F(x) = 1. x x 0 + F(x) = F(x 0) kaikilla x 0 R.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "F(x) = 1. x x 0 + F(x) = F(x 0) kaikilla x 0 R."

Transkriptio

1 Luku 5 Jatkuvat jakaumat Sellaiset suureet kuten esimerkiksi aika, lämpötila, pituus ja paino ajatellaan tavallisesti jatkuviksi muuttujiksi, ts. muuttujiksi, jotka voivat saada mitä tahansa reaaliarvoja annetulla välillä. Esimerkiksi henkilön ikä on jatkuva satunnaismuuttuja, joka voi saada positiivisia reaalilukuarvoja. Diskreetin satunnaismuuttujan arvoavaruus on äärellinen tai numeroituva, mutta jatkuvan satunnaismuuttujan arvoavaruus on ylinumeroituva. 5. Jatkuvat satunnaismuuttujat Jokaiseen satunnaismuuttujaan liittyy kertymäfunktio. Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio määriteltiin alaluvussa.5. (Määritelmä.4) funktiona F(x) = P(X x), x R. Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio on porrasfunktio, joka voidaan lausua hyppyfunktioiden summana (4..) [ks. alaluku 4.]. Lauseen. mukaan funktio F(x) on kertymäfunktio jos ja vain jos seuraavat kolme ehtoa toteutuvat:. lim F(x) = ja lim x F(x) =. x. F(x) on kasvava (ei-vähenevä) funktio. 3. F(x) on oikealta jatkuva eli lim x x + F(x) = F(x ) kaikilla x R. Jos meillä on jokin satunnaismuuttuja X, niin ominaisuudet. 3. voidaan todeta todennäköisyysfunktion P(X x) ominaisuuksien avulla. Jos jokin funktio F(x) toteuttaa ehdot. 3., ei ole aivan helppoa todistaa, että F(x) on todella jonkin satunnaismuuttujan kertymäfunktio. Todistus löytyy vaativista todennäköisyyslaskennan oppikirjoista. Esimerkki 5. Funktio (5..) F(x) = + e x 5

2 5 Luku 5. Jatkuvat jakaumat on esimerkki jatkuvasta kertymäfunktiosta, joka siis toteuttaa Lauseen. ehdot. 3. Koska ja lim x e x =, niin lim F(x) = x lim F(x) =, koska lim x x e x =. Funktio F(x) on kasvava, koska sen. derivaatta F (x) = e x ( + e x ) >. On myös helppo todeta, että F(x) ei ole ainoastaan oikealta jatkuva vaan jatkuva. Satunnaismuuttujan jatkuvuus voidaankin määritellä siihen liittyvän kertymäfunktion jatkuvuuden avulla. Määritelmä 5. Satunnaismuuttuja X on jatkuva, jos sen kertymäfunktio F X (x) on x:n jatkuva funktio. Satunnaismuuttuja X on diskreetti, jos sen kertymäfunktio on x:n porrasfunktio. Vastaavalla tavalla kuin diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio voidaan lausua summana, voidaan jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio lausua integraalina: (5..) P(X x) = F X (x) = x f X (t) dt. Jos f X (t) on jatkuva, niin integraalilaskennan peruslauseen mukaan (5..3) F X (x) = f X(x), missä F X (x) on kertymäfunktion F X(x) derivaatta. Määritelmä 5. Jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio f X (x) on funktio, joka toteuttaa yhtälön (5..4) F X (x) = x f X (t) dt kaikilla x R. Esimerkki 5. Olkoon X tiettyyn palvelunumeroon tulevien puheluiden pituus. Oletetaan, että X:n tiheysfunktio on f(x) = e x/, x <.

3 5.. Jatkuvat satunnaismuuttujat 53 Silloin X noudattaa ns. eksponenttijakaumaa keskiarvolla. Nyt Kertymäfunktio on S = { x x < } ja f(x) > kun x S. F(x) = = x / x x e t/ dx = e t/ = e x/. e t/ dx Silloin F (x) = d ( ) e x/ = dx e x/ = f(x), x ja f(x) =, kun x <. Huomaa, että yksittäisen pisteen a R todennäköisyys P(X = a) on aina nolla, jos X on jatkuva satunnaismuuttuja. Silloin erityisesti kaikilla reaaliluvuilla b > a F(b) F(a) = P(a X b) = P(a < X b) = P(a X < b) = P(a < X < b). Esimerkki 5.3 Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f(x) = x, kun < x <. Silloin X:n kertymäfunktio on, x < ; F(x) = x, x < ;, x. Huomaa, että F(x) = x t dt = x, kun x <. Jos kertymäfunktio on annettu, niin tiheysfunktio saadaan derivoimalla kertymäfunktio: F (x) = d dx x = x, x <. Kertymäfunktion avulla voidaan laskea todennäköisyyksiä. Esimerkiksi todennäköisyys ( P < X 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 = F F = =

4 54 Luku 5. Jatkuvat jakaumat f(x) F(x) x F ( 3 ) 4 F ( ) x Kuvio 5.. Jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio f(x) = x ja kertymäfunktio F(x) = x. ja ( 3 P 4 < X 3 ) = F ( ) 3 F ( ) 3 = 4 ( ) 3 = Toisaalta tietysti P ( X 3 4) voidaan laskea suoran y = x ja x-akselin väliin jäävänä pinta-alana: ( P X 3 ) = 4 3/4 / x dx = 5 5, joka tietysti voidaan esittää kertymäfunktion avulla. Jatkuvan satunnaismuuttujan momentit määritellään vastaavasti kuin diskreetin satunnaismuuttujan tapauksessa, mutta määritelmässä summa korvataan integraalilla. Jatkuvan satunnaismuuttujan r. momentti on α r = E(X r ) = x r f(x) dx, missä f(x) on X:n tiheysfunktio. Satunnaismuuttujan X r. keskusmomentti on µ r = E[(X µ) r ], missä µ = E(X) = α on X:n odotusarvo. Satunnaismuuttujan X odotusarvo on siis integraali µ = E(X) = xf(x) dx

5 5.. Jatkuvat satunnaismuuttujat 55 ja X:n varianssi σ on. keskusmomentti σ = µ = E[(X µ) ] = (x µ) f(x) dx. Merkitsemme myös E [ (X µ) ] = Var(X), jolloin X:n hajonta on σ = Var(X). Momenttifunktio on (5..5) M(t) = E(e tx ) = e tx f(x) dx, jos integraali 5..5 on olemassa jollakin avoimella välillä ( a, a), missä a >. Tietysti esimerkiksi tulokset σ = E(X ) µ, µ = M (), α = E(X ) = M () pitävät edelleen paikkansa samalla tavalla kuin diskreettien satunnaismuuttujien tapauksessa. Esimerkki 5.4 Lasketaan nyt Esimerkissä 5.3 määritellyn satunnaismuuttujan X odotusarvo ja varianssi: ja µ = E(X) = σ = E(X ) µ = Kolmas momentti on x (x) dx α 3 = E(X 3 ) = x(x) dx = 3 ( ) = 3 / / x 3 (x) dx = 5 x 3 = 3 x = 8. / x 5 = 5

6 56 Luku 5. Jatkuvat jakaumat ja 3. keskusmomentti on µ 3 = E [ (X µ) 3] = = = (x µ) 3 (x) dx (x 3 3µx + 3µ x µ 3 )(x) dx x 3 (x) dx 3µ x (x) dx + 3µ x(x) dx µ 3 x dx = α 3 3µα + 3µ 3 µ 3 = α 3 3µα + µ 3 = ( ) 3 + = = 5. Myös prosenttipisteet ovat tärkeitä jakauman tunnuslukuja. Jakauman p-prosenttipiste π p määritellään seuraavasti: p = π p f(x) dx = F(π p ), p. Prosenttipistettä π.5 kutsutaan mediaaniksi ja pistettä π.5 ja π.75 alakvartiiliksi ja yläkvartiiliksi. Esimerkissä 5.3 käsitellyn jakauman 36 %:n piste on.6, koska F(π.36 ) = π.36 =.6 =.36. Esimerkki 5.5 Olkoon satunnaismuuttujan X kertymäfunktio määritelty seuraavasti, x < ; x F(x) =, x ; ( x), x < ;, x. Tarkistamme ensin, että F on todella kertymäfunktio. Toteamme helposti, että ) lim F(x) = ja lim x F(x) =, x ) F(x) on x:n kasvava (ei-vähenevä) funktio ja 3) F(x) on oikealta jatkuva, koska se on jatkuva.

7 5.. Jatkuvat satunnaismuuttujat 57 Tiheysfunktio saadaan derivoimalla F(x). Nyt siis F (x) = x välillä < x ja F (x) = x välillä x. Näin siis tiheysfunktio on x, < x ; f(x) = x, x ; muualla. Tiheysfunktio voidaan kirjoittaa lyhyesti muodossa f(x) = x, x. Koska X:n tiheysfunktion kuvaaja on kolmion muotoinen, X:n jakaumaa kutsutaan kolmiojakaumaksi. f(x) F(x) F(.55) = x Kuvio 5.. Kolmiojakauman tiheysfunktion ja kertymäfunktion kuvaajat. x Kolmiojakauman odotusarvo on µ = xf(x) dx = x x dx + x( x) dx = / =. x / (x x3 3 ) = 3 ( ) ( ) 3 3 Koska jakauma on symmetrinen odotusarvon suhteen, on myös jakauman mediaani π.5. Se voidaan todeta helposti myös määritelmän perusteella, sillä F() = =.5. Jakauman 9 %:n piste π.9 saadaan ratkaisemalla yhtälö ( π.9) Ratkaisu on π.9 =. =.55. =.9. Itse asiassa relaatio (5..4) ei välttämättä ole voimassa kaikilla x:n arvoilla, sillä F(x) voi olla jatkuva, mutta ei derivoituva. Jos f(x) on jatkuva,

8 58 Luku 5. Jatkuvat jakaumat niin silloin tietysti yhtälö (5..4) pitää paikkansa. Huomattakoon, että jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio ei välttämättä ole jatkuva, mutta kertymäfunktio on. Esimerkki 5.6 Tarkastellaan nyt satunnaismuuttujaa X, jonka tiheysfunktio on { f(x) =, x < ; 3, x. Vastaavasti X:n kertymäfunktio on, x < ; F(x) = x, x < ; 4 + ( ) 3 x, x ;, x. Havaitsemme nyt, että X:n tiheysfunktio ei ole jatkuva. Nyt myöskään F ei 3 f(x) F(x) x 4 x Kuvio 5.3. Satunnaismuuttujan X tiheysfunktion ja kertymäfunktion kuvaajat. ole derivoituva pisteessä. Pisteessä x = ei ole voimassa, että F (x) = f(x). Tässä on esimerkki jatkuvasta satunnaismuuttujasta, jonka tiheysfunktio ei ole jatkuva ja jonka kertymäfunktio ei ole koko määrittelyalueella S derivoituva. Jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktiolla voi olla äärellinen määrä epäjatkuvuuspisteitä, mutta kertymäfunktio on jatkuva. Esimerkin 5.6 satunnaismuuttujan tiheysfunktiolla on määrittelyalueellaan yksi epäjatkuvuuspiste ja kertymäfunktio on jatkuva. Relaatio (5..3) pitää paikkansa vain tiheysfunktion jatkuvuuspisteissä, mutta ei epäjatkuvuuspisteissä.

9 5.. Jatkuvat satunnaismuuttujat 59 Esimerkki 5.7 Määritellään satunnaismuuttuja X siten, että sen kertymäfunktio on, x < ; (5..6) F(x) =, x = ; + x, < x < ;, x. F(x) f(x) x x Kuvio 5.4. Satunnaismuuttujan X kertymäfunktion ja tiheysfunktion kuvaajat. Kertymäfunktio ei ole nyt jatkuva, koska funktio hyppää pisteessä x =. Kertymäfunktio ei ole myöskään porrasfunktio. Nyt myös yksittäisellä pisteellä X = on positiivinen todennäköisyys P(X = ) =, joten f(x) ei ole tiheysfunktio. Itse asiassa kertymäfunktio (5..6) voidaan kirjoittaa porrasfunktion (kertymäfunktio) ja jatkuvan kertymäfunktion summana. Alaluvussa 4. määriteltiin hyppyfunktio ε(x) siten, että ε(x) = epänegatiivisilla x:n arvoilla ja ε(x) =, kun x <. Funktio ε(x) on porrasfunktio ja siis diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio. Puoliavoimella välillä (, ] tasajakaumaa noudattavan satunnaismuuttujan kertymäfunktio on, x ; F c (x) = x, < x < ;, x. Nyt kertymäfunktio (5..6) voidaan kirjoittaa muodossa F(x) = ε(x) + F c(x). Esimerkiksi todennäköisyys ( P X ) = ( ) ε + ( ) F c = + = 3 4. Satunnaismuuttuja X ei ole diskreetti eikä jatkuva.

10 6 Luku 5. Jatkuvat jakaumat Yleisesti jatkuva satunnaismuuttuja voidaan määritellä identiteetin (5..4) avulla olettamatta tiheysfunktion f(x) jatkuvuutta. Jos on olemassa sellainen epänegatiivinen funktio f(x) [ts. f(x) kaikilla x R], että (5..4) pitää paikkansa kaikilla x R, niin kertymäfunktion F(x) sanotaan olevan absoluuttisesti jatkuva. Absoluuttisesti jatkuva funktio on jatkuva. Kaikkien tässä luvussa käsiteltäviät jatkuvien satunnaismuuttujien kertymäfunktiot ovat absoluuttisesti jatkuvia. 5. Tasajakauma ja eksponenttijakauma 5.. Tasajakauma Jatkuva satunnaismuuttuja X noudattaa tasajakaumaa välillä [, ], jos sen tiheysfunktio on tällä välillä ja muualla: {, kun x [, ], (5..) f(x) = muualla. Silloin merkitään X Tas(, ). On helppo todeta, että f(x) on tiheysfunktio, koska f(x) ja f(x) dx = dx =. f(x) F(x) x x Kuvio 5.5. Tasajakauman Tas(,) tiheysfunktio ja kertymäfunktio. Tasajakauman keskiarvo ja varianssi ovat: E(X) = x dx = ja Var(X) = E(X ) [E(X)] = x dx 4 =.

11 5.. Tasajakauma ja eksponenttijakauma 6 Satunnaismuuttujan X momenttifunktio on M X (t) = e tx dx = / t etx = et. t Huomaa, että M X () =. Olkoon [a, b] annettu suljettu väli, a < b. Silloin satunnaismuuttuja U = (b a)x + a noudattaa tasajakaumaa välillä [a, b]. Silloin merkitään U Tas(a, b). Koska E(U) = (b a) E(X) + a ja Var(U) = (b a) Var(X), niin E(U) = a + b Satunnaismuuttujan U tiheysfunktio on ja Var(U) = (b a). (5..) f(u) = {, kun u [a, b]; b a muualla ja U:n momenttifunktio on e tb e ab M U (t) = t(b a), t ;, t =. 5.. Eksponenttijakauma Poissonin prosessissa tarkastellaan, montako tapahtumaa (lisäystä) sattuu jollain aikavälillä. Merkitään w:n pituisella välillä sattuvien tapahtumien lukumäärää satunnaismuuttujalla X w. Jos Poissonin prosessin intensiteetti on λ, niin Määritelmän 4.3 mukaan todennäköisyys, että w:n pituisella välillä sattuu x tapahtumaa, on λw (λw)x (5..3) P(X w = x) = e. x! Poissonin prosessilla voidaan mallintaa esimerkiksi asiakkaiden saapumista palvelupisteeseen, puheluiden tuloa vaihteeseen, onnettomuuksien sattumista tarkasteltavalla tieosuudella tai autojen kulkua liikenteen tarkkailupisteen ohi. Tällöin ajatellaan, että yksittäiset tapahtumat sattuvat toisistaan riippumatta täysin satunnaisesti. Tarkkaillaan nyt Poissonin prosessia, jonka intensiteetti on λ. Olkoon W odotusaika siihen hetkeen, kunnes seuraava tapahtuma sattuu. Odotusaika on jatkuva satunnaismuuttuja. Jos tarkkailemme prosessia hetkestä t hetkeen t+w eli w:n pituisen aikavälin [t, t+w], niin tapahtuma { W > w } sattuu jos ja vain jos Poissonin prosessissa ei satu yhtään tapahtumaa välillä [t, t + w]. Siksi identiteetin (5..3) mukaan P(W > w) = P(X w = ) = e λw.

12 6 Luku 5. Jatkuvat jakaumat } {{ } W =.5 X w Poi(λw) X w = 3 w=.5 { }} { 3 4 } {{ } W 4 =.88 t t + w Aika Kuvio 5.6. Kaaviokuva esittää Poissonin saapumisprosessia, esimerkiksi autojen kulkemista liikenteen tarkkailupisteen ohi. Esimerkiksi W on. auton odotusaika ja W 4 on 3. ja 4. auton välinen aika. Kiinnitetyllä w:n pituisella välillä on kulkenut ohi X w = 3 autoa. Peräkkäiset odotusajat W, W, W 3,... ovat toisistaan riippumattomat ja noudattavat samaa jakaumaa. Odotusajan W kertymäfunktio on siis F(w) = P(W w) = P(W > w) = P(X w = ) = e λw. Koska odotusaika W on epänegatiivinen, niin F(w) =, kun w <. Odotusajan W tiheysfunktio on F (w) = f(w) = λe λw derivointisäännön (5..3) nojalla. Usein merkitään λ =, missä θ >. Sanomme, että W noudattaa eksponenttijakaumaa parametrilla θ ja merkitsem- θ me W Exp(θ). Parametri θ on jakauman keskiarvo. Eksponenttijakauman tiheysfunktio on silloin muotoa (5..4) f(w) = θ e w/θ. Eksponenttijakauman Exp(θ) momenttifunktio on M(t) = e tw θ e w/θ dw = / e ( θt)w/θ θt = θt, t < θ. Eksponenttijakaumalla on vastaava unohtamisominaisuus kuin geometrisella jakaumalla. Jos T Exp(θ), niin (5..5) P(T > a + b T > a) = P(T > b) kaikilla epänegatiivisilla a ja b. Tulos voidaan todistaa laskemalla ehdollinen todennäköisyys P(T > a + b T > a) = P(T > a, T > a + b) P(T > a) = e (a+b)/θ e a/θ = = e b/θ = P(T > b). P(T > a + b) P(T > a)

13 5.. Tasajakauma ja eksponenttijakauma 63 Huomattakoon, että edellä on käytetty tulosta P(T > t) = P(T t) = F(t) = e t/θ, t. Esimerkki 5.8 Oletetaan, että asiakkaiden saapuminen liikkeeseen noudattaa Poissonin prosessia intensiteetillä asiakasta tunnissa. Mikä on todennäköisyys, että myyjä joutuu odottamaan seuraavaa asiakasta yli 5 minuuttia? Olkoon X odotusaika, kunnes seuraava asiakas saapuu. Silloin prosessissa (5..3) λ = /3 asiakasta minuutissa ja X Exp(3), koska eksponenttijakauman keskiarvo θ = /λ. Jakauman Exp(3) tiheysfunktio on f(x) = 3 e x/3, x < ja P(X > 5) = 5 3 e x/3 dx = 5 / e x/3 = e 5/ Jatkuvan jakauman mediaani m on sellainen piste, että F(m) = /. Nyt jakauman Exp(3) mediaanin m tulee toteuttaa ehto F(m) = e m/3 =, joten m = 3 log() Elinaikajakauma Ominaisuuden (5..5) perusteella eksponenttijakauma on sopiva elinajan jakauma silloin, kun jäljellä oleva elinaika ei riipu tämänhetkisestä iästä. Olkoon T esimerkiksi jonkin elektronisen komponentin ikä tunteina. Silloin P(T > b) on todennäköisyys, että uusi komponentti kestää ainakin b tuntia, kun taas P(T > a + b T > a) on todennäköisyys, että a tuntia käytössä ollut komponentti kestää vielä b tuntia. Jos elinaika noudattaa eksponenttijakaumaa, niin ominaisuuden (5..5) nojalla todennäköisyydet P(T > b) ja P(T > a + b T > a) ovat samat kaikilla a ja b. Todennäköisyys, että komponentti rikkoontuu b:n seuraavan tunnin aikana, ei riipu lainkaan siitä, kuinka kauan komponentti on jo ollut käytössä. Funktiota G(t) = P(T > t) kutsutaan eloonjäämisfunktioksi. Eksponenttijakauma määrittelee eloonjäämisfunktion G(t) = e t/θ, jolla on unohtamisominaisuus (5..6) G(t + s) = G(t)G(s), t >, s >. Määritelmänsä nojalla G() = ja G(t), kun t kasvaa. Onko eksponenttifunktion lisäksi muita eloonjäämisfunktioita, joilla on unohtamisominaisuus (5..6)? Voidaan osoittaa, että ehdon (5..6) toteuttavat eloonjäämisfunktiot ovat aina muotoa e λt, λ >.

14 64 Luku 5. Jatkuvat jakaumat Jos elinaika T noudattaa eksponenttijakaumaa Exp(θ), niin vakio λ = θ on hetkellinen kuolleisuusaste tai vaaran aste. Parametri λ säätelee todennäköisyyttä kuolla hetken T = t jälkeisellä yksikön pituisella aikavälillä. Olkoon tarkasteltavan aikavälin pituus. Määritelläään todennäköisyys P(T t + T > t) = P(T > t + T > t) = P(T > ) = e λ, missä viimeistä edellinen yhtäsuuruus saadaan unohtamisominaisuuden (5..6) nojalla. Kun funktiota e λ arvioidaan Taylorin polynomin avulla, saadaan e λ = ( λ + λ ) = λ λ + λ, kun on pieni. Arviointivirhe pienenee merkityksettömäksi verrattuna :aan, kun. Silloin siis P(T t + t > t) λ. G(t) f(t) 4 6 t Kuvio 5.7. Eksponenttijakauman Exp() tiheysfunktio f(t) = e t/ ja vastaava eloonjäämisfunktio G(t) = e t/. Nyt nähdään, että P(T t + T > t) lim on riippumaton ajasta t. Eksponentiaalisesti jakautuneen elinajan tapauksessa kuolleisuusaste λ on iästä riippumaton vakio. Yleisesti kuolleisuusaste λ(t) on tietysti iän funktio. = λ 5.3 Gammajakauma ja χ -jakauma Gammajakaumajakauma on välillä [, ) määritelty jakauma tai jakaumaperhe, koska parametrien vaihdellessa saadaan hyvinkin erinäköisiä jakaumia,

15 5.3. Gammajakauma ja χ -jakauma 65 vaikka ne ovat matemaattisesti samaa muotoa. Gammafunktio (5.3.) Γ(α) = x α e x dx määriteltiin jo Pykälässä.4.7. Jos α >, niin Γ(α) on äärellinen. Jos α on positiivinen kokonaisluku, niin Γ(α) voidaan lausua suljetussa muodossa, muutoin ei. Gammafunktio toteuttaa rekursiivisen relaation Γ(α + ) = αγ(α), joka voidaan osoittaa osittaisintegroinnilla. Jos α = n on positiivinen kokonaisluku, niin Γ(n + ) = nγ(n) = n(n ) Γ() = n!γ(). Koska Γ() =, niin Γ(n + ) = n! kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla. Myös Γ( ) = π on tärkeä erikoistapaus. Funktio (5.3.) f(t) = tα e t Γ(α), < t < määrittelee tiheysfunktion, sillä gammafunktiossa integroitava on positiivinen välillä (, ). Sanokaamme, että (5.3.) on satunnaismuuttujan T tiheysfunktio. Kaikkien gammajakaumien perhe saadaan määrittelemällä satunnaismuuttuja X = βt, missä β on positiivinen vakio. X:n tiheysfunktio voidaan johtaa soveltamalla Lauseen 5.5 muunnostekniikkaa. Merkitsemme X Gamma(α, β) ja sanomme, että X noudattaa gammajakaumaa parametrein α ja β. Jakauman Gamma(α, β) tiheysfunktioksi saadaan (5.3.3) f(x) = Γ(α)β αxα e x/β, < x <, α >, β >. Esitämme nyt gammajakauman perusominaisuudet seuraavassa lauseessa. Lause 5. Oletetaan, että X Gamma(α, β).. Funktio (5.3.3) määrittelee tiheysfunktion kaikilla α >, β >.. E(X) = αβ, Var(X) = αβ ja M(t) = E(e tx ) = ( ) α, t < βt β.

16 66 Luku 5. Jatkuvat jakaumat 3. kaikilla c > α. E(X c ) = Γ(α + c)βc Γ(α) 4. Olkoon U = bx, b >. Silloin U Gamma(α, bβ). Eksponettijakauma on gammajakauman erikoistapaus. Kun sijoitetaan tiheysfunktioon (5.3.3) α =, saadaan f(x; β) = β e x/β, x >. Havaitaan siis, että Gamma(, β) = Exp(β). χ -jakauma Toinen tärkeä gammajakauman erikoistapaus on χ -jakauma. Jos valitaan α = r, missä r on positiivinen kokonaisluku, ja β =, tulee tiheysfunktio (5.3.3) muotoon (5.3.4) f(x) = Γ ( ) r r/ x(r/) e x/, < x <, mikä on χ -jakauman tiheysfunktio vapausastein r. Jos X noudattaa χ - jakaumaa vapausastein r, merkitään X Khi(r). χ -jakauman keskiarvo, varianssi ja momenttifunktio saadaan nyt suoraan gammajakauman avulla. Jos X Khi(r), niin E(X) = r, Var(X) = r ja M(t) = ( t) r/, t <. Odotusaika Poissonin prosessissa Seuraavan tapahtuman odotusaika Poissonin prosessissa noudattaa eksponettijakaumaa. Olkoon W nyt odotusaika, kunnes sattuu α tapahtumaa, missä α on siis positiivinen kokonaisluku. Jos Poissonin prosessin intensiteetti on λ, niin todennäköisyys, että w:n pituisella aikavälillä sattuu x tapahtumaa, saadaan kaavalla (5..3): λw (λw)x P(X w = x) = e. x!

17 5.4. Normaalijakauma 67 Odotusajan W kertymäfunktio, kun W, on F(w) = P(W w) = P(W > w) = P(vähemmän kuin α tapahtumaa välillä [t, t + w]) α λw (λw)x = e, x! x= koska tapahtumien lukumäärä aikavälillä [t, t + w] noudattaa Poissonin jakaumaa keskiarvolla λw [ks. (5..3)]. Laskemalla derivaatta F (w) = f(w) saadaan tiheysfunktio f(w) = λ(λw)α (α )! e λw. Jos w <, niin F(w) = ja f(w) =. Nyt huomaamme, että 5.4 Normaalijakauma ( W Gamma α, ). λ 5.4. Standardimuotoinen normaalijakauma Tarkastelemme nyt todennäköisyysteorian ja tilastotieteen tärkeintä jakaumaa, normaalijakaumaa. Olkoon Z jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on (5.4.) f(z) = π e z / < z <. Silloin Z noudattaa standardimuotoista normaalijakaumaa. Käytetään myös sanontaa Z noudattaa standardoitua normaalijakaumaa. Tarkistamme nyt, että (5.4.) on todellakin tiheysfunktio. Koska f(z) >, pitää vain osoittaa, että Osoitamme siis, että π e z / dz =. (5.4.) e z / dz = π. Emme pysty suoraan integroimaan funktiota e z /, koska sen integraalifunktio ei ole lausuttavissa suljetussa muodossa. Osoittautuu kuitenkin, että integraalin (5.4.) neliö on helppo laskea.

18 68 Luku 5. Jatkuvat jakaumat Integraalin arvo ei muutu, jos integrointimuuttuja nimetään uudelleen, joten I = e z / dz = e x / dx = Riittää osoittaa, että I = π. Nyt ( )( ) I = e x / dx e y / dy e y / dy. = e (x +y )/ dx dy = ( re r / dr )( π dθ ) = π e u du = π. Näin siis tulos (5.4.) pitää paikkansa. Edellä kolmas yhtäsuuruus saadaan siirtymällä napakoordinaatteihin: x = r cosθ ja y = r sin θ. Silloin x + y = r, dx dy = r dθ dr ja integrointirajat ovat < r <, < θ < π. Integraalilla (5.4.) on myös läheinen yhteys gammafunktioon. Koska integraalissa (5.4.) integroitava on symmetrinen nollan suhteen, niin integraalit yli välien (, ) ja (, ) ovat yhtä suuret. Siksi (5.4.3) e z / dz = π. Tekemällä sijoitus x = z integraaliin (5.4.3) saadaan integraali, joka on Γ ( ). Silloin ( ) (5.4.4) Γ = x / e x dx = π. Lause 5. Oletetaan, että Z noudattaa standardoitua normaalijakaumaa. Silloin. Z:n momenttifunktio on. E(Z) = ja Var(Z) =. M(t) = e t /, < t <.

19 5.4. Normaalijakauma 69 Todistus.. Määritelmän mukaan M(t) = e tz π e z / dz. Tehdään sijoitus x = z t. Silloin dz = dx ja e tz e z / = e (t x )/, joten M(t) = e (t x )/ dx = e t / π π e x / dx = e t /. Viimeinen yhtäsuuruus seuraa siitä, että integraali yli normaalijakauman tiheysfunktion π e x / on.. Koska M(t) = e t /, niin M (t) = te t / ja M (t) = e t / +t e t /. Silloin M () =, M () = ja Var(Z) = M () [M ()] =. Merkitään Z N(, ), missä siis E(Z) = ja Var(Z) =. Seuraavassa pykälässä määritellään normaalijakauma, jonka keskiarvo on µ ja varianssi σ Yleinen normaalijakauma Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa keskiarvolla µ ja varianssilla σ >, jos se voidaan esittää muodossa X = µ + σz, missä Z N(, ). Silloin merkitään X N(µ, σ ). Jos X N(µ, σ ), niin vastaavasti Z = X µ N(, ). σ Seuraavassa lauseessa esitetään jakaumaa koskevat perustulokset. Lause 5.3 Jos X N(µ, σ ), niin. E(X) = µ, Var(X) = σ ja. M X (t) = E ( e tx) = e µt+σ t /, < t <. 3. X:n tiheysfunktio on f(x) = πσ e (x µ) /σ, < x <.

20 7 Luku 5. Jatkuvat jakaumat Todistus.. Koska X N(µ, σ ), niin X = µ + σz, missä Z N(, ). Silloin E(X) = E(µ + σz) = µ + σ E(Z) = µ ja Var(X) = Var(µ + σz) = σ Var(Z) = σ.. Määritelmän mukaan (ks. myös Lause 3.4) M X (t) = E ( e tx) = E [ e t(µ+σz)] = e tµ E ( e tσz) = e tµ M Z (tσ) = e tµ e t σ / = e tµ+t σ /. 3. Tehdään muunnos x = h(z) = µ + σz. Silloin h:lla on käänteisfunktio g ja z = g(x) = x µ sekä g (x) =. Alaluvussa 5.5 esitettävän muunnostekniikan avulla saadaan X:n σ σ tiheysfunktioksi (5.4.5) ( ) x µ f X (x) = f Z σ σ = e (x µ) /σ. π σ Tavallisesti tiheysfunktio kirjoitetaan muodossa f X (x) = πσ e (x µ) /σ, missä σ = + Var(X) = + σ on X:n hajonta. Todistuksessa ei oletettu, että σ >. Esimerkki 5.9 Jos X:n tiheysfunktio on f(x) = 3π e (x+7) /3, < x <, niin X N( 7, 6) ja M X (t) = e 7t+8t. Esimerkki 5. Jos X:n momenttifunktio on M X (t) = e 5t+t, niin X N(5, 4) ja X:n tiheysfunktio on f(x) = 48π e (x 5) /48, < x <.

21 5.4. Normaalijakauma 7 Jos X N(µ, σ ), niin X:n tiheysfunktio saavuttaa maksimin pisteessä x = µ ja käänteispisteet ovat x = µ ±σ. Todennäköisyysmassa on jakautunut siten, että missä Z N(, ). Esimerkiksi P( X µ σ) = P( Z ) =.686, P( X µ σ) = P( Z ) =.9544, P( X µ 3σ) = P( Z 3) =.9974, P( X µ σ) = P( Z ) = P( Z ) missä = Φ() Φ( ) = = , Φ(z) = z π e v / dv on standardimuotoisen normaalijakauman kertymäfunktio. Sen arvot on taulukoitu ja se saadaan laskettua useilla ohjelmistoilla. Edellä esitettyjen todennäköisyyksien kahden numeron likiarvoina käytetään tavallisesti lukuja.68,.95 ja.99, jotka eivät ole pyöristettyjä vaan katkaistuja arvoja. Myös yllä esitetyt neljän numeron likiarvot ovat katkaistuja arvoja. Lause 5.4. Olkoon X N(µ, σ ) ja U = ax + b, missä a ja b ovat annettuja vakioita. Silloin U N(aµ + b, a σ ).. Olkoot X, X,..., X n riippumattomat, X i N(µ i, σi ), i =,,..., n ja a, a,..., a n, b ovat annetut vakiot, joista ainakin yksi a i poikkeaa nollasta. Silloin Y = n i= a ix i + b noudattaa normaalijakaumaa ( n n ) Y N a i µ i + b,. i= i= a i σ i Esimerkki 5. Riippumattomat satunnaismuuttujat X, X, X 3 noudattavat normaalijakaumaa siten, että X i N( i, i i ), i =,, 3. Silloin Y = X + X + X 3 N(4, 3), sillä E(Y ) = = 4 ja Var(Y ) = = 3 ja Lauseen 5.4 mukaan Y noudattaa normaalijakaumaa. Satunnaismuuttuja Y = X + X + 3X 3 N(34, 6), koska ja E(Y ) = = 34 Var(Y ) = = 6.

22 7 Luku 5. Jatkuvat jakaumat 5.5 Muuttujien vaihto Oletetaan, että X on jatkuva satunnaismuuttuja, jonka kertymäfunktio on F(x). Lukuisissa sovelluksissa tarvitaan satunnaismuuttujan X jonkin funktion Y = h(x) jakaumaa, kun X:n jakauma tunnetaan. Tehtävänämme on nyt siis määrittää satunnaismuuttujan Y = h(x) jakauma, missä h(x) on x:n reaaliarvoinen funktio Muunnos kertymäfunktio avulla Voimme pyrkiä johtamaan Y :n kertymäfunktion G(y) = P(Y y) suoraan X:n kertymäfunktion F(x) avulla. Y :n tiheysfunktio g(y) voidaan määrittää sitten identiteetin (5..3) avulla, kun G(y) on derivoituva. Esimerkki 5. Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f(x) = 3x, x. Tarkastellaan satunnaismuuttujan Y = X jakaumaa. Silloin Y :n arvoavaruus on S Y = [, ] ja Y :n kertymäfunktio on G(y) = P(Y y) = P(X y) = P( y X y) = y y 3x dx = y / y Derivoimalla saadaan Y :n tiheysfunktioksi x 3 = y3/, y. g(y) = G (y) = 3y/, y. Esimerkki 5.3 Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka kertymäfunktio on F(x) = ( + x)e x, x >. Johdetaan satunnaismuuttujan Y = e X jakauma. Merkitään Y :n kertymäfunktiota G:llä. Silloin G(y) = P(Y y) = P ( e X y ) = P[ X log(y)] = P[X log(y)] = P[X < log(y)] = F[ log(y)],

23 5.5. Muuttujien vaihto 73 missä F(x) on X:n kertymäfunktio. Sijoittamalla x = log(y) X:n kertymäfunktioon saadaan G(y) = [ log(y)]e log(y) = [ log(y)]y. Koska S X = (, ), niin S Y = (, ). Y on jatkuva satunnaismuuttuja, koska G(y) on jatkuva ja sillä on jatkuva derivaatta muualla paitsi pisteessä y =. Y :n tiheysfunktio on { g(y) = G log(y), kun < y < ; (y) = muualla. Huomaa, että log(y) >, kun < y <. Nyt siis g(y) kaikilla y S Y = (, ) Muunnos tiheysfunktion avulla Seuraavaksi esitetään yleinen menetelmä, jonka avulla voidaan johtaa satunnaismuuttujan X funktion Y = h(x) tiheysfunktio suoraan X:n tiheysfunktion f X (x) avulla. Menetelmän edellyttää kuitenkin, että funktiolla h(x) on tarkasteltavalla välillä käänteisfunktio. Esimerkiksi funktion y = e x käänteisfunktio on x = log(y). Myös funktio y = x on kääntyvä, kun x >, sillä silloin x = y. Funktio y = x ei ole kääntyvä koko reaaliakselilla, koska silloin x = ± y, joka ei ole funktio. Huomattakoon, että jatkuva funktio h(x) on kääntyvä, jos ja vain jos se on joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Lineaarinen munnos Tarkastellaan ensin yksinkertaista lineaarista muunnosta Y = ax + b, missä a ja b ovat annettuja vakioita. Nyt siis h(x) = ax + b. Funktion y = h(x) derivaatta on dy dx = h (x) = a. Funktiolla h(x) on käänteisfunktio ja g(y) = y b a, a dy dx = g (y) = a. Esimerkki 5.4 Oletetaan, että X Tas(.5,.5) ja Y = X. Mitä jakaumaa Y noudattaa? Kuviossa 5.8 on alueen A pinta-ala P[X (x, x + x)] = f X (x) x = x

24 74 Luku 5. Jatkuvat jakaumat 3 y = x y + y y f Y (y) { }} { B x } A } {{ } f X (x).5 x x + x.5 x Kuvio 5.8. Tasajakaumaa Tas(.5,.5) noudattavan satunnaismuuttujan X lineaarinen muunnos. ja alueen B pinta-ala P[Y (y, y + y)] = f Y (y) y. Tapahtumat X (x, x + x) ja Y (y, y + y) sattuvat täsmälleen samanaikaisesti, joten (5.5.) P[X (x, x + x)] = P[Y (y, y + y)]. Koska y = x ja y + y = (x+ x), niin y = x ja identiteetistä (5.5.) seuraa, että f Y (y) =. Koska.5 < x <.5, niin < y < 3. Näin siis Y Tas(, 3): { f Y (y) =, < y < 3;, muualla. Olkoon X satunnaismuuttuja, jonka arvoavaruus on S X. Silloin satunnaismuuttujan Y = h(x) arvoavaruus S Y määräytyy siten, että X S X Y S Y. Seuraavassa lauseessa esitettävässä menetelmässä oletetaan, että funktio y = h(x) on tarkasteltavalla arvoalueella kääntyvä. Silloin on olemassa sellainen funktio x = g(y), että y = h(x) x = g(y).

25 5.5. Muuttujien vaihto 75 Lause 5.5 Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f X (x) ja arvoavaruus S X. Olkoon Y = h(x) sellainen funktio, että sillä on käänteisfunktio x = g(y) ja käänteisfunktion derivaatta g (y) on olemassa kaikilla y S Y, missä S Y on Y :n arvoavaruus. Silloin Y :n tiheysfunktio on f Y (y) = f X ( g(y) ) g (y), y S Y. Todistus. Oletuksen mukaan g(y) on derivoituva, joten se on jatkuva. Koska h ja g ovat kääntyviä, niin h ja g ovat molemmat joko kasvavia tai väheneviä. Oletetaan h ja g ovat väheneviä. Silloin F Y (y) = P(Y y) = P(h(X) y) = P(X g(y)) = F X ( g(y) ). Derivoidaan F X [g(y)] ketjusäännön avulla, jolloin saadaan f Y (y) = F Y (y) = F X( g(y) ) g (y) = f X ( g(y) ) g (y) = f X ( g(y) ) g (y). Viimeinen yhtäsuuruus seuraa siitä, että g (y) on negatiivinen, koska g on vähevä. Jos h ja g ovat kasvavia, niin todistus on melkein samanlainen ja se jätetään harjoitustehtäväksi. Esimerkki 5.5 Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f X (x) = e x ja S X = { x x > }. Olkoon Y = X /, joten X = Y = g(y ) ja S Y = S X. Koska g (y) = y, niin f Y (y) = f X (y ) y = ye y, y >. Tarkastellaan vielä satunnaismuuttujaa V = e X. Silloin X = log(v ). Merkitään nyt log(v ) = g(v ). Silloin S V = [, ] ja g (v) = /v. Siksi f V (v) = f X [ log(v)] v = v v =, joten V noudattaa tasajakaumaa välillä [, ]. Mikäli muunnosfunktiolla h ei ole käänteisfunktiota X:n arvoavaruudessa S X, niin Lauseen 5.5 muunnosmenetelmää ei voi suoraan soveltaa. Jos kuitenkin on olemassa sellainen S X :n ositus yhteispisteettömiin osaväleihin A, A,..., A m, että (5.5.) S X = A A A m ja h on kääntyvä jokaisella osavälillä, voidaan muunnos tehdä jokaisella osavälillä erikseen. Sitä varten määritellään funktiot { h i (x), kun x A i ; h(x) = muualla.

26 76 Luku 5. Jatkuvat jakaumat Silloin h(x) voidaan kirjoittaa muodossa h(x) = m i= h i(x), missä jokainen h i (x) on kääntyvä välillä A i. Olkoot funktioiden h i käänteisfunktiot vastaavasti g i, i =,,..., m. Satunnaismuuttujan Y = h(x) tiheysfunktio voidaan nyt esittää Lauseen 5.5 avulla muodossa (5.5.3) f Y (y) = m ( f X gi (y) ) g i (y). y S Y. i= Huomattakoon, että joskus tarvitaan äärellisen osituksen (5.5.) sijasta ositus, jossa jakovälejä A, A,... on ääretön määrä (m = ) Normaalimuuttujan muunnokset Jos X N(, ), niin X:n tiheysfunktio on f(x) = π e x /, < x <, joka on standardimuotoisen normaalijakauman tiheysfunktio. Johdetaan nyt satunnaismuuttujan U = X jakauma. Muunnosfunktio u = h(x) = x ei ole kääntyvä, koska x = ± u ei ole funktio. Siksi esitämme arvoavaruuden S X = { < x < } ositettuna muodossa S X = (, ] (, ). Silloin funktiolla h(x) on välillä (, ] käänteisfunktio g (u) = u ja välillä (, ) käänteisfunktio g (u) = u. Nyt siis kaavan (5.5.3) mukaan U:n tiheysfunktio on (5.5.4) f U (u) = f X ( u) u + f X( u) u = e u/, πu kun u (, ). U noudattaa χ -jakaumaa vapausastein. Käsittelemme tilastotieteessä tärkeää χ -jakaumaa vielä jatkossa tarkemmin. Lause 5.6 Jos X N(µ, σ ), σ >, niin silloin (X µ) σ Khi(). Todistus. Koska X N(µ, σ ), niin määritelmän mukaan X µ = Z σ N(, ). Edellä näytettiin, että Z Khi(). Näin on lause todistettu. Lause 5.7 Jos Z i :t ovat riippumattomat ja Z i N(, ), i =,,..., n, niin Z + Z + Z n Khi(n).

F(x) = 1. x x 0 + F(x) = F(x 0) kaikilla x 0 R.

F(x) = 1. x x 0 + F(x) = F(x 0) kaikilla x 0 R. Luku 5 Jatkuvat jakaumat Sellaiset suureet kuten esimerkiksi aika, lämpötila, pituus ja paino ajatellaan tavallisesti jatkuviksi muuttujiksi, ts. muuttujiksi, jotka voivat saada mitä tahansa reaaliarvoja

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa

Lisätiedot

JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos)

JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Jatkuvat jakaumat 1 JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) Määritelmä Ei-negatiivisen satunnaismuuttujan X 0, jonka tiheysfunktio on f(x), Laplace-muunnos

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause 3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla? 6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

V ar(m n ) = V ar(x i ).

V ar(m n ) = V ar(x i ). Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia

Lisätiedot

Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista

Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista S-38.148 Tietoverkkojen simulointi / Satunnaismuuttujien generointi 1(18) Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista Seuraavassa U, U 1,..., U n tarkoittavat riippumattomia U(0,1)-jakautuneita

Lisätiedot

Satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja kuvaa kokeen tuloksen reaaliakselille Satunnaismuuttuja on siis funktio X(s) joka saa reaalisia arvoja Koe s

Satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja kuvaa kokeen tuloksen reaaliakselille Satunnaismuuttuja on siis funktio X(s) joka saa reaalisia arvoja Koe s Satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja kuvaa kokeen tuloksen reaaliakselille Satunnaismuuttuja on siis funktio X(s) joka saa reaalisia arvoja Koe s kuuluu todennäköisyysavaruuteen S (s S) Esimerkkejä Kolikonheitossatodennäköisyysavaruus

Lisätiedot

Matematiikka B1 - avoin yliopisto

Matematiikka B1 - avoin yliopisto 28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 0302P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division Yhteisjakauma Edellä on tarkasteltu yksiulotteista satunnaismuuttujaa. Sovelluksissa joudutaan usein tarkastelemaan samanaikaisesti

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

Martingaalit ja informaatioprosessit

Martingaalit ja informaatioprosessit 4A Martingaalit ja informaatioprosessit Tämän harjoituksen tavoitteena on tutustua satunnaisvektorin informaation suhteen lasketun ehdollisen odotusarvon käsitteeseen sekä oppia tunnistamaan, milloin annettu

Lisätiedot

η i (θ)t i (x) A(θ) + c(x),

η i (θ)t i (x) A(θ) + c(x), 288 Luku 10. Perusmallit ja niiden sovelluksia muotoa (10.9.1) log f θ (x) = p η i (θ)t i (x) A(θ) + c(x), i=1 missä θ = (θ 1,...,θ p ) ja A(θ), c(x), η i (θ) ja T i (x) ovat tunnettuja funktioita. Lisäksi

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Määritelmä 3.1 (Ehdollinen todennäköisyys) Olkoot A ja B otosavaruuden Ω tapahtumia. Jos P(A) > 0, niin tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys

Määritelmä 3.1 (Ehdollinen todennäköisyys) Olkoot A ja B otosavaruuden Ω tapahtumia. Jos P(A) > 0, niin tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys Luku 3 Satunnaismuuttujat, ehdollistaminen ja riippumattomuus Tässä luvussa käsitellään satunnaismuuttujien ominaisuuksia ja täydennetään todennäköisyyslaskennan tietoja. Erityisesti satunnaismuuttujien

Lisätiedot

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

3. Teoriaharjoitukset

3. Teoriaharjoitukset 3. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 3.1 a Olkoot u ja v satunnaumuuttujia, joilla on seuraavat ominaisuudet: E(u = E(v = 0 Var(u = Var(v = σ 2 Cov(u, v = E(uv = 0 Näytä että deterministinen prosessi. x

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 4

Kompleksianalyysi, viikko 4 Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Y ja

Y ja 1 Funktiot ja raja-arvot Y100 27.10.2008 ja 29.10.2008 Aki Hagelin aki.hagelin@helsinki.fi Department of Psychology / Cognitive Science University of Helsinki 2 Funktiot (Lue Häsä & Kortesharju sivut 4-9)

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2 Jukka Kemppainen Mathematics Division Satunnaismuuttuja Useissa luonnon- tai teknistieteellisissä sovellutuksissa satunnaiskokeen lopputulos on numeerinen lukuarvo.

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan: Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Taustatietoja ja perusteita

Taustatietoja ja perusteita Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot