Yhtälöryhmän herkkyys

Transkriptio

1 , L

2 Yksinkertainen esimerkki 3x + y z = x + y + z = x + y + z = 4 3 } {{ } =A x y z }{{} = x = 4 }{{} = b ratkaisu on x = x y z = A b =

3 Yksinkertainen esimerkki 3x + y z = x + y + z = x + y + z = 4 3 } {{ } =A x y z }{{} = x = 4 }{{} = b ratkaisu on x = x y z = A b = Jos jonkun yhtälön RHS muuttuu, niin myös ratkaisu muuttuu

4 Yksinkertainen esimerkki jatkuu Jos kolmannen yhtälön RHS kasvaa arvosta 4 arvoon, niin yhtälöryhmän ratkaisu muuttuu.

5 Yksinkertainen esimerkki jatkuu Jos kolmannen yhtälön RHS kasvaa arvosta 4 arvoon, niin yhtälöryhmän ratkaisu muuttuu. Uusi ratkaisu on ratkaisu on 3x + y z = x + y + z = x + y + z = 3 } {{ } =A x = x y z x y z }{{} = x = A b = =..7 }{{} = b

6 Yksinkertainen esimerkki 3 jatkuu Muutos ratkaisussa on. x = x x =.7 =.7. Kun siis yhdenkin yhtälön RHS muuttui, niin jokaisen muuttujan arvo ratkaisussa muuttui! = x y z

7 Yksinkertainen esimerkki 3 jatkuu Muutos ratkaisussa on. x = x x =.7 =.7. Kun siis yhdenkin yhtälön RHS muuttui, niin jokaisen muuttujan arvo ratkaisussa muuttui! = Jos pienikin muutos yhtälöryhmän RHS-luvuissa saa aikaan suuria muutoksia muuttujien ratkaisu-arvoihin sanomme, että yhtälöryhmä on herkkä. Herkkyydelle on olemassa mitta (kerroinmatriisin kuntoluku), mutta emme opettele sitä nyt. x y z

8 4 Edellisessä esimerkissä muutos RHS:ssä oli melko suuri. Seuraavaksi katsomme vastaavan esimerkin, jossa RHS:n muutos on pienempi (realistisempi, koska pieniä muutoksia on aina).

9 4 Edellisessä esimerkissä muutos RHS:ssä oli melko suuri. Seuraavaksi katsomme vastaavan esimerkin, jossa RHS:n muutos on pienempi (realistisempi, koska pieniä muutoksia on aina). Olkoon yhtälöryhmän kertoimet samat kuin edellisessä esimerkissä.

10 4 Edellisessä esimerkissä muutos RHS:ssä oli melko suuri. Seuraavaksi katsomme vastaavan esimerkin, jossa RHS:n muutos on pienempi (realistisempi, koska pieniä muutoksia on aina). Olkoon yhtälöryhmän kertoimet samat kuin edellisessä esimerkissä. Alkutilanteen RHS on b = 4

11 4 Edellisessä esimerkissä muutos RHS:ssä oli melko suuri. Seuraavaksi katsomme vastaavan esimerkin, jossa RHS:n muutos on pienempi (realistisempi, koska pieniä muutoksia on aina). Olkoon yhtälöryhmän kertoimet samat kuin edellisessä esimerkissä. Alkutilanteen RHS on b = 4 ja lopputilanteen RHS olkoon b 3 = = b + 4..

12 jatkuu b = 4, b =. =., b 3 = v + b = 4.

13 jatkuu b = 4, b =. =. Laskemme vastaavan muutoksen ratkaisuvektorissa x: x = x 3 x = A b 3 A b, b 3 = v + b = 4.

14 jatkuu b = 4, b =. =. Laskemme vastaavan muutoksen ratkaisuvektorissa x: x = x 3 x = A b 3 A b = A ( b 3 b ) = A b, b 3 = v + b = 4.

15 jatkuu b = 4, b =. =. Laskemme vastaavan muutoksen ratkaisuvektorissa x: x = x 3 x = A b 3 A b, b 3 = v + b = = A ( b 3 b ) = A b x = A b 4.

16 jatkuu b = 4, b =. =. Laskemme vastaavan muutoksen ratkaisuvektorissa x: x = x 3 x = A b 3 A b, b 3 = v + b = = A ( b 3 b ) = A b x = A b..7 =. =.. 4.

17 jatkuu b = 4, b =. =. Laskemme vastaavan muutoksen ratkaisuvektorissa x: x = x 3 x = A b 3 A b, b 3 = v + b = = A ( b 3 b ) = A b x = A b..7.7 =. =

18 6 Yksinkertainen periaate: Tarkastellaan yhtälöryhmää A x = b. Jos k:nnen yhtälön RHS kasvaa yhdellä, niin ratkaisuvektori muuttuu määrällä, joka on kerroinmatriisin käänteismatriisin k:nnes sarake.

19 6 Yksinkertainen periaate: Tarkastellaan yhtälöryhmää A x = b. Jos k:nnen yhtälön RHS kasvaa yhdellä, niin ratkaisuvektori muuttuu määrällä, joka on kerroinmatriisin käänteismatriisin k:nnes sarake. Merkitään A:n käänteismatriisin k:tta saraketta vektorilla u k = (u k u k...u nk ) T

20 6 Yksinkertainen periaate: Tarkastellaan yhtälöryhmää A x = b. Jos k:nnen yhtälön RHS kasvaa yhdellä, niin ratkaisuvektori muuttuu määrällä, joka on kerroinmatriisin käänteismatriisin k:nnes sarake. Merkitään A:n käänteismatriisin k:tta saraketta vektorilla u k = (u k u k...u nk ) T Täsmällisempi periaate: Tarkastellaan yhtälöryhmää A x = b. Jos yhtälöryhmän RHS kasvaa määrällä b = ( b b... b n ) T, niin ratkaisuvektori muuttuu määrällä x = A b = b u + b u +... b n u n