Rationaalinen muodon säilyttävä spline-interpolointi
|
|
- Urho Haavisto
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Rationaalinen muodon säilyttävä spline-interpolointi Jani Store Pro gradu -tutkielma Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesäkuu
2
3 Tiivistelmä. Tärkeä päämäärä mallinnettaessa fysikaalisia piirteitä, biologisia tutkimuskohteita, taloudellisia prosesseja sekä monia muita epäsäännöllisiä funktioita ja pintoja on löytää muodon säilyttäviä menetelmiä, jotka interpoloivat vaihtuvan datan ja askelvälit sileästi. Muodon säilyttävyydellä tarkoitetaan yleensä sitä, että interpolaatiosta on karsittu ylimääräiset eifysikaaliset heilahdukset pois. Perinteiset splinit, jotka sisältävät ylimääräisiä heilahduksia, eivät säilytä muotoa tässä mielessä. Eräs tapa tarkentaa tätä määritelmää on sanoa, että jos datalla on jokin erityinen piirre, jos se on esimerkiksi positiivista, monotonisesti kasvavaa tai konveksia, niin interpolaatiolla on tämä sama piirre. Tässä esityksessä tutkitaan positiivisen, monotonisen ja konveksin datan (x i, f i, i = 1, 2,, n, interpoloimista rationaalisella muodon säilyttävällä splinillä eli paloittain määritellyllä rationaalisella käyrällä s(x=p i (x/q i (x, x [x 1, x n ]. Rationaaliseksi käyräksi on valittu kuutiollinen/kuutiollinen Bernstein-Bezier polynomi. Kun tämän paloittaisen käyrän solmupisteisiin asetetaan C 1 sileys, käyrän muotoa voidaan voidaan muokata kolmen vektorin avulla. Sitä voidaan muokata solmupisteeseen liittyvän derivaatan ja kahden muotokertoimen avulla. Jos solmupisteisiin asetetaan C 2 sileys, määrää se derivaatat muissa paitsi päätepisteissä (d 1,d n, jotka käyttäjän on edelleen annettava. Kaksi muotokerrointa mahdollistaa interpolantin perusteellisen säätämisen käsin, mutta tyydyttävä automaattinen menetelmä voidaan saavuttaa myös yhdistämällä kertoimet. C 1 ja C 2 interpolantin positiivisuudelle lasketaan välttämättömät ja riittävät ehdot kahdella muotokertoimella, ja monotonisuudelle ja konveksisuudelle johdetaan perustellut välttämättömät- ja riittävät ehdot yhdellä muotokertoimella. Ratkaisut ovat yksikäsitteisiä eivätkä vaadi solmupisteiden sijoittelua. Myös numeerinen ratkeavuus osoitetaan. Yhden muotokertoimen riittävyys osoitetaan käymällä esityksen ohessa läpi lauseet neljästä soveltavan matematiikan artikkelista, joissa Bernstein-Bezier käyrää sovelletaan samoihin muoto-ominaisuuksiin, mutta kahdella muotokertoimella. Suppenemisominaisuudet ovat yhdellä muotokertoimella yleensä jopa paremmat ja parhaimmillaan voidaan saavuttaa menetelmä, joka suppenee automaattisesti O(h 4 tarkkuudella. Tämä kuitenkin vaatii, että derivaatat ratkaistaan tietyllä tarkkuudella, jonka osoitetaan tapahtuvan C 2 splineille positiivisessa ja monotonisessa tapauksessa. Lisäksi tarkastellaan vapaiksi jääneiden derivaattojen määräämistä approksimoimalla niin, että koko menetelmä voidaan automatisoida. Tuloksista muodostetaan algoritmit, joita sovelletaan lähdeartikkeleista ja kirjallisuudesta löytyviin esimerkkeihin.
4
5 Esipuhe Kiitän professori Aatos Lahtista mielenkiintoisen aiheen esittelemisestä minulle ja kärsivällisyydestä työn ohjauksessa. Rakkaita vanhempiani kiitän lämpimästä tuesta opin polulla.... kun etsimme vastausta siihen mitä tieto on, onhan sentään typerää sanoa sen olevan oikea käsitys, johon liittyy tieto, koskipa tämä eroavuutta tai mitä hyvänsä Sokrates (Theaitetos 210a-b
6
7 Sisältö Esipuhe Sisältö Kuvat Taulukot Johdanto Lähteet ja tehtävänkuva Kirjallisuutta Määritelmiä ja apulauseita Määritelmiä Apulauseita Interpolaation ominaisuuksia Rationaalinen interpoloiva funktio Sileysehdot C 1 ehdot C 2 ehdot Virhearvio Interpolaation muotoehdot Positiivisuus Positiivinen C 1 splini Positiivinen C 2 splini Monotonisuus Monotoninen C 1 splini Monotoninen C 2 splini Konveksisuus Konveksi C 1 splini Konveksi C 2 splini Muotoehtojen soveltaminen Positiivisuus ja monotonisuus Monotonisuus ja konveksisuus Positiivisuus ja konveksisuus Derivaattojen virhe C 2 menetelmien virhearviot
8 5.2. Derivaatan numeerinen likiarvo Kolmen pisteen menetelmät Neljän- ja viiden pisteen menetelmät Algoritmit Esimerkit Tarkkuus Positiivisuus Monotonisuus Konveksisuus Johtopäätökset Lähteet Liite A. Matlab ohjelmat A.1. Algoritmit A.2. Kokeet Kuvat 2. Määritelmiä ja apulauseita Erotus-operaattorit Interpolaation ominaisuuksia Polynominen kolmannen asteen Bezier-käyrä Interpolaation muotoehdot C 2 ei toteudu Derivaatta keskiarvona Derivaattojen virhe O(h 3 menetelmät, monotoninen C 1 splini (3,3,3, f(x = exp(x, x [0, 2] O(h 3 menetelmät, monotoninen C 2 splini (3,3, f(x=exp(x, x [0, 2] O(h 3 menetelmät, monotoninen C 1 splini (3,3,3, f(x = log(x + 1, x [0, 2] O(h 3 menetelmät, monotoninen C 2 splini (3,3, f(x=log(x + 1, x [0, 2] O(h 4 menetelmät, monotoninen C 1 splini (3,3,5,3,3, f(x = exp(x, x [0, 2] O(h 4 menetelmät, konveksi C 1 splini (3,3,5,3,3, f(x = exp(x, x [0, 2] O(h 4 menetelmät, monotoninen C 1 splini (4,4,5,4,4, f(x = exp(x, x [0, 2] O(h 4 menetelmät, konveksi C 1 splini (4,4,5,4,4, f(x = exp(x, x [0, 2] O(h 4 menetelmät, monotoninen C 2 splini (4,4, f(x=exp(x, x [0, 2] O(h 4 menetelmät, konveksi C 2 splini (4,4, f(x = exp(x, x [0, 2] O(h 4 menetelmät, monotoninen C 1 splini (3,3,5,3,3, f(x = log(x + 1, x [0, 2] O(h 4 menetelmät, konveksi C 1 splini (3,3,5,3,3, f(x = log(x + 1, x [0, 2] O(h 4 menetelmät, monotoninen C 1 splini (4,4,5,4,4, f(x = log(x + 1, x [0, 2] O(h 4 menetelmät, konveksi C 1 splini (4,4,5,4,4, f(x = log(x + 1, x [0, 2]
9 O(h 4 menetelmät, monotoninen C 2 splini (4,4, f(x=log(x + 1, x [0, 2] O(h 4 menetelmät, konveksi C 2 splini (4,4, f(x = log(x + 1, x [0, 2] Esimerkit Kuutiollinen C 1 ja C 2 splini (v i = w i = 3, tarkat derivaatat, f(x=1/x Muodon säilyttävät C 1 splinit, aritmeettiset 3 pisteen derivaatat, f(x = 1/x Muodon säilyttävät C 1 splinit, geometriset 3 pisteen derivaatat, f(x=1/x Muodon säilyttävät C 1 splinit, harmoniset 3 pisteen derivaatat, f(x = 1/x Muodon säilyttävät C 1 splinit, tarkat derivaatat, f(x = 1/x Muodon säilyttävät C 2 splinit, aritmeettiset päätepisteet, f(x=1/x Muodon säilyttävät C 2 splinit, geometriset päätepisteet, f(x = 1/x Muodon säilyttävät C 2 splinit, harmoniset päätepisteet, f(x=1/x Muodon säilyttävät C 2 splinit, tarkat päätepisteet, f(x = 1/x Kuutiolliset C 1 splinit (v i = w i = 3, aritmeettiset derivaatat, puoliympyrä Kuutiolliset C 2 splinit (v i = w i = 3, aritmeettiset päätepisteet, puoliympyrä Kuutiolliset C 2 splinit (v i =w i =3, geometriset ja harmoniset päätepisteet, puoliympyrä Kuutiolliset C 2 splinit (v i = w i = 3, määrätyt päätepisteet, puoliympyrä Konveksit C 2 splinit, geometriset ja harmoniset päätepisteet, puoliympyrä Konveksit C 2 splinit, määrätyt päätepisteet, puoliympyrä Monotoniset C 2 splinit, geometriset ja harmoniset päätepisteet, puoliympyrä Kuutiollinen C 1 ja C 2 splini (v i =w i =3, aritmeettiset 3 pisteen derivaatat, Sarfraz data Kuutiollinen C 1 ja C 2 splini (v i = w i = 3, geometriset 3 pisteen derivaatat, Sarfraz data Positiivinen C 1 ja C 2 splini (algoritmi A, k max = 100, geometriset 3 pisteen derivaatat, Sarfraz data Monotoniset C 1 splinit, geometriset derivaatat, Sarfraz data Kuutiollinen C 1 ja C 2 splini (v i = w i = 3, aritmeettiset 3 pisteen derivaatat, Happitaso-data Positiivinen C 1 ja C 2 splini (algoritmi B, k max =5, aritmeettiset 3 pisteen derivaatat, Happitasodata Positiiviset C 2 splinit (algoritmi A, k max =5 ja k max = 100 ja niiden toiset derivaatat, aritmeettiset päätepisteet, Happitaso-data Positiiviset C 2 splinit (algoritmi A, k max = 100 ja niiden toiset derivaatat, geometriset ja harmoniset päätepisteet, Happitaso-data Kuutiolliset C 1 ja C 2 splinit (v i =w i =3, aritmeettiset 3 pisteen derivaatat, Titaani-data Rationaaliset C 1 ja C 2 splinit (v i =w i =5, aritmeettiset 3 pisteen derivaatat, Titaani-data Monotoninen ja positiivinen C 1 splini, aritmeettiset 3 pisteen derivaatat, Titaani-data Positiiviset C 2 splinit (algoritmi A ja B, k max = 100, aritmeettiset päätepisteet, Titaani-data Kuutiollinen C 1 ja C 2 splini (v i = w i = 3, geometriset 3 pisteen derivaatat, Akima data Kuutiollinen C 1 ja C 2 splini (v i = w i = 3, harmoniset 3 pisteen derivaatat, Akima data Monotoniset C 1 splinit, geometriset derivaatat, Akima data Monotoniset C 1 splinit, harmoniset derivaatat, Akima data Kuutiolliset C 1 splinit (v i = w i = 3, geometriset derivaatat, Pruess data Kuutiolliset C 1 splinit (v i = w i = 3, harmoniset derivaatat, Pruess data Kuutiolliset C 2 splinit (v i = w i = 3, harmoniset päätepisteet, Pruess data Monotoniset C 1 splinit, geometriset derivaatat, Pruess data Monotoniset C 1 splinit, harmoniset derivaatat, Pruess data Monotoniset C 2 splinit, geometriset päätepisteet, Pruess data Monotoniset C 2 splinit, harmoniset päätepisteet, Pruess data Kuutiolliset C 1 splinit (v i =w i =3, aritmeettiset ja geometriset derivaatat, Delbourgo data Konveksit C 1 splinit, aritmeettiset ja geometriset derivaatat, Delbourgo data Konveksit C 2 splinit, aritmeettiset ja geometriset derivaatat, Delbourgo data
10 Konveksit C 2 splinit, aritmeettiset ja geometriset derivaatat, Delbourgo data Taulukot 4. Interpolaation muotoehdot Muotolauseet Algoritmit ratspline posispline monospline convspline derivs gaussmono gaussconv ddiff croutfac Esimerkit f(x = 1/x Puoliympyrä f(x = 1 1 x Sarfraz data Happitaso hiilen hormikaasussa ajan suhteen Titaani-data Akima data Pruess data Delbourgo data Johtopäätökset Positiivisuuden säilyttävä splini Monotonisuuden säilyttävä splini Konveksisuuden säilyttävä splini
11 1. Johdanto 1.1. Lähteet ja tehtävänkuva. On pyritty osoittamaan kolmannen asteen rationaalisen (bikuubisen Bernstein- Bezier splinin soveltuvuus automaattiseen muodon säilyttävään interpolaatioon ilman solmupisteiden sijoittelua. Lisäksi on pyritty osoittamaan yhden muotokertoimen riittävyys tähän tehtävään. Tämä mielessä pitäen on läpikäyty väitteet ja todistukset neljästä M. Sarfrazin et al. artikkelista, jotka on julkaistu Computer & Graphics ja Journal of Computational and Applied Mathematics lehdissä vuosina Näissä kaikissa sovelletaan kolmannen asteen rationaalista Bernstein- Bezier spliniä kahdella muotokertoimella. [Sar00] M. Sarfraz esittää C 2 ehdot rationaaliselle kolmannen asteen splinille. Lisäksi esitetään C 2 monotonisuusehdot ja C 2 derivaattojen virheelle yläraja. Paperissa on runsaasti virheitä joista osa on korjattu [Sar02]. [SBH01] M. Sarfraz, S. Butt ja M.Z. Hussain esittelevät positiivisuuden säilyttävää C 1 spliniä. [Sar03] M. Sarfraz johtaa monotonisuudelle toisenlaiset C 2 ehdot, sekä esittää virhe-analyysin. [SH06] M. Sarfraz ja M.Z. Hussain esittelevät konveksisuuden säilyttävää C 1 spliniä. Näissä artikkeleissa esitettyjen lauseiden lisäksi tarkastelua on täydennetty johtamalla C 2 ehdot positiivisuudelle ja konveksisuudelle. Tavoitteena on saada menetelmä, joka voidaan toteuttaa ohjelmallisesti niin, että annetulla datalla ja muotokriteerillä se antaa hyväksyttävän muodon säilyttävän splinin kaikissa tapauksissa. Kappaleen kolme alussa johdetaan Sarfrazin käyttämä interpolantti yleisestä Bernstein-Bezier muodosta, jonka jälkeen sitä muokataan niin, että se interpoloi datan ja saavuttaa C 1 ja C 2 sileyden. Sen jälkeen tarkastellaan C 2 ehdoista seuraavaa lineaarista yhtälöryhmää. Kappaleen lopussa tarkastellaan interpolaation suppenemisominaisuuksia suhteessa muotokertoimiin ja derivaattoihin. Tästä on hyötyä meille jatkossa tarkastellessamme muoto-ominaisuuksia. Kappaleessa neljä johdetaan eksaktit ehdot positiivisuudelle ja riittävät ehdot monotonisuudelle ja konveksisuudelle. Tämän jälkeen näitä sovelletaan C 1 interpolaatioon, jonka seurauksena saamme dynaamiset muotokertoimet, eli ne riippuvat sekä datasta että derivaatoista. C 2 ehdoissa tämä johtaa iteratiiviseen (lineaariseen järjestelmään positiivisessa tapauksessa ja epälineaarisiin järjestelmiin monotonisessa ja konveksisessa tapauksessa. Ratkaisujen suppenemiselle on esitetty todistukset. Monotonisen splinin suppenemistodistuksen lähteenä on käytetty artikkelia [Gre84]. Kappaleen lopussa tarkastellaan muotoehtojen soveltamista lyhyesti.
12 12 Osio 1 Kappaleessa viisi tarkastellaan positiivisen ja monotonisen C 2 splinin derivaattojen suppenemista. Lisäksi esitellään derivaatan numeerista approksimointia esimerkein. Tämä on tarpeellista, koska osion kolme virhe-arvio vaatii että derivaatat selvitetään tietyllä tarkkuudella. Monotonisen splinin derivaattojen suppenemistarkastelun lähteenä on käytetty artikkelia [DG83]. Kappaleessa kuusi esitellään liitteen algoritmit ja niiden teoreettiset valinnat. Erityistä esitystä algoritmi-kielellä on päätetty välttää, koska Matlab [MAT07] on jo korkean tason kieli ja ohjelmat toimivat kuten niiden pitääkin (yleensä. Numeeristen pyöristysvirheiden tarkastelut on sivuutettu. Jos data tai valittu derivaatan approksimaatio eivät toteuta muodon säilyttävän interpolaation edellytyksiä, ohjelman annetaan kuitenkin yleensä ajaa. Rikkeet on pyritty merkitsemään koodiin ajoaikaisina varoituksina. Kappaleessa seitsemän esitetään esimerkkejä sovellutuksista. Ne on jaettavissa kahteen joukkoon, eli tapauksiin joissa interpolaation tarkkuutta tarkastellaan kun joku sileä funktio tunnetaan, ja tapauksiin jossa interpoloidaan jotain pisteistöä ja tulokselle halutaan asettaa erilaisia muotoehtoja. Ensimmäisessä tapauksessa interpolaation hyvyyttä voidaan tarkastella virheen ja suppenemiseksponentin avulla. Jälkimmäisessä tapauksessa meidän täytyy tyytyä visuaaliseen tarkasteluun. Kohdeartikkelien esimerkit on pyritty toistamaan. Esimerkit on ajettu Matlab ohjelmalla, mutta ohjelmat on testattu toimiviksi riippumattomalla ja avoimella GNU Octave [OCT07] ohjelmalla. Tämä tutkielma on kirjoitettu käyttäen GNU TEX MACS editoria ( Kirjallisuutta. Pelkästään monotonisuuden säilyttävää interpolaatiota koskeva aineisto on laaja, joten mainitsemme kirjallisuudesta ainoastaan muutaman hyödyllisen lähdeteoksen. Tämän työn monotoninen menetelmä esitetään ensimmäisen kerran kahdessa R. Delbourgon ja J. A. Gregoryn artikkelissa [GD82, DG83]. Konveksi splini esiintyy tämän artikkelin muodossa ensimmäisen kerran [DG85b]. Positiiviselle kuutiolliselle splinille esitetään kerran tarkat positiivisuusehdot [SH88]. Muodon säilyttävän menetelmän soveltamista kartioleikkauksiin esitellään paperissa [HSS05]. Splini-funktioiden matemaattisen teorian perusteos on [Sch81]. Kattava esitys muodon säilyttävästä interpolaatiosta on [Spä90, Spä95a]. Esitys käsittää neliölliset, kuutiolliset ja rationaaliset muodon säilyttävät splinit, sekä histogrammien interpolomisen. Jatko-osa [Spä91, Spä95b] esittelee vastaavasti kaksiulotteisia splinejä. Toinen hiukan teoreettisempi esitys yksiulotteisista splineistä on [Kva00]. Hyvä lähdeteos splinien ja erityisesti Bezier-käyrien käytöstä tietokoneympäristössä on [Far96]. Myös [BBB87] on kompakti esitys, mutta se ei sisällä rationaalisia käyriä. NURBS käyrien perusteos on [PT97], mutta on hyödyllinen myös esitettäessä kartioleikkauksia ja ympyröitä Bezier-käyrillä.
13 Määritelmiä ja apulauseita Määritelmiä ja apulauseita 2.1. Määritelmiä. Notaatio 2.1. Olkoon {(x i, f i x i D R, f i R} i annettu joukko, jossa yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että pisteet x i ovat aidosti monotonisia eli x i < x i+1. Erotus-operaattoria merkitään tällöin ja jaettua erotusta merkitään jolloin h i x i =x i+1 x i, i = 1,,n 1, i,j f j f i x j x i = f i f j x i x j, i=1,,n 1, i i,i+1 = f i x i = f i+1 f i h i, i = 1,,n 1. s(x d i+1 d i i f i x i f i f i+1 x i h i x i+1 Kuva 2.1. Erotus-operaattorit. Määritelmä 2.1. (Lagrangen interpolaatio Oletetaan joukko {(x i, f i x i D R, f i R} i. On löydettävä funktio s:d R R joka interpoloi datan siten että s(x i = f i kaikilla x i D. Määritelmä 2.2. (Hermiten interpolaatio Oletetaan joukko {(x i, f i, d i x i D R, f i R,d i R} i. On löydettävä funktio s:d R R joka interpoloi datan eli s(x i = f i ja s (x i = d i kaikilla x i D.
14 14 Osio 2 Määritelmä 2.3. (Muodon säilyttävä interpolaatio Oletetaan joukko {(x i, f i x i D R, f i R} i, joka toteuttaa jonkun muoto-ominaisuuden. On löydettävä funktio s: D R R, joka interpoloi tämän datan samalla säilyttäen muotoominaisuuden. Huomautus 2.1. Jatkossa kun puhumme interpolaatiosta tarkoitamme sillä (yksiulotteista Hermiten interpolaatiota, eli meidän tarvitsee selvittää myös derivaattojen arvot. Määritelmä 2.4. (Bernstein-Bezier käyrä, [For68, Far96, PT97] N-asteen rationaalinen Bezier käyrä määritellään C(θ = n B n i (θw i b i i=0 n, 0 θ 1, B n i (θw i i=0 missä b i ovat ohjauspisteet, w i ovat painokertoimet ja B n i (θ on Bernsteinin polynomi eli B i n (θ = { n! i! (n i! θi (1 θ n i, 0, kun 0 θ 1, muualla. Määritelmä 2.5. (Positiivinen funktio Funktio f :D R R on positiivinen, jos f(x>0 kaikille x D. Määritelmä 2.6. (Monotoninen funktio Funktio f :D R R on monotonisesti kasvava, jos x < y f(x f(y kaikilla x, y D. Funktio on monotonisesti laskeva, kun merkki vaihdetaan merkiksi, ja aidosti monotoninen, kun erisuuruus on aito. Määritelmä 2.7. (Konveksi funktio Funktio f : D R R on konveksi, jos kaikille x, y ja λ (0, 1 pätee ((1 λx+λy D f((1 λx+λy (1 λ f(x + λf(y. Funktio on konkaavi, kun merkki vaihdetaan merkiksi, ja aidosti konveksi/konkaavi, kun erisuuruus on aito. Määritelmä 2.8. (Positiivinen data-joukko Joukkoa {(x i, f i x i D R, f i R} i kutsutaan positiiviseksi, jos f i > 0 kaikilla i=1,,n.
15 Määritelmiä ja apulauseita 15 Määritelmä 2.9. (Monotoninen data-joukko Joukkoa {(x i, f i x i D R, f i R} i kutsutaan monotonisesti kasvavaksi, jos i 0 kaikilla i = 1,, n 1. Joukko on monotonisesti laskeva, kun merkki vaihdetaan merkiksi, ja aidosti monotoninen, kun erisuuruus on aito. Määritelmä (Konveksi data-joukko Joukkoa {(x i, f i x i D R, f i R} i sanotaan konveksiksi jos 1 i n 1 kaikilla i = 1,, n 1. Joukko on konkaavi, kun merkit vaihdetaan merkeiksi, ja aidosti konveksi/konkaavi, kun erisuuruudet ovat aitoja. Määritelmä (Pelkistyvä matriisi, [Ort72, s. 103] Neliömatriisi A on pelkistyvä (reducible, jos on olemassa permutointimatriisi P siten että ( P AP 1 B11 B = 12 0 B 22 jossa B 11 ja B 22 ovat neliömatriiseja. A on pelkistymätön, jos se ei ole pelkistyvä., Määritelmä (Hallitseva päälävistäjä, [Ort72, s. 105] Neliömatriisilla A n n = [a ij ] on hallitseva päälävistäjä, jos n j=1,i j a ij a ii, i=1, 2,,n, (2.1 ja aidosti hallitseva päälävistäjä, jos epäyhtälö ( 2.1 on aito kaikilla i=1,,n. Sillä on pelkistymättömästi (irreducible hallitseva päälävistäjä, jos A on pelkistymätön, omaa hallitsevan päälävistäjän ja epäyhtälö ( 2.1 on aito ainakin yhdellä i=1,,n. Määritelmä (Kutistuva kuvaus, [Ort72, s. 152] Kuvaus G:R n R n on kutistuva (contractive joukossa D R n, jos on olemassa vakio K < 1 siten että kaikilla x, y D. G(x G(y K x y 2.2. Apulauseita. Lause 2.1. (Derivaatan likiarvo, [DG85a] Olkoon f C m+1 [x 1,x n ] ja f (1 (x> 0 tai f (1 (x < 0, kun x [x 1, x n ]. Olkoon lisäksi x i x j Kh kaikille indekseille j I i m, missä I i m on indeksijoukko pisteen i ympärillä olevista pisteistä (j i,
16 16 Osio 2 h = max h i ja K on joku riippumaton vakio. Tällöin f i (1 d i = O(h m seuraaville m + 1 pisteen likiarvoille: i. Painotettu aritmeettinen keskiarvo d i =A i = ii. Painotettu geometrinen keskiarvo d i =G i = j I i m d i =G i = j I i m α (m i,j i,j, (m α i,j i,j, kun i.j > 0, j I i m iii. Painotettu harmoninen keskiarvo ( i,j α (m i,j, kun i,j < 0, missä α i,j d i =H i = 1 / (m = ( xk x i x k x j k I i m k j j I i m. (m α i,j i,j, Huomautus 2.2. α (m i,j on Lagrangen kantafunktio. Geometrinen ja harmoninen keskiarvo eivät ole määritelty kun i,j = 0, joten ne soveltuvat ainoastaan (lokaalisesti aidosti monotoniselle datalle. Joissain tapauksissa niitä voidaan soveltaa myös ei-aidosti monotoniselle datalle, mutta ei-monotoniselle datalle ne eivät sovellu. Aritmeettinen keskiarvo soveltuu kaikelle datalle. Kun painokertoimet ovat positiivisia, pätee 0<H i G i A i [Web94, ss. 200]. Lemma 2.1. (Pelkistymätön kolmilävistäjämatriisi, [Ort72, s. 104] Kolmilävistäjämatriisi on pelkistymätön, jos sen ylä- ja alalävistäjä eivät sisällä nollaelementtejä. Lause 2.2. (Päälävistäjä-lause 1, [Ort72, s. 106] Neliömatriisi on kääntyvä, jos sillä on aidosti- tai pelkistymättömästi hallitseva päälävistäjä. Lause 2.3. (Päälävistäjä-lause 2, [Ort72, s. 120] Oletetaan lineaarinen yhtälö Ax=b ja että neliömatriisilla A n n =[a ij ] on aidosti- tai pelkistymättömästi hallitseva päälävistäjä. Tällöin sekä Jacobin iteraatio x (k+1 =D 1 (L +Ux (k +D 1 b,
17 Määritelmiä ja apulauseita 17 että Gauss-Seidel iteraatio x (k+1 = (D L 1 U x (k + (D L 1 b suppenevat kohti arvoa A 1 b kaikilla x 0, missä { { { aii, kun i= j D ij = 0, kun i j, L aij, kun i > j ij = 0, kun i j, U aij, kun i < j ij = 0, kun i j. Lause 2.4. (Kiintopistelause, [Ort72, s. 153] Oletetaan että G:R n R n on kutistuva kuvaus suljetussa joukossa D, ja G(x D kaikilla x D. Tällöin on olemassa yksikäsitteinen kiintopiste x D, johon iteraatio x (k+1 =G(x (k, k = 0, 1,, suppenee kaikilla alkuarvoilla x (0 D, jolloin x =G(x. Lisäksi pätee x (k+1 x K/(1 K x (k+1 x (k, k = 0, 1,, missä K on määritelmän 2.13 vakio. Lemma 2.2. ([Ort72, s. 154] Jos G:R n R n on jatkuvasti derivoituva konveksissa joukossa D ja G (x K < 1 kaikilla x D, niin G on kutistuva kuvaus. Lemma 2.3. ([OR70, s. 86, s. 142] Jos g: D R R on C 1 [a, b], niin g on monotoninen välillä [a, b] jos ja vain jos g (x 0 kaikilla x [a, b]. Lisäksi jos g (x>0, niin g on aidosti monotoninen välillä [a,b]. Lemma 2.4. ([OR70, s. 87] Jos g:d R R omaa toisen derivaatan joukossa [a,b] D, niin g on konveksi joukossa [a,b] jos ja vain jos g (x 0 kaikilla x [a, b]. Lisäksi g on aidosti konveksi joukossa [a,b], jos g (x>0 kaikilla x [a,b]. Lemma 2.5. ([OR70, s. 84] Jos g:d R R on derivoituva joukossa [a,b] D, niin g on konveksi joukossa [a,b] jos ja vain jos g(y g(x g (x(y x kaikilla x, y [a,b]. Lisäksi, g on aidosti konveksi jos ja vain jos g(y g(x> g (x(y x kaikilla x, y [a,b] aina kun x y.
18 18 Osio 3 3. Interpolaation ominaisuuksia 3.1. Rationaalinen interpoloiva funktio. Olkoon (x i, f i, i = 1, 2,, n annettu pisteistö, jossa yksinkertaisuuden vuoksi oletamme aidosti kasvavan pisteistön eli x 1 < x 2 < < x n. Yksiulotteinen rationaalinen splinifunktio voidaan esittää paloittain määriteltynä rationaalisena käyränä eli missä s(x s 1 (x, x [x 1,x 2 ], s 2 (x, x [x 2,x 3 ], s n 1 (x, x [x n 1, x n ], (3.1 s i (x = p i(x q i (x. (3.2 Paloittaisen käsittelyn yhtenäistämiseksi on muuttujan x sijasta hyödyllistä käyttää paloittain määriteltyä parametria θ θ i (x = (x x i, θ [0, 1]. (x i+1 x i Tässä esityksessä tutkitaan paloittain määriteltyä rationaalista Bernstein-Bezier käyrää m B m j (θw j,i b j,i j=0 S i (θ = m, i=1,,n 1 ja 0 θ 1, (3.3 B m j (θw j,i j=0 missä B j m (θ ovat Berstein-polynomeja, w j,i ovat painokertoimia ja b j,i ovat ohjauspisteitä. Huomautus 3.1. ([Far96, s. 44, s. 215] Kun painokertoimet valitaan positiivisiksi, tämän muodon kantafunktioille R m j,i (θ = B j m (θw j,i m, B m j (θw j,i j=0 pätee seuraavia hyödyllisiä ominaisuuksia välillä [x i,x i+1 ]. Ei-negatiivisuus. R m j,i (θ 0 kaikilla 0 θ 1. m Ykkösen ositus. m (θ 1 kaikilla 0 θ 1. R j,i j=0 Päätepisteinterpolaatio. R j,i (0=δ j,0, Yksi maksimi välillä. max Symmetrisyys. 0 θ 1 m R j,i j=0 R m j,i (θ R j,i m (θb j,i = j=0 R m j,i (1 =δ j,m. m (m/j. m R m j,i m (1 θb m j,i.
19 Interpolaation ominaisuuksia 19 Kartioleikkaukset voidaan esittää tarkasti. Translaatiot ja rotaatiot voidaan käyrän sijasta tehdä ohjauspisteillä. Polynomiset Bezier käyrät ovat rationaalisten Bezier-käyrien erikoistapauksia. b P1 1 b 2 P2 b 0 P0 b 3 P3 Kuva 3.1. Polynominen kolmannen asteen Bezier-käyrä. Tutkimamme splini on paloittain rationaalinen kolmannen asteen Bezier polynomi. Merkitsemme sitä s i (x S i (θ = P i(θ, i=1,,n 1 ja 0 θ 1, (3.4 Q i (θ missä P i (θ Q i (θ = U iu i (1 θ 3 +V i b i 3θ (1 θ 2 +W i c i 3 θ 2 (1 θ + Z i z i θ 3 u i (1 θ 3 +b i 3θ (1 θ 2 +c i 3θ 2 (1 θ+z i θ 3, u i,b i,c i,z i >0, (3.5 Bilineaarikuvauksen θ θ e i (1 θ + θ, 1 θ e i (1 θ e i (1 θ+θ, (e i > 0 (3.6 avulla saamme supistettua (3.5 muotoon S i (θ = (e i (1 θ + θ 3 (e i (1 θ + θ 3 Uiu i e i 3 (1 θ 3 +V i b i e i 2 3 θ (1 θ 2 +W i c i e i 3θ 2 (1 θ + Z i z i θ 3 u i e i 3 (1 θ 3 +b i e i 2 3 θ (1 θ 2 +c i e i 3θ 2 (1 θ+z i θ 3 = U i (1 θ 3 +v i V i θ (1 θ 2 +w i W i θ 2 (1 θ + Z i θ 3 (1 θ 3 +v i θ (1 θ 2 +w i θ 2 (1 θ + θ 3, (3.7
20 20 Osio 3 missä painokertoimet määritellään v i 3b i /(u i e i, w i 3c i /(u i e i 2, e i 3 z i /u i. (3.8 Huomautus 3.2. Tämän jälkeen painokertoimista käytetään nimitystä muotokertoimet tai muotoparametrit. Näille muotokertoimille voidaan valita myös arvoja (v i, w i 0, kunhan splinin jatkuvuudesta pidetään huolta. Tässä työssä interpolanttia tutkitaan myös negatiivisilla arvoilla, eli kantafunktioiden perusominaisuuksia ei voida hyödyntää Sileysehdot. Jotta splini on jatkuva ja interpoloi datapisteemme, niin täytyy päteä s(x i = s(x i += f i kaikilla i = 1,,n. (3.9 Samoin jos haluamme C 1 jatkuvuuden joukossa [x 1,x n ], niin täytyy päteä s (1 (x i = s (1 (x i + = d i kaikilla i=1,,n, (3.10 missä d i :llä merkitään funktion derivaatan arvoa solmupisteessä x i. Jos haluamme C 2 jatkuvuuden, niin vaaditaan s (2 (x i = s (2 (x i + kaikilla i = 1,,n. ( C 1 ehdot. Jotta C 1 splinin toistaa datapisteet ja on solmupisteissä jatkuva, tulee sen siis toteuttaa seuraavat reunaehdot s(x i = f i, s(x i+1 = f i+1, (3.12 s (1 (x i = d i, s (1 (x i+1 = d i+1. (3.13 Solmupisteiden interpolaatio on helppo ratkaista ohjauspisteille sijoittamalla s(x i = S i (0 =U i = f i, s(x i+1 =S i (1 =Z i = f i+1. (3.14 Laskemalla aluksi derivaatan missä s i (1 (x = ds i dθ dθ dx = Q ip i P i Q i Q i 2 1 h i, (3.15 P i (θ = (v i V i 3 f i (1 θ 2 + (2 w i W i 2 v i V i θ (1 θ + (3 f i+1 w i W i θ 2, (3.16 Q i (θ = (v i 3 (1 θ 2 + (2w i 2 v i θ (1 θ + (3 w i θ 2, (3.17
21 Interpolaation ominaisuuksia 21 ja sijoittamalla solmupisteet, saamme myös derivaatan jatkuvuusehdot eli s i (1 (x i = (v iv i 3 f i f i (v i 3 h i = v i (V i f i h i =d i, (3.18 s i (1 (x i+1 = (3 f i+1 w i W i f i+1 (3 w i h i = w i (f i+1 W i h i =d i+1. (3.19 Eli saamme lopuille ohjauspisteille V i = f i + h id i v i ja W i = f i+1 h id i+1 w i. (3.20 Olemme määritelleet s C 1 [x 1,x n ] interpolantin muodossa s i (x = S i (θ = f i(1 θ 3 +v i (f i + h i d i v i θ (1 θ 2 +w i (f i+1 h i d i+1 w i θ 2 (1 θ + f i+1 θ 3 (1 θ 3 +v i θ (1 θ 2 +w i θ 2 (1 θ + θ 3, i = 1,,n 1. (3.21 Huomautus 3.3. Kun v i ja w i ja arvot d i ovat äärellisiä, niin V i f i ja W i f i+1. Huomautus 3.4. Kun r i v i = w i, niin interpolantti (3.21 supistuu kuutiolliseen/neliölliseen muotoon S i (θ = f i (1 θ 3 + (r i f i +h i d i θ (1 θ 2 + (r i f i+1 h i d i+1 θ 2 (1 θ + f i+1 θ 3 (1 θ 2 +(r i 1θ (1 θ+θ 2. Kun r i = 3, niin s(x on tavallinen kuutiollinen Hermiten splini S i (θ = f i (1 θ 3 +(3f i +h i d i θ (1 θ 2 +(3f i+1 h i d i+1 θ 2 (1 θ+ f i+1 θ 3. Muokkaamme interpolanttia vielä selvittääksemme raja-arvon muotoparametrien v i ja w i lähestyessä ääretöntä. S i (θ = f i(1 θ 3 +(v i f i +h i d i θ(1 θ 2 +(w i f i+1 h i d i+1 θ 2 (1 θ+f i+1 θ 3 Q i (θ = f i (v i θ (1 θ 2 +(1 θ 3 Q i (θ + f i+1 (w i θ 2 (1 θ + θ 3 Q i (θ + (d i(1 θ d i+1 θh i θ (1 θ Q i (θ ( = f i (1 θ+ f i θ Q i (θ f i (w i θ 2 (1 θ + θ 3 Q i (θ ( + f i+1 θ f i+1 θ Q i (θ f i+1 (w i θ 2 (1 θ+θ 3 Q i (θ + (d i(1 θ d i+1 θh i θ (1 θ Q i (θ
22 22 Osio 3 = f i (1 θ + f i+1 θ + (f i f i+1 [ θ(1 θ 3 +θ 4 θ 3 +v i θ 2 (1 θ 2 +w i θ 2 (θ(1 θ (1 θ ] Q i (θ + (d i(1 θ d i+1 θh i θ (1 θ Q i (θ = f i (1 θ + f i+1 θ + (f i+1 f i [ (θ (1 θθ (1 θ+θ 2 (1 θ 2 (w i v i ] Q i (θ = f i (1 θ + f i+1 θ + (d i(1 θ d i+1 θh i θ (1 θ Q i (θ + ( iθ i (1 θh i θ (1 θ+h i i θ 2 (1 θ 2 (w i v i Q i (θ = f i (1 θ + f i+1 θ + (d i(1 θ d i+1 θh i θ (1 θ Q i (θ + ((1 θ (d i i + θ ( i d i+1 h i θ (1 θ + h i i θ 2 (1 θ 2 (w i v i. Q i (θ (3.22 Voimme merkitä yhtälöiden (3.8 perusteella a i v i +b i w i = 0, joten lim v i w i s i (x = f i (1 θ + f i+1 θ + lim v i w i = f i (1 θ + f i+1 θ + lim v i (f i+1 f i θ 2 (1 θ 2 (w i v i Q i (θ ( (f i+1 f i θ 2 (1 θ 2 a i b i 1 v i ( (1 θ 3 + θ (1 θ 2 a i θ 2 (1 θ b i v i +θ 3 = f i (1 θ + f i+1 θ + (f i+1 f i θ (1 θ ( b i a i b i (1 θ a i θ Eli saamme = b if i (1 θ a i f i+1 θ. (3.23 b i (1 θ a i θ lim s i (x = f i, (3.24 v i θ 1 lim w i θ 0 lim v i =w i s i (x = f i+1, (3.25 s i (x = f i (1 θ + f i+1 θ. (3.26
23 Interpolaation ominaisuuksia 23 Kun v i ja w i kasvavat, ohjaavat ne siis interpolanttia kohti vasemman ja vastaavasti oikean solmupisteen arvoa. Lemma 3.1. s i C 1 [x i,x i+1 ], kun v i > 1 ja w i > 1 kaikilla i=1,,n 1. Todistus. Rationaalinen polynomifunktio on jatkuva kaikkialla määrittelyalueessaan paitsi nimittäjänsä nollapisteissä. Q i (θ = (1 θ 3 +v i θ (1 θ 2 +w i θ 2 (1 θ+θ 3 = 3θ 2 3 θ + 1 θ (1 θ + (v i + 1θ (1 θ 2 +(w i + 1θ 2 (1 θ = (1 2 θ 2 + (v i + 1θ (1 θ 2 + (w i + 1θ 2 (1 θ. Jos v i > 1 ja w i > 1, niin Q i (θ>0 eli s i (x,s (1 i (x C 0 [x i,x i+1 ]. Huomautus 3.5. Kun (v i,w i 1, niin polynomilla Q i (θ on tupla-juuri pisteessä θ = 1, joka aiheuttaa suuria heilahteluita välin keskipisteessä, joten ( 1 on huono 2 ympäristö käytännön tarpeisiin. Lause 3.1. Yhtälön ( 3.21 splini s C 1 [x 1, x n ] on olemassa ja yksikäsitteinen annetuilla d 1,,d n, jos v i > 1 ja w i > 1 kaikilla i = 1,,n 1. Todistus. Splini on yksikäsitteinen ja kahdesti jatkuva koska s i (x i+1 = s i+1 (x i+1 ja s (1 i (x i+1 =s (1 i+1 (x i+1 kaikilla i=1,,n 1, kun (v i,w i > 1. Huomioitavaa 3.1. Papereissa [Sar00, Sar02] puuttuu yhtälön (3.22 nimittäjästä termi h i i θ 2 (1 θ 2 (w i v i. Siis myöskään raja-arvoa ei saada ilman oletusta v i =w i. lim s i (x = f i (1 θ + f i+1 θ, v i,w i C 2 ehdot. Johdamme lisäksi säännöllisyysehdot C 2 jatkuvuudelle asettamalla s (2 i 1 (x i = s (2 i (x i, kun i=2,,n 1. Laskemme aluksi toisen derivaatan. ( 2 s (2 i (x = d2 S i dθ dθ + ds i 2 dx dθ d2 θ dx 2 = d ( Qi P i P i Q i dθ Q i h i kaikille θ [0, 1], missä = P i Q i 2 2 P i Q i Q i + 2P i Q i 2 P i Q i Q i Q i 3 h i 2, (3.27 P i (θ = (6 f i 4 v i V i + 2 w i W i (1 θ + (2v i V i 4w i W i + 6 f i+1 θ, (3.28 Q i (θ = (2w i 4 v i + 6 (1 θ + (2v i 4w i + 6θ. (3.29
24 24 Osio 3 Tarkastelemalla pisteitä θ = 0 ja θ = 1 saamme s i (2 (x i = (6 f i 4 v i V i + 2 w i W i 2 (v i V i 3 f i (v i 3 h i f i (v i 3 2 f i (2 w i 4 v i + 6 h i 2 = 2(h id i + f i+1 w i h i d i+1 h i d i v i f i w i h i 2 = 2 h i [w i i (v i 1d i d i+1 ], (3.30 s i (2 (x i+1 = (2 v iv i 4w i W i + 6 f i+1 2 (3 f i+1 w i W i (3 w i h i f i+1 (3 w i 2 f i+1 (2 v i 4w i + 6 h i 2 = 2(f iv i +h i d i h i d i+1 +h i d i+1 w i f i+1 v i h i 2 = 2 h i [ v i i + (w i 1d i+1 +d i ]. (3.31 Saamme siis C 2 säännöllisyysehdot (i=2,,n d i 1 +[ (w i (v i 1]d i + 1 d i+1 = 1 v i 1 i w i i h i 1 h i 1 h i h i h i 1 h i (3.32 h i d i 1 +[h i (w i 1 1+h i 1 (v i 1]d i +h i 1 d i+1 =h i v i 1 i 1 +h i 1 w i i. (3.33 Huomioitavaa 3.2. Paperissa [Sar00] toisen derivaatan arvot solmupisteissä x i 1 ja x i+1 on laskettu virheellisesti, eli ne ovat 3 h i [w i i (v i 1 d i d i+1 ] ja 1 3 h i [ v i i + (w i 1d i+1 +d i ]. Kertoimet kuitenkin häviävät säännöllisyysehdosta. Jos d 1 ja d n tunnetaan, lineaarinen yhtälöryhmä (3.33 voidaan esittää kolmilävistäjämatriisin avulla eli h 2 (w 1 1+h 1 (v 2 1 h 1 h i h i (w i 1 1+h i 1 (v i 1 h i 1 d 2 d i 1 d i d i+1 d n 1 = h 2 v h 1 w 2 2 h 2 d 1 h i v i 1 i 1 + h i 1 w i i h n 1 v n 2 n 2 + h n 2 w n 1 n 1 h n 2 d n h n 1 h n 1 (w n 2 1+h n 2 (v n 1 1, i=3,,n 2. (3.34
25 Interpolaation ominaisuuksia 25 Jotta yhtälöryhmällä olisi yksikäsitteinen ratkaisu, neliömatriisin täytyy olla kääntyvä. Ratkaistaksemme muut d i :t tarvitsemme tällöin n 2 ehtoa h 2 (w 1 1+h 1 (v 2 1 > h 1, (3.35 h i (w i 1 1 +h i 1 (v i 1 > h i + h i 1, i = 3,,n 2, (3.36 h n 1 (w n 2 1 +h n 2 (v n 1 1 > h n 1, (3.37 jotta matriisilla olisi aidosti hallitseva päälävistäjä. Muotokertoimille tällöin tai w i 1,v i > 2, i = 2,,n 1, (3.38 1<w i 1,v i < 0, i=2,,n 1. (3.39 Jos v i = w i 1 = 0 tai v i = w i 1 = 2, on matriisilla heikosti hallitseva päälävistäjä. Päälävistäjä on tällöin kuitenkin pelkistymättömästi hallitseva (määritelmä 2.1, koska h i > 0 kaikilla i = 1,, n sekä ainakin yksi epäyhtälö on aito. Matriisi on siis myös tällöin kääntyvä. Kun (0<w i 1,v i <2, ei ratkaisun olemassaoloa ole taattu. Huomautus 3.6. Koska molemmat epäyhtälöt (3.35 ja (3.37 ovat aitoja kun v i = w i 1 = 0 tai v i = w i 1 = 2, niin ratkaisu voidaan laskea esimerkiksi Croutin hajoitelmalla ([Hil74, s. 559], [BF05, s. 408]. Tällöin ei myöskään tarvita tuentaa (pivoting ratkaisun tekemiseen. Huomioitavaa 3.3. Paperissa [Sar00] valitaan C 2 ehdoiksi (v i,w i >2, kun i=1,, n 1. Jos merkitsemme jälleen a i v i + b i w i = 0, niin näemme että derivaatan ratkaisu on rajoitettu muotoparametrien suhteen. Tämä nähdään laskemalla raja-arvo lim d i = v=w h iv i 1 i 1 +h i 1 w i i [h i (w i 1 1 +h i 1 (v i 1] = h iv i 1 i 1 +h i 1 w i i h i w i 1 +h i 1 v i = h i( b i 1 /a i 1 w i 1 i 1 +h i 1 w i i h i w i 1 +h i 1 ( b i /a i w i = h iw i 1 i 1 +h i 1 w i i h i w i 1 +h i 1 w i = O(1. (3.40 Se on rajoitettu jos v i 1, kunhan w i 1, ja jos w i, kunhan v i. Todistamme raja-arvolle yleisemmin. Lemma 3.2. i. Ratkaisu ( 3.33 on rajattu muotoparametrien suhteen, eli jos (β v i, w i α > 2 kaikilla i = 1,,n 1, niin d i (β/(α 2 max i. max 2 i n 1 1 i n
26 26 Osio 3 ii. Ratkaisu ( 3.33 on äärellinen, eli jos v i =w i α > 2 kaikilla i = 1,, n 1, niin d i (α/(α 2 max i. max 2 i n 1 1 i n Todistus. Oletetaan (v i,w i >2 kaikilla i=1,,n 1. Valitaan joku j =2,,n 1 siten että d j = max d i. 2 i n 1 i. Tällöin saadaan d j = h j v j 1 j 1 +h j 1 w j j h j (w j 1 1+h j 1 (v j 1 h j d j 1 +h j 1 d j+1 h j (w j 1 1 +h j 1 (v j 1 max { j 1, j } (h j v j 1 +h j 1 w j h j (w j 1 1 +h j 1 (v j 1 + d j (h j +h j 1 h j (w j 1 1 +h j 1 (v j 1 max { j 1, j } max {v j 1,w j }(h j +h j 1 min {w j 1,v j }(h j +h j 1 (h j +h j 1 d j (h j +h j 1 + min {w j 1,v j }(h j +h j 1 (h j +h j 1 max { j 1, j } max {v j 1,w j } min {w j 1,v j } 1 max i β 1 i n + d j α 1 α 1. Eli saadaan d j β max α 2 i. 1 i n ii. Jos v i =w i kaikilla i =1,,n 1, niin d j max { j 1, j } (h j w j 1 +h j 1 w j h j (w j 1 1 +h j 1 (w j 1 + d j min {w j 1, v j } 1 + d j (h j +h j 1 h j (w j 1 1 +h j 1 (w j 1 max { j 1, j } min {w j 1,w j }(h j +h j 1 min {w j 1,w j }(h j +h j 1 (h j +h j 1 d j (h j +h j 1 + min {w j 1,w j }(h j +h j 1 (h j +h j 1 max { j 1, j } min {w j 1,w j } min {w j 1,w j } 1 max i α 1 i n + d j α 1 α 1. Saadaan d j + d j min {w j 1,w j } 1 α max α 2 i. 1 i n
27 Interpolaation ominaisuuksia 27 Huomioitavaa 3.4. Paperissa [Sar00] mainitaan, että max d i (α/(α 2 max i. Tämä pätee kuitenkin ainoastaan, kun 2 i n 1 ja v i =w i kaikilla i=1,, n 1. Jos esimerkiksi interpoloimme funktiota f(x=x jolloin i =1, ja asetamme (h i =1,d 1 =d 5 = 0,v = [10, 3, 3, 3], w =[3, 3, 3, 3], niin saamme yhtälöryhmän / / /56 Eli max d i = >3. Lause 3.2. Yhtälön ( 3.21 splini s C 2 [x 1, x n ] on annetuilla d 1 ja d n olemassa ja yksikäsitteinen, jos v i 2 ja w i 2 sekä ( 3.33 kaikilla i=1,,n 1. Todistus. On asetettu s (2 i (x i+1 = s (2 i+1 (x i+1 kaikilla i = 1,, n 1 ja toisaalta s (2 i (x C[x i, x i+1 ] aina kun (v i, w i > 1. Lisäksi yhtälön (3.34 neliömatriisi on kääntyvä kun (v i, w i 2, joten derivaatat d 2,, d n 1 on yksikäsitteisesti määrätty annetuilla d 1 ja d n Virhearvio. Lause 3.3. Oletetaan f(x C 4 [x 1, x n ]. Olkoon s(x paloittain määritelty bikuubinen interpolantti siten että s(x i = f(x i ja s (1 (x i = d i ja (v i, w i > 1. Tällöin kaikilla x [x i,x i+1 ] pätee f(x s(x missä h i max { f (1 4 e i d i, f (1 i+1 d i+1 } i + 1 ( h 4 384e i f (4 i (1+ max {v i,w i } 3 /4 i + 4 h 3 i f (3 i max { v i 3, w i 3 } { 1+(min {vi,w e i = i } 3/4, 1, + 12h 2 i f (2 i max { 2 v i w i 3, 2w i v i 3 } + 24h i f (1 i v i w i, 1 < min {v i,w i }<3, min {v i,w i } 3, ja f (r i = max f (r (x. Jos oletetaan v i = w i = α i > 1, niin väite suppenee [x i,x i+1 ] muotoon [ DG85b] f(x s(x h i 4e i ( max { f (1 i d i, f (1 i+1 d i+1 }+ 1 ( h 3 96 i f (4 i (1 + α i 3 /4 + 4 α i 3 (h 2 i f (3 i +3h i f (2 i, missä { (1 +αi /4, e i 1, 1<α i < 3, α i 3.
28 28 Osio 3 Todistus. Koska x [x i, x i+1 ] ja x(θ = x i + θh i, niin voidaan merkitä F i (θ = f(x(θ. Meitä kiinnostaa siis erotus f(x s(x = F i (θ P i(θ Q i (θ. Voimme rajoittaa virhettä Hermiten polynomin virheen avulla, kun huomaamme että F i(θ P i(θ Q i (θ F i(θ Q i (θ P i (θ + P i (θ P i (θ, (3.41 Q i (θ missä P i (θ = f i (1 θ 3 + (v i f i +h i f (1 i θ (1 θ 2 + (w i f i+1 h i f (1 i+1 θ 2 (1 θ + f i+1 θ 3. Koska (v i, w i > 1, niin P i on kuutiollinen Hermiten interpolaatiopolynomi, joka interpoloi funktiota F i (θ Q i (θ välillä 0 θ 1. Sille pätee virhearvio [db78, s. 51], jolla F i (θ Q i (θ P i (θ ( 4 { 1 d max θ 1 dθ 4(F i(θ Q i (θ } 1 4! = max F (4 i (θ Q i (θ + 4F (3 i (θ Q (1 i (θ 0 θ 1 + 6F (2 i (θ Q (2 i (θ+4f (1 i (θ Q (3 i (θ + F i (θ Q (4 i (θ = max F (4 i (θ Q i (θ + 4F (3 i (θ Q (1 i (θ 0 θ 1 + 6F (2 i (θ Q (2 i (θ+4f (1 i (θ Q (3 i (θ, ja viimeinen koska Q i (θ on kuutiollinen. Nyt koska Q i (θ (1 θ 3 + max {v i,w i }(θ (1 θ 2 +θ 2 (1 θ +θ 3 = 1+(max {v i,w i } 3θ (1 θ, (3.42 Q i (1 (θ = (v i 3 (1 θ 2 + 2(w i v i θ (1 θ+(3 w i θ 2 = (w i 3 (1 θ 2 +v i w i + 4 (w i v i θ (1 θ + (3 v i θ { 2 (vi 3 (1 θ 2 + (3 w i θ 2, kun v i > w i, (w i 3(1 θ 2 + (3 v i θ 2, kun v i < w i, Q (2 i (θ = { 6(v i w i θ + 2(w i 2 v i + 3 2(vi 2w i + 3, kun v i > w i, 2(w i 2v i + 3, kun v i < w i, Q i (3 (θ = 6(v i w i,
29 Interpolaation ominaisuuksia 29 niin saadaan Q i (θ 1 + max {v i,w i } 3 /4, (3.43 Q (1 i (θ max { v i 3, w i 3 }, Q (2 i (θ 2 max { 2v i w i 3, 2w i v i 3 }, Q (3 i (θ = 6 v i w i. Lisäksi koska F (j i (θ h j i f (j i, kun x [x i,x i+1 ], niin saamme ylärajan F i (θq i (θ P i (θ 1 ( h i f (4 i (1 + max {v i,w i } 3 /4 + 4 h 3 i f (3 i max { v i 3, w i 3 } Lisäksi nähdään että P i (θ P i (θ = + 12h 2 i f (2 i max { 2 v i w i 3, 2w i v i 3 } + 24h i f (1 i v i w i. ( h i θ (1 θ (f (1 i d i (1 θ + (d i+1 f (1 i+1 θ 1 4 h i max { f (1 i d i, f (1 i+1 d i+1 }. Väite seuraa, kun epäyhtälön (3.41 jakajaa minimoidaan muuttujalla e i, jolla { 1+(min {vi,w Q i (θ e i i } 3/4, 1<min {v i,w i }<3, 1, min {v i,w i } 3. Korollaari 3.1. Olkoon x [x i,x i+1 ]. i. Jos d i f (1 (1 i =O(h i =d i+1 f i+1 niin f(x s(x = O(h 2 i. ja v i 3=O(1=w i 3 ja v i w i =O(h i, ii. Jos d i f (1 i =O(h 2 i =d i+1 f (1 i+1 ja v i 3=O(h i =w i 3 ja v i w i =O(h 2 i, niin f(x s(x = O(h 3 i. iii. Jos d i f (1 i =O(h 3 i =d i+1 f (1 i+1 ja v i 3=O(h 2 i =w i 3 ja v i w i =O(h 3 i, niin f(x s(x = O(h 4 i. Muotokertoimet kannattaa siis valita siten että v i =w i = 3 +O(h 2 i tai v i =w i = 3 + O(h i kaikilla i=1,,n, jolloin interpolantti on O(h 4 tai O(h 3, kun h= max h i. 1 i n 1 Huomioitavaa 3.5. Paperissa [Sar03] lauseen 3.3 suppean muodon virheen ylärajalle on esitetty kerrointa 1 < 1. Lauseen todistusta ei ole esitetty. Virhearvio esitetään lisäksi oletuksella (v i, w i α i > 1. On selvää, että tämä oletus ei ole riittävä lauseen 3.3 suppeaan muotoon. Jos esimerkiksi β i = v i = w i > α i 3, niin Q i ( 1 =1+ β 2 i 3 /4 > 1+ α i 3 /4, joka on vastoin oletusta (3.43.
30 30 Osio 4 4. Interpolaation muotoehdot Tässä osiossa käydään läpi interpolantille asetettavat muoto-ominaisuudet, eli positiivisuus, monotonisuus ja konveksisuus. Kappaleiden alussa käydään ominaisuudet läpi lyhyesti. Positiivisuudelle johdetaan kappaleen alussa eksaktit ehdot, ja monotonisuudelle sekä konveksisuudelle olemassaolo-ehdot. Sen jälkeen kyseisiä ominaisuuksia sovelletaan kappaleessa C 1 ja C 2 splineihin. Muotoehtojen pakottamat ratkaisut ovat dynaamisia, koska muotoparametrit v i, w i riippuvat tällöin datasta. Ne voivat olla siis myös epälineaarisia, eli edellisen kappaleen lineaarinen C 2 ratkaisu ja sen olemassaolo-ehdot eivät tällöin päde. Osion lopussa tarkastellaan muotoehtojen yhdistelyä. f-funktio pisteissä x i s C 1 s C 2 Arvo: f(x = f i = s(x i Derivaatta: f (x d i = s (1 (x i Positiivisuus: 4.3 Määr f i & Monotonisuus: Määr i 0, d i Konveksisuus: Määr d 1 1 n 1 d n Taulukko 4.1. Muotolauseet 4.1. Positiivisuus. Yhtälön (3.23 perusteella tiedämme, että positiivisuus voidaan aina saavuttaa positiivisella datalla, kunhan muotoparametreja v i ja w i kasvatetaan riittävästi. Tutkitaan ensin, milloin P(θ = α θ 3 + β θ 2 + γ θ + δ 0, kun θ [0, 1]. Tutkiminen suljetulla välillä on ongelmallista, joten asettamalla t θ/(1 θ saamme sen ekvivalenttiin muotoon. Eli f(t = at 3 +bt 2 +ct+d 0 kaikilla t 0 (4.1 aθ3 (1 θ + bθ2 3 ( 1 θ + cθ +d θ (4.2 (a b+c dθ3 + (b 2c + 3d θ 2 + (c 3d θ +d 0 ( 1 θ 3 (4.3 αθ 3 + βθ 2 + γθ +δ 0, (4.4 on ekvivalentti sen kanssa, kun a =α+ β + γ +δ, b = β + 2 γ + 3 δ, c = γ + 3 δ, d =δ. (4.5
31 Interpolaation muotoehdot 31 Rajaehdot, eli välttämättömät ehdot ei-negatiivisuudelle ovat tällöin eli P(0= f(0 0 ja P(1 = f( 0, a 0 ja d 0. (4.6 Lemma 4.1. f(t=at 3 +bt 2 +ct+d 0 kaikilla t 0 jos ja vain jos a 0 ja d 0 ja { b 0, c 0, tai 4b 3 d + 4 c 3 a + 27 a 2 d 2 18abcd b 2 c 2 0. Todistus. Jakamalla ensin a:lla (a > 0, ja tekemällä sen jälkeen muuttujanvaihdoksen, voidaan yhtälö saattaa muotoon missä f(u = u 3 3 pu+ q 0, u b/3, (4.7 u =t+b/3, p = (b 2 3 c/9, q = (2b 3 9 bc+27d/27. Tämä saavuttaa ääriarvonsa, kun f (1 (u = 3u 2 3p=0, eli kun u b = p 2 3c =. 3 Tällöin f(u 0 kolmessa eri tapauksessa. Ensinnäkin se toteutuu kun u on imaginaarinen eli kun b 2 < 3c. Lisäksi f(t on kasvavana funktiona positiivinen kaikilla u b/3, jolloin b 0, c 0, b 2 3 c. Kolmas tapaus on se, että minimi-piste u on tarkastelu-alueessamme eli mutta c 0, b 2 3 c, tai b 0, b 2 3 c, f(u = 2 p 3/2 + q 0. Koska 2 p 3/2 + q 0 pätee kaikilla c b 2 /4, tämä on ekvivalentti sen kanssa, että 4 p 3 + q 2 0. Kun yhdistämme ehdot, saamme että f(u 0, kun b 0, c 0, tai 4 b 3 d + 4 c d 2 18bcd b 2 c 2 0.
32 32 Osio 4 eli kun a 0, b 0, c 0, d 0, tai a 0, d 0, 4b 3 d + 4c 3 a + 27 a 2 d 2 18a bcd b 2 c 2 0. (4.8 Jos a = 0, on ratkaisu yhtäpitävä. Sillä jos determinantille c 2 4bd > 0, niin täytyy päteä b 0, jotta f(t 0 kaikilla t 0. Toisaalta täytyy olla c 0, jotta minimikohdalle c/2b 0. Myös c 2 4bd 0 on tällöin yhtäpitävä (4.8 kanssa. Voimme johtaa samoin neliöllisen polynomin positiivisuusehdot, eli selvittää milloin P(θ=βθ 2 +γθ+δ 0 kaikilla θ [0,1]. Asettamalla aluksi t θ/(1 θ saamme sen ekvivalenttiin muotoon missä f(t = bt 2 +ct+d 0 kaikilla t 0 (4.9 bθ2 ( 1 θ + cθ +d θ (4.10 (b c + d θ2 + (c 2d θ +d 0 ( 1 θ 2 (4.11 β θ 2 + γ θ +δ 0, (4.12 b = β + γ +δ, c = γ + 2δ, d =δ. (4.13 Välttämättömät ehdot ei-negatiivisuudelle ovat tällöin b 0 ja d 0. (4.14 Lemma 4.2. f(t = a t 2 +bt+c 0, kaikilla t 0 jos ja vain jos a 0 ja c 0 ja b 2 ac. Todistus. Saamme lemmasta 4.1 sijoittamalla, että c 0, ja { a 0,b 0, tai 4a 3 c a 2 b 2 0, eli { a 0,b 0, tai 2 a c b 2 a c. Lemma 4.3. f(t= a t3 + b t 2 + c t + d >0 kaikilla t 0 jos ja vain jos a>0 ja d>0 ja (t+1 3 { b 0, c 0, tai 4b 3 d + 4 c 3 a + 27 a 2 d 2 18abcd b 2 c 2 > 0. Todistus. Muuten samoin kuin lemman 4.1 todistuksessa, mutta meidän täytyy säilyttää välttämättömät ehdot (a,d>0, koska muuten f(t=0, aina kun t 0 tai t. Lauseen ensimmäinen positiivisuus-ehto on tällöin sama, mutta toisen ehdon tapauksessa saamme f(u >0.
33 Interpolaation muotoehdot Positiivinen C 1 splini. Lause 4.1. Jos (f i, f i+1 [ > ]0, niin P i (θ [ > ] 0, kun θ [0, 1] jos ja vain jos (v i,w i X i Y i, missä X i = {(x, y: xf i h i d i, yf i+1 h i d i+1 }, Y i = { (x,y: x 2 2 d i+1 h 2 i f 2 i +2x 2 d i+1 yh i f 2 i f i+1 x 2 y 2 f i f i+1 2xd i+1 d i h 3 i f i +4xd i+1 d i yh 2 i f i f i+1 2xd i y h i f i f i+1 d i+1 d 2 i h 4 i +2d i+1 d 2 i yh 3 i f i+1 d 2 i y 2 h 2 2 i f i+1 Todistus. +4x 3 f 3 i f i+1 +12x 2 d i h i f 2 i f i+1 +12xd 2 i h 2 3 i f i f i+1 4d i+1 h 3 2 i f i +12d i+1 yh 2 i f i f i+1 12d i+1 y 2 2 h i f i f i+1 +4d 3 i h 3 i f i+1 +4y 3 3 f i f i+1 +18xd i+1 h i f 2 i f i+1 18xyf 2 2 i f i+1 +18d i+1 d i h 2 2 i f i f i+1 18d i yh i f i f i+1 +27f 2 2 i f i+1 [>]0 }. P i (θ = f i (1 θ 3 + (v i f i +h i d i θ (1 θ 2 + (w i f i+1 h i d i+1 θ 2 (1 θ + f i+1 θ 3 = f i + (v i f i +h i d i t+(w i f i+1 h i d i+1 t 2 + f i+1 t 3 (1+t 3, joten väite seuraa lemmoista 4.1 ja 4.3 kun valitaan a = f i+1, b =w i f i+1 h i d i+1, c =v i f i +h i d i, d = f i. Huomioitavaa 4.1. Papereissa [SBH01, SH06] käytetään positiivisuus-tulosta artikkelista [BB93], jossa derivaattoja (d i,d i+1 on rajoitettu oletuksella v i =w i =3, mainitsematta tätä. Tällä oletuksella on Q(0 = Q(1 = 1, joten saadaan epäyhtälöt s (1 (x i = d i = P i (0 h i = v if i +h i d i 3 f i h i > 3f i h i, s (1 (x i+1 = d i+1 = P i (1 h i = 3 f i+1 w i f i+1 +h i d i+1 h i < 3f i+1 h i, jota he käyttävät rajoittamaan muotoparametreja yleisessä tapauksessa. Lause 4.2. Q i (θ>0, kun θ [0, 1] jos ja vain jos { vi 0, w i 0, tai 4w i 3 + 4v i 3 18v i w i v i 2 w i >0 Todistus. Väite seuraa lemmasta 4.3, kun θ = t/(1 + t ja a = 1, b =w i, c =v i, d = 1. Kootaan riittävät positiivisuusehdot lauseeksi.
34 34 Osio 4 Lause 4.3. Jos (f i, f i+1 >0 kaikilla i=1, { {,n 1, niin s(x>0, x [x 1,x n ], kun v i max 0, h i d i ja w i max 0, h i d i+1 kaikilla i=1,,n 1. Jos f i =0 jollain f i } i=1,,n, niin s(x 0, kun d i = 0. f i+1 } Todistus. Jos f i = 0, niin täytyy olla d i 0 ja toisaalta d i 0. Jos yhteistä kerrointa merkitään r v i = w i, niin kannattaa valita alarajaksi esimerkiksi { r i = 3 + max 0, h id i, h } id i+1, (4.15 f i f i+1 jolloin derivaattojen sopivalla valinnalla interpolantti saavuttaa O(h 3 tarkkuuden. Huomioitavaa 4.2. Paperissa [SH06] kertoimeksi valitaan { r i = 1+max max {0, h id i } p i, max {0, h } id i+1 } q i, missä p i, q i 1. f i f i Positiivinen C 2 splini. Jos haluamme yhdistää positiivisuuden C 2 ehtoihin, niin maksimi-funktio on ongelmallinen. Esimerkiksi valinnasta (4.15 seuraa yhtälöä, ja jos näitä yritetään soveltaa, niin prosessin pysähtymisestä ei ole takeita. Tiedämme kuitenkin lemmasta 3.2, että derivaatat ovat äärelliset kaikilla r i >2, ja että riittävän suurilla (v i, w i interpolantti on aina positiivinen (3.26. Tiedämme lisäksi että sileysehdot lähestyvät tällöin diagonaalista järjestelmää (3.40. Voimme siis kokeilemalla kasvattaa muotoparametreja, kunnes sileysehdot toteuttavat lauseen 4.1. Merkitään Tällöin saamme. r i 3 +u i, u i 0. (4.16 Lause 4.4. Jos f i >0 kaikilla i=1,,n 1 ja v i =w i =r i 3+u i, niin yhtälöiden ( 3.21, ( 3.33 splini s C 2 [x 1,x n ] on positiivinen välillä [x 1,x n ] jos ja vain jos (d i, d i+1 X i Y i kaikilla i=1,,n 1, missä X i = Y i = { (x, y: x (3+u if i h i, y (3+u if i+1 h i { (x, y: 4f i ((3 +u i f i+1 h i y 3 + 4f i+1 ((3 +u i f i +h i x f i+1 f i 18f i f i+1 ((3 +u i f i+1 h i y ((3 +u i f i +h i x ((3 +u i f i+1 } h i y 2 ((3 +u i f i +h i x 2 > 0. Todistus. s C 2 [x 1,x n ], kun ratkaistaan }, h i d i 1 + [h i (2 +u i 1 +h i 1 (2 +u i ]d i +h i 1 d i+1 = h i (3 +u i 1 i 1 +h i 1 (3+u i i. (4.17
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 7. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 7 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 1 / 43 Luennon 7 sisältö Interpolointi ja approksimointi Interpolaatiovirheestä Paloittainen
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotFunktioiden approksimointi ja interpolointi
Funktioiden approksimointi ja interpolointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics interpolaatio-ongelma 8 Eksponenttifunktion exp(x) interpolointi 3.5 Funktion e^{0.25x} \sin(x) interpolointi 7 3
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 10. Kurssikerta Petrus Mikkola 22.11.2016 Tämän kerran asiat Globaali ääriarvo Konveksisuus Käännepiste L Hôpitalin sääntö Newtonin menetelmä Derivaatta ja monotonisuus
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
Lisätiedotx j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu
2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 8 To 29.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 8 To 29.9.2011 p. 1/36 p. 1/36 Interpolointi kuutiosplinillä Osavälit: I i = [t i 1,t i ], i = 1,2,...,n
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
LisätiedotIteratiiviset ratkaisumenetelmät
Iteratiiviset ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Yleinen iteraatio Lineaarisen yhtälöryhmän iteratiivinen ratkaisumenetelmä voidaan esittää muodossa: Anna alkuarvaus: x 0 R n
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Lokaalit ääriarvot Yhden muuttujan funktion f (x) lokaali maksimi on piste x 0, jossa f (x) on suurempi kuin muualle pisteen x 0 ympäristössä, eli kun f (x 0 )
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 7 Ti 27.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti 27.9.2011 p. 1/39 p. 1/39 Interpolointi Ei tunneta funktion f : R R lauseketta, mutta tiedetään funktion
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
LisätiedotDuaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki
Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Duaalisuus binäärisissä optimointitehtävissä Lagrangen duaalisuus Lagrangen
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
LisätiedotLuku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikoe
Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
Lisätiedotf(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 7 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset 6.. Olkoon f : G R, G = {(x, x ) R x > }, f(x, x ) = x x. Etsi differentiaalit d k f(, ), k =,,. Ratkaisu:
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen
Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotTaustatietoja ja perusteita
Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
LisätiedotEpälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
Lisätiedotk=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu
LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotBM20A1501 Numeeriset menetelmät 1 - AIMO
6. marraskuuta 2014 Opetusjärjestelyt Luennot + Harjoitukset pe 7.11.2014 10-14 2310, 14-17 7337 la 8.11.2014 9-12 2310, 12-16 7337 pe 14.11.2014 10-14 2310, 14-17 6216 la 15.11.2014 9-12 2310, 12-16 7337
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
LisätiedotKonjugaattigradienttimenetelmä
Konjugaattigradienttimenetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Konjugaattigradienttimenetelmä Oletukset Matriisi A on symmetrinen: A T = A Positiivisesti definiitti: x T Ax > 0 kaikille x 0
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Lisätiedot3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen
Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
LisätiedotPienimmän neliösumman menetelmä
Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
LisätiedotLikimääräisratkaisut ja regularisaatio
Luku 3 Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Käytännön inversio-ongelmissa annettu data y ei aina ole tarkkaa, vaan sisältää häiriöitä. Tuntemattomasta x on annettu häiriöinen data y F (x + }{{}}{{} ε.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotEpäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan
LisätiedotSarjojen suppenemisesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotEllipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio
Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotEsimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).
Esimerkki 9 Esimerkissä 6 miniminormiratkaisu on (ˆx, ˆx (, 0 Seuraavaksi näytetään, että miniminormiratkaisuun siirtyminen poistaa likimääräisongelman epäyksikäsitteisyyden (mutta lisääntyvän ratkaisun
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
Lisätiedot2. Teoriaharjoitukset
2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien
LisätiedotNumeerinen integrointi ja derivointi
Numeerinen integrointi ja derivointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Interpolaatiokaavat Approksimoitava integraali I = b a f(x)dx. Tasavälinen hila: x i = a+ (b a)i n, i = 0,...,n Funktion
LisätiedotRollen lause polynomeille
Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedot2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo
2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
Lisätiedota) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:
6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,
Lisätiedot1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ
Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän
Lisätiedotb 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotEste- ja sakkofunktiomenetelmät
Este- ja sakkofunktiomenetelmät Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Luennon kulku Este- ja sisäpistemenetelmät LP-ongelmat ja logaritminen estefunktio Polun seuranta Newtonin menetelmällä Sakkofunktiomenetelmistä
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotReuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät
Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Malliprobleema Kahden pisteen reuna-arvotehtävä u (x) = f (x) (1) u() = u(1) = Jos u C ([,1]) ratkaisu, niin missä x u(x)
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
LisätiedotSarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,
Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotHarjoitus 7: vastausvihjeet
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.
Lisätiedot