Laskennan mallit (syksy 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja

Save this PDF as:

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Laskennan mallit (syksy 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja"

Transkriptio

1 Laskennan mallit (syksy 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja 1. Seuraavissa laskennoissa tilat on numeroitu sarakkeittain ylhäältä alas jättäen kuitenkin hyväksyvä tila välistä. Turingin koneen laskenta syötteellä : q aq a0q a01q 1001 a010q 101 a0100q 11 a01001q 1 a0100q 21 a010q 30B a01q 400B a0q 4100B aq 40100B q 4a0100B aq 00100B aaq 1100B aa1q 100B aa10q 10B aa100q 1B aa10q 20B aa1q 30AB aaq 410AB aq 4a10AB aaq 010AB aabq 10AB aab0q 1AB aabq 20AB aaq 3bAAB aabq 5AAB aabaq 5AB aabaaq 5B aabaabq 5 aabaaq 6B aabaq 9AX aabq 9AAX aaq 9bAAX aaxq 10AAX aaxaq 8AX aaxaaq 8X aaxaq 6AX aaxq 7AXX aaq 7XAXX aq 7aXAXX axq 10XAXX axxq 10AXX axxaq 8XX axxq 6AXX axq 7XXXX aq 7XXXXX q 7aXXXXX Xq 10XXXXX XXq 10XXXX XXXq 10XXX XXXXq 10XX XXXXXq 10X XXXXXXq 10 XXXXXX q acc Turingin koneen laskenta syötteellä : q bq b0q b01q 1001 b010q 101 b0100q 11 b01001q 1 b0100q 21 b010q 30B b01q 400B b0q 4100B bq 40100B q 4b0100B bq 00100B baq 1100B ba1q 100B ba10q 10B ba100q 1B ba10q 20B ba1q 30AB baq 410AB bq 4a10AB baq 010AB babq 10AB bab0q 1AB babq 20AB baq 3bAAB babq 5AAB babaq 5AB babaaq 5B babaabq 5 babaaq 6B babaq 9AX babq 9AAX baq 9bAAX baxq 10AAX baxaq 8AX baxaaq 8X baxaq 6AX baxq 7AXX baq 7XAXX bq 7aXAXX bxq 10XAXX bxxq 10AXX bxxaq 8XX bxxq 6AXX bxq 7XXXX bq 7XXXXX q 7bXXXXX Kaaviossa ei ole siirtymää tilasta q 7 merkillä b, joten automaatti hylkää merkkijonon. 1

2 2. Kielen { a i b j c i d j i, k N } tunnistava Turingin kone: a, b, X R c X, L a, b, X, Y L R a, R d Y, L b, R b, X, Y R R X R Y R acc R Y R X R Y R R 3. Kielen { a n b n c n n N } tunnistava kaksinauhainen Turingin kone: [ a, R X, R [ [ b, R c, R X X, L X, R [ [ b b c c, L, R [ a a, R [ [ acc 2

3 4. Perusidea on simuloida Turingin konetta jonoautomaatilla siten, että Turingin koneen tilannetta u 1... u n qv 1... v m, missä u i, v i Γ, vastaa jonon sisältö v 1 v 2... v m $u 1 u 2... u n, missä $ on uusi symboli. Jonossa ovat siis ensin Turingin koneen nauhalla nauhapäästä oikealle olevat merkit v i, sitten erotinmerkki $ ja lopuksi nauhan alussa olevat merkit u i. Turingin koneen tilaa säilytetään osana jonoautomaatin tilaa. Nauhapään siirtyminen oikealle on helppo toteuttaa: jos δ(q, v 1 ) = (r, b, R), niin niin poimitaan jonon kärjestä v 1 ja painetaan loppuun b, jolloin saadaan tilannetta u 1... u n bq v 2... v m, kuvaava jono v 2... v m $u 1... u n b. Nauhapään siirtäminen vasemmalle on hieman hankalampaa. Toteutuksen helpottamiseksi ajatellaan, että jonoautomaatissa on kaksi rekisteriä Head ja Tail, jotka kumpikin voivat sisältää yhden nauhasymbolin. Koska tässä tarvitaan vain kiinteä äärellinen määrä muistia (tarkemmin 2 log 2 Γ bittiä), se voidaan toteuttaa äärellisen tilajoukon avulla. (Asetetaan uudeksi tilajoukoksi Q Γ Γ, jolloin tila (q, h, t) esittää alkuperäisen automaatin tilaa q siten, että Head = h ja Tail = t.) Turingin koneen tilanne u 1... u n qv 1... v m esitetään nyt laittamalla jonoon v 2... v m $u 1... u n 1 ja asettamalla Head = v 1 ja Tail = u n. Turingin koneen siirtymä tilasta q simuloidaan nyt Olkoon h = Head, t = Tail ja δ(q, h) = (r, b, D). Jos D = R, toimitaan suoraviivaisesti edellä esitetyn idean mukaan: (a) simulaation uusi tila on r (b) Head := Dequeue (c) Enqueue(t) (d) Tail := b Ylläoleva olettaa, että h $. Jos h = $ eli simuloitava Turingin kone on nauhan käytetyn osuuden lopussa, menetellään hieman toisin. Oletetaan δ(q, ) = (r, b, R). (a) simulaation uusi tila on r (b) Enqueue(t) (c) Tail := b Siis rekisterin Head sisältönä pysyy $, joka tulkitaan tyhjämerkiksi. Tapaus D = L edellyttää jonon siirtämistä yksi askel takaisinpäin, mikä toteutetaan pyörittämällä sitä l 1 askelta eteenpäin, missä l on jonon pituus. Siis uusi tila on r, ja jonoa päivitetään (a) Head := b (b) Merkkaa rekisterissä Tail oleva symboli (ts. aseta Tail := ˆt, missä ˆt on aakkostoon lisätty merkattu t ). (c) Toista seuraavaa, kunnes rekisteriin Head tulee merkattu symboli: Enqueue(Tail) Tail := Head Head := Dequeue. Poista merkkaus. Nyt siis vanha Tail on uusi Head, ja varsinaisen jonon ensimmäinen alkio on aluksi luotu uusi b. Tapauksessa h = $ toimitaan taas hieman toisin. Olkoon δ(q, ) = (r, b, L). Jonoa päivitetään (a) Merkkaa rekisterissä Tail oleva symboli. (b) Enqueue(Tail) (c) Tail := b (d) Toista seuraavaa, kunnes rekisteriin Head tulee merkattu symboli: 3

4 Enqueue(Tail) Tail := Head Head := Dequeue. Poista merkkaus. 5. (a) Lause: Jos A ja B ovat ratkeavia kieliä, niin myös A B, A B ja A ovat. Todistus: Olkoot M A ja M B ratkaisijoita, joilla L(M A ) = A ja L(M B ) = B. Kieli A B voidaan tunnistaa 2-nauhaisella Turingin koneella M A B, joka syötteellä w toimii i. Kopioi syöte w nauhalle 2. Simuloi koneen M A laskentaa käyttäen nauhaa 2 työnauhana. Jos M A hyväksyisi, niin hyväksy. Jos M A hylkäisi, niin siirry kohtaan 2. ii. Palauta nauhan 2 sisällöksi w (nauhalta 1). Simuloi koneen M B laskentaa käyttäen nauhaa 2 työnauhana. Jos M B hylkäisi, niin hylkää. Jos M B hyväksyisi, niin hyväksy. Koska M A ja M B pysähtyvät kaikilla syötteillä, myös M A B pysähtyy. Lisäksi M A B hyväksyy, jos ja vain jos M A hyväksyy tai M B hyväksyy. Siis M A B ratkaisee kielen A B. Samaan tapaan nähdään, että A B on ratkeava. Muodostetaan kone M A B, joka toimii i. Kopioi syöte w nauhalle 2. Simuloi koneen M A laskentaa käyttäen nauhaa 2 työnauhana. Jos M A hylkäisi, niin hylkää. Jos M A hyväksyisi, niin siirry kohtaan 2. ii. Palauta nauhan 2 sisällöksi w (nauhalta 1). Simuloi koneen M B laskentaa käyttäen nauhaa 2 työnauhana. Jos M B hylkäisi, niin hylkää. Jos M B hyväksyisi, niin hyväksy. Selvästi M A B ratkaisee kielen A B. Muodostetaan koneesta M A kone M A vaihtamalla tiloihin q accept ja q reject menevät siirtymät keskenään. Selvästi M A hyväksyy, jos ja vain jos M A hylkää, ja M A hylkää, jos ja vain jos M A hyväksyy. Koska A pysähtyy kaikilla syötteillä, niin myös M A pysähtyy. Siis M A ratkaisee kielen A. (b) Lause: Jos A ja B ovat Turing-tunnistettavia kieliä, niin myös A B ja A B ovat. Todistus: Olkoot M A ja M B Turingin koneita, joilla L(M A ) = A ja L(M B ) = B. Kieli A B voidaan tunnistaa samalla Turingin koneella M A B kuin edellisessä tehtävässä. Erona edelliseen tehtävään on, että annetulla syötteellä w toinen tai kumpikin koneista A tai B voi jäädä silmukkaan. Tällöin w L(M A B ). Koska toisaalta myös w L(M A ) tai w L(M B ), niin tämä on oikea tulos. Kieli A B voidaan tunnistaa epädeterministisellä Turingin koneella N A B, joka syötteellä w toimii Valitse epädeterministisesti jompi kumpi vaihtoehdoista (a) ja (b): i. Simuloi konetta M A syötteellä w. Jos M A hyväksyisi, niin hyväksy. Jos M A hylkäisi, niin hylkää. ii. Simuloi konetta M B syötteellä w. Jos M B hyväksyisi, niin hyväksy. Jos M B hylkäisi, niin hylkää. Jos w A, niin kone N A B päätyy hyväksymiseen valitsemalla (a). Jos w B, niin kone N A B päätyy hyväksymiseen valitsemalla (b). Jos w A ja w B, niin N A B ei päädy hyväksymiseen kummallakaan valinnalla. Siis L(N A B ) = A B. Muodostetaan toisaalta edellisen tehtävän tapaan koneesta M A kone M ea vaihtamalla tiloihin q accept ja q reject menevät siirtymät keskenään. Jos M A jää syötteellä w silmukkaan, niin myös M ea jää. Tällöin w L(M A ) ja w L(M ea ). Siis L(M ea ) = A pätee vain siinä tapauksessa, että M A pysähtyy kaikilla syötteillä. 6. Luettelijakone voitaisiin määritellä esimerkiksi näin: Luettelijakone on kaksinauhainen Turingin kone, joka liikkuu toisella nauhallaan vain oikealle. Kone voi käyttää ensimmäistä nauhaa vapaasti laskentaan aivan kuten tavallinen Turingin kone. Merkkijonoa w sanotaan koneen luettelemaksi jos jollain hetkellä toisella nauhalla on osamerkkijonona 4

5 w (merkkijono w ei saa kuitenkaan itse sisältää -merkkiä). Luettelijakoneen luettelema kieli on kaikkien tällaisten merkkijonojen w joukko. Luettelijakone siis kirjoittaa toiselle nauhalleen tyhjämerkeillä eroteltuina kielen merkkijonot. Vaihtoehtoisesti luettelijakone voitaisiin määritellä esimerkiksi myös näin: Luettelijakone on yksinauhainen Turingin kone, jossa on yksi erityinen tila q tulosta. Aina kun nauhalla on merkkijono w ja kone siirtyy tilaan q tulosta, sanotaan koneen on luetelleen merkkijonon w. Koneen luettelema kieli on niiden merkkijonojen joukko, jotka kone luettelee kun se käynnistetään tyhjällä nauhalla eli ilman syötettä. 5

Laskennan teoria (kevät 2006) Harjoitus 3, ratkaisuja

Laskennan teoria (kevät 2006) Harjoitus 3, ratkaisuja 581336 Laskennan teoria (kevät 2006) Harjoitus 3, ratkaisuja 1. S! axc X! axc X! by c Y! by c Y! " 2. (a) Tehtävänä on konstruoida rajoittamaton kielioppi, joka tuottaa kielen f0 n 1 n jn 1g. Vaihe1: alkutilanteen

Lisätiedot

Turingin koneen laajennuksia

Turingin koneen laajennuksia Turingin koneen laajennuksia Turingin koneen määritelmään voidaan tehdä erilaisia muutoksia siten että edelleen voidaan tunnistaa tasan sama luokka kieliä. Moniuraiset Turingin koneet: nauha jakautuu k

Lisätiedot

1. Universaaleja laskennan malleja

1. Universaaleja laskennan malleja 1. Universaaleja laskennan malleja Laskenta datan käsittely annettuja sääntöjä täsmällisesti seuraamalla kahden kokonaisluvun kertolasku tietokoneella, tai kynällä ja paperilla: selvästi laskentaa entä

Lisätiedot

Rajoittamattomat kieliopit

Rajoittamattomat kieliopit Rajoittamattomat kieliopit Ohjelmoinnin ja laskennan perusmalleista muistetaan, että kieli voidaan kuvata (esim.) kieliopilla joka tuottaa sen, tai automaatilla joka tunnistaa sen. säännölliset lausekkeet

Lisätiedot

M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q acc, q rej )

M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q acc, q rej ) 6. LASKETTAVUUSTEORIAA Churchin Turingin teesi: Mielivaltainen (riittävän vahva) laskulaite Turingin kone. Laskettavuusteoria: Tarkastellaan mitä Turingin koneilla voi ja erityisesti mitä ei voi laskea.

Lisätiedot

Lisää pysähtymisaiheisia ongelmia

Lisää pysähtymisaiheisia ongelmia Lisää pysähtymisaiheisia ongelmia Lause: Pysähtymättömyysongelma H missä H = { w111x w validi koodi, M w ei pysähdy syötteellä x } ei ole rekursiivisesti lueteltava. Todistus: Pysähtymisongelman komplementti

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 206 Kierros 0, 2. 24. maaliskuuta Huom! Perjantaina 25. maaliskuuta ei ole laskareita (pitkäperjantai), käykää vapaasti valitsemassanne ryhmässä aiemmin viikolla.

Lisätiedot

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,

Lisätiedot

δ : (Q {q acc, q rej }) (Γ k {, }) Q (Γ k {, }) {L, R}.

δ : (Q {q acc, q rej }) (Γ k {, }) Q (Γ k {, }) {L, R}. 42 Turingin koneiden laajennuksia 1 oniuraiset koneet Sallitaan, että Turingin koneen nauha koostuu k:sta rinnakkaisesta urasta, jotka kaikki kone lukee ja kirjoittaa yhdessä laskenta-askelessa: Koneen

Lisätiedot

Todistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia, niin A on rekursiivinen.

Todistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia, niin A on rekursiivinen. Lause: Tyhjyysongelma ei ole osittain ratkeava; ts. kieli ei ole rekursiivisesti lueteltava. L e = { w { 0, 1 } L(M w ) = } Todistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia,

Lisätiedot

Rekursiiviset palautukset [HMU 9.3.1]

Rekursiiviset palautukset [HMU 9.3.1] Rekursiiviset palautukset [HMU 9.3.1] Yleisesti sanomme, että ongelma P voidaan palauttaa ongelmaan Q, jos mistä tahansa ongelmalle Q annetusta ratkaisualgoritmista voidaan jotenkin muodostaa ongelmalle

Lisätiedot

Säännöllisen kielen tunnistavat Turingin koneet

Säännöllisen kielen tunnistavat Turingin koneet 186 Säännöllisen kielen tunnistavat Turingin koneet Myös säännöllisen kielen hyväksyvien Turingin koneiden tunnistaminen voidaan osoittaa ratkeamattomaksi palauttamalla universaalikielen tunnistaminen

Lisätiedot

Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki)

Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki) Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki) Unix-komennolla grep hahmo [ tiedosto ] voidaan etsia hahmon esiintymia tiedostosta (tai syotevirrasta): $ grep Kisaveikot SM-tulokset.txt $ ps aux

Lisätiedot

Laskennan rajoja. Sisällys. Meta. Palataan torstaihin. Ratkeavuus. Meta. Universaalikoneet. Palataan torstaihin. Ratkeavuus.

Laskennan rajoja. Sisällys. Meta. Palataan torstaihin. Ratkeavuus. Meta. Universaalikoneet. Palataan torstaihin. Ratkeavuus. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 17. lokakuuta 2016 Sisällys Harjoitustehtävätilastoa Tilanne 17.10.2016 klo 15:07 passed waiting redo submitters

Lisätiedot

Täydentäviä muistiinpanoja Turingin koneiden vaihtoehdoista

Täydentäviä muistiinpanoja Turingin koneiden vaihtoehdoista Täydentäviä muistiinpanoja Turingin koneiden vaihtoehdoista Antti-Juhani Kaijanaho 15. maaliskuuta 2012 1 Apumääritelmä Määritelmä 1. Olkoon Σ merkistö, jolla on olemassa täydellinen järjestys ( ) Σ 2.

Lisätiedot

vaihtoehtoja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho 13. lokakuuta 2016 TIETOTEKNIIKAN LAITOS

vaihtoehtoja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho 13. lokakuuta 2016 TIETOTEKNIIKAN LAITOS TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 13. lokakuuta 2016 Sisällys Harjoitustehtävätilastoa Tilanne 13.10.2016 klo 9:42 passed waiting redo submitters

Lisätiedot

3. Turingin koneet. osaa esittää yksinkertaisia algoritmeja täsmällisesti käyttäen Turingin konetta ja sen muunnelmia

3. Turingin koneet. osaa esittää yksinkertaisia algoritmeja täsmällisesti käyttäen Turingin konetta ja sen muunnelmia 3. Turingin koneet Turingin kone on alkuaan matemaattisen logiikan tarpeisiin kehitelty laskennan malli. Tarkoituksena oli vangita mahdollisimman laajasti, millaisia asioita voidaan (periaatteessa) laskea

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 31. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Chomskyn hierarkia kieli säännöllinen kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti

Lisätiedot

1. Universaaleja laskennan malleja

1. Universaaleja laskennan malleja 1. Universaaleja laskennan malleja Esimerkkinä universaalista laskennan mallista tarkastellaan Turingin konetta muunnelmineen. Lyhyesti esitellään myös muita malleja. Tämän luvun jälkeen opiskelija tuntee

Lisätiedot

Täydentäviä muistiinpanoja laskennan rajoista

Täydentäviä muistiinpanoja laskennan rajoista Täydentäviä muistiinpanoja laskennan rajoista Antti-Juhani Kaijanaho 10. joulukuuta 2015 1 Diagonaalikieli Diagonaalikieli on D = { k {0, 1} k L(M k ) }. Lause 1. Päätösongelma Onko k {0, 1} sellaisen

Lisätiedot

5.3 Ratkeavia ongelmia

5.3 Ratkeavia ongelmia 153 5.3 Ratkeavia ongelmia Deterministisen äärellisten automaattien (DFA) hyväksymisongelma: hyväksyykö annettu automaatti B merkkijonon w? Ongelmaa vastaava formaali kieli on A DFA = { B, w B on DFA,

Lisätiedot

4. Tehtävässä halutaan todistaa seuraava ongelma ratkeamattomaksi:

4. Tehtävässä halutaan todistaa seuraava ongelma ratkeamattomaksi: T-79.148 Kevät 2004 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 12 Demonstraatiotehtävien ratkaisut 4. Tehtävässä halutaan todistaa seuraava ongelma ratkeamattomaksi: Hyväksyykö annettu Turingin kone

Lisätiedot

on rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen.

on rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen. 6.5 Turingin koneiden pysähtymisongelma Lause 6.9 Kieli H = { M pysähtyy syötteellä w} on rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen. Todistus. Todetaan ensin, että kieli H on rekursiivisesti

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 4, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 4, ratkaisuja 582206 Laskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 4, ratkaisuja 1. Esitä tilakaaviona NFA N = (Q, Σ, δ, q 0, F ), missä Q = { q 0, q 1, q 2, q 3, q 4, q 5, q 6, q 7 }, Σ = { a, b, c }, F = { q 4 } ja δ on

Lisätiedot

Kielenä ilmaisten Hilbertin kymmenes ongelma on D = { p p on polynomi, jolla on kokonaislukujuuri }

Kielenä ilmaisten Hilbertin kymmenes ongelma on D = { p p on polynomi, jolla on kokonaislukujuuri } 135 4.3 Algoritmeista Churchin ja Turingin formuloinnit laskennalle syntyivät Hilbertin vuonna 1900 esittämän kymmenennen ongelman seurauksena Oleellisesti Hilbert pyysi algoritmia polynomin kokonaislukujuuren

Lisätiedot

Äärellisten automaattien ja säännöllisten kielten ekvivalenssi

Äärellisten automaattien ja säännöllisten kielten ekvivalenssi Äärellisten automaattien ja säännöllisten kielten ekvivalenssi Osoitamme seuraavan keskeisen tuloksen: Lause 1.8: [Sipser Thm. 1.54] Kieli on säännöllinen, jos ja vain jos jokin säännöllinen lauseke esittää

Lisätiedot

9.5. Turingin kone. Turingin koneen ohjeet. Turingin kone on järjestetty seitsikko

9.5. Turingin kone. Turingin koneen ohjeet. Turingin kone on järjestetty seitsikko 9.5. Turingin kone Turingin kone on järjestetty seitsikko TM = (S, I, Γ, O, B, s 0, H), missä S on tilojen joukko, I on syöttöaakkosto, Γ on nauha-aakkosto, I Γ, O on äärellinen ohjeiden joukko, O S Γ

Lisätiedot

Laskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 6. maaliskuuta 2012 TIETOTEKNIIKAN LAITOS.

Laskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 6. maaliskuuta 2012 TIETOTEKNIIKAN LAITOS. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 6. maaliskuuta 2012 Sisällys Sisällys Päätösongelmat Ongelma on päätösongelma (engl. decision problem), jos se on

Lisätiedot

Laskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 20. kesäkuuta 2013 TIETOTEKNIIKAN LAITOS.

Laskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 20. kesäkuuta 2013 TIETOTEKNIIKAN LAITOS. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 20. kesäkuuta 2013 Sisällys Päätösongelmat Ongelma on päätösongelma (engl. decision problem), jos se on muotoa Onko

Lisätiedot

Epädeterministisen Turingin koneen N laskentaa syötteellä x on usein hyödyllistä ajatella laskentapuuna

Epädeterministisen Turingin koneen N laskentaa syötteellä x on usein hyödyllistä ajatella laskentapuuna Epädeterministisen Turingin koneen N laskentaa syötteellä x on usein hyödyllistä ajatella laskentapuuna. q 0 x solmuina laskennan mahdolliset tilanteet juurena alkutilanne lehtinä tilanteet joista ei siirtymää,

Lisätiedot

Yhteydettömän kieliopin jäsennysongelma

Yhteydettömän kieliopin jäsennysongelma Yhteydettömän kieliopin jäsennysongelma Yhteydettömän kieliopin jäsennysongelmalla tarkoitetaan laskentaongelmaa Annettu: yhteydetön kielioppi G, merkkijono w Kysymys: päteekö w L(G). Ongelma voidaan periaatteessa

Lisätiedot

Laskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 10. joulukuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS.

Laskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 10. joulukuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 10. joulukuuta 2015 Sisällys TM vs yleiset kieliopit Lause Jokaiselle kielelle A seuraavat ovat yhtäpitävät: 1.

Lisätiedot

(0 1) 010(0 1) Koska kieli on yksinkertainen, muodostetaan sen tunnistava epädeterministinen q 0 q 1 q 2 q3

(0 1) 010(0 1) Koska kieli on yksinkertainen, muodostetaan sen tunnistava epädeterministinen q 0 q 1 q 2 q3 T-79.48 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Tentti 25..23 mallivastaukset. Tehtävä: Kuvaa seuraavat kielet sekä säännölisten lausekkeiden että determinististen äärellisten automaattien avulla: (a) L = {w

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 19. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 19. syyskuuta 2016 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 19. syyskuuta 2016 Sisällys Neuvoja opintoihin tee joka päivä ainakin vähän uskalla mennä epämukavuusalueelle en

Lisätiedot

Testaa: Vertaa pinon merkkijono syötteeseen merkki kerrallaan. Jos löytyy ero, hylkää. Jos pino tyhjenee samaan aikaan, kun syöte loppuu, niin

Testaa: Vertaa pinon merkkijono syötteeseen merkki kerrallaan. Jos löytyy ero, hylkää. Jos pino tyhjenee samaan aikaan, kun syöte loppuu, niin Yhteydettömien kielioppien ja pinoautomaattien yhteys [Sipser s. 117 124] Todistamme, että yhteydettömien kielioppien tuottamat kielet ovat tasan samat kuin ne, jotka voidaan tunnistaa pinoautomaatilla.

Lisätiedot

Chomskyn hierarkia ja yhteysherkät kieliopit

Chomskyn hierarkia ja yhteysherkät kieliopit Chomskyn hierarkia ja yhteysherkät kieliopit Laskennan teorian opintopiiri Tuomas Hakoniemi 21. helmikuuta 2014 Käsittelen tässä laskennan teorian opintopiirin harjoitustyössäni muodollisten kielioppien

Lisätiedot

Turingin koneet. Sisällys. Aluksi. Turingin koneet. Turingin teesi. Aluksi. Turingin koneet. Turingin teesi

Turingin koneet. Sisällys. Aluksi. Turingin koneet. Turingin teesi. Aluksi. Turingin koneet. Turingin teesi TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 17. kesäkuuta 2013 Sisällys Chomskyn hierarkia (ja vähän muutakin) kieli säännöllinen LL(k) LR(1) kontekstiton kontekstinen

Lisätiedot

2. Laskettavuusteoriaa

2. Laskettavuusteoriaa 2. Laskettavuusteoriaa Käymme läpi ratkeamattomuuteen liittyviä ja perustuloksia ja -tekniikoita [HMU luku 9]. Tämän luvun jälkeen opiskelija tuntee joukon keskeisiä ratkeamattomuustuloksia osaa esittää

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 12. marraskuuta 2015

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 12. marraskuuta 2015 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. marraskuuta 2015 Sisällys Muistathan A B -konstruktion 0 k 1 i 2 s 3 s 4 a 5 0 k 1 o 2 i 3 r 4 a 5 00 k 11 i

Lisätiedot

Muunnelmia Turingin koneista sekä muita vaihtoehtoisia malleja

Muunnelmia Turingin koneista sekä muita vaihtoehtoisia malleja sekä muita TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 19. kesäkuuta 2013 Sisällys Chomskyn hierarkia (ja vähän muutakin) kieli säännöllinen LL(k) LR(1) kontekstiton

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 12. lokakuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 12. lokakuuta 2016 ja ja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. lokakuuta 2016 Sisällys ja ja Vuosi on 1936, eikä tietokoneita ollut. Computer oli ammattinimike. http://www.nasa.gov/centers/dryden/

Lisätiedot

Turingin koneet. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 7. joulukuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS.

Turingin koneet. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 7. joulukuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 7. joulukuuta 2015 Sisällys Vuosi on 1936, eikä tietokoneita ollut. Computer oli ammattinimike. http://www.nasa.gov/centers/dryden/

Lisätiedot

Rekursiolause. Laskennan teorian opintopiiri. Sebastian Björkqvist. 23. helmikuuta Tiivistelmä

Rekursiolause. Laskennan teorian opintopiiri. Sebastian Björkqvist. 23. helmikuuta Tiivistelmä Rekursiolause Laskennan teorian opintopiiri Sebastian Björkqvist 23. helmikuuta 2014 Tiivistelmä Työssä käydään läpi itsereplikoituvien ohjelmien toimintaa sekä esitetään ja todistetaan rekursiolause,

Lisätiedot

Rajoittamattomat kieliopit (Unrestricted Grammars)

Rajoittamattomat kieliopit (Unrestricted Grammars) Rajoittamattomat kieliopit (Unrestricted Grammars) Laura Pesola Laskennanteorian opintopiiri 13.2.2013 Formaalit kieliopit Sisältävät aina Säännöt (esim. A -> B C abc) Muuttujat (A, B, C, S) Aloitussymboli

Lisätiedot

6.5 Turingin koneiden pysähtymisongelma Lause 6.9 Kieli. H = {c M w M pysähtyy syötteellä w}

6.5 Turingin koneiden pysähtymisongelma Lause 6.9 Kieli. H = {c M w M pysähtyy syötteellä w} 6.5 Turingin koneiden pysähtymisongelma Lause 6.9 Kieli H = {c w pysähtyy syötteellä w} on rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen. Todistus. Todetaan ensin, että kieli H on rekursiivisesti

Lisätiedot

Algoritmin määritelmä [Sipser luku 3.3]

Algoritmin määritelmä [Sipser luku 3.3] Algoritmin määritelmä [Sipser luku 3.3] Mitä algoritmilla yleensä tarkoitetaan periaatteessa: yksiselitteisesti kuvattu jono (tietojenkäsittely)operaatioita, jotka voidaan toteuttaa mekaanisesti käytännössä:

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 29. toukokuuta 2013

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 29. toukokuuta 2013 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 29. toukokuuta 2013 Sisällys Chomskyn hierarkia (ja muutakin) kieli LL(k) LR(1) kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti

Lisätiedot

Säännöllisten kielten sulkeumaominaisuudet

Säännöllisten kielten sulkeumaominaisuudet Säännöllisten kielten sulkeumaominaisuudet Osoitamme nyt, että säännöllisten kielten joukko on suljettu yhdisteen, konkatenaation ja tähtioperaation suhteen. Toisin sanoen jos A ja B ovat säännöllisiä,

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 8. maaliskuuta 2012

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 8. maaliskuuta 2012 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. maaliskuuta 2012 Sisällys Ongelma-analyysiä Sisällys Ongelma-analyysiä Hypoteettinen ongelma The Elite Bugbusters

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 16. marraskuuta 2015

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 16. marraskuuta 2015 ja ja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho NFA:ksi TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. marraskuuta 2015 Sisällys ja NFA:ksi NFA:ksi Kohti säännöllisiä lausekkeita ja Nämä tiedetään:

Lisätiedot

TKT20005 Laskennan mallit (syksy 2018) Kurssikoe, malliratkaisut

TKT20005 Laskennan mallit (syksy 2018) Kurssikoe, malliratkaisut TKT20005 Laskennan mallit (syksy 2018) Kurssikoe, malliratkaisut Pisteytys on ilmoitettu välikoevaihtoehdon mukaan (joko tehtävät 1, 2 ja 3 välikokeen 1 uusintana tai tehtävät 4, 5 ja 6 välikokeen 2 uusintana).

Lisätiedot

2. Laskettavuusteoriaa

2. Laskettavuusteoriaa 2. Laskettavuusteoriaa Kaymme lapi ratkeamattomuuteen liittyvia ja perustuloksia ja -tekniikoita [HMU luku 9]. Taman luvun jalkeen opiskelija tuntee joukon keskeisia ratkeamattomuustuloksia osaa esittaa

Lisätiedot

M =(K, Σ, Γ,, s, F ) Σ ={a, b} Γ ={c, d} = {( (s, a, e), (s, cd) ), ( (s, e, e), (f, e) ), (f, e, d), (f, e)

M =(K, Σ, Γ,, s, F ) Σ ={a, b} Γ ={c, d} = {( (s, a, e), (s, cd) ), ( (s, e, e), (f, e) ), (f, e, d), (f, e) Tik-79.148 Kevät 2001 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Laskuharjoitus 7 Demonstraatiotehtävien ratkaisut 1. Pinoautomaatti M = K Σ Γ s F missä K Σ s ja F on määritelty samalla tavalla kuin tilakoneellekin.

Lisätiedot

Pinoautomaatit. Pois kontekstittomuudesta

Pinoautomaatit. Pois kontekstittomuudesta TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 3. joulukuuta 2015 Sisällys Pinoautomaatti NFA:n yleistys automaatilla on käytössään LIFO-muisti 1 eli pino Pino

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 19. tammikuuta 2012

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 19. tammikuuta 2012 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 19. tammikuuta 2012 Sisällys Sisällys Muistathan A B -konstruktion 0 k 1 i 2 s 3 s 4 a 5 0 k 1 o 2 i 3 r 4

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 5. marraskuuta 2015

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 5. marraskuuta 2015 TIEA24 Automaatit ja kieliopit, syksy 205 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 5. marraskuuta 205 Sisällys Käsiteanalyysiä Tarkastellaan koodilukkoa äärellisenä automaattina. Deterministinen äärellinen

Lisätiedot

Säännölliset kielet. Sisällys. Säännölliset kielet. Säännölliset operaattorit. Säännölliset kielet

Säännölliset kielet. Sisällys. Säännölliset kielet. Säännölliset operaattorit. Säännölliset kielet TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 24. toukokuuta 2013 Sisällys Formaalit kielet On tapana sanoa, että merkkijonojen joukko on (formaali) kieli. Hieman

Lisätiedot

Automaatit. Muodolliset kielet

Automaatit. Muodolliset kielet Automaatit Automaatit ovat teoreettisia koneita, jotka käsittelevät muodollisia sanoja. Automaatti lukee muodollisen sanan kirjain kerrallaan, vasemmalta oikealle, ja joko hyväksyy tai hylkää sanan. Täten

Lisätiedot

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys. Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen

Lisätiedot

Yllä osoitettiin, että säännöllisten kielten joukko on suljettu yhdisteen

Yllä osoitettiin, että säännöllisten kielten joukko on suljettu yhdisteen Yllä osoitettiin, että säännöllisten kielten joukko on suljettu yhdisteen suhteen, eli jos kielet A ja B ovat säännöllisiä, niin myös A B on. Tätä voi havainnollistaa seuraavalla kuvalla: P(Σ ) Säännölliset

Lisätiedot

3. Laskennan vaativuusteoriaa

3. Laskennan vaativuusteoriaa 3. Laskennan vaativuusteoriaa tähän asti puhuttu siitä, mitä on mahdollista laskea äärellisessä ajassa siirrytään tarkastelemaan laskemista kohtuullisessa ajassa vaihtoehtoisesti voidaan laskenta-ajan

Lisätiedot

ongelma A voidaan ratkaista ongelman B avulla, joten jossain mielessä

ongelma A voidaan ratkaista ongelman B avulla, joten jossain mielessä Edellä esitetyt kielten A TM ja HALT TM ratkeamattomuustodistukset ovat esimerkkejä palautuksesta (reduction). Intuitiivisesti ongelman A palauttaminen ongelmaan B tarkoittaa, että Oletetaan, että meillä

Lisätiedot

Rekursiivinen Derives on periaatteessa aivan toimiva algoritmi, mutta erittäin tehoton. Jos tarkastellaan esim. kieliopinpätkää

Rekursiivinen Derives on periaatteessa aivan toimiva algoritmi, mutta erittäin tehoton. Jos tarkastellaan esim. kieliopinpätkää Rekursiivinen Derives on periaatteessa aivan toimiva algoritmi, mutta erittäin tehoton. Jos tarkastellaan esim. kieliopinpätkää S AB CA... A CB...... ja kutsua Derives(S, abcde), niin kutsu Derives(B,

Lisätiedot

Jos sekaannuksen vaaraa ei ole, samastamme säännöllisen lausekkeen ja sen esittämän kielen (eli kirjoitamme R vaikka tarkoitammekin L(R)).

Jos sekaannuksen vaaraa ei ole, samastamme säännöllisen lausekkeen ja sen esittämän kielen (eli kirjoitamme R vaikka tarkoitammekin L(R)). Jos sekaannuksen vaaraa ei ole, samastamme säännöllisen lausekkeen ja sen esittämän kielen (eli kirjoitamme R vaikka tarkoitammekin L(R)). Esimerkkejä: Σ koostuu kaikista aakkoston Σ merkkijonoista ja

Lisätiedot

Ongelma(t): Mikä on Turingin kone? Miten Turingin kone liittyy funktioihin ja algoritmeihin? Miten Turingin kone liittyy tietokoneisiin?

Ongelma(t): Mikä on Turingin kone? Miten Turingin kone liittyy funktioihin ja algoritmeihin? Miten Turingin kone liittyy tietokoneisiin? Ongelma(t): Mikä on Turingin kone? Miten Turingin kone liittyy funktioihin ja algoritmeihin? Miten Turingin kone liittyy tietokoneisiin? 2013-2014 Lasse Lensu 2 Algoritmit ovat deterministisiä toimintaohjeita

Lisätiedot

Formalisoimme nyt edellä kuvatun laskennan.

Formalisoimme nyt edellä kuvatun laskennan. Formalisoimme nyt edellä kuvatun laskennan. Jos M = (Q, Σ, δ, q, F ) on äärellinen automaatti ja w = w... w n on n merkkiä pitkä aakkoston Σ merkkijono, niin automaatti M hyväksyy merkkijonon w, jos on

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. toukokuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. toukokuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. toukokuuta 2011 Sisällys engl. random-access machines, RAM yksinkertaistettu nykyaikaisen (ei-rinnakkaisen)

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 12. tammikuuta 2012

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 12. tammikuuta 2012 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. tammikuuta 2012 Sisällys Sisällys Äärellisiä automaatteja PUSH ON PUSH OFF Q T Q J C C H S C,Q C,Q 0 50s 1e

Lisätiedot

Kertausta 1. kurssikokeeseen

Kertausta 1. kurssikokeeseen Kertausta. kurssikokeeseen. kurssikoe on to 22.0. klo 9 2 salissa A (tai CK2). Koealueena johdanto ja säännölliset kielet luentokalvot 3 ja nämä kertauskalvot harjoitukset 6 Sipser, luvut 0 ja Edellisvuosien.

Lisätiedot

DFA:n käyttäytyminen ja säännölliset kielet

DFA:n käyttäytyminen ja säännölliset kielet säännölliset kielet TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 9. marraskuuta 2015 Sisällys toiminta formaalisti Olkoon M = (Q, Σ, δ, q 0, F) deterministinen

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 31. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Chomskyn hierarkia kieli säännöllinen kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti

Lisätiedot

7. Aikavaativuus. Ohjelmistotekniikan laitos OHJ-2300 Johdatus tietojenkäsittelyteoriaan, syksy

7. Aikavaativuus. Ohjelmistotekniikan laitos OHJ-2300 Johdatus tietojenkäsittelyteoriaan, syksy 212 7. Aikavaativuus Edellä tarkasteltiin ongelmien ratkeavuutta kiinnittämättä huomiota ongelman ratkaisun vaatimaan aikaan Nyt siirrytään tarkastelemaan ratkeavien ongelmien aikavaativuutta Periaatteessa

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Luento 10: Lisää ratkeamattomuudesta Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Tietotekniikan laitos Kevät 2016 Aiheet: Pysähtymisongelma Epätyhjyysongelma Rekursiiviset

Lisätiedot

Ratkeavuus ja efektiivinen numeroituvuus

Ratkeavuus ja efektiivinen numeroituvuus Luku 6 Ratkeavuus ja efektiivinen numeroituvuus Proseduurit Olkoon A aakkosto. Proseduuri aakkoston A sanoille on mikä hyvänsä prosessi (algoritmi) P, jolle annetaan syötteeksi sana w A, ja joka etenee

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 8, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 8, ratkaisuja 582206 Laskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 8, ratkaisuja 1. Tarkastellaan yhteydetöntä kielioppia S SAB ε A aa a B bb ε Esitä merkkijonolle aa kaksi erilaista jäsennyspuuta ja kummallekin siitä vastaava

Lisätiedot

Se mistä tilasta aloitetaan, merkitään tyhjästä tulevalla nuolella. Yllä olevassa esimerkissä aloitustila on A.

Se mistä tilasta aloitetaan, merkitään tyhjästä tulevalla nuolella. Yllä olevassa esimerkissä aloitustila on A. Tehtävä. Tämä tehtävä on aineistotehtävä, jossa esitetään ensin tehtävän teoria. Sen jälkeen esitetään neljä kysymystä, joissa tätä teoriaa pitää soveltaa. Mitään aikaisempaa tehtävän aihepiirin tuntemusta

Lisätiedot

uv n, v 1, ja uv i w A kaikilla

uv n, v 1, ja uv i w A kaikilla 2.8 Säännöllisten kielten rajoituksista Kardinaliteettisyistä on oltava olemassa (paljon) ei-säännöllisiä kieliä: kieliä on ylinumeroituva määrä, säännöllisiä lausekkeita vain numeroituvasti. Voidaanko

Lisätiedot

Pinoautomaatit. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 6. lokakuuta 2016 TIETOTEKNIIKAN LAITOS

Pinoautomaatit. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 6. lokakuuta 2016 TIETOTEKNIIKAN LAITOS .. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 6. lokakuuta 2016 Sisällys. Harjoitustehtävätilastoja Tilanne 6.10.2016 klo 8:28 passed potential redo submitters

Lisätiedot

Tietotekniikan valintakoe

Tietotekniikan valintakoe Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos Tietotekniikan valintakoe 2..22 Vastaa kahteen seuraavista kolmesta tehtävästä. Kukin tehtävä arvostellaan kokonaislukuasteikolla - 25. Jos vastaat useampaan

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 22. toukokuuta 2013

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 22. toukokuuta 2013 TIEA24 Automaatit ja kieliopit, kesä 3 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 22. toukokuuta 3 Sisällys Äärellisiä automaatteja ON PUSH PUSH OFF Q T J Q C C H S C,Q C,Q 0 40 60 80 00, 70 90 Deterministinen

Lisätiedot

Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista

Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Ennen yleisempiä teoriatarkasteluja katsotaan joitain tyypillisiä esimerkkejä ongelmista ja niiden vaativuudesta kaikki nämä ongelmat ratkeavia

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset Todennäköisyyslaskenta I, kesä 207 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus, ratkaisuehdotukset. Kokeet ja Ω:n hahmottaminen. Mitä tarkoittaa todennäköisyys on? Olkoon satunnaiskokeena yhden nopan

Lisätiedot

C C. x 2. x 3 x 3. Lause 3SAT p m VC Todistus. Olk. φ = C 1 C 2 C m 3-cnf-kaava, jossa esiintyvät muuttujat. φ toteutuva:

C C. x 2. x 3 x 3. Lause 3SAT p m VC Todistus. Olk. φ = C 1 C 2 C m 3-cnf-kaava, jossa esiintyvät muuttujat. φ toteutuva: Lause 3SAT p m VC Todistus. Olk. φ = C 1 C C m 3-cnf-kaava, jossa esiintyvät muuttujat x 1,..., x n. Vastaava solmupeiteongelman tapaus G, k muodostetaan seuraavasti. G:ssä on solmu kutakin literaalia

Lisätiedot

Muodolliset kieliopit

Muodolliset kieliopit Muodolliset kieliopit Luonnollisen kielen lauseenmuodostuksessa esiintyy luonnollisia säännönmukaisuuksia. Esimerkiksi, on jokseenkin mielekästä väittää, että luonnollisen kielen lauseet koostuvat nk.

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Luento 2: Äärelliset automaatit Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Tietotekniikan laitos Kevät 2016 Kertausta: kielet ja automaatit Laskennallisen ongelman ratkaisevia

Lisätiedot

Muita vaativuusluokkia

Muita vaativuusluokkia Muita vaativuusluokkia Käydään lyhyesti läpi tärkeimpiä vaativuusluokkiin liittyviä tuloksia. Monet tunnetuista tuloksista ovat vaikeita todistaa, ja monet kysymykset ovat vielä auki. Lause (Ladner 1975):

Lisätiedot

Muita universaaleja laskennan malleja

Muita universaaleja laskennan malleja Muita universaaleja laskennan malleja Tällä kurssilla Turingin kone on valittu algoritmikäsitteen formalisoinniksi. Toisin sanoen tulkitsemme, että laskentaongelmalle on olemassa algoritmi, jos ja vain

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 26. tammikuuta 2012

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 26. tammikuuta 2012 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 26. tammikuuta 2012 Sisällys Luennon pähkinä Millä tavalla voidaan rakentaa tietokoneohjelma (tai kirjasto), joka

Lisätiedot

Output. Input Automaton

Output. Input Automaton 16 Aakkostot, merkkijonot ja kielet Automaattiteoria diskreetin signaalinkäsittelyn perusmallit ja -menetelmät ( diskreettien I/O-kuvausten yleinen teoria) 1011 Input Automaton Output Automaatin käsite

Lisätiedot

Esimerkki 2.28: Tarkastellaan edellisen sivun ehdot (1) (3) toteuttavaa pinoautomaattia, jossa päätemerkit ovat a, b ja c ja pinoaakkoset d, e ja $:

Esimerkki 2.28: Tarkastellaan edellisen sivun ehdot (1) (3) toteuttavaa pinoautomaattia, jossa päätemerkit ovat a, b ja c ja pinoaakkoset d, e ja $: Esimerkki 2.28: Tarkastellaan edellisen sivun ehdot (1) (3) toteuttavaa pinoautomaattia, jossa päätemerkit ovat a, b ja c ja pinoaakkoset d, e ja $: a, ε d b, d ε ε, ε $ b, d ε 1 2 3 6 c, ε e c, ε e c,

Lisätiedot

6.1 Rekursiiviset palautukset

6.1 Rekursiiviset palautukset 6.1 Rekursiiviset palautukset Olk. = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q acc, q rej ) mv. standardimallinen Turingin kone ääritellään koneen laskema osittaisfunktio f : Σ Γ seur. u, jos q 0 w u q av, f (w) = q { q acc,

Lisätiedot

Olkoon G = (V,Σ,P,S) yhteydetön kielioppi. Välike A V Σ on tyhjentyvä, jos A. NULL := {A V Σ A ε on G:n produktio};

Olkoon G = (V,Σ,P,S) yhteydetön kielioppi. Välike A V Σ on tyhjentyvä, jos A. NULL := {A V Σ A ε on G:n produktio}; 3.6 Cocke-Younger-Kasami -jäsennysalgoritmi Osittava jäsentäminen on selkeä ja tehokas jäsennysmenetelmä LL(1)-kieliopeille: n merkin mittaisen syötemerkkijonon käsittely sujuu ajassa O(n). LL(1)-kieliopit

Lisätiedot

S BAB ABA A aas bba B bbs c

S BAB ABA A aas bba B bbs c T-79.148 Kevät 2003 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 8 Demonstraatiotehtävien ratkaisut 4. Tehtävä: Laadi algoritmi, joka testaa onko annetun yhteydettömän kieliopin G = V, Σ, P, S) tuottama

Lisätiedot

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)

Lisätiedot

Lause (Cook-Levin) Kieli SAT = { on toteutuva lausekalkyylin kaava } on NP-täydellinen.

Lause (Cook-Levin) Kieli SAT = { on toteutuva lausekalkyylin kaava } on NP-täydellinen. 261 Lause (Cook-Levin) Kieli SAT = { on toteutuva lausekalkyylin kaava } on NP-täydellinen. Pitää osoittaa siis, että A mp SAT mielivaltaisella A NP Ainoa, mitä A:sta tiedetään on, että sillä on polynomisessa

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Luento 8: Turingin koneet Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Tietotekniikan laitos Kevät 2016 Alue ja aiheet: Orposen prujun luvut 4.1 4.2, 6.1 Turingin koneiden

Lisätiedot

!""# $%&'( ' )' (*' " '' '( "! ' *'&' "! ' '( "!! )& "! # "! & "! ' "! $''!! &'&' $' '! $ & "!!" #!$ %! & '()%%'!! '!! # '&' &'!! &'&' *('(' &'!*! +& &*%!! $ & #" !!" "!!!" $ " # ' '&& % & #! # ' '&&

Lisätiedot

T Syksy 2006 Tietojenkäsittelyteorian perusteet T Harjoitus 7 Demonstraatiotehtävien ratkaisut

T Syksy 2006 Tietojenkäsittelyteorian perusteet T Harjoitus 7 Demonstraatiotehtävien ratkaisut T-79.1001 Syksy 2006 Tietojenkäsittelyteorian perusteet T Harjoitus 7 Demonstraatiotehtävien ratkaisut Lemma (Säännöllisten kielten pumppauslemma). Olkoon A säännöllinen kieli. Tällöin on olemassa n 1

Lisätiedot

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 2 vastaukset

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 2 vastaukset 815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 2 vastaukset Harjoituksen aiheena on BNF-merkinnän käyttö ja yhteys rekursiivisesti etenevään jäsentäjään. Tehtävä 1. Mitkä ilmaukset seuraava

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 8 Demonstraatiotehtävien ratkaisut

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 8 Demonstraatiotehtävien ratkaisut T-79.148 Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 8 Demonstraatiotehtävien ratkaisut 4. Tehtävä: Laadi algoritmi, joka testaa onko annetun yhteydettömän kieliopin G = V, Σ, P, S tuottama

Lisätiedot