Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit"

Transkriptio

1 Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit

2 Sisältö

3

4 Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja naisten pituuksissa eroa tai alentaako lääke L verenpainetta tai kestääkö ruuviliitos R 1 ruuviliitosta R 2 paremmin.

5 Tilastolliseen tutkimukseen kuuluu hypoteesien tekeminen ja testaus. Tilastollinen hypoteesi on populaatiota koskeva väite, jonka todenperäisyyttä arvioidaan todennäköisyyksien avulla. Tilastollisen testin lähtökohtana on muodostaa nollahypoteesi H 0 ja vastahypoteesi H 1.

6 Testausasetelman hypoteesit Testausasetelma kiinnitetään tekemällä kolme oletusta: Testausasetelmaa koskevat perusoletukset, joista pidetään kiinni testauksen aikana, muodostavat testin (tai jakauman/mallin) yleisen hypoteesin H. Testattavaa väitettä/oletusta kutsutaan nollahypoteesiksi H 0. Jos nollahypoteesi hylätään testissä, astuu voimaan vaihtoehtoinen hypoteesi H 1.

7 Yleinen hypoteesi Yleinen hypoteesi H sisältää oletukset perusjoukosta, käytetystä otantamenetelmästä ja perusjoukon jakaumasta. Yleisen hypoteesin H oletuksista pidetään kiinni koko testauksen ajan. Yleisen hypoteesin sisältämiä jakaumaoletuksia voidaan, ja on yleensä syytäkin, testata erikseen.

8 Nollahypoteesi Sitä perusjoukon jakauman parametreja koskevaa väitettä tai oletusta, jota halutaan testata kutsutaan nollahypoteesiksi H 0. Nollahypoteesista H 0 pidetaan kiinni, elleivät havaintojen sisältämät todisteet nollahypoteesia vastaan ole kyllin voimakkaita. Yksinkertaisissa testausasetelmissa nollahypoteesi on muotoa H 0 : θ = θ 0, missä θ on testattava parametri ja θ 0 on parametrin kiinnitetty arvo. Nollahypoteesi on muotoa on sama tai ei ole eroa.

9 Vaihtoehtoinen hypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 on oletus, joka astuu voimaan, jos nollahypoteesi H 0 hylätään. Jos vaihtoehtoinen hypoteesi on muotoa H 1 : θ > θ 0 tai muotoa H 1 : θ < θ 0, sitä kutsutaan yksisuuntaiseksi. Jos vaihtoehtoinen hypoteesi on muotoa H 1 : θ θ 0, sitä kutsutaan kaksisuuntaiseksi. Vaihtoehtoinen hypoteesi on muotoa ei ole sama tai on eroa. Vaihtoehtoisen hypoteesin valinta saattaa olla vaikea tehtävä, sillä aina ei ole varmuutta siitä, eroavatko parametrit nollahypoteesin arvosta tiettyyn suuntaan vai molempiin, eli pitäisikö vastahypoteesin olla yksi- vai kaksisuuntainen. Huomioi, että yksisuuntaisen vastahypoteesin valitseminen suotuisan testituloksen kalastamiseksi ei ole sallittua!

10 Testisuure Tilastollinen testi perustuu testisuureeseen, joka mittaa havaintojen ja nollahypoteesin H 0 yhteensopivuutta. Testisuure on satunnaismuuttuja, jonka arvo riippuu havainnoista ja nollahypoteesista H 0. Havaintojen ja nollahypoteesin H 0 yhteensopivuuden mittaaminen tarkoittaa sitä, että tutkitaan kuinka todennäköistä on saada sellaisia testisuureen arvoja kuin on saatu, ehdolla että H 0 pätee. Yhteensopivuuden mittaaminen vaatii testisuureen jakauman tuntemista.

11 Testisuureen normaaliarvo Testisuureen odotusarvoa nollahypoteesin H 0 pätiessä kutsutaan testisuureen normaaliarvoksi. Jos testisuureen havaittu arvo on lähellä testisuureen normaaliarvoa, havainnot ovat sopusoinnussa nollahypoteesin H 0 kanssa. Jos testisuureen otoksesta määrätty arvo poikkeaa merkitsevästi testisuureen normaaliarvosta, havainnot sisältävät todisteita nollahypoteesia H 0 vastaan.

12 Testin p arvo Tilastollisen testin p arvo on testin havaitun arvon tai vielä sitäkin poikkeuksellisemman arvon (normaaliarvoon verrattuna) todennäköisyys olettaen, että nollahypoteesi H 0 pätee. Nollahypoteesin H 0 hylkäys tai hyväksyminen perustuu testin p arvoon. Testien p arvot saadaan tilastollisista ohjelmistoista. Myös etukäteen valittuja merkitsevyystasoja ja niitä vastaavia hylkäysalueita voidaan käyttää.

13 Testin p arvo Testin p arvo määritetään seuraavalla tavalla: 1. Lasketaan valitun testisuureen arvo havainnoista. 2. Määritetään testisuureen jakaumaan perustuen olettaen, että nollahypoteesi H 0 pätee todennäköisyys sille, että testisuure saa (normaaliarvoonsa verrattuna) niin poikkeuksellisen arvon tai vielä poikkeuksellisempia arvoja kuin se on saanut. Nollahypoteesi voidaan hylätä, jos testin p arvo on kyllin pieni. Mitä pienempi on testin p arvo, sitä vahvempia todisteita havainnot sisältävät nollahypoteesia H 0 vastaan.

14 Nollahypoteesin hylkäykseen voi liittyä kahdenlaisia virheitä. Tyypin 1 virhe: Tosi nollahypoteesi hylätään. (Sattumalta saatu hyvin epätodennäköinen otos.) Tyypin 2 virhe: Väärä nollahypoteesi jää hylkäämättä. Koska testeissa halutaan ensisijaisesti suojautua tyypin 1 virheitä vastaan, testin merkitsevyystasoksi α (p arvoon liittyva raja p 0 ) on tapana valita pienia lukuja. Tavanomaisimpia merkitsevyystasoja ovat α = 0.05, α = 0.01 ja α = Tällöin esim. jos testin p arvo < 0.05, niin nollahypoteesi hylätään.

15 Testin p arvo, H 1 : θ > θ 0 Olkoon testisuureen Z havainnoista laskettu arvo z. Jos vaihtoehtoisena hypoteesina on yksisuuntainen vaihtoehto H 1 : θ > θ 0 niin testin p arvo on p = P(Z z H 0 ).

16 Testin p arvo, H 1 : θ < θ 0 Olkoon testisuureen Z havainnoista laskettu arvo z. Jos vaihtoehtoisena hypoteesina on yksisuuntainen vaihtoehto H 1 : θ < θ 0 niin testin p arvo on p = P(Z z H 0 ).

17 Testin p arvo, H 1 : θ θ 0 Olkoon testisuureen Z havainnoista laskettu arvo z. Jos vaihtoehtoisena hypoteesina on kaksisuuntainen vaihtoehto H 1 : θ θ 0 niin testin p arvo on p = 2 min{p(z z H 0 ), P(Z z H 0 )}.

18 Tilastollisen testin suorittamisen vaiheet 1. Asetetaan testin hypoteesit. 2. Valitaan testisuure. 3. Poimitaan otos niin, että yleisen hypoteesin oletukset pätevät. 4. Määritetään testisuureen arvo havainnoista. 5. Määritetään testisuureen havaittua arvoa vastaava p arvo. 6. Tehdään päätös nollahypoteesin hylkäämisestä/hylkäämättä jättämisestä.

19

20 Yhden otoksen t testi Yhden otoksen t testi vertaa odotusarvoa annettuun vakioon.

21 Yhden otoksen t testi, oletukset Olkoot x 1, x 2,..., x n satunnaismuuttujan x havaitut arvot. Oletetaan, että havaintopisteet ovat riippumattomia, samoin jakautuneita ja tulevat normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ). Nollahypoteesi H 0 : µ = µ 0. Mahdolliset vaihtoehtoiset hypoteesit: H 1 : µ > µ 0 (yksisuuntainen), H 1 : µ < µ 0 (yksisuuntainen) tai H 1 : µ µ 0 (kaksisuuntainen).

22 Yhden otoksen t testi, p arvo t testisuure t = x µ 0 s/ n. Jos nollahypoteesi pätee, niin testisuure noudattaa Studentin t jakaumaa vapausastein n 1. Testisuureen normaaliarvo on 0, koska nollahypoteesin pätiessä E[t] = 0. Itseisarvoltaan suuret testisuureen arvot viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos p arvo on kyllin pieni.

23 Yhden otoksen t testi, normaalisuusoletuksen merkitys Yhden otoksen t testin yleisessä hypoteesissa oletetaan, että havainnot ovat normaalijakautuneita. t testi ei kuitenkaan ole kovin herkkä poikkeamille normaalisuudesta, jos havaintojen lukumäärä n on suuri. Testiä on melko turvallista käyttää, kun havaintojen lukumäärä n > 25 ellei havaintojen jakauma ole kovin vino. Jos havaintojen lukumäärä n > 40, niin testiä voidaan melko turvallisesti käyttää jopa selvästi vinoille havaintojen jakaumille.

24 Numeerinen esimerkki yhden otoksen t-testille Kallen supersuklaisissa herkkukekseissä on paketin mukaan jokaisessa keksissä 12 suklaapalaa. Tutkimuksessa laskettiin kymmenen herkkukeksin sulkaapalojen määrä ja saatiin seuraavat tulokset: 12,11,10,13,14,12,11,12,12,12. Halutaan selvittää voidaanko 5% merkitsevyystasolla sanoa, että keksien suklaapitoisuus ei vastaa pakettia.

25 Keksien suklaapitoisuuksien keskiarvo on 11.9 suklaapalaa. Otoskeskihajonnaksi saadaan suklaapalaa. Testin arvoksi saadaan t = x µ 0 s/ n = / 10 = Nollahypoteesin ollessa tosi, testisuure noudattaa Studentin t-jakaumaa vapausastein 9. 5% merkitsevyystasolla ja vapausasteella 9, testisuureen kriittiseksi arvoksi saadaan Koska testisuureen arvo > ja < 2.262, nollahypoteesi jätetään voimaan. Usein testauksessa tarkastellaan suoraan p-arvoa. Todennäköisyyksiksi P(T t H 0 ) ja P(T t H 0 ) saadaan ja Näin ollen p-arvo on p = 2 min{p(z z H 0 ), P(Z z H 0 )} = = P-arvo on suuri, joten nollahypoteesi jätetään voimaan.

26 Mikä meni pieleen edellisessä esimerkissä?

27 Kahden otoksen t testi Kahden otoksen t testi vertaa kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja kun otosten variansseja ei oleteta yhtäsuuriksi.

28 Kahden otoksen t testi, oletukset Olkoot x 1, x 2,..., x n satunnaismuuttujan x havaitut arvot ja olkoot y 1, y 2,..., y m satunnaismuuttujan y havaitut arvot. Oletetaan, että havaintopisteet x 1, x 2,..., x n ovat riippumattomia, samoin jakautuneita, ja tulevat normaalijakaumasta N(µ x, σ 2 x ) ja oletetaan, että havaintopisteet y 1, y 2,..., y m ovat riippumattomia, samoin jakautuneita, ja tulevat normaalijakaumasta N(µ y, σ 2 y ). Oletetaan vielä, että x i ja y j ovat riippumattomia kaikilla i, j. Nollahypoteesi H 0 : µ x = µ y. Mahdolliset vaihtoehtoiset hypoteesit: H 1 : µ x > µ y (yksisuuntainen), H 1 : µ x < µ y (yksisuuntainen) tai H 1 : µ x µ y (kaksisuuntainen).

29 Kahden otoksen t testi, p arvo t testisuure t = x ȳ. sx/n 2 + sy/m 2 Jos nollahypoteesi pätee, niin testisuure noudattaa Studentin t jakaumaa vapausastein v, missä v = (s 2 x/n + s 2 y/m) 2 ((s 2 x/n) 2 /(n 1)) + ((s 2 y/m) 2 /(m 1)). Testisuureen normaaliarvo on 0, koska nollahypoteesin pätiessä E[t] = 0. Itseisarvoltaan suuret testisuureen arvot viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos p arvo on kyllin pieni.

30 Kahden otoksen t testi, normaalisuusoletuksen merkitys Kahden otoksen t testin yleisessä hypoteesissa oletetaan, että havainnot ovat normaalijakautuneita. Kahden otoksen t testi ei kuitenkaan ole kovin herkkä poikkeamille normaalisuudesta, jos havaintojen lukumäärät n ja m ovat suuria. Testiä on melko turvallista käyttää, kun n > 25, m > 25, ja kun n ja m eivät eroa toisistaan kovin paljon, elleivät havaintojen jakaumat ole kovin vinoja. Jos n > 40 ja m > 40, niin testiä voidaan melko turvallisesti käyttää jopa selvästi vinoille havaintojen jakaumille.

31 Kahden otoksen t testi, yhtäsuuret varianssit Kahden otoksen t testi yksinkertaistuu hieman kun otosten varianssit oletetaan yhtäsuuriksi.

32 Kahden otoksen t testi, yhtäsuuret varianssit Oletukset (H, H 0 ja H 1 ) ovat kuten yleisessä kahden otoksen t testissä, mutta jakaumien varianssit oletetaan yhtä suuriksi. t testisuure missä t = x ȳ s p 1/n + 1/m, sp 2 = (n 1)s2 x + (m 1)sy 2. n + m 2 Jos nollahypoteesi pätee, niin testisuure noudattaa Studentin t jakaumaa vapausastein n + m 2. Testisuureen normaaliarvo on 0, koska nollahypoteesin pätiessä E[t] = 0. Itseisarvoltaan suuret testisuureen arvot viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos p arvo on kyllin pieni. Normaalisuusoletuksen merkitys kuten yleisessä kahden otoksen t testissä.

33 t testi parivertailuille Kahden otoksen t testit toimivat riippumattomien otoksien tapauksessa. Parivertailuasetelma syntyy tilastollisessa tutkimuksessa esimerkiksi silloin kun päämääränä on verrata kahta mittaria mittaamalla molemmilla mittareilla samoja kohteita samoissa olosuhteissa. (Eroavatko kahden rasvaprosenttimittarin tuottamat tulokset toisistaan?) Parivertailuasetelma syntyy myös kun päämääränä on tutkia jonkin käsittelyn vaikutusta mittaamalla samoja kohteita ennen käsittelyä ja käsittelyn jälkeen. (Vaikuttaako juopottelu reaktioaikaan?) Päämääränä voi myös olla esimerkiksi vertailla kahta perusjoukkoa mittaamalla saman muuttujan arvoja perusjoukkojen alkioiden sovitetuissa pareissa. (Eroavatko naimisissa olevien pariskuntien palkat toisistaan?)

34 t testi parivertailuille, testausasetelma Parivertailuilun testausasetelma Havainnot muodostuvat muuttujaa x koskevista mittaustuloksien pareista (x i1, x i2 ), i = 1, 2,..., n jotka ovat toisistaan riippumattomia. Yhden mittausparin arvoja ei kuitenkaan oleteta riippumattomiksi! Antavatko mittaukset keskimäärin saman tuloksen? Parivertailuasetelmissa ei tule käyttää riippumattomien otoksien t testejä! Muodostetaan mittaustuloksien x i1 ja x i2 erotukset d i = x i1 x i2, i = 1, 2,..., n. Mittaukset 1 ja 2 saavat keskimäärin saman tuloksen, jos erotukset d i saavat keskimäärin arvon nolla. Nyt voidaan käyttää tavanomaista yhden otoksen t testiä mittaustuloksien erotuksille d i.

35 t testi parivertailuille, p arvo Yleinen hypoteesi H: erotukset d i ovat riippumattomia, samoin jakautuneita, ja tulevat normaalijakaumasta. Nollahypoteesi H 0 : µ d = 0. Mahdolliset vaihtoehtoiset hypoteesit: H 1 : µ d > 0 (yksisuuntainen), H 1 : µ d < 0 (yksisuuntainen) tai H 1 : µ d 0 (kaksisuuntainen). t testisuure t = d s d / n. Jos nollahypoteesi pätee, niin testisuure noudattaa Studentin t jakaumaa vapausastein n 1. Testisuureen normaaliarvo on 0. Itseisarvoltaan suuret testisuureen arvot viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos p arvo on kyllin pieni. Normaalisuusoletuksen merkitys kuten yhden otoksen t testissä.

36

37 Testi varianssille, oletukset Olkoot x 1, x 2,..., x n satunnaismuuttujan x havaitut arvot. Oletetaan, että havaintopisteet ovat riippumattomia, samoin jakautuneita, ja tulevat normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ). Nollahypoteesi H 0 : σ 2 = σ 2 0. Mahdolliset vaihtoehtoiset hypoteesit: H 1 : σ 2 > σ 2 0 (yksisuuntainen), H 1 : σ 2 < σ 2 0 (yksisuuntainen) tai H 1 : σ 2 σ 2 0 (kaksisuuntainen).

38 Testi varianssille, p arvo χ 2 testisuure χ 2 = (n 1)s2 σ0 2. Jos nollahypoteesi pätee, niin testisuure noudattaa χ 2 jakaumaa vapausastein n 1. Testisuureen normaaliarvo on n 1. Suuret ja pienet testisuureen arvot (verrattuna normaaliarvoon n 1) viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos p arvo on kyllin pieni. Testi on herkkä poikkeamille normaalisuudesta. Testi ei toimi hyvin suurillakaan havaintomäärillä, jos havaintojen jakauma on vino.

39 Varianssien vertailutesti, oletukset Olkoot x 1, x 2,..., x n satunnaismuuttujan x havaitut arvot ja olkoot y 1, y 2,..., y m satunnaismuuttujan y havaitut arvot. Oletetaan, että havaintopisteet x 1, x 2,..., x n ovat riippumattomia, samoin jakautuneita, ja tulevat normaalijakaumasta N(µ x, σ 2 x ) ja oletetaan, että havaintopisteet y 1, y 2,..., y m ovat riippumattomia, samoin jakautuneita, ja tulevat normaalijakaumasta N(µ y, σ 2 y ). Oletetaan vielä, että x i ja y j ovat riippumattomia kaikilla i, j. Nollahypoteesi H 0 : σ 2 x = σ 2 y. Mahdolliset vaihtoehtoiset hypoteesit: H 1 : σ 2 x > σ 2 y (yksisuuntainen), H 1 : σ 2 x < σ 2 y (yksisuuntainen) tai H 1 : σ 2 x σ 2 y (kaksisuuntainen).

40 Varianssien vertailutesti, p arvo F testisuure F = s2 x sy 2. Jos nollahypoteesi pätee, niin testisuure noudattaa F jakaumaa vapausastein n 1 ja m 1. Testisuureen normaaliarvo on noin 1. Suuret ja pienet testisuureen arvot (verrattuna normaaliarvoon 1) viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos p arvo on kyllin pieni. Tämäkin testi on herkkä poikkeamille normaalisuudesta eikä testi toimi hyvin suurillakaan havaintomäärillä, jos havaintojen jakauma on vino.

41 F -jakauma Juttua F -jakaumasta Wolfram MathWorldissä

42 J. S. Milton, J. C. Arnold: Introduction to Probability and Statistics, McGraw-Hill Inc J. Crawshaw, J. Chambers: A Concise Course in Advanced Level Statistics, Nelson Thornes Ltd R. V. Hogg, J. W. McKean, A. T. Craig: Introduction to Mathematical Statistics, Pearson Education Pertti Laininen: Todennäköisyys ja sen tilastollinen soveltaminen, Otatieto 1998, numero 586. Ilkka Mellin: Tilastolliset menetelmät,

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa

Lisätiedot

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 11 (vko 48/003) (Aihe: Tilastollisia testejä, Laininen luvut 4.9, 15.1-15.4, 15.7) Nordlund 1. Kemiallisen prosessin

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Sisältö Tilastotieteessä tehdään usein oletuksia havaintojen jakaumasta. Useat tilastolliset menetelmät toimivat tehottomasti tai jopa virheellisesti, jos jakaumaoletukset

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut 10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset

Lisätiedot

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen) 1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi

Lisätiedot

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Hypoteesin testauksesta Tilastollisessa testauksessa on kyse havainnoista tapahtuvasta päätöksenteosta. Kokeellisen tutkimuksen

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN...

2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN... !" # 1. 1. JOHDANTO... 3 2. 2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN... 4 2.1. T-TESTI... 4 2.2. RANDOMISAATIOTESTI... 5 3. SIMULOINTI... 6 3.1. OTOSTEN POIMINTA... 6 3.2. TESTAUS... 7 3.3. TESTIEN TULOSTEN VERTAILU...

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo?

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo? MTTTP5, kevät 2016 15.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen 1. Valitaan 25 alkion satunnaisotos jakaumasta N(µ, 25). Olkoon H 0 : µ = 12. Hylätään H 0, jos otoskeskiarvo

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu

Lisätiedot

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾ ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen vertaaminen

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen Jakaumaoletuksien

Lisätiedot

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden 1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.

¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi. 10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus (+ jatkuvan parametrin Bayes-päättely) Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

Tavanomaisten otostunnuslukujen, odotusarvon luottamusvälin ja Box ja Whisker -kuvion määritelmät: ks. 1. harjoitukset.

Tavanomaisten otostunnuslukujen, odotusarvon luottamusvälin ja Box ja Whisker -kuvion määritelmät: ks. 1. harjoitukset. Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahden riippumattoman otoksen t-testit,

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan 17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten

Lisätiedot

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen

Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden

Lisätiedot

Tilastollinen testaaminen tai Tilastollinen päättely. Geneettinen analyysi

Tilastollinen testaaminen tai Tilastollinen päättely. Geneettinen analyysi Tilastollinen testaaminen tai Tilastollinen päättely Geneettinen analyysi Tilastollisen testaamisen tarkoitus Tilastollisten testien avulla voidaan tutkia otantapopulaatiota (perusjoukkoa) koskevien väittämien

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Kalle Kytölä, Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille Järjestysasteikollisten muuttujien testit Merkkitesti Wilcoxonin

Lisätiedot

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. 6.10.2015/1 MTTTP1, luento 6.10.2015 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastollisen merkitsevyyden testaus Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla 17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

Testaa onko myrkkypitoisuus eri ryhmissä sama. RATK. Lasketaan kaikkien havaintoarvojen summa: k T i = = 486.

Testaa onko myrkkypitoisuus eri ryhmissä sama. RATK. Lasketaan kaikkien havaintoarvojen summa: k T i = = 486. Mat-.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Harjoitus 8, kevät 004 Esimerkkiratkaisut. 1. Myrkyllistä ainetta oli kaadettu jokeen, joka johtaa suurelle kalastusalueelle. Tie- ja vesirakennusinsinöörit

Lisätiedot

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Estimointi. Otantajakauma

Estimointi. Otantajakauma Otantajakauma Otantajakauma kuvaa jonkin parametrin arvojen (esim. keskiarvon) jakauman kaikille tietyn kokoisille otoksille. jotka perusjoukosta voidaan muodostaa Histogrammissa otantajakauman parametrin

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastollisen merkitsevyyden testaus Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. 6.10.2016/1 MTTTP1, luento 6.10.2016 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

2. Keskiarvojen vartailua

2. Keskiarvojen vartailua 2. Keskiarvojen vartailua Esimerkki 2.1: Oheiset mittaukset liittyvät Portland Sementin sidoslujuuteen (kgf/cm 2 ). Mittaukset y 1 ovat nykyisestä seoksesta ja mittaukset y 2 uudesta seoksesta, jossa lisäaineena

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. 5.10.2017/1 MTTTP1, luento 5.10.2017 KERTAUSTA Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla todennäköisyydellä,

Lisätiedot

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ

Lisätiedot

Teema 9: Tilastollinen merkitsevyystestaus

Teema 9: Tilastollinen merkitsevyystestaus Teema 9: Tilastollinen merkitsevyystestaus Tärkeä päättelyn osa-alue on tilastollinen merkitsevyystestaus, johon päästään luontevasti edellisen teeman aiheista: voidaan kysyä, menevätkö kahden vertailtavan

Lisätiedot

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B Tilastollinen päättömyys, kevät 7 Harjoitus 6B Heikki Korpela 8. helmikuuta 7 Tehtävä. Monisteen teht. 6... Olkoot Y,..., Y 5 Nµ, σ, ja merkitään S 5 i Y i Y /4. Näytä, että S/σ on saranasuure eli sen

Lisätiedot

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut 11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma Jaetaan perusjoukko rhmiin kahden tekän A ja B suhteen

Lisätiedot

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Otanta Otantamenetelmiä Näyte Tilastollinen päättely Otantavirhe Otanta Tavoitteena edustava otos = perusjoukko

Lisätiedot

Estimointi. Luottamusvälin laskeminen keskiarvolle α/2 α/2 0.1

Estimointi. Luottamusvälin laskeminen keskiarvolle α/2 α/2 0.1 Estimointi - tehdään päätelmiä perusjoukon ominaisuuksista (keskiarvo, riskisuhde jne.) otoksen perusteella - mitä suurempi otos, sitä tarkemmat estimaatit Otokseen perustuen määritellään otantajakaumalta

Lisätiedot

Havaintoaineiston trimmauksen vaikutus otoskeskiarvoon

Havaintoaineiston trimmauksen vaikutus otoskeskiarvoon TEKNILLINEN KORKEAKOULU Teknillisen fysiikan ja matematiikan koulutusohjelma Mat-.108 Sovelletun matematiikan erikoistyöt 13.11.001 Havaintoaineiston trimmauksen vaikutus otoskeskiarvoon Kalle Soukka 4193W

Lisätiedot

Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.204 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 3. luento: Pari sanaa vielä hypoteesien formuloinneista Kai Virtanen Hypoteesien muodoista Luennolla nro. 2 muotoiltiin nollahypoteesi - H 0 : θ

Lisätiedot

Hypoteesin testaus Alkeet

Hypoteesin testaus Alkeet Hypoteesin testaus Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Johdanto Kokeellinen tutkimus: Varmennetaan teoreettista olettamusta fysikaalisen systeemin käyttäytymisestä

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman

Lisätiedot

χ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

χ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Estimointi, Havaittu frekvenssi, Heterogeenisuus,

Lisätiedot

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien mittausasteikot 93

Satunnaismuuttujien mittausasteikot 93 Havaintoainesto: otos Havaintoaineiston kuvaus Otossuureet, otostunnusluvut Otos 90 Otosta tarvitaan, kun koko perusjoukon tutkiminen on mahdotonta esim. seuraavista syistä: joukko on ääretön tai erittäin

Lisätiedot

2. välikokeen mallivastaukset

2. välikokeen mallivastaukset TILASTOTIETEEN JATKOKURSSI, 10 OP, 19.1. 4.5.2010. Kijallisuus: Ilkka Mellin: Johdatus tilastotieteeseen, 2. kija. Luennoi: ylioisto-oettaja Pekka Pee. 2. välikokeen 4.5.2010 mallivastaukset 1. Täysiin

Lisätiedot

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta 1/27 Kevät 2003 Käytännön asioista

Lisätiedot