3. Monitavoitteinen arvoteoria

Transkriptio

1 3. Motavottee arvoteora

2 3 Motavottee arvoteora Eglakelsä termejä Multattrbute Value Theory (MAVT) Value Tree Aalyss Arvopuuaalyys tarkottaa. tehtävä tavottede, krteere ja attrbuutte jäsetämstä herarkseks puuks (ogelma struktuot) 2. ja motavottese arvoteora (MAVT) soveltamsta parhaa vahtoehdo tustamseks (ogelma ratkasu). 2

3 3. Arvoje yhdstäme Lähtökohdat: Joukko vahtoehtoja Päätökse kaalta merktyksellset tavotteet ( fudametal/ meas objectves ) Tavottede saavuttamsta mttaavat attrbuutt Kuk vahtoehto x kuvataa joukkoa seuraamuksa tavottede suhtee, ts. attrbuutte suhtee tehtyjä mttauksa (x,x 2,,x ). Formulodaa päätösogelma seuraavast: x vahtoehto kpl tavotteta attrbuutteja kpl x vahtoehdo x seuraamus attrbuut suhtee v (x ) seuraamukse x arvo -e attrbuut suhtee Vahtoehtoo x=(x,,x ) lttyvät attrbuuttkohtaset arvot v (x ) (egl. scores ) oletetaa tuetuks ämä vodaa määrttää esmerkks edellse lueo meetelmllä arvofukto vo olla määrtelty joko koko vahteluvälllä ta pelkästää vahtoehtoje joukossa. 3

4 Ogelma: Mte vahtoehdo x = (x,,x ) kokoasarvo vodaa määrttää? El kuka er attrbuutte arvot tulee yhdstää? ( x,, )? V x = Ogelma vodaa kuvata (2-kerrokssea) arvopuua: Kokoasarvo Atrbuutt Atrbuutt 2... Atrbuutt Oletetaa että päätöksetekjällä o vahtoehtoje keske preferessrelaato >~ s.e. ( x,, x ) > ~ ( y,, y ) jos ja va jos vahtoehto x = (x,,x ) melusamp ta yhtä melusa ku y = (y,,y ). Mllä edellytyksllä o olemassa tätä preferessrelaatota kuvaava arvofukto? 4

5 Lause 3. Olkoo vahtoehtojoukkoa A = R (reaallukuarvoset vektort). Jos päätöksetekjä preferessrelaato >~ toteuttaa ehdot () >~ o hekko järjestys () (Pareto:) x y ja j s.t. x j > y j (x,,x ) > (y,,y ) () x = (x,,x ) >~ y = (y,,y ) >~ z = (z,,z ) λ [0,] s.t. λx + (-λ)z ~ y ordaale arvofukto v: A R s.e. ( x,, x) ~ ( y,, y) v( x x ) v( y y ),,,,. Tod. Saotaa, että vahtoehto a* o dagoaale jos α s.e. a*=(α,α,,α). Olkoo x A melvaltae vahtoehto. Määrtellää dagoaalset vahtoehdot x ja x s.e. x = m {x, x } ja x = max{x,,x },,. ()-ehdo perusteella x >~ x >~ x. Edellee ()-ehdo ojalla λ s.e. x* = (α x, α x,, α x ) = λx +(-λ)x ~ x. Tämä x* o ()-ehdo ja dagoaalsuusomasuude ojalla ykskästtee. Määrtellää vahtoehdo x arvo s.e. v(x) = α x. Tällö (,, ) ~ (,, ) x= x x y y = y x* = ( α,, α )~ x ~ y ~ y* = ( α,, α ) α α vx ( ) vy ( ). x y x x y y 5

6 Edelle lause e kutekaa ole kov hyödylle, koska se e täsmeä, mte vahtoehdo kokoasarvo V(x) muodostuu attrbuuttkohtassta arvosta v (x ). Lähtökohdaks valtaa dekomposto ( hajota ja halltse ): ( ) V x,, x = f( v ( x ),, v ( x )) Ylvertasest tärke o addtve mall, jossa vahtoehdo kokoasarvo estetää se attrbuuttkohtaste arvoje paotettuja summaa: ( ) Vx,, x = wv( x) Käytäössä arvopuuaalyysssä käytetää mlte aa addtvsta malla, joka o helpost ymmärrettävä. 6 Tosaa käytetää myös multplkatvsta malla, joka kuvaa myös vahtoehtoje välsä preferessrppuvuuksa V ( x,, x) = [ Kkv ( x) ] K + = Ogelma: Addtve mall e kutekaa välttämättä kuvaa preferessejä oke. mkä tahasa krteer o mllä tahasa muulla krteerllä kompesotavssa oko ä? vrt. lexkografe preferesse kuvaus esm. Maslow tarveherarka

7 Mllo addtvsta malla vodaa perustellust käyttää? 3.2 Preferessrppumattomuus Määr: Attrbuutt X o preferessrppumato attrbuutsta Y, jos x, x 2,y s.t. (x, y ) > (x 2,y ) (x, y) > (x 2,y) y Määr: Attrbuutt X,..., X ovat keskeää preferessrppumattoma, jos jokae attrbuutte osajoukko o preferessrppumato ko. attrbuutte komplemettjoukosta (so. musta ku valttuu osajoukkoo kuuluvsta attrbuutesta). Addtve arvofukto kuvaa päätöksetekjä preferessejä va jos attrbuutt ovat keskeää preferessrppumattoma. Käytäössä preferessrppumattomuutta e (valtettavast) usekaa tutkta kov ykstyskohtasest. Tosaa preferessrppumattomuus sekotetaa vahtoehtojoukossa lmeevää korrelaatoo kyse o preferessraketee omasuudesta e vahtoehtoje! 7

8 Esm. Mett, asupakkakua valtaa. Relevatteja krteerejä ovat hakttava auto (Y) ja kaupuk (X). X asupakka: x Helsk x 2 Afrka tasako Y auto: y Mersu y 2 Jeepp Jos preferesst ovat sellaset, että (x, y ) > (x 2,y ) (x, y 2 ) > (x 2,y 2 ), Helsk o Afrkkaa melusamp, rppumatta autosta. Slt vo olla, että Mersu (x, y ) > (x,y 2 ) (x 2, y 2 ) > (x 2,y ), Jeepp so. Mersu o mukavamp, jos asut Helsgssä, ku taas Afrka tasagolla jeepp o paremp. X o preferessrppumato Y:stä Y e ole preferessrppumato X:stä. Afrkka Helsk HUOM. Edes Lausee 3. vaatmus ) (Pareto-ehto) e esmerkssä toteudu! Sllä ku attrbuutteja o kaks, Pareto-ehdosta seuraa preferessrppumattomuus. 8

9 Etä ku attrbuutteja o eemmä ku kaks? Esm. Atera valta. Attrbuutt ovat v{puav, valkov} lha={härkä, kaa} lsuke={perua, rs} Lsäks oletetaa krteerkohtaset preferesst: puav > valkov härkä > kaa perua > rs Rkkomatta krteerkohtas preferessejä (Pareto-ehtoa) vodaa asettaa: ) (puav, härkä, rs) > (valkov, härkä, perua) ja 2) (puav, kaa, rs) < (valkov, kaa, perua) V ja lsuke evät ole preferessrppumattoma lhasta! HUOM! Pareto-ehdosta e ylesest (>2) seuraa preferessrppumattomuus 9

10 Mutta oko preferessrppumattomuus rttävä ehto addtvse mall olemassaololle? Tarkastellaa tlaetta v(0,0) = v(0,) = 2 v(0,2) = 3 v(,0) = 2 v(,) = 4 v(,2) = 6 v(2,0) = 3 v(2,) = 7 v(2,2) = 8 Preferessrppumattomuus o vomassa, koska rvellä ja sarakkella olevat kokoasarvot ovat adost kasvava. Addtvsta arvofuktota e kutekaa ole; sllä jos tällae v(x,x 2 ) = v (x ) + v 2 (x 2 ) ols, (0,) ~ (,0) V (0) + V 2 () = V () + V 2 (0) (2,0) ~ (0,2) V (2) + V 2 (0) = V (0) + V 2 (2) mstä edellee v (2) + v 2 () = v () + v 2 (2) vakka tauluko mukaa v(2,) = 7 6 = v(,2). Tarvtaa ss lsävaatmuksa kute Thompso ehto (ks. kuva): (x 0,y ) ~(x,y 0 ) (x 2,y 0 ) ~(x 0,y 2 ) (x 2,y ) ~ (x,y 2 ) 0

11 Lause 3.2 Jos preferessrppumattomuude lsäks o vomassa joukko (vähemmä rajaava) lsäoletuksa, o olemassa addtve arvofukto ste että ( x,, x ) ~ ( y,, y ) ( ) ( ) V x,, x = v ( x ) v ( y ) = V y,, y. Tod. Ks. esm. Frech (986) (e tarvtse osata). Arvofukto o affeja postvsa muuoksa valle ykskästtee, ts. myös arvofukto V (.) = α V(.) + β toteuttaa yo. lausee (α,β vakota, α > 0). Yo. preferessmallssa e kutekaa esy attrbuutte paoja ekä attrbuuttkohtasa arvoja ole myöskää ormeerattu. Etä mkä o paoje tulkta? Merktää x 0 = huoo seuraamus :e attrbuut suhtee x * = paras seuraamus Olkoo x melvaltae vahtoehto s.e. x 0 x x *, jollo se kokoasarvo Lausee 3. mukaa o

12 Vx Vx Vx Vx 0 0 () = () ( ) + ( ) 0 v( x) v ( x) V( x ) = + = v x v x + V x 0 ( ) ( ) ( ) v( x) v ( x ) = + * 0 v ( x) v ( x ) V( x ) * v ( x) v ( x) W > 0 v ( x ) = W 0 v( ) * x + Vx ( ) * + v ( x) v ( x) v ( x) v ( x) α > 0 β [ α β ] = W v x + + V x 0 ( ) ( ) N v [0,] W = + N 0 [( W) v ( x)] V( x ) ( W ) = w > 0, w = N 0 N = ( W) wv ( x) + V ( x ) = χv () x + δ δ χ> 0 N V ( x) 2

13 josta huomataa: v N :t kuvaavat samoja attrbuuttkohtasa preferessejä ku v :t, sllä v N o pos. aff. muuos v :stä o (ks. kardaale arvofukto, lueto 2) V N [0,] kuvaa samoja preferessejä ku V, sllä V N o pos. aff. muuos V:stä. Va attrbuuttpaoje w suhtella o merktystä, el e vodaa skaalata ste että summaks tulee yks. Vodaa ss huoletta tarkastella ormeerattua kokoasarvofuktota: N N V ( x) = wv ( x). deaalvahtoehto joka o paras mahdolle kakke attrbuutte suhtee (x *,x * 2, x * ) saa ä kokoasarvoksee yks vahtoehto joka o huoyo mahdolle kakke attrbuutte suhtee (x 0,x 0 2, x 0 ) saa taas kokoasarvoksee olla 3

14 Mkä o attrbuuttpaoje tulkta? Määrtelmästä saamme * = w W v ( x ) v ( x ), el attrbuuttpao kuvaa stä kokoasarvossa tapahtuvaa muutosta, joka lttyy attrbuut srtymsee se huoommalta määrtellyltä tasolta parhammalle määrtellylle tasolle. Tästä tulkasta rrotettua paokertoma koskevat kysymykset evät ole melekkätä: Kump o tärkeämp ympärstö va talous? Krteer tärkeyttä e ole olemassa rrallsea tarvtaa vertalukohta oko yhteskuta valms maksamaa hyöteslaj turvaamsesta mljooa euroa? Jos tarkasteltavat vahtoehdot krteert ovat jodek krteere suhtee (lähes) dettsä, äde krteere tuls saada pe pao. käytäössä tämä vo johtaa krttsee keskusteluu ja mahdolls jättesk Mks esmerkks terveys- ta ympärstöäkökohte tuls saada pe pao? 4

15 3.3 Arvopuuaalyys Mellä o yt vahtoehtoje attrbuuttkohtaset arvot v (x ) tapa yhdstää ämä arvot kokoasarvoks addtvse mall V(x)= w v (x ) ja krteerpaoje (w ) avulla Päätösehdotuksea estetää vahtoehdosta se, joka kokoasarvo o suur. Kokoasarvo Atrbuutt Atrbuutt 2... Atrbuutt Lähtökohtaa attrbuutte tustame so. ogelma jäsetely. Ogelma jäsetely ja tavottede määrttely o use aalyys atos ja samalla moessa melessä vake vahe. Se pohtme tukee ratkasuje löytämstä. Herkkyysaalyys o kää oleae osa aalyysä. Se avulla vodaa lopuks tutka, mte muutokset mallssa vakuttavat vahtoehtoje arvotuu paremmuusjärjestyksee. 5