Kokonaislukutehtävien formulointeja ( ) 1.4) Mirko Ruokokoski S ysteemianalyysin. Laboratorio. Mirko Ruokokoski

Transkriptio

1 Kokonaslukuthtävn formulonta (.-.4).4) Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 /

2 Ssälls Kokonaslukuthtävn formulonta Ertsst ärsttt oukot (spcal ordrd sts) Vahva formulont (strong formulaton) Formulonta, ossa muuttun a raotustn lukumäärä kasvaa ksponntaalsst suhtssa thtävän kokoon. Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 / 2

3 Johdanto Dskrttä optmontthtävä snt monssa asahtksssä. Dskrtt thtävä on: mn mssä F c() / ma c( ) s.. F, oukko ratkasukanddaatta (rllsä psttä), kohdfunkto a päätösmuuttua. Luonnollnn a sst. tapa mallntaa dskrttä thtävä on formuloda n lnaarsna kokonaslukuthtävnä. Vodaan mallntaa mös päln. kokonaslukuthtävnä, kuulu kurssn. Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 / 3

4 Optmontthtävn luokttlu Optmontthtävä on: mn s.. c' A b 0 Lnaarnn (LP), os kakk muuttuat atkuva. Kokonaslukuthtävä (ILP), os kakk muuttuat ovat kokonaslukua. Skalukuthtävä (MILP), os kokonaslukuraotus on osalla muuttusta. Bnäärnn (BILP), os kakk muuttuat saavat arvoa 0 ta. Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 / 4

5 Valntamuuttua Bnäärmuuttuan avulla vodaan mallntaa valnta kahdn päätöksn välllä, päätös = 0, päätös 2. Esmrkk: Slkärpun tättöonglma (Th knapsack problm) ma s.. n = n = c w K {0,} Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 / 5

6 Pakottava raotus (Forcng constrants) Päätös vodaan thdä oss päätös on tht El, os =0, nn =0, a os, =, nn =, ta =0 Vastaa mplkaatota. Esmrkk: Latoksn sottlu onglma (Faclt locaton problm) Vastaavast kvvalnssrlaato = El, os =0, nn =0, a os =, nn = Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 / 6

7 Tosstaan rppuvat pääp äätökst Jos korkntaan a vahtohtoa vodaan valta n:n oukosta n = a Vastaavast täsmälln a a vähntää a vahtohtoa n = n = = a, a Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 / 7

8 Vahtohtost raottt (dsunctv constrants) M kappaltta lnaarsa raotuksa a ' b mssä a 0. Vähntään k raotukssta totutuu: a ' m, b = k, { 0,} Jos a -nf, nn hto tul muotoon: a ' b ( ), w = k, m { 0,}, mssä w suur postvnn vako Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 / 8

9 Raotttu arvoalu Muuttua saa arvoa oukosta {a,...,a m } = m a, m = = =, {0,} Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 / 9

10 Loogst rppuvuudt Bnäärst päätösmuuttuat a 2 a bnäärmuuttua loogstn opraattordn tulos [Mäntsaar]. Esmrkkä: (vastaavast NAND, NOR, XOR ) AND (= 2 ) + OR (= U 2 ) Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 / 0

11 Palottan lnaarnn kohdfunkto Mnmodaan palottan lnaarnn ( välttämättä konvks) kohdfunkto f mn s.. λ =, = = a a 2 a 3 a 4 λ 0, {0, } = λ λ k k λ f ( a, λ + k ), k, = 2,..., k k =, mssä =, os a a +. Tällön λ =0 kaklla,+ Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 /

12 Esmrkk (/2) : Joukon ptto, pakkaus a ostus thtävät M kappaltta alkota a N kappaltta M:n osaoukkoa M,...,M N. N:n osaoukko F on M:n pt (covr), os U F M = M pakkaus (packng), os M M k = ostus (partton), os s on skä pt ttä pakkaus. Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 / 2

13 Esmrkk (2/2) Pt Pakkaus Ostus Jos, os M a = 0, muutn, tällön F on pt, pakkaus, ostus oss A, A, A = Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 / 3

14 Ertsst ärsttt oukot (/6) Joukko muuttua {,..., n } Ertsst ärsttt tpn oukko (SOS) [dfaras] Jos muuttusta korkntaan ks vo olla nollasta pokkava Ertsst ärsttt tpn 2 oukko (SOS2) [dfaras] Jos muuttusta korkntaan 2 vo olla nollasta pokkava a os 2 on nollasta pokkava, n ovat vrkkän. Kardnaalraotus (cardnalt constrant) [dfaras] SOS:n lsts Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 / 4

15 Ertsst ärsttt oukot (2/6) Tavallsst dllä mantut raotukst mallnntaan sttlmällä bnäärsä muuttua Esm SOS:n kohdalla stllään muut.,..., n a raotukst u n =, {,..., n}, (0 Ja SOS2:n kohdalla,..., n- u u u n n = n, n + u u ) {2,..., n }, Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 / 5

16 Ertsst ärsttt oukot (3/6) Nämä vodaan kutnkn mallntaa lman bnäärmuuttun lsäämstä huomomalla nämä raotukst B&B algortmssa. Muuttull annttava panokrtomt, odn prustlla muuttua haarauttaan. Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 / 6

17 Ertsst ärsttt oukot (4/6) Olkoon {,..., n } SOS a olttaan rlaksodun osathtävän ratkasussa muuttuat r a t ovat nollasta pokkava, mssä r<t l. Olkoon r s<t. Tällön pät... = 0 ta = s = s + =... = l = 0 Nätä kahta raotusta vodaan kättää akamaan osathtävä kahtn uutn osathtävään. Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 / 7

18 Ertsst ärsttt oukot (5/6) Normaalssa B&B:ssä lsätään kohtsuora raotuksa (sm =0 a =) Edllä mantussa nollataan usamp muuttua krralla Vodaanko tämä lähstmstapa lstää? Esm. lsäämällä raotukst k b a = k = b n = = a + Lähstmstapa mahdollsst hödllnn os E kannata kättää, os muuttun panoa voda ärkväst määrttää Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 / 8

19 Ertsst ärsttt oukot (6/6) Huomaa, ttä palottasn lnaarsn kohdfunkton mnmont vodaan mallntaa SOS2:na Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 / 9

20 Formulonnn laatu Formulonnn laatua vodaan arvoda montahokkaan kävän oukon avulla. Jos PA P B tällön formulont A on vähntään htä vomakas kun B:n, mssä P A on formulonnn A lnaarsn rlaksaaton käpä oukko. Kuvaako laatua? Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 / 20

21 Kauppamatkustaan onglma (/2) (Raotuksn lkm. Eksponntaalnn) Kauppamatkustaan onglma (lkkausoukko formulont (cutst)): mn s.. E δ ( ) δ ( S ) c = 2 2 {0,} V S V, S, V mssä V kaupunkn oukko, c kaarn kustannus a δ(s) oukosta S lähtvät/tulvat kaart Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 / 2

22 Kauppamatkustaan onglma (2/2) (Raotuksn lkm. Eksponntaalnn) Kauppamatkustaan onglman alrtn lmnont formulont (subtour lmnaton) mn s.. E δ ( ) E ( S ) c = 2 S {0,} S V V, S, V mssä E(S) on oukon S kaart Vodaan osottaa, ttä P tspcut = P tspsub Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 / 22

23 Tädllnn sovtusonglma (th prfct matchng problm) (/2) Parllssta määrästä hnklötä ptää muodostaa para kustannukst mnmodn (höt maksmodn): mn s.. E δ ( ) c = {0,} V Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 / 23

24 Tädllnn sovtusonglma (th prfct matchng problm) (2/2) Lsätään dllsn formulontn ks raot mn s.. E δ ( ) δ ( S ) Nt pät: c = {0,} P dgr P = matchng conv(f) S V, S conv( F), V V, S parton mssä on käpn kokonaslukuratkasun konvkskuor. Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 / 24

25 Mallnnus, mssä muuttun lukumää äärä on ksponntaalnn (/3) Lkkausthtävä (th cuttng stock problm) Joukko W:n ptusa rulla Ksntäw :n ptusa paloa b (w W) Mtn rulla ptää lkata, otta ksntä tätt a rulla kättään mahdollsmman vähän? Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 / 25

26 Mallnnus, mssä muuttun lukumää äärä on ksponntaalnn (2/3) Lkkausthtävän formulont mn s.. n = n = a Ζ + = b =,.., m =,..., n mssä a krtoo kunka monta w :n ptusa palkota tul malllla (pattrn) Erlasa malla ksponntaalsst. Thtävä vodaan ratkasta sarakkn khts (Column gnraton) praattlla algortmlla, ossa van osa sarakksta on mukana ratkasussa. Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 / 26

27 Mallnnus, mssä muuttun lukumää äärä on ksponntaalnn (3/3) Ratkasuun kuulumattomat muuttuat vodaan tuoda mukaan tarpn vaatssa. Column gnraton. Ratkasualgortm stllään 5. luvussa Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 / 27

28 Huutokauppaonglma (combnatoral auctons) Mtn tuottt mdään huutall, otta tuotto maksmotus? Huomaa, ttä huutaat vovat huutaa usdn tuottdn paktta ma s.. S M S: S b( S) S mssä b( S) = ma N S S M { 0,} S M b ( S ) a ( ) S b on hnta, palonko huutaa taroaa oukosta S Sovlltun matmatkan lsnsaattsmnaar Kvät 2008 / 28