031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7"

Transkriptio

1 0302P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division

2 Yhteisjakauma Edellä on tarkasteltu yksiulotteista satunnaismuuttujaa. Sovelluksissa joudutaan usein tarkastelemaan samanaikaisesti kahta tai useampaa samaan satunnaiskokeeseen liittyvää satunnaismuuttujaa. Tässä luvussa tarkastellaan kahden satunnaissuureen samanaikaista kuvailua. Luvussa esitetty tarkastelu voidaan luonnollisella tavalla yleistää n:n satunnaismuuttujan tapaukseen. Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 44

3 Yhteisjakauma Olkoon S satunnaiskokeen otosavaruus, P siihen liittyvä todennäköisyys ja X, Y : S R kokeeseen liittyviä satunnaismuuttujia. Kaksiulotteinen satunnaisvektori (X, Y) liittää kuhunkin alkeistapahtumaan e S lukuparin (X(e), Y(e)) (x,y)-tasossa R 2. Tapahtuman {X x} {Y y} todennäköisyys on täysin määrätty kahden muuttujan funktio F XY (x,y), joka vastaa yhden muuttujan jakauman kertymäfunktiota. Määr. 26 Kaikilla lukupareilla (x,y) R 2 määritelty funktio F XY (x,y) = P(X x ja Y y) on satunnaismuuttujien X ja Y satunnaismuuttujaparin (X, Y) kertymäfunktio. Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 44

4 Kertymäfunktio Kuten -ulotteisessa tapauksessa, kertymäfunktio F XY määrää täysin sm-parin (X,Y) jakauman. Tämä seuraa siitä, että jokaisen koordinaattiakselien suuntaisen puoliavoimen suorakulmion Q =]x,x 2 ] ]y,y 2 ], missä x < x 2 ja y < y 2, todennäköisyys voidaan laskea kertymäfunktion avulla. Nimittäin P((X,Y) Q) =F XY (x 2,y 2 ) F XY (x 2,y ) F XY (x,y 2 ) + F XY (x,y ). () Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 44

5 Kuva y (x,y 2 ) (x 2,y 2 ) (x,y ) Q (x 2,y ) x Jukka Kemppainen Mathematics Division 5 / 44

6 Kuva Kuvassa suorakaiteen Q todennäköisyys saadaan vähentämällä (x 2,y 2 ) nurkkapisteenä olevan äärettömän suorakaiteen (todennäköisyydellä painotetusta) pinta-alasta nurkkapisteinä (x,y 2 ) ja (x 2,y ) olevien alueiden pinta-alat. Koska nurkkapisteenä (x,y ) olevan alueen pinta-ala tulee vähennetyksi kahteen kertaan, täytyy se vielä lisätä kertaalleen. Vertaa kaavaa () vastaavaan yksiulotteiseen tulokseen P(X ]x,x 2 ]) = F X (x 2 ) F X (x ). Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 44

7 Kertymäfunktion ominaisuuksia 0 F XY (x,y) kaikilla (x,y) R 2 ; Jos x x 2 ja y y 2, niin (monotonisuus) (a) F XY (x, y ) F XY (x 2, y ) F XY (x 2, y 2 ), (b) F XY (x, y ) F XY (x, y 2 ) F XY (x 2, y 2 ). lim x y F XY(x,y) = ja lim F XY (x,y) = 0, kun x tai y. lim x F XY (x,y) = F Y (y) ja lim y F XY (x,y) = F X (x). Yksityisten muuttujien jakaumat F X ja F Y ovat nimeltään yhteisjakauman F XY reunajakaumia. Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 44

8 Pistetodennäköisyydet ja tiheysfunktio Jos X ja Y ovat diskreettejä satunnaismuuttujia, niin yhteisjakauman määrittelevät pistetodennäköisyydet p ij = P(X = x i ja Y = y j ) kaikilla i ja j, joilla (x i,y j ) S X S Y. Jos kertymäfunktio on kaksi kertaa paloittain derivoituva, niin funktiota f XY (x,y) = 2 F(x,y) x y sanotaan yhteisjakauman tiheysfunktioksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 8 / 44

9 Pistetn:n ja tf:n yhteys kertymäfunktioon Kuten -ulotteisessa tapauksessa, jakauman määrää kertymäfunktio, joka diskreetin sm:n tapauksessa voidaan kirjoittaa pistetodennäköisyyksien avulla muodossa F XY (x,y) = p ij. i,j:x i x ja y j y Jatkuvan sm:n tapauksessa kertymäfunktio voidaan lausua tiheysfunktion avulla integraalina F XY (x,y) = x y f XY (u,v)dudv. Jukka Kemppainen Mathematics Division 9 / 44

10 Tiheysfunktion ominaisuuksia Tiheysfunktiolla on seuraavat ominaisuudet f XY (x,y) 0 kaikilla x,y R; f XY(u,v)dudv = ; P(a < X b ja c < Y d) = b a d c f XY(u,v)dudv. Jukka Kemppainen Mathematics Division 0 / 44

11 Reunajakaumat, jatkuva sm. Koska lim y F XY (x,y) = P(X x ja < y < ) ja lim x F XY (x,y) = P( < X < ja Y y), voidaan reunajakaumien kertymäfunktiot kirjoittaa integraaleina F X (x) = F Y (y) = x y f XY (u,v)dudv, f XY (u,v)dudv. Derivoimalla saadaan reunatiheysfunktioiksi f X (x) = d dx F X(x) = f Y (y) = d dy F Y(y) = f XY (x,v)dv, f XY (u,y)du. (2) Jukka Kemppainen Mathematics Division / 44

12 Reunajakaumat, diskreetti sm. Vastaavasti diskreetin sm:n tapauksessa saamme reunajakaumiksi F X (x) = p ij, F Y (y) = i i:x i x j j:y j y ja reunajakaumien pistetodennäköisyyksiksi p ij p i = P(X = x i ) = j q j = P(Y = y j ) = i p ij, p ij. (3) Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 44

13 Esimerkki Tarkastellaan edellä esitettyjä käsitteitä esimerkin avulla. Tarkastellaan kahden nopan heittoa. Jos X on ensimmäisen nopan pisteluku ja Y on toisen nopan pisteluku, niin muuttujien X ja Y yhteisjakauma on helppo muodostaa, sillä kaikki pistelukujen (i,j) kombinaatiot ovat yhtä todennäköisiä: P(X = i jay = j) = x,y {,2,3,4,5,6}. Otetaan vähän monimutkaisempi tapaus, jossa Z = max{x,y}, ja tarkastellaan muuttujien X ja Z yhteisjakaumaa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 44

14 Esimerkki jatkuu... Palautetaan vielä mieliin luentoviikon 2 Esimerkistä 0 Z:n saamat arvot Z:n arvot Y/X josta saatiin Z:n jakaumaksi k P(Z = k) Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 44

15 Esimerkki jatkuu... Nyt X:n arvo vaikuttaa Z:n saamaan arvoon. Jos esimerkiksi X =, niin Z voi saada kaikki arvot, 2,..., 6, jotka kaikki ovat yhtä todennäköisiä. Mutta jos X = 6, niin myös Z = 6 ja todennäköisyys on P(X = 6jaZ = 6) = 6, sillä Y voi olla mikä tahansa pisteluvuista {,2,3,4,5,6}. Vastaavasti, jos esimerkiksi X = 4, niin Z:lle on 3 vaihtoehtoa Z = 4,5,6, ja esimerkiksi tn:ksi P({X = 4} {Z = 4}) saadaan sillä Y voi olla,2,3 tai 4. P({X = 4} {Z = 4}) = 4, Jukka Kemppainen Mathematics Division 5 / 44

16 Esimerkki jatkuu... Kootaan X:n ja Z:n yhteisjakauma taulukoksi, mihin on merkitty myös reunajakaumien pistetn:t, jotka näyttävät olevan kuten pitääkin. Z\X q j p i Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 44

17 Reunajakauman simulointi Yleisessä tapauksessa reunajakauman määrääminen ei välttämättä ole yksinkertaista, sillä kaavoissa (2) ja (3) integroiminen ja summaaminen voi olla vaikeaa analyyttisesti. Silloin voisimme yrittää simuloida reunajakaumia. Edellisessä Esimerkissä lähdettiin reunajakaumista käsin ja määrättiin niiden avulla yhteisjakauma. Kääntäen voisimme lähteä tarkastelemaan esimerkiksi edellisen Esimerkin yhteisjakaumaa eli edellisen sivun taulukon todennäköisyyksien mukaan määräytyviä lukupareja ja yrittää sitten määrätä reunajakaumat. Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkinä edellisen Esimerkin reunajakauman Z, joka siis antaa pistelukujen maksimin kahden nopan heitossa, simuloimista. Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 44

18 Esimerkin reunajakauman Z simulointi Heitetään kahta noppaa ensin kerran, sitten kahdesti, kolmesti... ja lopulta n = 000 kertaa ja tarkastellaan pistelukujen maksimin histogrammia. Kun heittojen lukumäärä kasvaa, alkavat lukumäärät mennä kohti teoreettisia arvoja. Teoreettisten ja simuloitujen arvojen välillä voi olla jonkin verran heittoa johtuen äärellisestä heittojen lukumäärästä. Kone suorittaa kaiken kaikkiaan N = heittoa, mihin itsessään menisi oikeita noppia heittäessä kohtuullisesti aikaa puhumattakaan tulosten kirjaamisesta. Tietokoneelta satunnaislukujen arpominen ja tulosten kirjaaminen sujuu sukkelaan. Katso oheinen video jukemppa/noppa_.webm mihin teoreettiset frekvenssit on merkitty punaisilla pisteillä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 8 / 44

19 Riippumattomuus Satunnaismuuttujien riippumattomuus on määritelty luentomonisteen luvussa 3 (Määritelmä 5, s.20) tapahtumien {X x} ja {Y y} riippumattomuutena, eli P({X x} {Y y}) = P(X x)p(y y) x,y R. Näin ollen muuttujien X ja Y riippumattomuus voidaan kirjoittaa nyt muodossa X ja Y ovat riippumattomia F XY (x,y) = F X (x)f Y (y). Riippumattomuudelle käytetään usein merkitää X Y. Jukka Kemppainen Mathematics Division 9 / 44

20 Riippumattomuus tiheysfunktion ja pistetodennäköisyyksien avulla Jos yhteisjakauma on jatkuva ja sillä on tiheysfunktio, niin X Y f XY (x,y) = f X (x)f Y (y) x,y R. (4) Jos taas yhteisjakauma on diskreetti, niin X Y p ij = p i q j, missä p ij = P({X = x i } {Y = y j }), p i = P(X = x i ) ja q j = P(Y = y j ). Edellä esitetyssä esimerkissä muuttujat riippuivat toisistaan, sillä esimerkiksi P(X = 2jaZ = ) = 0 6 = P(X = 2)P(Z = ), kuten jo intuitiivisesti pääteltiin esimerkissä (X vaikuttaa Z:aan). Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 44

21 Esimerkki Esim. 48 Määritellään funktio f : R 2 R asettamalla (i) f(x,y) = c, kun (x,y) A = {(x,y) R 2 0 < x,y <,x + y < }, ja f(x,y) = 0 muulloin. (ii) f(x,y) = ce x y, kun x,y > 0, ja f(x,y) = 0 muulloin. (a) Määrää vakio c R siten, että f on sm-parin (X, Y) tiheysfunktio. (b) Laske reunajakaumat ja niitä vastaavat reunatiheysfunktiot. (c) Laske todennäköisyys P(X < 2 ja Y < 4 ). (d) Ovatko X ja Y riippumattomia? Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 44

22 Muunnoksen Z = h(x, Y) odotusarvo Kuten tullaan näkemään, reunajakaumien tunnusluvut odotusarvo ja varianssi voidaan laskea myös suoraan yhteisjakaumasta sopivien muunnosten odotusarvoina. Välttämättä meillä ei siis tarvitse tietää reunajakaumia, jos meitä kiinnostaa ainoastaan niiden tunnusluvut. Olkoon h : R 2 R riittävän säännöllinen funktio, jolloin Z = h(x,y) on satunnaismuuttuja. Jos X ja Y ovat jatkuvia satunnaismuuttujia, joiden yhteisjakauman tiheysfunktio on f XY, niin muunnoksen Z = h(x, Y) odotusarvo määritellään -ulotteista tapausta vastaavasti kaavalla E(h(X,Y)) = h(x,y)f XY (x,y)dxdy edellyttäen, että integraali suppenee itseisesti. Jukka Kemppainen Mathematics Division 22 / 44

23 Reunajakaumien tunnusluvut Valitsemalla h(x,y) = x tai h(x,y) = y saadaan muuttujien X ja Y odotusarvot E(X) = µ X = E(Y) = µ Y = xf X (x)dx = yf Y (y)dy = xf XY (x,y)dxdy, yf XY (x,y)dxdy. Valitsemalla h(x,y) = (X µ X ) 2 saadaan X:n varianssiksi D 2 (X) = σx 2 = (x µ X ) 2 f X (x)dx = (x µ X ) 2 f XY (x,y)dxdy. Jukka Kemppainen Mathematics Division 23 / 44

24 Reunajakaumien tunnusluvut Valitsemalla h(x,y) = (y µ Y ) 2 saadaan Y :n varianssiksi D 2 (Y) = σy 2 = (y µ Y ) 2 f Y (y)dy = (y µ Y ) 2 f XY (x,y)dxdy. Diskreetti tapaus menee samalla tavalla, kun korvataan integraalit summilla. Yhteisjakauma on keskittynyt xy-tasoon odotusarvopisteen (µ X,µ Y ) ympäristöön. Jos yhteisjakaumasta tehdään satunnaisesti havaintoja (X,Y), niin X:n varianssi mittaa havaintojen vaihtelun laajuutta x-akselin, ja Y :n varianssi y-akselin suunnassa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 24 / 44

25 Satunnaismuuttujien välinen riippuvuus Palautetaan mieliin edelliseltä viikolta satunnaismuuttujien riippuvuuden eri asteet. Jos satunnaismuuttujat ovat riippumattomia, niin X:n ja Y :n reunajakaumat antavat kaiken tiedon satunnaisvektorin (X, Y) jakautumisesta, sillä kertymäfunktio määrää jakauman ja F XY (x,y) = F X (x)f Y (y). Riippumattomuuden toisena ääripäänä satunnaismuuttujien välisestä vuorovaikutuksesta on funktionaalinen riippuvuus, jolloin toisen satunnaismuuttujan arvo täysin määrää myös toisen arvon. Erityisen vahva funktionaalinen riippuvuus on lineaarinen riippuvuus, eli Y on muotoa Y = ax + b todennäköisyydellä yksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 25 / 44

26 Satunnaismuuttujien välinen riippuvuus Yleisessä tapauksessa riippuvuus on jotain edellisten ääripäiden välillä; toisen muuttujan arvon tunteminen vaikuttaa toisen jakautumiseen, mutta ei määrää sen arvoa yksikäsitteisesti. Tällaista riippuvuutta sanotaan stokastiseksi riippuvuudeksi. Esimerkiksi aiemmin käsitellyssä noppaesimerkissä muuttujien X ja Z välillä vallitsi stokastinen riippuvuus. Jukka Kemppainen Mathematics Division 26 / 44

27 Kovarianssi ja korrelaatiokerroin Kuten edellisessä kappaleessa, yritetään tiivistää informaatio muuttujien välisen riippuvuudesta yhteen ainoaan tunnuslukuun. Määr. 27 Olkoot X ja Y satunnaismuuttujia, joilla on varianssit. Muuttujien X ja Y kovarianssi Cov(X,Y) on Cov(X,Y) = E((X E(X))(Y E(Y))). Jos lisäksi X:n ja Y keskihajonnat σ X ja σ Y ovat positiivisia, niin X:n ja Y :n korrelaatiokerroin ρ(x,y) on ρ(x,y) = Cov(X,Y) σ X σ Y Jukka Kemppainen Mathematics Division 27 / 44

28 Kovarianssi ja korrelaatiokerroin Muuttujia X ja Y, joiden kovarianssi on nolla, sanotaan korreloimattomiksi. Käyttämällä odotusarvon ominaisuuksia (Lause 3 viikolta 3), voidaan kovarianssi kirjoittaa muodossa Cov(X,Y) = E(XY) E(X)E(Y). Korrelaatiokerroin voidaan tulkita standardisoitujen muuttujien X = X µ X σ X ja Y = Y µ Y σ Y väliseksi kovarianssiksi, sillä E(X ) = E(Y ) = 0 ja siten Lauseen 3 mukaan Cov(X,Y ) = E(X Y ) = E((X µ X)(Y µ Y )) σ X σ Y = ρ(x,y). Jukka Kemppainen Mathematics Division 28 / 44

29 Ominaisuuksia Edellisellä luentoviikolla esitetyt havainnot voidaan nyt muotoilla yleisiksi tuloksiksi. Jos X ja Y ovat riippumattomia, on Lauseen 3 mukaan E(XY) = E(X)E(Y) ja siten saadaan tulos Lause 23 Jos X ja Y ovat riippumattomia, niin Cov(X, Y) = 0. Huomautus 2 Käänteinen väite ei päde! Lause 24 Korrelaatiokertoimelle on voimassa:. ρ ; 2. ρ =, jos ja vain jos X ja Y ovat lineaarisesti riippuvia. Jukka Kemppainen Mathematics Division 29 / 44

30 Ominaisuuksia Korrelaatiokertoimen käytössä on syytä olla varovainen. Ainoat matemaattisesti oikeutetut johtopäätökset ovat:. Ehdosta ρ(x,y) 0 seuraa, että X ja Y eivät ole riippumattomia; 2. ρ(x, Y) =, jos ja vain jos X ja Y ovat lineaarisesti riippuvia. Korrelaatiokerroin siis mittaa X:n ja Y :n lineaarisen riippuvuuden astetta. Luentomonisteessa on Esimerkki 25, jossa on todettu, että Cov(X,Y) = 0, kun X N(0,) ja Y = X 2. Siis kovarianssi on nolla, vaikka muuttujat ovat funktionaalisesti riippuvia toisistaan. Jukka Kemppainen Mathematics Division 30 / 44

31 Esimerkki Esim. 49 Olkoot X ja Y satunnaismuuttujia, joiden yhteisjakauman tiheysfunktio on (vrt. Esimerkki 48) (i) f XY (x,y) = 2, kun (x,y) A = {(x,y) R 2 0 < x,y <,x + y < }, ja f(x,y) = 0 muulloin. (ii) f XY (x,y) = e x y, kun x,y > 0, ja f(x,y) = 0 muulloin. Laske sm:ien X ja Y kovarianssi ja korrelaatiokerroin. Ovatko X ja Y korreloimattomia? Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 44

32 Kovarianssimatriisi Kuten jo edellisessä kappaleessa nähtiin, ei yksittäisten muuttujien (reunajakaumien) varianssit anna välttämättä riittävää kuvaa arvojen jakaantumisesta. Etenkin, kun muuttujien välillä on korrelaatiota, on sirontakuvio vino, eli pääakseli ei ole koordinaattiakselien suuntainen. Esitetään hajonnalle mittari, joka ottaa huomioon muuttujien välisen kytkennän. Määr. 28 Olkoon X = (X, Y) 2-ulotteinen satunnaisvektori, jolla on olemassa odotusarvo E(X) = (E(X),E(Y)) = (µ X,µ Y ) merk. = µ. Matriisia ( ) σxx σ Σ = XY R 2 2, σ YX σ YY missä σ X X 2 = Cov(X,X 2 ), sanotaan X:n kovarianssimatriisiksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 32 / 44

33 Kovarianssimatriisi Huomautus 3 Välittömästi kovarianssin määritelmästä seuraa, että Σ voidaan kirjoittaa muodossa Σ = E((X µ) T (X µ)), missä odotusarvo otetaan termeittäin ja ( ) X T X =. Y Huomautus 4 Huomaa, että edellä X on 2-ulotteinen rivivektori ja X T on 2-ulotteinen sarakevektori, mikä saattaa poiketa tyypillisestä merkintätavasta. Merkitään sen vuoksi transpoosia symbolilla X, joka vastaa Matlabin notaatiota. Jukka Kemppainen Mathematics Division 33 / 44

34 Esimerkki Esim. 50 Olkoot X ja Y satunnaismuuttujia, joille σ X = 2, σ Y = 3 ja (i) ρ(x,y) = 0, (ii) ρ(x,y) = 3. (a) Määrää satunnaisvektorin (X, Y) kovarianssimatriisi. (b) Mitä voit sanoa muuttujien X ja Y välisestä riippuvuudesta? (c) Laske muuttujan 3X 2Y odotusarvo ja varianssi, kun E(X) = ja E(Y) = 0. Jukka Kemppainen Mathematics Division 34 / 44

35 2-ulotteinen normaalijakauma Määr. 29 Satunnaisvektori X = (X, Y) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa odotusarvolla µ ja kovarianssimatriisilla Σ, merkitään X N(µ,Σ), jos Σ on säännöllinen matriisi ja jos muuttujan X tiheysfunktio on f X (x) := f XY (x,y) = (2π) 2 Σ e 2 (x µ)σ (x µ), missä Σ = Var(X)Var(Y) Cov(X,Y) 2 on kovarianssimatriisin determinantti. Jukka Kemppainen Mathematics Division 35 / 44

36 2-ulotteinen normaalijakauma Huomautus 5 Huomaa, että määritelmä on yhteensopiva yksiulotteisen tapauksen kanssa, kun huomioidaan, että n-ulotteisessa tapauksessa skaalauskertoimen nimittäjä kirjoitetaan muodossa (2π) n Σ. Jukka Kemppainen Mathematics Division / 44

37 Näytteitä 2-ulotteisesta normaalijakaumasta Kuvaan on piirretty normaalijakauman X N(0, Σ) tasa-arvokäyriä ja 200 näytettä ( jakaumasta ) X, kun 0 kovarianssimatriisi on Σ = 0 Jukka Kemppainen Mathematics Division 37 / 44

38 Näytteitä 2-ulotteisesta normaalijakaumasta Kuvaan on piirretty normaalijakauman X N(0, Σ) tasa-arvokäyriä ja 200 näytettä ( jakaumasta ) X, kun 0.5 kovarianssimatriisi on Σ = 0.5 Jukka Kemppainen Mathematics Division 38 / 44

39 Näytteitä 2-ulotteisesta normaalijakaumasta Huomaa, että tasa-arvokäyrät olivat tapauksessa ( ) 0 Σ = 0 ympyröitä ja tapauksessa Σ = ( ) ellipsejä. Huomaa myös, että jälkimmäisessä tapauksessa muuttujien välillä on korrelaatiota, jolloin ellipsin pääakselit eivät ole koordinaattiakselien suuntaiset. Edelleen huomaa, että otantapisteet levittäytyvät odotusarvon µ = (0, 0) ympäristöön pääakselien suuntaisesti. Jukka Kemppainen Mathematics Division 39 / 44

40 Kaksiulotteisen normaalijakauman reunajakaumat Olkoon X = (X, Y) 2-ulotteista normaalijakaumaa N(0, Σ) noudattava satunnaisvektori. Tarkastellaan esimerkin avulla koordinaattimuuttujien X ja Y ominaisuuksia. Esim. 5 Olkoon X = (X,Y) kuten edellä. (a) Laske X:n tiheysfunktio, kun X ja Y ovat korreloimattomia. (b) Mikä on muuttujien X ja Y jakauma? (c) Tutki ovatko X ja Y riippumattomia käyttämällä tulosta (4). Jukka Kemppainen Mathematics Division 40 / 44

41 Kaksiulotteisen normaalijakauman reunajakaumat Koska Lauseen 23 mukaan riippumattomuudesta seuraa aina korreloimattomuus, niin Esimerkin 5 perusteella saamme Lause 25 Jos X = (X, Y) noudattaa 2-ulotteista normaalijakaumaa, niin X Y Cov(X,Y) = 0, missä merkinnällä X Y tarkoitetaan sm:ien X ja Y riippumattomuutta. Huomautus 6 Lauseessa 25 on oleellista, että X noudattaa 2-ulotteista normaalijakaumaa. Kuten Huomautuksessa 2 todettiin, yleisesti korreloimattomuudesta ei seuraa riippumattomuus. Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 44

42 Kaksiulotteisen normaalijakauman reunajakaumat Esimerkissä 5 perusteltiin myös erityistapauksessa ρ(x,y) = 0 seuraava tulos, joka pätee myös yleisesti. Lause 26 Satunnaismuuttujan X N(µ, Σ) reunajakaumat ovat normaalisia: X N(µ X,σ 2 X ), Y N(µ Y,σ 2 Y ), missä σ 2 X = σ XX ja σ 2 Y = σ YY Määritelmän 28 merkinnöillä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 42 / 44

43 Lopetetaan kurssi seuraavaan psykiatri Hannu Lauerman kirjassaan Usko, toivo ja huijaus esittämään toteamukseen: Kriittinen ajattelu edellyttää hyviä yleistietoja, mutta myös kykyä ymmmärtää numeerisia käsittelytapoja ja niihin pohjautuvaa todennäköisyyslaskentaa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 43 / 44

44 TÄMÄ KURSSI PÄÄTTYY TÄHÄN! KIITOKSIA MIELENKIINNOSTA! Jukka Kemppainen Mathematics Division 44 / 44

Tilastomatematiikka Kevät 2008

Tilastomatematiikka Kevät 2008 Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat: Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 3. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 3. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat .9. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat MS-A Todennäköisslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Moniulotteiset satunnaismuuttujat sekä niiden jakaumat ja tunnusluvut; Moniulotteisia jakaumia Usein

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan: Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4. HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden

Lisätiedot

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 31.03.2012 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Jukka Kemppainen Mathematics

Lisätiedot

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2 Jukka Kemppainen Mathematics Division Satunnaismuuttuja Useissa luonnon- tai teknistieteellisissä sovellutuksissa satunnaiskokeen lopputulos on numeerinen lukuarvo.

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen

Lisätiedot

Keskihajonta ja korrelaatio

Keskihajonta ja korrelaatio Luku 4 Keskihajonta ja korrelaatio Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 19. syyskuuta 2017 4.1 Jakauman varianssi ja keskihajonta Edellisessä luvussa opittiin, että satunnaismuuttujan odotusarvo on X:n jakauman

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen

Lisätiedot

P (X B) = f X (x)dx. xf X (x)dx. g(x)f X (x)dx.

P (X B) = f X (x)dx. xf X (x)dx. g(x)f X (x)dx. Yhteenveto: Satunnaisvektorit ovat kuvauksia tn-avaruudelta seillaiselle avaruudelle, johon sisältyy satunnaisvektorin kaikki mahdolliset reaalisaatiot. Satunnaisvektorin realisaatio eli otos on jokin

Lisätiedot

Satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja kuvaa kokeen tuloksen reaaliakselille Satunnaismuuttuja on siis funktio X(s) joka saa reaalisia arvoja Koe s

Satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja kuvaa kokeen tuloksen reaaliakselille Satunnaismuuttuja on siis funktio X(s) joka saa reaalisia arvoja Koe s Satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja kuvaa kokeen tuloksen reaaliakselille Satunnaismuuttuja on siis funktio X(s) joka saa reaalisia arvoja Koe s kuuluu todennäköisyysavaruuteen S (s S) Esimerkkejä Kolikonheitossatodennäköisyysavaruus

Lisätiedot

8.1 Ehdolliset jakaumat

8.1 Ehdolliset jakaumat 8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista 6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme

Lisätiedot

V ar(m n ) = V ar(x i ).

V ar(m n ) = V ar(x i ). Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

2. Multinormaalijakauma

2. Multinormaalijakauma Multinormaalijakauma 15 2. Multinormaalijakauma 2.1 Alustavaa johdattelua Monimuuttujamenetelmissä multinormaalijakaumalla on ehkä vielä keskeisempi asema kuin normaalijakaumalla yhden muuttujan tilastollisissa

Lisätiedot

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt

Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 16. syyskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään

Lisätiedot

3.1 Kaksiulotteinen satunnaisvektori ja sen jakauma

3.1 Kaksiulotteinen satunnaisvektori ja sen jakauma 3 Yhteisjakauma Kappaleessa 2 tarkastelimme aina yhtä satunnaismuuttujaa kerrallaan. Tässä kappaleessa näemme, miten aikaisemmat käsitteet yleistyvät siihen tilanteeseen, jossa samalla perusjoukolla on

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo

Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo Luku 5 Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 21. syyskuuta 2017 5.1 Satunnaismuuttujien summa Satunnaismuuttujien summa S n = X 1 + +X n ja keskiarvo n 1 S n ovat satunnaismuuttujia,

Lisätiedot

3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka

3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka 3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä

Lisätiedot

JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos)

JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Jatkuvat jakaumat 1 JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) Määritelmä Ei-negatiivisen satunnaismuuttujan X 0, jonka tiheysfunktio on f(x), Laplace-muunnos

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 5 (vko 4/003) (Aihe: jatkuvia satunnaismuuttujia ja jakaumia, sekamalli, Laininen luvut 5.1 5.7, 6.1 6.3)

Lisätiedot

Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja

Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja 4B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Tuntitehtävät 4B1 Eksponentiaalisten odotusaikojen toistuva odottaminen. Satunnaisluvun X sanotaan noudattavan Gamma-jakaumaa parametrein k ja λ,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Johdatus regressioanalyysiin

Johdatus regressioanalyysiin Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Johdatus regressioanalyysiin >> Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Odotusarvojen erotuksen testi, hajonnat σ 1 σ 2 tuntemattomia Oletetaan jälleen, että X ja Y ovat normaalijakautuneita.

Lisätiedot

Lause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi on lineaarinen projektio.

Lause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi on lineaarinen projektio. Määritelmä 4.3. Estimaattoria X(Y ) nimitetään lineaariseksi projektioksi, jos X on lineaarinen kuvaus ja E[(X X(Y )) Y] 0 }{{} virhetermi Lause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi

Lisätiedot

11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita

11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita 11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita Tässä luvussa esitellään sellaisia kuuluisia todennäköisyysteorian raja-arvolauseita, joita sovelletaan usein tilastollisessa päättelyssä. Näiden raja-arvolauseiden

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287

Lisätiedot

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

4.1 Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo

4.1 Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo 4 Odotusarvo Seuraavaksi kertaamme, miten satunnaismuuttujan odotusarvo (sv. väntevärde) määritellään diskreetissä ja jatkuvassa tapauksessa. Odotusarvolle käytetään englannikielisessä kirjallisuudessa

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg 1 Todennäköisyys Satunnaismuuttujat Keskeinen raja-arvolause Aalto-yliopisto. tammikuuta 015 Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. tammikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet Deterministiset mallit ja regressioanalyysi

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien tunnusluvut

Satunnaismuuttujien tunnusluvut Sisältö 1 Johdanto 1 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede.................. 1 1.2 Havaitut frekvenssit ja empiiriset jakaumat........... 1 1.3 Todennäköisyysmallit....................... 4 1.3.1 Satunnaiskoe.......................

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 1 / 24 Skalaarikenttä Olkoon R

Lisätiedot

Kuva 3.1: Näyte Gaussisesta valkoisest kohinasta ε t N(0, 1) Aika t

Kuva 3.1: Näyte Gaussisesta valkoisest kohinasta ε t N(0, 1) Aika t Kuva 3.1: Näyte Gaussisesta valkoisest kohinasta ε t N(0, 1) Valkoinen kohina ε t 2 1 0 1 2 Voimme tehdä saman laskun myös yleiselle välille [ a, a], missä 0 < a

Lisätiedot

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin

Lisätiedot

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio KE (2014) 1 Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Galton Watson prosessi

Galton Watson prosessi Galton Watson prosessi LuK-tutkielma Timo Lintonen 2192796 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Diskreetit satunnaismuuttujat 2 1.1 Diskreettien satunnaismuuttujien

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

F(x) = 1. x x 0 + F(x) = F(x 0) kaikilla x 0 R.

F(x) = 1. x x 0 + F(x) = F(x 0) kaikilla x 0 R. Luku 5 Jatkuvat jakaumat Sellaiset suureet kuten esimerkiksi aika, lämpötila, pituus ja paino ajatellaan tavallisesti jatkuviksi muuttujiksi, ts. muuttujiksi, jotka voivat saada mitä tahansa reaaliarvoja

Lisätiedot

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teemassa 6 tutustuttiin todennäköisyyden ja satunnaisuuden käsitteisiin sekä todennäköisyyslaskennan perusteisiin. Seuraavaksi tätä aihepiiriä syvennetään perehtymällä

Lisätiedot

Valintahetket ja pysäytetyt martingaalit

Valintahetket ja pysäytetyt martingaalit 4B Valintahetket ja pysäytetyt martingaalit Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia tunnistamaan, mitkä satunnaishetket ovat valintahetkiä ja oppia laskemaan lukuarvoja ja estimaatteja satunnaisprosessien

Lisätiedot

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa

Lisätiedot

Määritelmä 17. Olkoon Ω joukko ja Σ sen jokin σ-algebra. Kuvaus P : Σ [0, 1] on todennäköisyysmitta (eng. probability measure), jos

Määritelmä 17. Olkoon Ω joukko ja Σ sen jokin σ-algebra. Kuvaus P : Σ [0, 1] on todennäköisyysmitta (eng. probability measure), jos 0.02 0.04 0.06 0.08 f 0 5 0 5 0 Temperature Kuva 5.2: Tntf:n f kuvaaja: Lämpötilat välillä [5, 0] näyttävät epätodennäköisiltä. Lämpötila -2 näyttäisi todennäköisimmältä, mutta jakauma on leveä. Tämä heijastaa

Lisätiedot