MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi ARMA esimerkkejä
|
|
|
- Sofia Hiltunen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi ARMA esimerkkejä Tehtävä 4.1. Ncss-ohjelmiston avulla on generoitu AR(1)-, AR(2)-, MA(1)- ja MA(2)-malleja vastaavia aikasarjoja erilaisilla parametrien arvoilla. Tehtävänä on tutkia seuraavia asioita: (i) (ii) Miten parametrien valinta vaikuttaa mallien teoreettisiin autokorrelaatio- ja osittaisautokorrelaatiofunktioihin sekä spektriin? Miten parametrien valinta vaikuttaa generoitujen aikasarjojen ilmeeseen? (iii) Miten paljon estimoidut autokorrelaatio- ja osittaisautokorrelaatiofunktiot sekä spektri eroavat vastaavista teoreettisista funktioista? Tarkastelemme erityisesti seuraavia seikkoja: Miten mallin viivepolynomien asteluvut ja parametrien arvot vaikuttavat mallin teoreettisiin autokorrelaatio- ja osittaisautokorrelaatiofunktioihin sekä spektriin? Miten mallin viivepolynomien asteluvut ja parametrien arvot vaikuttavat mallista generoidun aikasarjan rytmiikkaan? Miten generoidun aikasarjan rytmiikka sekä estimoidut autokorrelaatio- ja osittaisautokorrelaatiofunktiot sekä spektri liittyvät toisiinsa? Miten estimoidut autokorrelaatio- ja osittaisautokorrelaatiofunktiot sekä spektri kuvastavat vastaavien teoreettisten suureiden ominaisuuksia? Generoidut ARMA-mallit (käytetyt parametrien arvot on annettu mallin tyypin jälkeen): (1) xt = at, at i.i.d.(0, 2 ) (2) AR(1): 0.9 (3) AR(1): 0.9 (4) MA(1): 0.9 (5) MA(1): 0.9 (6) AR(2): 0.6, 0.3 (7) AR(2): 0.6, 0.3 (8) AR(2): 1, 0.5 (9) AR(2): 1, 0.5 (10) MA(2): 0.5, 0.3 (11) MA(2): 0.5, 0.3 (12) MA(2): 1, 0.5 (13) MA(2): 1, 0.5
2 Huomaa, että Ncss parametroi ARMA-mallit seuraavalla tavalla: AR(1): xt 1xt 1 = at, at i.i.d.(0, 2 ) MA(1): xt = at 1at 1, at i.i.d.(0, 2 ) AR(2): xt 1xt 1 2xt 2 = at, at i.i.d.(0, 2 ) MA(2): xt = at 1at 1 2at 2, at i.i.d.(0, 2 ) Siten AR-mallit on parametroitu kuten luentokalvoilla, mutta MA-mallin parametreille pätee: Huomautuksia: Ncss = Kalvot (1) Esimerkkien (1) (13) ARMA-mallien parametrit on valittu sellaisella tavalla, että puhtaiden AR- ja MA-prosessien, joiden asteluku 2, teoreettisten korrelaatiofunktioiden ja spektrien kaikki mahdolliset tyypit tulevat esiin. Ideana on näyttää millaisia muotoja puhtaiden AR- ja MA-prosessien teoreettiset korrelaatiofunktiot ja spektri voivat saada sekä näyttää se, millaisilta näyttävät ko. malleista generoitujen aikasarjojen estimoidut korrelaatiofunktiot ja spektrit. Vertaamalla teoreettisia ja estimoituja korrelaatiofunktioita ja spektrejä toisiinsa voi saada käsityksen siitä, miten hyvin (tai huonosti) aikasarjasta estimoidut korrelaatio- funktiot ja estimoitu spektri vastaavat sen puhtaan AR- tai MA-prosessin teoreettisia korrelaatiofunktioita ja spektrejä, josta ko. aikasarja on generoitu. Huomaa, että todellisissa tutkimustilanteissa ARMA-mallin tunnistamisessa on käytettävissä vain havaittu aikasarja sekä siitä estimoidut korrelaatiofunktiot ja spektri. (2) Esimerkkien (1) (13) puhtaat AR- ja MA-prosessit on helppo tunnistaa niiden teoreettisten korrelaatiofunktioiden perusteella Koska esimerkkien (1) (13) ARMA-malleista generoiduista aikasarjoista (ko. ARMA-prosessien realisaatioista) estimoidut korrelaatiofunktiot ja spektrit jäljittelevät vähintäänkin kohtuullisesti vastaavien teoreettisten korrelaatiofunktioiden ja spektrien ominaisuuksia, ko. aikasarjan generoineen ARMA-prosessin tunnistaminen onnistuu suhteellisen helposti. Tämä johtuu (ainakin osittain) siitä, että parametrien arvot on valittu sellaisella tavalla, että ko. aikasarjan generoinut ARMA-prosessi olisi helppo löytää. Todellisissa tutkimustilanteissa tunnistaminen ei ole (ainakaan aina) näin helppoa. (3) Huomaa, että NCSS muuttuja Frequency on laskettu: F = λ stokastisen prosessin syklinen komponentti näkyy kuvaajissa F = λ s on syklisen komponentin periodi. 2π. Tällöin stationaarisen 2π = 1 s, missä s
3 (1) xt = at, at i.i.d.(0, 2 ) Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0;0;0;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) Theta(MA) Model is stationary and model is invertible.
4 Autocorrelation Report Variable WN (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable WN (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section
5 (2) AR(1): 0.9 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0.9;0;0;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) Phi(AR) Theta(MA) Model is stationary and model is invertible.
6 Autocorrelation Report Variable AR11 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable AR11 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section
7 (3) AR(1): 0.9 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(-0.9;0;0;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) Phi(AR) Theta(MA) Model is stationary and model is invertible.
8 Autocorrelation Report Variable AR12 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable AR12 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section
9 (4) MA(1): 0.9 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0;0;0.9;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Name Lag Value Root Imaginary Root Phi(AR) Theta(MA) Theta(MA) Model is stationary and model is invertible.
10 Autocorrelation Report Variable MA11 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable MA11 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section
11 (5) MA(1): 0.9 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0;0;-0.9;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Name Lag Value Root Imaginary Root Phi(AR) Theta(MA) Theta(MA) Model is stationary and model is invertible.
12 Autocorrelation Report Variable MA12 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable MA12 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section
13 (6) AR(2): 0.6, 0.3 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0.6,0.3;0;0;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) Phi(AR) Phi(AR) Theta(MA) Model is stationary and model is invertible.
14 Autocorrelation Report Variable AR21 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable AR21 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section
15 (7) AR(2): 0.6, 0.3 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(-0.6,0.3;0;0;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) Phi(AR) Phi(AR) Theta(MA) Model is stationary and model is invertible.
16 Autocorrelation Report Variable AR22 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable AR22 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section
17 (8) AR(2): 1, 0.5 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(1,-0.5;0;0;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) Phi(AR) Phi(AR) Theta(MA) Model is stationary and model is invertible.
18 Autocorrelation Report Page/Date/Time :54:43 Database C:\Documents and Settings\Il... \AsDatatiedostot\GENARMA1.S0 Variable AR23 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable AR23 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section
19 (9) AR(2): 1, 0.5 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(-1,-0.5;0;0;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) Phi(AR) Phi(AR) Theta(MA) Model is stationary and model is invertible.
20 Autocorrelation Report Variable AR24 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable AR24 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section
21 (10) MA(2): 0.5, 0.3 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0;0;-0.5,0.3;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) Theta(MA) Theta(MA) Theta(MA) Model is stationary and model is invertible.
22 Autocorrelation Report Variable MA21 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable MA21 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section
23 (11) MA(2): 0.5, 0.3 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0;0;0.5,0.3;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) Theta(MA) Theta(MA) Theta(MA) Model is stationary and model is invertible.
24 Autocorrelation Report Variable MA22 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable MA22 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section
25 (12) MA(2): 1, 0.5 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0;0;1,-0.5;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) Theta(MA) Theta(MA) Theta(MA) Model is stationary and model is invertible.
26 Autocorrelation Report Variable MA23 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable MA23 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section
27 (13) MA(2): 1, 0.5 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0;0;-1,-0.5;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) Theta(MA) Theta(MA) Theta(MA) Model is stationary and model is invertible.
28 Autocorrelation Report Variable MA24 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable MA24 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section
29 Tehtävä 4.2. Ncss-ohjelmiston avulla on generoitu ARMA(1,1)-, SAR(1)-, SMA(1)- ja SARMA(1,1,1,1)- malleja vastaavia aikasarjoja erilaisilla parametrien arvoilla. Tehtävänä on tutkia seuraavia asioita: (i) (ii) Miten parametrien valinta vaikuttaa mallien teoreettisiin autokorrelaatio- ja osittaisautokorrelaatiofunktioihin sekä spektriin? Miten parametrien valinta vaikuttaa generoitujen aikasarjojen ilmeeseen? (iii) Miten paljon estimoidut autokorrelaatio- ja osittaisautokorrelaatiofunktiot sekä spektri eroavat vastaavista teoreettisista funktioista? Tarkastelemme erityisesti seuraavia seikkoja: Miten mallin viivepolynomien asteluvut ja parametrien arvot vaikuttavat mallin teoreettisiin autokorrelaatio- ja osittaisautokorrelaatiofunktioihin sekä spektriin? Miten mallin viivepolynomien asteluvut ja parametrien arvot vaikuttavat mallista generoidun aikasarjan rytmiikkaan? Miten generoidun aikasarjan rytmiikka sekä estimoidut autokorrelaatio- ja osittaisautokorrelaatiofunktiot sekä spektri liittyvät toisiinsa? Miten estimoidut autokorrelaatio- ja osittaisautokorrelaatiofunktiot sekä spektri kuvastavat vastaavien teoreettisten suureiden ominaisuuksia? Generoidut mallit (parametrit on annettu mallin tyypin jälkeen): (1) ARMA(1,1): 0.7; 0.4 (2) ARMA(1,1): 0.7; 0.4 (3) ARMA(1,1): 0.5; 0.5 (4) ARMA(1,2): 0.5; 0.5 (5) SAR(1): 0.8 (6) SAR(1): 0.8 (7) SMA(1): 0.8 (8) SMA(1): 0.8 (9) SARMA(1,1,1,1): 0.8; 0.7; 0.7; 0.5 (10) SARMA(1,1,1,1): 0.5; 0.7; 0.7; 0.5 Kauden pituutena on käytetty arvoa s = 12. Huomaa, että Ncss parametroi ARMA-mallit seuraavalla tavalla: ARMA(1,1): xt 1xt 1 = at 1at 1, at i.i.d.(0, 2 ) SAR(1): xt 1xt s = at, at i.i.d.(0, 2 ) SMA(1): xt = at 1at s, at i.i.d.(0, 2 ) SARMA(1,1,1,1): (1 1L)(1 1L s )xt = (1 1L)(1 1L s )at, at i.i.d.(0, 2 ) Siten AR-mallit on parametroitu kuten luentokalvoilla, mutta MA-mallin parametreille pätee: Ncss = Kalvot
30 Huomautuksia: (1) Esimerkkien (1) (10) ARMA-mallien parametrit on valittu sellaisella tavalla, että ARMA(1,1), SAR(1)- ja SMA(1)-prosessien teoreettisten korrelaatiofunktioiden ja spektrien kaikki mahdolliset tyypit tulevat esiin. SARMA(1,1,1,1)-mallien erilaista parametroinneista tarkastellaan vain kahta tyyppiesimerkkiä. Ideana on näyttää millaisia muotoja ym. ARMA-prosessien teoreettiset korrelaatiofunktiot ja spektri voivat saada sekä näyttää se, millaisilta näyttävät ko. malleista generoitujen aikasarjojen estimoidut korrelaatiofunktiot ja spektrit. Vertaamalla teoreettisia ja estimoituja korrelaatiofunktioita ja spektrejä toisiinsa voi saada käsityksen siitä, miten hyvin (tai huonosti) aikasarjasta estimoidut korrelaatiofunktiot ja estimoitu spektri vastaavat sen puhtaan AR- tai MA-prosessin teoreettisia korrelaatiofunktioita ja spektrejä, josta ko. aikasarja on generoitu. Huomaa, että todellisissa tutkimustilanteissa ARMA-mallin tunnistamisessa on käytettävissä vain havaittu aikasarja sekä siitä estimoidut korrelaatiofunktiot ja spektri. (2) Esimerkkien (1) (10) puhtaat SAR- tai SMA-prosessit on helppo tunnistaa niiden teoreettisten korrelaatiofunktioiden perusteella. Sen sijaan ARMA(1,1)-mallien ja etenkään SARMA(1,1,1,1)-mallien tunnistaminen ei ole (aivan) yhtä helppoa. Koska esimerkkien (1) (10) ARMA-malleista generoiduista aikasarjoista (ko. ARMA-prosessien realisaatioista) estimoidut korrelaatiofunktiot ja spektrit jäljittelevät kohtuullisen hyvin vastaavien teoreettisten korrelaatiofunktioiden ja spektrien ominaisuuksia, ko. aikasarjan generoineen ARMA-prosessin tunnistaminen onnistuu kuitenkin melko helposti. Tämä johtuu (ainakin osittain) siitä, että parametrien arvot on valittu sellaisella tavalla, että ko. aikasarjan generoinut ARMA-prosessi olisi kohtuullisen helppo löytää. Todellisissa tutkimustilanteissa tunnistaminen ei ole (ainakaan aina) näin helppoa.
31 (1) ARMA(1,1): 0.7; 0.4 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0.7;0;0.4;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) Phi(AR) Theta(MA) Theta(MA) Model is stationary and model is invertible.
32 Autocorrelation Report Variable ARMA111 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable ARMA111 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section
33 (2) ARMA(1,1): 0.7; 0.4 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(-0.7;0;-0.4;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) Phi(AR) Theta(MA) Theta(MA) Model is stationary and model is invertible.
34 Autocorrelation Report Variable ARMA112 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable ARMA112 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section
35 (3) ARMA(1,1): 0.5; 0.5 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0.5;0;-0.5;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) Phi(AR) Theta(MA) Theta(MA) Model is stationary and model is invertible.
36 Autocorrelation Report Variable ARMA113 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable ARMA113 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section
37 (4) ARMA(1,1): 0.5; 0.5 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(-0.5;0;0.5;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) Phi(AR) Theta(MA) Theta(MA) Model is stationary and model is invertible.
38 Autocorrelation Report Variable ARMA114 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable ARMA114 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section
39 (5) SAR(1): 0.8 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0;0.8;0;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Polynomial too large or numerically instable.
40 Autocorrelation Report Variable SAR11 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable SAR11 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section
41 (6) SAR(1): 0.8 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0;-0.8;0;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Polynomial too large or numerically instable.
42 Autocorrelation Report Variable SAR12 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable SAR12 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section
43 (7) SMA(1): 0.8 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0;0;0;0.8) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Polynomial too large or numerically instable.
44 Autocorrelation Report Variable SMA11 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable SMA11 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section
45 (8) SMA(1): 0.8 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0;0;0;-0.8) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Polynomial too large or numerically instable.
46 Autocorrelation Report Variable SMA12 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable SMA12 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section
47 (9) SARMA(1,1,1,1): 0.8; 0.7; 0.7; 0.5. Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0.8;-0.7;0.7;0.5) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Polynomial too large or numerically instable.
48 Autocorrelation Report Variable SARMA11111 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable SARMA11111 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section
49 (10) SARMA(1,1,1,1): 0.5; 0.7; 0.7; 0.5 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(-0.5;-0.7;0.7;0.5) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Polynomial too large or numerically instable.
50 Autocorrelation Report Variable SARMA11112 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable SARMA11112 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section
Stationaariset stokastiset prosessit ja ARMA-mallit
Stationaariset stokastiset prosessit ja ARMA-mallit MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
ARMA mallien ominaisuudet ja rakentaminen
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Viikko 4: 1 ARMA-mallien ominaisuudet 1 Stationaaristen
4. Tietokoneharjoitukset
4. Tietokoneharjoitukset Demotehtävät 4.1 Tarkastellaan seuraavia aikasarjoja. Tiedosto (.txt) Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus INTEL Intel_Close Intelin osakekurssi Pörssipäivä n = 20 Intel_Volume
4. Tietokoneharjoitukset
4. Tietokoneharjoitukset Demotehtävät 4.1 Tarkastellaan seuraavia aikasarjoja. Tiedosto (.txt) Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus INTEL Intel_Close Intelin osakekurssi Pörssipäivä n = 20 Intel_Volume
Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus. Intelin osakekurssi. (Pörssi-) päivä n = 20 Intel_Volume. Auringonpilkkujen määrä
MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi 4. harjoitukset / Tehtävät Kotitehtävät: 3, 5 Aihe: ARMA-mallit Tehtävä 4.1. Tutustu seuraaviin aikasarjoihin: Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan
ARMA mallien ominaisuudet ja rakentaminen
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2017 Viikko 4: 1 ARMA-mallien ominaisuudet 1 Stationaaristen
Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Stationaariset stokastiset prosessit
Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Stationaariset stokastiset prosessit TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Stationaariset stokastiset prosessit >> Stationaariset stokastiset prosessit Integroituvuus Korrelaatiofunktioiden
Viikon 5 harjoituksissa käytämme samoja aikasarjoja kuin viikolla 4. Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus
MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi 5. harjoitukset / Tehtävät Kotitehtävät: 2 Aihe: ARMA-mallit Viikon 5 harjoituksissa käytämme samoja aikasarjoja kuin viikolla 4. Tehtävä 5.1. Tarkastellaan
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016) Tavoitteet (teoria): Hallita autokovarianssifunktion ominaisuuksien tarkastelu. Osata laskea autokovarianssifunktion spektriiheysfunktio. Tavoitteet
3. Tietokoneharjoitukset
3. Tietokoneharjoitukset Aikasarjan logaritmointi Aikasarjoja analysoidaan usein logaritmisessa muodossa. Asialooginen perustelu logaritmoinnille: Muuttujan arvojen suhteelliset muutokset ovat usein tärkeämpiä
ARMA mallien rakentaminen, Kalmanin suodatin
ARMA mallien rakentaminen, Kalmanin suodatin MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016
8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH
8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH Osa aikasarjoista kehittyy hyvin erityyppisesti erilaisissa tilanteissa. Esimerkiksi pörssikurssien epävakaus keskittyy usein lyhyisiin
ARMA mallien rakentaminen, johdatus dynaamisiin regressiomalle
ARMA mallien rakentaminen, johdatus dynaamisiin regressiomalleihin MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Kertaus. MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 1: Yleinen lineaarinen malli 1 Määritelmä
Signaalimallit: sisältö
Signaalimallit: sisältö Motivaationa häiriöiden kuvaaminen ja rekonstruointi Signaalien kuvaaminen aikatasossa, determinisitinen vs. stokastinen Signaalien kuvaaminen taajuustasossa Fourier-muunnos Deterministisen
Kertaus. MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2017 Viikko 1: Yleinen lineaarinen malli 1 Määritelmä
Dynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
Auringonpilkkujen jaksollisuus
Mat-2.108 Sovelletun matematiikan erikoistyöt 16.1.2004 Auringonpilkkujen jaksollisuus Teknillinen korkeakoulu Systeemianalyysin laboratorio Keijo Jaakola 51624B 1 1. Johdanto...3 2. Aikasarjamalleja...3
Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi ARMA-mallit
Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi ARMA-mallit TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 ARMA-mallit >> ARMA-mallit ja niiden ominaisuudet ARMA-mallien auto- ja osittaisautokorrelaatiofunktiot ARMA-mallien spektri ARMA-mallien
6.5.2 Tapering-menetelmä
6.5.2 Tapering-menetelmä Määritelmä 6.7. Tapering on spektrin estimointimenetelmä, jossa estimaattori on muotoa f m (ω) = 1 m ( ) k w 2π m Γ(k)e ikω, k= m missä Γ on otosautokovarianssifunktio ja ikkunafunktio
6.2.3 Spektrikertymäfunktio
ja prosessin (I + θl + + θl q )ε t spektritiheysfunktio on Lemman 6. ja Esimerkin 6.4 nojalla σ π 1 + θ 1e iω + + θ q e iqω. Koska viivepolynomien avulla määritellyt prosessit yhtyvät, niin myös niiden
Ennustaminen ARMA malleilla ja Kalmanin suodin
Ennustaminen ARMA malleilla ja Kalmanin suodin MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2017
Tilastotieteessä aikasarja tarkoittaa yleensä sarjaa, jossa peräkkäisten havaintojen aikaväli on aina sama.
Aikasarjat Tilastotieteessä aikasarja tarkoittaa yleensä sarjaa, jossa peräkkäisten havaintojen aikaväli on aina sama. Aikasarja on laajassa mielessä stationäärinen (wide sense stationary, WSS), jos odotusarvo
A250A0050 Ekonometrian perusteet Tentti
A250A0050 Ekonometrian perusteet Tentti 28.9.2016 Tentissä ei saa käyttää laskinta. Tentistä saa max 80 pistettä. Hyväksytysti suoritetusta harjoitustyöstä saa max 20 pistettä. Huom. Merkitse vastauspaperin
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio. Mat Systeemien Identifiointi. 4. harjoitus
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.4129 Systeemien Identifiointi 4. harjoitus 1. a) Laske valkoisen kohinan spektraalitiheys. b) Tarkastellaan ARMA-prosessia C(q 1 )y = D(q 1 )e,
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2017 Aikataulu ja suoritustapa (Katso MyCourses) Luennot
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Aikataulu ja suoritustapa (Katso MyCourses) Luennot
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 1 (26) Fourier-muunnos ja jatkuva spektri Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka esittäminen graafisesti edellyttää 3D-kuvaajan piirtämisen. Yleensä
Laskuharjoitus 9, tehtävä 6
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Jouni Pousi Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.4129 Systeemien identifiointi Laskuharjoitus 9, tehtävä 6 Tämä ohje sisältää vaihtoehtoisen tavan laskuharjoituksen
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 6 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 6 (2016) Tavoitteet (teoria): Hahmottaa aikasarjan klassiset komponentit ideaalisessa tilanteessa. Ymmärtää viivekuvauksen vaikutus trendiin. ARCH-prosessin
Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Aikasarjat
Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Aikasarjat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Aikasarjat >> Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen esikäsittely Aikasarjojen dekomponointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 2 Aikasarjat:
Dynaamisten systeemien identifiointi 1/2
Dynaamisten systeemien identifiointi 1/2 Mallin rakentaminen mittausten avulla Epäparametriset menetelmät: tuloksena malli, joka ei perustu parametreille impulssi-, askel- tai taajusvaste siirtofunktion
ARIMA- ja GARCH-mallit sekä mallin sovittaminen osakeaineistoon
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Laura Lizana Bister ARIMA- ja GARCH-mallit sekä mallin sovittaminen osakeaineistoon Informaatiotieteiden laitos Matematiikka Syyskuu 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden
Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I. Datan käsittely. Jyri Lehtinen. kevät Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos
Datan käsittely Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos kevät 2013 3. Datan käsittely Luennon sisältö: Havaintovirheet tähtitieteessä Korrelaatio Funktion sovitus Aikasarja-analyysi 3.1 Havaintovirheet Satunnaiset
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 5 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 5 (2016) Tavoitteet (teoria): Ymmärtää kausivaihtelun käsite ja sen yhteys otoshetkiin. Oppia käsittelemään periodogrammia.. Tavoitteet (R): Periodogrammin,
Missä mennään. systeemi. identifiointi. mallikandidaatti. validointi. malli. (fysikaalinen) mallintaminen. mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot
Missä mennään systeemi mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot käyttö- (fysikaalinen) mallintaminen luonnonlait yms. yms. identifiointi kokeita kokeita + päättely päättely vertailu mallikandidaatti validointi
Identifiointiprosessi
Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi
9. Tila-avaruusmallit
9. Tila-avaruusmallit Aikasarjan stokastinen malli ja aikasarjasta tehdyt havainnot voidaan esittää joustavassa ja monipuolisessa muodossa ns. tila-avaruusmallina. Useat aikasarjat edustavat dynaamisia
STOKASTISET PROSESSIT
TEORIA STOKASTISET PROSESSIT Satunnaisuutta sisältävän tapahtumasarjan kulkua koskevaa havaintosarjaa sanotaan aikasarjaksi. Sana korostaa empiirisen, kokeellisesti havaitun tiedon luonnetta. Aikasarjan
Tilastotieteen aihehakemisto
Tilastotieteen aihehakemisto hakusana ARIMA ARMA autokorrelaatio autokovarianssi autoregressiivinen malli Bayes-verkot, alkeet TILS350 Bayes-tilastotiede 2 Bayes-verkot, kausaalitulkinta bootstrap, alkeet
Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
6. Tietokoneharjoitukset
6. Tietokoneharjoitukset 6.1 Tiedostossa Const.txt on eräällä Yhdysvaltalaisella asuinalueella aloitettujen rakennusurakoiden määrä kuukausittain, aikavälillä 1966-1974. Urakoiden määrä on skaalattu asuinalueen
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe
SGN-100 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 6.4.010 Sivuilla 1- on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,
Harjoitus 7 : Aikasarja-analyysi (Palautus )
31C99904, Capstone: Ekonometria ja data-analyysi TA : markku.siikanen(a)aalto.fi & tuuli.vanhapelto(a)aalto.fi Harjoitus 7 : Aikasarja-analyysi (Palautus 28.3.2017) Tämän harjoituskerran tarkoitus on perehtyä
Runsauden vuotuiset indeksit. A) ln(r) B) Ln(residual of SB-R model) C) ln(larvae) D) Ln(SB) where R= recruitment SB=spawning biomass.
WETA907 Johdantoa aikasarja-analyysiinanalyysiin Introduction to Time Series Analysis Timo J. Marjomäki Jyväskylän yliopisto Reading: : Chatfield, C. 1989: The analysis of time series: An introduction.
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 3 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 3 (2016) Tavoitteet (teoria): Hallita multinormaalijakauman määritelmä. Ymmärtää likelihood-funktion ja todennäköisyystiheysfunktion ero. Oppia kirjoittamaan
Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
Aikasarjamallit. Pekka Hjelt
Pekka Hjelt Aikasarjamallit Aikasarja koostuu järjestyksessä olevista havainnoista, ja yleensä se on tasavälinen ja diskreetti eli havaintopisteet ovat erillisiä. Lisäksi aikasarjassa on yleensä autokorrelaatiota
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Aikataulu ja suoritustapa (Katso MyCourses) Luennot
Kvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI RUUTUUN!
Matematiikan TESTI 4, Maa7 Trigonometriset funktiot ATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TAKISTA TEHTÄVÄT
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe
SGN-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 9.3.009 Sivuilla - on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
TAKAVARIKKO TULLISSA
TAKAVARIKKO TULLISSA KOHDERYHMÄ: Työ on suunniteltu lukiolaisille. Erityisesti työ soveltuu kurssille KE2. KESTO: n. 30 min. Riippuen näytteiden määrästä ja ryhmän koosta. MOTIVAATIO: Tullin haaviin on
Kuva 3.1: Näyte Gaussisesta valkoisest kohinasta ε t N(0, 1) Aika t
Kuva 3.1: Näyte Gaussisesta valkoisest kohinasta ε t N(0, 1) Valkoinen kohina ε t 2 1 0 1 2 Voimme tehdä saman laskun myös yleiselle välille [ a, a], missä 0 < a
y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
Tilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi. Esimerkit laskettu JMP:llä
Tilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi Esimerkit laskettu JMP:llä Antti Hyttinen Tampereen teknillinen yliopisto 29.12.2003 ii Ohjelmien
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 1
1 SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 1 Millainen on signaalin spektri ja miten se lasketaan? SIGNAALIEN JA SPEKTRIN PERUSKÄSITTEITÄ 2 Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka graafinen
Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN
Tietoliikennesignaalit & spektri
Tietoliikennesignaalit & spektri 1 Tietoliikenne = informaation siirtoa sähköisiä signaaleja käyttäen. Signaali = vaihteleva jännite (tms.), jonka vaihteluun on sisällytetty informaatiota. Signaalin ominaisuuksia
Diskriminanttianalyysi I
Diskriminanttianalyysi I 12.4-12.5 Aira Hast 24.11.2010 Sisältö LDA:n kertaus LDA:n yleistäminen FDA FDA:n ja muiden menetelmien vertaaminen Estimaattien laskeminen Johdanto Lineaarinen diskriminanttianalyysi
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin
Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa
Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit aika ja taajuusalueissa Muunnokset aika ja taajuusalueiden välillä Fourier sarja (jaksollinen signaali) Fourier muunnos (jaksoton signaali)
Laskuharjoitus 2 ( ): Tehtävien vastauksia
TT12S1E Tietoliikenteen perusteet Metropolia/A. Koivumäki Laskuharjoitus 2 (11.9.2013): Tehtävien vastauksia 1. Eräässä kuvitteellisessa radioverkossa yhdessä radiokanavassa voi olla menossa samanaikaisesti
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa. Lohkominen (Blocking)
7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa Lohkominen (Blocking) Lohkotekijät muodostuvat faktoreista, joiden suhteen ei voida tehdä (täydellistä) satunnaistamista. Esimerkiksi faktorikokeessa raaka-aine-erät
y + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
Menetelmä Markowitzin mallin parametrien estimointiin (valmiin työn esittely)
Menetelmä Markowitzin mallin parametrien estimointiin (valmiin työn esittely) Lauri Nyman 17.9.2015 Ohjaaja: Eeva Vilkkumaa Valvoja: Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla
Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 41
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 4 Tehtävä 5 (L): a) Oletetaan, että λ 0 on kääntyvän matriisin A ominaisarvo. Osoita, että /λ on matriisin A
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Päättely yhden selittäjän lineaarisesta regressiomallista Ennustaminen, Ennuste, Ennusteen luottamusväli, Estimaatti, Estimaattori,
Osa 15 Talouskasvu ja tuottavuus
Osa 15 Talouskasvu ja tuottavuus 1. Elintason kasvu 2. Kasvun mittaamisesta 3. Elintason osatekijät Suomessa 4. Elintason osatekijät OECD-maissa 5. Työn tuottavuuden kasvutekijät Tämä on pääosin Mankiw
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 2016 Laskuharjoitus 5, Kotitehtävien palautus laskuharjoitusten
TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT
3.0.07 0 π TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT π = π 3π π = π 5π 6π = 3π 7π TRIGONOMETRISET FUNKTIOT, MAA7 Tarkastellaan aluksi sini-funktiota ja lasketaan sin :n arvoja, kun saa arvoja 0:sta 0π :ään
6.1 Autokovarianssifunktion karakterisaatio aikatasossa
6. Spektraalianalyysi Tällä kurssilla on käyty läpi eräitä stationääristen aikasarjojen ominaispiirteitä, kuten aikasarjaa mallintavan stokastisen prosessin X t odotusarvo E[X t ] ja autokovarianssifunktio
Tilastolliset ohjelmistot 805340A. Pinja Pikkuhookana
Tilastolliset ohjelmistot 805340A Pinja Pikkuhookana Sisältö 1 SPSS 1.1 Yleistä 1.2 Aineiston syöttäminen 1.3 Aineistoon tutustuminen 1.4 Kuvien piirtäminen 1.5 Kuvien muokkaaminen 1.6 Aineistojen muokkaaminen
Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
2. Teoriaharjoitukset
2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien
Projektisuunnitelma Korrelaatioiden ja varianssin estimointi kiinteistöportfolion tuotolle
Mat-2.177 Operaatiotutkimuksen projektityöseminaari 2007 Projektisuunnitelma 1.3.2007 Korrelaatioiden ja varianssin estimointi kiinteistöportfolion tuotolle Kohdeorganisaatio: Yhteyshenkilöt: Ryhmä: Tapiola
Otanta-aineistojen analyysi (78136, 78405) Kevät 2010 TEEMA 3: Frekvenssiaineistojen asetelmaperusteinen analyysi: Perusteita
Otanta-aineistojen analyysi (78136, 78405) Kevät 2010 TEEMA 3: Frekvenssiaineistojen asetelmaperusteinen analyysi: Perusteita risto.lehtonen@helsinki.fi OHC Survey Tilastollinen analyysi Kysymys: Millä
Virhearviointi. Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus.
Virhearviointi Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus. Virhelajit A. Tilastolliset virheet= satunnaisvirheet, joita voi arvioida tilastollisin menetelmin B. Systemaattiset virheet = virheet, joita
Pylväsdiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna Piirakkadiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna 2003 LKM 14.8% 11.2% 19.7% 4.9% 3.6% 45.
Pylväsdiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna Piirakkadiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna 8.8% 8.9%.%.% 9.7%.7% Etelä Länsi Itä Oulu Lappi Ahvenanmaa Länsi Etelä Itä Oulu Lappi Ahvenanmaa Läänien
Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,
3. Teoriaharjoitukset
3. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 3.1 a Olkoot u ja v satunnaumuuttujia, joilla on seuraavat ominaisuudet: E(u = E(v = 0 Var(u = Var(v = σ 2 Cov(u, v = E(uv = 0 Näytä että deterministinen prosessi. x
Dynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 6: 1 Kalmanin suodatin Aiemmin käsitellyt
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS AI-TUTKIJAN URANÄKYMIÄ AJATUSTENLUKUA COMPUTER VISION SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA MUUTTUJIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA
Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun
Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun Jouni Räisänen Helsingin yliopiston fysiikan laitos 15.1.2010 Vuorokauden keskilämpötila Talvi 2007-2008