805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 3 (2016)

Transkriptio

1 805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 3 (2016) Tavoitteet (teoria): Hallita multinormaalijakauman määritelmä. Ymmärtää likelihood-funktion ja todennäköisyystiheysfunktion ero. Oppia kirjoittamaan likelihood-funktio AR-prosesseille. Tavoitteet (R) Oppia estimoimaan ARMA-mallin parametreja ML-menetelmällä. Mallidiagnostiikan alkeet. Esitiedot: 1. Olkoon µ = (1, 1, 2) ja C = a) Kirjoita todennäköisyystiheysfunktio multinormaalijakaumalla N (µ, C). b) Olkoon (X 1, X 2, X 3 ) N(µ, C). Mikä on satunnaisvektorin (X 1, X 3 ) jakauma? 2. Tarkastellaan AR(1)-prosessia X t = c + φx t 1 + ε t, missä ε t N(0, σ 2 ), c R ja φ < 1. a) Kirjoita satunnaisvektorin (X 1, X 2 ) todennäköisyystiheysfunktio. b) Mikä on AR-mallin parametrien likelihood-funktio, kun on saatu havainto X 1 = 3, X 2 = 0? c) Mikä on likelihood-funktion arvo, kun c = 0, σ = 1 φ = 0.5?

2 R 1. Asenna ja ota käyttöön R-paketti nimeltä astsa 2. Asenna ja ota käyttöön R-paketti nimeltä forecast Taustaa ja ohjeita: install.packages( b ) library( b ) Asentaa paketin nimeltä b Ottaa käyttöön paketin nimeltä b 3. Paketti astsa sisältää useita datasettejä. Katso niiden nimet komennolla data(). Löytyykö joukosta datasettiä nimeltä rec? 4. Tarkastellaan datasettiä rec, joka edustaa uusien kalojen lukumäärää vesistössä. Onko rec aikasarja-luokan olio? 5. Piirrä kuva aikasarjasta rec. 6. ARMA-mallin parametreja voidaan estimoida esimerkiksi komennolla arima. Tutki komennon syntaksia syöttämällä?arima 7. Testaa arima-komentoa syöttämällä armalli <- arima(rec, order=c(2,0,0), method=c("ml")) Olet tehnyt aikasarjan rec ARMA(2,0)-mallin parametrien estimointiin ML-menetelmällä! Taustaa: Kun estimoidaan ARMA(p, q)-mallia ML-menetelmällä, niin komennon syntaksi kutistuu muotoon arima(y,order=c(p,0,q),method=c("ml")) missä y on tarkasteltavan aikasarjan nimi ja p,q ovat kokonaislukuja. 8. arima-funktio palauttaa Arima-luokan olion, joka sisältää paljon tietoa ML-estimaatista. Tutustu seuraavan sivun esimerkkiin ja taulukkoon.

3 Taustaa: Tuloksen tulkiinnassa auttaa seuraava esimerkki: Jos ARMA(2,2)-malli on X t = c + φ 1 X t 1 + φ 2 X t 2 + ε t + θ 1 ε t 1 + θ 2 ε t 2, ε t N(0, σ 2 ), niin Arima-olio X t ar1 φ 1 ar2 φ 2 ma1 θ 1 ma2 θ 2 intercept c sigma^2 σ 2 aic Akaiken informaatio I AIC Taulukko 1: Esimerkki R:n käyttämistä merkinnöistä ja vastaavista teorian merkinnöistä armalli$sigma2 σ 2 armalli$coef φ k, θ k, c armalli$residuals residuaalit armalli$aic Akaiken informaatio I AIC Taulukko 2: Arima-luokan olion osia 9. Luo vektori nimeltä parametrit, johon poimit Arima-luokan oliosta armalli paramatrit φ 1 ja φ 2. Taustaa: funktio as.numeric(a) muuttaa objektin a numeeriseen muotoon. 10. Mikä on estimoidun mallin Akaiken informaation I AIC suuruus? 11. Piirrä kuva estimoidun ARMA-mallin residuaaleista. Muistuttavatko residuaalit valkoista kohinaa? 12. Piirrä kuva residuaalien otosautokorrelaatiosta. Muistuttavatko residuaalit valkoista kohinaa?

4 13. Piirrä aikasarjan rec otosautokorrelaatiofunktio. 14. Piirrä samaan kuvaan estimoidun mallin autokorrelaatiofunktio. Taustaa: Komento ARMAacf muodostaa ARMA-mallin autokorrelaatiofunktion ρ(τ), kun τ = 0,..., lag.max. Funktioon ARMAacf syötetään ARMA-mallin parametrit (Kts tehtävä 9) ja suurin ajan arvo lag.max. Samaan kuvaan voi piirtää komennolla lines (katso Harjoitus 2). 15. Miten hvvältä malli näyttää?

5 Harjoitustyö 3 (Palautus menessä) Yleiset ohjeet: Tee vaaditut tehtävät ja laadi raportti. Raportti on lyhyt johdonmukainen selvitys tehtävästä (max 2 sivua) ja se voi sisältää esim. taustaa tehtävälle, pohdintoja, johtopäätöksiä tai yhteenvedon esimerkkiajojen tuloksista. Raportin saa kirjoittaa myös käsin. Opettaja voi tarvittaessa pyytää raporttiin lisämateriaalia. Laskennallinen tehtävä toteutetaan R-ohjelmistolla. Opettajalle palautetaan selkeästi kommentoitu koodi. Harjoitustyötä saa tehdä yhteistyössä muiden kanssa. Opiskelijan on kuitenkin pystyttävä tarvittaessa osoittamaan oman osaamisensa taso. R-koodi ja raportti on palautettava määräaikaan mennessä opettajalle (sari.lasanen@oulu.fi). Harjoitustöitä on yhteensä 6 kappaletta. Yhdestä harjoitustyöstä voi saada joko 0 tai 4 pistettä. 1. Estimoi ARMA(2,2)-mallin parametrit ML-menetelmällä aikasarjalle rec. 2. Vertaa Akaiken informaatiokriteerin avulla ARMA(2,2)-mallia ja ARMA(2,0)-mallia.