myös (3):n viimeinen ehto pätee. Product of unit-classes. ([BP68], s. 30) Tulo hff 1 ;ff ihfi 1 ;fi i = hfl 1 ;fl i muodostetaan siten, että tulomodulille Zff 1 fi 1 + Zff 1 fi + Zff fi 1 + Zff fi Λ valitaan ehdon täyttävä kanta fl 1 ;fl. signhfl 1 ;fl i = signhff 1 ;ff isignhfi 1 ;fi i Lause 7. Olkoon M = r[t; u + f!] täysi moduli neliökunnassa, jonka diskriminantti on d. Oletetaan, että! p =(d+ d)=, t; u Z, r Q, t>0 ja että f on pienin luonnollinen luku, jota kohti M on kyseistä muotoa r[t; u + f!] ja joka täyttää ehdon u + fd f d 0 mod t: 4 (Katso työn [En03] lausetta 1:) Merkitään! 0 =(d p d)=. Silloin neliömuodon tx +(u + f!)y tx +(u + f! 0 )y kertoimien syt = t. Todistus. Kyseinen neliömuoto on t x + t(u + fd)xy + u + fd f d 4 y : Kaikki kertoimet ovat t:llä jaolliset. Vastaoletus: On olemassa ehdot t u + fd 0 mod p; u + fd f d 0 mod pt 4 täyttävä alkuluku p. Silloin p j fd.

7 Composition of binary quadratic forms 7 Oletetaan ensin, että p 6=. Koska p j f d ja d ei voi olla p:n neliöllä jaollinen, niin p j f. Nyt p j u, M = p[ t p ; u p + f! p ] ja u p + fd f d p 4p 0 mod t p ; mikä on ristiriidassa f:n minimaalisuuden kanssa. Täytyy siis olla p =. Jos nyt j f, niin j u ja saadaan sama ristiriita kuin äsken. Siis - f, 4 j d. Seuraa u d=4 0 mod 4, mikä on mahdotonta, koska d 4; 8 mod 16: Λ Esimerkki 1. d = 31, h =3. Redusoidut muodot [1; 1; 8]; [; 1; 4]; [; 1; 4]. Merkitään # = p 31. Representatives of unit classes with order = f1; g ja vastaavat muodot: h; 1+# 1 # i$[; 1; 4]; h; i$[ ; 1; 4]; i$[; 1; 4]; h; 1 # i$[ ; 1; 4]: h; 1+# Huomaa, että Buttsin ja Pallin teoriassa joudutaan tarkastelemaan myös negatiividefiniittejä muotoja. Esimerkki. d =1,ahdas luokkaluku =. Merkitään # = p 3. Redusoidut muodot jakautuvat kahteen ketjuun: [1; ; ]; [ ; ; 1]; [ 1; ; ]; [; ; 1]: Representatives of unit classes ja vastaavat muodot: h1; 1+#i $[1; ; ]; h1; 1 #i $[ 1; ; ]; h1; 1 #i $[ 1; ; ] ο [ 1; ; ]; h1; 1+#i $[1; ; ] ο [1; ; ]: Työn [En03] lauseessa 9 johdettiin lauseke renkaan O f murtoihanneryhmän H f = A f =P f kertaluvulle h f. Tällöin h f on myös diskriminantin df omaavien muotoluokkien (muodot kokonaiskertoimisia ja primitiivisiä, d fundamentaalidiskriminantti) lukumäärä seuraavin varauksin: Jos d < 0, niin rajoitutaan positiividefiniitteihin muotoihin, ts. identifioidaan muodot [a; b; c] ja[ a; b; c]. Tapauksessa d > 0 kaava pätee sellaisenaan, jos renkaassa O f on normin 1 omaava yksikkö. Jos tällaista yksikköä ei ole, niin h f on kerrottava :lla. Tähän päädytään toista tietä siten, että modulien ekvivalenssin määritelmässä rajoitutaan kertojiin, joiden normit ovat positiivisia (ahdas ekvivalenssi, ahdas luokkaluku, vastakohtana aiempi väljä ekvivalenssi).

8 8 Composition of binary quadratic forms Kirjallisuutta [Ar59] F. Arndt, Auflösung einer Aufgabe in der Composition der quadratischen Formen, Crelle 56 (1859), 64 71, arndt59.pdf. [Bu77] Duncan A. Buell, Elliptic curves and class groups of quadratic fields, J. London Math. Soc. () 15 (1977), 19 5, eripainos. [Bu89] Duncan A. Buell, Binary quadratic forms, Springer, [BP68] Hubert S. Butts and Gordon Pall, Modules and binary quadratic forms, Acta Arith. 15 (1968), 3 44, kopio, butts pall68.pdf. [En03] Veikko Ennola, Ideals in quadratic orders (003), tutkielma, quadord.pdf. [En04] Veikko Ennola, Number of genera (004), tutkielma, genus.pdf. [Ma61] G. B. Mathews, Theory of numbers, Chelsea, Kirja [Bu89] sisältää paljon virheitä, myös karkeita, mutta on silti jossain määrin käyttökelpoinen. Työ [BP68] näyttää erittäin hyvin kirjoitetulta ja tutkimisen arvoiselta. Vanhat esitykset [Ar59] ja [Ma61] kärsivät siitä, että niissä binäärinen neliömuoto on Gaussin mukaisesti aina tyyppiä ax +bxy + cy. Ylimääräinen kerroin saa yllättävän paljon sotkua aikaan.