Aikasarjojen ennustaminen oikealla ja

Transkriptio

1 Mat-.8 Soveetun matematiian erioistyöt Aiasarjojen ennustaminen oieaa ja väärää ARMA-maia Matti Vuorinen 553C 4. oauuta 3

2 Sisätö Johdanto 3 Teoriaa 3. Stationaarisen aiasarjan tunnusuvut Lineaarinen prosessi AR-prosessit AR()-prosessi AR()-prosessi MA-prosessit MA()-prosessi MA()-prosessi ARMA-prosessi ARMA(,)-prosessi Ennustaminen Simuoidut aiasarjat 7 3. Aiasarjojen generointi AR(.8)-prosessi AR(-.8)-prosessi AR(.5,.4)-prosessi AR(-.5,.4)-prosessi AR(., -.8)-prosessi AR(-., -.8)-prosessi MA(.8)-prosessi MA(-.8)-prosessi MA(.5,.4)-prosessi MA(-.5,.4)-prosessi MA(., -.8)-prosessi

3 3.3 MA(-., -.8)-prosessi ARMA(.8,.5)-prosessi ARMA(-.8,.5)-prosessi ARMA(.8, -.5)-prosessi ARMA(-.8, -.5)-prosessi Todeinen aiasarja 5 5 Johtopäätöset 5

4 Johdanto Aiasarja on jouo havaintoja, jota tapahtuvat perääisinä ajanhetinä. Taouden, pörssiurssien, sääoojen ja monien muiden imiöiden ehittymistä voidaan uvata aiasarjojen avua. Erityisen mieeniinnon ohteesi muodostuu se, minäaisia srvioita tuevasta voidaan aiasarjojen avua tehdä. Monet yrityset ja miseivät ysityiset ihmisetin ovat varmasti iinnostuneita siitä, miten marinat tuevat ehittymään ja vastaamaan mahdoiseen ysyntään oiea-aiaisea ja -ooisea tarjonnaa. Aiasarjojen toivotaan siis toimivan eräänaisena nyyajan ristaipaona, joa voi ennustaa tuevaisuutta. Ennustamista varten aiasarjan äyttäytyminen uitenin pitää pystyä seittämään joninaisea maia. Erään täaisen maintamismenetemän muodostavat niin sanotut ARMA-mait, joissa aiasarjan äyttäytymistä pyritään seittämään aiasarjasta jo tehdyiä havainnoia. Näiden maien avua voidaan onstruoida myös intuitiivinen tapa ennustaa. Täysin ongematonta ei ennustusesta tue ARMA-maien avuaaan. Ensinnäin ennusteita voi äyttää ainoastaan yhyeä aiaväiä. Toisesi aiasarjan tuottanut prosessi pitää tunnistaa oiein ennustusen onnistumisesi. Tässä työssä tunnettuun prosessiin sovitetaan aupään havaintojen perusteea oiea ja väärä main ARMA-mai, minä jäeen tutitaan maien tuottamia ennustusteita sarjan oppupään havaintojen osata. Teoriaa. Stationaarisen aiasarjan tunnusuvut Disreetit aiasarjat, joita tässä työssä äsiteään, oostuvat tiettyjä ajanhetiä τ, τ,..., τ N vastaavista havainnoista (τ ), (τ ),..., (τ N ). Havainnot tehdään tasaisin aiaväein, josaan absouuttinen aia ei oe erityisen täreä piirre. Jos aiasarjan tuevat arvot voidaan määrittää tarasti joain matemaattisea funtioa, sanotaan sarjaan deterministisesi. Jos taas sarjan tuevia arvoja voidaan uvata vain todennäöisyyjaaumien avua, puhutaan tiastoisesta aiasarjasta. Tiastoinen aiasarja on jonin stoastisen prosessin reaisaatio. Stationaarinen aiasarja on erityinen stoastinen prosessin imentymä, jossa prosessin oetetaan oevan tiastoisessa tasapainossa. Stationaarista aiasarjaa voidaan uvata sen esiarvon, varianssin ja autoorreaatiofuntion avua. Stationaarisuusoetus taroittaa sitä, että todennäöisyysjaauma p( t ) pysyy samana aiia t:n arvoia. Tästä syystä stationaarisea prosessia on vaio-odotusarvo µ = E[ t ] = p()d, (..) joa määrittää prosessin todennäöisyysmassan painopisteen, jona ympäriä havainnot vaihteevat seä vaiovarianssi 3

5 σ = E[( t µ) ] = ( t µ) p()d, (..) joa uvaa prosessin vaihteua todennäöisyysmassan painopisteen ympäriä. Prosessin odotusarvoe voidaan asea estimaatti aiasarjan havainnoista = N t. (..3) N t= Samaten varianssie saadaan estimaatti aiasarjasta ˆσ = N N ( t ). (..4) t= Stationaarisuusoetusesta seuraa myös se, että ahden havainnon yhteisjaauma p( t, t ) on sama aiie ajanhetie t, t, joiden väi on vaio. Havaintojen t ja t+, joita erottaa aiaysiöä, väistä ovarianssia sanotaan autoovarianssisi viipeeä γ = cov[ t, t+ ] = E[( t µ)( t+ µ)]. (..5) Aiasarjan ahden havainnon autoorreaatio viipeeä määriteään ρ = E[( t µ)( t+ µ)] E[(t µ) ]E[( t+ µ) ] = E[( t µ)( t+ µ)], (..6) σ missä on äytetty hyväsi oetusta siitä, että varianssi on sama heteä t + uin heteä t. Kun todetaan, että autoovarianssi viipeeä noa on sama uin varianssi, saadaan aava (..6) muotoon ρ = γ γ. (..7) Stationaarisen aiasarjan autoorreaatioa on seuraavat ominaisuudet ([7], s.4). ρ =. ρ = ρ (af:n symmetrisyys) 3. ρ aiie. Kun autoorreaatiot ρ piirretään uvaajaan viipeen funtiona puhutaan autoorreaatiofuntiosta. Autoorreaatiofuntio on symmetrinen viipeen = suhteen, joten aii tieto autoorreaatiosta voidaan esittää piirtämää uvaajan positiivinen puoi. 4

6 Ääreisen aiasarjan tapausessa autoorreaatiot estimoidaan aavaa ([6], HELP/NCSS/Time Series Anaysis and Forecasting/Autocorreations/Introduction/) r = N t= ( t )( t+ ) N t= ( t ). (..8) Stationaarisee aiasarjae voidaan määrittää myös osittaisautoorreaatiofuntio φ, joa uvaa stoastiseen prosessiin iittyvien havaintojen s ja s väistä orreaatiota un ajanhetien s ja s + väiin jäävien havaintojen vaiutus on poistettu. Tässä työssä äsitetävien aiasarjojen anaysoinnissa äytetty ohjemisto asee osittaisautoorreaatioertoimet reursiivisesti aavoia ([6], HELP/NCSS/Time Series Anaysis and Forecasting/Autocorreations/Introduction/) ˆφ (+)j = ˆφ j ˆφ (+)(+) ˆφ( j+) ˆφ (+)(+) = r + ˆφ j= j r + j (..9) ˆφ j= j r j Osittaisautoorreaatiofuntioa on seuraavat ominaisuudet ([7], s.7). φ =. φ = φ 3. φ 4. φ = ρ. Auto- ja osittaisautoorreaatiofuntioita voidaan äyttää hyväsi aiasarjan tunnistamisessa.. Lineaarinen prosessi Yeisessä ineaarisessa maissa oetetaan, että aiasarja on satunnaisten, vaoista ohinaa oevien, jäännöstermien ineaariombinaatio. Stoastinen prosessi on vaoista ohinaa, jos sen jäännöstermi a t täyttää seuraavat vaatimuset ([], s.33). E[a t ] =. V ar[a t ] = σ a 3. Cor[a t, a s ] =, t s. 5

7 Näin oen yeinen ineaarinen mai uvaa aiasarjaa yhtäöä missä t = a t + ψ a t + ψ a t +... = a t + t = t µ. ψ j a t j, (..) Kaavasta (..) voidaan pääteä, että t voidaan uvata myös edeisten t :n painotetun summan ja satunnaisen termin avua muotoon j= t = π t + π t a t = π j t j + a t. (..) j= Yhtäö (..) voidaan irjoittaa viiveoperaattorin L avua muotoon missä ( ) t = + ψ j L j a t = ψ(l)a t, (..3) j= L t = t ja L j t = t j. Samaan tapaan voidaan irjoittaa ertoimet π j viiveoperaattorin avua muotoon missä π(l) t = a t, (..4) π(l) = π j L j. j= Kun yhtäöä (..4) operoidaan moemmie puoie termiä ψ(l) saadaan ψ(l)π(l) t = ψ(l)a t = t. Joten ψ(l)π(l) = π(l) = ψ (L). Lineaarinen prosessi on stationaarinen, jos sarja ψ(l) suppenee aiia L, L C. Lineaarinen prosessi on puoestaan äännettävä, jos sarja π(l) suppenee aiia L, L C ([], s. 5). Kaavojen (..) ja (..) esitystavat eivät oe ovinaan äyttöepoisia, osa ne oostuvat äärettömästä määrästä termejä ψ j ja π j. Stone-Weierstrassin auseen muaan 6

8 funtio voidaan approsimoida mieivataisen tarasti ahden ääreisen poynomin suhteea. Näin oen on mahdoista irjoittaa mai, joa sisätää äärettömän määrän termejä, ahden ääreisen poynomin suhteena ([4] s. 4). π(l) φ(l) θ(l) Oetetaan, että yä oevassa approsimaatiossa osoittaja on vaio ja nimittäjäpoynomissa on q appaetta noasta poieavia ertoimia. Täöin mai voidaan irjoittaa muotoon t = a t θ a t θ a t... θ q a t q. (..5) Tätä maia utsutaan MA(q)-prosessisi. Oetetaan nyt, että osoittajapoynomin p ensimmäistä errointa ovat noasta poieavia, un taas nimittäjäpoynomi on vaio. Mai voidaan irjoittaa muotoon t = φ t + φ t φ p t p + a t. (..6) Tämä mai tunnetaan AR(p)-prosessina. Josus aiasarjan seittämiseen on syytä äyttää seä prosessin reaisaatioita että satunnaisia termejä. Täöin puhutaan ARMA(p, q)-maista, jona esitys on t = φ t φ p t p + a t θ a t... θ q a t q. (..7).3 AR-prosessit Yeisen AR(p)-prosessin ertoimien φ(l) t = a t (.3.) tuee toteuttaa samantapainen stationaarisuusehto uin ineaarisen prosessin. Yhtäö (.3.) voidaan saattaa yhtäön (..3) ataiseen muotoon, jooin t = φ (L)a t. (.3.) Yhtäöstä (.3.) nähdään, että AR(p)-prosessi oisi stationaarinen tuee sarjan φ (L) supeta aiia L. Tämä ehto voidaan myös imaista sanomaa, että viivepoynomin φ(l) = φ L... φ p L p = (.3.3) juurien tuee oa ysiöympyrän uopuoea ([], s.54). Kosa poynomi φ(l) on ääreistä astetta, on AR(p)-prosessi aina äännettävä. 7

9 AR(p)-prosessin autoorreaatiofuntioa on asi ominaista piirrettä riippuen siitä ovato viivepoynomin juuret reaaisia vai ompesisia. Jos viivepoynomin juuret ovat reaaisia, on autoorreaatiofuntion muoto esponentiaaisesti vaimeneva. Kun viivepoynomia on asi ompesista juurta, nämä tuottavat autoorreaatiofuntioon vaimenevan sinitermin. Tätä imiötä utsutaan pseudosyisyydesi ([], s.59). Kun autoregressiivisen yhtäön (..6) moemmat puoet errotaan termiä t saadaan t t = φ t t + φ t t φ p t t p + t a t. (.3.4) Kun yhtäöstä (.3.4) otetaan odotusarvot moemmita puoita, saadaan γ = φ γ + φ γ φ p γ p >. (.3.5) Kun yhtäön (.3.5) moemmat puoet jaetaan termiä γ saadaan AR-prosessin autoorreaatiofuntioe samanainen differenssiyhtäö uin se jona havainnot toteuttavat ρ = φ ρ + φ ρ φ p ρ p >. (.3.6) Yhtäöstä (.3.6) saadaan AR(p)-prosessie p appaetta ineaarisia yhtäöitä joita utsutaan Y ue W aer-yhtäöisi ([], s.64). Kun autoorreaatiot tiedetään voidaan näistä yhtäöistä rataista aiasarjan autoregressio ertoimet. Myös osittaisautoorreaatiofuntio voidaan rataista yhtäöiden perusteea. Meritään φ j :ä AR()-prosessin j:ttä errointa. Täöin voidaan Y ue W aer-yhtäöt irjoittaa muotoon ρ ρ... ρ ρ ρ... ρ ρ ρ ρ 3... φ φ. φ = ρ ρ. ρ (.3.7) Rataisemaa yhtäöt (.3.7) arvoie =,,... saadaan määritettyä osittaisautoorreaatiot φ. AR(p)-prosessin osittaisautoorreaatiofuntio φ saa noasta poieavia arvoja un p ja arvon noa un > p. Toisin sanoen osittaisautoorreaatiofuntio ateaa viipeen p jäeen ([], s.65)..3. AR()-prosessi AR()-prosessi on aui irjoitettuna ( φ L) t = a t. (.3.8) 8

10 Stationaarisuuden taaamisesi viivepoynomin juurien pitää oa ysiöympyrän uopuoea. Toisin sanoen L =. (.3.9) Juuren anayyttisesta rataisusta (.3.9) saadaan ehto ertoimee φ φ < φ <. (.3.) Yhtäöstä (.3.6) saadaan rataistua AR()-prosessin autoorreaatiofuntion muoto josta saadaan reursioa ρ = φ ρ, > (.3.) ρ = φ (.3.) Positiivisea ertoimea φ varustetun aiasarjan autoorreaatiofuntio vaimenee esponentiaaisesti siten, että autoorreaatiofuntio on oo ajan positiivinen. Negatiivinen erroin puoestaan aiheuttaa esponentiaaisesti vaimenevan autoorreaatiofuntion, jossa joa toinen arvo on negatiivinen. Osittaisautoorreaatiofuntioe voidaan asea Y ue W aer-yhtäöistä muoto φ = { ρ = > (.3.3).3. AR()-prosessi AR()-prosessi on aui irjoitettuna ( φ L φ L ) t = a t. (.3.4) Jäeen viivepoynomin juurien pitää oa ysiöympyrän uopuoea, mistä saadaan ehdot ertoimie φ ja φ ([9], s.43) φ + φ < φ φ < < φ < (.3.5) Kuvassa. on esitetty AR()-prosessin ertoimien saittu aue. Kuvaan on väritetty aue, jossa viivepoynomin juuret ovat ompesiset. Auto- ja osittaisautoorreaatiofuntioiden muodot eroavat toisistaan uvaan merityissä aueissa -4. 9

11 φ Kompesiset juuret 3 4 φ Kuva.: AR()-prosessin ertoimien saittu aue. AR()-prosessin autoorreaatiofuntio rataistaan myös yhtäöstä (.3.6) Miäi ρ = φ ρ + φ ρ, > (.3.6) φ + 4φ autoorreaatiofuntio vaimenee esponentiaaisesti, joo vaihdeen etumeriä (φ < ) tai oen oo ajan positiivinen. Jos taas φ + 4φ < voidaan autoorreaatiofuntioe johtaa muoto ([], s.59) missä ρ = (sgn(φ )) d sin(πf + F ), (.3.7) sin F d = φ cos πf = φ φ tan F = +d tan πf d.4 MA-prosessit Yeisen MA(q)-prosessin t = θ(l)a t (.4.) viivepoynomien aste on ääreinen, joten MA-prosessi on aina stationaarinen. Sen sijaan äännettävyyden varmistamisesi täytyy ertoimien täyttää suppenemisehto. Yhtäö (.4.) voidaan irjoittaa muotoon θ (L) t = a t, (.4.)

12 jooin äännettävyysehto vaatii sarjan θ (L) suppenemista aiia L. Tämä sarja suppenee miäi viivepoynomin juuret ovat ysiöympyrän uopuoea ([], s.67). θ(l) = θ L... θ q L q = (.4.3) MA(q)-prosessin autoorreaatiofuntioe voidaan autoovarianssista johtaa muoto ρ = { θ +θ θ θ q θ q +θ +...+θ q, > q =,,..., q (.4.4) MA(q)-prosessin autoorreaatiofuntio siis ateaa viipeen q jäeen. MA-prosessin osittaisautoorreaatiofuntion muoto määräytyy viivepoynomin (.4.3) juurien ompesisuuden perusteea. Miäi juuret ovat reaaiset, osittaisautoorreaatiofuntio vaimenee esponentiaaisesti, mutta jos muana on ompesisia juuria tuee osittaisautoorreaatiofuntioon muaan vaimeneva sinitermi ([], s.7)..4. MA()-prosessi Käännettävyyden varmistamisesi MA()-prosessin viivepoynomin (.4.3) juurien pitää oa ysiöympyrän uopuoea. Käännettävyys siis rajoittaa main ertoimen arvon väie < θ < (.4.5) Kaavasta (.4.4) saadaan autoorreaatiofuntiosi ρ = { θ +θ = (.4.6) θ -ertoimen rajoitusesta ja autoorreaatiofuntion muodosta nähdään, että MA()- prosessin autoorreaatioertoimien yäraja ei oe ysi, vaan ρ.5 Osittaisautoorreaatiofuntio voidaan määrittää yhtäöiden (.3.7) perusteea ja sie on mahdoista rataista anayyttinen muoto ([], s.7) φ = θ ( θ ) θ (+)

13 .4. MA()-prosessi MA()-prosessin äännettävyysuusehto on vastaava uin AR()-prosessin stationaarisuusehto. Näin oen main ertoimia osevat rajoituset ovat θ + θ < θ θ < < θ < (.4.7) Käännettävyysehto rajaa ertoimien θ ja θ arvot samanaiseen omioon uin on piirretty uvaan. AR()-prosessie. MA()-prosessin autoorreaatiofuntio, yhtäöstä (.4.4) asettuna, on ρ = θ ( θ ) +θ +θ θ ρ = +θ +θ ρ = 3. (.4.8) Autoorreaatioertoimista voidaan Y ue W aer-yhtäöiä (.3.7) rataista osittaisautoorreaatiofuntion muoto..5 ARMA-prosessi Miäi aiasarjaa uvaamaan otetaan seä AR- että MA-termejä, puhutaan seamaista tai ARMA(p, q)-maista, joa toteuttaa differenssiyhtäön (..7) ja voidaan irjoittaa muodossa φ(l) t = θ(l)a t, (.5.) missä φ(l) ja θ(l) ovat viivepoynomeja joiden asteuvut ovat p ja q. Kosa θ(l) on ääreisestä määrästä termejä oostuva sarja, se suppenee aiia L eiä vaiuta main stationarisuuteen. Näin oen mai on stationaarinen, jos poynomin φ(l) juuret ovat ysiöympyrän uopuoea. Samaten mai on äännettävä miäi θ(l):n juuret ovat ysiöympyrän uopuoea. ARMA-prosessin autoorreaatiofuntio voidaan johtaa samaan tapaan uin AR-prosessin ohdaa missä γ = φ γ φ p γ p θ γ a ( )... θ q γ a ( q), (.5.) γ a () = E[ t a t ]. Kosa t riippuu ainoastaan niistä jäännöstermeistä, jota ovat tapahtuneet heteen t mennessä, pätee ([], s.75) γ a () = > γ a ()

14 Näin oen autoorreaatiofuntion q ensimmäistä termiä riippuvat yhtäön (.5.) muaan seä parametreista φ että θ. Tätä oreammat autoorreaatiot määräytyvät ainoastaan parametrien φ perusteea ρ = φ ρ φ p ρ p q + (.5.3).5. ARMA(,)-prosessi ARMA(,)-prosessi on ensimmäinen seamai, jossa on muana seä AR- että MAtermit. Aui irjoitettuna mai on ( φ L) t = ( θ L)a t (.5.4) Prosessin stationaarisuus- ja äännettävyysehdot voidaan johtaa AR()- ja MA()- prosessien vastaavista vaatimusista, jooin < φ < < θ < (stationaarisuus) (äännettävyys) (.5.5) ARMA(,)-prosessin autoorreaatiofuntion ensimmäinen termi riippuu moemmista ertoimista φ ja θ. Muut autoorreaatiot voidaan asea reursiivisesti tästä ensimmäisestä. Autoorreaatiofuntioe saadaan muoto ρ = ( φ θ )(φ θ ) +θ φ θ ρ = φ ρ (.5.6) ARMA(,)-prosessin osittaisautoorreaatiofuntio saa auarvoseen φ = ρ. Miäi θ >, osittaisautoorreaatiofuntio vaimenee esponentiaaisesti ja sen etumeri on sama uin (φ θ ):n. Jos θ on negatiivinen, osittaisautoorreaatiofuntion meri vaihteee siten, että φ :n meri on sama uin (φ θ ):n. Eräänaisen erioistapausen muodostavat mait, joissa φ = θ. Nämä mait ovat vaoista ohinaa ja niiden autoja osittaisautoorreaatiofuntiot ovat uonnoisesti noia. ([], s.78).6 Ennustaminen ARMA-maien avua on mahdoista onstruoida ennusteita aiasarjan pohjata. Nämä ennusteet uitenin uoevat vähintään esponentiaaista vauhtia, miä teee niistä äyttöepoisia ainoastaan yhyiä aiaväeiä. ([8], s.38) ARMA-main paras ennuste -heteä eteenpäin, ẑ t (), on ehdoinen odotusarvo ([], s.4) 3

15 missä ẑ t () = E t [ t+ ] = φ E t [ t+ ] φ p E t [ t+ p ] θ E t [a t+ ]... θ q E t [a t+ q ] + E t [a t+ ], E t [ t+ ] = E[ t+ t, t...] (.6.) Yhtäön (.6.) ehdoiset odotusarvot asetaan seuraavasti E t [ t j ] = t j j =,,,... E t [ t+j ] = ẑ t (j) j =,,... E t [a t j ] = a t j = t j ẑ t j () j =,,,... E t [a t+j ] = j =,,... (.6.) Yhtäöstä (.6.) nähdään, että aiasarjaa ennustettaessa jo tehtyjä havaintoja äytetään seaisinaan. Menneiden ajanhetien jäännöstermit saadaan prosessin reaisaatioiden ja main ennustamien arvojen erotusesta. Tuevista havainnoista äytetään niiden yhtäöä (.6.) asettuja estimaatteja. Miäi mai toimii oiein, tuevat jäännöstermit ovat vaoista ohinaa ja niiden odotusarvo on noa. Ennustamisessa pyritään siis äyttämään mahdoisimman pitäe sarjan todeista dataa, mutta erityisesti hieman pitemmissä ennusteissa joudutaan arvoja estimoimaan main, uten erroinestimaattien, ja siihen iittyvien oetusten perusteea. Yhtäöstä (.6.) nähdään, että ARMA(p, q)-prosessin ennustefuntio toteuttaa prosessin määrittämän differenssiyhtäön. Saman differenssiyhtäönhän toteuttaa myös prosessin autoorreaatiofuntio, uten AR(p)-prosessin tapausessa näytettiin. Näin oen stationaarisen aiasarjan ennustefuntion muoto on sama uin aiasarjan teoreettisen autoorreaatiofuntion. Esimerisi AR()-sarjan tapausessa saadaan yhtäöistä (.6.) ja (.6.) ennusteet eri hetie eteenpäin ˆ t () = φ t + a t+ = φ t ˆ () = φ ˆ t () + a t+ = φ t (.6.3)... ˆ () = φ ˆ t ( ) + a t+ = φ t funtio (.6.3) vaimenee esponentiaaisesti, ja sen muoto on täsmäeen samanainen uin AR()-prosessin autoorreaatiofuntion, joa on esitetty yhtäössä (.3.). Ma()-prosessin ennustefuntiosi saadaan ˆ t () = a t+ θ a t = θ a t ˆ t () = a t+ θ a t+ =... ˆ t () = a t+ θ a t+ = (.6.4) 4

16 MA()-prosessin ennustefuntio (.6.4) saa noasta poieavan arvon ainoastaan ensimmäisee ennustusaseeee ja ennustefuntion muoto on näin oen sama uin autoorreaatiofuntion (.4.6). Myös AR()-, MA()-, ja ARMA(,)-prosessien ennustefuntiot noudattavat autoorreaatiofuntioiden muotoja. Näin oen ennustefuntiot oostuvat esponentiaaisesti vaimenevista termeistä seä mahdoisista sinitermeistä. Huomattavaa on, että ennustefuntio uoee arvoon, joa vastaa todeisen sarjan esiarvoa. 5

17 6

18 3 Simuoidut aiasarjat 3. Aiasarjojen generointi Työtä varten generoitiin uusitoista stationaarista aiasarjaa, uhunin sata havaintoa. Generoitujen aiasarjojen ertoimet on esitetty tauuossa 3.. AR() MA() AR() MA() Tauuo 3.: Generoidut aiasarjat φ =.8 φ =.8 θ =.8 θ =.8 φ =.5 φ =.4 φ =.5 φ =.4 φ =. φ =.8 φ =. φ =.8 θ =.5 θ =.4 θ =.5 θ =.4 θ =. θ =.8 θ =. θ =.8 ARMA(,) φ =.8 θ =.5 φ =.8 θ =.5 φ =.8 θ =.5 φ =.8 θ =.5 Aiasarjat generoitiin NCSS-tietooneohjeman theoretica ARMA-omennoa siten, että unin sarjan varianssi on σ t =.. Aiasarjan generoituihin havaintoihin sovitettiin 9 ensimmäisen havainnon perusteea asi maia, oiea ja väärä. Mait sovitetaan äyttämää NCSS:n ARIMA fit-omentoa. ARIMA fit-omento äyttää Marquardt:n menetemää, joa voidaan rataista epäineaarisia pienimmän neiösumman tehtäviä ([], s.3). Main sovittamisen yhteydessä maie suoritetaan diagnostinen Portmanteau-testi, joa tutii aiasarjan residuuaien autoorreoituneisuutta. Testisuureena äytetään ([6], HELP/NCSS/Time Series and Forecasting/Tutoria and Annotated Output Portmanteau Test Section/) r j Q() = N(N + )Σ j= N j, joa on χ -jaautunut vapausasteea df = K q p. Portmanteau-testi suoritetaan 95 % uottamustasoa. Moemmia maeia ennustetaan aiasarjan äyttäytymistä viimeisen havainnon ohdaa. 7

19 3. AR(.8)-prosessi NCSS:ä simuoidun AR(.8)-aiasarjan havainnot seä niistä asetut auto- ja osittaisautoorreaatioestimaatit on piirretty uvaan 3.. Kuva 3. esittää vastaavan stoastisen prosessin auto- ja osittaisautoorreaatiofuntiot. Aiasarjan viimeistä arvoa ja 9 ensimmäiseen havaintoon sovitettujen AR()- ja MA()-maien tuottamat ennusteet ovat uvassa 3.3. Yeensä auto- ja osittaisautoorreaatioerrointen osata riittää asea -3 ensimmäistä viivettä, mutta aiia viipeiä piirretyt uvat tuovat esiin aiasarjojen maintamisen yeisen ongeman: todeisen aiasarjan auto- ja osittaisautoorreaatiofuntiot harvoin noudattavat main teoreettisten uvaajien muotoja. Kuten aava (.3.) ja uva 3. näyttävät, tuee AR()-prosessin autoorreaatiofuntion vaimeta esponentiaaisesti. Kuitenin sarjan autoorreaatiofuntio poieaa sevästi noasta jopa suurimmia viipeiä. Näihin poieamiin on asi seitystä. Suuria viipeiä autoorreaatio on satunnaista. Kosa suurien viipeiden autoorreaatiot joudutaan asemaan vähistä havainnoista, ne ovat epäuotettavia. Toinen mahdoisuus on, että äytetyn ohjemiston satunnaisuugeneraattori tuottaa ainoastaan yhyitä jasoja, jooin autoorreaatiofuntiossa näyy aiasarjan vaoisen ohinan orreoituneisuus. Vaia simuoidun aiasarjan autoorreaatiofuntio ei vaimene täydeisesti, on osittaisautoorreaatiofuntio puoestaan ohtuuisen siisti. Viipeeä = esiintyy sevä piii, joa antaa viitteitä siitä, että ysessä on AR()-prosessi. Siitä, että piii on positiivinen ja että autoorreaatiofuntion etumeri ei vaihdu perääisiä viipeiä, voidaan isäsi otasua sarjan ertoimen oevan positiivinen. Kuvaan 3.3 on piirretty ennustefuntio un aiasarja tunnistetaan oiein AR()- prosessin tuottamasi. NCSS:n Arima-Fit-proseduuria ertoimen arvosi estimoidaan ˆφ =.8 ±.7, miä sisätää myös ertoimen oiean arvon. Main tuottama ennustefuntio uoee esponentiaaisesta vauhtia, uten voi aavan (.6.3) ja main teoreettisen autoorreaatiofuntion muodon perusteea odottaain. näyttää seuraavan aiasarjaa ohtuuisesti omen ensimmäisen aseeen ajan, mutta sen jäeen esponentiaainen vaimeneminen on jo niin merittävää, että ennuste ei oe ovinaan informatiivinen. Kuvassa 3.3 on ennustefuntio un aiasarja tunnistetaan väärin MA()-prosessin tuottamasi. Arima-Fit-menetemää ertoimen arvosi saadaan ˆθ =.6 ±.8. Kosa ennusteessa oetetaan, että tuevat jäännöstermit saavat arvon noa, ovat aii ennusteet ensimmäistä aseta uuunottamatta noia. Ensimmäiseä ennustusaseeeahan on äytettävissä noasta poieava jäännöstermi todeisesta aiasarjasta. MA()- mai siis ennustaa, että aiasarjan tuevat arvot eivät poiea aiasarjan esiarvosta. Kuvasta 3.3 nähdään, että mai ei onnistu ennustamaan aiasarjan äyttäytymistä. 8

20 t.8.6 ρ φ (c) Kuva 3.: Simuoidun AR(.8)-prosessin aiasarja, autoorreaatiofuntio ja (c) osittaisautoorreaatiofuntio. ρ φ Kuva 3.: AR(.8)-prosessin teoreettinen autoorreaatiofuntio ja osittaisautoorreaatiofuntio. 6 Aiasarja 6 Aiasarja Kuva 3.3: AR(.8)-prosessin viimeistä havaintoa ja sovitetun AR()-main ennustefuntio, sovitetun MA()-main ennustefuntio. 9

21 3.3 AR(-.8)-prosessi Simuoidun AR(-.8)-aiasarjan havainnot seä niistä asetut auto- ja osittaisautoorreaatioestimaatit on piirretty uvaan 3.4. Kuva 3.5 esittää vastaavan stoastisen prosessin auto- ja osittaisautoorreaatiofuntiot. Aiasarjan viimeistä arvoa ja 9 ensimmäiseen havaintoon sovitettujen AR()- ja MA()-maien tuottamat ennusteet ovat uvassa 3.6. Aiasarjan uvaajasta 3.4 voidaan panna merie se, että opussa sarja osioi voimaaasti verrattuna sarjan aiaisempiin havaintoihin. Kosa tämä heiunta tapahtuu juuri niiden havaintojen ohdaa, joita on taroitus ennustaa, samaa muistaen ennusteiden taipumusen vaimenemiseen, voidaan otasua ettei ennusteiden ja todeisten havaintojen yhteensopivuus oe hurrattavaa. Aiasarjan autoorreaatiofuntio vaimenee seeästi, josaan ei täysin, vaihdeen etumeriä perääisiä viipeiä. Osittaisautoorreaatiofuntiossa on piii viipeä =, joa on negatiivinen. Näitten uvaajien vaossa sarjan tunnistamisen ei pitäisi oa mahdotonta. Yhtääisyydet sarjan teoreettisiin uvaajiin ovat seeät. Kun aiasarja tunnistetaan oiein AR()-prosessisi, on 9 ensimmäisen havainnon perusteea estimoitu mai ˆφ =.7 ±.7. Kertoimen uottamusväiin ei sisäy sarjan todeista errointa, mutta sarjan main jäännöstermit ovat vaoista ohinaa ja mai äpäisee Portmanteau-testin aiia viipeiä. Main tuottama ennustefuntio on muodotaan samanainen uin uvan 3.5 teoreettinen autoorreaatiofuntio. Kuvasta 3.6 nähdään, että ahden ensimmäisen aseeen osata ennuste osuu hyvin ohdaeen. Komannesta aseeesta eteenpäin ennusteen muoto on oiea, mutta vaimenemisen taia todeisen sarjan voimaaita heiahteuita mai ei pysty ennustamaan. Jos prosessiin tunnistetaan väärin ja aiasarjaan pyritään sovittamaan MA()-mai, saadaan ertoimen arvosi ˆθ =.54 ±.8. Main tuottamat residuaait ovat sevästi autoorreoituneita ja mai ei äpäise Portmanteau-testiä edes suuria viipeiä. Main ennustefuntion ensimmäinen ase poieaa noasta, minä jäeen mai ennustaa aiasarjan saavan esiarvoa vastaavia arvoja. ei siis onnistu uvaamaan edes aiasarjan muotoa saati sitten havaintoja.

22 t ρ φ (c) Kuva 3.4: Simuoidun AR(-.8)-prosessin aiasarja, autoorreaatiofuntio ja (c) osittaisautoorreaatiofuntio. ρ φ Kuva 3.5: AR(-.8)-prosessin teoreettinen autoorreaatiofuntio ja osittaisautoorreaatiofuntio. 8 Aiasarja 8 Aiasarja Kuva 3.6: AR(-.8)-prosessin viimeistä havaintoa ja sovitetun AR()-main ennustefuntio, sovitetun MA()-main ennustefuntio.

23 3.4 AR(.5,.4)-prosessi Simuoidun AR(.5,.4)-aiasarjan havainnot seä niistä asetut auto- ja osittaisautoorreaatioestimaatit on piirretty uvaan 3.7. Kuva 3.8 esittää vastaavan stoastisen prosessin auto- ja osittaisautoorreaatiofuntiot. Aiasarjan viimeistä arvoa ja 9 ensimmäiseen havaintoon sovitettujen AR()- ja AR()-maien tuottamat ennusteet ovat uvassa 3.9. Simuoidun prosessin ertoimet ovat positiiviset ja isäsi φ + 4φ. Kertoimien perusteea prosessi uuuu uvan. aueeseen. Prosessin autoorreaatiofuntion tuisi vaimeta esponentiaaisesti uvan 3.8 muaisesti. Aiasarjasta asetun autoorreaatiofuntion muodossa voi uitenin nähdä vaimenevan sinitermin, miä osataan viittaisi piemminin AR()-prosessiin, jona juuret ovat ompesiset ja joa uuuu uvan. aueeseen 4. Osittaisautoorreaatiofuntiossa voi nähdä piiit viipeiä =,, mutta myös viipeeä =, miä viittaisi siihen, että sarjassa on myös ausitermi. Osittaisautoorreaatiofuntion moempien piiien positiiviset etumerit viittavat siihen, että miäi prosessi on AR()-mainen, se on uvan. aueesta. Kun vertaa uvia 3. ja 3.7 auto- ja osittaisautoorreaatiofuntioiden ohdata, voi huomata tiettyä samanataisuutta. Näin oen aiasarjaa voi erehtyä uuemaan myös AR()-prosessisi. Kun sarja tunnistetaan oiein AR()-prosessin tuottamasi, saadaan sovittamaa erroinestimaatit ˆφ =.5 ±., ˆφ =.4 ±.. Sarjan todeiset ertoimet mahtuvat estimaattien uottamusväeihin, mutta osa residuaaien autoorreaatioista poieavat sevästi noasta. Mai äpäisee uitenin Portmanteau-testin aiia viipeiä. Main ennustefuntio on muodotaan esponentiaaisesti vaimeneva ja se ei pysty ennustamaan ovinaan tarasti yhtäään aiasarjan todeisista havainnoista. Jos aiasarja tunnistetaan virheeisesti AR()-prosessin tuottamasi, saadaan erroinestimaatti ˆφ =.89 ±.5. Main residuaaien autoorreaatiofuntiossa on seeä piii viipeeä =, miä viittaa siihen, että maista puuttuu seittäjä. Lisäsi mai ei äpäise Portmanteau-testiä suuriaaan viipeiä. Main ennustefuntio on uonnoisesti esponentiaaisesti aseva äyrä, joa ei uvaa aiasarjan muotoa erityisen hyvin, mutta onnistuu ennustamaan aseeet,,4,8 ja paitsi hyvin, myös sevästi paremmin uin AR()-mai. Erityisesti pitien aseeiden ennusteen onnistuminen ienee ähinnä onneinen sattuma, osa niiden ohdaa main ennustevoima on uitenin heioin.

24 t ρ φ (c) Kuva 3.7: Simuoidun AR(.5,.4)-prosessin aiasarja, autoorreaatiofuntio ja (c) osittaisautoorreaatiofuntio. ρ φ Kuva 3.8: AR(5,.4)-prosessin teoreettinen autoorreaatiofuntio ja osittaisautoorreaatiofuntio..5 Aiasarja.5 Aiasarja Kuva 3.9: AR(.5,.4)-prosessin viimeistä havaintoa ja sovitetun AR()-main ennustefuntio, sovitetun AR()-main ennustefuntio. 3

25 3.5 AR(-.5,.4)-prosessi Kuvaan 3. on piirretty simuoitu AR(-.5,.4)-prosessi, seä sen havainnoista asetut auto- ja osittaisautoorreaatiofuntiot. Kuvaan 3. on piirretty prosessin teoreettiset auto- ja osittaisautoorreaatiofuntiot ja uvaan 3. 9 ensimmäisen havainnon perusteea estimoitujen AR()- ja AR()-maien ennustefuntiot viimeisen havainnon osata. Myös tämän prosessin ertoimet ovat seaiset, että differenssiyhtäön rataisut ovat reaaiset ja prosessi sijoittuu uvan. aueeseen. Aiasarjasta asettu autoorreaatiofuntio vaimenee pientä heiahdusta uuunottamatta esponentiaaisesti, ja yhdennäöisyys uvien 3. ja 3. väiä on seeä. Aiasarjan osittaisautoorreaatiofuntiossa on sevä piii viipeeä =. Kun verrataan uvia 3.(c) ja 3., nähdään, että teoreettinen piii viipeeä asi on hivenen oreampi, uin simuoidusta sarjasta asettu. Main tunnistaminen oiein vaatii, että myös viipeen = piii otetaan huomioon, jooin ysessä ei voi oa AR()-prosessi. Jos piii jää huomioimatta, aiasarjan auto- ja osittaisautoorreaatiofuntiot muistuttavat AR()-prosessin tuottamia uvaajia. Kun sarja tunnistetaan oiein AR()-prosessin tuottamasi, saadaan sovittamaa erroinestimaatit ˆφ =.5±., ˆφ =.4±.. Aiasarjan tuottaneet ertoimet osuvat varsin hyvin ohdaeen ja sovitetun main residuaait ovat vaoista ohinaa. Estimoidun main ennusteen muoto on täsmäeen sama, uin aiasarjan viimeisen ymmenen havainnon uvaajan ja myös ennustetut arvot osuvat ähes täydeisesti ohdaeen. Vaia ennuste vaimeneein ase aseeeta, myös oppupään ennusteet ovat oieassa suuruusuoassa, josin viimeinen ase on ennustettu aaanttiin. Jos aiasarja tunnistetaan virheeisesti AR()-prosessin tuottamasi, saadaan erroinestimaatti ˆφ =.78 ±.7. Main virheeisyydestä huoimatta, main tuottaman ennusteen muoto on oiea. Ensimmäisten aseeiden osata ennusteen arvot ovat äheä aiasarjan todeisia arvoja, mutta oppua ohden esponentiaainen vaimeneminen heientää ennusteen taruutta. 4

26 t ρ φ (c) Kuva 3.: Simuoidun AR(-.5,.4)-prosessin aiasarja, autoorreaatiofuntio ja (c) osittaisautoorreaatiofuntio..5 ρ φ Kuva 3.: AR(-5,.4)-prosessin teoreettinen autoorreaatiofuntio ja osittaisautoorreaatiofuntio. 3 Aiasarja 3 Aiasarja Kuva 3.: AR(-.5,.4)-prosessin viimeistä havaintoa ja sovitetun AR()-main ennustefuntio, sovitetun AR()-main ennustefuntio. 5

27 3.6 AR(., -.8)-prosessi Kuvaan 3.3 on piirretty simuoitu AR(., -.8)-prosessi, seä sen havainnoista asetut auto- ja osittaisautoorreaatiofuntiot. Kuvaan 3.4 on piirretty prosessin teoreettiset auto- ja osittaisautoorreaatiofuntiot ja uvaan ensimmäisen havainnon perusteea estimoitujen AR()- ja AR()-maien ennustefuntiot viimeisen havainnon osata. Tämän aiasarjan ertoimet ovat seaiset, että φ + 4φ <, ja differenssiyhtäön juuret ovat ompesiset. Juurien ompesisuus imenee autoorreaatiofuntion pseudosyisyytenä. Aiasarjasta määritetyssä autoorreaatiofuntiossa pseudosyisyys näyy erittäin sevästi ja funtio onin ähes tara opio sarjan teoreettisesta autoorreaatiofuntiosta. Osittaisautoorreaatiofuntiossa on asi sevää piiiä, joista ensimmäisen etumeri on positiivinen ja toisen negatiivinen. Erityisen huomattavaa on, että viipeen = piiin pituus on suurempi uin viipeen. Tämä ooero puotaa sevästi sitä, että aiasarjaan annattaa sovittaa AR()-maia. Kun sarja tunnistetaan oiein AR()-prosessin tuottamasi, saadaan sovittamaa erroinestimaatit ˆφ =.4 ±., ˆφ =.9 ±.4. Sovitetun main ennuste onnistuu jäjitteemään aiasarjan todeista muotoa ohtuuisen tarasti, mutta noin omen aseeen viipeeä. Esimerisi aiasarja saa viimeisen ymmenen havainnon huippuarvonsa un t = 95, mutta ennusteen muaan huippuarvo saavutetaan un t = 98. Jos aiasarja tunnistetaan virheeisesti AR()-prosessin tuottamasi, saadaan erroinestimaatti ˆφ =.66 ±.8. Tämän väärän main tuottama ennuste on muodotaan AR()-prosessie tyypiinen, esponentiaaisesti vaimeneva funtio. en muoto ei näin oen erityisen hyvin onnistu uvaamaan aiasarjan äyttäytymistä. onnistuu arvioimaan aiasarjan äyttäytymisen ensimmäisen aseeen osata, mutta muiden aseien osata main ennustusyy on heio. 6

28 t.5 ρ φ (c) Kuva 3.3: Simuoidun AR(., -.8)-prosessin aiasarja, autoorreaatiofuntio ja (c) osittaisautoorreaatiofuntio..5.5 ρ φ Kuva 3.4: AR(., -.8)-prosessin teoreettinen autoorreaatiofuntio ja osittaisautoorreaatiofuntio. 3 Aiasarja 3.5 Aiasarja Kuva 3.5: AR(., -.8)-prosessin viimeistä havaintoa ja sovitetun AR()-main ennustefuntio, sovitetun AR()-main ennustefuntio. 7

29 3.7 AR(-., -.8)-prosessi Simuoidun AR(-., -.8)-aiasarjan havainnot seä niistä asetut auto- ja osittaisautoorreaatioestimaatit on piirretty uvaan 3.6. Kuva 3.7 esittää vastaavan stoastisen prosessin auto- ja osittaisautoorreaatiofuntiot. Aiasarjan viimeistä arvoa ja 9 ensimmäiseen havaintoon sovitettujen AR()- ja AR()-maien tuottamat ennusteet ovat uvassa 3.8. Myös tämän aiasarjan differenssiyhtäön juuret ovat ompesiset. Kosa aiasarjan tuottaneen prosessin moemmat ertoimet ovat negatiiviset, tuee sarjan pseudosyisyys esiin hivenen eriaisessa muodossa uin AR(., -.8)-sarjan ohdaa. Sarjan teoreettisen autoorreaatiofuntion muoto on jossain määrin epämäärinen ja vaieasti tunnistettava. Kun on mahdoisuus verrata sarjan asettua ja teoreettista autoorreaatiofuntiota viereäin, voidaan huomata tietty samanataisuus. Sarjan teoreettinen osittaisautoorreaatiofuntio on jo huomattavasti sevemmin tunnistettavissa ja asetun osittaisautoorreaatiofuntion perusteea AR()-main sovittaminen aiasarjaan on perustetua. Kun sarja tunnistetaan oiein AR()-prosessin tuottamasi, saadaan sovittamaa erroinestimaatit ˆφ =.3 ±.6, ˆφ =.77 ±.6. Main tuottama ennuste seuraa ensimmäisten omen aseeen ajan varsin tarasti aiasarjan todeista äyttäytymistä. Nejännen aseeen ennuste on iian orea, miä seoittaa ennusteen oppuaseia. Mieeniintoisesti ennusteen muoto on samanatainen uin toteutuma, mutta ennuste iään uin ennaoi aiasarjan vaihteuja. Toisin sanoen ennusteen muaan sarja saa orean piiin arvoa t = 97, vaia sarjan piii todeisuudessa on ohdassa t = 98. Jos aiasarja tunnistetaan virheeisesti AR()-prosessin tuottamasi, saadaan erroinestimaatti ˆφ =.76 ±.6. Negatiivinen erroin AR()-prosessia taroittaa noan moemmin puoin vaihteevaa, esponentiaaisesti vaimenevaa ennustetta, miä voidaan nähdä myös uvassa 3.8. Main ensimmäisen aseeen ennuste on arvotaan positiivinen, un taas todeisuudessa aiasarja saa tässä ohden negatiivisen arvon. en muodon annata tämä erimerisyys on ohtaoasta, osapa ennusteen rytmi on täysin päinvastainen uin aiasarjan. Aseeen nejä jäeen ennuste saa aiasarjan muodon iinni, mutta menettää rytmin uudestaan aseeea seitsemän. ei pysty erroinestimaatin avua tuottamaan aiasarjassa oevia ahden aseeen nousuja tai asuja, osa sen muoto on sahaava. 8

30 t.5 ρ φ (c) Kuva 3.6: Simuoidun AR(-., -.8)-prosessin aiasarja, autoorreaatiofuntio ja (c) osittaisautoorreaatiofuntio..5.5 ρ φ Kuva 3.7: AR(-., -.8)-prosessin teoreettinen autoorreaatiofuntio ja osittaisautoorreaatiofuntio. 3 Aiasarja.5 Aiasarja Kuva 3.8: AR(-., -.8)-prosessin viimeistä havaintoa ja sovitetun AR()-main ennustefuntio, sovitetun AR()-main ennustefuntio. 9

31 3.8 MA(.8)-prosessi Kuvaan 3.9 on piirretty simuoitu MA(.8)-prosessi, seä sen havainnoista asetut auto- ja osittaisautoorreaatiofuntiot. Kuvaan 3. on piirretty prosessin teoreettiset auto- ja osittaisautoorreaatiofuntiot ja uvaan 3. 9 ensimmäisen havainnon perusteea estimoitujen MA()- ja AR()-maien ennustefuntiot viimeisen havainnon osata. Aiasarjasta asetussa autoorreaatiofuntiossa pitäisi näyä uvan 3. muaisesti ainoastaan ysi piii. Tämä piii onin näyvissä vieä suurinpiirtein oiean ooisena, mutta uvassa 3.9 näyy myös muita seeitä piiejä esimerisi noin viipeiä = 4 ja = 48. Nämä piiit sattuvat iäviin ohtiin sarjan tunnistamisen annata, osa ne voi tuita ausitermistä johtuvisi. Sarjan osittaisautoorreaatiofuntio on pieniä viipeiä vaimeneva, mutta siinäin voidaan nähdä pieniä piiejä erityisesti viipeiä = ja = 4. Kun sarja tunnistetaan oiein MA()-prosessin tuottamasi, saadaan sovittamaa erroinestimaatti ˆθ =.84 ±.5. Kerroinestimaatin uottamusväi pitää sisäään ertoimen todeisen arvon. MA()-main tuottama ennuste sisätää yhden sarjan esiarvosta poieavan ennusteen, minä jäeen mai ennustaa aiasarjan saavan sen esiarvoa vastaavia arvoja. MA()-maissa prosessin saama arvo riippuu edeisen prosessin jäännöstermistä. Kun maia voidaan seittää aiasarjan äyttäytyminen, ovat aiasarjan jäännöstermit teorian muaan vaoista ohinaa. Vaoisen ohinan ysi ominaisuushan on, että sen odotusarvo on E[a t ] =. ttaessa tuevia arvoja pitemmäe uin yhden aseeen päähän pitää äyttää tätä jäännöstermin ominaisuutta ja oettaa, että tuevien arvojen jäännöstermit saavat arvon a t =. Kosa ennustettavan havainnon jäännöstermi on noa, uoee ennuste sarjan esiarvoon. Main ensimmäisen, noasta poieavan ennusteen, arvo on esiarvon oieaa puoea, mutta ennuste jää hivenen ahaisesi. Ensimmäisen aseeen jäeen ennuste uvaa sarjan esiarvoa, eiä näin oen voi uvata sarjan muotoa tai sen saamia arvoja. Aseeia = 4 ja = 6 sarja saa arvot, jota poieavat ainoastaan vähän sarjan esiarvosta ja näin oen ennuste pitää näiden aseeiden ohdaa paiaansa. Jos aiasarja tunnistetaan virheeisesti AR()-prosessin tuottamasi, saadaan erroinestimaatti ˆφ =.47 ±.9. AR()-main ennuste on esponentiaaisesti vaimeneva ja un sovitetun main ertoimesi saadaan negatiivinen arvo, on ennuste aternoiva. Kertoimen pieni arvo ja imeisesti viimeisen main muodostamiseen äytetyn havainnon pienuus aiheuttavat sen, että main ennuste ei juuriaan poiea esiarvosta. Pienet poieamat saavat ennusteen näyttämään samata uin MA()-main ennuste. Main tuottama ennuste ei seuraa aiasarjan muotoa, tai pysty tuottamaan oieita arvoja. Samoin uin MA()-main ohdaa, main ennusteet äyvät ysiin sarjan anssa aseia = 4 ja = 6, mutta tämä onnistuminen on ähinnä sattumaa. Main ensimmäisen aseeen ennuste pitää huonommin paiansa uin MA()-main. 3

32 t ρ φ (c) Kuva 3.9: Simuoidun MA(.8)-prosessin aiasarja, autoorreaatiofuntio ja (c) osittaisautoorreaatiofuntio. ρ φ Kuva 3.: MA(.8)-prosessin teoreettinen autoorreaatiofuntio ja osittaisautoorreaatiofuntio..5 Aiasarja.5 Aiasarja Kuva 3.: MA(.8)-prosessin viimeistä havaintoa ja sovitetun MA()-main ennustefuntio, sovitetun AR()-main ennustefuntio. 3

33 3.9 MA(-.8)-prosessi Kuvaan 3. on piirretty simuoitu MA(-.8)-prosessi, seä sen havainnoista asetut auto- ja osittaisautoorreaatiofuntiot. Kuvaan 3.3 on piirretty prosessin teoreettiset auto- ja osittaisautoorreaatiofuntiot ja uvaan ensimmäisen havainnon perusteea estimoitujen MA()- ja AR()-maien ennustefuntiot viimeisen havainnon osata. Aiasarjan autoorreaatiofuntiossa on piii viipeeä = muiden autoorreaatioiden oessa hyvin äheä noaa. Kuvan 3. piii on hivenen pienempi uin sarjan teoreettisen autoorreaatiofuntion saama arvo, mutta se sevästi viittaa MA()- prosessiin. Sarjan osittaisautoorreaatiofuntio aternoi, uten sen teorian muaan tueein. Osittaisautoorreaatiofuntiossa on muutamia viipeitä jota ovat hivenen suurempia uin esponentiaaisesti uoeva muoto saii, mutta uvaa 3.(c) atsomaa on sevää, että sarjan osittaisautoorreaatiofuntio on jatuva. Kun sarja tunnistetaan oiein MA()-prosessin tuottamasi, saadaan sovittamaa erroinestimaatti ˆθ =.9±.5. Sarjan todeinen erroin ei siis sisäy sovitetun main uottamusväie. Kertoimen ja sen estimaatin poieavuudesta huoimatta mai pystyy seittämään aiasarjan äyttäytymisen ja äpäisee Portmanteau-testin aiia viipeiä. Main tuottama ennuste uvaa jäeen aseeesta = ähtien sarjan esiarvoa. Ensimmäisen aseeen ennuste, johon on siis äytetty vieä sarjan todeista, noasta poieavaa, jäännöstermiä on eri merinen uin sarjan todeinen arvo. Tämä ennustevirhe johtunee ähinnä sarjaan ajanheteä t = 9 osuneesta suuresta satunnaistermistä. Vaia ennuste ei onnistu ensimmäiseä aseeea, osuu se ohtuuisen hyvin paiaeen muutamia muia aseia. Aiasarjan reaisaatiot ajanhetiä t = 95, 96, 99, ovat varsin äheä sarjan esiarvoa ja näin oen ennuste tavoittaa nämä arvot. Vaia yseessä on osittain sattuma, voidaan uvan 3.4 avua perustea esiarvon äyttämistä ennusteena. Jos aiasarja tunnistetaan virheeisesti AR()-prosessin tuottamasi, saadaan erroinestimaatti ˆφ =.4 ±.9. Sovitettu mai ei pysty seittämään ovinaan hyvin sarjan äyttäytymistä, eiä se äpäise Portmanteau-testiä ensimmäisiä viipeiä. Kuitenin viipeestä = 9 eteenpäin mai äpäisee testin tosin saaden väiä main hyäyseen johtavia arvoja. Main tuottama ennuste on esponentiaaisesti uoeva ja muistuttaa muodotaan hyvin pitäe MA()-main ennustetta. Mai ennuste saa ensimmäisen aseeen ohdaa väärän etumerin aivan uten MA()-maiin. aseutuu esiarvoon hivenen hitaammin uin MA()-mai, minä taia se on enemmän pieessä aseeea = uin MA()-mai. Erot ennusteiden väiä ovat uitenin niin pienet, ettei MA()-maia voi sanoa AR()-maia paremmasi. 3

34 t ρ φ (c) Kuva 3.: Simuoidun MA(-.8)-prosessin aiasarja, autoorreaatiofuntio ja (c) osittaisautoorreaatiofuntio. ρ φ Kuva 3.3: MA(-.8)-prosessin teoreettinen autoorreaatiofuntio ja osittaisautoorreaatiofuntio Aiasarja Aiasarja Kuva 3.4: MA(-.8)-prosessin viimeistä havaintoa ja sovitetun MA()-main ennustefuntio, sovitetun AR()-main ennustefuntio. 33

35 3. MA(.5,.4)-prosessi Kuvaan 3.5 on piirretty simuoitu MA(.5,.4)-prosessi, seä sen havainnoista asetut auto- ja osittaisautoorreaatiofuntiot. Kuvaan 3.6 on piirretty prosessin teoreettiset auto- ja osittaisautoorreaatiofuntiot ja uvaan ensimmäisen havainnon perusteea estimoitujen MA()- ja MA()-maien ennustefuntiot viimeisen havainnon osata. Aiasarjan autoorreaatiofuntiossa on seeä piii viipeeä =. Viipeen = piii on pienempi uin =, uten sen teoreettisesti tueein oa. Sen, että viipeen = piii ei erotu eräistä suurien viipeiden piieistä, ei pitäisi oa ongema. Vaia ensimmäisen viipeen piii tuitaan ei-noasta-poieavasi, voidaan prosessi tunnistaa MA()-maisesi viipeen = piiin avua. Sarjan osittaisautoorreaatiofuntio noudattaa pieniä viipeiä MA()-main teoreettisen osittaisautoorreaatiofuntion muotoa. Erityisesti sitä, että osittaisautoorreaation viipeen = saama arvo on suurempi uin viipeen = voidaan äyttää apuna tunnistamisessa. Kun sarja tunnistetaan oiein MA()-prosessin tuottamasi, saadaan sovittamaa erroinestimaatit ˆθ =.38 ±.9, ˆθ =.48 ±.9. Main erroinestimaattien uottamusväit eivät pidä sisäään prosessin todeisia ertoimia. Erioinen imiö on, että prosessin ertoimet tunnnistetaan iään uin väärin päin. Tämä imiö voi johtua siitä, että todeisten errointen arvot eivät poiea toisistaan ovinaan pajoa. Aiasarjaan sovitettuna mai tuottaa vaoista ohinaa ja äpäisee Portmanteau-testin aiia viipeiä. Kosa main muaan prosessin arvon oetetaan riippuvan ahden edeisen reaisaation jäännöstermeistä, on main ennusteessa asi esiarvosta poieavaa ennustetta. Nämä ennusteet osuvat uonnoisesti ahdee ensimmäisee aseeee, joiden ohdaa on äytettävissä dataa aiasarjan havainnoista. Kuvassa 3.7 nämä asi esiarvosta poieavaa arvoa näyvät uitenin ainoastaan heiosti. Erityisesti aseeen = ennuste on hyvin äheä esiarvoa. Mai sitä paitsi ennustaa ahden ensimmäisen aseeen etumerit väärin. Kosa aiasarjan oppupään todeiset arvot eivät uvaa sarjan esiarvoa, ei ennuste osu ohdaeen oieastaan yhdenään aseeen ohdaa. Jos aiasarja tunnistetaan virheeisesti MA()-prosessin tuottamasi, saadaan erroinestimaatti ˆθ =.68 ±.8. Tämän main ohdaa residuaait eivät oe vaoista ohinaa, vaan niissä imenee autoorreoituneisuutta. Mai ei äpäise Portmanteau-testiä pieniä viipeiä, mutta viipeestä = ähtien yäin. Main tuottama ennuste poieaa sarjan esiarvosta ainoastaan ensimmäiseä aseeea. Vaia ensimmäisen aseeen ennustettu arvo on ovin auana sarjan todeisesta arvosta, on ennusteen etumeri uitenin oiea. Kuten MA()-mainin ohdaa, ei MA()-mai pysty esiarvoa ennustamaan aiasarjan reaisaatioita ohdaeen. Kosa MA()-maissa otettiin huomioon asi edeistä jäännöstermiä ja erityisesti sovitetussa maissa θ on isompi uin θ, voidaan todeta, että ennusteen onnistumisen annata MA()-mai painottaa iiaa aiasarjan havaintoa heteä t =

36 t ρ φ (c) Kuva 3.5: Simuoidun MA(.5,.4)-prosessin aiasarja, autoorreaatiofuntio ja (c) osittaisautoorreaatiofuntio. ρ φ Kuva 3.6: MA(.5,.4)-prosessin teoreettinen autoorreaatiofuntio ja osittaisautoorreaatiofuntio. 3 Aiasarja 3 Aiasarja Kuva 3.7: MA(.5,.4)-prosessin viimeistä havaintoa ja sovitetun MA()-main ennustefuntio, sovitetun MA()-main ennustefuntio. 35

37 3. MA(-.5,.4)-prosessi Kuvaan 3.8 on piirretty simuoitu MA(-.5,.4)-prosessi, seä sen havainnoista asetut auto- ja osittaisautoorreaatiofuntiot. Kuvaan 3.9 on piirretty prosessin teoreettiset auto- ja osittaisautoorreaatiofuntiot ja uvaan ensimmäisen havainnon perusteea estimoitujen MA()- ja MA()-maien ennustefuntiot viimeisen havainnon osata. Aiasarjan autoorreaatiofuntion uvaajasta on vaiea tunnistaa aiasarjaa. Kuvassa 3.8 on seeä piii viipeeä =, mutta ei viipeeä =. Teoreettisesti viipeen = piiin tuisi oa hivenen oreampi uin viipeen ysi, uten uvasta 3.9 voidaan nähdä. Lisäsi autoorreaatiofuntiossa on näyvissä häiriöpiiejä, jota eivät uitenaan osu niin ohdaain, että yseessä oisi ausitermi. Kuitenin autoorreaatiofuntion perusteea aiasarjan voisi uoitea MA()-prosessin tuottamasi. Aiasarjan osittaisautoorreaatiofuntio näyttää jo enemmän MA()-prosessin tuottamata. Viipeen = piii on paitsi näyvä myös suurempi uin viipeen =, aivan uten pitääin oa. Pieniä viipeiä osittaisautoorreaatio aternoi ja näyttää samaa vaimenevan. Kun sarja tunnistetaan oiein MA()-prosessin tuottamasi, saadaan sovittamaa erroinestimaatit ˆθ =.56 ±.6, ˆθ =.43 ±.. Kerroinestimaattien uottamusväit pitävät sisäään myös havainnot tuottaneen prosessin todeiset ertoimet. Sovitetun main tuottamat residuaait eivät oe täysin vaoista ohinaa, vaan jäännöstermien autoorreaatiofuntiossa voi nähdä joninaista pseudosyisyyttä. Mai ei myösään äpäise Portmanteau-testiä omea ensimmäiseä viipeeä, mutta nejännestä viipeestä eteenpäin yäin. Main tuottama ennuste poieaa oetetusti esiarvosta ahden ensimmäisen aseeen osata ja onnistuu ennustamaan omen ensimmäisen aseeen arvot ja aiasarjan muodon ähes täydeisesti. Nejännestä aseeesta eteenpäin ennuste ei uvaa aiasarjan uua, josin ase = 9 osuu jäeen ähee esiarvoa. Jos aiasarja tunnistetaan virheeisesti MA()-prosessin tuottamasi, saadaan erroinestimaatti ˆθ =.98±.. Main erroinestimaatti on hyvin main äännettävyyden asettamaa aarajaa ja sen uottamusväi menee jopa rajan yi. Yättävästi sovitetua maia saadaan jäännöstermeistä vaoista ohinaa ja mai äpäisee Portmanteau-testin aiia viipeiä. Main ennusteen muoto ei seuraa aiasarjan muotoa aivan yhtä tarasti uin sovitetun MA()-main ennuste ensimmäisten aseten osata. Tämä suurempi epätaruus johtunee osittain siitä, että ennuste uoee esiarvoon jo ensimmäisen aseeen jäeen, jooin ennusteen ehitys näyttää iian jyrätä. Luonnoisesti mai onnistuuu ennustamaan ne aseeet, joia todeinen aiasarja saa esiarvoa äheä oevia arvoja. 36

38 t ρ φ (c) Kuva 3.8: Simuoidun MA(-.5,.4)-prosessin aiasarja, autoorreaatiofuntio ja (c) osittaisautoorreaatiofuntio. ρ φ Kuva 3.9: MA(.5,.4)-prosessin teoreettinen autoorreaatiofuntio ja osittaisautoorreaatiofuntio..5 Aiasarja.5 Aiasarja Kuva 3.3: MA(-.5,.4)-prosessin viimeistä havaintoa ja sovitetun MA()-main ennustefuntio, sovitetun MA()-main ennustefuntio. 37

39 3. MA(., -.8)-prosessi Kuvaan 3.3 on piirretty simuoitu MA(., -.8)-prosessi, seä sen havainnoista asetut auto- ja osittaisautoorreaatiofuntiot. Kuvaan 3.3 on piirretty prosessin teoreettiset auto- ja osittaisautoorreaatiofuntiot ja uvaan ensimmäisen havainnon perusteea estimoitujen MA()- ja MA()-maien ennustefuntiot viimeisen havainnon osata. Tämän aiasarjan differenssiyhtäön juuret ovat ompesiset, mutta osa ysessä on MA()-prosessi näyy pseudosyisyys sarjan osittaisautoorreaatiofuntiossa. Sarjan autoorreaatiofuntiossa on piii viipeeä =. Tämä piii on ootaan ja etumeritään sama uin teoreettisessa autoorreaatiofuntiossa. Teoreettisesti uvassa 3.3 pitäisi näyä piii myös viipeeä =, mutta tää viipeeä autoorreaation arvo on niin pieni, että piiiä ei erota. Viipeen asi piiin puuttuminen hanaoittaa sarjan tunnistamista ja autoorreaatiofuntion perusteea sarja näyttää oevan MA()- prosessin reaisaatio. Aiasarjan osittaisautoorreaatiofuntiossa voi hyvää tahdoa nähdä aivattua pseudosyisyyttä. Kuitenin osittaisautoorreaatiofuntio uoee niin nopeasti, että siinä vaiuttava sinitermi voi hyvin jäädä huomaamatta. Kun sarja tunnistetaan oiein MA()-prosessin tuottamasi, saadaan sovittamaa erroinestimaatit ˆθ =.4 ±., ˆθ =.9 ±.. Aiasarjan todeiset ertoimet eivät sisäy sovitetun main ertoimien uottamusväeihin. Kuitenin sovitetua maia onnistutaan seittäämään aiasarjan äyttäytyminen ja mai äpäisee Portmanteautestin aiia viipeiä. Main tuottamassa ennusteessa asi ensimmäistä aseta ovat noasta poieavia. Näiä aseeia mai tavoittaa aiasarjan muodon, mutta ensimmäisen aseeen ennuste on iian orea ja toisen aseeen ennuste on puoestaan iian ahainen. Komannea aseeea main ennuste uoee sarjan esiarvoon. Kosa sarja saa esiarvoa äheä oevan arvon ajanheteä t = 94, näyttää aivan sitä uin main ennuste jotenin etuiisi aiasarjan havaintoja muotonsa puoesta. Lisäsi aiasarja saa muutamia arvoja, jota osuvat ohtuuisen ähee esiarvoa, jooin yeisvaiutemasi jää, että aiasarjan ennustaminen onnistuu paremmin uin todeisuudessa äyään. Jos aiasarja tunnistetaan virheeisesti MA()-prosessin tuottamasi, saadaan erroinestimaatti ˆθ =.8±.5. Sovitetun main residuaaeihin jää voimaas piii viipeee =, miä ertoo siitä, että yseessä ei oe MA()- vaan MA()-mai. Tämän piiin johdosta mai ei äpäise Portmanteau-testiä osaa viipeistä, mutta viipeestä = 8 ähtien autoorreaatioertymä ei oe enää häiritsevä. Main ennusteista ainoastaan ensimmäinen poieaa sarjan esiarvosta. Tämän aseeen ennuste osuu paremmin oieaan uin sarjaan sovitetun oiean main. Kun isäsi aiasarjan reaisaatio ajanheteä t = 9 on sopivasti pienempi uin edeinen havainto, näyttää sitä iään uin ennuste tavoittaisi aiasarjan muodon. Todeisuudessaha sovitetun main ennuste vain uoee sarjan esiarvoon. Samoin uin oiean main anssa osa esiarvo-ennusteista osuu ohdaeen. 38