6 Joitain erityisfunktioita
|
|
- Karoliina Hakola
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 6 Joitain eritisfunktioita Tässä luvussa tutustutaan joihinkin luonnontieteissä tarpeellisiin funktioihin. Aluksi esitellään funktioiden matemaattiset ominaisuudet ja sen jälkeen tarkastellaan esimerkkejä niiden kätöstä. 6. Eksponenttifunktiot Potenssifunktioksi kutsutaan sellaista funktiota, jossa lähtöarvo korotetaan johonkin vakiopotenssiin. Esimerkiksi f() = on potenssifunktio. Kun jokin vakio korotetaan lähtöarvon ilmaisemaan potenssiin, puhutaan eksponenttifunktiosta. Eksponenttifunktioita ovat esimerkiksi ( ) f() =, g() =, h() = 0. 5 Kuhunkin eksponenttifunktioon liitt vakio, joka korotetaan potenssiin. Tätä lukua nimitetään kantaluvuksi. Kantaluku on aina positiivinen, koska negatiivisia lukuja ei voi korottaa mihin tahansa potenssiin. Eksponenttifunktiota, jonka kantaluku on a, nimitetään a-kantaiseksi eksponenttifunktioksi. Jokainen eksponenttifunktio on määritelt ja jatkuva kaikilla reaaliluvuilla. Eksponenttifunktioiden arvot ovat lisäksi aina positiivisia, joten eksponenttifunktioilla ei ole nollakohtia. Eksponenttifunktioiden kasvavuus riippuu kantaluvusta: jos kantaluku on suurempi kuin, eksponenttifunktio on kaikkialla aidosti kasvava, ja jos kantaluku on pienempi kuin, eksponenttifunktio on aidosti vähenevä. Seuraavaan kuvaan on piirrett eksponenttifunktioiden kuvaajia eri kantaluvuilla. 5 f() = 3 4 f() = 0,5 3 f() = Eksponenttifunktioita käsiteltäessä potenssien laskusäännöt ovat kättökelpoisia. Ainakin seuraavat on stä palauttaa mieleen: ) a + = a a 3) a = a ) (a ) = a 4) a 0 =. 43
2 Kaavat seuraavat potenssilaskun määritelmistä leistämällä. Koska a 0 = kaikilla nollasta poikkeavilla luvuilla a, tiedetään, että jokaisen eksponenttifunktion arvo lähtöarvolla 0 on. Tämä nähtiin mös edellä esitetistä kuvaajista. Kun kantaluvuksi valitaan ns. Neperin luku e, jonka likiarvo on,788..., saadaan aivan eritinen eksponenttifunktio, jota nimitetään luonnolliseksi eksponenttifunktioksi. Sen lauseke on siis f() = e. Koska e on kköstä suurempi, luonnollinen eksponenttifunktio on kasvava. Toisinaan luonnolliselle eksponenttifunktiolle kätetään mös eritismerkintää ep. Tällöin kirjoitettaisiin f() = ep tai f() = ep(). Esimerkiksi laskimissa ja tietokoneohjelmissa merkintä ep() on leinen. Se siis tarkoittaa aivan samaa kuin e eli luku, korotettuna potenssiin. Tavallisen eksponenttifunktion tärkein ominaisuus on, että sen derivaattafunktio on sama kuin funktio itse. Toisin sanoen D e = e. Möhemmin nähdään, miten tämä ominaisuus liitt niin sanottuun eksponentiaaliseen kasvuun. Koska eksponenttifunktio ei muutu derivoitaessa, ei se muutu möskään integroitaessa: e d = e + C. Integroimisvakio on toki lisättävä. Esimerkki 6.. Luonnollinen eksponenttifunktio esiint usein hdistetssä muodossa, jossa eksponentissa on jonkin toisen funktion lauseke. Tarkastellaan esimerkiksi funktiota h() = e +. Tässä sisäfunktiona on g() = + ja ulkofunktiona eksponenttifunktio f() = e. Tällainen funktio on suoraviivaista derivoida hdistetn funktion derivoimissäännöllä. Sisäfunktion derivaatta on g () = ja ulkofunktion f () = e, joten h () = f ( g() ) g () = f ( + ) g () = e + = e +. Eksponenttifunktioiden htedessä mös tulon derivointikaavasta on todellista hötä. Esimerkiksi funktio k() = e on tulo potenssifunktiosta f() = ja eksponenttifunktiosta g() = e. Tulon derivoimissäännön nojalla saadaan k () = f ()g() + f()g () = e + e. Huomaa, miten luonnollinen eksponenttifunktio ei tosiaan muutu derivoitaessa miksikään. 44
3 Esimerkki 6.. Eksponenttifunktion hdistelmien integrointi toisinaan onnistuu, toisinaan ei. Esimerkiksi funktion h() = e 3 tppiset funktiot, joissa eksponenttiin on hdistett jokin ensimmäisen asteen polnomifunktio, voidaan aina integroida hdistetn funktion integroimissäännöllä. Sisäfunktioksi valitaan g() = 3 ja ulkofunktioksi f() = e. Sisäfunktio derivaatta olisi g () = 3. Koska sisäfunktion derivaatta on vakio, se voidaan järjestää lausekkeeseen kertomalla ja jakamalla luvulla 3. Tällöin päästään kättämään hdistetn funktion integroimissääntöä. Lasku etenee seuraavasti: e 3 d = 3 e3 3 d = 3 f ( g() ) g () d = 3 f ( g() ) + C = 3 e3 + C. Lopputulosta tarkasteltaessa huomataan, että luonnollinen eksponenttifunktio ei muuttunut integroitaessa mihinkään, ei möskään sen sisäfunktio. Eteen vain ilmesti sisäfunktion derivaatan käänteisluku. Integroimisvakiota ei möskään ole stä unohtaa. 6. Logaritmifunktiot Luvun logaritmi jonkin kantaluvun suhteen kertoo sen, mihin potenssiin kantaluku tulisi korottaa, jotta tuloksena olisi kseinen luku. Esimerkiksi -kantainen logaritmi luvusta 8 on 3, sillä 3 = 8. Tätä logaritmia merkitään log 8. Totesimme siis juuri, että log 8 = 3. Sellaista funktiota, jonka arvot ovat logaritmeja kantaluvun a suhteen, nimitetään a-kantaiseksi logaritmifunktioksi. Esimerkiksi funktio f() = log on -kantainen logaritmifunktio. Logaritmifunktiot on määritelt ainoastaan positiivisilla lähtöarvoilla. Ne ovat kaikkialla jatkuvia, ja niiden kasvavuus riippuu kantaluvusta samalla tavoin kuin eksponenttifunktioilla: jos kantaluku on suurempi kuin, logaritmifunktio on kasvava, ja jos kantaluku on pienempi kuin, logaritmifunktio on vähenevä. Jokainen logaritmifunktio saa lähtöarvolla arvon nolla, ja tämä on logaritmifunktion ainoa nollakohta. Seuraavassa kuvassa on logaritmifunktioiden kuvaajia eri kantaluvun arvoilla. f() = log e f() = log f() = log 0,5 45
4 Logaritmi palauttaa aina kantaluvun eksponentin: jos = 5, niin log 5 =. Täten logaritmeja voidaan kättää ratkaistaessa eksponenttifunktion lähtöarvoja samaan tapaan kuin juuria kätetään ratkaistaessa potenssifunktioiden lähtöarvoja. Logaritmifunktiota kutsutaankin eksponenttifunktion käänteisfunktioksi. Esimerkki 6.3. Selvitetään, milloin funktio f() = 3 + saa arvon 60. Tätä varten on ratkaistava htälö 3 + = 60. Logaritmin määritelmän mukaan 3-kantainen logaritmi luvusta 60 kertoo eksponentin, johon korotettuna luvusta 3 tulee 60. Kun tätä sovelletaan llä olevaan htälöön, saadaan log 3 60 = +, josta edelleen = log 3 60,73. Sama toimii mös toisinpäin: jos etsitään logaritmifunktion lähtöarvoja, voidaan turvautua eksponenttifunktioon. Tarkastellaan esimerkiksi htälöä log = 7. Logaritmin määritelmän nojalla -kantainen logaritmi luvusta kertoo, mihin potenssiin luku on korotettava, jotta saataisiin. Yhtälöön sovellettuna tästä seuraa, että Siispä = 7 = 8. 7 =. Logaritmeja käsiteltäessä on hötä logaritmien laskusäännöistä. Ne on mahdollista johtaa vastaavista eksponenttien laskusäännöistä. Huomionarvoisia ovat eritisesti seuraavat: ) log a () = log a + log a 3) log a (/) = log a ) log a = log a 4) log a = 0. Joidenkin kantalukujen tapauksissa on tapana kättää omaa merkintää. Esimerkiksi log 0 = lg ja log e = ln. Usein näkee mös kätettävän merkintää log ilman kantalukua. Tällöin tarkoitetaan leensä joko 0-kantaista tai e-kantaista logaritmia. Erikantaisista logaritmeista matematiikassa tärkein on e-kantainen eli luonnollinen logaritmi. Sille kätetään leensä merkintää ln (tai joskus log). Luonnollinen logaritmifunktio on luonnollisen eksponenttifunktion käänteisfunktio. Luonnollisen logaritmifunktion derivaatalle pätee D ln =. 46
5 Tämä derivointikaava mahdollistaa lopultakin lausekkeen / eli integroimisen. On kuitenkin huomattava, että edellisen kaavan sekä hdistetn funktion derivointisäännön nojalla pätee D ln( ) = ( ) =. Tämän vuoksi funktion f() = / integraalifunktiolla on kaksi mahdollisuutta: joko ln + C tai ln( ) + C. Se, kumpi valitaan, selviää asiahtedestä. Integroimiskaavassa molemmat vaihtoehdot voidaan ottaa huomioon kättämällä itseisarvomerkkejä: d = ln + C. Esimerkki 6.4. Integroidaan funktiota f() = välillä [, e]. Funktion f integraalifunktio on ln. (Integroimisvakiota ei nt tarvitse huomioida, koska kse on määrätstä integraalista.) Koska integroimisvälillä kaikki lähtöarvot ovat positiivia, integraalifunktio on itse asiassa ln. Täten e / e d = ln = ln e ln = 0 =. Integroidaan sitten samaa funktiota välillä [, ]. Koska nt lähtöarvot ovat negatiivisia, oikea integraalifunktio on ln( ). Siispä / d = ln( ) = ln ln = 0 ln = ln. Entä jos integroimisväli olisi sellainen, joka sisältää sekä positiivisia että negatiivisia lukuja? Tällöin väli sisältäisi mös luvun 0, mutta siinä ei olisi järkeä, sillä funktio f ei ole määritelt nollassa. Kseistä tapausta ei siis esiinn, joten integraalifunktio voidaan aina valita joko positiivisten tai negatiivisten lähtöarvojen mukaan. 6.3 Kantaluvun vaihtaminen Toisinaan on samassa tilanteessa käsiteltävä useita eksponentti- tai logaritmifunktioita, joilla voi olla eri kantaluvut. Mös esimerkiksi laskimissa on leensä oma näppäimensä vain muutamalle eri logaritmifunktiolle. Sen vuoksi on hvä tietää, miten eksponenttija logaritmifunktioiden kantalukuja voidaan muuttaa. Tarkastellaan ensiksi eksponenttifunktiota ja oletetaan, että halutaan ilmaista funktio f() = luonnollisen eli e-kantaisen eksponenttifunktion avulla. Tässä kätetään hväksi potenssin potenssin kaavaa, jonka mukaan (e k ) = e k. Jos nt lödettäisiin sellainen luku k, jolle pätee e k =, saataisiin edellisen kaavan perusteella htälö e k = (e k ) =. 47
6 Tähän ksmkseen vastaa logaritmi: luku k, jolle pätee e k =, on luvun e-kantainen logaritmi eli ln. Lopulta saadaan siis f() = = e k = e (ln ). Olemme siis ilmaisseet -kantaisen eksponenttifunktion e-kantaisen eksponenttifunktion avulla. Esimerkki 6.5. Derivoidaan eksponenttifunktio f() =. Tähän mennessä opitun perusteella osaamme derivoida vain luonnollisen eksponenttifunktion. Kantalukua vaihtamalla saadaan voidaan kuitenkin kirjoittaa funktion f lauseke luonnollisen eksponenttifunktion avulla: f() = = e (ln ). Nt derivoitavana lausekkeena onkin hdistett funktio, jossa sisäfunktion lauseke on ln ja ulkofunktion lausekkeena luonnollisen eksponenttifunktion lauseke e. Tämä osataan derivoida (vrt. esimerkkiin 6.): f () = D ( e (ln )) = e (ln ) ln = e (ln ). Haluttaessa voidaan vielä lopuksi palata -kantaiseen esitkseen: f () = ln. Yleisiä eksponenttifunktioita derivoitaessa tarvitaan siis apuna luonnollista logaritmia. Eksponenttifunktion kantaluvun vaihtaminen on tarpeellista, jos on tarpeen derivoida tai integroida muita kuin luonnollisia eksponenttifunktioita tai jos joudutaan jostakin sstä vertailemaan kahta erikantaista eksponenttifunktiota keskenään. Logaritmifunktioiden tapauksessa kantaluvun vaihtaminen on kuitenkin vielä tärkeämpi taito. Oletetaan, että halutaan ilmaista funktio g() = log 3 luonnollisen logaritmifunktion avulla. Logaritmi log 3 vastaa ksmkseen, mihin potenssiin 3 pitää korottaa, jotta saataisiin. Tämän mukaan siis 3 log 3 =. Vaihdetaan tässä eksponenttiesitksessä kantaluvuksi e samalla tavalla kuin edellä, jolloin saadaan htälö e (ln 3)(log 3 ) =. Nt kätetään jälleen logaritmin määritelmää: luonnollinen logaritmi luvusta on se luku, johon e pitää korottaa, jotta saataisiin. Viimeisen htälön perusteella kseinen luku on (ln 3)(log 3 ). On siis saatu ln = (ln 3)(log 3 ). Jakamalla htälö puolittain luvulla ln 3 saadaan lopulta esits g() = log 3 = ln ln 3. 48
7 Logaritmifunktion kannanvaihtoa tarvitaan niin usein, että esitetään se vielä leisessä muodossa kaavana: log a = log b log b a. Esimerkki 6.6. Ratkaistaan ksinkertainen eksponenttihtälö 4 = 0. Koska 4 = 4 ja 4 = 6, ratkaisu on oletettavasti kkösen ja kakkosen välissä. Logaritmin määritelmän perusteella ratkaisu on = log 4 0, mutta laskimessa on harvoin toimintoa mielivaltaisen logaritmin laskemiseksi. Laskimen näppäimistä löt leensä vain luonnollinen logaritmi (ln tai log) sekä toisinaan mös 0-kantainen logaritmi (lg, joskus mös log!). Joudumme siis vaihtamaan kantaluvun. Vaihdetaan logaritmi vaikkapa luonnolliseksi, jolloin se voidaan laskea laskimella: = log 4 0 = ln 0 ln 4,303,386,66. Yhtälön voisi ratkaista mös toisella tavalla. Ottamalla alkuperäisen htälön 4 = 0 molemmilta puolilta luonnollinen logaritmi saadaan htäpitävä htälö ln 4 = ln 0. Tähän voidaan kättää logaritmien laskusääntöä, jonka mukaan ln 4 = ln 4, ja tästä voidaan ratkaista. Koko päättel etenee seuraavasti: 4 = 0 ln 4 = ln 0 ln 4 = ln 0 : ln 4 ln 0 = ln 4. Lopullinen likiarvo on tietenkin täsmälleen sama kuin edellä. 6.4 Trigonometriset funktiot Trigonometrisia funktioita ovat koulusta tutut sini-, kosini- ja tangenttifunktiot. Sana trigonometria tulee kreikan kielestä ja tarkoittaa kolmion mittaamista ( trigōnon = kolmio, metrein = mitata). Trigonometriset funktiot ilmaisevat suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksien suhteiden riippuvuutta annetusta kulmasta. Jos lähtöarvona on jokin kulman suuruus, esimerkiksi sinifunktion arvo tuolla lähtöarvolla saadaan seuraavasti: asetetaan kseinen kulma toiseksi kulmaksi mihin tahansa suorakulmaiseen kolmioon ja luetaan tuon kulman vastaisen kateetin ja hpotenuusan pituuksien suhde. Tuo suhde on sinifunktion arvo eli annetun kulman sini. Trigonometristen funktioiden perinteiset määritelmät näkvät oheisesta kuvasta. c a sin = a/c cos = b/c b tan = a/b 49
8 Suorakulmaisen kolmion avulla voidaan kuitenkin määrittää trigonometristen funktioiden arvoja vain tietillä kulman arvoilla, koska suorakulmaisessa kolmiossa kaikki muut kuin suora kulma ovat pienempiä kuin 90 astetta. Jos siis haluttaisiin määritellä sinin arvo vaikkapa lähtöarvolla 30, törmättäisiin vaikeuksiin. Asia korjaantuu määrittelemällä trigonometriset funktiot uudelleen ns. ksikkömprän avulla. Yksikkömprä on koordinaatistoon piirrett mprä, jonka keskipiste on origossa ja säde on. Tähän mprään sijoitetaan kulmia siten, että niiden kärki on origossa ja toinen klki -akselin positiivisella osalla. Kulman suuruus tulkitaan positiiviseksi, jos se aukeaa -akselilla olevasta kljestä vastapäivään, ja negatiivinen, jos se aukeaa mötäpäivään. Yksikkömprään voidaan piirtää mös täskulmaa (360 ) suurempi kulma kiertämällä mprä mpäri mahdollisesti useampaankin kertaan. positiivisia kulmia negatiivinen kulma suuri kulma (> 360 ) Matematiikassa kulman suuruus ilmoitetaan tavallisesti radiaaneina. Radiaani on sen kokoinen kulma, että ksikkömprässä sitä vastaavan kaaren pituus on sama kuin kulma itse. Kulman koko on siis ksi radiaani, jos sitä vastaavan ksikkömprän kaaren pituus on. rad Radiaaneja kätettäessä ksikköä ei leensä merkitä lainkaan näkviin. Joskus saatetaan selvden vuoksi kättää lhennettä rad. Koska ksikkömprän koko kaaren pituus on π, koko mpränkaarta vastaavan kulman eli täskulman suuruus on π radiaania. Toisaalta täskulma on 360 astetta. Tästä saadaan radiaanien ja asteiden välille seuraava muunnoskaava: kulma radiaaneina = kulma asteina π
9 6.5 Sinifunktio ja kosinifunktio Sini- ja kosinifunktiot voidaan määritellä ksikkömprän avulla seuraavasti. Olkoon lähtöarvo. Piirretään ksikkömprään kulma, jonka suuruus on siten, että sen alkuklki tulee -akselin positiiviselle osalle. Oletetaan, että loppuklki leikkaa ksikkömprän pisteessä (a, b). Tällöin sinifunktion arvo sin on tuon leikkauspisteen -koordinaatti eli a, ja kosinifunktion arvo cos on saman leikkauspisteen -koordinaatin arvo eli b. Määritelmät näkvät mös oheisesta kuvasta. sin (a,b) = (cos, sin ) cos Määritelmästä nähdään, että sini- ja kosinifunktion arvot sijoittuvat välille [, ], sillä ksikkömprällä olevan pisteen - ja -koordinaatit eivät voi olla suurempia kuin tai pienempiä kuin. Kun negatiiviset kulmat ja li täsmprän menevät kulmat tulkitaan aiemmin selitetllä tavalla, sini- ja kosinifunktiot voidaan määritellä kaikilla reaaliluvuilla. Niiden arvot tosin toistuvat aina täskulman välein, kun ksikkömprään piirretn kulman loppuklki palaa taas -akselille. Sini- ja kosinifunktion arvoja laskettaessa kätetään leensä kulmanksikkönä radiaania. Funktioiden kuvaajat on piirrett seuraaviin kuviin. Kuvista huomataan, että sekä sini- että kosinifunktion kuvaajat toistavat itseään aina täskulman eli π radiaanin välein. Tällaisia funktioita, joiden arvot toistavat itseään, sanotaan jaksollisiksi. Sini- ja kosinifunktio ovat siis jaksollisia funktioita, joiden jakson pituus on π. f() = sin π π 3 π π f() = cos π π 3 π π 5
10 Sini- ja kosinifunktion kuvaajia vertailemalla huomataan, että niiden kuvaajat vastaavat toisiaan, kun toista siirretään hieman vaakasuunnassa. Tarkka määrä on itse asiassa π/ (eli 90 ). Kaavana voitaisiin ilmaista, että cos = sin( + π/). Koska sini- ja kosinifunktio ovat jaksollisia, mös niiden nollakohdat toistavat itseään säännöllisesti. Sinifunktio saa arvon nolla, kun kulman suuruus on nolla, ja nollakohdat toistuvat aina π radiaanin (eli 80 ) välein. Nollakohdat voidaan siis ilmaista lhesti muodossa = nπ, missä n on kokonaisluku. Kosinin ensimmäinen nollakohta puolestaan on kohdassa = π/ (eli 90 ), ja nollakohdat toistuvat π radiaanin välein. Täten nollakohdat voidaan ilmaista muodossa = π + nπ, missä n on kokonaisluku. Esimerkki 6.7. Etsitään väliltä [0, 4] ne luvut, jotka toteuttavat htälön ( sin + π ) = 0. Tämä htälö toteutuu täsmälleen silloin, kun lauseke +π/ on sinifunktion nollakohta. Eräs tällainen nollakohta on 0, ja muut saadaan tästä π:n välein. Voidaan siis päätellä, että htälö pätee, kun + π = nπ, missä n voi olla mikä tahansa kokonaisluku. Tästä uudesta htälöstä voidaan helposti ratkaista : + π = nπ = nπ π = nπ π 4. Saatu on htälön ratkaisu aina, kun n on kokonaisluku. Sijoittamalla n:n paikalle eri kokonaislukuja saadaan muun muassa ratkaisut 0 π 4 0,79, π π 4 0,79, π π 4,36, 3π π 4 3,93 ja 4π π 4 5,50. Vain osa ratkaisuista osuu tutkittavalle välille [0, 4]. Nämä ratkaisut ovat (likiarvoina) 0,79,,36 ja 3, Tangenttifunktio Tangenttifunktio on trigonometrinen funktio, jonka ominaisuudet poikkeavat melkoisesti sini- ja kosinifunktioiden ominaisuuksista. Tangenttifunktio määritellään sinin ja kosinin osamääränä: tan = sin cos. 5
11 Koska nollalla ei voi jakaa, tangenttifunktio ei ole määritelt siellä, missä kosinifunktio saa arvon nolla. Toisin sanoen tangenttifunktion arvo tan ei ole määritelt, kun = π + nπ, missä n on kokonaisluku. Tangenttifunktion kuvaaja on piirrett seuraavaan kuvaan. 4 3 π 3 π π π π 3 π π π 3 4 Mös tangenttifunktio on jaksollinen, mutta tällä kertaa jaksona on π. Tangenttifunktion arvot toistuvat siis π:n välein. Tangenttifunktio saa arvon nolla silloin, kun osoittaja on nolla. Nollakohdat ovat siis samat kuin sinifunktiolla, eli ne ovat muotoa nπ, missä n on mikä tahansa kokonaisluku. 6.7 Sini- ja kosinifunktioiden derivaatat Kun kulman ksikkönä kätetään radiaania, sini- ja kosinifunktioiden derivointi sujuu helposti: D sin = cos, D cos = sin. Integrointi on aivan htä helppoa: sin d = cos + C, cos d = sin + C. Esimerkki 6.8. Tutkitaan, missä pisteissä funktio f() = sin + saa ääriarvoja avoimella välillä ]0, 0[. Tätä varten derivoidaan ensin funktio f. Sinin derivaatta on kosini, ja :n derivaatan tunnemme entuudestaan. Vakiokerroin ei muutu derivoitaessa, joten saadaan f () = cos +. 53
12 Kulkukaavion selvittämistä varten on ratkaistava derivaatan nollakohdat. Ensinnäkin nähdään, että cos + = 0 cos =. Laskimen tai taulukkokirjan avulla voidaan selvittää jokin sellainen lähtöarvo, jolla kosini saa arvon /. (Laskimessa toiminto merkitään leensä cos.) Vastaukseksi pitäisi tulla π/3 radiaania (0 ) tai likiarvona,094. Kaikkien derivaatan nollakohtien selvittämiseksi on kuitenkin nähtävä hieman enemmän vaivaa. Kosinifunktio on nimittäin jaksollinen funktio, joten se saa samat arvot aina π:n välein. Arvo / tulee siis paitsi kohdassa = π/3, mös aina kohdissa = π/3 + π, = π/3 + 4π jne. Toisaalta kosinifunktion kuvaajasta tai ksikkömprästä nähdään, että luvun ja vastaluvun kosinit ovat samat. Täten arvo / saadaan mös esimerkiksi kohdassa = π/3. Kun nämä kaksi seikkaa otetaan huomioon, voidaan päätellä, että derivaatan nollakohtia on itse asiassa kahdenlaisia: = π ( ) π 3 + n π tai = 3 + n π. Kummassakin n voi olla mikä tahansa kokonaisluku. Tilanne näk hvin seuraavasta kuvasta, johon on piirrett kosinifunktion kuvaaja sekä ne kohdat, joissa funktio saa arvon /. π 3 π π 3 π π 3 π 3 π 3 +π π 3 +π Saatuja nollakohtia tutkimalla nähdään, että tarkasteltavalle välille ]0, 0[ niistä osuvat vain seuraavat: π 3,094, π 3 + π = 8π 3 8,378 ja π 3 + π = 4π 3 4,88. Laskemalla derivaatan arvoja näiden nollakohtien välissä (muista asettaa laskimeen kulmanksiköksi radiaanit!) saadaan seuraavanlainen kulkukaavio: 0 < <,094,094 < < 4,88 4,88 < < 8,378 8,378 < < 0 f () + + f() ր ց ր ց Nähdään siis, että funktiolla f on maksimikohdat =,094 ja = 8,378 sekä minimikohta = 4,88. Se, onko funktiolla pienintä tai suurinta arvoa, selviää laskemalla 54
13 arvot tarkasteluvälin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdissa. Osoittautuu, että pienin arvo saavutettaisiin tarkasteluvälin vasemmassa päätepisteessä, mutta koska väli oli avoin, se ei sisällä päätepisteitään, joten pienintä arvoa ei itse asiassa koskaan saavuteta. Suurin arvo sen sijaan saavutetaan jommassakummassa maksimikohdassa. Laskemalla nähdään, että f(,094) 3,86 ja f(8,378) = 0,0, joten suurin arvo on 0,0 kohdassa = 8,378. Ohessa on vielä funktion f kuvaaja
Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
LisätiedotA = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
LisätiedotTrigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot
Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia
Lisätiedot2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat?
2..207 Määritelmä, (terävän kulman) trigonometriset funktiot: Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman trigonometriset funktiot ovat: kulman sini hpotenuusa sin a c kulman kosini hpotenuusa kulman tangentti
Lisätiedot4 Derivaatta. 4.1 Funktion kasvun ja vähenemisen tutkiminen
4 Derivaatta 4. Funktion kasvun ja vähenemisen tutkiminen Eräitä kiinnostavimmista asioista funktioita tutkittaessa ovat funktion kasvavuus ja vähenevs. Funktio on jollain välillä kasvava, jos f(a) f(b)
Lisätiedot1.1. YHDISTETTY FUNKTIO
1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
Lisätiedotk-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia
3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio
LisätiedotSini- ja kosinifunktio
Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotReaalifunktiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite
Reaalifunktiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite Hakemisto KATSO MYÖS: potenssi, juuret, polnomit, rationaalifunktiot, eksponenttifunktio, logaritmifunktio, trigonometriset funktiot, arcusfunktiot,
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
LisätiedotEpäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti
LisätiedotMuista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:
Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3
Lisätiedotz Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)
. Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.
Lisätiedot6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia
6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia Tässä luvussa esitellään muutama esimerkki, joissa käytetään hyväksi eksponentti-, logaritmi- sekä trigonometrisia funktioita. Ensimmäinen esimerkki juontaa juurensa
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Lisätiedot3 Raja-arvo ja jatkuvuus
3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla
LisätiedotFunktio. Funktio on kahden luvun riippuvuuden ilmaiseva sääntö, joka annetaan usein laskulausekkeena.
n ja muuttujan arvon laskeminen on kahden luvun riippuvuuden ilmaiseva sääntö, joka annetaan usein laskulausekkeena. ESIMERKKI Tarkastele funktiota f() = + 7. a) Laske funktion arvo, kun =. b) Millä muuttujan
LisätiedotTRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT
3.0.07 0 π TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT π = π 3π π = π 5π 6π = 3π 7π TRIGONOMETRISET FUNKTIOT, MAA7 Tarkastellaan aluksi sini-funktiota ja lasketaan sin :n arvoja, kun saa arvoja 0:sta 0π :ään
Lisätiedot1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen?
Matematiikan johdantokurssi, sks 06 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
LisätiedotÄärettömät raja-arvot
Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen
LisätiedotLineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa
Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
Lisätiedot( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2
Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 26.3.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne
LisätiedotKaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
Lisätiedot1 TRIGONOMETRIAA JA VEKTOREITA. 1.1 Trigonometriset funktiot Kulmayksiköistä. Vaasan yliopiston julkaisuja, opetusmonisteita 1
Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita 1 1 TRIGONOMETRIAA JA VEKTOREITA a1-trigonometriaa Se:la1-TrigFun 1.1 Trigonometriset funktiot 1.1.1 Kulmaksiköistä Aste, 1 (engl. degree) Kun kellon viisari
Lisätiedotf(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
Lisätiedot6 Funktioita ja yhtälöitä
6 Funktioita ja yhtälöitä 6. Rationaali- ja juurifunktio LUVUN 6. YDINTEHTÄVÄT 60. a) Määritelty, kun a 0. ( a ) ( a ) a a y y ( a a )( a ( a )) a a a a y y a 6 a ( y) ( y) Toinen tapa: ( a ) ( a ) a a
LisätiedotLuvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7
Luvuilla laskeminen TI-84 Plus käyttää laskujen suorittamiseen ns. yhtälönkäsittelyjärjestelmää (EOS TM, Equation Operating System), jonka avulla lausekkeiden syöttö tapahtuu matemaattisessa kirjoitusjärjestyksessä.
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 26..208 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
Lisätiedotmäärittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.
MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä
LisätiedotLASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI RUUTUUN!
Matematiikan TESTI 4, Maa7 Trigonometriset funktiot ATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TAKISTA TEHTÄVÄT
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
Lisätiedot5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
LisätiedotEksponentti- ja logaritmifunktiot
Eksponentti- ja logaritmifunktiot Eksponentti- ja logaritmifunktiot liittyvät läheisesti toisiinsa. Eksponenttifunktio tulee vastaan ilmiöissä, joissa tarkasteltava suure kasvaa tai vähenee suhteessa senhetkiseen
Lisätiedot1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo
1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):
LisätiedotSuoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on
Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
LisätiedotKertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 11. Kurssikerta Petrus Mikkola 29.11.2016 Tämän kerran asiat Eksponenttifunktio Eksponenttifunktion määritelmä Eksponenttifunktion ominaisuuksia Luonnolinen logaritmi
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotYhden muuttujan reaalifunktiot
Yhden muuttujan reaalifunktiot Määritelmä Monisteessa määritellään, mitä tarkoittaa funktio eli kuvaus A B, missä A ja B ovat joitain reaalilukujoukkoja, siis joukon R osajoukkoja Itse asiassa aivan samalla
Lisätiedotmäärittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.
MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,
Lisätiedot1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1
Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Lisätiedot6 Eksponentti- ja logaritmifunktio
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 019 6 Eksponentti- ja logaritmifunktio 6.1 Eksponenttifunktio 1. Määritä (a) e 3 e + 5, (b) e, (c) + 3e e cos.. Tutki, onko funktiolla f() = 1 e tan + 1 ( π + nπ, n
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
Lisätiedotx = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
LisätiedotDifferentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 4. Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio
Talousmatematiikan perusteet: Luento 4 Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Viime luennolla Funktiolla f: A B kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A A on lähtö- tai määrittelyjoukko
LisätiedotFysiikan matematiikka P
Fysiikan matematiikka 763101P Luennoija: Kari Rummukainen, Fysikaalisten tieteiden laitos Tavoite: tarjota opiskelijalle nopeasti fysikaalisten tieteiden tarvitsemia matematiikan perustietoja ja taitoja.
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
LisätiedotYleisiä integroimissääntöjä
INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Yleisiä integroimissääntöjä Integroiminen eli annetun funktion f integraalifunktion F määrittäminen (löytäminen) on yleisesti haastavaa. Joskus joutuu jopa arvata tai kokeilla.
Lisätiedot* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat
Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta
LisätiedotB-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.
B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,
Lisätiedot4 Polynomifunktion kulku
4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion
Lisätiedot1. Osoita juuren määritelmän ja potenssin (eksponenttina kokonaisluku) laskusääntöjen. xm = ( n x) m ;
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Ohjaus 11 7.1.009 alkavalle viikolle Ratkaisut (AK) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan tärkeiden transkendenttifunktioiden
LisätiedotMatematiikan pohjatietokurssi
Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio 3, 15.9.014 1. Mitkä seuraavista voisivat olla funktion kuvaajia ja mitkä eivät? Miksi? (a) (b) (c) (d) Vastaus: Kuvaajat b ja c esittävät funktioita. Huomaa,
Lisätiedot11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
LisätiedotYmpyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora
Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotRadiaanit. Kun kulman α suuruus nyt mitataan tämän kaaren pituutena, saadaan kulmaan arvo radiaaneissa.
Radiaanit Kulmia mitataan matematiikassa paitsi asteissa, myös radiaaneissa. Radiaanien taustaideana on, että kun kulmaa α asetetaan yksikköympyrään, kulmien kylkien välille muodostuu ympyrän kehälle kaari
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
Lisätiedota(t) = v (t) = 3 2 t a(t) = 3 2 t < t 1 2 < 69 t 1 2 < 46 t < 46 2 = 2116 a(t) = v (t) = 50
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 1, Syksy 015 1. (a) Kiihtyvyys on nopeuden derivaatta, eli a(t) v (t) 3 t 1 + 1 Nyt on siis selvitettävä, milloin kiihtyvyys kasvaa itseisarvoltaan
Lisätiedot