ANALYYSI 1. Tero Kilpeläinen
|
|
- Elli Pääkkönen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 ANALYYSI 1 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja vuosilta lokakuuta 014
2 Sisältö 1. Johdanto 1. Tuttua ja turvallista 6.1. Merkintöjä Reaalilukujen perusominaisuudet Funktioita ja kuvauksia Reaaliluvut ja epäyhtälöt Merkintöjä Aksiooma (aksiomi) Desimaalikehitelmä Epäyhtälöitä Taso ja avaruus (R n ) Funktiot Funktio Yhdistetty kuvaus Monotoniset funktiot Parilliset ja parittomat funktiot Alkeisfunktiot A. Polynomit B. Rationaalifunktiot C. Potenssifunktio x x q, missä x > 0 ja q Q D. Eksponenttifunktiot ja logaritmifunktiot E. Trigonometriset funktiot Jatkuvuus 53
3 6. Jonot Jonojen raja-arvot Konvergenssikriteerioita Funktiot ja raja-arvot Tasainen jatkuvuus Toispuoleiset raja-arvot Raja-arvot äärettömyydessä ja ääretön raja-arvona Paluu alkeisiin: eksponenttifunktiot ja logaritmit 11
4 1. Johdanto Matematiikka on paljon enemmän kuin vain kokoelma teorioita, lauseita, määritelmiä, ongelmia ja tekniikoita. Matematiikka on tapa ajatella. Sama pätee tietenkin myös matematiikan eri haaroihin, kuten (matemaattiseen) analyysiin. Analyysiä voidaan pitää yhteisnimekkeenä kaikelle matematiikalle, jossa käytetään rajaprosesseja. Rajaprosessien ymmärtäminen ja hallitseminen on ensiarvoisen tärkeää mm. sovellettaessa matematiikkaa luonnontieteissä. Näin pyritään ymmärtämään, miksi ja milloin mittaamalla voidaan saada suhteellisen luotettavaa tietoa ilmiöistä. Koulusta tuttuja analyysiin kuuluvia aiheita ovat mm. raja-arvot, jatkuvuus, derivaatat ja integraalit; näitä käsitellään perusteellisesti kursseilla Analyysi 1 ja. Tavoitteena on oppia ymmärtämään teorian perusteet melko hyvin lukuvuoden aikana. Nämä muistiinpanot sisältävät karuja merkintöjä lukuvuosina ja pidetyistä kursseista. Ne eivät millään kykene korvaamaan luentojen seuraamista eikä kunnollisen kirjan lukemista. Oppikirjaksi suosittelen teosta: R. Courant & F. John: Introduction to Calculus and Analysis I. Matematiikan oppiminen on usein vaikeaa, jopa epätoivoiselta tuntuvaa. Oivaltaminen saattaa kuitenkin olla lähempänä kuin miltä tuntuu: usein kannattaa kysyä opettajilta tai muilta opiskelijoilta jo kysymyksen huolellinen muotoilu saattaa selvittää ongelmasi. Lisäksi on syytä pitää mielessä, että matematiikan opiskelu vaatii välillä koviakin ponnisteluja, pohtimista ja harjoittelua. Aiemmin opittu tukee uuden oppimista. Luovuttamiseen ei ole mitään syytä, vaikka välillä eteen tulisikin asioita, joita ei tunnu ymmärtävän. Vaikeisiin kohtiin voi ja tulee palata myöhemmin, jolloin vaikeudet usein selviävät. Analyysin kursseilla 1 ja ei ole ylimääräisiä asioita, vaan kaikki tulisi oppia. Niillä tutustutaan matemaattiseen kielenkäyttöön ja muutamiin perusajattelutapoihin, jotka tulevat eri muodoissaan vastaan matematiikan opintojen myöhäisemmissä vaiheissa. Ajattelutapojen sisäistäminen vie yleensä melko lailla aikaa eikä pidä hämmästyä, vaikka aluksi ei oikein näkisikään metsää puilta. Oppimiseen kannattaa kuitenkin panostaa, sillä se avaa kokonaisen uuden maailman ja auttaa huomattavasti jatko-opinnoissa. Matematiikan ymmärtäminen on monimutkainen prosessi. Se käsittää yksityiskohtaisen päättelyn seuraamisen ja todentamisen lisäksi myös suurempien strategioiden hallinan; kuinka päättely rakentuu, miten yksittäiset oletukset tulevat käyttöön ja kuinka kokonainen teoria muodostuu osista, lauseista ja määritelmistä. Kenties tärkeimpiä palasia näillä kursseilla ovat määritelmät. Määritelmän tarkoituksena on antaa nimi jollekin ilmiölle tai objektille. Esimerkiksi virke: Kahden 1
5 kokonaisluvun osamäärää kutsutaan murtoluvuksi. on murtoluvun määritelmä. Matematiikassa määritelmät ovat tarkkoja: (periaatteessa) aina voidaan ratkaista, toteuttaako joku objekti määritelmän ehdon vai ei. Määritelmän tekstissä jokaisella sanalla on tärkeä roolinsa. Määritelmät on osattava täsmälleen ulkomuistista! Tärkeää on myös saada mielikuva siitä, mitä määritelmä tarkoittaa. Tämän oppimiseksi on yleensä luotava esimerkkejä ja vastaesimerkkejä kuvien piirtämistä ei myöskään sovi unohtaa! Pidä kuitenkin huoli, ettet sekoita mielikuvia ja tarkkaa määritelmää keskenään. Esimerkiksi reaalilukua r sanotaan rationaaliluvuksi tai rationaaliseksi, jos on olemassa murtoluku p q, jolle r = p q. Huomaatko rationaaliluvun ja murtoluvun käsitteiden eron? Määritelmien avulla muodostetaan väittämiä, joita kutsutaan yleensä lauseiksi tms. Lause sisältää yleensä oletuksia ja väitteen. Karkeasti matemaattiset väittämät (lauseet) ovat muotoa: Jos oletukset plää plää ovat voimassa, niin väite jäkäti jäkäti on tosi. Esimerkki: 1.1. Lause. Päättyvä desimaaliluku on rationaalinen. Tästä lauseesta oletukset ja väite eristetään seuraavasti: Oletus: Luku x on päättyvä desimaaliluku. Väite: x on rationaaliluku. Tarkkaan ottaen väittämä ei ole lause, ellei sitä ole todistettu. Mikä sitten on todistus? Todistus on loogisesti pitävä perustelu sille, että väite on tosi tehtyjen oletusten vallitessa. Käytännössä todistus on usein pienin askelin etenevä kertomus tai selitys, miksi väite on totta. Todistuksen tulee edetä niin pienin askelin, että mahdollinen lukija pystyy helposti vakuuttautumaan päättelyketjun pitävyydestä, rivi riviltä ja sana sanalta. Kuinka sitten keksii todistuksen? Entä kirjoittaa sellaisen? Usein ensimmäinen tehtävä on lauseen purkaminen väitteeksi ja oletuksiksi. Sitten on mietittävä, mitä oletukset ja väite oikein tarkoittavat ja koitettava muistella, tunteeko samantapaisia tilanteita. Esimerkkejä kannattaa myös tarkastella, jotta näkisi yleisen idean tai mallin. Eo. lauseen tilanteessa oletus x on päättyvä desimaaliluku tarkoittaa, että x = a, bcdefg...t, missä kirjaimet ovat kokonaislukuja ja niitä on vain äärellinen määrä (esimerkkilukuja 1,, 7, 3, jne.).
6 Väite x on rationaaliluku taas tarkoittaa sitä, että on olemassa murtoluku p q, jolle x = p q. Siis olisi löydettävä kokonaisluvut p ja q, joille a, bcdefg...t = p q. Esimerkkitapauksissa 1 = 1, mikä oli helppoa, 1, 7 = 7 10 ja 3, = , mistä havaitaankin, että laventamalla luvulla jossa on yhtä monta nollaa kuin desimaaleja näytettäisiin päästävän toivottuun tulokseen. Nyt olemmekin valmiita kirjoittamaan varsinaisen todistuksen. Esimerkkitodistus em. lauseelle: Olkoon n luvun desimaalien lukumäärä. Tällöin ja on murtoluku, joten x on rationaalinen. x = a, bcdefg...t, x = x 10n = abcdefg...t 10 n 10 n x 10 n 10 n Lauseiden ja väittämien todistukset ovat olennaisinta osaa kurssista. Todistuksilla on ainakin kolme tehtävää: - Vakuuttaa, että väite on tosi. - Auttaa ymmärtämään lauseen ja määritelmien sisältöä ja merkitystä. - Toimia malleina ja esimerkkeinä. 3
7 Mitä tarkoittaa todistusten ja lauseiden ymmärtäminen? Ymmärtämisessä on monta eri tasoa. Ensimmäisellä tasolla lukijan tulee lukea todistus huolellisesti ja vakuuttua siitä, että sen kaikki yksityiskohdat ovat oikein. Todistus ei ole uskottelua, vaan tarkistaessasi todistusta on se käytävä läpi rivi riviltä ja sana sanalta ja tarkastettava kaikki vaiheet, jotka esitetään (kuin myös täydennettävä ne yksityiskohdat, jotka on jätetty mainitsematta). Lukiessasi, kysele: Miksi?! Merkitse kohdat, joita et ymmärrä ja palaa niihin myöhemmin. Kysele! Seuraavalla ymmärryksen tasolla pitäisi hahmottaa todistuksen rakenne. Mitkä ovat päätulokset, joita käytetään, päävaikeudet ja kuinka ne voitetaan, konstruktiot yms? Tällä tasolla pitäisi pystyä muodostamaan karkea todistuksen runko, joka sisältää vielä vihjeitä, kuinka yksityiskohdat saadaan täytetyiksi. Tämän avulla sinun tulisi kyetä kirjoittamaan todistus myöhemmin itse opettelematta todistusta ulkoa. Kolmannella tasolla pitäisi pystyä analysoimaan yksittäisten oletusten käyttö: missä ja miten mitäkin oletusta käytetään ja tarvitaanko oletusta koko voimallaan, vai voisiko niitä kenties heikentää. Tämän tason saavuttaminen edellyttää, että todistus puretaan osiin ja kasataan uudelleen, jotta nähdään selvemmin, kuinka palaset sopivat yhteen. Näiden tasojen jälkeen tulee vielä pyrkiä näkemään todistukset, lauseet ja määritelmät laajemmissa yhteyksissä: kuinka lauseita käytetään ja voidaanko niitä yleistää jne. Usein lauseet ja todistukset esitetään hyvin yleisessä muodossa, mikä tekee ne tehokkaammiksi, mutta samalla vaikeuttaa ymmärtämistä. Siksi hyvä keino helpottaa lauseiden ja todistusten ymmärtämistä on kirjoittaa ne esimerkkitapauksissa; tällöin ideat usein pelkistyvät (mutta toisaalta konkreettiset esimerkit tuovat usein mukanaan suuriakin teknisiä vaikeuksia). Huomaa kuitenkin, että esimerkit parhaimmillaankin vain auttavat ymmärtämään teoriaa: esimerkit eivät vahvista teoriaa, vaan teoria selittää esimerkit. Mitä edellä sanottiin todistuksen ymmärtämisestä pätee myös matemaattisten teorioiden, esimerkiksi Analyysi 1 ja -kurssien ymmärtämiseen, ja laajemmin koko matematiikan ymmärtämiseen. Erityisesti on huomattava, että ymmärtääksesi todistuksen tai teorian myöhempiä vaiheita myös alkuosa täytyy olla hallinnassa (ja siihen on uudelleen ja uudelleen palattava), sillä matematiikassa tieto kumuloituu. Matematiikassa mitään ei voi unohtaa. Ulkoaopeteltavaa ei myöskään ole paljoa: ainoastaan määritelmät ja päälauseiden väitteet (ja muutamat kaavat) tulee muistaa ulkoa. Lopuksi haluan vielä muistuttaa siitä, että matematiikka on taitolaji. Siksi harjoittelu on ainoa keino oppia. Kurssiin liittyvien lukuisten harjoitustehtävien tarkoituksena on auttaa sinua ymmärtämään teoriaa paremmin. Niissä on myös paljon 4
8 esimerkkejä, jotka auttavat teorian omaksumista. Vain itse tekemällä yksin tai ryhmässä oppii. Analyysi Mitä on analyysi? Karkeasti määriteltynä analyysiä ovat ne matematiikan alat, joissa on rajaprosesseja. Analyysin kursseilla perehdytään erilaisiin rajaprosesseihin. Esimerkkeinä 1. Raja-arvo: Raja-arvo on matemaattinen käsite, jolla kuvataan funktioiden yms. kulun tendenssiä, kun muuttuja lähestyy tiettyä arvoa. Raja-arvot ja funktion jatkuvuus ovat läheisessä yhteydessä toisiinsa. Ne ovat Analyysi 1 -kurssin pääaiheita.. Derivaatta: Derivaatta määritellään raja-arvona ja sen avulla saadan muutosnopeuksia ja käyrien tangentteja. Derivaattoja käsittelevää aineistoa kutsutaan differentiaalilaskennaksi - siihen tartumme Analyysi -kurssilla. Differentiaalilaskennan sovelluksina tutkitaan mm. funktion kulkua ja ääriarvoja (maksimit ja minimit). 3. Integraali: Integraali saadaan määritellyksi erityisellä rajankäynnillä. Integraaleja käsittelevää aineistoa kutsutaan integraalilaskennaksi, mikä on jälleen Analyysi -kurssin aiheita. Pinta-alat, tilavuudet ja käyrien pituudet ovat integraalilaskennan sovellutuksia; sovellutuksia on paljon myös stokastiikassa ja fysiikassa. Osoittautuu, että hämmästyttävästi integrointi ja derivointi ovat toisilleen tavallaan käänteisiä operaatioita. 5
9 . Tuttua ja turvallista Tässä luvussa luetellaan mm reaalilukujen ominaisuuksia, joita pidetään tällä kurssilla tunnettuina. Edelleen muistutetaan mieliin joitakin ns. alkeisfunktioita, jotka ovat kaikille tuttuja. Tämän kurssin eräs tärkeä osa on ymmärtää alkesifunktioiden määrittely..1. Merkintöjä N = {1,, 3,... } luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan) Z = {0, ±1, ±,... } kokonaislukujen joukko { n } Q := m : n, m Z, m 0 rationaalilukujen joukko R = reaalilukujen joukko R \ Q = irrationaalilukujen joukko = {x R : x / Q}... Reaalilukujen perusominaisuudet Tässä vaiheessa pidetään tunnettuna, että reaaliluvuilla on seuraavat ominaisuudet; monet näistä ominaisuuksista seuraavat reaalilukujen konstruktiosta, mikä tehdään (mahdollisesti) myöhemmällä kurssilla. Algebralliset ominaisuudet (kunta). Reaalilukujen joukossa R on määritelty yhteenlasku (+) ja kertolasku ( ) seuraavin ominaisuuksin (kertomerkki jätetään yleensä kirjoittamatta: a b = ab). Kaikille reaaliluvuille a, b, c R on voimassa: (A) a + b = b + a ja ab = ba. (kommutatiivisuus) (B) (a + b) + c = a + (b + c) ja (ab)c = a(bc) (assosiatiivisuus) (C) a(b + c) = ab + ac (distributiivisuus) (D) On olemassa erityiset reaaliluvut 0 ja 1, joille a + 0 = a ja a 1 = a kaikilla a R. 6
10 (E) Jokaisella a R on olemassa vastaluku a, jolle a + ( a) = 0 ja jokaisella b R, b 0 on olemassa käänteisluku 1 b, jolle b( 1 b ) = Huomautus (Manipulointi). Potensseille käytämme tavanomaisia merkintöjä: a 1 = a, a = a a, a 3 = a a, ja rekursiivisesti a k+1 = a a k kaikilla k N. Edelleen, kun k N merkitään a k = ( 1 a )k jolloin a k = 1 a k. Huomaa, että, edellisten kanssa yhteensopivasti, määritellään: mutta symbolia 0 0 ei määritellä lainkaan. a 0 = 1 kaikilla a R, a 0, Mm. seuraavat tutut manipulointisäännöt on helppo verifioida em. ominaisuuksien (A)-(E) avulla (nämä kannattaa laskea itse): (a + b) = a + ab + b, (a + b)(a b) = a b, (3a + b)(4c + d) = 1ac + 6ad + 8bc + 4bd a = ( 1)a, a( b) = ( a)b = (ab) ja a b + c d = ad + bc bd, kun bd 0. Kokonaislukupotenssiin korottamisen käänteisoperaatio, juurenotto, on myös vanha tuttu: ei-negatiivisen reaaliluvun x k. juuri on sellainen ei-negatiivinen reaaliluku y, jolle y k = x; tätä merkitään y = k x = x 1 k. Kokonaislukupotensseja ja -juuria yhdistelemällä saadaan ei-negatiivisen reaaliluvun x rationaalipotenssit: kun m, n Z, m, n 0, niin Muista manipulointisäännöt: x m n = (x 1 n ) m = (x m ) 1 n. x a+b = x a x b ja x a b = xa x b. 7
11 .. Huomautus. Reaaliluvuille a ja b on voimassa täsmälleen yksi seuraavista vaihtoehdoista: a < b, a = b tai b < a. Huomaa, että a > b tarkoittaa samaa kuin b < a. Yleisesti käytetään lyhenteitä: a b, mikä tarkoittaa: joko a < b tai a = b ; a b, mikä tarkoittaa: joko a < b tai a > b ; a b, mikä tarkoittaa: joko a > b tai a = b. Erityisesti, siis aina pätee: jos a < b, niin a b, ja a = b täsmälleen silloin, kun sekä a b että a b. Huomaa, että yleensä käytetään ilmaisuja: x > 0 : x < 0 : x 0 : x 0 : x on positiivinen, x on negatiivinen, x on ei-negatiivinen ja x on ei-positiivinen. Järjestysrelaatiota merkitään a b (luetaan a pienempi tai yhtäsuuri kuin b). Järjestyksellä on ominaisuudet: i) a a kaikilla a R. (refleksiivisyys) ii) Jos a b ja b a, niin a = b. (antisymmetrisyys) iii) Jos a b ja b c, niin a c. (transitiivisuus) Reaalilukujen järjestys on lisäksi täydellinen: kaikilla a, b R on voimassa a b tai b a. 8
12 Väliä merkitään usein kirjaimella I. Väli I on aina epätyhjä, I, ja I R. Väli on jokin seuraavista: [a, b] : = {x R : a x b} [a, b[: = {x R : a x < b} ]a, b] : = {x R : a < x b} ]a, b[: = {x R : a < x < b} (suljettu väli), (puoliavoin väli), (puoliavoin väli), (avoin väli) tai ], b] : = {x R : x b}, ], b[:= {x R : x < b}, ]a, [: = {x R : x > a}, [a, [:= {x R : x a} tai ], [: = R. Luvun x R itseisarvo on x = { x, jos x 0 x, jos x < 0, lukujen a:n ja b:n välinen etäisyys on a b, jos a, b R. Erityisesti siis luvun x itseisarvo on sen etäisyys origosta eli luvusta Huomautus. Kokonaislukuja on mielivaltaisen isoja ja pieniä: kaikille x R on olemassa sellainen n N, jolle x < n. Tämän ns. Arkhimedeen ominaisuuden seurauksena näemme: kaikille x R on yksikäsitteinen kokonaisluku k Z, jolle 1 k x < k + 1. Tämän seurauksena tiedämme, että jokaiselle x R, jolle 0 < x 1, on sellainen kokonaisluku n N, jolle (.4) 1 n + 1 < x 1 n. Tämän näet, kun valitset sen luvun n N, jolle n 1 x < n Voidaan olettaa, että x Z. Olkoon sitten n pienin luonnollinen luku, joka on (aidosti) suurempi kuin x. Tällöin k = n 1, jos x 0 ja k = n, jos x < 0. 9
13 Epäyhtälöistä (.4) seuraa, että kahden reaaliluvun välissä on aina rationaaliluku, ts. rationaaliluvut ovat tiheässä reaaliakselilla: Olkoot x, y R, x < y. Tällöin on olemassa q Q, jolle x < q < y. Etsitään eräs tällainen q: Olkoon k se kokonaisluku, jolle k x < k + 1. Nyt valitaan (.4):n takaama kokonaisluku n siten, että 1 n < y x ja edelleen sellainen kokonaisluku l N, jolle l (x k)n < l + 1. Tällöin eräs etsimistämme rationaaliluvuista on q = k + l + 1 n, sillä x = k + (x k) < k + l + 1 n = q = k + l n + 1 n < k + (x k) + 1 tn = x + 1 < x + (y x) = y. n.3. Funktioita ja kuvauksia Muista: Funktio eli kuvaus f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen pisteeseen x A (joukon A alkioon) tasan yhden pisteen y B (joukon B alkion). Tätä alkiota y B kutsutaan alkion x A kuvaksi (kuvapisteeksi) ja sitä merkitään y =: f(x). Joukko A on f:n määrittely- eli lähtöjoukko ja joukko B sen maalijoukko. A:n kuvajoukko (funktiossa f) on f(a) = {y B : y = f(x) jollakin x A}. Tuttuja funktioita ovat mm. polynomit P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, missä n N, a j R ja a n 0. Polynomeista erityiserikoistapauksia ovat: f(x) = c = vakio kaikilla x ja g(x) = x kaikilla x, 10
14 joita kutsutaan vakiofunktioksi ja identtiseksi kuvaukseksi. Muita tuttuja funktiota ovat potenssi- ja eksponenttifunktiot sekä a-kantainen logaritmi Tärkeimmässä tapauksessa x x a, ja x a x, missä a 0 > 0, g(x) = a log x, x > 0. ( a = e = lim ) n = n n! + 1 3! + 1 +, 718 4! on ns. Neperin luku. Yliopiston kielenkäytössä eksponenttifunktio tarkoittaa yleensä funktiota x e x ja logaritmifunktio nimenomaan luonnollista, e-kantaista logaritmia: log x := e log x. Näitä funktiota sanotaan alkeisfunktioiksi. Muita tarpeellisia funktiota ovat trigonometriset funktiot, sin x, cos x, tan x = sin x cos x ja cot x = cos x sin x. Myöhemmin määrittelemme alkeisfunktiot huolellisesti ja opimme myös ymmärtämään, mikä funktio vastaa lauseketta log(1 + e xα ) sin(cos 1 x ) x α α x. Useimmat funktiot ovat kuitenkin sellaisia, joita ei voida esittää tällaisilla yksinkertaisilla lausekkeilla jatkossa opimme hallitsemaan niitäkin. 11
15 3. Reaaliluvut ja epäyhtälöt 3.1. Merkintöjä N = {1,, 3,... } luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan) Z = {0, ±1, ±,... } kokonaislukujen joukko { n } Q := m : n, m Z, m 0 rationaalilukujen joukko R = reaalilukujen joukko R \ Q = irrationaalilukujen joukko = {x R : x / Q} Huomautus (Järjestys). Lukujen a ja b järjestysrelaatiota merkitään a b (luetaan a pienempi tai yhtäsuuri kuin b). Järjestyksellä on ominaisuudet: i) a a kaikilla a R. (refleksiivisyys) ii) Jos a b ja b a, niin a = b. (antisymmetrisyys) iii) Jos a b ja b c, niin a c. (transitiivisuus) Reaalilukujen järjestys on lisäksi täydellinen: kaikilla a, b R on voimassa a b tai b a. Väliä merkitään usein kirjaimella I. Väli I on aina epätyhjä, I, ja I R. Väli on jokin seuraavista: [a, b] : = {x R : a x b} [a, b[: = {x R : a x < b} ]a, b] : = {x R : a < x b} ]a, b[: = {x R : a < x < b} (suljettu väli), (puoliavoin väli), (puoliavoin väli), (avoin väli) tai ], b] : = {x R : x b}, ], b[:= {x R : x < b}, ]a, [: = {x R : x > a}, [a, [:= {x R : x a} tai ], [: = R. 1
16 Luvun x R itseisarvo on x = { x, jos x 0 x, jos x < 0, lukujen a:n ja b:n välinen etäisyys on a b, jos a, b R. Erityisesti siis luvun x itseisarvo on sen etäisyys origosta eli luvusta Huomautus. Rationaaliluvut ovat tiheässä: Olkoon x, y R ja x < y. Tällöin on olemassa rationaaliluku q Q siten, että x < q < y (itse asiassa on äärettömän monta monta tällaista lukua q Q): Koska y x > 0, niin on olemassa n N siten, että y x > 10 n (sillä 10 n > 1 jollain n). y x 10 n x y Tällöin luvun 10 n jokin monikerta on etsitty rationaaliluku, sillä muutoin löydetään k Z siten, että x, y [ (k 1)10 n, k10 n], jolloin y x k10 n (k 1)10 n = 10 n < y x, mikä on ristiriitaista. (Soveltamalla tätä tulosta toistuvasti löydetään äärettömän monta väitteen toteuttavaa rationaalilukua: korvaamalla y q:lla löydetään q Q siten, että x < q < q ja jatkamalla samaan tapaan q 3 Q siten, että x < q 3 < q < q < y ja niin edelleen.) Siispä mitä hyvänsä reaalilukua voidaan approksimoida halutulla tarkkuudella rationaaliluvuilla. Vaikka rationaaliluvut ovat tiheässä, se ei ole riittävän laaja lukujoukko hyvän teorian muodostukseen. Esimerkki. Yksikköneliön halkaisija on Pythagoraan mukaan, joka on irrationaaliluku. 13
17 Todistus: Jos on rationaalinen, niin k N jollain luvulla k N. Olkoon k 0 pienin mahdollinen luku k 0 N, jolle k 0 N. Olkoon jolloin 0 < k 1 < k 0, koska k 1 = k 0 k0, k 1 = k 0 ( 1) ja 1 [0, 1]. Edelleen k 1 = k 0 k0 N, koska k 0 N ja k0 N. Lopuksi, k 1 = (k 0 k0 ) = k 0 k 0 N. Tämä on ristiriidassa sen kanssa, että k 0 oli pienin tällainen luku. Siispä antiteesi on väärin ja väite todistettu Huomautus. Irrationaalilukuja on oleellisesti enemmän kuin rationaalilukuja. Myös ne ovat tiheässä: kun x < y, on olemassa z R \ Q siten, että x < z < y. (Todistus on samanlainen kuin rationaalilukujen tapauksessa: koska k R \ Q kaikille k Z, k 0 löytyy haluttu luku z jonkin tällaisen luvun monikertojen joukosta.) Rationaaliluku p voidaan visualisoida jakamalla (harpilla ja viivaimella) yksikön q pituinen jana q yhtäsuureen osaan (q N) ja ottamalla niitä p kappaletta. Entä irrationaaliluvut? Olkoon x R. Valitaan rationaaliluvut a 1 ja b 1 siten, että a 1 < x < b 1. Toisin sanoen x [a 1, b 1 ] = I 1. Koska rationaaliluvut ovat tiheässä, on olemassa a, b Q siten, että a 1 < a < x ja x < b < b 1, toisin sanoen x [a, b ] = I. 14
18 Jatketaan samaan malliin: kun väli I k = [a k, b k ] on valittu, valitaan seuraava väli I k+1 = [a k+1, b k+1 ] siten, että a k+1, b k+1 Q. a 1 < a k < a k+1 < x < b k+1 < b k < b 1. Saadaan sisäkkäinen jono suljettuja välejä I 1 I I 3 I k... ja x I k, k=1 toisin sanoen x I k kaikilla k N. Jos välit I k valitaan niin, että niiden pituus I k = b k a k k 0, niin {x} = I k. k=1 Näin voidaan mikä tahansa reaaliluku x määritellä yksikäsitteisellä tavalla. 3.. Aksiooma (aksiomi) (Sisäkkäisten välien periaate) Jos I 1 I I 3... on jono sisäkkäisiä suljettuja välejä I k R, niin I k. k=1 Toisin sanoen, on olemassa x R siten, että x I k kaikilla k N. Tämä on eräs formulointi aksioomasta, joka takaa, että reaaliakselilla ei ole reikiä. Sisäkkäisten välien periaatetta voisi kutsua myös jatkuvuusaksioomaksi tai täydellisyysaksioomaksi. Aksioomassa riittäisi tarkastella välejä, joiden päätepisteet ovat rationaalisia ja todistaa sen avulla sama kaikenlaisille väleille. 15
19 3.3. Desimaalikehitelmä Seuraavassa esitetään geometrisesti havainnollinen tapa tehdä luvulle desimaalikehitelmä. (Geometrisen sarjan käyttö tarjoaisi toisen helpon lähestymistavan.) Jaetaan lukusuora R kokonaisluvuilla ykkösen pituisiksi osiksi. Siis on (ainakin yksi) k 0 Z siten, että k 0 x k (toisin sanoen x I 0 = [k 0, k 0 + 1]). Jaetaan sitten väli I 0 kymmeneen yhtä suureen osaan, jakopisteinä siis k 0, k , k ,..., k , k Koska x kuuluu jollekin näistä osaväleistä, on luku k 1 {0, 1,, 3,..., 9} siten, että Näin löydetään (suljettu) väli k 0 + k x k 0 + k = k 0 + (k 1 + 1) I 1 = [ 1 k 0 + k 1 10, k 0 + (k 1 + 1) 1 ], 10 joka sisältää pisteen x ja I 1 I 0. Jaetaan tämä uusi väli I 1 kymmeneen yhtä suureen osaan (koska välin I 1 pituus on 1 ovat osien pituudet 1 ): jakopisteinä ovat nyt k 0 + k , k 0 + k , k 0 + k ,..., k 0 + k , k 0 + (k 1 + 1) Koska x kuuluu välille I 1, se kuuluu myös ainakin yhteen näistä osaväleistä, toisin sanoen on olemassa luku k {0, 1,,..., 9}. 1 k 0 + k k x k k k = k k (k + 1) 1 100, joten merkitsemällä tätä suljettua väliä [ 1 I = k 0 + k k 1 100, k k (k + 1) 1 ], 100 pätee x I I 1 I 0. 16
20 I 1 10 x suurennos I x x 1 1 k 0 k 0 +1 k 0 + k 1 10 k 0 + ( k 1 +1) 10 I 0 I 1 Jatketaan näin loputtomiin: n. vaiheessa löydetään suljettu väli I n I n 1, jonka pituus on 10 n ja [ 1 I n = k 0 + k k k 1 n 10, k 1 n 0 + k k (k n + 1) 1 ] 10 n ja x I n (tässä k 0, k 1, k,..., k n {0, 1,, 3,..., 9}). Sisäkkäisten välien periaatteen nojalla {x} = I n. Koska luvut k 0, k 1, k,..., k n määräävät välin I n (yksikäsitteisesti), vastaa lukua x desimaalikehitelmä n=0 k 0, k 1 k k 3 = k 0 + 0, k 1 k k 3 = x, jos x 0; missä k 0 {0, 1,,... } ja k j {0, 1,, 3,..., 9}, kun j = 1,,.... Negatiivisille luvuille desimaalikehitelmää voitaisiin merkitä kuten yllä, mutta tavallisempi tapa on tällöin noudattaa sääntöä luvun x desimaalikehitelmä = (luvun x desimaalikehitelmä). Tämä tulkittuna em. konstruktion merkinnöin antaa seuraavaa: kun x < 0 ja k 0 { 1,, 3,... } sekä luvut k j {0, 1,, 3,..., 9}, kun j = 1,,..., määräytyvät eo. konstruktion mukaisesti, on x = k 0, k 1 k k3 k4 = k 0 + 0, k 1 k k 3..., missä k 0 = k 0 + 1, k 1 = 9 k 1, k = 9 k, k 3 = 9 k 3,
21 Siten esimerkiksi 1 10 = 0, 1000 = 0, 1 ja 1 10 = 0, 1 ; kehitelmän lopusta 0-jonot jätetään yleensä merkitsemättä Huomautus. Yllä oleva desimaaliesitys ei ole yksikäsitteinen. Esimerkiksi 1 = 0, 999 = 1, Kuitenkin, edellä olevassa konstruktiossa x määrää k 0 :n yksikäsitteisesti, ellei x satu olemaan kokonaisluku. Jos taas x Z, voidaan k 0 valita kahdella tavalla: joko k 0 = x tai k 0 = x 1. Kun tämä valinta on tehty, määräytyvät loput luvut k j yksikäsitteisesti: jos k 0 = x, niin k 1 = 0 = k = k 3 =... jos k 0 = x 1, niin k 1 = 9 = k = k 3 =... Edelleen, jos x ei ole kokonaisluku, niin k j :t määräytyvät yksikäsitteisesti, ellei x satu olemaan välin I j päätepiste. Jos x on I j :n päätepiste, niin joko 1. x on I j :n oikea päätepiste, jolloin x on myös jokaisen I l :n oikea päätepiste, kaikilla l j, joten x = k 0 + 0, k 1 k... k j 1 (k j 1)999..., toisin sanoen k l = 9 kaikilla l > j tai. x on I j :n vasen päätepiste, jolloin x on myös jokaisen I l :n vasen päätepiste, kaikilla l > j, joten x = k 0 + 0, k 1 k... k j 000. Siispä: sopimalla, ettei desimaalikehitelmä saa loppua päättymättömään 9-jonoon, on desimaalikehitelmä yksikäsitteinen. 18
22 3.4. Epäyhtälöitä 3.5. Huomautus. Muista i) a a. ii) Kun a b ja b a, niin a = b. iii) Kun a b ja b c, niin a c. Edelleen: kun a, b > 0, niin a + b > 0 ja ab > Huomautus. On hyvä muistaa, että a > b a b > Lemma. i) Jos a > b ja c > d, niin a + c > b + d. ii) Jos a > b ja c > 0, niin ac > bc. iii) Jos a > b ja c < 0, niin ac < bc. iv) Kun a, b > 0, niin a < b a < b. Todistus: i) a + c (b + d) = (a b) + (c d) > 0, koska a b > 0 ja c d > 0. Tästä seuraa, että a + c > b + d. ii) ac bc = c(a b) > 0, koska c > 0 ja a b > 0. 19
23 iii) HT. iv) Olkoon a < b. Väite: a < b. a = aa ii) < ab ii) < bb = b. Olkoon a < b. Väite: a < b. koska b + a > 0 ja b a > 0. b a = b + a 1 (b a) = b + a b + a (b a ) > 0, 3.8. Lause. Jos a < b + c kaikilla c > 0, niin a b. Todistus: Antiteesi: a > b. Olkoon c = a b > 0, jolloin oletuksen nojalla a < b + c = b + (a b) = a, mikä on ristiriitaista (nimittäin, että olisi a < a). Väite on siten tosi. Esimerkki. 1, 4 <, koska (1, 4) = (1 + 0, 4) = 1 + 0, 8 + 0, 16 = 1, 96 < ja < 1, 5, koska (1, 5) =, 5 >. Edelleen 1, 41 < < 1, 4, koska (1, 41) = 1, 9881 ja (1, 4) =, Tärkeimmät epäyhtälöt ovat luvun itseisarvon arvioita. Näillä arvioidaan esimerkiksi approksimointitarkkuutta, virhettä yms Huomautus. Muista: Kun x R, on luvun x itseisarvo luku x = { x, jos x 0 x, jos x < 0. Geometrisesti x tarkoittaa luvun x etäisyyttä 0:sta. Tällöin 0
24 i) x 0 kaikilla x R ii) x = 0 x = 0 iii) xy = x y kaikilla x, y R; erityisesti x = x. iv) x x x kaikilla x R. Esimerkki. Ratkaise x + 1 > x 3, toisin sanoen, x:n on oltava lähempänä lukua 3 kuin lukua 1. Lukujen 3 ja 1 keskipiste on 1+3 = 1, joten ratkaisu on x > x + 1 > x 3 Esimerkki. Ratkaise x 3 < x, toisin sanoen etäisyys nollasta on vähintään puolet x:n ja luvun 3 välisestä etäisyydestä. Jaetaan [0, 3] suhteessa 1 :, jolloin jakopiste on 1. Jos x > 1, on x lähempänä lukua 3 kuin x. Toinen mahdollinen kriittinen kohta on 3, jolloin x < 3 toimii yhtä hyvin x 3 < x Esimerkki. x 3 4 on yhtäpitävä epäyhtälön x 3 kanssa, jonka ratkaisun näkee heti: 1 x Huomautus. Ympäristö Luvun x ε-ympäristö B(x, ε) koostuu niistä pisteistä y R, joiden etäisyys x:stä 1
25 on alle ε (ε > 0). Toisin sanoen B(x, ε) := {y R : x y < ε} =]x ε, x + ε[. x ε x x + ε Seuraava viattomanoloinen epäyhtälö on erittäin keskeinen analyysissä Lause. (Kolmioepäyhtälö, -ey) Kaikilla x, y R x + y x + y. Todistus: Ensiksi x + y x + y x + y, sillä x x ja y y, ja toisaalta (x + y) = x + ( y) x + y = x + y. Siispä x + y = { x + y x + y, jos x + y 0 (x + y) x + y, jos x + y Seuraus (Käänteinen kolmioepäyhtälö). Kaikilla x, y R x y x + y ( x + y ). Todistus: Kolmioepäyhtälön nojalla x y = (x + y) y y x + y + y y = x + y. Samoin joten ( x y ) = y x y + x = x + y, x y x + y.
26 Esimerkki. x y 1 x y 1, sillä käänteisen kolmioepäyhtälön nojalla 1 x y = (x + y)(x y) x y x y = x y, josta haluttu epäyhtälö seuraa. Esimerkki. Jos x > 1 ja y >, niin Tämä voidaan todistaa seuraavasti: x y x y. x y = 1 x + y x y y x y x y 1 x y Huomautus. Summamerkintä Jos x j R, j = 1,,..., niin n x j := x 1 + x + x n, j=1 ts. 1 x j := x 1 j=1 ja n n 1 x j := x n + x j kaikilla n > 1. j=1 j=1 Kolmioepäyhtälöstä seuraa induktiolla (HT) n x j j=1 n x j. j=1 3
27 3.14. Lause (Cauchy-Schwarzin epäyhtälö). Olkoon a j, b j 0, j = 1,, 3,..., n. Tällöin ( n ) ( n a j b j j=1 j=1 a j ) ( n k=1 b k ) Huomautus. Erikoistapaus 3 Cauchy-Schwarzin epäyhtälöstä on ns. aritmeettis-geometrinen epäyhtälö ab a + b kaikilla a, b 0. a+b ab a b Tämän voi todistaa helposti myös suoraan siitä havainnosta, että reaaliluvun neliö on aina 0: 0 ( a b ) = a a b + b = a ab + b. Cauchy-Schwarzin epäyhtälö voidaan myös todistaa tähän yksinkertaiseen ideaan perustuen, alla kuitenkin erilainen todistus (missä käytetään koulusta tuttuja derivaatan ominaisuuksia). Todistus: Voidaan olettaa, että n b j 0. Määritellään j=1 f(t) = n (a j + tb j ) = j=1 n j=1 ( ) a j + ta j b j + t b j. 3 Valitse a 1 = b = a ja a = b 1 = b. (Kuten kuvasta näkyy, lukujen a ja b geometrinen keskiarvo on suorakulmaisen kolmion korkeusjanan pituus, kun tämä jakaa hypotenuusan osiin a ja b. Aritmeettis-geometrisen epäyhtälön nojalla se ei koskaan ylitä hypotenuusan puolikasta.) 4
28 Tällöin f(t) 0 kaikilla t R. Minimoidaan f: f (t) = a j b j + t b j = 0, aj b jos t = j b. Sijoitetaan tämä f:n lausekkeeseen ja saadaan j 0 f = = = ( ) ak b k b k n j=1 ( n j=1 ( ) ( a ak b k j + a b j b j + k a j ) ( n a j ( a k b k ) n, j=1 b l l=1 mistä haluttu epäyhtälö seuraa. ) ak b k b b j k ) ( ) ( ak b k n a b j b j + ( a k b k ) n ) k j=1 ( b b k ) j j=1 Esimerkki. Aritmeettis-geometrinen epäyhtälön nojalla = = 3, joten [1, 3 ]. Samoin = , , 01 = 100, 005, joten [100, ] Taso ja avaruus (R n ) Karteesista tuloa R R = R kutsutaan (xy-)tasoksi. A B := {(a, b) : a A b B}, 5
29 siis R = {(x, y) : x R ja y R} = {(x 1, x ) : x j R j = 1, }. Yhteenlasku koordinaateittain: jos x = (x 1, x ) R ja y = (y 1, y ) R, niin x + y := (x 1 + y 1, x + y ) R. Reaaliluvulla λ R kertominen: (λx) := (λx 1, λx ) R. Pisteiden x = (x 1, x ) ja y = (y 1, y ) R välinen etäisyys on erityisesti, jos y = 0 ts. y = (0, 0), niin Yleisemmin, jos n N, x y := (x 1 y 1 ) + (x y ), x = x 1 + x. R n = {(x 1, x,..., x n ) : x j R} = R R R }{{} n kertaa on n-ulotteinen euklidinen avaruus. R n :n pisteiden x = (x 1, x, x 3,..., x n ) ja y = (y 1, y, y 3,..., y n ) summa on x + y := (x 1 + y 1, x + y, x 3 + y 3,..., x n + y n ) R n. Jos λ R, niin λx = (λx 1, λx,..., λ n ) R n. Euklidinen pituus on x:n ja y:n etäisyys on x := ( n j=1 x j ) 1. ( n ) 1 x y = (x j y j ). j=1 Cauchy-Schwarzin epäyhtälöstä seuraa kolmioepäyhtälö x + y x + y. 6
30 4. Funktiot Useimmat koulukurssin funktioista määritellään yksinkertaisilla lausekkeilla. Lisäksi niillä on usein myös derivaatat kaikkialla ym. Yleensä funktiot eivät ole näin sileitä, esimerkiksi funktioille 1+x tai sin ( 1 x x) ei saada derivaattaa, kun x = 0, vaikka ne määriteltäisiin miten 0:ssa Funktio Olkoon A, B R. Funktio 4 eli kuvaus f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen pisteeseen x A (joukon A alkioon) tasan yhden pisteen y B (joukon B alkion). Tätä alkiota y B kutsutaan alkion x A kuvaksi (kuvapisteeksi) ja sitä merkitään 5 y =: f(x). Joukko A on f:n määrittely- eli lähtöjoukko ja joukko B sen maalijoukko. A:n kuvajoukko (funktiossa f) on f(a) = {y B : y = f(x) jollakin x A} Huomautus. i) Aina f(a) B, mutta voi olla f(a) B. Esimerkiksi, kun niin kuvajoukko on f(r) = {0} R. f : R R, f(x) = 0 kaikilla x R, ii) Jokaista alkiota x A vastaa tasan yksi kuvapiste y = f(x) B, mutta voi olla, että piste y B on useamman kuin yhden A:n alkion kuvapiste. iii) Funktiot f : A B ja g : C D ovat samat, jos a) A = C b) B = D ja c) f(x) = g(x) kaikilla x A = C. 4 Siis formaalisti ottaen funktio f : A B on sellainen joukko A f(a) A B, jonka alkioilla on seuraava ominaisuus: jos (a, b) ja (a, c) ovat ko. joukossa, niin b = c. 5 Joskus käytetään myös merkintää x f(x). 7
31 Esimerkki. f(x) = x f : R R f(r) = [0, ] R f( x) = f(x) kaikilla x, erityisesti f( 1) = 1 = f(1). Myöskin kun niin g : R R, g(x) = { x, jos x / Z 7, jos x Z, g(r) = {7} (R \ Z), g(z) = {7}. 4.. Huomautus. Yleensä tällä kurssilla oletetaan, että funktioiden määrittelyjoukko on mahdollisimman suuri, ellei toisin mainita Huomautus. Funktio voidaan määritellä monella eri tavalla: esimerkiksi geometrisesti, tai vaikkapa: g(x) = x:n etäisyys Helsingistä rataverkkoa pitkin. Esimerkki. Yhtälöt a = x x + y, b = y x + y määräävät a:n ja b:n x:n ja y:n funktioina (x, y) a ja (x, y) b, jotka voidaan määritellä kaikilla (x, y) R \ {0, 0}, eli kun x + y 0. HT: Määrää x ja y a:n ja b:n funktioina, kun (x, y) (a, b) = ( ) x x + y, y. x + y Ts. ratkaise x ja y a:n ja b:n avulla, eli määrittele kuvaus (a, b) (x, y). Piste (a, b) on samalla origon lähtevällä puolisuoralla kuin piste (x, y), mutta sen etäisyys origosta on pisteen (x, y) etäisyyden käänteisluku. 8
32 Esimerkki. A = a (a-sivuisen neliön ala), f(x) = 1 x, x 1 (suorakulmaisen kolmion hypotenuusa kateettien 1 ja x funktiona), t (t, t ) (pisteen liike pitkin paraabelia). Jos f : A B ja g : C D ja C A, niin mikäli f(x) = g(x) kaikilla x C, niin sanotaan, että g on f:n rajoittumafunktio joukkoon C, mikä merkitään g = f C. Esimerkki. Jos f(x) = x 3 f : R R g(x) = x 3 g : [0, ] R, niin g = f [0, ]. Yllä olevat funktiot f ja g ovat siis tarkkaan ottaen eri funktioita. f g 4.4. Määritelmä. Funktio f : A B on - surjektio, jos f(a) = B eli jokainen B:n alkio y on jonkin A:n alkion x kuva, y = f(x) ( onto ) - injektio, jos eri pisteet kuvautuvat eri pisteiksi, eli ehdosta x 1 x A seuraa f(x 1 ) f(x ) ( one-to-one ) - bijektio, jos f on sekä surjektio että injektio Huomautus. Se, että f : A B on bijektio, tarkoittaa siis sitä, että jokaista A:n alkiota x vastaa täsmälleen yksi B:n alkio y ja kääntäen; jokaista B:n alkiota y vastaa täsmälleen yksi A:n alkio x. Näin voidaan määritellä g : B A asettamalla g(y) = x, missä y = f(x). 9
33 Tällöin g on f:n käänteiskuvaus, mitä merkitään g =: f 1. Selvästi myös f 1 : B A on bijektio, jonka käänteiskuvaus on (f 1 ) 1 = f. Siis, jos f on bijektio, f : A B, niin sillä on käänteiskuvaus f 1 : B A siten, että f 1 (f(x)) = x kaikilla x A f ( f 1 (y) ) = y kaikilla y B. Esimerkki. Tässä on eräs bijektio: f : N P, f(n) = n, f 1 (n) = n ; yllä P on positiivisten, parillisten kokonaislukujen joukko Huomautus. Jos f : A B on injektio, niin kuvaus g : A f(a), g(x) = f(x) kaikilla x A on bijektio, ts. injektio on bijektio kuvajoukolleen. Esimerkki. Funktio f : R R, f(x) = x, ei ole injektio eikä surjektio: f( 1) = f(1) = 1 ja f(x) 1 kaikilla x R. Toisaalta f [0, [ on injektio, edelleen g : [0, [ [0, [, g(x) = x on bijektio. Lopuksi f : R [0, [, f(x) = x, on surjektio, mutta ei injektio. Tärkeä keino havainnollistaa funktiota on piirtää siitä kuvaaja eli graafi (joka on eri asia kuin kuvajoukko!). Jos f : A R (A R n ), niin f:n kuvaaja on joukko Gr(f) := {(x, f(x)) : x A} A R R n+1. Kun f : A R on reaalimuuttujan funktio eli kun A R, on graafi erittäin hyödyllinen. Sitä vastoin, jos lähtö- tai maalijoukko on korkeampiulotteinen, on parempi etsiä muita havainnollistamiskeinoja. Jos A R, kätevän keinon tarjoaa ns. tasa-arvokäyrät (vertaa kartat). 30
34 Useamman muuttujan funktioita ovat esimerkiksi f(x, y) = x + y ja g(x, y) = x y. Graafinen hahmotus tasa-arvokäyrien avulla: Tasa-arvokäyrät koostuvat niistä pisteistä (x, y), joilla f(x, y) = vakio. Esimerkiksi funktion f(x, y) = x + y tasaarvokäyrät ovat ympyrän kehiä, esim. x + y = 1 x + y = Määritelmä. Jos on f : A B ja D B, niin joukon D alkukuva funktiossa f on joukko f 1 (D) := {x A : f(x) D}. älä sekoita alkukuvaa ja käänteiskuvausta! 4.8. Huomautus. Alkukuva f 1 (D) on aina joukko, f:n määrittelyjoukon osajoukko, f 1 (D) A. Se voi olla myös. (Esimerkiksi, jos f(x) = x, niin f 1 ([, 1]) =.) A B z f f(x) D 1 f (D) x f(z) f(a) 1 f (E)= Ο/ E 31
35 4.9. Huomautus (Sopimuksia). Jos f, g : A R ovat funktioita, niin määritellään (f + g)(x) : = f(x) + g(x) (fg)(x) : = f(x) g(x) ( ) f (x) : = f(x), jos g(x) 0. g g(x) 4.. Yhdistetty kuvaus Olkoot f : A B ja g : C D. Jos f(a) C, niin määritellään kuvauksista f ja g yhdistetty kuvaus g f : A D g f(x) := g (f(x)) Huomautus. Yhdistetyn funktion g f:n määritelmässä on g:n oltava määritelty pisteessä f(x). Esimerkki. Olkoon f(x) = { 1 x, jos x < 1 1 x 1 jos x 1 ja g(x) = x, missä g : R R ja f : R R. Yhdistetyt funktiot f g ja g f ovat siis määritellyt. { ( ) g 1 x = 1 x, jos x < 1 g f(x) = g (f(x)) = ( ) 1 g 1 = 1 + 1, jos x 1. x x x Havainnoidaan, että g(x) < 1 x < 1. f g(x) = f (g(x)) = { 1 g(x), jos g(x) < 1 1 g(x) 1, jos g(x) 1 3
36 eli f g(x) = { 1 x4, jos x < 1 1 1, x jos x Huomautus. Olkoon f : A B ja g : B A. i) Jos g f(x) = x kaikilla x A, niin f on injektio ja g surjektio. ii) Jos myös f on surjektio, niin f g(y) = y kaikilla y B ja f = g 1. (HT) 4.3. Monotoniset funktiot Olkoon I R väli ja f : I R. Sanotaan, että f on i) kasvava (nouseva), jos kaikilla x, y I ehdosta x y seuraa f(x) f(y). ii) aidosti kasvava, jos kaikilla x, y I ehdosta x < y seuraa f(x) < f(y). iii) vähenevä (laskeva), jos kaikilla x, y I ehdosta x y seuraa f(x) f(y). iv) aidosti vähenevä, jos kaikilla x, y I ehdosta x < y seuraa f(x) > f(y). v) vakio(funktio) jos kaikilla x, y I pätee f(x) = f(y). vi) (aidosti) monotoninen, jos f on joko (aidosti) kasvava tai (aidosti) vähenevä. Huomaa, että aidosti monotoninen funktio on injektio. 33
37 4.1. Lause. Olkoon f : I R aidosti kasvava. Tällöin f on injektio. Erityisesti f : I f(i) on bijektio ja tällöin myös käänteiskuvaus f 1 : f(i) I on aidosti kasvava. Todistus: f on injektio: Kun x 1 x I, niin joko x 1 < x, jolloin f(x 1 ) < f(x ) tai x 1 > x, jolloin f(x 1 ) > f(x ), joten joka tapauksessa f(x 1 ) f(x ). Siten f on injektio. f 1 on aidosti kasvava: Ellei f 1 ole aidosti kasvava, on y 1, y f(i) siten, että y 1 < y ja Koska f on aidosti kasvava, niin f 1 (y 1 ) f 1 (y ). f(f 1 (y 1 )) f(f 1 (y )) ja siten y 1 = f(f 1 (y 1 )) f(f 1 (y )) = y. Tämä on ristiriita, koska y 1 < y. Siis f 1 on aidosti kasvava Huomautus. Varo! f(i) ei ole välttämättä väli, vaikka f olisi aidosti monotoninen (jos f ei ole jatkuva). Lausetta (4.1) vastaava on totta tietysti myös aidosti väheneville funktioille Huomautus. Aidosti monotoninen funktio on injektio. Jos y = f(x), niin f 1 (y) = x, joten f:n käänteiskuvauksen graafi löydetään peilaamalla f:n graafi suoran y = x suhteen, sillä peilauksessa f:n graafin piste ( x, f(x) ) = (x, y) kuvautuu pisteeksi (y, x) = ( y, f 1 (y) ), joka on f 1 :n graafilla. 34
38 f 1 y=x f Esimerkki. f(x) = x 3 on aidosti kasvava funktio. Jos taas x, jos x < 0 g(x) = 0, jos 0 x 1 3, jos x 1, niin g on vähenevä funktio (ei aidosti vähenevä) Parilliset ja parittomat funktiot Olkoon f : R R. Jos f( x) = f(x) kaikilla x, niin f on parillinen (graafi symmetrinen y-akselin suhteen). Jos taas f( x) = f(x) kaikilla x, niin f on pariton (graafi symmetrinen origon suhteen). Esimerkki. Parillisia funktioita ovat mm. x, x n ja cos x. Parittomia funktioita ovat vaikkapa x, x n+1 ja sin x. Esimerkki. Olkoot f(x) = x, 35
39 jossa määrittely- ja kuvajoukko ovat kumpikin [0, [ sekä g(x) = x + 1, jossa sekä määrittely- että kuvajoukkona on R. Silloin g f = g( x) = x + 1, jonka määrittely- ja kuvajoukko ovat molemmat [0, [, ja f g = f(x + 1) = x + 1, jonka määrittelyjoukko on [ 1, [ ja kuvajoukko [0, [. Edelleen f f = f( x 1 x) = = x 4, jonka määrittely- ja kuvajoukko ovat kumpikin [0, [, ja g g = g(x + 1) = x +, jossa sekä määrittely- että kuvajoukkona on R. Esimerkki. f(x) = 1 x 1 + x, joka on määritelty, kun x 1. Myös f(x) 1 kaikilla x. Siten f f(x) = 1 f(x) 1 + f(x) = 1 1 x 1+x x 1+x = 1 + x (1 x) 1 + x + (1 x) = x = x, kun x 1. Esimerkki. Kun f(x) = { 1 x jos x 0 0, jos x = 0, on f bijektio f : R R: f on injektio (HT). Osoitetaan, että se on surjektio. Olkoon y R. Ratkaistaan y = f(x): Jos y = 0, niin x = 0. Jos y 0, niin x = 1 y, jolloin f(x) = f ( ) 1 = 1 1 y y = y. 36
40 4.5. Alkeisfunktiot A. Polynomit Funktio P : R R on polynomi, jos se voidaan esittää muodossa P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, missä n N, a j R ja a n 0. Tällöin n on polynomin asteluku ja luvut a j, j = 0, 1,,..., n, ovat polynomin kertoimia. n. asteen polynomi on derivoituva koko R:ssä ja sen derivaatta on (n 1). asteen polynomi, kun n 1. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polynomi p(x) = ax + b on (affinisti) lineaarinen polynomi. Polynomi q(x) = ax + bx + c on kvadraattinen eli toisen asteen polynomi Lause. Jos P on n. asteen polynomi ja P (x 1 ) = 0, niin P (x) on jaollinen (x x 1 ):llä. Toisin sanoen on olemassa (n 1). asteen polynomi Q siten, että P (x) = (x x 1 )Q(x) kaikilla x. Todistus: Induktiolla nähdään, että kaikilla n N pätee x n y n = (x y)(x n 1 + x n y + + xy n + y n 1 ), joten missä P (x) = P (x) P (x 1 ) = a n (x n x n 1) + a n 1 (x n 1 x1 n 1 ) + + a 1 (x x 1 ) = (x x 1 )(b n 1 x n b 1 x + b 0,) }{{} =:Q(x) b n 1 = a n 0, b n = a n x 1 + a n 1,... b 1 = a n x n a b 0 = a n x n a 1. 37
41 4.16. Seuraus. Jos n. asteen polynomilla P on nollakohdat x 1, x,..., x n, niin P (x) = a n (x x 1 )(x x )... (x x n ) kaikilla x R. (a n on n. asteen termin kerroin.) Seuraus. n. asteen polynomilla voi olla korkeintaan n kappaletta nollakohtia. Esimerkki. Polynomilla P 1 (x) = x + 1 ei ole reaalisia nollakohtia. Polynomilla P (x) = x 3 on sama nollakohta kolme kertaa: P (x) = x 3 = (x 0)(x 0)(x 0) Määritelmä (k-kertainen nollakohta). Jos n. asteen polynomille pätee P (x) = (x x 1 ) k Q(x) kaikilla x R, missä k N, x 1 R ja Q on polynomi siten, että Q(x 1 ) 0, niin sanotaan, että x 1 on polynomin P k-kertainen nollakohta (eli yhtälön P (x) = 0 k-kertainen juuri) Huomautus. Algebran peruslauseen (todistetaan laudatur-kurssilla) nojalla on jokaisella n. asteen polynomilla ainakin yksi kompleksinen nollakohta. Induktiolla ja Lauseen (4.15) avulla nähdään, että n. asteen polynomilla on (kertaluvut huomioiden) tasan n kompleksista nollakohtaa. (Reaalisia nollakohtia ei välttämättä ole.) 4.5. B. Rationaalifunktiot Kahden polynomin P ja Q osamäärää R = P Q sanotaan rationaalifunktioksi R(x) = P (x) Q(x), joka on määritelty, kun Q(x) 0. 38
42 Esimerkki. R(x) = 1 on rationaalifunktio (kuvaaja hyperbeli). Samoin R(x) = x on rationaalifunktio. 1 x +1 Funktio f on algebrallinen, jos on olemassa kahden muuttujan polynomi F (x, y) = n a k x k y n k k=0 siten, että Rationaalifunktio R = P Q F (x, f(x)) = 0 kaikilla x. on algebrallinen, mikä nähdään valitsemalla F (x, y) = yq(x) P (x) C. Potenssifunktio x x q, missä x > 0 ja q Q Olkoon n Z, n > 0. Tällöin funktio f :]0, [ R f(x) = x n on aidosti kasvava (seuraa Lemmasta(3.7)) ja sen kuvajoukko on ]0, [. Siten sillä on aidosti kasvava käänteisfunktio f 1 :]0, [ ]0, [. Merkitään: n. juuri. Edelleen merkitään x n := f 1 (x) =: x 1 n, ( ) n 1, kun x > 0, x jolloin g(x) = x n määrää aidosti vähenevän funktion g :]0, [ ]0, [. Edelleen, jos q = m n Q (m, n Z, n 0), niin määritellään x q := (x m ) 1 n. 39
43 Toisin sanoen, yhdistämällä kuvaukset x f x m ja x g x 1 n saadaan x q = g f(x). Havaitaan, että funktio x x q, q Q (rationaalinen potenssifunktio) on 1) aidosti kasvava funktio, jos q > 0 ) aidosti vähenevä funktio, jos q < 0 3) vakio = 1, jos q = 0. Huomaa, että x > 0 koko ajan! Tällöin potenssifuktio on bijektio ]0, [ ]0, [, jos q 0. x q 5 q>1 4 3 q=1 1 0<q< Huomautus. Irrationaaliset potenssit määritellään myöhemmin. 40
44 4.1. Huomautus. Potenssifunktio on hyvin määritelty rationaalisislle potensseille ja i) (x p ) q = x pq ii) x p x q = x p+q iii) x q > 0 kaikilla q Q, x > 0. (HT; Käytä määritelmiä!) D. Eksponenttifunktiot ja logaritmifunktiot Eksponenttifunktioksi kutsutaan funktiota x a x, jossa a > 0. Äsken määriteltiin a x, kun x on rationaalinen (eli x Q). Kun x, y Q ja y > x, on a y = a x+(y x) = a x a y x. Koska x x q on aidosti kasvava, q > 0, q Q, niin a y x > 1 y x = 1, jos a > 1 a y x < 1 y x = 1, jos a < 1 a y x = 1, jos a = 1. Niinpä > a x, jos a > 1 a y = a x a y x < a x, jos a < 1 = a x = 1, jos a = 1. Siispä f(x) = a x on 1) aidosti kasvava, jos a > 1 ) aidosti vähenevä, jos 0 < a < 1 3) vakio = 1, jos a = 1. Irrationaaliselle x:lle määritellään a x siten, että funktiosta f(x) = a x tulee tulee aidosti monotoninen funktio R R, kun a 1 (tai jatkuva tämän lauseen sisältö selviää myöhemmin). Funktion f : R R, f(x) = a x, jossa a > 0, a 1, kuvajoukko on ]0, [ (todistetaan myöhemmin). 41
45 a x 10 8 a> a=1 a<1 Kun a > 0, a 1, on eksponenttifunktio a x aidosti monotoninen. Sillä on siis käänteisfunktio g :]0, [ R, a-kantainen logaritmi g(x) = a log x, x > 0. Toisin sanoen, y = a x x = a log y, a, x, y > 0, a 1. Huomaa, joskus a-kantaista logaritmia merkitään myös a log x =: log a x. 4.. Huomautus. x a log x on 1) aidosti kasvava, jos a > 1, ) aidosti vähenevä, jos 0 < a < 1, 3) ei määritelty, jos a = 1. 4
46 7.5 a log x 5 a> a< Tärkein yleisistä eksponenttifunktioista on eksponenttifunktio missä e on ns. Neperin luku, exp(x) := e x, ( e = lim n, n n) Sen käänteisfunktio on logaritmifunktio 6 (ns. luonnollinen logaritmi) log x := e log x (= ln x). 6 Varoitus: yliopistopiireissä log x on yleensä luonnollinen logaritmi eikä 10-kantainen. 43
47 Toisin sanoen kaikilla x > 0 pätee e log x = x ja kaikilla x R log(e x ) = x. e x 4 log x=ln x Huomautus (Harj.teht.). OLkoon a > 0, a 1. Tällöin i) Kaikilla x R pätee a x = e x log a ( esim. x = e 1 log x ). ii) a log x = log x, kun x > 0. log a iii) Kaikilla x R pätee { a x+y = a x a y, e x+y = e x e y (a x ) y = a xy. 44
48 iv) Kun x, y, b > 0, niin { a log(xy) = a log x + a log y, log(xy) = log x + log y a log(b x ) = x( a log b). Esimerkki. e x+y 1 ex + 1 ey kaikilla x, y R, koska aritmeettis-geometrisen epäyhtälön nojalla e x+y = ( e x+y) 1 = e x+y = e x e y 1 ex + 1 ey E. Trigonometriset funktiot Suorakulmaisessa kolmiossa, jonka terävät kulmat ovat α ja β, on kulman α 1) sini sin α = α:n vast. kateetti hypotenuusa ) kosini cos α = α:n vier. kateetti hypotenuusa = sin β 3) tangentti 4) kotangentti sin α cos α = α:n vast. kateetti α:n vier. kateetti = tan α cotan α = cos α sin α = α:n vier. kateetti α:n vast. kateetti Huomautus. Trigonometriset funktiot voidaan määritellä kunnolla analyyttisesti. Tämä tehdäänkin myöhemmin. 45
49 cot z sin z = y (x,y) tan z z x = cos z Tarkastellaan yksikköympyrän kehää S = { (x, y) R : x + y = 1 }, jossa kehän pituus S = π. Lähdetään liikkeelle positiiviselta x-akselilta, pisteestä (1, 0), ja kuljetaan vastapäivään z:n pituinen matka. Näin saavutaan pisteeseen (x, y) ja merkitään { sin z := y cos z := x. Jos kuljetaan myötäpäivään, merkitään kuljettua matkaa negatiivisella luvulla z = z ja määritellään sin z ja cos z kuten yllä. Siten sin z ja cos z saadaan määritellyksi kaikilla z R. 1 sin x π π π 3π 1 cos x 46
50 Tangentti määritellään näin: tan z := sin z cos z, kun cos z 0 eli z π + nπ, n Z. Kotangentti määritellään käänteisarvona cot z := cos z sin z kun sin z 0 eli z nπ, n Z. Siten cot z = 1 tan z, kun z nπ, n Z. 3π π π 3π tan x cot x 47
51 Koska yksikköympyrän kehän pituus on π, saadaan kaikilla z R ja n Z sin z + cos z = 1, sin z := (sin z) sin(z + πn) = sin z cos(z + πn) = cos z sin( z) = sin z cos( z) = cos z, sin(π z) = sin z, cos(π z) = cos z sin z = 0 z = nπ cos z = 0 z = π + nπ sin z 1 cos z 1. ( cos x = sin x + π ) ( sin x = cos x π ) Muita hyödyllisiä kaavoja: { sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y. Näistä ensimmäinen seuraa helposti toisesta ja toinen todetaan esimerkiksi vektorilaskennolla: kun ā = ī cos x + j sin x b = ī cos y + j sin y, niin koska ā = b = 1, on ā b = cos(ā, b) = cos ( ± (x y) ) = cos(x y). (cos y, sin y) y x y x (cos x, sin x) 48
52 Toisaalta ā b = cos x cos y + sin x sin y, mistä yo. yhteenlaskukaava seuraa. Muita hyödyllisiä peruskaavoja: sin(x) = sin x cos x cos(x) = cos x sin x = cos x 1 = 1 sin x, sekä edelleen: tan(x) = tan x 1 tan x tan x + tan y tan(x + y) = 1 tan x tan y. Suoraan määritelmästä saadaan seuraava tärkeä arvio: 4.5. Lemma. Kaikilla x ]0, π [ pätee Erityisesti, jos x < π 4, niin cos x < sin x x < 1 < 1 cos x. x sin x x. Todistus: Olkoon ympyräsektorin kaaren pituus x. Sektorin pinta-ala on tällöin π x π = x. (cos x, sin x) x (1, tan x) (1, 0) 49
53 Nyt (piirtämällä kuvan, jossa on yksikköympyrä ja kolme kolmiota, joiden kärjet ovat pisteissä (0, 0), (cos x, sin x) ja (cos x, 0), pisteissä (0, 0), (cos x, sin x) ja (1, 0) sekä (0, 0), (1, tan x) ja (1, 0) vakuuttautuu epäyhtälöistä) Siis sin x cos x < }{{ } pienen kolmion ala Kun x ]0, π [ on sin x > 0, joten 1 sin x < }{{} keskimmäisen kolmion ala x < }{{} sektorin ala sin x cos x < sin x < x < sin x cos x. cos x < 1 < x sin x < 1 cos x, mistä seuraa väite (toinen väite on suora seuraus tästä, HT). tan x. }{{ } ison kolmion ala 4.6. Huomautus. Sinin ja kosinin määritelmistä voidaan helposti johtaa myös seuraavat huomiot. Jos (x, y) R ja (x, y) (0, 0), niin ( ) x x + y, y S = {(x, y) : x + y = 1}. x + y Merkitään r := x + y. Jos ϕ on kulma x-akselin ja janan (0, 0), (x, y) välillä kierrettäessä positiiviseen suuntaan (siis vastapäivään), niin { x = cos ϕ r = sin ϕ, toisin sanoen { x = r cos ϕ y r y = r sin ϕ. Siispä (r, ϕ) on pisteen (x, y) koordinaatit ns. napakoordinaatistossa. 50
ANALYYSI 1. Tero Kilpeläinen 2000/2002
ANALYYSI Tero Kilpeläinen 000/00 ANALYYSI Sisällys Johdanto. Reaaliluvut ja epäyhtälöt 5. Funktiot 7 3. Jatkuvuus 38 4. Jonot 59 5. Funktiot ja raja-arvot 74 6. Paluu alkeisiin: eksponenttifunktiot ja
LisätiedotOlkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
Lisätiedot0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut
0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z
LisätiedotKaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 1 Pekka Salmi 18. syyskuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta 2015 1 / 65 Yleistä Luennot: ma 1214, pe 1012 Luennoitsija: Pekka Salmi, M229 (kahden viikon
Lisätiedotx > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.
ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotÄärettömät raja-arvot
Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotTehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.
Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
LisätiedotInjektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.
Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.
LisätiedotReaaliluvuista. Yleistä funktio-oppia. Trigonometriset funktiot. Eksponentti- ja logaritmifunktiot. LaMa 1U syksyllä 2011
Toisen viikon luennot Reaaliluvuista. Yleistä funktio-oppia. Trigonometriset funktiot. Eksponentti- ja logaritmifunktiot. LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu paljolti lukion oppikirjoihin ja Trench in verkkokirjaan,
LisätiedotFysiikan matematiikka P
Fysiikan matematiikka 763101P Luennoija: Kari Rummukainen, Fysikaalisten tieteiden laitos Tavoite: tarjota opiskelijalle nopeasti fysikaalisten tieteiden tarvitsemia matematiikan perustietoja ja taitoja.
LisätiedotA = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotSini- ja kosinifunktio
Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin
Johdatus reaalifunktioihin 11. syyskuuta 2014 10:28 1. Reaaliluvut ja epäyhtälöt 1.1 Lukualueet = { 1, 2, 3 } luonnolliste n lukujen joukko Suljettu yhteen ja kertolaskujen suhteen: Jos m,n en (eli m en
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
LisätiedotKarteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21
säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1
Lisätiedot1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
LisätiedotLuku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Lisätiedotreaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,
Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotRollen lause polynomeille
Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotAlgebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.
Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 1
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotReaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:
Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:
Lisätiedot1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo
1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):
LisätiedotReaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
LisätiedotFunktion määrittely (1/2)
Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.
Lisätiedot1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotMiten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
LisätiedotVastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)
Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ
Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän
LisätiedotVASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
Lisätiedot2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt
. Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
LisätiedotAnalyysi I. Visa Latvala. 26. lokakuuta 2004
Analyysi I Visa Latvala 26. lokakuuta 2004 34 Sisältö 3 Reaauuttujan funktiot 35 3.1 Peruskäsitteitä................................. 35 3.2 Raja-arvon määritelmä............................. 43 3.3 Raja-arvon
LisätiedotSeurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa
Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
LisätiedotReaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista
säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,
LisätiedotFunktiot ja raja-arvo. Pekka Salmi
Funktiot ja raja-arvo Pekka Salmi Versio 0.3 13. lokakuuta 2017 Johdanto Tämä moniste on keskeneräinen... 1 1 Reaaliluvut 1.1 Lukujoukot Lukujoukoista käytettään seuraavia merkintöjä: N = {0, 1, 2, 3,...}
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Lisätiedoty z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
Lisätiedota b c d + + + + + + + + +
28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja olkoot a R \ {0}, b R ja Y = ax + b. (a) Olkoon X diskreetti ja f sen pistetodennäköisyysfunktio.
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotDifferentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
Lisätiedot5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
LisätiedotTehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
Lisätiedot