Neliömatriisin A rivit (ja sarakkeet) ovat lineaarisesti riippumattomia, joss A 0.

Transkriptio

1 Ma Haapae, Matemaatte taloustede II Jväslä lopsto YHTEENVETOA Matrslaseasta Vahdatala e päde matrse ertolasulle. Yleesä e ss ole AB BA! A( BC) AB( C) AB ( + C) AB+ AC ( A+ B) C AC+ BC ( A+ B) A + B ( ca) T ( AB) T T T ca T B A T T T T ( A ) ( A ) T B o smmetre joss B T B. Matrs orm määrtellää jälje avulla: A Tr( A T A). Nelömatrs A äätesmatrs A o olemassa, jos A o e sulaare el A 0. Jos A o e sulaare, AA AA I, jote A. A Nelömatrs A rvt (ja saraeet) ovat leaarsest rppumattoma, joss A 0. Oloo B matrs tppä (r, s). B: aste (ra) el ra R(B) o se leaarsest rppumattome rve (ja samalla saraede) määrä. O ss oltava RB ( ) m( rs, ). o matrs A omasarvo ja omasvetor, jos e toteuttavat htälö ( A I) 0. Determatthtälö A I 0 o matrs A araterste htälö. Kuta lötvää omasarvoa vastaa ääretö määrä vetoreta. Omasvetort saadaa ormalsomalla vetor ptuus öses. Nelömuoto q o postvsest deftt jos se o alla postve (q > 0) postvsest semdeftt muuttuje arvolla e eatve (q 0) eatvsest semdeftt (eä a muuttujat 0) e postve (q 0) eatvsest deftt eatve (q < 0) deftt, jos se saa seä postvsa että eatvsa arvoja Nelömuodo q u Au laadu määrääme Determat avulla: Nelömuoto o postvsest deftt, jos matrs A dsrmat el determat a päämort ovat postvsa. Vastaava elömuoto o eatvsest deftt, jos parttomat päämort ovat eatvsa ja parllset postvsa.

2 Omasarvoje avulla: () Nelömuoto q u Au o postvsest (eatvsest) deftt, joss matrs A a omasarvot ovat postvsa (eatvsa), () Nelömuoto q u Au o postvsest (eatvsest) semdeftt, joss matrs A a omasarvot ovat e eatvsa (e postvsa) ja aa s omasarvosta o olla, () Nelömuoto q u Au o deftt, joss matrs A omasarvot ovat postvsa ja eatvsa. Vetoresta. Oloo mellä paavetort a ja b. Pstede väle etäss o T d( a, b) ( a b) ( a b) Vetor ptuutta mtetää se orms: a a T a a + a a. Vetorjouo ( v, v,..., v ), joho uuluu vetora, o leaarsest rppuva, jos jo se vetoresta vodaa esttää toste leaarombaatoa. Futode osttasdervaatosta vodaa muodostaa Jacob matrs J, joa determatta utsutaa jaobaas: J M M O M Futot,,..., ovat futoaalsest tosstaa rppuva, jos jaobaa hävää (el saa arvo olla) alla muuttuje,,..., arvolla. Rppuvuus e ole välttämättä leaare. Kahde muuttuja futo optmot Masm Mm. astee välttämätö ehto f f 0 f f 0. astee rttävä ehto (alstesea. astee ehdolle) f < 0, f < 0 ja ff > f f > 0, f > 0 ja ff > f Mahdollse äärarvo laatu o rppuvae ss sese elömuodo merstä. Dsrmatt o t tose ertaluvu osttasdervaatosta muodostuva Hessaa: f f H f f f. Masm ja mm hteseä ehtoa o Hessaa e f f eatvsuus. Masm edellttää tose ertaluvu puhtade osttasdervaattoje eatvsuutta, mm postvsuutta.

3 Useamma muuttuja futode äärarvosta Tarastellaa olme muuttuja futota f (,, 3 ), mssä f o aalla ahdest dervotuva. Nelömuodo dsrmatt o t futo f Hessaa H f f f 3 f f f 3 f f f Esmmäse astee osttasdervaattoje htee ollaohta o loaal masm (mm), jos tose astee dfferetaala vastaava elömuoto o eatvsest (postvsest) deftt. Jos tose astee dfferetaala vastaava elömuoto o aalla eatvsest (postvsest) deftt, o esmmäse astee osttasdervaattoje htee ollaohta lobaal masm (mm). Implsttfutolause Ysertasmmassa tapausessa F(, ) 0 saadaa: d d Vastaavast tarasteltaessa htälörhmää F F. F (,,..., ;,,..., m) 0 F (,,..., ;,,..., m) 0 M F (,,..., ;,,..., ) 0 muodostuvasta matrshtälöstä F F F F F F M M O M F F F m M F F M F vodaa ratasta osttasdervaatat Cramer sääöllä. Koaavsuus/ovessuus Yhde muuttuja futolle f ( ) o oaav uv, : f( v) f( u) + f ( u)( v u) f ( ) o oves uv, : f( v) f( u) + f ( u)( v u) 3

4 Useamma muuttuja futode ohdalla ätetää tose astee osttasdervaattoje muodostamaa matrsa H: H eatvsest deftt f adost oaav eatvsest semdeftt oaav postvsest semdeftt oves postvsest deftt adost oves Jos z f ( ) o ahdest jatuvast dervotuva, vodaa vasovessuude ja vasoaavsuude tutmsee ättää reuustettua Hessaaa B 0 f f f f f f f f f f f M M M O M f f f f Postvste muuttuje arvoje muodostamassa jouossa välttämätö ehto vasovessuudelle o B 0, B 0,..., B B 0. Kvasoaavsuude välttämätö 0 f f f ehto o, että vastaavat päämort ovat vuoroperää e postvsa ja e eatvsa. Välttämättömät ehdot muuttuvat rttävs, u epähtälöt muutetaa puhtas. Sdotut äärarvot Kahde muuttuja ja hde sdosehdo tapausessa sdottuje äärarvoje lötämses muodostetaa arae futo (,, λ ) f(, ) λ (, ), jolle haetaa äärarvoohdat 0, 0, 0. Välttämättömä ehdo toteutuessa päästää tose astee (rttä λ vä) ehtoja tarastelemaa : reuustetu hessaa H avulla: H 0. Jos 0 ja H > 0, smsessä o masm. λ Jos 0 ja H < 0, smsessä o mm. λ Huomaa ajatusero vapaasee optmot! Useamma muuttuja ja sdosehdo m tapaus Tarastelemaa ( m) päämor etjua H, H,..., H ( H ). Jos etju terme m+ m+ m + etumer vuorottelee alae ( ) : merllä, seessä o masm. Jos a termt ovat samamersä u ( ) m, seessä o mm. Kahde muuttuja ja hde sdosehdo tapausessa tarasteltavaa etjuu jää aoastaa H. 4

5 Kuh Tucer ehdot Mäl seessä o masmotoelma ma f () s.e. ( ) r, 0,,, m, välttämättömät Kuh Tucer ehdot optmratasulle ovat 0, 0, 0,,,, 0, λ 0, λ 0, λ λ,, m. Mmotoelmassa m f () s.e. ( ) r, 0,,, m tavotefutota välttämättömät Kuh Tucer ehdot optmratasulle ovat 0, 0, 0,,,, 0, λ 0, λ 0,,, m. λ λ Vaoertome leaare esmmäse ertaluvu dfferetaalhtälö + a (t) Tädellse htälö lee ratasu (t) saadaa lsäämällä sttäsratasuu 0 homoeese verso + a 0 lee ratasu, joa o H Ce. Tädellse htälö at sttäsratasu muotolu rppuu lauseeesta (t). Jos se o vao, aattaa sttäsratasus oella vaota. Jos (t) o polom, aattaa sttäsratasus oella samaastesta poloma. Vahedarammtarastelu. Muoataa dfferetaalhtälöstä autoome dfferetaalhtälö d & f ( ) el dervaatta o esplsttsest aoastaa : (e t:!) futo. & : rppuvuus :stä prretää oordaatstoo, jossa o vaaa asellla ja pstasellla &. dt Tasapao E stablsuusehto htälölle & f ( ) o f ( ) < 0 (äärelle). E. ertaluvu vaoertome leaarsta homoeee dfferetaalhtälö + a + b 0 Karaterstse htälö r + ar + b 0 r ( a ± a 4b) ratasuja saotaa araterstss juurs. Nelöjuurlauseee mer perusteella saadaa olme vahtoehtoa: () Jos a 4b> 0, htälöllä o as ersuurta reaaljuurta. Homoeese htälö r t r t ratasu o muotoa H () t Ce + C e () Mäl a 4b 0, htälöllä o tostuva reaaljuur. Homoeese htälö ratasu o tällö H () t ( C rt + C t) e () Tapaus a 4b< 0 mertsee, että araterstsella htälöllä o omplesjuuret ht ( r, h± v ). Homo. ht. lee ratasu o H () t e [ C cos( vt) + C s( vt) ]. Ratasu uvaa muuttuja slstä ättätmstä. 5

6 Tasapao o stabl va, jos a araterstset juuret (omplesste juurte tapausessa reaalosat) ovat eatvsa. Tällöhä t: asvaessa ()lähest t ollaa. Musta: E homoeese htälö tädelle ratasu ssältää mös sttäsratasu 0! H Dfferetaalhtälörhmät Esmmäse ertaluvu dfferetaalhtälöstä muodostuva rhmä vodaa esttää matrshtälöä J u + M v. Yhtälörhmä ratastaessa tarastellaa araterststa htälöä rj+ M 0. Tasapao: reaalluuje tapausessa tarastellaa suurta r ompoetta, omplesluuje tapausessa reaalosaltaa suurta. Jos tämä suur r o eatve, a muuttujat overotuvat. Jos s r o postve, a muuttujat räjähtävät. f (, ) Tarastellaa autoomsta dfferetaalhtälörhmää. Mertää osttasdervaatosta tasapaoohdassa muodostuvaa Jacob matrsa J (, ) f f E [ Tr J E ] ( ) > 4 J Ersuuret reaaljuuret, e slsttä E () r < 0, r < 0 JE > 0, Tr( JE) < 0. Karaterstset juuret ovat eatvsa, jote le tapahtuu oht tasapaoa. Tasapao o stabl solmu. () r > 0, r > 0 JE > 0, Tr( JE) > 0. Karaterstset juuret ovat postvsa, jote le tapahtuu pos tasapaosta. Tasapao o epästabl solmu. () r > 0, r < 0 J E < 0. Tasapao o satulapste. Se tustaa eatvsesta jaobaasta el ermersstä araterstssta juursta. [ Tr J E ] ( ) 4 J Tostuva reaaljuur, e slsttä E (v) r r < 0 JE > 0, Tr( JE) < 0. Karaterstset juuret ovat eatvsa, jote le oht tasapaoa, joa o stabl solmu. (v) r r > 0 JE > 0, Tr( JE) > 0. Karaterstset juuret ovat postvsa, jote le pos tasapaosta, joa o epästabl solmu. [ Tr J E ] ( ) < 4 J Komplesjuuret, slss E Mertää r, h± v. (v) h < 0 JE > 0, Tr( JE) < 0. Reaalosa o eatve, jote värähtel vameee oht tasapaoa, joa o stabl polttopste. (v) h > 0 JE > 0, Tr( JE) > 0. Reaalosa o postve, jote värähtel laajeee pos tasapaosta, joa o epästabl polttopste. (v) h 0 JE > 0, Tr( JE) 0. Nt smsessä o vaoe värähtel tasapao mpärllä el pörre. (, ) 6

7 eaare vaoertome. ertaluvu dfferesshtälö (autoome) t + + at t + t Yhtälö o autoome, sllä oea puol e rpu esplsttsest ajasta. Tällö homoeese verso + a 0 ratasu o C( a) ja tädellse autoomse htälö t sttäsratasu t o + a. + a t Yhdstämällä sttäsratasu homoeese muodo lesee ratasuu saadaa t t C( a) +. + a Asettamalla aluarvoehto Y vodaa määrttää vao C Y0 C( a) + C Y0 + a + a Tapausessa a, 0 htälöllä e ss ole tasapaoa ja tapausessa a, 0 säl vaoa aluarvossaa l aja. Kassa mussa tapausssa vaoratasu er + a too ssteem tasapaoohda ja C( a) t el aluehdo 0 Y0 ollessa vomassa ( Y )( a) t 0 uvaa lee tasapaoo ähde. + a Yhtälö o stabl el aaura lähest tasapaoa (overotuu), jos a < ja vastaavast etäät tasapaosta (dverotuu), jos a >. Tapausessa a aaura helahtelee vuoroperodella tasapao er puollla, mutta aa vaoetäsdellä. Muuto jos a o postve, aaura helahtelee tasapao er puollla. Vahedarammtarastelu ähtöohtaa tarastelussa o autoome dfferesshtälö t+ f ( t). Esmmäse ertaluvu dfferesshtälöde tapausessa vaheärä prretää ss oordaatstoo, jossa vaaa asellla o t ja pstasellla t +. Tasapaot sjatsevat tällö 45 astee ulmaa prretllä suoralla t+ t. Aaura overotuu tasapaoo, jos f ( t ) <. 7

8 Todeäösslaseasta Dsreet satuasmuuttuja thesfuto määrtellää todeäössjaaumaa f ( ) P( X ), mssä 0 P ( X ), P ( X ). Jatuva satuasmuuttuja todeäösdet määrtellää thesfuto f () avulla b Pr( a X b) f ( ) d, mssä f ( ) 0 ja f ( ) d. a Satuasmuuttuja ertmäfuto määrtellää thesfuto avulla seuraavast: F( ) P( X ) f ( t) dt, X f(), jos o jatuva jos o dsreett. ( 0 F ( ) ) Satuasmuuttuja odotusarvo E (X ) E( X ) f()d, f(), jos o jatuva jos o dsreett. Satuasmuuttuja varass σ var(x ) var( X ) E[( X µ ) ] E( X ) µ ( µ ) ( µ ) f()d, f(), jos jos o jatuva o dsreett. Muuttuje välstä suhdetta htesvahtelua mtataa ovarasslla asusäätöjä: cov( X, Y ) E [( X E( X ))( Y E( Y ))] E( XY ) E( X ) E( Y ) E [ c] c E [ cx ] ce[ X ] E [ c( X )] ce[ ( X )] E c ( X ) + c ( X )] c E[ ( X )] + c E[ ( [ X E[ ( X )] ( ) f()d, jos o jatuva ( ) f(), jos o dsreett )] var( a ) 0 var( ax ) a var( X ) var( ax + by ) a var( X ) + b var( Y ) + ab cov( X, Y ) säs o huomattava, että leesä ( X ) [ E( X ) ] E! 8