KVANTTILASKENTA. Klassinen laskettavuus vs. kvanttilaskenta (QC)
|
|
- Markus Saarinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 KVANTTILASKENTA Klassinen laskettavuus vs. kvanttilaskenta (QC) Algoritmin konemallit (Turingin kone, RAM-kone, rekisterikone, laskurikone jne.) [QC: Jonkinlaiset versiot on, eivät kovin käyttökelpoiset, Paul Benioff 1981] Funktionaalinen laskenta (lambdalaskenta, rekursiiviset funktiot, Lisp, Haskell jne.) [QC: Ei ole vielä] Logiikkalaskenta (logiikkaohjelmointi, Prolog jne.) [QC: Ei ole vielä, kvanttilogiikka ei salli vastaavia konstruktioita] 1
2 Proseduraalikielet (C++, Java jne.) [QC: Ei ole, monista yrityksistä huolimatta] Piirit, portit, prosessorit [QC: On, David Deutsch, 1985, Richard Feynman, 1982] Reversiibelisyys (jokainen klassinen algoritmi voidaan toteuttaa reversiibelillä Turingin koneella, joka ei hävitä informaatiota millään askeleella, Yves Lecerf, 1963) [QC: Kvanttifysiikka on reversiibeli, joten kvanttialgoritmienkin on oltava sitä!] 2
3 Äärellinen kvanttiautomaatti (Cris Moore, Jim Crutchfield, 2000) Tarvitaan, tila-avaruus S (äärellisulotteinen), alkutila α, lopputilaavaruus T ja aakkosto {a 1,..., a n }. Kutakin aakkoston kirjainta a i vastaa unitaarioperaattori (-matriisi) U i : S S. Syötteen a i1 a im lukeminen vastaa operointia β = U im U i1 α. Syöte hyväksytään, jos mittaus ilmoittaa sen olevan T :ssä (mikä Bornin tulkinnan mukaan tapahtuu vain tietyllä todennäköisyydellä). 3
4 Tässä itse automaatti on kiinteä, syötteet vaihtuvat. Kvanttitietokone (perusmuodossaan) on samantapainen konstruktio, mutta siinä syöte on kiinteä ja alkutila (kvanttitietokoneen syöte) vaihtuu. Kvanttibitti (kubitti) ja kvanttirekisteri Tarvitaan kaksiulotteinen kompleksinen tila-avaruus ja sen kantatilat (puhtaat kvanttibitit) 0 = 1 ja 1 =
5 Yleinen kvanttibitti on silloin muotoa α α 1 1, missä α α 1 2 = 1. Mitattaessa ko. kvanttibitti (kannan 0, 1 suhteen) saadaan tulos 0 todennäköisyydellä α 0 2 ja 1 todennäköisyydellä α 1 2 (Bornin tulkinnan mukaan). Kvanttibittiin operoidaan 2 2-unitaarimatriisilla (millä tahansa). Operoitaessa ns. Hadamardin matriisilla (portilla) saadaan H = H 0 = 1 2 ( ) = + ja H 1 = 1 2 ( 0 1 ) =. 5
6 Mm. Paulin matriisit σ x = 0 1, σ 1 0 y = 0 i ja σ i 0 z = sekä identiteettimatriisi I 2 ja vaihesiirtomatriisi R θ = antavat lisää portteja e iθ Puhtaita kvanttibittejä b 1,..., b k yhdistetään k kvanttibitin muodostamaksi tilaksi, käyttäen vektorien Kroneckerin tuloa (eli tensorituloa): b 1 b m = merk. b 1 b m. 6
7 Näin saadut tilat muodostavat 2 m -ulotteisen avaruuden kannan ja superpositioina saadut tilat tulkitaan kvanttirekisterin sisällöiksi. Näihin voidaan operoida 2 m 2 m -unitaarimatriiseilla tavalliseen tapaan. Toisaalta yksittäisiin kvanttibitteihin tai useamman kvanttibitin muodostamiin osarekistereihin voidaan myös operoida käyttäen matriisien Kroneckerin tulon laskusääntöä (U 1 U 2 )( b 1 b 2 ) = (U 1 b 1 ) (U 2 b 2 ). Esimerkiksi i:nteen kvanttibittiin voidaan operoida Hadamardin matriisilla (jättäen muut silleen) matriisilla I (i 1) 2 H I (m i) 2 7
8 (missä eksponentti i tarkoittaa i:ttä Kronecker-tulopotenssia). Näitä matemaattisia valtavia matriiseja ei tietenkään tarvita operoitaessa fysikaalisesti rekisteriin. Kahden kvanttibitin rekistereille voidaan nyt määritellä omia operaatioitaan (porttejaan, vrt. loogiset NAND, NOR, XOR jne.), esimerkiksi kontrolloitu NOT (CNOT) (kannalle 00, 01, 10, 11 ) ja lomituksia (Bellin tiloja) aikaansaava 8
9 B = , jolle B 00 = 1 2 ( ). Rekisteritilassa, joka ei ole kvanttibittien Kroneckerin tulo, kvanttibitit ovat tavalla tai toisella lomittuneet kuten yo. B 00 :ssa. Kvanttialgoritmi on sellainen m:n kvanttibitin rekisterille tehty lista unitaarioperaatioita U 1,..., U l, että operoimalla niillä järjestyksessä tekien tarvittaessa välillä joillekin rekisterin osille mittauksia, saadaan lähtötilasta (syöte + aputilat) lopuksi mittaustulos, josta tietyllä todennäköisyydellä saadaan haluttu tuloste. 9
10 Kvanttivirheenkorjaus Klassisessa laskennassa bitit voivat muuttua virheellisesti tiedonsiirrossa, talletuksessa ja laskennassa itsessään. Tällaisia virheitä ovat bitin vaihtuminen, kahden bitin vaihtuminen keskenään sekä bitin pyyhkiytyminen. Nämä virhetyypit esiintyvät myös kvanttibiteillä, mutta yksittäiselle kvanttibitille saadaan eri vaihtoehtoja, mm. α α 1 1 α α 1 0 (bit-flip, Paulin σ x ), α α 1 1 α 0 0 α 1 1 (sign-flip, Paulin σ z ) sekä erilaiset muut vaihevirheet. 10
11 Pitkään luultiin, että dekoherenssi yms. virhelähteet tuhoaisivat kvanttibitin niin nopeasti ja peruuttamattomasti, ettei kvanttilaskenta olisi lainkaan mahdollista. Klassinen virheenkorjaus nimittäin perustuu redundanssiin eli informaation esittämiseen osin moneen kertaan, jonka avulla muutama virhe voidaan korjata. Yksinkertaisin klassinen virheen korjaava koodaus on sanan w esittäminen kolminkertaisena: www. Yhteen esiintymistä sattuva yhden symbolin virhe voidaan silloin korjata. Tämäntapainen redundanssi ei ole mahdollista kvanttilaskennassa, sillä 11
12 NO-CLONING-LAUSE. Kvanttitilaa ei ole mahdollista kopioida. Todistus. Jos kvanttitila (rekisterin sisältö) olisi kopioitavissa, olisi unitaarioperaatio C, jolle C( ψ 0 ) = ψ ψ kaikille rekisterin sisällöille ψ. Unitaarisena C säilyttää sisätulon, joten ψ φ = ψ φ 0 0 = ( ψ 0 )( φ 0 ) = ( ψ 0 )C C( φ 0 ) = ( ψ ψ )( φ φ ) = ψ φ 2, mikä ei voi yleisesti pitää paikkaansa. 12
13 Vuonna 1995 Peter Shor (ja vähän myöhemmin myös Andrew Steane) löysi kuitenkin tavan korjata virheitä kvanttilaskennassa, korvaamalla redundanssin lomituksella. Shorin koodauksessa kvanttibitti korvataan yhdeksällä kvanttibitillä: 13
14 Shorin tekijöihinjakoalgoritmi m-pituisen kvanttirekisterin kantavektorien voidaan ajatella vastaavan binääriesityksen kautta kokonaislukuja välillä 0,..., 2 m 1 ja voidaan ottaa käyttöön merkintä k = b m 1 b m 2 b 1 b 0, kun k:n binääriesitys on b m 1 b m 2 b 1 b 0, mahdollisesti alkunollia lisäten. Tehtävänä on löytää luvun esitys alkulukupotenssien tulona. k = p j 1 1 p j 2 2 p j N N. 14
15 Algoritmin riittää löytää yksi aito tekijä, toistamalla saadaan kaikki alkutekijät. Tekijöihinjako on kuitenkin tehtävä, johon ei tunneta ole nopeita algoritmeja. Käytännössä jo 200-desimaaliset kokonaisluvut ovat liian pitkiä. Shorin algoritmi perustuu siihen, että seuraavat kaksi tehtävää voidaan suorittaa kvanttilaskentaa käyttäen. Syötteestä k 0 0 lasketaan k (w k, mod n), missä w ja n 2 m ovat kiinteitä annettuja lukuja. 15
16 Syötteestä k lasketaan sen ns. kvantti-fourier-muunnos F Q ( k ) = 1 2 m/2 2 m 1 j=0 e 2πijk 2 m j. Kvantti-Fourier-muunnos toimii kuten tavallinenkin diskreetti Fourier n muunnos, ts. se poimii syötejonosta periodisia osia. Muistetaan, että kvanttialgoritmien on oltava reversiibelejä, klassiset lukuteorian algoritmit eivät sitä ole sellaisenaan. Itse Shorin algoritmi perustuu seuraavaan lukuteorian menettelyyn, jolla luvun n tekijöihinjako onnistuu, mikäli algoritmi A vain olisi käytettävissä. 16
17 1. Valitaan satunnaisesti luku w, 1 w < n. 2. Lasketaan d = syt(w, n) Eukleideen algoritmilla. 3. Jos 1 < d < n, jatketaan d:stä ja n/d:stä. 4. Jos d = 1, etsitään oletetulla algoritmilla A sellainen luku r > 0, että (w r, mod n) = Jos r on pariton, mennään kohtaan #7. 17
18 6. Jos r on parillinen, asetetaan r r 2 ja mennään kohtaan #5. 7. Lasketaan ω = (w r, mod n) venäläisten talonpoikien algoritmilla. 8. Jos (ω, mod n) = 1, luovutaan tehtävästä ja lopetetaan. 9. Jos (ω, mod n) 1, asetetaan ω ω ja ω (ω 2, mod n) ja mennään kohtaan #9. 18
19 10. Lopulta saadaan sellainen 1:n neliöjuuri ω modulo n, että (ω, mod n) 1. Mikäli nyt (ω, mod n) = n 1, luovutetaan ja lopetetaan. Muutoin lasketaan t = syt(ω 1, n) ja jatketaan t:stä ja n/t:stä. Huomaa, että nyt n on ω 2 1:n tekijä mutta ei ω ±1:n tekijä. Koska ω 2 1 = (ω +1)(ω 1), niin n:n jokin alkutekijä on ω 1:n tekijä. Voidaan osoittaa, että jos n ei ole alkuluku, algoritmi onnistuu löytämään sille tekijän ainakin todennäköisyydellä 1/2. (Aluksi voidaan tietysti testata onko n alkuluku vai ei, siihen on nopeita algoritmeja.) 19
20 Kvanttitietokoneella suoritettavaksi jää algoritmi A. Tämä perustuu siihen, että (w j, mod n) on periodinen j:n suhteen ja jokin periodi r voidaan tällöin löytää kvantti-fourier-muunnoksella. Itse menettely on seuraava: A.1 Valitaan sellainen luku 2 m, että n 2 2 m < 2n 2 (tekninen yksityiskohta). A.2 Alustetaan kaksi m-pituista rekisteriä nolliksi:
21 A.3 Sovelletaan ensimmäiseen rekisteriin kvantti-fourier-muunnosta: F Q ( 0 ) 0 = 1 2 m/2 = 1 2 m/2 2 m 1 j=0 2 m 1 j=0 e 2πij 0 2 m j 0 j 0. Ensimmäiseen rekisteriin on näin saatu kokonaislukujen 0,..., 2 m 1 tasainen superpositio. Kvanttitietokone on valmis käsittelemään niitä yhtaikaa! A.4 Lasketaan sopivalla operaatiolla (ks. edellä) kerralla 1 2 m/2 2 m 1 j=0 j (w j, mod n). 21
22 Rekisterit ovat nyt lomittuneet kvanttifysikaalisessa mielessä toisiinsa. A.5 Mitataan toinen rekisteri, jolloin saadaan kokonaisluku v ja rekisterit ovat γ 2m 1 j=0 (w j, mod n)=v j v, missä γ on skaalausvakio ja indeksit j esiintyvät periodisesti. Skaalausvakio tarvitaan, koska kyseessä on oltava mittauksen jälkeenkin kvanttifysikaalinen tila. 22
23 A.6 Sovelletaan ensimmäiseen rekisteriin kvantti-fourier-muunnosta: γ 2 m/2 2 m 1 2 m 1 j=0 l=0 (w j, mod n)=v e 2πilj 2 m l v. A.7 Mitataan ensimmäinenkin rekisteri. Tulos l saadaan silloin todennäköisyydellä g(l) 2, missä g(l) = γ 2 m/2 2 m 1 j=0 e 2πilj 2 m. (w j, mod n)=v Mutta g(l) on kerrointa vaille sellaisen jonon diskreetti Fourier n muunnos, jossa esiintyy 1 samalla periodilla kuin j kohdassa #A.5 muiden alkioiden ollessa nollia. 23
24 Oheisessa kuvassa on esitetty mainittu todennäköisyys, kun m = 8 ja r = 10. Nämä arvot ovat tietysti aivan liian pienet ollakseen käytännössä kovin mielenkiintoisia. r vastaa taajuutta /10 = 25.6, joka näkyy monikertoineen kuvassa hyvin selvästi. Sangen todennäköisesti mitattu l on lähellä jotain näistä. A.8 Näin saadaan arvo l, joka on likimain jokin taajuuden 2 m /r 24
25 monikerta, ts. on j jolle j r = l 2 m. r voidaan ehkä löytää kokeillen lähtien rationaaliluvusta l/2 m. Joka tapauksessa, käyttäen hyväksi kohdan #A.1 ehtoa m:lle voidaan ns. Diofantoksen approksimaatiolla tai ketjumurtoluvuilla löytää hyvin todennäköisesti oikea r. Hidas tekijöihinjako on oleellinen esimerkiksi RSA-kryptosysteemin turvallisuuden takaava tekijä. Isot kvanttitietokoneet siis tuhoaisivat sen (ja monia muitakin systeemejä). 25
26 Groverin etsintäalgoritmi (Lov Grover, 1996) Tehtävä on etsiä kantavektorien k (k = 1, 2,..., n) joukosta sellainen tila q, joka toteuttaa annetun ehdon. Ehto annetaan mustana laatikkona unitaarioperaattorina (-matriisina) U q k = q, jos k = q k, jos k q eli U q = I n 2 q q. Kvantti-Fourier-muunnoksella tms. (vrt. edellä) saadaan alustetuksi tila β = 1 n n k=1 k. 26
27 Algoritmissa tarvitaan lisäksi unitaarioperaattori (-matriisi) U β = 2 β β I n (ns. Groverin diffuusio). Geometrisesti U q on peilaus sellaisen koordinaattihypertason suhteen, joka on kohtisuorassa q :ta vastaan. Samoin U β on peilaus β :n määräämän suoran suhteen. Algoritmi on yksinkertaisesti seuraava: Lähtien alustetusta tilasta q iteroi r kertaa operaatiota U q U β. Koko ajan pysytään vektorien q ja β virittämässä aliavaruudessa (tasossa). Ilmeisesti q β = 1 n, joten cos γ = 1 n, 27
28 missä γ = ( q, β ). Pienellä laskulla näkee, että U q U β on itse asiassa rotaatio q :n ja β :n virittämässä tasossa kulman π 2γ = 2 arcsin 1 n = 2 n verran. Iterointikertojen määrä r on siis kertalukua n. Todennäköisyys saada mittauksella esille q saadaan suuntakosinista: cos 2 ( γ r(π 2γ) ), josta maksimoimalla saadaan r = π n 4. Klassisesti tarvitaan n askelta ja keskimäärinkin n 2 askelta. 28
29 Muita algoritmeja Shorin kvanttialgoritmi diskreetin logaritmin laskemiseksi Etsittävä i, kun g, p (alkuluku) sekä (g i, mod p) tiedetään. Nopeaa klassista algoritmia ei tunneta. Deutsch Josza-algoritmi Testattava onko mustana laatikkona annettu n bittimuuttujan bittiarvoinen funktio f vakiofunktio, kun tiedetään että muussa tapauksessa se saa yhtä monta 0-arvoa kuin 1-arvoakin. Klassinen algoritmi vie pahimmassa tapauksessa 2 n /2 + 1 = 2 n askelta, kvanttialgoritmi yhden askeleen! Varsinaisia sovelluksia ei liene. 29
30 Piilevän aliryhmän etsiminen Algebran tehtävä, jolle ei tiedetä nopeaa klassista algoritmia. Shorin algoritmit voidaan katsoa tämän erikoistapauksiksi, kyseessä on siis eräänlainen yleiskvanttialgoritmi. Muita formalismeja Adiabaattinen kvanttilaskenta Alustetaan alkutilaksi unitaarioperaattorin U alku alin ominaistila (vastaa pienintä ominaisarvoa). Lopputila on (ideaalisesti) toisen unitaarioperaattorin U loppu alin ominaistila, josta mittaamalla saadaan tuloste. 30
31 Liikkumalla suoraa U t = (1 t)u alku + tu loppu (0 t 1) hitaasti (adiabaattisesti) saadaan lopuksi lopputila, ainakin melko tarkasti (ns. Adiabaattilauseen mukaan). Tehokkuus riippuu operaattorien U t alimman spektrivälin pituuksista. Kestää hyvin dekoherenssia, kvanttikohinaa jms. ja on universaali. Mittausperustainen eli yksisuuntainen kvanttilaskenta Alustetaan mutkikas kvanttitila (resurssitila), jossa on runsaasti lomittumista, ns. klusteritila eli graafitila. Varsinainen lasku 31
32 muodostuu useista peräkkäisistä yhden kvanttibitin mittauksista. Mittaus voi riippua edellisten mittausten tuloksista. On universaali laskentamalli. Nämä molemmat tuovat mieleen äärellisen kvanttiautomaatin. Kirjallisuutta: NIELSEN, M.A. & CHUANG, I.L.: Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press (2011) HIRVENSALO, M.: Quantum Computing. Springer (2010) KAYE, P. & LAFLAMME, R. & MOSCA, M.: An Introduction to Quantum Computing. Oxford University Press (2007) 32
Etsintäongelman kvanttialgoritmi. Jari Tuominiemi
Etsintäongelman kvanttialgoritmi Jari Tuominiemi Helsinki 22.11.2004 Vaihtoehtoiset laskentaparadigmat -seminaari HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos i Sisältö 1 Johdanto 1 2 Kvanttilaskennan
LisätiedotTekijöihinjaon kvanttialgoritmi
Tekijöihinjaon kvanttialgoritmi Vesa Kivistö Helsinki 14.11.2004 Vaihtoehtoiset laskentaparadigmat -seminaari HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Sisältö 1 Johdanto... 3 2 Hadamard ja Walsh-Hadamard
LisätiedotJohdatus kvantti-informatiikkaan
Johdatus kvantti-informatiikkaan Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Johdanto Taustaa esim. Nielsen & Chuang: Quantum Computation and Quantum Information Kvantti-informatiikka
LisätiedotShorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm
Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua
LisätiedotKvanttitietokoneet, kvanttilaskenta ja kvanttikryptografia. Kvanttimekaniikka. Kvanttimekaniikan perusperiaatteet. Kvanttimekaniikan sovelluksia
Tietotekniikan perusteet - Luento 3 Kvanttitietokoneet, kvanttilaskenta ja kvanttikrptograia Kvanttimekaniikka Kvanttimekaniikka: Aineen kättätmistä kuvaava siikan perusteoria. Mikroskooppisella tasolla
LisätiedotJohdatus kvantti-informatiikkaan
Johdatus kvantti-informatiikkaan Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Elektroniikan ja nanotekniikan laitos Kevät 2018 Johdanto Lukemistona esim. Nielsen & Chuang: Quantum Computation and Quantum Information
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
Lisätiedot1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.
Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 206 Kierros 0, 2. 24. maaliskuuta Huom! Perjantaina 25. maaliskuuta ei ole laskareita (pitkäperjantai), käykää vapaasti valitsemassanne ryhmässä aiemmin viikolla.
LisätiedotMS-A0003/A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6
MS-A3/A - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 Ratkaisuehdotelmia. Diagonalisointi on hajotelma A SΛS, jossa diagonaalimatriisi Λ sisältää matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat näitä ominaisarvoja
LisätiedotCh7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.2 BCH-koodin dekoodaus Tarkastellaan t virhettä korjaavaa n-pituista BCH-koodia. Olkoon α primitiivinen n:s ykkösen juuri, c = c(x)
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotAlijärjestelmän mittaus ja muita epätäydellisiä mittauksia
T-79.4001 Tietojenkäsittelyteorian seminaari 0..008 1 Alijärjestelmän mittaus ja muita epätäydellisiä mittauksia Loepp & Wootters, Protecting Information, luvut.4-.5 T-79.4001 Tietojenkäsittelyteorian
Lisätiedot2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
LisätiedotOngelma 1: Onko datassa tai informaatiossa päällekkäisyyttä?
Ongelma 1: Onko datassa tai informaatiossa päällekkäisyyttä? 2012-2013 Lasse Lensu 2 Ongelma 2: Voidaanko dataa tai informaatiota tallettaa tiiviimpään tilaan koodaamalla se uudelleen? 2012-2013 Lasse
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotLaskennan teoria (kevät 2006) Harjoitus 3, ratkaisuja
581336 Laskennan teoria (kevät 2006) Harjoitus 3, ratkaisuja 1. S! axc X! axc X! by c Y! by c Y! " 2. (a) Tehtävänä on konstruoida rajoittamaton kielioppi, joka tuottaa kielen f0 n 1 n jn 1g. Vaihe1: alkutilanteen
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
LisätiedotPaavo Kyyrönen & Janne Raassina
Paavo Kyyrönen & Janne Raassina 1. Johdanto 2. Historia 3. David Deutsch 4. Kvanttilaskenta ja superpositio 5. Ongelmat 6. Tutkimus 7. Esimerkkejä käyttökohteista 8. Mistä näitä saa? 9. Potentiaali 10.
LisätiedotPaulin spinorit ja spinorioperaattorit
Paulin spinorit ja spinorioperaattorit Spinoreita on useita erilaisia. Esimerkiksi Paulin, Dirackin ja Weyelin spinorit. Yhteisenä piirteenä eri spinoreilla on se, että kukin liittyy tavallisesti johonkin
LisätiedotKonformigeometriaa. 5. maaliskuuta 2006
Konformigeometriaa 5. maaliskuuta 006 1 Sisältö 1 Konformigeometria 1.1 Viivan esitys stereograasena projektiona............ 1. Euklidisen avaruuden konformaalinen malli........... 4 Konformikuvaukset
LisätiedotA ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.
Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =
LisätiedotLukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotSatunnaisalgoritmit. Topi Paavilainen. Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
Satunnaisalgoritmit Topi Paavilainen Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsinki, 23. helmikuuta 2014 1 Johdanto Satunnaisalgoritmit ovat algoritmeja, joiden
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotSIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 1 (26) Fourier-muunnos ja jatkuva spektri Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka esittäminen graafisesti edellyttää 3D-kuvaajan piirtämisen. Yleensä
LisätiedotSe mistä tilasta aloitetaan, merkitään tyhjästä tulevalla nuolella. Yllä olevassa esimerkissä aloitustila on A.
Tehtävä. Tämä tehtävä on aineistotehtävä, jossa esitetään ensin tehtävän teoria. Sen jälkeen esitetään neljä kysymystä, joissa tätä teoriaa pitää soveltaa. Mitään aikaisempaa tehtävän aihepiirin tuntemusta
LisätiedotTehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun
LisätiedotPistetulo eli skalaaritulo
Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit
Lisätiedot1 Tensoriavaruuksista..
1 Tensoriavaruuksista.. Käydään läpi kirjan (1) sivut 126-133. 19.02.2007 Palautetaaieleen viime kerran tärkeä määritelmä: (kirja, Määr. 5.12). Määritelmä 1.1 Olkoon T vektoriavaruus ja Φ : V 1 V 2 V m
LisätiedotEpädeterministisen Turingin koneen N laskentaa syötteellä x on usein hyödyllistä ajatella laskentapuuna
Epädeterministisen Turingin koneen N laskentaa syötteellä x on usein hyödyllistä ajatella laskentapuuna. q 0 x solmuina laskennan mahdolliset tilanteet juurena alkutilanne lehtinä tilanteet joista ei siirtymää,
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 29. toukokuuta 2013
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 29. toukokuuta 2013 Sisällys Chomskyn hierarkia (ja muutakin) kieli LL(k) LR(1) kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain
LisätiedotFYSA2031 Potentiaalikuoppa
FYSA2031 Potentiaalikuoppa Työselostus Laura Laulumaa JYFL YK216 laura.e.laulumaa@student.jyu.fi 16.10-2.11. 2017 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely ( 30 min) Harjoitellaan ohjelman käyttöä Harmoninen potentiaali
LisätiedotFermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma
Fermat n pieni lause Heikki Pitkänen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2009 Sisältö Johdanto 3 1. Fermat n pieni lause 3 2. Pseudoalkuluvut
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys
LisätiedotLisää pysähtymisaiheisia ongelmia
Lisää pysähtymisaiheisia ongelmia Lause: Pysähtymättömyysongelma H missä H = { w111x w validi koodi, M w ei pysähdy syötteellä x } ei ole rekursiivisesti lueteltava. Todistus: Pysähtymisongelman komplementti
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 26. tammikuuta 2012
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 26. tammikuuta 2012 Sisällys Luennon pähkinä Millä tavalla voidaan rakentaa tietokoneohjelma (tai kirjasto), joka
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 2. Lukujen esittäminen ja aritmetiikka 2.1 Kantajärjestelmät ja lukujen esittäminen Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,... } Positiiviset kokonaisluvut
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 1 Ti 10.1.2017 Timo Männikkö Luento 1 Algoritmi Algoritmin toteutus Ongelman ratkaiseminen Algoritmin tehokkuus Algoritmin suoritusaika Algoritmin analysointi Algoritmit 1 Kevät 2017
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotEsimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.
Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4
LisätiedotRekursiiviset palautukset [HMU 9.3.1]
Rekursiiviset palautukset [HMU 9.3.1] Yleisesti sanomme, että ongelma P voidaan palauttaa ongelmaan Q, jos mistä tahansa ongelmalle Q annetusta ratkaisualgoritmista voidaan jotenkin muodostaa ongelmalle
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotM = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q acc, q rej )
6. LASKETTAVUUSTEORIAA Churchin Turingin teesi: Mielivaltainen (riittävän vahva) laskulaite Turingin kone. Laskettavuusteoria: Tarkastellaan mitä Turingin koneilla voi ja erityisesti mitä ei voi laskea.
Lisätiedot6. Tekijäryhmät ja aliryhmät
6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotRatkeavuus ja efektiivinen numeroituvuus
Luku 6 Ratkeavuus ja efektiivinen numeroituvuus Proseduurit Olkoon A aakkosto. Proseduuri aakkoston A sanoille on mikä hyvänsä prosessi (algoritmi) P, jolle annetaan syötteeksi sana w A, ja joka etenee
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 16. marraskuuta 2015
ja ja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho NFA:ksi TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. marraskuuta 2015 Sisällys ja NFA:ksi NFA:ksi Kohti säännöllisiä lausekkeita ja Nämä tiedetään:
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotTodistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia, niin A on rekursiivinen.
Lause: Tyhjyysongelma ei ole osittain ratkeava; ts. kieli ei ole rekursiivisesti lueteltava. L e = { w { 0, 1 } L(M w ) = } Todistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia,
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotTIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008
TIEA34 Funktio-ohjelmointi, kevät 2008 Luento 3 Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 2. tammikuuta 2008 Ydin-Haskell: Syntaksi Lausekkeita (e) ovat: nimettömät funktiot: \x
LisätiedotDiracin yhtälö Björkenin ja Drellin formulaation mukaan on I 0. 0 i 1 0
Diracin spinorit. Määritelmiä Diracin yhtälö Björkenin ja Drellin formulaation mukaan on γ µ (i µ ea µ ψ = mψ, ψ C 4, missä matriisit γ µ ovat ( γ = γ = I I, γ k = γ k = ( σ k σ k missä edelleen I on 2
Lisätiedotδ : (Q {q acc, q rej }) (Γ k {, }) Q (Γ k {, }) {L, R}.
42 Turingin koneiden laajennuksia 1 oniuraiset koneet Sallitaan, että Turingin koneen nauha koostuu k:sta rinnakkaisesta urasta, jotka kaikki kone lukee ja kirjoittaa yhdessä laskenta-askelessa: Koneen
LisätiedotR : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on
0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotKokonaislukuoptimointi
Kokonaislukuoptimointi Algebrallisen geometrian sovelluksia Sisältö Taustaa algebrallisesta geometriasta Gröbnerin kanta Buchbergerin algoritmi Kokonaislukuoptimointi Käypyysongelma Algoritmi ratkaisun
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.34 Lineaarinen ohjelmointi..27 Luento 5 Simplexin implementaatioita (kirja 3.2-3.5) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 27 / Luentorunko (/2) Simplexin implementaatiot Naiivi Revised Full tableau Syklisyys
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotLUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että
LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,
LisätiedotChomskyn hierarkia ja yhteysherkät kieliopit
Chomskyn hierarkia ja yhteysherkät kieliopit Laskennan teorian opintopiiri Tuomas Hakoniemi 21. helmikuuta 2014 Käsittelen tässä laskennan teorian opintopiirin harjoitustyössäni muodollisten kielioppien
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3. Lineaariset koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 22 3.1 Lineaarisen koodin määrittely Olkoon F äärellinen kunta.
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotTilat ja observaabelit
Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 6. Alkeislukuteoria 6.1 Jaollisuus Käsitellään kokonaislukujen perusominaisuuksia: erityisesti jaollisuutta Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,...
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö
LisätiedotKvanttimekaniikan tulkinta
Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3.5 Reedin-Mullerin koodit Olkoon tässä kappaleessa F = F2 = Z2 ja n = 2 m. Määritellään avaruuteen F n kertolasku koordinaateittain:
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
Lisätiedotja jäännösluokkien joukkoa
3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi
LisätiedotTuringin koneen laajennuksia
Turingin koneen laajennuksia Turingin koneen määritelmään voidaan tehdä erilaisia muutoksia siten että edelleen voidaan tunnistaa tasan sama luokka kieliä. Moniuraiset Turingin koneet: nauha jakautuu k
Lisätiedot1 Kannat ja kannanvaihto
1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:
LisätiedotRajoittamattomat kieliopit
Rajoittamattomat kieliopit Ohjelmoinnin ja laskennan perusmalleista muistetaan, että kieli voidaan kuvata (esim.) kieliopilla joka tuottaa sen, tai automaatilla joka tunnistaa sen. säännölliset lausekkeet
LisätiedotLatinalaiset neliöt ja taikaneliöt
Latinalaiset neliöt ja taikaneliöt LuK-tutkielma Aku-Petteri Niemi Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2018 Sisältö Johdanto 2 1 Latinalaiset neliöt 3 1.1 Latinalainen neliö.........................
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotFYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö
FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 13. lokakuuta 2014 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan
LisätiedotLaskennan mallit (syksy 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja
582206 Laskennan mallit (syksy 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja 1. Seuraavissa laskennoissa tilat on numeroitu sarakkeittain ylhäältä alas jättäen kuitenkin hyväksyvä tila välistä. Turingin koneen laskenta
LisätiedotSymmetrisistä ryhmistä symmetriaryhmiin
Symmetrisistä ryhmistä symmetriaryhmiin 16. marraskuuta 2006 1 Symmetrisistä ryhmistä... Bijektiivistä kuvausta {1,..., n} {1,..., n} kutsutaan n-permutaatioksi. Merkitään n-permutaatioden joukkoa S n.
Lisätiedot