Kontraharmonisesta keskiarvosta ja Pythagoraan luvuista

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Kontraharmonisesta keskiarvosta ja Pythagoraan luvuista"

Marjut Niemelä
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 J Pahikkala Kontraharmonisesta keskiarvosta ja Pythagoraan luvuista Erilaisia lukujen keskiarvoja on useita tunnetuimmat ovat tavallinen eli aritmeettinen keskiarvo ja keskiverto eli geometrinen keskiarvo Keskiarvoja tunsi jo vanhalla ajalla pythagoralaisten koulukunta, Pythagoras ja hänen seuraajansa Pythagoraan kerrotaan omaksuneen Babyloniasta noiden kahden edellä mainitun lisäksi myös kahden luvun a ja b harmonisen keskiarvon ab : ( ) Näitä kolmea keskiarvoa kutsuu saksalainen, Saarbrückenissä toimiva matematiikan historian tutkija Hischer [] klassisiksi babylonialaisiksi keskiarvoiksi Niiden lisäksi on pääteltävissä pythagoralaisilla olleen peräti seitsemän muuta kahden luvun keskiarvoa, mainitsee Hischer [] nojautuen Cantorin [] ja Boyerin [] historiateoksiin Pythagoralaisten suhdeopissa kuvataan ([], [], []) a:n ja b:n erilaiset keskiarvot m seuraavaan tapaan verrannoilla, esimerkkeinä geometrinen, harmoninen ja kontraharmoninen keskiarvo: m! a a (geometrinen keskiarvo) b! m m m! a a (harmoninen keskiarvo) b! m b m! a b (kontraharmoninen keskiarvo) b! m a Kontraharmonisen keskiarvon lausekkeeksi saadaan verrannosta ratkaisemalla m Tämän mallin mukaan voidaan määritellä myös useamman positiivisen luvun a,, a n kontraharmoninen keskiarvo osamääränä a + + an C( a,, an ) a + + a Kontraharmonisen keskiarvon nimi (toisinaan antiharmoninen keskiarvo) johtunee siitä, että sen ja harmonisen keskiarvon pythagoralaisissa määrittelevissä verrannoissa ovat oikeat puolet päinvastaiset, toistensa käänteisarvot Nimi esiintyy jo klassisessa d Alembertin ja Diderot n ensyklopediassa [3] (contre-harmonique: ilmaistaan lukujen a, m ja b olevan kontraharmonisessa suhteessa) n Vertailuja Kahden positiivisen luvun kontraharmoninen keskiarvo on aina pienemmän ja suuremman luvun välissä Tämä nähdään seuraavasti (oletetaan a! b ): a + ab ab + b a!! b

2 Jos verrataan positiivilukujen kontraharmonisen ja harmonisen keskiarvon suuruutta, todetaan niiden erotus ab ( a! b)! aina epänegatiiviseksi, joten kontraharmoninen keskiarvo on vähintään yhtäsuuri kuin harmoninen Kontraharmoninen keskiarvo onkin hyvin suuri keskiarvo, vähintään yhtäsuuri kuin suurin babylonialaisista keskiarvoista eli aritmeettinen keskiarvo ja jopa ainakin neliöllisen keskiarvon ( ) : suuruinen Väittämien todenperäisyys käy ilmi identiteeteistä ( a! b)! ( ) ' $ ' a b $ ( )( a, + "! " & " # &! b) " # ( ) Kokonaislukuiset kontraharmoniset keskiarvot Kahden positiivisen kokonaisluvun u ja v kontraharmoninen keskiarvo () c C( u, voi sekin olla kokonaisluku, esimerkiksi luvuilla ja 6 se on 5, mutta niin ikään luvuilla 3 ja 6: Seuraavassa taulukossa on lisää esimerkkejä: u v c Kahden yhtäsuuren kokonaisluvun kontraharmoninen keskiarvo on tietysti kokonaisluku, mitä tapausta nimitän triviaaliksi Tutkiessani ei-triviaaleja mahdollisuuksia tein kiinnostavia havaintoja, joita kirjaan seuraaviin lauseisiin Niissä ovat u, v ja c aina positiivisia kokonaislukuja Lause Jokaista kokonaislukua u > kohden on olemassa ainakin kaksi suurempaa arvoa v siten, että C( u, on kokonaisluku Todistus Arvot v ( u!) u ja v ( u! ) u kelpaavat aina identiteettien u + ((u -)u) u + ((u -)u) () u! u +, u! u + u + ((u -)u) u + ((u -)u) perusteella, ja identiteettien oikeat puolet ovat erisuuret aina, kun u! Arvo u on poikkeus, sillä suuremmista luvuista vain 6:n ja sen kontraharmoninen keskiarvo on kokonaisluku Yhtälöiden () antama v:n arvo on aina u:n monikerta, mutta kahden kokonaisluvun kontraharmoninen keskiarvo voi olla kokonaisluku muulloinkin; esim tapauksessa C(0, 5) 3 Aina on kuitenkin voimassa Lause Jos kokonaislukujen u ja v kontraharmoninen keskiarvo on kokonaisluku, niin luvuilla on yhteisiä tekijöitä

3 Todistus Olettakaamme positiiviset kokonaisluvut u ja v, joiden suurin yhteinen tekijä (syt) on vain Nyt on oltava myös syt (, u, koska muutoin olisivat ja uv jaollisia jollain alkuluvulla p, ja niin myös ainakin toinen tulon uv tekijöistä Silloin :n jaollisuudesta p:llä seuraisi sekä u:n että v:n jaollisuus p:llä, joten u:n ja v:n suurin yhteinen tekijä olisikin vähintään p, vastoin oletustamme Niinpä on voimassa (3) syt(, u Oletamme nyt lisäksi, että kontraharmoninen keskiarvo C ( u, on kokonaisluku eli että ( u +! uv on jaollinen :llä Siitä päätellään myös uv:n olevan tällä summalla jaollinen, mutta (3):n nojalla on vain tulon ensimmäinen tekijä jaollinen summalla, jonka arvo on vähintään Sen perusteella on vain mahdollisuus u v Johtopäätöksenä on siis, että vain kaikkein triviaalein tapaus u v mahdollistaa todistuksen lähtöoletuksen syt( u, Lause 3 Jos u on pariton alkuluku ja C( u, on kokonaisluku, niin välttämättä on () joko v ( u!) u tai v ( u! ) u Todistus Olkoon u positiivinen pariton alkuluku Lauseen v:n arvot () käyvät kaavojen () mukaan aina Mitä tulee mahdollisiin muihin v:n arvoihin, niiden täytyy lauseen nojalla olla alkuluvun u monikertoja: v nu (n on kokonaisluku) Tällöin on u + v ( n + ) u c n + siis kokonaisluku, joten on kaksi mahdollisuutta u n + ja n + n + Edellisessä tapauksessa n + ku saadaan ( n + ) u ( k u! ku + ) u c ku! u +, n + ku k joka on kokonaisluku vain k:n arvoilla ja, vastaten siis arvoja () Jälkimmäisessä tapauksessa on olemassa positiivinen alkuluku p, joka jakaa sekä n + :n että n +:n, muttei n:ää Siitä seuraa yhtälön n + ( n + )! n perusteella, että p n ja siis välttämättä p Mikäli olisi lisäksi n + ja n +, niin voitaisiin kirjoittaa n + m, josta seuraisi mahdottomuus n + (m # ) + 6m # 8m + "! 0 (mod ) Siis on oltava syt( n +, n + ) Mutta koska on toisaalta n +! 3 ja n + n +, niin syt( n +, n + )! 3 Syntynyt ristiriita osoittaa, ettei jälkimmäinen tapaus voi esiintyä Lause Jos ( u, v, on yhtälön () ei-triviaali ratkaisu, jossa u < c < v, niin on aina olemassa toinenkin ei-triviaali ratkaisu ( u, v,, missä u < c Sitä vastoin ei yksi ratkaisu ( u, v,, jossa u < c <, salli koskaan toista ratkaisua ( u, v, v Todistus Yhtälö () voidaan kirjoittaa muotoon () u! cu + ( v! c 0, josta saadaan juuret

4 c ± c! ( v! ) (5) u cv, jolloin ():n diskriminantti on epänegatiivinen reaalijuuren u olemassaolon vuoksi Jos se olisikin nolla eli jos olisi voimassa yhtälö v! cv! c 0, tästä seuraisi v:lle irrationaalinen arvo ( + )c Niinpä diskriminantti on positiivinen, ja miinusvaihtoehdolla saatava ():n pienempi juuri voidaan laventaa muotoon c! c! v + cv c! ( c! v + c ( v! v, ( c + c! v + c c + c! v + cv jossa osoittajakin on positiivinen Yhtälöllä on siis aina kaksi erisuurta positiivijuurta u Koska toinen juuri ( u ) on kokonaisluku, on toisenkin oltava, sillä kokonaislukujen summa ja erotus (5):n oikean puolen osoittajassa ovat kumpikin yhtäaikaisesti parillisia lukuja Näin on päätelty u :n olemassaolo Ratkaistaessa () vastaavasti suureen v suhteen todetaan pienempi juuri c! c! u + cu ( u! u c + c! u + cu negatiivisen osoittajan tähden negatiiviseksi, joten positiivista v :ta ei ole eikä yhtälöllä () ole kuin yksi ei-triviaali ratkaisu Kokonaislukuisilla kontraharmonisilla keskiarvoilla on yllättävä yhteys Pythagoraan lukuihin eli kokonaislukuisiin lukukolmikoihin, jotka voivat esiintyä suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksina: Lause 5 Kukin kahden erisuuren kokonaisluvun kokonaislukuinen kontraharmoninen keskiarvo on jonkin Pythagoraan lukukolmikon hypotenuusan pituus ja kääntäen Todistus Olkoon ( a, b, mielivaltainen Pythagoraan lukukolmikko, siis ehdon c täyttävä kolmen positiivisen kokonaisluvun yhdelmä Pythagoraan kolmikkoa sanotaan primitiiviseksi, jos sen lukujen suurin yhteinen tekijä on Jos kolmikko on primitiivinen, niin toinen luvuista a ja b on parillinen sekä toinen ja c on parittomia; jos kolmikko ei ole primitiivinen, niin tilanne on samoin taikka kaikki kolme lukua ovat parillisia (ks [6] 0- ) Tarkastelkaamme positiivisia rationaalilukuja c + b + a c + b! a u :, v : Koska osoittajat c + b ± a ovat äskeisen nojalla aina parillisia, niin u ja v ovat kokonaislukuja Havaitsemme oikeaksi myös ehdon c + b Laskelmasta c + b + a + ab + bc + ca + c + b + a! ab + bc! ca c + ( ) + bc c + bc ( c + b) c ( u + c päättelemme luvun c olevan erisuuruisten kokonaislukujen u ja v kontraharmoninen keskiarvo Olkoon c positiivisten kokonaislukujen u ja v kontraharmoninen keskiarvo () ja esim u < v Koska ( u +! uv, on oltava uv Positiiviset kokonaisluvut

5 v! u uv a : v! u, b : toteuttavat silloin ehdon ( v ' u ) + (u u + u v + v & # $! ( u + joten ( a, b, on Pythagoraan lukukolmikko ( u + $! " c, Lähteitä [] Carl B Boyer: A history of mathematics Wiley & Sons, New York (968) Suomennos: Tieteiden kuningatar: Matematiikan historia Osat ja Suomentanut Kimmo Pietiläinen Art House, Helsinki (99) [] Moritz Cantor: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik Erster Band Auflage Teubner (89) [3] Diderot & d'alembert: Encyclopédie Paris (75 777) Verkkoversio: L Encyclopédie de Diderot et d Alembert ( [] Horst Hischer: Viertausend Jahre Mittelwertbildung ( Mathematica didactica 5 (00) [5] Horst Hischer: Mittelwertfunktionen und Strophoiden ( Universität des Saarlandes Preprint Nr 6 Saarbrücken (005) [6] K Väisälä: Lukuteorian ja korkeamman algebran alkeet Otava, Helsinki (950)

Samankaltaiset tiedostot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty