031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7

Transkriptio

1 0302P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division

2 Yhteisjakauma Edellä on tarkasteltu yksiulotteista satunnaismuuttujaa. Sovelluksissa joudutaan usein tarkastelemaan samanaikaisesti kahta tai useampaa samaan satunnaiskokeeseen liittyvää satunnaismuuttujaa. Tässä luvussa tarkastellaan kahden satunnaissuureen samanaikaista kuvailua. Luvussa esitetty tarkastelu voidaan luonnollisella tavalla yleistää n:n satunnaismuuttujan tapaukseen. Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 44

3 Yhteisjakauma Olkoon S satunnaiskokeen otosavaruus, P siihen liittyvä todennäköisyys ja X, Y : S R kokeeseen liittyviä satunnaismuuttujia. Kaksiulotteinen satunnaisvektori (X, Y) liittää kuhunkin alkeistapahtumaan e S lukuparin (X(e), Y(e)) (x,y)-tasossa R 2. Tapahtuman {X x} {Y y} todennäköisyys on täysin määrätty kahden muuttujan funktio F XY (x,y), joka vastaa yhden muuttujan jakauman kertymäfunktiota. Määr. 26 Kaikilla lukupareilla (x,y) R 2 määritelty funktio F XY (x,y) = P(X x ja Y y) on satunnaismuuttujien X ja Y satunnaismuuttujaparin (X, Y) kertymäfunktio. Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 44

4 Kertymäfunktio Kuten -ulotteisessa tapauksessa, kertymäfunktio F XY määrää täysin sm-parin (X,Y) jakauman. Tämä seuraa siitä, että jokaisen koordinaattiakselien suuntaisen puoliavoimen suorakulmion Q =]x,x 2 ] ]y,y 2 ], missä x < x 2 ja y < y 2, todennäköisyys voidaan laskea kertymäfunktion avulla. Nimittäin P((X,Y) Q) =F XY (x 2,y 2 ) F XY (x 2,y ) F XY (x,y 2 ) + F XY (x,y ). () Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 44

5 Kuva y (x,y 2 ) (x 2,y 2 ) (x,y ) Q (x 2,y ) x Jukka Kemppainen Mathematics Division 5 / 44

6 Kuva Kuvassa suorakaiteen Q todennäköisyys saadaan vähentämällä (x 2,y 2 ) nurkkapisteenä olevan äärettömän suorakaiteen (todennäköisyydellä painotetusta) pinta-alasta nurkkapisteinä (x,y 2 ) ja (x 2,y ) olevien alueiden pinta-alat. Koska nurkkapisteenä (x,y ) olevan alueen pinta-ala tulee vähennetyksi kahteen kertaan, täytyy se vielä lisätä kertaalleen. Vertaa kaavaa () vastaavaan yksiulotteiseen tulokseen P(X ]x,x 2 ]) = F X (x 2 ) F X (x ). Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 44

7 Kertymäfunktion ominaisuuksia 0 F XY (x,y) kaikilla (x,y) R 2 ; Jos x x 2 ja y y 2, niin (monotonisuus) (a) F XY (x, y ) F XY (x 2, y ) F XY (x 2, y 2 ), (b) F XY (x, y ) F XY (x, y 2 ) F XY (x 2, y 2 ). lim x y F XY(x,y) = ja lim F XY (x,y) = 0, kun x tai y. lim x F XY (x,y) = F Y (y) ja lim y F XY (x,y) = F X (x). Yksityisten muuttujien jakaumat F X ja F Y ovat nimeltään yhteisjakauman F XY reunajakaumia. Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 44

8 Pistetodennäköisyydet ja tiheysfunktio Jos X ja Y ovat diskreettejä satunnaismuuttujia, niin yhteisjakauman määrittelevät pistetodennäköisyydet p ij = P(X = x i ja Y = y j ) kaikilla i ja j, joilla (x i,y j ) S X S Y. Jos kertymäfunktio on kaksi kertaa paloittain derivoituva, niin funktiota f XY (x,y) = 2 F(x,y) x y sanotaan yhteisjakauman tiheysfunktioksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 8 / 44

9 Pistetn:n ja tf:n yhteys kertymäfunktioon Kuten -ulotteisessa tapauksessa, jakauman määrää kertymäfunktio, joka diskreetin sm:n tapauksessa voidaan kirjoittaa pistetodennäköisyyksien avulla muodossa F XY (x,y) = p ij. i,j:x i x ja y j y Jatkuvan sm:n tapauksessa kertymäfunktio voidaan lausua tiheysfunktion avulla integraalina F XY (x,y) = x y f XY (u,v)dudv. Jukka Kemppainen Mathematics Division 9 / 44

10 Tiheysfunktion ominaisuuksia Tiheysfunktiolla on seuraavat ominaisuudet f XY (x,y) 0 kaikilla x,y R; f XY(u,v)dudv = ; P(a < X b ja c < Y d) = b a d c f XY(u,v)dudv. Jukka Kemppainen Mathematics Division 0 / 44

11 Reunajakaumat, jatkuva sm. Koska lim y F XY (x,y) = P(X x ja < y < ) ja lim x F XY (x,y) = P( < X < ja Y y), voidaan reunajakaumien kertymäfunktiot kirjoittaa integraaleina F X (x) = F Y (y) = x y f XY (u,v)dudv, f XY (u,v)dudv. Derivoimalla saadaan reunatiheysfunktioiksi f X (x) = d dx F X(x) = f Y (y) = d dy F Y(y) = f XY (x,v)dv, f XY (u,y)du. (2) Jukka Kemppainen Mathematics Division / 44

12 Reunajakaumat, diskreetti sm. Vastaavasti diskreetin sm:n tapauksessa saamme reunajakaumiksi F X (x) = p ij, F Y (y) = i i:x i x j j:y j y ja reunajakaumien pistetodennäköisyyksiksi p ij p i = P(X = x i ) = j q j = P(Y = y j ) = i p ij, p ij. (3) Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 44

13 Esimerkki Tarkastellaan edellä esitettyjä käsitteitä esimerkin avulla. Tarkastellaan kahden nopan heittoa. Jos X on ensimmäisen nopan pisteluku ja Y on toisen nopan pisteluku, niin muuttujien X ja Y yhteisjakauma on helppo muodostaa, sillä kaikki pistelukujen (i,j) kombinaatiot ovat yhtä todennäköisiä: P(X = i jay = j) = x,y {,2,3,4,5,6}. Otetaan vähän monimutkaisempi tapaus, jossa Z = max{x,y}, ja tarkastellaan muuttujien X ja Z yhteisjakaumaa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 44

14 Esimerkki jatkuu... Palautetaan vielä mieliin luentoviikon 2 Esimerkistä 0 Z:n saamat arvot Z:n arvot Y/X josta saatiin Z:n jakaumaksi k P(Z = k) Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 44

15 Esimerkki jatkuu... Nyt X:n arvo vaikuttaa Z:n saamaan arvoon. Jos esimerkiksi X =, niin Z voi saada kaikki arvot, 2,..., 6, jotka kaikki ovat yhtä todennäköisiä. Mutta jos X = 6, niin myös Z = 6 ja todennäköisyys on P(X = 6jaZ = 6) = 6, sillä Y voi olla mikä tahansa pisteluvuista {,2,3,4,5,6}. Vastaavasti, jos esimerkiksi X = 4, niin Z:lle on 3 vaihtoehtoa Z = 4,5,6, ja esimerkiksi tn:ksi P({X = 4} {Z = 4}) saadaan sillä Y voi olla,2,3 tai 4. P({X = 4} {Z = 4}) = 4, Jukka Kemppainen Mathematics Division 5 / 44

16 Esimerkki jatkuu... Kootaan X:n ja Z:n yhteisjakauma taulukoksi, mihin on merkitty myös reunajakaumien pistetn:t, jotka näyttävät olevan kuten pitääkin. Z\X q j p i Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 44

17 Reunajakauman simulointi Yleisessä tapauksessa reunajakauman määrääminen ei välttämättä ole yksinkertaista, sillä kaavoissa (2) ja (3) integroiminen ja summaaminen voi olla vaikeaa analyyttisesti. Silloin voisimme yrittää simuloida reunajakaumia. Edellisessä Esimerkissä lähdettiin reunajakaumista käsin ja määrättiin niiden avulla yhteisjakauma. Kääntäen voisimme lähteä tarkastelemaan esimerkiksi edellisen Esimerkin yhteisjakaumaa eli edellisen sivun taulukon todennäköisyyksien mukaan määräytyviä lukupareja ja yrittää sitten määrätä reunajakaumat. Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkinä edellisen Esimerkin reunajakauman Z, joka siis antaa pistelukujen maksimin kahden nopan heitossa, simuloimista. Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 44

18 Esimerkin reunajakauman Z simulointi Heitetään kahta noppaa ensin kerran, sitten kahdesti, kolmesti... ja lopulta n = 000 kertaa ja tarkastellaan pistelukujen maksimin histogrammia. Kun heittojen lukumäärä kasvaa, alkavat lukumäärät mennä kohti teoreettisia arvoja. Teoreettisten ja simuloitujen arvojen välillä voi olla jonkin verran heittoa johtuen äärellisestä heittojen lukumäärästä. Kone suorittaa kaiken kaikkiaan N = heittoa, mihin itsessään menisi oikeita noppia heittäessä kohtuullisesti aikaa puhumattakaan tulosten kirjaamisesta. Tietokoneelta satunnaislukujen arpominen ja tulosten kirjaaminen sujuu sukkelaan. Katso oheinen video jukemppa/noppa_.webm mihin teoreettiset frekvenssit on merkitty punaisilla pisteillä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 8 / 44

19 Riippumattomuus Satunnaismuuttujien riippumattomuus on määritelty luentomonisteen luvussa 3 (Määritelmä 5, s.20) tapahtumien {X x} ja {Y y} riippumattomuutena, eli P({X x} {Y y}) = P(X x)p(y y) x,y R. Näin ollen muuttujien X ja Y riippumattomuus voidaan kirjoittaa nyt muodossa X ja Y ovat riippumattomia F XY (x,y) = F X (x)f Y (y). Riippumattomuudelle käytetään usein merkitää X Y. Jukka Kemppainen Mathematics Division 9 / 44

20 Riippumattomuus tiheysfunktion ja pistetodennäköisyyksien avulla Jos yhteisjakauma on jatkuva ja sillä on tiheysfunktio, niin X Y f XY (x,y) = f X (x)f Y (y) x,y R. (4) Jos taas yhteisjakauma on diskreetti, niin X Y p ij = p i q j, missä p ij = P({X = x i } {Y = y j }), p i = P(X = x i ) ja q j = P(Y = y j ). Edellä esitetyssä esimerkissä muuttujat riippuivat toisistaan, sillä esimerkiksi P(X = 2jaZ = ) = 0 6 = P(X = 2)P(Z = ), kuten jo intuitiivisesti pääteltiin esimerkissä (X vaikuttaa Z:aan). Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 44

21 Esimerkki Esim. 48 Määritellään funktio f : R 2 R asettamalla (i) f(x,y) = c, kun (x,y) A = {(x,y) R 2 0 < x,y <,x + y < }, ja f(x,y) = 0 muulloin. (ii) f(x,y) = ce x y, kun x,y > 0, ja f(x,y) = 0 muulloin. (a) Määrää vakio c R siten, että f on sm-parin (X, Y) tiheysfunktio. (b) Laske reunajakaumat ja niitä vastaavat reunatiheysfunktiot. (c) Laske todennäköisyys P(X < 2 ja Y < 4 ). (d) Ovatko X ja Y riippumattomia? Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 44

22 Muunnoksen Z = h(x, Y) odotusarvo Kuten tullaan näkemään, reunajakaumien tunnusluvut odotusarvo ja varianssi voidaan laskea myös suoraan yhteisjakaumasta sopivien muunnosten odotusarvoina. Välttämättä meillä ei siis tarvitse tietää reunajakaumia, jos meitä kiinnostaa ainoastaan niiden tunnusluvut. Olkoon h : R 2 R riittävän säännöllinen funktio, jolloin Z = h(x,y) on satunnaismuuttuja. Jos X ja Y ovat jatkuvia satunnaismuuttujia, joiden yhteisjakauman tiheysfunktio on f XY, niin muunnoksen Z = h(x, Y) odotusarvo määritellään -ulotteista tapausta vastaavasti kaavalla E(h(X,Y)) = h(x,y)f XY (x,y)dxdy edellyttäen, että integraali suppenee itseisesti. Jukka Kemppainen Mathematics Division 22 / 44

23 Reunajakaumien tunnusluvut Valitsemalla h(x,y) = x tai h(x,y) = y saadaan muuttujien X ja Y odotusarvot E(X) = µ X = E(Y) = µ Y = xf X (x)dx = yf Y (y)dy = xf XY (x,y)dxdy, yf XY (x,y)dxdy. Valitsemalla h(x,y) = (X µ X ) 2 saadaan X:n varianssiksi D 2 (X) = σx 2 = (x µ X ) 2 f X (x)dx = (x µ X ) 2 f XY (x,y)dxdy. Jukka Kemppainen Mathematics Division 23 / 44

24 Reunajakaumien tunnusluvut Valitsemalla h(x,y) = (y µ Y ) 2 saadaan Y :n varianssiksi D 2 (Y) = σy 2 = (y µ Y ) 2 f Y (y)dy = (y µ Y ) 2 f XY (x,y)dxdy. Diskreetti tapaus menee samalla tavalla, kun korvataan integraalit summilla. Yhteisjakauma on keskittynyt xy-tasoon odotusarvopisteen (µ X,µ Y ) ympäristöön. Jos yhteisjakaumasta tehdään satunnaisesti havaintoja (X,Y), niin X:n varianssi mittaa havaintojen vaihtelun laajuutta x-akselin, ja Y :n varianssi y-akselin suunnassa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 24 / 44

25 Satunnaismuuttujien välinen riippuvuus Palautetaan mieliin edelliseltä viikolta satunnaismuuttujien riippuvuuden eri asteet. Jos satunnaismuuttujat ovat riippumattomia, niin X:n ja Y :n reunajakaumat antavat kaiken tiedon satunnaisvektorin (X, Y) jakautumisesta, sillä kertymäfunktio määrää jakauman ja F XY (x,y) = F X (x)f Y (y). Riippumattomuuden toisena ääripäänä satunnaismuuttujien välisestä vuorovaikutuksesta on funktionaalinen riippuvuus, jolloin toisen satunnaismuuttujan arvo täysin määrää myös toisen arvon. Erityisen vahva funktionaalinen riippuvuus on lineaarinen riippuvuus, eli Y on muotoa Y = ax + b todennäköisyydellä yksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 25 / 44

26 Satunnaismuuttujien välinen riippuvuus Yleisessä tapauksessa riippuvuus on jotain edellisten ääripäiden välillä; toisen muuttujan arvon tunteminen vaikuttaa toisen jakautumiseen, mutta ei määrää sen arvoa yksikäsitteisesti. Tällaista riippuvuutta sanotaan stokastiseksi riippuvuudeksi. Esimerkiksi aiemmin käsitellyssä noppaesimerkissä muuttujien X ja Z välillä vallitsi stokastinen riippuvuus. Jukka Kemppainen Mathematics Division 26 / 44

27 Kovarianssi ja korrelaatiokerroin Kuten edellisessä kappaleessa, yritetään tiivistää informaatio muuttujien välisen riippuvuudesta yhteen ainoaan tunnuslukuun. Määr. 27 Olkoot X ja Y satunnaismuuttujia, joilla on varianssit. Muuttujien X ja Y kovarianssi Cov(X,Y) on Cov(X,Y) = E((X E(X))(Y E(Y))). Jos lisäksi X:n ja Y keskihajonnat σ X ja σ Y ovat positiivisia, niin X:n ja Y :n korrelaatiokerroin ρ(x,y) on ρ(x,y) = Cov(X,Y) σ X σ Y Jukka Kemppainen Mathematics Division 27 / 44

28 Kovarianssi ja korrelaatiokerroin Muuttujia X ja Y, joiden kovarianssi on nolla, sanotaan korreloimattomiksi. Käyttämällä odotusarvon ominaisuuksia (Lause 3 viikolta 3), voidaan kovarianssi kirjoittaa muodossa Cov(X,Y) = E(XY) E(X)E(Y). Korrelaatiokerroin voidaan tulkita standardisoitujen muuttujien X = X µ X σ X ja Y = Y µ Y σ Y väliseksi kovarianssiksi, sillä E(X ) = E(Y ) = 0 ja siten Lauseen 3 mukaan Cov(X,Y ) = E(X Y ) = E((X µ X)(Y µ Y )) σ X σ Y = ρ(x,y). Jukka Kemppainen Mathematics Division 28 / 44

29 Ominaisuuksia Edellisellä luentoviikolla esitetyt havainnot voidaan nyt muotoilla yleisiksi tuloksiksi. Jos X ja Y ovat riippumattomia, on Lauseen 3 mukaan E(XY) = E(X)E(Y) ja siten saadaan tulos Lause 23 Jos X ja Y ovat riippumattomia, niin Cov(X, Y) = 0. Huomautus 2 Käänteinen väite ei päde! Lause 24 Korrelaatiokertoimelle on voimassa:. ρ ; 2. ρ =, jos ja vain jos X ja Y ovat lineaarisesti riippuvia. Jukka Kemppainen Mathematics Division 29 / 44

30 Ominaisuuksia Korrelaatiokertoimen käytössä on syytä olla varovainen. Ainoat matemaattisesti oikeutetut johtopäätökset ovat:. Ehdosta ρ(x,y) 0 seuraa, että X ja Y eivät ole riippumattomia; 2. ρ(x, Y) =, jos ja vain jos X ja Y ovat lineaarisesti riippuvia. Korrelaatiokerroin siis mittaa X:n ja Y :n lineaarisen riippuvuuden astetta. Luentomonisteessa on Esimerkki 25, jossa on todettu, että Cov(X,Y) = 0, kun X N(0,) ja Y = X 2. Siis kovarianssi on nolla, vaikka muuttujat ovat funktionaalisesti riippuvia toisistaan. Jukka Kemppainen Mathematics Division 30 / 44

31 Esimerkki Esim. 49 Olkoot X ja Y satunnaismuuttujia, joiden yhteisjakauman tiheysfunktio on (vrt. Esimerkki 48) (i) f XY (x,y) = 2, kun (x,y) A = {(x,y) R 2 0 < x,y <,x + y < }, ja f(x,y) = 0 muulloin. (ii) f XY (x,y) = e x y, kun x,y > 0, ja f(x,y) = 0 muulloin. Laske sm:ien X ja Y kovarianssi ja korrelaatiokerroin. Ovatko X ja Y korreloimattomia? Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 44

32 Kovarianssimatriisi Kuten jo edellisessä kappaleessa nähtiin, ei yksittäisten muuttujien (reunajakaumien) varianssit anna välttämättä riittävää kuvaa arvojen jakaantumisesta. Etenkin, kun muuttujien välillä on korrelaatiota, on sirontakuvio vino, eli pääakseli ei ole koordinaattiakselien suuntainen. Esitetään hajonnalle mittari, joka ottaa huomioon muuttujien välisen kytkennän. Määr. 28 Olkoon X = (X, Y) 2-ulotteinen satunnaisvektori, jolla on olemassa odotusarvo E(X) = (E(X),E(Y)) = (µ X,µ Y ) merk. = µ. Matriisia ( ) σxx σ Σ = XY R 2 2, σ YX σ YY missä σ X X 2 = Cov(X,X 2 ), sanotaan X:n kovarianssimatriisiksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 32 / 44

33 Kovarianssimatriisi Huomautus 3 Välittömästi kovarianssin määritelmästä seuraa, että Σ voidaan kirjoittaa muodossa Σ = E((X µ) T (X µ)), missä odotusarvo otetaan termeittäin ja ( ) X T X =. Y Huomautus 4 Huomaa, että edellä X on 2-ulotteinen rivivektori ja X T on 2-ulotteinen sarakevektori, mikä saattaa poiketa tyypillisestä merkintätavasta. Merkitään sen vuoksi transpoosia symbolilla X, joka vastaa Matlabin notaatiota. Jukka Kemppainen Mathematics Division 33 / 44

34 Esimerkki Esim. 50 Olkoot X ja Y satunnaismuuttujia, joille σ X = 2, σ Y = 3 ja (i) ρ(x,y) = 0, (ii) ρ(x,y) = 3. (a) Määrää satunnaisvektorin (X, Y) kovarianssimatriisi. (b) Mitä voit sanoa muuttujien X ja Y välisestä riippuvuudesta? (c) Laske muuttujan 3X 2Y odotusarvo ja varianssi, kun E(X) = ja E(Y) = 0. Jukka Kemppainen Mathematics Division 34 / 44

35 2-ulotteinen normaalijakauma Määr. 29 Satunnaisvektori X = (X, Y) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa odotusarvolla µ ja kovarianssimatriisilla Σ, merkitään X N(µ,Σ), jos Σ on säännöllinen matriisi ja jos muuttujan X tiheysfunktio on f X (x) := f XY (x,y) = (2π) 2 Σ e 2 (x µ)σ (x µ), missä Σ = Var(X)Var(Y) Cov(X,Y) 2 on kovarianssimatriisin determinantti. Jukka Kemppainen Mathematics Division 35 / 44

36 2-ulotteinen normaalijakauma Huomautus 5 Huomaa, että määritelmä on yhteensopiva yksiulotteisen tapauksen kanssa, kun huomioidaan, että n-ulotteisessa tapauksessa skaalauskertoimen nimittäjä kirjoitetaan muodossa (2π) n Σ. Jukka Kemppainen Mathematics Division / 44

37 Näytteitä 2-ulotteisesta normaalijakaumasta Kuvaan on piirretty normaalijakauman X N(0, Σ) tasa-arvokäyriä ja 200 näytettä ( jakaumasta ) X, kun 0 kovarianssimatriisi on Σ = 0 Jukka Kemppainen Mathematics Division 37 / 44

38 Näytteitä 2-ulotteisesta normaalijakaumasta Kuvaan on piirretty normaalijakauman X N(0, Σ) tasa-arvokäyriä ja 200 näytettä ( jakaumasta ) X, kun 0.5 kovarianssimatriisi on Σ = 0.5 Jukka Kemppainen Mathematics Division 38 / 44

39 Näytteitä 2-ulotteisesta normaalijakaumasta Huomaa, että tasa-arvokäyrät olivat tapauksessa ( ) 0 Σ = 0 ympyröitä ja tapauksessa Σ = ( ) ellipsejä. Huomaa myös, että jälkimmäisessä tapauksessa muuttujien välillä on korrelaatiota, jolloin ellipsin pääakselit eivät ole koordinaattiakselien suuntaiset. Edelleen huomaa, että otantapisteet levittäytyvät odotusarvon µ = (0, 0) ympäristöön pääakselien suuntaisesti. Jukka Kemppainen Mathematics Division 39 / 44

40 Kaksiulotteisen normaalijakauman reunajakaumat Olkoon X = (X, Y) 2-ulotteista normaalijakaumaa N(0, Σ) noudattava satunnaisvektori. Tarkastellaan esimerkin avulla koordinaattimuuttujien X ja Y ominaisuuksia. Esim. 5 Olkoon X = (X,Y) kuten edellä. (a) Laske X:n tiheysfunktio, kun X ja Y ovat korreloimattomia. (b) Mikä on muuttujien X ja Y jakauma? (c) Tutki ovatko X ja Y riippumattomia käyttämällä tulosta (4). Jukka Kemppainen Mathematics Division 40 / 44

41 Kaksiulotteisen normaalijakauman reunajakaumat Koska Lauseen 23 mukaan riippumattomuudesta seuraa aina korreloimattomuus, niin Esimerkin 5 perusteella saamme Lause 25 Jos X = (X, Y) noudattaa 2-ulotteista normaalijakaumaa, niin X Y Cov(X,Y) = 0, missä merkinnällä X Y tarkoitetaan sm:ien X ja Y riippumattomuutta. Huomautus 6 Lauseessa 25 on oleellista, että X noudattaa 2-ulotteista normaalijakaumaa. Kuten Huomautuksessa 2 todettiin, yleisesti korreloimattomuudesta ei seuraa riippumattomuus. Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 44

42 Kaksiulotteisen normaalijakauman reunajakaumat Esimerkissä 5 perusteltiin myös erityistapauksessa ρ(x,y) = 0 seuraava tulos, joka pätee myös yleisesti. Lause 26 Satunnaismuuttujan X N(µ, Σ) reunajakaumat ovat normaalisia: X N(µ X,σ 2 X ), Y N(µ Y,σ 2 Y ), missä σ 2 X = σ XX ja σ 2 Y = σ YY Määritelmän 28 merkinnöillä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 42 / 44

43 Lopetetaan kurssi seuraavaan psykiatri Hannu Lauerman kirjassaan Usko, toivo ja huijaus esittämään toteamukseen: Kriittinen ajattelu edellyttää hyviä yleistietoja, mutta myös kykyä ymmmärtää numeerisia käsittelytapoja ja niihin pohjautuvaa todennäköisyyslaskentaa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 43 / 44

44 TÄMÄ KURSSI PÄÄTTYY TÄHÄN! KIITOKSIA MIELENKIINNOSTA! Jukka Kemppainen Mathematics Division 44 / 44