Stationaariset stokastiset prosessit ja ARMA-mallit

Transkriptio

1 Stationaariset stokastiset prosessit ja ARMA-mallit MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015

2 Johdanto Pystyäksemme mallintamaan hankalasti käyttäytyviä reaalimailman aikasarjoja... Swap spread (bp) Date

3 Johdanto...meidän on tunnettava nätisti käyttäytyviä teoreettisia stokastisia prosesseja ja niiden ominaisuuksia. x t

4 x t x t

5 Viikko 3: Stationaariset stokastiset prosessit ja ARMA-mallit 1 Stationaariset stokastiset prosessit 1 Määritelmä 2 Autokorrelaatiofunktio 3 Osittaisautokorrelaatiofunktio 4 Viive- ja differenssioperaattorit 5 Integroituvuus eli differenssistationaarisuus 6 Spektri 2 ARMA-mallit 1 Puhtaasti stokastinen prosessi 2 Erilaiset SARMA mallit

6 Sisältö 1 Stationaariset stokastiset prosessit 2 ARMA-mallit

7 Stokastiset prosessit Stokastinen prosessi (x t ) t T on satunnaismuuttujien x t, t T järjestetty jono, jossa aikaindeksi t T määrää satunnaismuuttujien x t järjestyksen jonossa Satunnaismuuttujien x t yhteisjakauma määrää täysin stokastisen prosessin käyttäytymisen. Käsittelemme diskreettiaikaisia (diskreettejä) stokastisia prosesseja, missä aikaindeksit ovat kokonaislukuja, eli T Z := {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}. Jatkuva-aikaisten stokastisten prosessien (esim T = positiiviset reaaliluvut) emme tässä juurikaan tarvitse.

8 Aikasarja stokastisena prosessina Havaittu aikasarja tulkitaan tilastollisessa aikasarja-analyysissa aina jonkin stokastisen prosessin realisaatioksi. Vrt. Tilastotieteessä havainnot tulkitaan satunnaismuuttujien realisaatioksi ja satunnaismuuttujien jakauma on tilastollinen malli. Aikasarja-analyysin tehtävät: (i) Tunnistaa aikasarja-aineistoon sopiva stokastinen prosessi. (ii) Estimoida aikasarjan mallintamiseen käytettävän prosessin parametrit ja testata parametreja koskevia hypoteeseja. (iii) Konstruoida ennusteita prosessin (aikasarjan) tulevalle käyttäytymiselle.

9 Stokastista prosessia kuvaavat tunnusluvut Stokastista prosessia voidaan kuvailla siihen kuuluvien satunnaismuuttujien x t, t T tunnusluvuilla: Odotusarvo: E[x t ] = µ t, t T Varianssi: var(x t ) = E[(x t µ t ) 2 ] = D 2 (x t ) = σ 2 t, t T Kovarianssi cov(x t, x s ) = E[(x t µ t )(x s µ s )] = γ ts, t, s T.

10 Stokastisen prosessin stationaarisuus Stokastinen prosessi (x t ) t T on stationaarinen jos: (I) Odotusarvo ei riipu ajasta: E(x t ) = µ, kaikilla t T (II) Varianssi on äärellinen, eikä riipu ajasta: var(x t ) = σ 2 <, kaikilla t T (III) Satunnaismuuttujien x t ja x s välinen kovarianssi ei riipu ajanhetkistä, vaan ainoastaan aikojen t ja s erotuksesta: cov(x t, x s ) = γ t s, kaikilla t, s T Ylläolevasta käytetään myös nimitystä heikosti stationaarinen prosessi, mutta tällä kurssilla sitä kutsutaan stationaariseksi. Prosessi (x t ) t T on vahvasti stationaarinen, jos satunnaismuuttujat x t ovat samoin jakautuneita.

11 Stationaaristen stokastisten prosessien ominaisuudet Stationaarisen prosessin (x t ) t T määritelmästä seuraa, että sen realisaatiossa ei saa näkyä 1 Trendiä 2 Varianssin (systemaattista) vaihtelua 3 Determinististä kausivaihtelua 4 Sisäisen riippuvuusrakenteen, kuten rytmin (systemaattista) vaihtelua.

12 Stationaariset stokastiset prosessit aikasarjojen malleina Vaikka stationaarisuuden ehdot ovat rajoittavia, niin stationaariset prosessit muodostavat erittäin käyttökelpoisen malliluokan aikasarjoille: Jotkut käytännössä kohdattavat aikasarjat ovat stationaarisia ja monia epästationaarisia aikasarjoja voidaan mallintaa prosesseilla, jotka voidaan stationarisoida yksinkertaisin matemaattisin operaatioin (differentointi, logaritmointi) Stationaaristen stokastisten prosessien teoreettiset ominaisuudet tunnetaan hyvin estimointi- ja testiteoria on hyvin strukturoitu ja (suhteellisen) helposti sovellettavissa. Stationaarisille aikasarjoille on onnistuttu kehittämään järjestelmällisiä mallinrakennusmenetelmiä

13 Autokovarianssi: Määritelmä Stationaarisen stokastisen prosessin k. autokovarianssi, k = 0, 1,..., K on γ k := γ t (t k) = cov(x t, x t k ) = E[(x t µ)(x t k µ)], t T. Erityisesti γ 0 = var(x t ) = σ 2, t T. Stationaarisen prosessin (x t ) t T autokovarianssifunktio on autokovarianssien on funktio, γ : Z R, γ(k) = γ k kaikilla k Z. Myös epästationaariselle prosessille voidaan määritellä autokovarianssifunktio (kts. esim. Brockwell, Davis (1991)).

14 Autokorrelaatio: Määritelmä Stationaarisen stok. prosessin k. autokorrelaatiokerroin: ρ k = γ k γ 0, k Z. Autokorrelaatiokerroin ρ k mittaa stationaarisen stokastisen prosessin (x t ) t T aikavälin k päässä toisistaan olevien satunnaismuuttujien x t ja x t k lineaarisen riippuvuuden voimakkuutta: (i) ρ 0 = 1 (ii) ρ k = ρ k kaikille k Z (iii) ρ k 1 kaikille k Z. Autokorrelaatiofunktio (akf) on funktio ρ : Z [ 1, 1], ρ(k) = ρ k, kaikilla k Z.

15 Osittaisautokorrelaatio: Määritelmä Stationaarisen prosessin k. osittaisautokorrelaatiokerroin: φ k = cor ( ) x t, x t k x t 1,..., x t k+1, t T, k Z Ei määritelty epästationaarisille prosesseille, ei riipu t:stä. On satunnaismuuttujien x t ja x t k ehdollinen korrelaatio, kun ehtomuuttujina ovat ajanhetkien t ja t k väliin jäävät satunnaismuuttujat x t 1,..., x t k+1 Mittaa satunnaismuuttujien x t ja x t k korrelaatiota, kun korrelaatiosta on eliminoitu satunnaismuuttujien x t 1,..., x t k+1 vaikutus (i) φ 0 = 1 (ii) φ k = φ k kaikilla k Z (iii) φ k 1 kaikilla k Z. Osittaisautokorrelaatiofunktio (oakf) on φ : Z [ 1, 1], φ(k) = φ k, kaikilla k Z.

16 Auto- ja osittaisautokorrelaatiokertoimien yhteys: Yulen ja Walkerin yhtälöt 1 ρ 1 ρ 2 ρ k 1 ρ 1 1 ρ 1 ρ k 2 ρ 2 ρ 1 1 ρ k ρ k 1 ρ k 2 ρ k 3 1 α k1 α k2 α k3. α kk ρ 1 ρ 2 = ρ 3,. missä ρ k on k. autokorrelaatiokerroin. k. osittaisautokorrelaatiokerroin φ k saadaan kertoimen α kk ratkaisuna k. yhtälöstä: Erityisesti φ k = α kk. φ 2 = α 22 = ρ 2 ρ ρ 2. 1 ρ k

17 Viive ja differenssi: Määritelmät Olkoon x t, t T diskreetti stokastinen prosessi. Viiveoperaattori L: Lx t = x t 1 Differenssioperaattori D: Dx t = x t x t 1 Huom Differenssioperaattori D voidaan määritellä viive-operaattorin L avulla myös kaavalla D = 1 L, koska Dx t = (1 L)x t = x t Lx t = x t x t 1.

18 Korkeammat viipeet ja differenssit, Kausidifferenssi p. viive: L p x t = x t p, missä L p = LL L (p kpl): L p x t = L p 1 Lx t = L p 1 x t 1. p. differenssi: D p x t = (1 L) p x t, missä D p = DD D (p kpl). p. differenssille pätee D p x t = (1 L) p x t = p ( p ( 1) i i i=0 Kausidifferenssi määritellään asettamalla: jossa s on kauden pituus. Siten D s = 1 L s ) x t i. D s x t = (1 L s )x t = x t L s x t = x t x t s

19 Esimerkki: 2. differenssi Satunnaismuuttujan x t toinen differenssi voidaan laskea seuraavasti: Tapa 1: D 2 x t = DDx t = D(x t x t 1 ) = Dx t Dx t 1 = x t x t 1 (x t 1 x t 2 ) = x t 2x t 1 + x t 2 Tapa 2: D 2 x t = (1 L) 2 x t = ( 1 2L + L 2) x t = x t 2Lx t + L 2 x t = x t 2x t 1 + x t 2

20 Integroituvuus ja kausi-integroituvuus Määritelmä Diskreetti stokastinen prosessi x t, t T on integroituva eli differenssistationaarinen astetta p, jos D q x t on epästationaarinen kaikille q = 0, 1, 2,..., p 1, mutta D p x t on stationaarinen. kausi-integroituva eli differenssistationaarinen astetta p kauden pituuden s suhteen, jos D q s x t on epästationaarinen kaikille q = 0, 1, 2,..., p 1, mutta D p s x t on stationaarinen.

21 Trendi ja kausivaihtelu Jos stokastisen prosessin realisaatiossa nähdään sekä trendi että kausivaihtelua, saattaa stationaarisuuden saavuttamiseksi olla aiheellista tehdä sekä differensointi että kausidifferensointi. Esimerkki Jos kauden pituus s = 12 (kuukausiaikasarja), stationaarisuuden saavuttamiseksi joudutaan usein soveltamaan differentointia D 12 Dx t = DD 12 x t = (1 L)(1 L 12 )x t = ( 1 L L 12 + L 13) x t = x t x t 1 ( x t 12 x t 13 ).

22 Stationaarisen stokastisen prosessin spektri Jos aikasarjan analyysi perustuu korrelaatiofunktioiden tarkasteluun, sanomme, että analyysi tapahtuu aika-alueessa. Stationaarisia stokastisia prosesseja on kuitenkin usein syytä tarkastella myös ns. taajuus- eli frekvenssialueessa Taajuusalueessa stationaarista stokastisia prosesseja analysoidaan prosessin spektrin f (λ) avulla. Taajuusalueen tarkasteluja voidaan käyttää paljastamaan prosesseissa esiintyvät sykliset komponentit. Stationaarisen stokastisen prosessin autokovarianssi-funktio γ k ja spektri f (λ) sisältävät täsmälleen saman informaation.

23 Stationaarisen prosessin spektritiheysfunktio f (λ) on f (λ) = 1 ( ) γ γ k cos(λk), λ [0, π], 2π k=1 missä γ k on prosessin k. autokovarianssi. λ: frekvenssi eli taajuus 2π/λ : aallonpituus (tai periodi, jakso) λ/2π : syklien lukumäärä aikayksikköä kohde Fakta γ k = π π π f (λ) cos(λk)dλ = 2 f (λ) cos(λk)dλ, 0 kaikilla kaikilla k = 0, 1, 2,... Erityisesti var(x t ) = γ 0 = 2 π 0 f (λ)dλ Tulkinta: Suure f (λ)dλ edustaa sellaisten syklisten komponenttien kontribuutiota prosessin varianssiin, joiden taajuus on (infinitesimaalisella) välillä [λ, dλ].

24 Stationaaristen stokastisten prosessien spektri: Aliasing f (λ) = 1 ( γ π k=1 ) γ k cos(λk), λ [0, π], Nähdään, että frekvenssejä λ ja λ ja frekvenssejä λ ja λ ± 2sπ, s = 1, 2,... ei voida erottaa toisistaan. Tämän ilmiön englanninkielisenä nimenä on aliasing. Riittää, että spektritiheysfunktiota tarkastellaan välillä [0, π]. Esim. Elokuvissa pyörät näyttävät pyörivän todellista nopeuttaan hitaammin ja jopa taaksepäin. Filmattaessa pyörimisliikkeestä poimitaan (ajassa otannalla) 24 havaintoa (kuvaa) sekunnissa. Samat havainnot olisi voitu saada todellista pyörimisnopeuttaan hitaammin tai jopa taakse päin pyörivästä pyörästä.

25 Stationaaristen stokastisten prosessien spektri: Nyquist-frekvenssi Frekvenssi λ = π on nimeltään Nyquist-frekvenssi. Syklisiä liikkeitä, joiden taajuus on Nyquist-frekvenssiä π suurempi ei voida erottaa sellaisista syklisistä liikkeistä, joiden taajuus on välillä [0, π]. Siten Nyquist-frekvenssiä λ = π vastaava periodi eli aallonpituus 2π/π = 2 on lyhin periodi, joka voidaan havaita. Seuraus: Syklisen liikkeen luonteesta ei voida saada kuvaa, ellei havaintoja kerätä vähintään 2 havaintoa/sykli. Esimerkki: Ilman lämpötilan vaihteluita vuorokauden sisällä ei voida ymmärtää, ellei lämpötilaa mitata vähintään 2 kertaa/vrk.

26 Stationaaristen stokastisten prosessien spektri ja sykliset komponentit Voidaan osoittaa, että syklinen komponentti, jonka periodi on s, näkyy stationaarisen stokastisen prosessin spektrissä huippuina perustaajuuden λ s = 2π/s lisäksi myös harmonisilla frekvensseillä kλ s, k = 1, 2,..., s/2, missä s 2 = max{m Z m s/2}, eli suurin kokonaisluku, joka on enintään s/2. Esimerkki Jos s = 4 (neljännesvuosiaikasarja) perustaajuutena on λ 4 = π/2 ja harmonisia frekvenssejä on vain yksi: taajuudella π Jos s = 12 (kuukausiaikasarja) perustaajuutena on λ 12 = π/6 ja harmoniset frekvenssit ovat 2π/6, 3π/6, 4π/6, 5π/6 ja π

27 Sisältö 1 Stationaariset stokastiset prosessit 2 ARMA-mallit

28 Aikasarjojen mallintaminen ARMA-prosesseina ARMA-prosessit muodostavat aikasarja-analyysin soveltamisen kannalta keskeisen stationaaristen stokastisten prosessien luokan: AR-malli = Autoregressiivinen malli (Autoregressive Model) MA-malli = Liukuvan keskiarvon malli (Moving Average Model) ARMA-malli = Autoregressiivinen liukuvan keskiarvon malli (Autoregressive Moving Average Model) SAR-malli = Kausivaihtelu-AR-malli (Seasonal AR-model) SMA-malli = Kausivaihtelu-MA-malli (Seasonal MA-model) SARMA-malli = Kausivaihtelu-ARMA-malli (Seasonal ARMA-model) ARIMA-malli = Integroitu ARMA-malli (Integrated ARMA-model) SARIMA-malli = Integroitu kausivaihtelu-arma-malli (Integrated Seasonal ARMA-model)

29 Puhtaasti satunnainen stokastinen prosessi Diskreetti stokastinen prosessi (ɛ t ) t T on puhtaasti satunnainen, jos (i) E[ɛ t ] = µ, t T (ii) var(ɛ t ) = σ 2, t T (iii) cov(ɛ t, ɛ s ) = 0, t s Jos puhtaasti satunnaisen prosessin odotusarvo µ = 0, niin sitä sanotaan valkoiseksi kohinaksi (White noise), (ɛ t ) t T WN(0, σ 2 ). Jos valkoisen kohinan satunnaismuuttujat ɛ t ja ɛ s, kaikilla s t ovat lisäksi riippumattomia ja samoin jakautuneita, niin merkitään (ɛ t ) t T IID(0, σ 2 )

30 AR(p)-malli Autoregressiivinen prosessi astetta p: x t = φ 1 x t 1 + φ 2 x t φ p x t p + ɛ t, (ɛ t ) t T WN(0, σ 2 ). Nimi autoregressiivinen, koska se riippuu omista arvoistaan aiemmilla ajanhetkillä ja on muodoltaan samanlainen kuin lineaarinen regressiomalli: y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x β p x p + ɛ jossa Selitettävä on x t ja selittäjät x t 1, x t 2,..., x t p. Regressiokertoimet: β 0 = 0 ja β i = φ i, i = 1,..., p. Jäännöstermi on ɛ t. Esimerkki AR(1)-prosessi: x t = φ 1 x t 1 + ɛ t, (ɛ t ) t T WN(0, σ 2 )

31 Valkoinen kohina vs AR(1) WN Time AR(1) Time

32 MA(q)-malli Liukuvan keskiarvon prosessi astetta q. x t = ɛ t + θ 1 ɛ t 1 + θ 2 ɛ t θ q ɛ t q, (ɛ t ) t T WN(0, σ 2 ) Prosessin arvo riippuu valkoisen kohinan arvoista ajanhetkillä t q,..., t: se on satunnaismuuttujien ɛ t q,..., ɛ t painotettu summa Esimerkki MA(1)-prosessi: x t = ɛ t + θ 1 ɛ t 1, (ɛ t ) t T WN(0, σ 2 )

33 Valkoinen kohina vs MA(1) WN Time MA(1) Time

34 ARMA(p, q)-malli Autoregressiivinen liukuvan keskiarvon prosessi, jonka AR-osan aste on p ja MA-osan aste on q: x t φ 1 x t 1 φ 2 x t 2... φ p x t p = ɛ t +θ 1 ɛ t 1 +θ 2 ɛ t θ q ɛ t q, missä (ɛ t ) t T WN(0, σ 2 ). x t riippuu sekä satunnaismuuttujien x t 1,.., x t q että ɛ 1,..., ɛ t q painotetuista summista. Esimerkki ARMA(1,1): x t φ 1 x t 1 = ɛ t + θ 1 ɛ t 1 x t = φ 1 x t 1 + θ 1 ɛ t 1 + ɛ t ARMA(p, q)-mallia sanotaan usein sekamalliksi, kun AR(p) ja MA(q) sanotaan puhtaiksi malleiksi.

35 Valkoinen kohina vs ARMA(1,1) WN Time MA(1) Time

36 SAR(P) s -malli ja SMA(Q) s -malli Kausivaihtelu-AR-prosessi astetta P, jossa kauden pituus on s: x t = Φ 1 x t s +Φ 2 x t 2s +...+Φ P x t Ps +ɛ t, (ɛ t ) t T WN(0, σ 2 ). Kausivaihtelu-MA-prosessi astetta Q, jossa kauden pituus on s: x t = ɛ t +Θ 1 ɛ t s +Θ 2 ɛ t 2s +...+Θ Q ɛ t Qs, (ɛ t ) t T WN(0, σ 2 ). Esimerkki SAR(2) 12 -prosessi: SAR(1) 6 -prosessi: x t = Φ 1 x t 12 + Φ 2 x t 24 + ɛ t x t = ɛ t + Θ 1 ɛ t 6

37 Valkoinen kohina vs SAR(2) 12 WN Time SAR(2) Time

38 Valkoinen kohina vs SMA(1) 6 WN Time SMA(2) Time

39 SARMA(P, Q) s -malli Kausivaihtelu-ARMA-prosessi, jossa kauden pituus on s, kausi-ar-osa on astetta P ja kausi-ma-osa on astetta Q: x t Φ 1 x t s... Φ P x t Ps = ɛ t + Θ 1 ɛ t s Θ Q ɛ t Qs, missä (ɛ t ) t T WN(0, σ 2 ). Esimerkki SARMA(2,1) 4 : x t Φ 1 x t 4 Φ 2 x t 8 = ɛ t + Θ 1 ɛ t 4 x t = Φ 1 x t 4 + Φ 2 x t 8 + Θ 1 ɛ t 4 + ɛ t Entä jos on AR ja kausi AR-osat sekä MA ja kausi-ma osat? Tarvitaan viiveoperaattorin polynomeja, jotta merkinnät mahtuu kalvoille.

40 Viivepolynomit: Määritelmä Viivepolynomi astetta r on: δ r (L) = 1 + δ 1 L + δ 2 L δ r L r. Operaattorin L lineaarisuudesta seuraa, että Esimerkki δ r (L)x t = ( 1 + δ 1 L + δ 2 L δ r L r ) x t = x t + δ 1 Lx t + δ 2 L 2 x t δ r L r x t = x t + δ 1 x t 1 + δ 2 x t δ r x t r. Jos φ(l) := 1 φ 1 L ja Φ(L) := 1 Φ 1 L 12, niin φ(l)φ(l)x t = ( 1 φ 1 L )( 1 Φ 1 L 12) = ( 1 φ 1 L Φ 1 L 12 + φ 1 Φ 1 L 13) x t = x t φ 1 x t 1 Φ 1 x t 12 + φ 1 Φ 1 x t 13.

41 SARMA(p, q)(p, Q) s -malli Kerrannainen kausivaihtelu-arma-prosessi, jossa kauden pituus on s: Φ s P (L)φ p(l)x t = Θ s Q (L)θ q(l)ɛ t, (ɛ t ) t T WN(0, σ 2 ), missä φ p, θ q, Φ s P ja Θs Q ovat viivepolynomit, φ p (L) = 1 φ 1 L φ 2 L 2... φ p L p θ q (L) = 1 + θ 1 L + θ 2 L θ q L q Φ s P (L) = 1 Φ 1L s Φ 2 L 2s... Φ P L Ps Θ s Q (L) = 1 + Θ 1L s + Θ 2 L 2s Θ Q L Qs

42 SARMA(p, q)(p, Q) s -malli Φ s P (L)φ p(l) = Θ s Q (L)θ q(l) + ɛ t, (ɛ t ) t T WN(0, σ 2 ), Mallissa on p + P + q + Q rakenneparametria: AR-osa p astetta; parametrit: φ 1, φ 2,..., φ p Kausi-AR-osa P astetta; parametrit: Φ 1, Φ 2,..., Φ P MA-osa q astetta, parametrit: θ 1, θ 2,..., θ q Kausi-MA-osan Q astetta, parametrit: Θ 1, Θ 2,..., Θ Q

43 SARMA(p, q)(p, Q) s -mallin erikoistapaukset SARMA(p, q)(p, Q) s -mallin Φ s P (L)φ p(l)x t = Θ s Q (L)θ q(l)ɛ t, (ɛ t ) t T WN(0, σ 2 ) sisältää erikoistapauksenaan kaikki edellä määritellyt mallit stationaarisille stokastisille prosesseille: AR(p) MA(q) ARMA(p, q) SAR(P) s SMA(Q) s SARMA(P, Q) s

44 Viivepolynomin juuret Algebran peruslauseen mukaan astetta r olevalla viivepolynomilla δ r (L) = 1 + δ 1 L + δ 2 L δ r L r on r juurta, jotka saattavat olla kompleksisia. Jos polynomin δ r (L) juuri on kompleksiluku z = x + iy, (x, y R, i 2 = 1), niin myös z:n konjugaatti- eli liittoluku z = x iy on polynomin δ r (L) juuri. Siten polynomilla δ r (L) on aina parillinen lukumäärä kompleksisia juuria. Esimerkki Olkoon φ(l) = 1 L L2. Silloin polynomin φ(l) juuret L 1 = 1 + i ja L 2 = 1 i ovat yksikköympyrön ulkopuolella: L 1 2 = L 2 2 = 2.

45 SARMA(p, q)(p, Q) s -malli: Stationaarisuus SARMA(p, q)(p, Q) s -prosessi on stationaarinen, jos mallin AR-osan määräävien viivepolynomien φ p (L) = 1 φ 1 L φ 2 L 2... φ p L p Φ s P (L) = 1 Φ 1L s Φ 2 L 2s... Φ P L Ps juuret ovat yksikköympyrän ulkopuolella (tai niitä ei ole). Fakta SARMA prosessia ei voida tutkia käyttämällä auto- ja osittaiskorrelaatiofunktioita sekä spektriä, ellei se ole stationaarinen.

46 SARMA(p, q)(p, Q) s -malli: Stationaarisuus Jos SARMA(p, q)(p, Q) s -prosessi x t on stationaarinen, niin sillä on MA( )-esitys missä sarja x t = Ψ(L)ɛ t, (ɛ t ) t T WN(0, σ 2 ), Ψ(L) = φ 1 (L)Φ 1 (L)θ(L)Θ(L) = ψ i L i, (ψ 0 = 1) i=0 suppenee itseisesti ja kvadraattisesti.

47 SARMA(p, q)(p, Q) s -malli: Käännettävyys SARMA(p, q)(p, Q) s -prosessi on käännettävä, jos mallin MA-osan määräävien viivepolynomien θ q (L) = 1 + θ 1 L + θ 2 L θ q L q Θ s Q (L) = 1 + Θ 1L s + Θ 2 L 2s Θ Q L Qs juuret ovat yksikköympyrän ulkopuolella. Fakta SARMA prosessin autokorrelaatio-funktio ei määrää yksikäsitteisesti prosessin MA- ja kausi-ma-osia, ellei prosessi ole käännettävä.

48 SARMA(p, q)(p, Q) s -malli: Käännettävyys Jos SARMA(p, q)(p, Q) s -prosessi on käännettävä, niin sillä on AR( )-esitys missä sarja Π(L)x t = ɛ t, (ɛ t ) t T WN(0, σ 2 ), Π(L) = θ 1 (L)Θ 1 (L)φ(L)Φ(L) = π i L i, (π 0 = 1) i=0 suppenee itseisesti ja kvadraattisesti.

49 Stationaarisuus ja käännettävyys Esimerkki 1 AR(p)-prosessi: x t = φ 1 x t 1 + φ 2 x t φ p x t p + ɛ t, (ɛ t ) t T WN(0, σ 2 ). On stationaarinen, jos AR-polynomin juuret ovat yksikköympyrän ulkopuolella. On aina käännettävä (valmiiksi käännetyssä muodossa). 2 MA(q)-prosessi x t = ɛ t +θ 1 ɛ t 1 +θ 2 ɛ t θ q ɛ t q, (ɛ t ) t T WN(0, σ 2 ). On aina stationaarinen, (painotettu summa kohinasta). On käännettävä, jos MA-polynomin juuret ovat yksikköympyrän ulkopuolella.

50 Ensi viikolla: 1 ARMA-mallit 1 Stationaaristen ARMA mallien tunnusluvut 2 ARIMA- ja SARIMA-mallit 2 ARMA-mallien rakentaminen 1 Tunnuslukujen estimointi 2 ARMA-mallin estimointi 3 Ennustaminen ARMA-malleilla

51 Luentokalvot pohjautuvat osittain Mellinin ja Liesiön aiempien vuosien kalvoihin.