Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit"

Transkriptio

1 Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit

2 Sisältö

3

4 Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja naisten pituuksissa eroa tai alentaako lääke L verenpainetta tai kestääkö ruuviliitos R 1 ruuviliitosta R 2 paremmin.

5 Tilastolliseen tutkimukseen kuuluu hypoteesien tekeminen ja testaus. Tilastollinen hypoteesi on populaatiota koskeva väite, jonka todenperäisyyttä arvioidaan todennäköisyyksien avulla. Tilastollisen testin lähtökohtana on muodostaa nollahypoteesi H 0 ja vastahypoteesi H 1.

6 Testausasetelman hypoteesit Testausasetelma kiinnitetään tekemällä kolme oletusta: Testausasetelmaa koskevat perusoletukset, joista pidetään kiinni testauksen aikana, muodostavat testin (tai jakauman/mallin) yleisen hypoteesin H. Testattavaa väitettä/oletusta kutsutaan nollahypoteesiksi H 0. Jos nollahypoteesi hylätään testissä, astuu voimaan vaihtoehtoinen hypoteesi H 1.

7 Yleinen hypoteesi Yleinen hypoteesi H sisältää oletukset perusjoukosta, käytetystä otantamenetelmästä ja perusjoukon jakaumasta. Yleisen hypoteesin H oletuksista pidetään kiinni koko testauksen ajan. Yleisen hypoteesin sisältämiä jakaumaoletuksia voidaan, ja on yleensä syytäkin, testata erikseen.

8 Nollahypoteesi Sitä perusjoukon jakauman parametreja koskevaa väitettä tai oletusta, jota halutaan testata kutsutaan nollahypoteesiksi H 0. Nollahypoteesista H 0 pidetaan kiinni, elleivät havaintojen sisältämät todisteet nollahypoteesia vastaan ole kyllin voimakkaita. Yksinkertaisissa testausasetelmissa nollahypoteesi on muotoa H 0 : θ = θ 0, missä θ on testattava parametri ja θ 0 on parametrin kiinnitetty arvo. Nollahypoteesi on muotoa on sama tai ei ole eroa.

9 Vaihtoehtoinen hypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 on oletus, joka astuu voimaan, jos nollahypoteesi H 0 hylätään. Jos vaihtoehtoinen hypoteesi on muotoa H 1 : θ > θ 0 tai muotoa H 1 : θ < θ 0, sitä kutsutaan yksisuuntaiseksi. Jos vaihtoehtoinen hypoteesi on muotoa H 1 : θ θ 0, sitä kutsutaan kaksisuuntaiseksi. Vaihtoehtoinen hypoteesi on muotoa ei ole sama tai on eroa. Vaihtoehtoisen hypoteesin valinta saattaa olla vaikea tehtävä, sillä aina ei ole varmuutta siitä, eroavatko parametrit nollahypoteesin arvosta tiettyyn suuntaan vai molempiin, eli pitäisikö vastahypoteesin olla yksi- vai kaksisuuntainen. Huomioi, että yksisuuntaisen vastahypoteesin valitseminen suotuisan testituloksen kalastamiseksi ei ole sallittua!

10 Testisuure Tilastollinen testi perustuu testisuureeseen, joka mittaa havaintojen ja nollahypoteesin H 0 yhteensopivuutta. Testisuure on satunnaismuuttuja, jonka arvo riippuu havainnoista ja nollahypoteesista H 0. Havaintojen ja nollahypoteesin H 0 yhteensopivuuden mittaaminen tarkoittaa sitä, että tutkitaan kuinka todennäköistä on saada sellaisia testisuureen arvoja kuin on saatu, ehdolla että H 0 pätee. Yhteensopivuuden mittaaminen vaatii testisuureen jakauman tuntemista.

11 Testisuureen normaaliarvo Testisuureen odotusarvoa nollahypoteesin H 0 pätiessä kutsutaan testisuureen normaaliarvoksi. Jos testisuureen havaittu arvo on lähellä testisuureen normaaliarvoa, havainnot ovat sopusoinnussa nollahypoteesin H 0 kanssa. Jos testisuureen otoksesta määrätty arvo poikkeaa merkitsevästi testisuureen normaaliarvosta, havainnot sisältävät todisteita nollahypoteesia H 0 vastaan.

12 Testin p arvo Tilastollisen testin p arvo on testin havaitun arvon tai vielä sitäkin poikkeuksellisemman arvon (normaaliarvoon verrattuna) todennäköisyys olettaen, että nollahypoteesi H 0 pätee. Nollahypoteesin H 0 hylkäys tai hyväksyminen perustuu testin p arvoon. Testien p arvot saadaan tilastollisista ohjelmistoista. Myös etukäteen valittuja merkitsevyystasoja ja niitä vastaavia hylkäysalueita voidaan käyttää.

13 Testin p arvo Testin p arvo määritetään seuraavalla tavalla: 1. Lasketaan valitun testisuureen arvo havainnoista. 2. Määritetään testisuureen jakaumaan perustuen olettaen, että nollahypoteesi H 0 pätee todennäköisyys sille, että testisuure saa (normaaliarvoonsa verrattuna) niin poikkeuksellisen arvon tai vielä poikkeuksellisempia arvoja kuin se on saanut. Nollahypoteesi voidaan hylätä, jos testin p arvo on kyllin pieni. Mitä pienempi on testin p arvo, sitä vahvempia todisteita havainnot sisältävät nollahypoteesia H 0 vastaan.

14 Nollahypoteesin hylkäykseen voi liittyä kahdenlaisia virheitä. Tyypin 1 virhe: Tosi nollahypoteesi hylätään. (Sattumalta saatu hyvin epätodennäköinen otos.) Tyypin 2 virhe: Väärä nollahypoteesi jää hylkäämättä. Koska testeissa halutaan ensisijaisesti suojautua tyypin 1 virheitä vastaan, testin merkitsevyystasoksi α (p arvoon liittyva raja p 0 ) on tapana valita pienia lukuja. Tavanomaisimpia merkitsevyystasoja ovat α = 0.05, α = 0.01 ja α = Tällöin esim. jos testin p arvo < 0.05, niin nollahypoteesi hylätään.

15 Testin p arvo, H 1 : θ > θ 0 Olkoon testisuureen Z havainnoista laskettu arvo z. Jos vaihtoehtoisena hypoteesina on yksisuuntainen vaihtoehto H 1 : θ > θ 0 niin testin p arvo on p = P(Z z H 0 ).

16 Testin p arvo, H 1 : θ < θ 0 Olkoon testisuureen Z havainnoista laskettu arvo z. Jos vaihtoehtoisena hypoteesina on yksisuuntainen vaihtoehto H 1 : θ < θ 0 niin testin p arvo on p = P(Z z H 0 ).

17 Testin p arvo, H 1 : θ θ 0 Olkoon testisuureen Z havainnoista laskettu arvo z. Jos vaihtoehtoisena hypoteesina on kaksisuuntainen vaihtoehto H 1 : θ θ 0 niin testin p arvo on p = 2 min{p(z z H 0 ), P(Z z H 0 )}.

18 Tilastollisen testin suorittamisen vaiheet 1. Asetetaan testin hypoteesit. 2. Valitaan testisuure. 3. Poimitaan otos niin, että yleisen hypoteesin oletukset pätevät. 4. Määritetään testisuureen arvo havainnoista. 5. Määritetään testisuureen havaittua arvoa vastaava p arvo. 6. Tehdään päätös nollahypoteesin hylkäämisestä/hylkäämättä jättämisestä.

19

20 Yhden otoksen t testi Yhden otoksen t testi vertaa odotusarvoa annettuun vakioon.

21 Yhden otoksen t testi, oletukset Olkoot x 1, x 2,..., x n satunnaismuuttujan x havaitut arvot. Oletetaan, että havaintopisteet ovat riippumattomia, samoin jakautuneita ja tulevat normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ). Nollahypoteesi H 0 : µ = µ 0. Mahdolliset vaihtoehtoiset hypoteesit: H 1 : µ > µ 0 (yksisuuntainen), H 1 : µ < µ 0 (yksisuuntainen) tai H 1 : µ µ 0 (kaksisuuntainen).

22 Yhden otoksen t testi, p arvo t testisuure t = x µ 0 s/ n. Jos nollahypoteesi pätee, niin testisuure noudattaa Studentin t jakaumaa vapausastein n 1. Testisuureen normaaliarvo on 0, koska nollahypoteesin pätiessä E[t] = 0. Itseisarvoltaan suuret testisuureen arvot viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos p arvo on kyllin pieni.

23 Yhden otoksen t testi, normaalisuusoletuksen merkitys Yhden otoksen t testin yleisessä hypoteesissa oletetaan, että havainnot ovat normaalijakautuneita. t testi ei kuitenkaan ole kovin herkkä poikkeamille normaalisuudesta, jos havaintojen lukumäärä n on suuri. Testiä on melko turvallista käyttää, kun havaintojen lukumäärä n > 25 ellei havaintojen jakauma ole kovin vino. Jos havaintojen lukumäärä n > 40, niin testiä voidaan melko turvallisesti käyttää jopa selvästi vinoille havaintojen jakaumille.

24 Numeerinen esimerkki yhden otoksen t-testille Kallen supersuklaisissa herkkukekseissä on paketin mukaan jokaisessa keksissä 12 suklaapalaa. Tutkimuksessa laskettiin kymmenen herkkukeksin sulkaapalojen määrä ja saatiin seuraavat tulokset: 12,11,10,13,14,12,11,12,12,12. Halutaan selvittää voidaanko 5% merkitsevyystasolla sanoa, että keksien suklaapitoisuus ei vastaa pakettia.

25 Keksien suklaapitoisuuksien keskiarvo on 11.9 suklaapalaa. Otoskeskihajonnaksi saadaan suklaapalaa. Testin arvoksi saadaan t = x µ 0 s/ n = / 10 = Nollahypoteesin ollessa tosi, testisuure noudattaa Studentin t-jakaumaa vapausastein 9. 5% merkitsevyystasolla ja vapausasteella 9, testisuureen kriittiseksi arvoksi saadaan Koska testisuureen arvo > ja < 2.262, nollahypoteesi jätetään voimaan. Usein testauksessa tarkastellaan suoraan p-arvoa. Todennäköisyyksiksi P(T t H 0 ) ja P(T t H 0 ) saadaan ja Näin ollen p-arvo on p = 2 min{p(z z H 0 ), P(Z z H 0 )} = = P-arvo on suuri, joten nollahypoteesi jätetään voimaan.

26 Mikä meni pieleen edellisessä esimerkissä?

27 Kahden otoksen t testi Kahden otoksen t testi vertaa kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja kun otosten variansseja ei oleteta yhtäsuuriksi.

28 Kahden otoksen t testi, oletukset Olkoot x 1, x 2,..., x n satunnaismuuttujan x havaitut arvot ja olkoot y 1, y 2,..., y m satunnaismuuttujan y havaitut arvot. Oletetaan, että havaintopisteet x 1, x 2,..., x n ovat riippumattomia, samoin jakautuneita, ja tulevat normaalijakaumasta N(µ x, σ 2 x ) ja oletetaan, että havaintopisteet y 1, y 2,..., y m ovat riippumattomia, samoin jakautuneita, ja tulevat normaalijakaumasta N(µ y, σ 2 y ). Oletetaan vielä, että x i ja y j ovat riippumattomia kaikilla i, j. Nollahypoteesi H 0 : µ x = µ y. Mahdolliset vaihtoehtoiset hypoteesit: H 1 : µ x > µ y (yksisuuntainen), H 1 : µ x < µ y (yksisuuntainen) tai H 1 : µ x µ y (kaksisuuntainen).

29 Kahden otoksen t testi, p arvo t testisuure t = x ȳ. sx/n 2 + sy/m 2 Jos nollahypoteesi pätee, niin testisuure noudattaa Studentin t jakaumaa vapausastein v, missä v = (s 2 x/n + s 2 y/m) 2 ((s 2 x/n) 2 /(n 1)) + ((s 2 y/m) 2 /(m 1)). Testisuureen normaaliarvo on 0, koska nollahypoteesin pätiessä E[t] = 0. Itseisarvoltaan suuret testisuureen arvot viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos p arvo on kyllin pieni.

30 Kahden otoksen t testi, normaalisuusoletuksen merkitys Kahden otoksen t testin yleisessä hypoteesissa oletetaan, että havainnot ovat normaalijakautuneita. Kahden otoksen t testi ei kuitenkaan ole kovin herkkä poikkeamille normaalisuudesta, jos havaintojen lukumäärät n ja m ovat suuria. Testiä on melko turvallista käyttää, kun n > 25, m > 25, ja kun n ja m eivät eroa toisistaan kovin paljon, elleivät havaintojen jakaumat ole kovin vinoja. Jos n > 40 ja m > 40, niin testiä voidaan melko turvallisesti käyttää jopa selvästi vinoille havaintojen jakaumille.

31 Kahden otoksen t testi, yhtäsuuret varianssit Kahden otoksen t testi yksinkertaistuu hieman kun otosten varianssit oletetaan yhtäsuuriksi.

32 Kahden otoksen t testi, yhtäsuuret varianssit Oletukset (H, H 0 ja H 1 ) ovat kuten yleisessä kahden otoksen t testissä, mutta jakaumien varianssit oletetaan yhtä suuriksi. t testisuure missä t = x ȳ s p 1/n + 1/m, sp 2 = (n 1)s2 x + (m 1)sy 2. n + m 2 Jos nollahypoteesi pätee, niin testisuure noudattaa Studentin t jakaumaa vapausastein n + m 2. Testisuureen normaaliarvo on 0, koska nollahypoteesin pätiessä E[t] = 0. Itseisarvoltaan suuret testisuureen arvot viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos p arvo on kyllin pieni. Normaalisuusoletuksen merkitys kuten yleisessä kahden otoksen t testissä.

33 t testi parivertailuille Kahden otoksen t testit toimivat riippumattomien otoksien tapauksessa. Parivertailuasetelma syntyy tilastollisessa tutkimuksessa esimerkiksi silloin kun päämääränä on verrata kahta mittaria mittaamalla molemmilla mittareilla samoja kohteita samoissa olosuhteissa. (Eroavatko kahden rasvaprosenttimittarin tuottamat tulokset toisistaan?) Parivertailuasetelma syntyy myös kun päämääränä on tutkia jonkin käsittelyn vaikutusta mittaamalla samoja kohteita ennen käsittelyä ja käsittelyn jälkeen. (Vaikuttaako juopottelu reaktioaikaan?) Päämääränä voi myös olla esimerkiksi vertailla kahta perusjoukkoa mittaamalla saman muuttujan arvoja perusjoukkojen alkioiden sovitetuissa pareissa. (Eroavatko naimisissa olevien pariskuntien palkat toisistaan?)

34 t testi parivertailuille, testausasetelma Parivertailuilun testausasetelma Havainnot muodostuvat muuttujaa x koskevista mittaustuloksien pareista (x i1, x i2 ), i = 1, 2,..., n jotka ovat toisistaan riippumattomia. Yhden mittausparin arvoja ei kuitenkaan oleteta riippumattomiksi! Antavatko mittaukset keskimäärin saman tuloksen? Parivertailuasetelmissa ei tule käyttää riippumattomien otoksien t testejä! Muodostetaan mittaustuloksien x i1 ja x i2 erotukset d i = x i1 x i2, i = 1, 2,..., n. Mittaukset 1 ja 2 saavat keskimäärin saman tuloksen, jos erotukset d i saavat keskimäärin arvon nolla. Nyt voidaan käyttää tavanomaista yhden otoksen t testiä mittaustuloksien erotuksille d i.

35 t testi parivertailuille, p arvo Yleinen hypoteesi H: erotukset d i ovat riippumattomia, samoin jakautuneita, ja tulevat normaalijakaumasta. Nollahypoteesi H 0 : µ d = 0. Mahdolliset vaihtoehtoiset hypoteesit: H 1 : µ d > 0 (yksisuuntainen), H 1 : µ d < 0 (yksisuuntainen) tai H 1 : µ d 0 (kaksisuuntainen). t testisuure t = d s d / n. Jos nollahypoteesi pätee, niin testisuure noudattaa Studentin t jakaumaa vapausastein n 1. Testisuureen normaaliarvo on 0. Itseisarvoltaan suuret testisuureen arvot viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos p arvo on kyllin pieni. Normaalisuusoletuksen merkitys kuten yhden otoksen t testissä.

36

37 Testi varianssille, oletukset Olkoot x 1, x 2,..., x n satunnaismuuttujan x havaitut arvot. Oletetaan, että havaintopisteet ovat riippumattomia, samoin jakautuneita, ja tulevat normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ). Nollahypoteesi H 0 : σ 2 = σ 2 0. Mahdolliset vaihtoehtoiset hypoteesit: H 1 : σ 2 > σ 2 0 (yksisuuntainen), H 1 : σ 2 < σ 2 0 (yksisuuntainen) tai H 1 : σ 2 σ 2 0 (kaksisuuntainen).

38 Testi varianssille, p arvo χ 2 testisuure χ 2 = (n 1)s2 σ0 2. Jos nollahypoteesi pätee, niin testisuure noudattaa χ 2 jakaumaa vapausastein n 1. Testisuureen normaaliarvo on n 1. Suuret ja pienet testisuureen arvot (verrattuna normaaliarvoon n 1) viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos p arvo on kyllin pieni. Testi on herkkä poikkeamille normaalisuudesta. Testi ei toimi hyvin suurillakaan havaintomäärillä, jos havaintojen jakauma on vino.

39 Varianssien vertailutesti, oletukset Olkoot x 1, x 2,..., x n satunnaismuuttujan x havaitut arvot ja olkoot y 1, y 2,..., y m satunnaismuuttujan y havaitut arvot. Oletetaan, että havaintopisteet x 1, x 2,..., x n ovat riippumattomia, samoin jakautuneita, ja tulevat normaalijakaumasta N(µ x, σ 2 x ) ja oletetaan, että havaintopisteet y 1, y 2,..., y m ovat riippumattomia, samoin jakautuneita, ja tulevat normaalijakaumasta N(µ y, σ 2 y ). Oletetaan vielä, että x i ja y j ovat riippumattomia kaikilla i, j. Nollahypoteesi H 0 : σ 2 x = σ 2 y. Mahdolliset vaihtoehtoiset hypoteesit: H 1 : σ 2 x > σ 2 y (yksisuuntainen), H 1 : σ 2 x < σ 2 y (yksisuuntainen) tai H 1 : σ 2 x σ 2 y (kaksisuuntainen).

40 Varianssien vertailutesti, p arvo F testisuure F = s2 x sy 2. Jos nollahypoteesi pätee, niin testisuure noudattaa F jakaumaa vapausastein n 1 ja m 1. Testisuureen normaaliarvo on noin 1. Suuret ja pienet testisuureen arvot (verrattuna normaaliarvoon 1) viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos p arvo on kyllin pieni. Tämäkin testi on herkkä poikkeamille normaalisuudesta eikä testi toimi hyvin suurillakaan havaintomäärillä, jos havaintojen jakauma on vino.

41 F -jakauma Juttua F -jakaumasta Wolfram MathWorldissä

42 J. S. Milton, J. C. Arnold: Introduction to Probability and Statistics, McGraw-Hill Inc J. Crawshaw, J. Chambers: A Concise Course in Advanced Level Statistics, Nelson Thornes Ltd R. V. Hogg, J. W. McKean, A. T. Craig: Introduction to Mathematical Statistics, Pearson Education Pertti Laininen: Todennäköisyys ja sen tilastollinen soveltaminen, Otatieto 1998, numero 586. Ilkka Mellin: Tilastolliset menetelmät,

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Tavanomaisten otostunnuslukujen, odotusarvon luottamusvälin ja Box ja Whisker -kuvion määritelmät: ks. 1. harjoitukset.

Tavanomaisten otostunnuslukujen, odotusarvon luottamusvälin ja Box ja Whisker -kuvion määritelmät: ks. 1. harjoitukset. Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahden riippumattoman otoksen t-testit,

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Otanta Otantamenetelmiä Näyte Tilastollinen päättely Otantavirhe Otanta Tavoitteena edustava otos = perusjoukko

Lisätiedot

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat: Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi,

Lisätiedot

1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi

1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden ja homogeenisuden testaaminen Bowmanin ja Shentonin testi, Hypoteesi, 2 -homogeenisuustesti, 2 -yhteensopivuustesti,

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4

Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN...6 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO...7 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET...9

Lisätiedot

Matemaatikot ja tilastotieteilijät

Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS...

Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS... Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO... 9 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET... 11 TEHTÄVIÄ... 13

Lisätiedot

Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta?

Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta? Yhden otoksen suhteellisen osuuden testaus Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta? Hypoteesit H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 tai H 1 : p > p 0 tai H 1 : p < p 0 Suhteellinen osuus

Lisätiedot

Tilastotieteen jatkokurssi syksy 2003 Välikoe 2 11.12.2003

Tilastotieteen jatkokurssi syksy 2003 Välikoe 2 11.12.2003 Nimi Opiskelijanumero Tilastotieteen jatkokurssi syksy 2003 Välikoe 2 11.12.2003 Normaalisti jakautuneiden yhdistyksessä on useita tuhansia jäseniä. Yhdistyksen sääntöjen mukaan sääntöihin tehtävää muutosta

Lisätiedot

54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös):

54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös): Tilastollinen tietojenkäsittely / SPSS Harjoitus 5 Tarkastellaan ensin aineistoa KUNNAT. Kyseessähän on siis kokonaistutkimusaineisto, joten tilastollisia testejä ja niiden merkitsevyystarkasteluja ei

Lisätiedot

Aki Taanila VARIANSSIANALYYSI

Aki Taanila VARIANSSIANALYYSI Aki Taanila VARIANSSIANALYYSI 18.5.2007 VARIANSSIANALYYSI 1 JOHDANTO...2 VARIANSSIANALYYSI...3 Yksisuuntainen varianssianalyysi...3 Kaksisuuntainen varianssianalyysi ilman toistoja...6 Kaksisuuntainen

Lisätiedot

Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto

Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto Tutkimusaineistomme otantoja Hyödyt Ei tarvitse tutkia kaikkia Oikein tehty otanta mahdollistaa yleistämisen

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot

4. Seuraavaan ristiintaulukkoon on kerätty tehtaassa valmistettujen toimivien ja ei-toimivien leikkijunien lukumäärät eri työvuoroissa:

4. Seuraavaan ristiintaulukkoon on kerätty tehtaassa valmistettujen toimivien ja ei-toimivien leikkijunien lukumäärät eri työvuoroissa: Lisätehtäviä (siis vanhoja tenttikysymyksiä) 1. Erään yrityksen satunnaisesti valittujen työntekijöiden poissaolopäivien määrät olivat vuonna 003: 5, 3, 16, 9, 0, 1, 3,, 19, 5, 19, 11,, 0, 4, 6, 1, 15,

Lisätiedot

Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu.

Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Ka6710000 TILASTOLLISEN ANALYYSIN PERUSTEET 2. VÄLIKOE 9.5.2007 / Anssi Tarkiainen Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Tehtävä 1. a) Gallupissa

Lisätiedot

Aineistokoko ja voima-analyysi

Aineistokoko ja voima-analyysi TUTKIMUSOPAS Aineistokoko ja voima-analyysi Johdanto Aineisto- eli otoskoon arviointi ja tutkimuksen voima-analyysi ovat tilastollisen tutkimuksen suunnittelussa keskeisimpiä asioita. Otoskoon arvioinnilla

Lisätiedot

KAHDEN RYHMÄN VERTAILU

KAHDEN RYHMÄN VERTAILU 10.3.2015 KAHDEN RYHMÄN VERTAILU Jouko Miettunen Center for Life-Course and Systems Epidemiology jouko.miettunen@oulu.fi Luennon sisältö Luokitellut muuttujat Ristiintaulukko, prosentit Khiin neliötesti

Lisätiedot

1 TILASTOMENETELMIEN PERUSTEITA

1 TILASTOMENETELMIEN PERUSTEITA 1 TILASTOMENETELMIEN PERUSTEITA Insinööritieteissä suoritetaan usein erilaisia mittauksia tai kokeita, joiden tuloksena saadaan numeerisia havaintoaineistoja tutkittavasta ilmiöstä. Hyvinvointiteknologiassa

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Aki Taanila TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN ALKEET

Aki Taanila TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN ALKEET Aki Taanila TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN ALKEET 21.5.2014 SISÄLLYS 0 JOHDANTO... 1 1 TILASTOLLINEN PÄÄTTELY... 2 1.1 Tiekartta... 4 2 YHTÄ MUUTTUJAA KOSKEVA PÄÄTTELY... 5 2.1 Keskiarvon luottamusväli... 5 2.2

Lisätiedot

OHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi. Luento 3

OHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi. Luento 3 OHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi Luento 3 Tutkimussuunnitelman rakenne-ehdotus Otsikko 1. Motivaatio/tausta 2. Tutkimusaihe/ -tavoitteet ja kysymykset

Lisätiedot

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4 Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

Aki Taanila TILASTOLLINEN PÄÄTTELY

Aki Taanila TILASTOLLINEN PÄÄTTELY Aki Taanila TILASTOLLINEN PÄÄTTELY 17.6.2010 SISÄLLYS 0 JOHDANTO... 1 1 TILASTOLLINEN PÄÄTTELY... 2 2 YHTÄ MUUTTUJAA KOSKEVA PÄÄTTELY... 7 2.1 Normaalijakautuneisuuden testaaminen... 7 2.2 Keskiarvon luottamusväli...

Lisätiedot

Maatalouden tutkimuskeskuksen julkaisuja

Maatalouden tutkimuskeskuksen julkaisuja Maatalouden tutkimuskeskuksen julkaisuja S A RJ A Lauri Jauhiainen Virallisten lajikekokeiden tulosten laskentaperusteet lir>, Maatalouden 100 tutkimuskeskus Lauri Jauhiainen Virallisten lajikekokeiden

Lisätiedot

Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko

Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko Raija Leppälä 29. helmikuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Jatkuvista jakaumista 2 1.1.1 Normaalijakauma 2 1.1.2 Studentin t-jakauma 3 1.2 Satunnaisotos,

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita

Lisätiedot

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1 2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta

Lisätiedot

BIOSTATISTIIKKAA ESIMERKKIEN AVULLA. Kurssimoniste (luku 2) Janne Pitkäniemi. Helsingin Yliopisto Kansanterveystieteen laitos

BIOSTATISTIIKKAA ESIMERKKIEN AVULLA. Kurssimoniste (luku 2) Janne Pitkäniemi. Helsingin Yliopisto Kansanterveystieteen laitos BIOSTATISTIIKKAA ESIMERKKIEN AVULLA Kurssimoniste (luku 2) Janne Pitkäniemi Helsingin Yliopisto Kansanterveystieteen laitos Helsinki, 2005 Biostatistiikkaa esimerkkien avulla 1 Janne Pitkäniemi, syksy

Lisätiedot

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 ja mittaaminen >> Tilastollisten aineistojen kerääminen Mittaaminen

Lisätiedot

Aineistoista. Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin

Aineistoista. Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin Aineistoista 11.2.09 IK Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin Muotoilussa kehittyneet menetelmät, lähinnä luotaimet Havainnointi:

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

TESTINVALINTATEHTÄVIEN VASTAUKSET

TESTINVALINTATEHTÄVIEN VASTAUKSET TESTINVALINTATEHTÄVIEN VASTAUKSET Vastaukset on merkitty keltaisella, muuttujien mittaustasot muuttujan kuvauksen perässä ja muu osa vastauksesta kysymyksen perässä. Tehtävä 1. Talousmatematiikan kurssin

Lisätiedot

1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA

1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Päättely yhden selittäjän lineaarisesta regressiomallista Ennustaminen, Ennuste, Ennusteen luottamusväli, Estimaatti, Estimaattori,

Lisätiedot

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus: 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas LUENNOT Luento Paikka Vko Päivä Pvm Klo 1 L 304 8 Pe 21.2. 08:15-10:00 2 L 304 9 To 27.2. 12:15-14:00 3 L 304 9 Pe 28.2. 08:15-10:00 4 L 304 10 Ke 5.3.

Lisätiedot

USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI

USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI TEORIA USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI Regressiomalleilla kuvataan tilanteita, jossa suureen y arvot riippuvat joukosta ns selittäviä muuttujia x 1, x 2,..., x p oletetun funktiomuotoisen

Lisätiedot

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin

Lisätiedot

Aki Taanila TILASTOLLINEN PÄÄTTELY

Aki Taanila TILASTOLLINEN PÄÄTTELY Aki Taanila TILASTOLLINEN PÄÄTTELY 14.4.2012 SISÄLLYS 0 JOHDANTO... 1 1 TILASTOLLINEN PÄÄTTELY... 2 2 YHTÄ MUUTTUJAA KOSKEVA PÄÄTTELY... 7 2.1 Normaalijakautuneisuuden testaaminen... 7 2.2 Keskiarvon luottamusväli...

Lisätiedot

Otanta ilman takaisinpanoa

Otanta ilman takaisinpanoa Otanta ilman takaisinpanoa Populaatio, jossa N alkiota (palloa, ihmistä tms.), kahdenlaisia ( valkoinen, musta ) Poimitaan umpimähkään (= symmetrisesti) n-osajoukko eli otos Merkitään tapahtuma A k = otoksessa

Lisätiedot

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

TASAVIRTAPIIRI - VASTAUSLOMAKE

TASAVIRTAPIIRI - VASTAUSLOMAKE TASAVIRTAPIIRI - VASTAUSLOMAKE Ryhmä Tekijä 1 Pari Tekijä 2 Päiväys Assistentti Täytä mittauslomake lyijykynällä. Muista erityisesti virhearviot ja suureiden yksiköt! 4 Esitehtävät 1. Mitä tarkoitetaan

Lisätiedot

Altisteiden ja sairauksien mittaaminen. Biostatistiikan näkökulmasta EPIDEMIOLOGIAN JA BIOSTATISTIIKAN PERUSTEET. L2 kevät 2007

Altisteiden ja sairauksien mittaaminen. Biostatistiikan näkökulmasta EPIDEMIOLOGIAN JA BIOSTATISTIIKAN PERUSTEET. L2 kevät 2007 EPIDEMIOLOGIAN JA BIOSTATISTIIKAN PERUSTEET L2 kevät 2007 mittaaminen Biostatistiikan näkökulmasta Janne Pitkäniemi VTM, MSc (biometry) HY, Kansanterveystieteen laitos 1 Perusjoukon ja otoksen käsitteet

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 3 MAA Todennäköisyys ja tilastot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Todennäköisyys ja tilastot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Sisällysluettelo SISÄLLYSLUETTELO...6 LYHYT SANASTO VASTA-ALKAJILLE...7 1. JOHDATUS PARAMETRITTOMIIN MENETELMIIN...9

Sisällysluettelo SISÄLLYSLUETTELO...6 LYHYT SANASTO VASTA-ALKAJILLE...7 1. JOHDATUS PARAMETRITTOMIIN MENETELMIIN...9 Sisällysluettelo SISÄLLYSLUETTELO...6 LYHYT SANASTO VASTA-ALKAJILLE...7 1. JOHDATUS PARAMETRITTOMIIN MENETELMIIN...9 1.1 PARAMETRITTOMIEN MENETELMIEN LYHYT HISTORIA 11 1.2 PARAMETRITTOMAT MENETELMÄT IHMISTIETEISSÄ

Lisätiedot

Järvitesti Ympäristöteknologia T571SA 7.5.2013

Järvitesti Ympäristöteknologia T571SA 7.5.2013 Hans Laihia Mika Tuukkanen 1 LASKENNALLISET JA TILASTOLLISET MENETELMÄT Järvitesti Ympäristöteknologia T571SA 7.5.2013 Sarkola Eino JÄRVITESTI Johdanto Järvien kuntoa tutkitaan monenlaisilla eri menetelmillä.

Lisätiedot

Puheentutkimuksen tilastoanalyysin perusteet. 8. luento. Pertti Palo 20.1.2012

Puheentutkimuksen tilastoanalyysin perusteet. 8. luento. Pertti Palo 20.1.2012 Puheentutkimuksen tilastoanalyysin perusteet 8. luento Pertti Palo 20.1.2012 Käytännön asioita Viimeisen seminaarin siirto: 2.3. 10-12 -> 2.3. 14-16. Miten seminaarin luentokuulustelun voi korvata? Harjoitustöiden

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 6 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA... 7 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...

Lisätiedot

RISTIINTAULUKOINTI JA Χ 2 -TESTI

RISTIINTAULUKOINTI JA Χ 2 -TESTI RISTIINTAULUKOINTI JA Χ 2 -TESTI Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä Ti 27.10.2015, To 2.11.2015 Miisa Pietilä & Laura Hokkanen miisa.pietila@oulu.fi laura.hokkanen@outlook.com KURSSIKERRAN

Lisätiedot

Kemometriasta. Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka

Kemometriasta. Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka Kemometriasta Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka Mistä puhutaan? Määritelmiä Määritys, rinnakkaismääritys Mittaustuloksen luotettavuus Kalibrointi Mittausten

Lisätiedot

T-61.281 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely

T-61.281 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely T-6.8 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Ratkaisut. Ti 7..4, 8:5-: Palautellaan mieliin todennäköisyyslaskuja Versio.. Todennäköisyyksistä ensimmäinen P( sana=lyhenne sana=kolmikirjaiminen ) =.8

Lisätiedot

SISÄLTÖ 1 TILASTOJEN KÄYTTÖ...7 MITÄ TILASTOTIEDE ON?

SISÄLTÖ 1 TILASTOJEN KÄYTTÖ...7 MITÄ TILASTOTIEDE ON? SISÄLTÖ 1 TILASTOJEN KÄYTTÖ...7 MITÄ TILASTOTIEDE ON?...7 TILASTO...7 TILASTOTIEDE...8 HISTORIAA...9 TILASTOTIETEEN NYKYINEN ASEMA...9 TILASTOLLISTEN MENETELMIEN ROOLIT ERI TYYPPISET AINEISTOT JA ONGELMAT...10

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

Muuttujien väliset riippuvuudet esimerkkejä

Muuttujien väliset riippuvuudet esimerkkejä Tarja Heikkilä Muuttujien väliset riippuvuudet esimerkkejä Sisältö MUUTTUJIEN VÄLISTEN YHTEYKSIEN TUTKIMINEN TILASTOLLINEN TESTAUS MERKITSEVYYSTASO MUUTTUJIEN VÄLISTEN YHTEYKSIEN TUTKIMINEN SPSS-OHJELMALLA

Lisätiedot

SELVITTÄJÄN KOMPETENSSISTA

SELVITTÄJÄN KOMPETENSSISTA OTM, KTM, Mikko Hakola, Vaasan yliopisto, Laskentatoimen ja rahoituksen laitos Helsinki 20.11.200, Helsingin kauppakorkeakoulu Projekti: Yrityksen maksukyky ja strateginen johtaminen SELVITTÄJÄN KOMPETENSSISTA

Lisätiedot

25.9.2008 klo 9-15. 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen.

25.9.2008 klo 9-15. 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen. SHV-tutkinto Vakavaraisuus 25.9.28 klo 9-15 1(5) 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen. (1p) 2. Henkivakuutusyhtiö Huolekas harjoittaa vapaaehtoista henkivakuutustoimintaa

Lisätiedot

Heidi Kainulainen. Klusteroitunut aineisto kahden ryhmän vertailussa

Heidi Kainulainen. Klusteroitunut aineisto kahden ryhmän vertailussa PRO GRADU -TUTKIELMA Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastotiede Helmikuu 2008 TAMPEREEN Y L I O P I S T O Heidi Kainulainen Klusteroitunut aineisto kahden ryhmän vertailussa Tampereen yliopisto

Lisätiedot

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten Todennäköisyys Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten tietoliikennejärjestelmien ymmärtämisessä

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

SSL syysseminaari 29.10.2013 Juha Hyssälä

SSL syysseminaari 29.10.2013 Juha Hyssälä SSL syysseminaari 29.10.2013 Juha Hyssälä Lääketieteellisessä tutkimuksessa on perinteisesti käytetty elinaika-analyysissä Coxin suhteellisen vaaran mallia ja/tai tämän johdannaisia. Kyseinen malli kuitenkin

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 2013 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Mittalaitteiden staattiset ominaisuudet Mittalaitteita kuvaavat tunnusluvut voidaan jakaa kahteen luokkaan Staattisiin

Lisätiedot

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa. Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.

Lisätiedot

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteet o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva

Lisätiedot

1.1 Tilastomenetelmät luotettavan tutkimuksen perustana 1 1.1.1 Otos vs. näyte 1 1.1.2 Tilastollinen päättely ja tieteellisyyden kriteerit 2

1.1 Tilastomenetelmät luotettavan tutkimuksen perustana 1 1.1.1 Otos vs. näyte 1 1.1.2 Tilastollinen päättely ja tieteellisyyden kriteerit 2 Sisältö 1 JOHDANTO 1 1.1 Tilastomenetelmät luotettavan tutkimuksen perustana 1 1.1.1 Otos vs. näyte 1 1.1. Tilastollinen päättely ja tieteellisyyden kriteerit TEOREETTINEN JAKAUMA 3.1 Satunnaismuuttuja

Lisätiedot

TURVALLISUUDELLE TÄRKEIDEN LAITTEIDEN KOESTUSTEN MERKITYS VIKOJEN HAVAITSEMISESSA

TURVALLISUUDELLE TÄRKEIDEN LAITTEIDEN KOESTUSTEN MERKITYS VIKOJEN HAVAITSEMISESSA Aalto Yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Raul Kleinberg TURVALLISUUDELLE TÄRKEIDEN LAITTEIDEN KOESTUSTEN MERKITYS VIKOJEN HAVAITSEMISESSA Kandidaatintyö Espoo 23. maaliskuuta 2012 Työn valvoja: Työn

Lisätiedot

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,

Lisätiedot

Ohjeita kvantitatiiviseen tutkimukseen

Ohjeita kvantitatiiviseen tutkimukseen 1 Metropolia ammattikorkeakoulu Liiketalouden yksikkö Pertti Vilpas Ohjeita kvantitatiiviseen tutkimukseen Osa 2 KVANTITATIIVISEN TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI Sisältö: 1. Frekvenssi- ja prosenttijakaumat.2

Lisätiedot

Tarkasteluja lähtötason merkityksestä opintomenestykseen. MAMK:n tekniikassa

Tarkasteluja lähtötason merkityksestä opintomenestykseen. MAMK:n tekniikassa 1 Tarkasteluja lähtötason merkityksestä opintomenestykseen MAMK:n tekniikassa 2 1. Tutkimuksen perusteita Tekniikan alalle otetaan opiskelijoita kolmesta eri lähteestä : -ammattitutkinnon suorittaneet

Lisätiedot

TILASTOMATEMATIIKKA. Keijo Ruohonen

TILASTOMATEMATIIKKA. Keijo Ruohonen TILASTOMATEMATIIKKA Keijo Ruohonen 20 Sisältö I PERUSOTOSJAKAUMAT JA DATAN KUVAUKSET. Satunnaisotanta.2 Tärkeitä otossuureita 2.3 Datan esitykset ja graafiset metodit 6.4 Otosjakaumat 6.4. Otoskeskiarvon

Lisätiedot

PSYKOLOGIAN VALINTAKOE TILASTOMATEMATIIKAN LISÄMATERIAALI 2016

PSYKOLOGIAN VALINTAKOE TILASTOMATEMATIIKAN LISÄMATERIAALI 2016 PSYKOLOGIAN VALINTAKOE TILASTOMATEMATIIKAN LISÄMATERIAALI 06 HELSINGIN YLIOPISTO PSYKOLOGIAN VALINTAKOE 06 Tilastomatematiikan lisämateriaali Copyright Helsingin yliopisto, käyttäytymistieteiden laitos

Lisätiedot

Ennustajien tappiofunktiot ja BKT-ennusteiden rationaalisuus

Ennustajien tappiofunktiot ja BKT-ennusteiden rationaalisuus Kansantaloudellinen aikakauskirja 105. vsk. 4/2009 Ennustajien tappiofunktiot ja BKT-ennusteiden rationaalisuus Markku Lanne Professori Helsingin yliopisto Suomen kansantaloutta koskevia ennusteita julkaistaan

Lisätiedot

Johdatus Ammattikorkeakoulun matematiikkaan ja fysiikkaan

Johdatus Ammattikorkeakoulun matematiikkaan ja fysiikkaan Johdatus Ammattikorkeakoulun matematiikkaan ja fysiikkaan ammattiopiston viimeisenä keväänä vahvistaa AMK:uun pyrkivien taitoja pääsykoetta varten saada jo etukäteen 5 op:n suoritus valinnaisiin Tulos:

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Tentit: 4.11.2013 ja 2.12.2013. Loput kaksi tenttiä (vuonna 2014) ilmoitetaan myöhemmin. Tentissä on 4 tehtävää á 8 pistettä, aikaa 4 tuntia. Arvostelu 0 5.

Lisätiedot

Erikoistyö: Alkoholin kulutusmenojen ennustaminen

Erikoistyö: Alkoholin kulutusmenojen ennustaminen Erikoistyö: Alkoholin kulutusmenojen ennustaminen Tekijä: Mikko Nordlund 49857B mikko.nordlund@hut.fi Ohjaaja: Ilkka Mellin Jätetty: 11.12.2003 Sisällysluettelo 1. JOHDANTO... 3 2. MALLIEN TUTKIMINEN...

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

TEKNILLINEN KORKEAKOULU Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

TEKNILLINEN KORKEAKOULU Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta TEKNILLINEN KORKEAKOULU Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta Marko Kanto TILASTOLLISTEN MENETELMIEN SOVELTAMINEN INTEGROIDUN PIIRIN KARAKTERISOINNISSA Diplomityö, joka on jätetty opinnäytteenä

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien

Lisätiedot

ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen

ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI Mikko Kylliäinen Insinööritoimisto Heikki Helimäki Oy Dagmarinkatu 8 B 18, 00100 Helsinki kylliainen@kotiposti.net 1 JOHDANTO Suomen rakentamismääräyskokoelman

Lisätiedot

Todennäköisyys (englanniksi probability)

Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyyslaskenta sai alkunsa 1600-luvulla uhkapeleistä Ranskassa (Pascal, Fermat). Nykyisin todennäköisyyslaskentaa käytetään hyväksi mm. vakuutustoiminnassa,

Lisätiedot

Perusnäkymä yksisuuntaiseen ANOVAaan

Perusnäkymä yksisuuntaiseen ANOVAaan Metsämuuronen 2006. TTP Tutkimuksen tekemisen perusteet ihmistieteissä Taulukko.51.1 Analyysiin mukaan tulevat muuttujat Mja selite Merkitys mallissa F1 Ensimmäinen faktoripistemuuttuja Selitettävä muuttuja

Lisätiedot

Ekonometria: Tavoite: PerehdyttÄaÄa (empiirisen) ekonometrisen tutkimuksen periaatteisiin, mallintamiseen, tekniikkaan ja käaytäannäon toteuttamiseen.

Ekonometria: Tavoite: PerehdyttÄaÄa (empiirisen) ekonometrisen tutkimuksen periaatteisiin, mallintamiseen, tekniikkaan ja käaytäannäon toteuttamiseen. Ekonometria: Tavoite: PerehdyttÄaÄa (empiirisen) ekonometrisen tutkimuksen periaatteisiin, mallintamiseen, tekniikkaan ja käaytäannäon toteuttamiseen. Ekonometria (STAT.2020) Syksy 2005 Seppo PynnÄonen

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

This is an electronic reprint of the original article. This reprint may differ from the original in pagination and typographic detail.

This is an electronic reprint of the original article. This reprint may differ from the original in pagination and typographic detail. This is an electronic reprint of the original article. This reprint may differ from the original in pagination and typographic detail. Author(s): Karvanen, Juha; Luoto, Antti Title: Odottelua pysäkillä

Lisätiedot

1.1 Tyhjiön permittiivisyyden mittaaminen tasokondensaattorilla

1.1 Tyhjiön permittiivisyyden mittaaminen tasokondensaattorilla PERMITTIIVISYYS Johdanto Tarkastellaan tasokondensaattoria, joka koostuu kahdesta yhdensuuntaisesta metallilevystä. Siirretään varausta levystä toiseen, jolloin levyissä on varaukset +Q ja Q ja levyjen

Lisätiedot

14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva

14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva 4 Jatkuva jakauma Edellä määriteltiin diskreetiksi satunnaismuuttujaksi sellainen, joka voi saada vain (hyppäyksittäin) erillisiä arvoja. Jatkuva satunnaismuuttuja voi saada mitä hyvänsä arvoja yleensä

Lisätiedot

Nimi: Muiden ryhmäläisten nimet:

Nimi: Muiden ryhmäläisten nimet: Nimi: Muiden ryhmäläisten nimet: PALKKIANTURI Työssä tutustutaan palkkianturin toimintaan ja havainnollistetaan sen avulla pienten ainepitoisuuksien havainnointia. Työn mittaukset on jaettu kolmeen osaan,

Lisätiedot

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta Tuloperiaate Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta ja 1. vaiheessa valinta voidaan tehdä n 1 tavalla,. vaiheessa valinta voidaan tehdä n tavalla,

Lisätiedot

Parinmuodostuksesta tietojenkäsittelytieteen silmin. Petteri Kaski Tietojenkäsittelytieteen laitos Aalto-yliopisto

Parinmuodostuksesta tietojenkäsittelytieteen silmin. Petteri Kaski Tietojenkäsittelytieteen laitos Aalto-yliopisto Parinmuodostuksesta tietojenkäsittelytieteen silmin Petteri Kaski Tietojenkäsittelytieteen laitos Aalto-yliopisto Suomalainen Tiedeakatemia Nuorten Akatemiaklubi 18.10.2010 Sisältö Mitä tietojenkäsittelytieteessä

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli

Lisätiedot