2 j (m({f >2 j 1 }) m({f >2 j })) 2 j 1 m({f >2 j 1 }) 2 j M 2 jp. < 1, 2 p. { f >i} A

Transkriptio

1 Mitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus, Olkoon f :! [0, ] mitallinenjam() <. Näytä, että josonp>javakio M<, joille t p m {x 2 : f(x) >t} apple M kaikilla t>0, niin f 2 L (). Olkoot joukot j kuten vihjeessä, jolloin ne ovat selvästi mitallisia. Tällöin voidaan arvioida f dm = fdm [ j=0 j = fdmapple m()+ 2 j m( j ) j sillä m() < ja 2 2 p <. j=0 apple m()+ apple 3m()+ apple 3m()+ 2 j (m({f >2 j }) m({f >2 j })) 2 j m({f >2 j }) j=2 2 j M 2 jp =3m()+M 2. Olkoon f 2 L (). Näytä, että 2 2 j <, 2 p lim im {x 2 : f(x) >i} =0. i! Olkoon ">0ja >0 siten, että kun m(e) < niin R f dm < ". Koska \E kaikilla i 2 N pätee im({ f >i}apple f dm apple f dm = M<, { f >i} Jaa joukkoihin 0 = {x 2 :0apple f(x) apple } ja j = {x 2 :2 j <f(x) apple 2 j } 2 Lause 9.2.

2 niin m({ f >i})! 0kuni!.Tällöin suurilla i tämä mittaonpienempää kuin,jolloin im({ f >i}) apple f dm < ". { f >i} 3. Olkoon f 2 L (R) jar>0. Näytä, että funktiog : R! R, g(x) = fdm B(x,r) on jatkuva. 3 Lisätehtävä: Todista väite funktiolle f 2 L (R n ). Olkoon x 0 2 R n ja (x n )jonojollex n! x 0.Onnäytettävä että g(x n )! g(x 0 ). Käyttämällä kolmioepäyhtälöä voidaan arvioida integraalien erotusta: g(x n ) g(x 0 ) = fdm fdm = apple apple B(x n,r) B(x n,r)\b(x 0,r) B(x n,r)\b(x 0,r) B(x n,r)\b(x 0,r) fdm B(x 0,r) fdm + f dm + B(x 0,r)\B(x n,r) B(x 0,r)\B(x n,r) B(x 0,r)\B(x n,r) fdm fdm f dm! 0, sillä erotusjoukkojenmitatsuppenevatnollaankunn!eli x n! x 0.Olkoon esimerkiksi 2 (0,r)jan 2 N siten, että x n x 0 <.Tällöin B(x n,r ) B(x 0,r), joten erotusjoukon mittaa voidaan arvioida sisäkkäisten äärellismittaisten joukkojen avulla: m(b(x 0,r)\B(x n,r)) apple m(b(x 0,r)\B(x n,r )) = m(b(0, ))(r n (r ) n )! 0, kun! 0, eli kun x n! x 0.Vastaavastimyös toisen erotusjoukon mitta häviää rajalla. 4. Onko funktio f(x) = p x absoluuttisesti jatkuva välillä [0, ]? f on absoluuttisesti jatkuva: Se on derivoituva välin [0, ] sisäpisteissä, ja derivaattafunktio f 0 (x) = 2 p on integroituva tällä välillä. Lisäksi kaikilla x 2 [0, ] x x f(0) + f 0 dy dm = 2 p y = p x = f(x). [0,x] 5. Olkoon f :[0, ]! R absoluuttisesti jatkuva funktio, jolle f 0 (x) > 0melkein kaikilla x 2 [0, ]. Näytä, että f on aidosti kasvava. 3 Lause 9.2 0

3 Olkoot 0 apple y<zapple. Tällöin absoluuttisen jatkuvuuden nojalla f(z) f(y) =f(0) + f 0 dm f(0) f 0 dm = f 0 dm > 0, [0,z] [0,y] sillä m((y, z]) > 0jaf 0 > 0m.k.,siisf on aidosti kasvava. 6. Olkoot f :[a, b]! R ja g :[c, d]! [a, b]absoluuttisestijatkuviafunktioita.näytä, että josg on aidosti kasvava, niin f g on absoluuttisesti jatkuva. Olkoon ">0ja välejä, joille niin (y,z] >0siten,ettäkun(a,b ),...,(a k,b k ) [a, b]ovatpistevieraita (b j a j ) <, f(b j ) f(a j ) <". Olkoon lisäksi 0 > 0jollesamapätee kun " korvataan luvulla ja funktio f funktiolla g. Nyt koska g on lisäksi aidosti kasvava, niin erillisten välien (c,d ),...,(c k,d k ) [c, d] kuvat(g(c j ),g(d j )) ovat myös erillisiä välejä. Nyt jos (d j c j ) < 0, niin ja siten g(d j ) g(c j ) < f(g(d j )) f(g(c j )) <". 7. Olkoon f :[a, b]! R funktio, joka on derivoituva välillä ]a, b[ jajonkaderivaatta on rajoitettu. Näytä, että f on absoluuttisesti jatkuva. Olkoon ">0jaM>0siten,että f 0 (x) applem kaikilla x 2 (a, b). Tällöin kun (a,b ),...,(a k,b k ) [a, b] ovaterillisiävälejä, joille (b j a j ) < " M, niin väliarvolauseen nojalla f(b j ) f(a j ) = b j a j f 0 (c j ) applem b j a j <",

4 missä c j 2 (a j,b j )ovatlukujajoilleväiarvolauseen mukaisesti f(b j ) f(a j )=f 0 (c j )(b j a j ).

5 Mitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 2, viimeinen tehtävä toisellapuolella. Olkoon f :[a, b]! R rajoitetusti heilahteleva ja c 2]a, b[. Näytä, että f on rajoitetusti heilahteleva väleillä [a, c] ja[c, b] jaettä V f (a, b) =V f (a, c)+v f (c, b). Kun a = x 0 <x < <x k = c on välin [a, c] jako,niinx 0 < <x k <bon välin [a, b] jakojasiten f(x j ) f(x j ) applev f (a, b) f(c) f(b) <, minkä nojallav f (a, c) < sillä tämä yläraja pätee mielivaltaiselle välin jaolle. Vastaavasti nähdään V f (c, b) <. Kuna = x 0 < <x k = b on mielivaltainen välin [a, b] jako,niinlisäämällä tähän jakoon mahdollisesti piste c pisteiden x m ja x m+ väliin saadaan jaot väleille [a, c] ja[c, b], minkä nojalla f(x j ) f(x j ) apple mx f(x j ) f(x j ) + f(x m ) f(c) + f(c) f(x m+ ) + apple V f (a, c)+v f (c, b), j=m+2 f(x j ) f(x j ) ja siten V f (a, b) apple V f (a, c) +V f (c, b). Toista epäyhtälö vartenolkoon" > 0ja a = x 0 < <x k = c ja c = y 0 < <y l = b välien [a, c] ja[c, b] jaotsiten,että V f (a, c)+v f (c, b) apple f(x j ) f(x j ) + lx f(y j ) f(y j ) + ". Tällöin koska x 0 < <x k = y 0 < <y l on välin [a, b] jako,niinv f (a, b)+" V f (a, c)+v f (c, b) javäite seuraa sillä ">0voidaanvalitamielivaltaisenpieneksi. Siis V f (a, b) =V f (a, c)+v f (c, b). 2. Olkoon f :[0, ]! R, ( f(x) =x cos, kun x 2]0, ], f(x) = x 0, kun x =0. Näytä, että V f (0, ) =.

6 Olkoon k 2 N ja pisteet x 0 =0jax j = k j+ kun j =,...,k.tällöin 0 = x 0 < x < <x k =jamääritelmän mukaan V f (0, ) f(x j ) f(x j ) = 0 k cos(k ) + k cos(k ) k cos((k ) ) + + cos(2 ) cos( ) 2 = 2 k + 2 k =2, j sillä cos(m ) = cos((m +) ) jacos(m ) =± kunm 2 N. Koskanytsumma P k hajaantuu kun k!,onv j f(0, ) =. 3. Olkoon f :[0, ]! R, ( f(x) =x 2 cos, kun x 2]0, ], f(x) = x 0, kun x =0. Näytä, että f on rajoitetusti heilahteleva välillä [0, ]. Olkoon g(x) =f(x)+2 x. Tällöin g on derivoituva välillä (0, ) ja g 0 (x) =f 0 (x)+2 =2x cos( x )+ sin( x )+2 >0, joten g on kasvava funktio. Siten f on muotoa f = g h, missämyös funktio h : x 7! 2 x on kasvava. Tällöin f on rajoitetusti heilahteleva, silläkasvavatfunktiot ovat rajoitetusti heilahtelevia määritelmästä seuraaettä V f (0, ) = V g h (0, ) apple V g (0, ) + V h (0, ) <. 4. Olkoon a 2 R ja f : R n! [0, [, ( kxk a, kun x 2 B(0, ) f(x) = 0, kun x 2 R n \ B(0, ). Millä lukujena ja apple p< arvoilla f 2 L p (R n )? Luentojen kaava (0.): R f p dm = p R s p 0 m { f >s} ds tai Pallokoordinaatit R n :ssä: Funktiolle u 2 L (B(0,r)) on udm= u(t!)t n dt d (!), B(0,r) S n (0,) [0,r] missä on pintamitta joukossa S n (0, ) = {x 2 R n : kxk =}

7 Jos a apple 0, niin kxk a on rajoitettu yksikköpallossa ja siten f 2 L p (R n ) kaikilla p. Olkoon sitten a>0. Vihjeen kaavan nojalla (merkitään B = B(0, )) f p dm = f p dm = p s p m({x 2 B : f(x) >s})ds R n B 0 apple p s p 0 m(b) ds + p jos R s p m({kxk a >s}) ds <. Koska kxk a >s,kxk <s a apple, s p m({kxk a >s}) ds < niin kyseinen mitta on yhtä kuinm(b(0,s a )) = m(b)s n a. Nyt s p m({kxk a >s}) ds = m(b) s p n a ds < täsmälleen kun p n a <, eli ap < n. Tällöin siis kun p 2 [, ) onf 2 Lp (R n ) eksponenteilla a< n p. 5. Olkoon apple p<q<. nna esimerkki funktiosta f 2 L q (R n ), jolle f /2 L p (R n ). Olkoon B = B(0, ), r 2 ( n, n)jaf(x) = q p B c(x)kxk r. Tällöin käyttäen pallokoordinaatteja f q = kxk rq = (S n (0, )) t rq t n dt <, R n B c sillä nytrq > n eli rq + n <. Toisaalta f p = kxk rp = (S n (0, )) t rp t n dt =, R n B c sillä rp < n eli rp + n >. Tällöin f 2 L q (R n ) \ L p (R n ). 6. Olkoon f :[a, b]! R absoluuttisesti jatkuva ja <p<. Näytä, että jos f 0 2 L p ([a, b]), niin on 0 apple M<, jolle f(x) f(y) applem x y (p )/p kaikilla x, y 2 [a, b] (ts. f on Hölder-jatkuva eksponentilla (p )/p.) Käytetään absoluuttisen jatkuvuuden karakterisaatiota (oletetaan y<x)jahölderin epäyhtälöä funktioillef 0 ja eksponenteilla p ja p : p f(x) f(y) = f 0 dm apple f 0 dm apple (y,x] (y,x] apple M x y p p, (y,x] f 0 p p dm dm (y,x] p p

8 missä M = kf 0 k p < ja siis R dm = x y. (y,x] 7. Jos 0 <m() < ja f :! [0, ] on mitallinen, niin merkitään fdm= fdm. m() Todista Seuraus 0.5: Olkoon apple p<q< ja f 2 L q (). Tällöin /p /q. f p dm apple f dm q Hölderöidään funktioita f p ja eksponenteilla q ja q : p q p /p f p dm = m() p f p p dm apple m() p f p q p q p dm dm = m() q p p m() qp f q q dm missä p + q p qp = q. = /q, f dm q q p q p

9 Mitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 3, Olkoon f 2 L (). Näytä, että m {x 2 : f(x) > kfk } =0. Koska {x 2 : f(x) > kfk } = [ {x 2 : f(x) > kfk + j }, niin m {x 2 : f(x) > kfk } apple m {x 2 : f(x) > kfk + j } =0 sillä m {x 2 : f(x) > kfk + j } = 0 kaikilla j =, 2,... normin kfk määritelmän perusteella: Muuten olisi suurempaa kuin kfk + j > kfk. inf{t >0: m({ f >t}) =0} 2. Tässä tehtävässä näytetään, että L p -avaruus kuuluu heikkoon L p -avaruuteen. Kohdan (b) esimerkki näyttää, että heikkol p -avaruus on suurempi joukko kuin L p. (a) Olkoon f 2 L p (), apple p<. Näytä, että onm<, jolle m {x 2 : f(x) >t} apple M t p kaikilla t>0. (b) Näytäfunktionf :]0, [! [0, [, f(x) =/x avulla, ettäkohdan(a)käänteinen tulos ei ole totta: on M< siten, että m {x 2 (0, ) : f(x) >t} apple M t kaikilla t>0, mutta f /2 L (). On t i > 0, t i &kfk, m({x : f(x) >t i })=0jat i < kfk +/i

10 (a) Olkoon t>0jam = R f p dm <. Tällöin käyttämälläyhtälöä R f p dm = p R s p m({x 2 : f(x) >s}) ds saadaan 0 t p m({x 2 : f(x) >t}) =m({ f >t}p (b) Koska f(x) = x >tkun x< t,niin = p apple p apple p = m({x 2 (0, ): f(x) >t}) = (0,) (0,) t s p 0 t s p 0 s p o t s p 0 ds m({ f >t}) ds m({ f >s}) ds m({ f >s}) ds f p dm = M. ( kun t t apple kun t< t kaikilla t>0, eli voidaan valita M =.Toisaaltaf /2 L () =L ((0, )), sillä f dm = x dm dx = log t! x kun t! Olkoon X joukko, x 0 2 X ja x0 Diracin mitta. Näytä, että jokainenjoukko X on x0 -mitallinen. Olkoot, E X mielivaltaisia. Tällöin x 0 (E) = x0 (E \ )+ x0 (E \ ), sillä josx 0 /2 E, ovatkaikkitermitnollia,jajosx 0 2 E, niin x0 (E) =janyt täsmälleen toinen oikean puolen termeistä on,toinen0. 4. Olkoon X ylinumeroituva joukko ja µ : P(X)! [0, ], ( µ 0, kun X on numeroituva, () =, muulloin. Näytä, että µ on ulkomitta. Joukkofunktio µ täyttä ulkomitanmääritelmän ehdot: Koska ; on numeroituva (; N), niin µ (;) = 0. Jos B X, niin µ () apple µ (B), t

11 sillä josµ () =,on ylinumeroituva jolloin myös B on ja siten myös µ (B) =. Lisäksi [ µ apple µ ( j ), j sillä mikäli oikean puolen summa on 0, eli µ ( j ) = 0 kaikilla j =, 2,...,, niin jokainen j on numeroituva ja siten myös numeroituva yhdiste S j on numeroituva, joten myös µ S j =0. 5. Olkoot X ja µ kuten tehtävässä 4.Näytä, että joukko X on µ -mitallinen jos ja vain jos on numeroituva tai X \ on numeroituva. Jos tai X \ on numeroituva, niin kaikilla numeroituvilla E X pätee µ (E) =0=0+0=µ (E)+µ (E) µ (E \ )+µ (E \ ) µ (E), ja samoin kaikilla ylinumeroituvilla E X µ (E) ==+0=µ (E \ )+µ (E \ ), sillä toinenoikeanpuolenjoukoistaonnumeroituvanjoukonosajoukkonanumeroituva ja toinen ylinumeroituva, sillä niiden yhdiste on ylinumeroituva joukko E. Jos taas X on µ -mitallinen, niin =µ (X) =µ ()+µ (X \ ). Tällöin on oltava µ () = 0 tai µ (X \ ) = 0, siis toinen näistä joukoistaon numeroituva. 6. Olkoon µ ulkomitta joukossa X ja Y X. Määritellään rajoittuma µ Y () =µ (Y \ ). Näytä, että µ Y on ulkomitta joukossa X ja että µ Y (X \ Y )=0. Joukkofunktio µ Y täyttää ulkomitanmääritelmän ehdot: Kun µ on ulkomitta, niin µ Y (;) =µ (Y \;)=µ (;) =0, kaikilla B X pätee Y \ Y \ B ja siten µ Y () =µ (Y \ ) apple µ (Y \ B) =µ Y (B), ja joukoille, 2, X pätee [ [ [ µ Y j = µ Y \ j = µ (Y \ j ) apple Lisäksi µ (Y \ j )= µ Y (X \ Y )=µ (Y \ Y c )=µ (;) =0. µ Y ( j ).

12 7. Keksi esimerkki ulkomitasta, joka ei ole metrinen. 2 Olkoon µ tehtävän 4 ulkomitta avaruudessa X = R, jossa valitaan metriikaksi tavallinen euklidinen etäisyys. Tällöin joukot =[0, ] ja B =[2, 3] ovat aidosti erillisiä, sillä dist(, B) => 0. Molemmat joukot ovat toisaalta myös ylinumeroituvia, joten µ ( [ B) =< 2=µ ()+µ (B), eikä µ siten ole metrinen. 2 Luvun esimerkit auttavat.

13 Mitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 4, Olkoon f : R n! [0, ], f 2L (R n ). Tällöin µ : P(R n )! [0, [, n o µ (E) =inf fdm: B 2M,E B, B on ulkomitta.näytä, että jos 2M,niin on µ -mitallinen. Näytä funktion f : R n! [0, ], f =0m.k.R n :ssä, avulla, että käänteinen tulos ei ole totta. Jos 2M,niinkaikillaB 2Mpätee fdm= fdm+ B B\ B\ fdm. Tällöin kun E B 2M,niinE \ B \ 2Mja E \ B \ 2Mja fdm µ (E \ )+µ (E \ ), B joten µ (E) µ (E \ )+µ (E \ ) µ (E). Jos f 0, niin µ (R n )= R R n 0 dm =0jasitenµ 0. Nyt jokainen R n on µ -mitallinen, erityisesti myös jokainen ei-lebesgue-mitallinen joukko. 2. Olkoon X = {, 2, 3}. Olkoonµ (;) =0,µ (X) =2jaµ () =kaikillamuilla joukoilla X. Näytä, että µ on ulkomitta ja etsi µ -mitalliset joukot. 2 () µ (;) =0 (2) µ () apple µ (B) jos B, silläjosµ () =niinb 6= ; ja jos µ () =2, niin B = = X (3) µ S j apple P µ ( j ), sillä josvasenpuolion,onmyös oikean puolen summassa luku, ja jos vasen puoli on 2, niin S j = X ja siten joko j = X jollain j tai on kaksi epätyhjää joukkoa j, k. inoat mitalliset joukot ovat ; ja X, silläjos;6= 6= X, niinesimerkiksi/2, 2 2 ja nyt µ ({, 2} =< 2=µ ({, 2}\)+µ ({, 2}\). 3. Olkoon (X, d) metrinen avaruus, K joukon X hieno peite ja h: K! [0, ] esimitta. Näytä, että Carathéodorynkonstruktionantamaµ on ulkomitta. 3 Seuraa helposti integraalin ominaisuuksista. Voit todistaa jos haluat. 2 Huomaa, että tästä saadaan esimerkki ulkomitasta, joka ei ole säännöllinen. Muista, että ulkomitta on säännöllinen, jos kaikille X on µ -mitallinen E, jolle µ () =µ (E). 3 Tämä on siis Lauseen 2.4 todistuksen luennolla harjoitukseksi jätetty osa.

14 Joukon X mitta µ () onraja-arvolim n! µ n(), missä µ n on peitteestä K n konstruoitu ulkomitta. Tällöin () µ (;) =lim n! µ n(;) = lim n! 0=0 (2) µ () = lim n! µ n() apple lim n! µ n(b) =µ (B) jos B (3) µ S j =lim n! µ n S j apple lim n! P µ n( j ) apple P µ ( j ), missä viimeinen epäyhtälö seuraasiitä, että µ n() apple µ () kaikilla X ja n 2 N. Siten µ on ulkomitta. 4. Olkoon 0 <tapple jaa i 0kaikillai 2 N. Näytä, että 4 X t X a i apple a t i. i= Jos P i= a i =0,onväite selvä. Jos P i= a i =, niinmyös P i= at i = sillä a t i min{a i, }. Olkoonsitten P i= a i = 2 (0, ). Tällöin a i =, ja jokainen termi a i Tämä tarkoittaa,että X i= i= on korkeintaan, joten nyt myös a i t a i. i= i= t X a i = t i= i= a t i apple t i= a i t = X i= a t i 5. Tarkastellaan Hausdor n -sisältöä H/2 2 joukossa R. () Näytä, että H /2 (I) =v(i) /2 kaikille rajoitetuille väleille I R. (2) Näytä, että testijoukon[0, 2] avulla, että väli [0, ] ei ole H /2 -mitallinen. () Koska suljettu väli I on välin I suljettu peite, niin välittömästi H 2 (I) apple diam(i) 2 = v(i) 2. Olkoon sitten E j jono suljettuja joukkoja joille I E [ E 2 [.Koska [ v(i) =m(i) apple m apple m(e j ) apple diam(e j ), E j 4 Huomaa, että voidaan olettaa, että 0< P i= a i <. Todista ensin tapaus P i= a i =.

15 niin edellisen tehtävän avulla X v(i) 2 apple diam(e j ) 2 apple diam(e j ) 2. Koska tämä pätee mielivaltaiselle suljetulle peitteelle, niin (2) Edellisen kohdan nojalla H 2 (I) v(i) 2. H 2 ([0, 2]) = p 2 < 2=H 2 ([0, ]) + H 2 ((, 2]), eli [0, ] ei toteuta Carathéodoryn ehtoa testijoukolla [0, 2] eikä siisolemitallinen. Erityisesti Hausdor -sisältö eisiisoleborel-mitta. n 2 6. Olkoon X metrinen avaruus, X, 0<s< ja >0. Näytä, että H s () =0 jos ja vain jos H s () =0. Koska H s H s,niinsuuntah s () =0)H s () =0onselvä. Toista suuntaa varten on näytettävä, ettäjosh s () =0,niinH s 0() =0myös jokaisella 0 < 0 <. Olkoon X jolle H s () =0ja">0. Tällöin jokaisella 0 > 0onolemassasuljetut joukot E j,joille [ j E j ja diam(e j ) s < min{ 0s,"}. Erityisesti diam(e j ) < 0 jokaisella j, jasiten H s 0() apple diam(e j ) s <", eli myös tämä ulkomittaon0jasitenh s () =0. 7. Olkoon X = {a, b, c}. LuettelejoukonX -algebrat. Triviaalisti kokoelmat {X, ;} ja P(X) ovat -algebroja. Myös kokoelmat {;,X,{a}, {b, c}}, {;,X,{b}, {a, c}}, {;,X,{c}, {b, a}}, ovat -algebroja. Nämä 5ovatlisäksi kaikki mahdolliset joukon X -algebrat: Jos F P(X) on -algebra, joka sisältää kaksiepätyhjää aitoaosajoukkoa, B siten, että 6= B c,niinf = P(X).

16 Mitta- ja integraaliteoria Harjoitus 5, Olkoon µ ulkomitta joukossa X, 2 µ ja f :! R. Näytä, että on -algebra. = E R : f (E) 2 µ Koska µ -mitallisten joukkojen kokoelma µ on -algebra, niin myös on - algebra: () ;2 sillä f (;) =;2 µ (2) Jos E 2, niin f (E) 2 µ,janyt f (E c )= \ f (E) 2 eli myös E c 2 (3) Jos E,E 2, 2, niin f (E j ) 2 µ kaikilla j ja nyt [ [ f E j = f (E j ) 2 eli myös [ E j 2 2. Olkoon X joukko ja F P(X). Näytä, että µ F = \ : on -algebra ja F on -algebra (joukon F virittämä -algebra). Koska P(X) on -algebra ja F P(X), on leikkaus epätyhjä. Leikkaus toteuttaa -algebran määritelmän: () ;2 F sillä ;2 jokaisella -algebralla (2) Jos E 2 F,niinE 2 jokaisella -algebralla jolle F. Tällöin myös E c sisältyy jokaiseen tällaiseen -algebraan, joten erityisesti myös se kuuluu niiden leikkaukseen ja siten E c 2 F (3) Jos E,E 2, 2 F,niinE j 2 kaikillaj jokaiselle -algebralle, jolle F. Tällöin myös yhdiste [ E j sisältyy jokaiseen tällaiseen -algebraan, joten erityisesti myös se kuuluu niiden leikkaukseen ja siten [ 2 F µ Tehtävään 2 liittyen: jos 0 P(X), niin 0 = F jos ja vain jos () 0 aina, kun on -algebra, jolle F ja (2) 0 on -algebra, jolle F.

17 3. Olkoon µ ulkomitta joukossa X. Oletetaan,että [ n nx µ i = µ ( i ) i= aina, kun, 2,..., n X ovat erillisiä joukkojajan 2 N (µ on äärellisesti additiivinen). Näytä, että µ on mitta -algebrassa P(X). Jos, E 2P(X) ovatmielivaltaisia,niin µ (E) =µ ((E \ ) [ (E \ )) = µ (E \ )+µ (E \ ), joten kaikki joukot X ovat µ -mitallisia. Tällöin siis µ = P(X), joten µ on mitta joka on määritelty jokaisella X. 4. Etsi joukon R peite K ja esimitta h: K![0, ], joille Luvun 2 alun konstruktion antama ulkomitta µ on # (eli lukumäärämitta joukossa R). Valitaan K = P(R) jasuoraanh =#.Tällöin koska # on ulkomitta avaruudessa R, niin [ µ (E) =inf{ #B j : E B j } =#E kaikilla E R: Jos #E =, niinjokopeitteen(b j )joukoistajokinonääretön, tai B j 6= ; äärettömän monella j, jolloinsiismyös P #B j =. Jos taas E = {e,e 2,...,e k },niin µ (E) apple #{e j } = k =#E ja mielivaltaiselle peitteelle (B j )pätee [ #E apple # B j apple i= #B j. 5. Määritä liminf i! ja lim sup i! (a) lukujonolle (a i ), missä a i =( ) i ( + i ) (b) funktiojonolle (f i ), missä f i :[0, 2 ]! R, f i (x) =(sinx) i. (a) lim inf i! a i =, sillä kaikilla">0onn 2 N siten, että <"kun i N, i jolloin a i i > " eli lim inf i!. Toisaalta a 2i+ = apple, joten lim inf 2i+ i! apple. lim sup i! a i =, sillä samoinkaikilla">0pätee a i < +" riittävän suurilla i, jatoisaaltaa 2i >.

18 (b) Kun x =,niinf 2 i(x) =kaikillai, jakunx = 3 niin f 2 i(x) =( ) i.muilla x 2 [0, 2 ] pätee sin(x) <, joten f i (x)! 0kuni!näissä pisteissä. Siten lim inf f i = { i! 2 } { 3 2 } ja lim sup f i = i! { 2, 3 2 }. 6. Olkoon (X,,µ)=(R, P(R), ) jaolkoonf : R! [0, [, f(x) =2 [0,](x)+3 [0,3](x). Näytä, että funktiof on yksinkertainen ja laske integraali I(f,R; ). Koska #f(r) =#{0, 5, 3} < ja jokainen joukko R on f on yksinkertainen, ja sen normaaliesitys on f =5 [0,] +3 (,3]. Sen integraali reaalilukujen yli on määritelmän mukaan I(f,R; ) =5 ([0, ]) + 3 ((, 3]) = 5. -mitallinen, niin 7. Olkoon (X,,µ)=(N, P(N), #) ja f : N! [0, ]. Näytä, että fd#= X f(n). N n2n Milloin funktio f : N! R on integroituva lukumäärämitan # suhteen? Koska funktio u n = f {,2,...,n} on yksinkertainen ja u n apple f, niin nx fd# I(u n, N;#)= f(j). Koska tämä pätee kaikilla n 2 N, niin Toisaalta kun ">0 ja N N fd# X n2n u = nx a j f(n). R on yksinkertainen funktio, jolle u apple f ja I(u, N;#) j ja lisäksi X nx nx f(n) f(j) a j = I(u, N;#) n2n {j} N f ", niina j apple f(j) kaikilla N fd# ". Tällöin siis myös P n2n f(n) fd#, eli summa ja integraali ovat samat. RN

19 Funktio f on integroituva mitan # suhteen täsmälleen kun f d# = X f(n) = f(n) <, N n2n n= eli kun lukujonon a n = f(n) muodostamasarjasuppeneeitseisesti.

20 Mitta- ja integraaliteoria Harjoitus 6, Laske raja-arvo lim k! n= n. 2+ n2 n! k n Kun k kasvaa, termi 2 vähenee ja siten termi (2 + n2 ) n kasvaa. k k Tällöin voidaan käyttää monotonistakonvergenssia,jakirjoittaasummaedellisten harjoitusten nojalla integrointina lukumäärämittaa vasten: lim 2+ n2 n =lim 2+ k! n! k k! n= N n2 n d# n! k = lim 2+ n2 n d# N k! n! k = 2) n d# N n! 2 n = = p e, n! sillä P x n n=0 = e x. n! n= 2. Laske raja-arvo 2 lim k! n= n! n + k 3 n. Nyt funktiojono f k,n7! ( 3) n ei ole monotoninen, mutta n! n+k f k (n) apple n! 3n. Koska tämä on integroituva funktio mitan # suhteen, voidaan käyttää dominoituakonvergenssiajaedellistenharjoitustentapaan(sovellettuna positiivi- ja negatiiviosiin) laskea lim k! n= n! n + k n n 3 =lim 3 d# k! N n! n + k n = lim 3 d# N k! n! n + k ( 3) n = d# N n! ( 3) n = = e 3. n! n= Harj. 5. Teht. 7 & P n=0 xn n! =... 2 Harj. 5. Teht. 7 & P n=0 xn n! =...

21 3. Tutki funktiojonoa (f i ), f i :[0, ]! [0, [, f i (x) =i [0, i ],Fatounlemmanavulla. Funktiot f i ovat selvästi mitallisia, ja lim inf i f i = f, missä f(0) = ja f(x) =0muillax. Nyt Fatoun lemman mukaan R lim inf [0,] i f i apple lim inf i R[0,] f i, mutta [0,] lim inf i f i dm =0< =liminf i eli lemman epäyhtälö voimyös olla aito. [0,] f i dm =liminf i 4. Olkoon (X,,µ)mitta-avaruus.TodistaMK-lauseFatounlemmanavulla. Olkoon (f j )kasvavajonomitallisiafunktioitaf j :! [0, ], missä 2. Kasvavuuden nojalla on olemassa rajafunktio f =limf j =liminf j f j,joka on myös mitallinen. Nyt Fatoun lemmaa käyttämällä saadaansuoraan fdµ= lim inf f j dµ apple lim inf f j dµ apple lim sup f j dµ apple fdµ, j j j sillä R f j apple R f kaikilla j kun f j apple f. Sitenlukujonolla( R f j) j on olemassa raja-arvo, ja lim j R f j = R f. 5. Mitta-avaruudessa (N, P(N),])funktiof : N! R on integroituva jos ja vain jos sarja P n= f(n) suppeneeitseisestijar fd]= P N n= f(n). Näytä, että sarjan f(n) suppenemisesta ei välttämättä seuraaintegroituvuus. P n= Valitaan f(n) = ( )n,jolloinsarjap f(n) suppeneemuttasuppeneminen ei ole itseistä. Siten f ei ole n integroituva. 6. Olkoon (X,,µ)mitta-avaruus, 2 jaf :! [0, ] integroituvamitanµ suhteen. Näytä, että f(x) < µ-m.k. x 2. Olkoon B = {x 2 : f(x) =}, jolloinb 2 kunf on mitallinen. Valitaan u j = j B, joka on nyt mitallinen ja u j apple f kaikilla j. Integraalin määritelmän nojalla tällöin fdµ I(u j,; µ) =jµ(b) kaikilla j. Kunf oletetaan integroituvaksi, on siis oltava µ(b) =0,elif(x) < µ-melkein kaikilla x Näytä, että `p `q aina, kun apple p apple q apple. 3, Olkoon x = (x,x 2,...) 2 l p,eli P i xp p i < (väite selvä jos p = ). Jos q =, niinx 2 l q = l eli jono (x i )onrajoitettu,silläsarjan P i xp i 3 Käsittele tapaus q = erikseen.

22 suppenemisesta seuraa että x p i! 0jasiisx i!,jolloin9max i x i <. Olkoon sitten q<. Tällöin kun p apple q, on p apple, ja harjoitusten 4 tehtävän 4 nojalla q X X p X pq q pq q p = apple x = kxk p <. i x q i i x q i i i