Yhden muuttujan reaalifunktiot
|
|
- Krista Tikkanen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Yhden muuttujan reaalifunktiot Määritelmä Monisteessa määritellään, mitä tarkoittaa funktio eli kuvaus A B, missä A ja B ovat joitain reaalilukujoukkoja, siis joukon R osajoukkoja Itse asiassa aivan samalla tavalla määritellään leinenkin funktiokäsite, siis funktio f : A B, missä A ja B saavat olla mielivaltaisia joukkoja Tällä kurssilla funktiot ovat kuitenkin aina reaalifunktioita eli monisteen määritelmän mukaisia funktioita kahden reaalijoukon välillä a Eräs funktio on f : R R, f( = 3 + Tämän funktion määritteljoukko on R, samoin maalijoukko on R, ja määritelmässä mainittu sääntö on annettu lausekkeella 3 + b f : R R, = 3 + = f( f( = { kun 0, kun > 0 c Tässä on vielä esimerkkinä funktio, joka ei ole reaalifunktio vaan kahden äärellisen joukon välillä määritelt funktio Tässä esimerkissä sääntö on annettu luettelemalla Tällaisia ei meillä muita tule f( = α, f : {,, 3} {α, β, γ, δ}, f( = δ, f(3 = β Tämä on funktio, koskapa jokaiselle määritteljoukon alkiolle on määritelt ksikäsitteinen kuva f( maalijoukosta i f : R R, f( = ii Monisteen esimerkissä on annettu kolme sääntöä, jotka ensi silmäksellä = nättäisivät määrittelevän funktiot, mutta joista kstään, miksi ne eivät ole funktioita Tässä on selitkset Sääntö f : R Z, f ( = ei ole funktio, koska annetut kuva-alkiot eivät kaikki ole annetussa maalijoukossa Z Sääntö f : R R, f ( = sin ei ole funktio, koska f (0 ei ole määritelt; siis määritteljoukon alkiolla 0 ei ole kuvaa Kolmas sääntö f 3 ei ole funktio, koska alkiolle tulisi kaksi eri kuvaa
2 Käänteisfunktio Seuraavassa käänteisfunktion käsite on esitelt hiukan toisin kuin monisteessa Olkoon f : A B bijektio Silloin jokainen B on jonkin alkion A kuva (f:n surjektiivisuus ja ko on ksikäsitteinen (f:n injektiiviss Siis voidaan määritellä funktio f : B A (f:n käänteisfunktio säännöllä: Kun B niin f ( =, missä A on se alkio jolla f( = Sama lhemmin: Kun A ja B niin f ( = f( = Tarkastellaan funktiota f( = +3 + = + + Hahmotellaan sen kuvaajaa Jos sitä ei osaa piirtää suoraan, niin voi piirtää ensin apukuvioina funktioiden = ja = + kuvaajat (hperbelit = = + jolloin jo saadaankin: = + 3 +
3 Kuviosta nähdään, että tästä saadaan bijektiivinen funktio, kun määrittelja maalijoukot valitaan sopivasti: f : R \ { } R \ {}, f( = Nimittäin kuvio mukaan nt f on, paitsi määritelmän mukainen funktio, mös sekä injektio että surjektio (Meille riittäköön nt kuviosta katsominen Koska f on bijektio, niin sillä on käänteisfunktio f Tiedetään f:n lauseke, mutta mikä on f :n lauseke? Ensinnäkin f on funktio R\{} R \ { } Kun R \ {} ja R \ { }, niin f ( = f( = Niinpä f ( saadaan lausekkeena selville ratkaisemalla seuraavasti: = f( = + + = + = + = + Näin ollen f ( = + Jos halutaan merkitä mös f :n argumenttia :llä, niin f ( = + = + 3 Koska = f( = f (, niin funktion f kuvaajasta saadaan käänteisfunktion f kuvaaja vaihtamalla - ja -akselien roolit Esimerkiksi jos funktio on f( = 3 : R R, niin käänteisfunktio on f ( = 3 : R R, ja kuvaajat ovat seuraavanlaiset 3 b a 3 a b = 3 = 3 3
4 Yhdistett funktio 8 Jos f : A B on bijektio ja sillä siis on käänteisfunktio f : B A, niin (f f ( = B, (f f( = A Jos mös f :n argumenttia merkitään :llä, niin ensimmäinen ehdoista kuuluu (f f ( = B Perustelu: Kun A ja B, niin f( = = f ( Siis, kun B on mielivaltainen ja merkitään = f (, niin (f f ( = f(f ( = f( = Kun A on mielivaltainen ja merkitään = f(, niin (f f( = f (f( = f ( = Kätämme tätä nt keinona tarkistaaksemme aikaisemmassa esimerkissä lasketun tuloksen Funktion käänteisfunkioksi saimme Kun, niin f : R \ { } R \ {}, f( = f : R \ {} R \ { }, f ( = + 3 (f f ( = f(f ( = f ( + 3 f ( + = = =, ( ( ( ( 4
5 ja kun, niin Polnomifunktio Huomautus 9 (f f( = f (f( = f( + 3 f( = = = ( ( + ( + 3 ( + Monisteen sivulla 9 esitetään keino, jolla lödetään kokonaislukukertoimisen polnomin kokonaislukunollakohdat jos sillä on sellaisia Tässä se keino esitetään hiukan leisempänä Olkoon p( kokonaiskertoiminen polnomi, p( = a n n + a n n + + a + a 0 (a i Z, a 0, a n 0 Jos p(:llä on rationaalinen nollakohta r/q Q, missä r/q on supistettu muoto, niin r on a 0 :n tekijä ja q on a n :n tekijä Siis r, q Z, ja supistettu muoto tarkoittaa ettei r:llä ja q:lla ole muita hteisiä tekijöitä kuin ± Ehtoja r on a 0 :n tekijä ja q on a n :n tekijä merkitään r a 0 ja q a n ja luetaan mös r jakaa a 0 :n ja q jakaa a n :n Otetaan tästä ensin esimerkki ja sitten esitetään todistus Olkoon p( = Halutaan lötää p(:lle rationaalinen nollakohta, jos sillä on sellainen Jos r/q (supistettu muoto on nollakohta, niin r 3 ja q 4 Siis r q { ±, ±3, ± }, ±3, ± 4, ±3 4 Kokeilemalla ksi kerrallaan, mikä näistä kahdestatoista ehdokkaasta toteuttaa ehdon p( = 0, todetaan, että ainakin 3 4 on nollakohta Menetelmän todistus Oletetaan, että p( on kuten edellä ja että p(r/q = 0, missä r/q Q on supistetussa muodossa Toisin sanoen ( r n ( r n r a n + a n + + a q q q + a 0 = 0 5
6 Kertomalla q n :lla saadaan a n r n + a n r n q + + a rq n + a 0 q n = 0 Kirjoitetaan tämä kahteen muotoon: a n r n = q ( a n r n + + a 0 q n, a 0 q n = r ( a n r n + + a q n Ensimmäisestä muodosta seuraa, että q jakaa tulon a n r n, ja koska q:lla ja r:llä ei ole hteisiä tekijöitä (paitsi ±, niin q jakaa a n :n Toisesta muodosta saadaan samoin, että r jakaa a 0 :n Onko polnomilla p( = rationaalisia nollakohtia? Jos sellainen nollakohta r/q on, niin tät olla r 3 ja q ; siis r/q {±, ±3} Kokeilemalla nähdään, ettei mikään näistä neljästä ole nollakohta Siispä polnomilla ei ole rationaalisia nollakohtia Juurifunktio Juurifunktio n määritellään potenssifunktion n käänteisfunktiona Koska käänteisfunktio määritellään vain bijektiiviselle funkiolle, käsittelemme parillisen ja parittoman n:n tapaukset erikseen Olkoon n Z, n Muistetaan, että R + tarkoittaa epänegatiivisia reaalilukuja Oletetaan, että n on parillinen Potenssifunktio f( = n : R + R + on bijektiivinen, joten sillä on käänteisfunktio f : R + R +, jota merkitään f ( = n Siis parillisen n:n tapauksessa juurifunktio n on funktio n : R+ R + = n = n Oletetaan, että n on pariton Potenssifunktio f( = n : R R on bijektiivinen, joten sillä on käänteisfunktio f : R R, jota merkitään f ( = n Siis parittoman n:n tapauksessa juurifunktio n on funktio n : R R 6
7 = n = n Monisteen huomautuksissa 3 ja 4 s 3 on juurifunktion ominaisuuksia Eksponenttifunktio Eksponenttifunktion a tarkka määritelmä menee tämän kurssin ulkopuolelle, mutta seuraavassa siitä on limalkainen selits Olkoon a R, a 0 Halutaan määritellä a kun R Tapauksessa Z tämä on helppoa: Kun n Z, n 0, niin määritellään a n = a a (n tekijää, a n = a n (a 0 Mutta mitä esimerkiksi tarkoittaisi a? Yleinen potenssi a b, b R, voidaan määritellä kahdessa vaiheessa seuraavasti Olkoon ensin b Q Siis b = m n, missä m, n Z, n 0 Määritellään a b = a m/n = n a m Jotta määritelmä olisi järkevä, niin tässä kohden pitäisi todistaa, että jos m n = q r, niin am/n = a q/r Olkoon b R Voidaan osoittaa, että b saadaan jonkin rationaalilukujonon raja-arvona m i b = lim i n i (Raja-arvoista puhutaan möhemmin Kaikki luvut a m i/n i ovat nt jo määriteltjä, ja määritellään a b = lim i a m i/n i Nt pitäisi vielä osoittaa, että raja-arvo lim m i i n i on aina olemassa ja riippumaton siitä, miten ko rationaalilukujono on valittu Sitten pitäisi tämän määritelmän avulla todistaa kaikki eksponenttifunktion ominaisuudet, mm seuraavat (vrt s 34: a b a b = a b +b ; (a b b = a b b ; (a a b = a b a b, 7
8 missä luvut ovat reaalisia ja a, a, a 0 Kaikkiaan kseessä olisi suuri tö, ja tällä kurssilla otamme tämän kaiken tunnettuna Tästä saadaan kaksi tärkeää luokkaa funktioita Kun otetaan a muuttujaksi, merkitään a =, saadaan ns potenssifunktiot b : R + R +, missä b on mielivaltainen reaaliluku Meitä kiinnostaa nt toinen mahdollisuus: Ottamalla b muuttujaksi, b =, saadaan eksponenttifunktiot a : R R Monisteessa on näiden kuvaajat ja perusominaisuuksia (eksponentiaalinen kasvu Suureen f( sanotaan kasvavan eksponentiaalisesti (tai vähenevän, jos f( = ka missä k, a ovat vakioita Oletetaan, että tutkittava suure f( kasvaa eksponentiaalisesti ja että tiedetään arvot f(0 = 00 ja f( = 30 Suuriko on f(0? Siis f( = ka (k ja a toistaiseksi tuntemattomia vakioita, f(0 = 00, f( = 30 Jakamalla htälöt ka 0 = 00 ja ka = 30 keskenään saadaan a = = 3 0, joten f(0 = ka 0 = ka 0 (a 5 = 00 = 37,93 ( 3 5 = = Tässä ei siis tarvinnut ratkaista vakioita k ja a, mutta nekin olisi saatu Toinen tapa ajatella tehtävää olisi seuraava: Välillä [0, ] suure f( kasvaa,3-kertaiseksi Silloin f( kasvaa,3-kertaiseksi jokaisella :n pituisella välillä (eksponentiaalisen kasvun ominaisuus Siis välillä [0, 0] = [0, ] [, 4] [4, 6] [6, 8] [8, 0] suure f( kasvaa (, kertaiseksi, mistä saadaan f(0 = f(0 (,3 5 = f(
9 Logaritmifunktio Olkoon a > 0, a Eksponenttifunktion a kuvaajasta s 33 nähdään, että katsottuna funktioksi R (0,, siis f( = a : R (0,, se on bijektiivinen Siis sillä on käänteisfunktio, ns a-kantainen logaritmifunktio f ( = log a : (0, R Koska kse on käänteisfunktiosta, niin, kun (0,, log a = se jolla a = eli = log a = a Lisäksi (f f( = ja (f f ( = joten log a (a =, a log a ( = ; katso monisteen esimerkkiä 9 Edelleen, logaritmifunktion kuvaaja saadaan eksponenttifunktion kuvaajasta vaihtamalla - ja -akselien roolit, joten kuvaajat ovat seuraavanlaisia: Tapaus a > = a = a Tapaus 0 < a < = log a = log a Huomautus 30 Monisteen sivulla 35 olevat logaritmin perusominaisuudet seuraavat siitä, että kseessä on eksponenttifunktion käänteisfunktio, ja siitä, että eksponenttifunktiolla on mukavia ominaisuuksia a Ominaisuus log a r = r log a seuraa eksponenttifunktion ominaisuudesta (a = a Nimittäin kaavaa a varten pitäisi todistaa, että a r log a = r Kehittämällä vasemmasta puolesta tulee a r log a = (a log a r = r 9
10 b Ominaisuus log a ( = log a + log a seuraa htä helposti eksponenttifunktion ominaisuudesta a a = a + c Ominaisuus log a ( = log a log a seuraa ominaisuuksista a ja b d Ominaisuus seuraa helposti ominaisuudesta a log a = log b log b a Otetaan ksi esimerkki ominaisuuksien kätöstä On ratkaistava htälö log 3 + log 9 = 5 Huomaa, että pitää olla > 0, jotta htälön termit olisivat määriteltjä Koska htälössä on kahta eri logaritmin kantalukua, vaihdetaan toinen: Siis log 9 = log 3 log 3 9 = log 3 log 3 3 = log 3 log 3 + log 9 = 5 log 3 + log 3 = 5 log 3 + log 3 = 5 log 3 ( = = = 5/ = (3 5 /5 = 3 = 9 Kulma radiaaneissa Monisteessa määritellään (s 36, mitä tarkoittaa kulman lausuminen radiaaneissa: α (rad = b r α r kun α on sijoitettu r-säteiseen mprään keskuskulmaksi ja b on kaaren pituus, otettuna miinusmerkkisenä jos kiertosuunta on negatiivinen (mötäpäivään Voi olla α > 360 tai α < 0 b 0
11 Seurauksena tästä nähdään, että jos r-säteisen mprän keskuskulma on suuruudeltaan α radiaaneissa ja α > 0, niin ko kaaren pituus on αr Monisteen sivulla 37 selitetään, miten tehdään muunnos radiaanien ja asteiden välillä Jos kulma α on annettu radiaaneissa, niin asteissa sama kulma on α eli α Kääntäen, jos β on asteissa lausuttu kulma, niin radiaaneissa sama kulma on 80 β Esimerkiksi 45 = (rad = 4 (rad Radiaania ei leensä merkitä näkviin vaan kirjoitetaan vain β = 4 laaduttomana suureena Tulemme aina sijoittamaan kulman α ksikkömprään oheisen kuvion mukaisesti Negatiivisille kul- mille kätetään negatiivista kiertosuuntaa, ts mprän kehää kierretään mötäpäivään Seuraavissa kuvioissa on merkittnä kolme esimerkkikulmaa: 4 = 45, 3 = 0 ja 6 = 30 α /4 /3 /4 /3 /6 /6 Seuraavassa kuviossa on esimerkkikulmia enemmän Huomaa :n jaksollisuus: Esimerkiksi α = 7 4 ja β = 4 ovat erisuuria kulmia, mutta niitä vastaavat pisteet ksikkömprän kehällä osuvat päällekkäin /3 3/4 /4 0,, 5/4 /6, /6 7/4, /4
12 Trigonometriset funktiot Määritellään trigonometriset funktiot sin, cos, tan ja cot Tapaus 0 < < 90 (s 56: Tuttuun tapaan terävillä kulmilla trigonometriset kulmat määritellään suorakulmaisesta kolmiosta c a b sin = b c cos = a c tan = b a cot = a b = sin cos = cos sin = tan On stä muistaa seuraavat kaksi muistikolmiota /4 /3 /4 /6 3 Niistä nähdään mm sin 4 = cos 4 = ja tan 3 = 3 jne Jatkoa varten on huomattava, että kun kulma sijoitetaan em tavalla ksikkömprään uv-tasossa, niin mprän kehälle sntvän pisteen koordinaatit ovat (cos, sin (Nt ensi alkuun näin on vain kun 0 < < /, mutta aivan kohta tämä leistetään Huomaa, että koska haluamme nt merkitä argumenttikulmaa :llä, niin kutsumme sin koordinaatteja tavallisuudesta poiketen uv-koordinaateiksi Yleinen tapaus R: Nt laajennamme sini- ja kosini-funktiot koskemaan kaikkia reaalilukuja seuraavasti Olkoon R mielivaltainen Silloin on kulma, jonka suuruus radiaaneissa on Sijoitamme kulman uv-tason ksikkömprään kuten edellä, siis kärki on origossa, oikea klki on positiivisella u-akselilla, v v (cos, sin cos v u P (u, v ja toinen klki lödetään kulkemalla mprän kehää tarvittava määrä, vastapäivään jos 0, ja mötäpäivään jos < 0 Kehälle snt piste P, jonka koordinaatit olkoot (u, v u u
13 Jos >, niin kehää kierretään tarpeeksi monta kierrosta (u, v P v v > 0 u < 0 u P (u, v Määritellään sin = u, cos = v Silloin olemme määritelleet sinin ja kosinin funktioina sin : R R ja cos : R R Viereinen kuvio on edelleen voimassa, ja nt (cos, sin se pätee kaikille kulmille R Määritellään mös tangentti ja kotangentti: tan = sin cos cot = cos sin kun cos 0, kun sin 0 Monisteessa s 38 on näiden funktioiden kuvaajat Sivulla 39 on merkkikaaviot, jotka seuraavat suoraan o määritelmästä cos v sin u Jos α = 6, niin suuriako ovat sin α jne? Merkkikaavioista nähdään, että sin < 0 ja cos > 0, joten muistikolmion perusteella sin α = /, cos α = 3/, ja siis tan α = / 3 ja cot α = 3 / /6 3/ Ratkaise htälö cos = / Muistikolmion mukaan eräs ratkaisu on = /4 Koska cos saadaan vaakaakselilta, niin = /4 on toinen ratkaisu Muistamalla :n jaksollisuus saadaan vastaukseksi = ±/4 + n, n Z /4 / 3
14 Ratkaise htälö sin = 3/ Muistikolmiosta nähdään, että sin(/3 = 3/ Koska sini saadaan pst-akselilta, niin vastaus on { = /3 + n tai = /3 + n, eli { = 5/3 + n tai /3 = 4/3 + n 4/3 3/ 5/3 Trigonometriset identiteetit Monisteessa todistetaan cos = ± tan +, josta voidaan laskea cos, jos tan tunnetaan, edellttäen, että jostain voidaan päätellä kumpi merkki on oikein Vastaava kaava sinille kuuluu tan sin = tan cos = ± tan + Jos esimerkiksi tiedetään, että tan = 3 ja että on II neljänneksessä, niin cos = = 3, sin = ( Todistetaan hvin tärkeä kaava ( sin = cos Sivulla 39 on kaava cos(α β = cos α cos β + sin α sin β, joka on mös kaavakokoelmassa (Tämä kuuluu kaavoihin, joita ei tällä kurssilla todisteta mutta joita saa kättää Sen avulla saadaan ( ( ( cos = cos cos + sin sin = 0 cos + sin = sin Kaava on helppo muistaa siitä, että tapauksessa 0 < < se nähdään suorakulmaisesta kolmiosta 4
15 Edellisen esimerkin kaava sin = cos( näk funktioiden kuvaajista = sin ja = cos siten, että ne saadaan toisistaan peilaamalla suoran = 4 suhteen: = 4 = cos 3 = sin Toinen vastaava identiteetti on cos = sin( + Sekin näk kuvaajista Miten? On laskettava tarkasti sin 7 Hoksaamalla, että 7 = = 4 + 3, missä kulmien 4 ja 3 trigonometriset funktiot saadaan muistikolmioista, tämä voidaan ratkaista: sin 7 ( = sin = sin 4 cos 3 + cos 4 sin 3 = + 3 = + 3 Trigonometriset htälöt sin = ± Ratkaise htälö sin = 4 5/6 / /6 sin = 4 sin = ± = ± 6 + n 5/6 / /6 = ± + n Ratkaise htälö cos + sin = Trigonometrisissa htälöissä pitää leensä hoksata jokin keino, jolla htälö saadaan ratkaistavaan muotoon; rutiinikeinoja, jotka toimisivat aina, 5
16 ei ole Kun nt käsiteltävään htälöön sijoitetaan cos = sin, siihen jää vain siniä: cos + sin = ( sin + sin = sin sin = 0 sin ( sin = 0 sin = 0 tai sin = = n tai = 6 + n tai = n Ratkaise htälö cos + sin = 0 Tapa Todetaan ensin, ettei ole cos = 0: Jos olisi cos = 0, niin olisi sin = ±, eikä htälö toteutuisi Siis cos 0, joten sillä voidaan jakaa: 3/4 tan = sin = cos tan = = n Nimittäin muistikolmiosta nähdään, että tan 4 nähdään oikeat neljännekset Siis Tapa Kätetään sitä, että ( sin = sin( = cos ( =, ja merkkikaavioista ( = cos + cos + sin = 0 cos = sin ( cos = cos + Nt tarvitaan huomio α cos = cos α = ±α + n cos α Siis ( cos = cos + ( = ± + + n α = + + n tai = + n 0 = + n }{{} ei ratkaisua tai = + n = 4 + n 6
17 Tapa 3 Kätetään kaavaa cos α + cos β = cos α + β cos α β (monisteessa ja kaavakokoelmassa: cos + sin = cos + cos ( = cos + ( cos ( = cos ( 4 cos ( 4 = cos ( 4 ; siis cos = 0 / / cos + sin = 0 cos ( 4 = 0 4 = + n = n On mukava katsoa edellisen esimerkin htälön cos + sin = 0 ratkaisuja graafisesti Kuviossa on kärät = cos ja = sin = sin = cos Trigonometriset epähtälöt Ratkaise epähtälö cos /4 3/4 5/4 7/4 / / cos cos cos Pisteet cos = ±/ saadaan kun = 4 +n Kuviosta nähdään vastaus 4 + n n tai n n Nämä voidaan hdistää muotoon 4 + n n 7
18 Monisteen esimerkissä 4 nähdään menetelmä trigonometristen murtolauseke-epähtälöiden ratkaisemiseksi: Viedään kaikki samalle puolelle ja samalle murtoviivalle ja tehdään merkkitarkastelu Ratkaistaan epähtälö sin > tan Kirjoitetaan tan = sin cos ja noudatetaan sitten em ohjelmaa Huomaa, ettei cos :llä saa noin vain kertoa, koska sen merkkiä ei tunneta sin > tan sin > sin cos sin sin cos > 0 sin cos sin > 0 cos sin (cos > 0 cos Tutkitaan kolmen tekijän sin, cos ja cos merkit: + sin + cos + + cos + + /3 5/3 Yhdistetään: + / / / + Arkusfunktiot 5/3 Vastaus: n < < 3 + n tai + n < < + n tai 3 + n < < n Arkussini Sinifunktio sin : R R = sin 8
19 ei ole bijektiivinen, joten sillä ei ole käänteisfunktiota Jos siitä kuitenkin otetaan osa sin : [, ] [, ], niin tämä funktio on bijektiivinen, joten sillä on käänteisfunktio, ns arkussini arcsin : [, ] [, ] = sin = arcsin Koska kseessä on käänteisfunktio, niin, kun [, ] ja [, ], = arcsin = sin, arcsin(sin( =, sin(arcsin( = Siis, kun on annettu b [, ], niin arcsin b:n lötämiseksi on lödettävä sellainen α [, ], että b = sin α; silloin α = arcsin b Tätä voi ajatella ksikkömprän avulla: sin α / α / b arcsin(b / / tai vaihtoehtoisesti sinin kuvaajasta menemällä päinvastaiseen suuntaan : sin α b α arcsin(b 9
20 45 b Kstään, mitä on arcsin(sin( Jos olisi 5 [, ], niin olisi arcsin(sin( 4 5 = 4 5 (käänteisfunktiot, mutta näinhän ei nt ole Kuitenkin arcsin(sin( 4 5 on olemassa, ja sen lötämiseksi on lödettävä sellainen α [, ], että sin α = sin( 4 5 Yksikkömprän avulla nähdään, että α = 5 kelpaa Siis ( arcsin sin 4 = 5 5 Vaihtoehtoisesti voi katsoa kuvaajaa 4/5 sin(4/5 /5 / arcsin(4/5 / = sin ja laskea arcsin(sin 4 5 = ( 4 5 = 4 5 = 5 Arkuskosini Kosinin käänteisfunktio arkuskosini käsitellään aivan samoin, paitsi että kosini katsotaan funktioksi cos : [0, ] [, ], sillä koska näin saadaan bijektiivinen funktio, niin voidaan määritellä käänteisfunktio arccos : [, ] [0, ] Siis, kun [0, ] ja [, ], niin = arccos = cos Monisteessa on arkuskosinin kuvaaja Muut vastaavat kuviot kuin edellä arkussinin htedessä ovat arkuskosinille seuraavanlaisia: α 0 cos α arccos(b 0 b 0
21 cos(α α b arccos(b 46 Kstään, paljonko on cos(arcsin(/ 5 Monisteessa tämä päätellään suorakulmaisesta kolmiosta Toinen tapa: Merkitään α = arcsin(/ 5 Silloin α [, ] ja sin α = / 5 Yleisesti cos α = ± sin α, mutta koska nt α [, ], niin cos α 0 Siis ( 5 cos α = sin α = = 5, toisin sanoen cos (arcsin 5 = 5 Hperbelifunktiot Neperin luku Neperin luku e =,78 voidaan määritellä eri tavoin, ja sivulla 6 tulee eräs: ( e = lim + Tässä kurssissa se otetaan tunnettuna Luku e on tärkeimpiä vakioita matematiikassa Eksponenttifunktioiden a joukossa e on tärkein, jopa niin, että termillä eksponenttifunktio usein tarkoitetaankin juuri funktiota e Luonnollinen logaritmi Eksponenttifunktion e : R (0, käänteisfunktiota sanotaan luonnolli- seksi logaritmiksi ln ; siis ln = log e : (0, R Käänteisfunktio-ominaisuuksista seuraa taas = ln = e e ln = ; ln(e =, kun, R, > 0 = e = ln Funktiot e ja ln ovat tärkeitä mm siksi, että ne toteuttavat ksinkertaiset De = e ja D ln = Silloin esimerkiksi d = ln + C Näistä johtuen e ja ln putkahtavat sovelluksissa esiin tuon tuostakin
22 Hperbelifunktiot eli hperboliset funktiot Määritellään hperbelisini ja hperbelikosini sinh = (e e : R R, cosh = (e + e : R R Nämä kaavat ovat kaavakokoelmassakin Samassa kaavassa (0 esiintvät areafunktiot arsinh ja arcosh ovat niiden käänteisfunktiot; ne eivät kuulu tähän kurssiin Mös määritellään hperbelitangentti ja -kotangentti: tanh = sinh cosh : R R, coth = cosh sinh : R \ {0} R Ajattelemalla hperbelisiniä ja -kosinia kahden eksponenttifunktion erotuksena ja summana, siis sinh = e / e / ja cosh = e / + e /, niiden kuvaajat on helppo hahmotella: = cosh = e / = e / = sinh Monisteessa on listattuna muutama hperbolisten funktioiden identiteetti Ne ovat seuraavassa taulukossa melkein kaikki ja lisäksi on kaksi muuta, ja rinnalla on eräät trigonometristen funktioiden identiteetit: cosh sinh = cos + sin = sinh( + = sinh cosh + cosh sinh cosh( + = cosh cosh + sinh sinh sinh = sinh cosh cosh = cosh + sinh cosh = tanh( + = tanh tanh +tanh +tanh tanh sin( + = sin cos + cos sin cos( + = cos cos sin sin sin = sin cos cos = cos sin cos = ± +tan tan( + = tan +tan tan tan
23 Huomataan, että hperbolisilla ja trigonometrisilla funktioilla on vastaavanlaiset identiteetit; vain merkkieroja tulee joihinkin kohtiin Nämä hperbolisten funktioiden identiteetit on helppo todistaa suoraan laskemalla lausekkeista sinh = (e e ja cosh = (e + e, kuten monisteen sivulla 54 tehdään; tosin viimeiset kaksi johdetaan mukavammin lemmistä identiteeteistä Huomautus Voidaan ksä, että jos hperbelifunktioiden identiteettejä voidaan todistaa noinkin helposti laskemalla suoraan lausekkeista (ks s 54, niin eikö trigonometrisilla funktioilla onnistuisi saman tapainen, kun ne kerran nättävät jotenkin analogisilta Todellakin, sellainen keino on olemassa, joskin sitä varten pitäisi tuntea kompleksifunktioiden teoriaa ja varsinkin Eulerin kaava e i = cos + i sin, missä nt esiint kompleksinen eksponenttifunktio Kaavasta seuraa sin = i (ei e i ja cos = (ei + e i, ja näillä lausekkeilla voi laskea Nämä asiat eivät kuulu tähän kurssiin Johdetaan funktion sinh : R R käänteisfunktion arsinh lauseke Kuvaajasta nähdään, että sinh on bijektio, joten sillä on käänteisfunktio Kun, R, niin = sinh = (e e e e = 0 (e e = 0 e = ± +, missä kätettiin toisen asteen htälön ratkaisukaavaa Koska e > 0, niin miinusmerkki voidaan jättää pois (nimittäin + < 0 sillä + > Näin ollen = sinh e = + + = ln( + + Siispä käänteisfunktion lausekkeeksi tulee arsinh = ln( + +, ja jos halutaan merkitä argumentiksi, niin arsinh = ln( + + Samaan tapaan johdetaan funktion cosh käänteisfunktiolle lauseke arcosh = ln( + Bijektiivisttä varten cosh katsotaan funktioksi [0, [, Laskussa miinusmerkin hlkäämisen perustelu on hiukan vaikeampi kuin edellä 3
Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
Lisätiedot1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen?
Matematiikan johdantokurssi, sks 06 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
LisätiedotReaalifunktiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite
Reaalifunktiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite Hakemisto KATSO MYÖS: potenssi, juuret, polnomit, rationaalifunktiot, eksponenttifunktio, logaritmifunktio, trigonometriset funktiot, arcusfunktiot,
LisätiedotKaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
LisätiedotTrigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot
Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion
LisätiedotFunktion määrittely (1/2)
Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
LisätiedotÄärettömät raja-arvot
Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen
LisätiedotSini- ja kosinifunktio
Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus
Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Funktion raja-arvo Monisteen määritelmässä 32 s 55 määritellään funktion f) raja-arvo f) ja sitä selitetään huomautuksen 33 kohdassa a) Seuraavassa on a hiukan tarkempi
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
Lisätiedot2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat?
2..207 Määritelmä, (terävän kulman) trigonometriset funktiot: Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman trigonometriset funktiot ovat: kulman sini hpotenuusa sin a c kulman kosini hpotenuusa kulman tangentti
LisätiedotTRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT
3.0.07 0 π TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT π = π 3π π = π 5π 6π = 3π 7π TRIGONOMETRISET FUNKTIOT, MAA7 Tarkastellaan aluksi sini-funktiota ja lasketaan sin :n arvoja, kun saa arvoja 0:sta 0π :ään
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotUsean muuttujan funktiot
Usean muuttujan funktiot Johdantoa Kertauksen vuoksi seuraavassa kuviossa on joitakin asioita, joita olemme laskeneet hden muuttujan funktioista f() : [a, b] R Kuvion kärä on funktion f() kuvaaja = f()
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotA = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
Lisätiedot6 Eksponentti- ja logaritmifunktio
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 019 6 Eksponentti- ja logaritmifunktio 6.1 Eksponenttifunktio 1. Määritä (a) e 3 e + 5, (b) e, (c) + 3e e cos.. Tutki, onko funktiolla f() = 1 e tan + 1 ( π + nπ, n
Lisätiedot6 Joitain erityisfunktioita
6 Joitain eritisfunktioita Tässä luvussa tutustutaan joihinkin luonnontieteissä tarpeellisiin funktioihin. Aluksi esitellään funktioiden matemaattiset ominaisuudet ja sen jälkeen tarkastellaan esimerkkejä
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotTodista, että jokaisella parittoman asteen reaalikertoimisella polynomilla on ainakin yksi reaalinen nollakohta. VASTAUS: ...
4 Alkeisfunktiot 41 Potenssifunktio 42 Polynomit ja rationaalifunktiot 102 Todista, että jokaisella parittoman asteen reaalikertoimisella polynomilla on ainakin yksi reaalinen nollakohta 103 Olkoon p()
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
LisätiedotLineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa
Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =
LisätiedotMonisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia. Tässä pari esimerkkiä. = x x3 + 2 x + C.
Integraalifunktio Integraalifunktion määritelmä Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia Tässä pari esimerkkiä On integroitava funktio + 5 + / Saadaan ( + 5 + ) + 5 +
Lisätiedot1 TRIGONOMETRIAA JA VEKTOREITA. 1.1 Trigonometriset funktiot Kulmayksiköistä. Vaasan yliopiston julkaisuja, opetusmonisteita 1
Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita 1 1 TRIGONOMETRIAA JA VEKTOREITA a1-trigonometriaa Se:la1-TrigFun 1.1 Trigonometriset funktiot 1.1.1 Kulmaksiköistä Aste, 1 (engl. degree) Kun kellon viisari
LisätiedotMAOL-pisteytysohje. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 2014
0..0 MAOL-pistetsohje Matematiikka lht oppimäärä Kevät 0 Hvästä suorituksesta näk, miten vastaukseen on päädtt. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut ja lopputulos. Arvioinnissa
Lisätiedotz Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)
. Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.
Lisätiedot3 Raja-arvo ja jatkuvuus
3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 1 Pekka Salmi 18. syyskuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta 2015 1 / 65 Yleistä Luennot: ma 1214, pe 1012 Luennoitsija: Pekka Salmi, M229 (kahden viikon
LisätiedotFysiikan matematiikka P
Fysiikan matematiikka 763101P Luennoija: Kari Rummukainen, Fysikaalisten tieteiden laitos Tavoite: tarjota opiskelijalle nopeasti fysikaalisten tieteiden tarvitsemia matematiikan perustietoja ja taitoja.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
LisätiedotTRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT
TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec
LisätiedotIntegroimistekniikkaa Integraalifunktio
. Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
LisätiedotKorkeamman asteen polynomifunktio
POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Korkeamman asteen polnomifunktio Määritelmä: Jos polnomifunktion asteluku n, niin funktiota sanotaan korkeamman asteen polnomifunktioksi, P: P = a n n + a n 1 n 1 +...
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotPerustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.
Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa
LisätiedotTrigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot
Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö Ulkoa muistettavat peruskaavat Trigonometrisia funktioita koskevia kaavoja on paljon. Seuraavassa esitetään tärkeimmät ja lyhyet ohjeet niiden muistamiseen. Varsinaisesti
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotRadiaanit. Kun kulman α suuruus nyt mitataan tämän kaaren pituutena, saadaan kulmaan arvo radiaaneissa.
Radiaanit Kulmia mitataan matematiikassa paitsi asteissa, myös radiaaneissa. Radiaanien taustaideana on, että kun kulmaa α asetetaan yksikköympyrään, kulmien kylkien välille muodostuu ympyrän kehälle kaari
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
Lisätiedot1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1
Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,
LisätiedotToisen asteen käyrät 1/7 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kartio ja lieriö
Toisen asteen kärät 1/7 Sisältö ESITIEDOT: kärä, kartio ja lieriö Hakemisto KATSO MYÖS: mprä, toisen asteen pinnat Toisen asteen kärä Toisen asteen käräksi kutsutaan kärää, jonka htälö -ssa on muuttujien
Lisätiedot0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut
0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z
LisätiedotTrigonometriset funktiot
Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia
LisätiedotFunktio. Funktio on kahden luvun riippuvuuden ilmaiseva sääntö, joka annetaan usein laskulausekkeena.
n ja muuttujan arvon laskeminen on kahden luvun riippuvuuden ilmaiseva sääntö, joka annetaan usein laskulausekkeena. ESIMERKKI Tarkastele funktiota f() = + 7. a) Laske funktion arvo, kun =. b) Millä muuttujan
Lisätiedot1.1. YHDISTETTY FUNKTIO
1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 1
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon
LisätiedotMatematiikan pohjatietokurssi
Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio 3, 15.9.014 1. Mitkä seuraavista voisivat olla funktion kuvaajia ja mitkä eivät? Miksi? (a) (b) (c) (d) Vastaus: Kuvaajat b ja c esittävät funktioita. Huomaa,
LisätiedotReaaliluvuista. Yleistä funktio-oppia. Trigonometriset funktiot. Eksponentti- ja logaritmifunktiot. LaMa 1U syksyllä 2011
Toisen viikon luennot Reaaliluvuista. Yleistä funktio-oppia. Trigonometriset funktiot. Eksponentti- ja logaritmifunktiot. LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu paljolti lukion oppikirjoihin ja Trench in verkkokirjaan,
Lisätiedot1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
Lisätiedot1. Osoita juuren määritelmän ja potenssin (eksponenttina kokonaisluku) laskusääntöjen. xm = ( n x) m ;
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Ohjaus 11 7.1.009 alkavalle viikolle Ratkaisut (AK) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan tärkeiden transkendenttifunktioiden
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
LisätiedotReaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista
säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,
Lisätiedota b c d + + + + + + + + +
28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista
Lisätiedot1.6. Yhteen- ja vähennyslaskukaavat
Yhteen- ja vähennyslaskukaavoiksi sanotaan trigonometriassa niitä kaavoja, jotka sisältävät kehitelmät kahden reaaliluvun summan tai erotuksen trigonometriselle funktiolle, kuten sin( + y) sin cos y +
Lisätiedotk-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia
3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio
Lisätiedotd Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali
6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
LisätiedotFunktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?
Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus
Talousmatematiikan perusteet: Luento 5 Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Tähän mennessä Funktiolla f: A B, y = f x kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A Jotta funktio
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 11. Kurssikerta Petrus Mikkola 29.11.2016 Tämän kerran asiat Eksponenttifunktio Eksponenttifunktion määritelmä Eksponenttifunktion ominaisuuksia Luonnolinen logaritmi
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotFunktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA,
Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, MAA6 1. Suurin ja pienin arvo suljetulla välillä Lause, jatkuvan funktion ääriarvolause: Suljetulla välillä a, b jatkuva funktio f saa aina pienimmän ja suurimman
LisätiedotDerivaatan sovelluksia
Derivaatan sovelluksia Derivaatta muutosnopeuden mittarina Tehdään monisteen esimerkistä 5 hiukan mutkikkaampi versio Olete- taan, että meillä on mpräpohjaisen kartion muotoinen astia, johon virtaa vettä
Lisätiedot2. Funktiot. Keijo Ruotsalainen. Mathematics Division
2. Funktiot Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Kompleksimuuttujan z kompleksiarvoinen funktio f(z) voi olla yksiarvoinen tai moniarvoinen, esimerkiksi f(z) = e z f(z) =
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
Lisätiedot102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja
LisätiedotFunktion derivaatta. Derivaatan määritelmä. Johdanto derivaatan määritelmään
Funktion derivaatta Derivaatan määritelmä Johdanto derivaatan määritelmään Kstään, mikä on kärän sin origoon piirretn tangentin htälö Möhemmin, kun olemme käsitelleet derivaatat, saisimme tämän helpommin,
LisätiedotMat. tukikurssi 27.3.
Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa.
LisätiedotPyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi
Lisätiedot1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo
1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):
LisätiedotLASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI RUUTUUN!
Matematiikan TESTI 4, Maa7 Trigonometriset funktiot ATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TAKISTA TEHTÄVÄT
Lisätiedotsin x cos x cos x = sin x arvoilla x ] π
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 0, ratkaisuista. Todenna, että = + tan x. Mutta selvitäppä millä reaaliarvoilla se oikeasti pitää paikkansa! Ratkaisu. Yhtälön molemmat puolet ovat määriteltyjä
Lisätiedot6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia
6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia Tässä luvussa esitellään muutama esimerkki, joissa käytetään hyväksi eksponentti-, logaritmi- sekä trigonometrisia funktioita. Ensimmäinen esimerkki juontaa juurensa
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus
Talousmatematiikan perusteet: Luento 5 Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Tähän mennessä Funktiolla f: A B, y = f x kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A Jotta funktio
LisätiedotKarteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21
säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1
Lisätiedot5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
LisätiedotEpäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti
LisätiedotYmpyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora
Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotSuoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on
Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 01 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 5. Eksponenttifunktio ja sini- ja kosinifunktiot Kertausta. (1 Reaaliselle eksponenttifunktiolle e x : R R + pätee e x x k = kaikilla x R. k! (
Lisätiedot