Opintomoniste lukion integraalilaskennan kurssille MAA10

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Esa Ahlqvist Opintomoniste lukion integraalilaskennan kurssille MAA Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Helmikuu 5

2 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö AHLQVIST, ESA: Opintomoniste lukion integraalilaskennan kurssille MAA Pro gradu -tutkielma, 84 s. Matematiikka Helmikuu 5 Tiivistelmä Tämän pro gradu -tutkielman tavoitteena oli tehdä opetusmateriaali lukion pitkän matematiikan integraalilaskennan kurssille MAA. Materiaali on luotu siten, että se noudattaa Lukion opetussuunnitelmien perusteissa mainittuja tavoitteita ja reunaehtoja. Tämän vuoksi se soveltuu hyvin kyseisen kurssin opetusmateriaaliksi ja monien esimerkkiensä johdosta myös itseopiskelumateriaaliksi. Materiaali on pyritty tekemään siten, että se sisältää paljon esimerkkejä, jotka tukevat opiskelijan oppimista. Se sisältää myös runsaasti haastetta edistyneempiä opiskelijoita ajatellen, sillä opetusmateriaalista löytyy myös kurssialueen ylittäviä osioita ja sovellusesimerkkejä, joiden tarkoitus on avartaa käsitystä integraalilaskennasta ja sen mahdollisuuksista. Lisäksi materiaalin alkuosasta löytyy ajankäyttöehdotus kurssin suoritusta varten ja lukujen lopusta harjoitustehtäviä ratkaisuineen. Materiaali tutustuttaa lukijansa ensin integraalifunktion käsitteeseen ja alkeisfunktioiden sekä muiden funktioiden integrointiin. Siinä käydään myös läpi tekniikoita, joiden avulla integroitavaa lauseketta voidaan muuntaa helpommin integroitavaan muotoon. Näitä ovat muun muassa osamurtoihin jako ja osittaisintegrointi. Tämän jälkeen materiaalissa tutustutaan määrätyn integraalin käsitteeseen ylä- ja alasummien avulla, joka puolestaan johdattaa lukijan tutustumaan, kuinka integraalilaskennan avulla määritetään pinta-aloja ja tilavuuksia. Lopuksi raotetaan hieman ovea tulevaisuutta ajatellen ja käydään läpi muutamia sovellusesimerkkejä siitä, kuinka integraalilaskentaa voidaan hyödyntää eri aloilla.

3 Sisältö Johdanto 4 Kurssin tavoite 5. Ajankäyttöehdotus Muuta Integraalilaskennan peruslause 8 4 Integraalilaskennan taustaa 9 4. Määritelmiä Integraalifunktio 5. Alkeisfunktioiden integrointikaavat Yhdistetyn funktion integrointi Paloittain määritellyn funktion integrointi Murtofunktion integrointi Jakokulma ja supistaminen Osamurtoihin jako Osittaisintegrointi Sijoitusmenetelmä Harjoitustehtäviä Harjoitustehtävien ratkaisut Määrätty integraali 9 6. Ala- ja yläsummat Integraalilaskennan päälause Määrätyn integraalin laskusääntöjä Pinta-ala Tilavuus Pyörähdyskappale Muita tilavuuksia Harjoitustehtäviä Harjoitustehtävien ratkaisut Integraalilaskennan sovelluksia 69 Lähteet 8

4 Johdanto Tämän pro gradu -tutkielman tarkoitus on toimia opetusmateriaalina lukion pitkän matematiikan integraalilaskennan kurssilla MAA. Materiaalin luettujaan lukija ymmärtää integraalifunktion sekä määrätyn integraalin käsitteet ja sen, kuinka ne liittyvät toisiinsa. Tämän lisäksi lukija osaa määrittää integraalifunktioita ja osaa soveltaa integroimistekniikoita erilaisissa tehtävissä. Lukija tietää myös, kuinka määrätyn integraalin avulla pystytään määrittämään pinta-aloja ja tilavuuksia. Lisäksi hän ymmärtää, kuinka integraalilaskentaa pystytään soveltamaan ja hyödyntämään eri aloilla. Tutkielman jakautuu siis kolmeen eri osa-alueeseen: määräämätön integraali luku 5), määrätty integraali luku 6) ja integraalilaskennan sovellukset luku 7). Näistä pääpaino on kahdella ensimmäisellä. Sovellukset luvun tarkoitus on herättää kiinnostus integraalilaskentaa kohtaan ja sitä kautta motivoida opiskelijoita perehtymään entistä syvällisemmin integraalilaskennan laaja-alaiseen maailmaan. Oppimateriaali on tarkoitettu lukion pitkän matematiikan opiskelijoille, jotka ensimmäistä kertaa tutustuvat integraalilaskentaan. Tämän vuoksi materiaali on pyritty tekemään siten, että se on helppo lukuinen ja siinä on paljon esimerkkejä. Tutkielma on jäsennelty matemaattiseen tapaa: määritelmät, lauseet ja niiden todistukset sekä esimerkit. Vaikeat lauseiden todistukset ja liiallinen lauseiden matemaattinen käsittely on kuitenkin jätetty materiaalista pois, koska ne eivät tue oppimistavoitteita tämän kurssin osalta. Koko tutkielman pohjana on ollut Lukion opetussuunnitelman perusteissa mainitut tavoitteet ja reunaehdot. Tutkielman lähteinä on käytetty kirjallisuutta ja Internet lähteitä. Kirjallisuuden suomenkieliset teokset ovat pääasiassa eri kustantajien integraalilaskennan oppikirjoja lukiotasolta. Näiden lisäksi tutkielmassa on käytetty muun muassa ammattikorkeakoulujen matematiikan oppikirjoja, sekä yliopistotasoisia englanninkielisiä teoksia matematiikan ja fysiikan aloilta. Sovellusesimerkkien löytämiseen on hyödynnetty esimerkiksi lääketieteen pääsykoekirjoja ja ydinvoimatekniikan oppikirjoja. 4

5 Kurssin tavoite Tämän kurssin tavoitteet on määritelty Lukion opetussuunnitelman perusteissa [, s. ]. Siellä mainitaan seuraavat tavoitteet: Kurssin suoritettuaan opiskelija ymmärtää integraalifunktion käsitteen ja osaa määrittää alkeisfunktioiden integraalifunktioita, ymmärtää määrätyn integraalin käsitteen ja sen yhteyden pinta-alaan, osaa määrittää tilavuuksia ja pinta-aloja määrätyn integraalin avulla, on perehtynyt integraalilaskennan sovelluksiin. Kurssin keskeiset sisällöt ovat Lukion opetussuunnitelman perusteiden mukaan seuraavat: Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integraalifunktiot, määrätty integraali, pinta-alan ja tilavuuden laskeminen määrätyn integraalin avulla. Edellä mainittujen tavoitteiden pohjalta lähdemme tutustumaan integraalilaskentaan. Ensin määrittelemme integraalifunktion ja tutustumme siihen muutaman esimerkin avulla. Sen jälkeen ryhdymme integroimaan alkeisfunktioita ja opettelemaan integrointimenetelmiä, joita ovat mm. osittaisintegrointi ja sijoitusmenetelmä eli muuttujanvaihto. Kun alkeisfunktioiden integrointi ja tärkeimmät integrointimenetelmät ovat hallussamme, siirrymme tarkastelemaan määrättyjä integraaleja. Ensin määrittelemme määrätyn integraalin porrasfunktioiden avulla. Määrätyn integraalin avulla pääsemme käsiksi pinta-aloihin ja tilavuuksiin ja sitä kautta integraalilaskennan lukemattomiin sovelluskohteisiin. Näistä sovelluskohteista on esimerkkejä luvussa 7.. Ajankäyttöehdotus Tämän kurssin täkeimmät tavoitteet ovat siis oppia integralifunktion käsite, alkeisfunktioiden integrointi, määrätyn integraalin käsite ja sen yhteys pintaalaan, pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen määrätyn integraalin avulla sekä 5

6 sovelluskohteisiin tutustuminen. Luvussa 7 esitetyt sovelluskohteet ovat tämän kurssin vaatimustasoon nähden melko hankali, mutta niihin on kuitenkin hyvä tutustua, jotta kokonaiskuva integraalilaskennasta hahmottuisi paremmin. Niiden taustalla olevaa laskentaa ei kuitenkaan tarvitse osata, jos se ylittää aiemmissa luvuissa esitetyn vaatimustason. Hieman vähemmälle huomiolle jäävät murtofunktion integrointi, ositteisintegrointi sekä sijoitusmenetelmä, jotka käydään läpi vain esimerkinomaisesti. Nämäkin asiat ovat hyvin tärkeitä, mutta tämä kurssi on integraalilaskennan peruskurssi, joten päähuomio on hyvä keskittää perusasioiden ja -käsitteiden oppimiseen ja omaksumiseen. Taulukossa. on esitetty ajankäyttöehdotus tämän kurssin suorittamiselle. Ajankäyttöehdotus on laadittu sen pohjalta, että kurssi suoritetaan useamman kokeen avulla. Kurssiin kuuluu kaksi pienempää 45 min) välikoetta ja perinteinen loppukoe x45 min), johon kuuluu koko kurssin aihealue. Kokonaisarvosana muodostuu periaatteella: 5 % per välikoe, 4 % loppukoe ja % tuntiaktiivisuus. Koko kurssin tuntimäärä on 8 oppituntia 45 min), joka voisi jakautua seuraavalla tavalla. Taulukko.: Ajankäyttöehdotus. Ajatus kokeenhajautuksen taustalla on se, että nyt opiskelijat joutuvat valmistautumaan kokeeseen useamman kerran, joten "viimeisen illan"ongelma poistuu. Tämän lisäksi näin toteutettuna opiskelijoilla on paremmat edellytykset 6

7 oppia seuraava kurssilla käsitelty asia, koska aiempi asia on jo kertaalleen jouduttu opettelemaan kunnolla välikokeen vuoksi. Myös loppukokeeseen valmistautuminen helpottuu, koska / kurssin asioista on jo opeteltu kunnolla, eikä niitä tarvitse enää kuin kerrata. Lisäksi saman asian uudelleen prosessointi ja kertaaminen jättävät sen paremmin mieleen. Yhtenä etuna mainittakoon vielä, että välikokeiden avulla opettaja voi kartoittaa osaamisen tasoa jo kurssin aikana. Jos osaamisessa on selviä puutteita, toimenpiteisiin on mahdollisuus ryhtyä heti ja asiat voidaan korjata jo kurssin aikana ennen loppukoetta. Tällöin oppimistulokset paranevat.. Muuta Tämä materiaali on tehty Tampereen yliopistolle pro gradu -tutkielmana, joten ajan ja resurssien vähyyden vuoksi materiaalin ulkoasu ei ole loppuun asti viimeistelty. Muutamia lähdeviittauksia: Luku 4 perustuu lähteisiin [, 6, 6, 7, 8], alaluku 6. perustuu lähteisiin [, 4], alaluku 6. perustuu lähteeseen [7, Luku 7]. Tässä materiaalissa oletetaan, että raja-arvon määrittäminen, jatkuvuus ja derivointi tunnetaan. 7

8 Integraalilaskennan peruslause Seuraavassa lauseessa esitetään Integraalilaskennan peruslause ikään kuin pohjatiedoksi jatkoa ajatellen. Tämän lauseen lisäksi derivointikaavat olisi hyvä kerrata, jos ne ovat päässeet unohtumaan. Lause.. [4, Luku 5]. Jos f x) kaikilla x I, niin f on vakiofunktio välillä I. Todistus. Sivuutetaan. 8

9 4 Integraalilaskennan taustaa Integraali on nimenomaan mittaamiseen liittyvä käsite. Integraalilaskenta juontaa juurensa aina antiikin Kreikkaan ja Arkhimedesiin asti noin - eaa.). Jo tuolloin pyrittiin kehittämään menetelmiä, joiden avulla pinta-aloja pystyttäisiin määrittämään tarkasti. Kuitenkaan irrationaalilukuja ja analyyttistä geometriaa ei vielä tunnettu, joten integraalilaskennan kehittäminen oli mahdotonta. Tämä kehitysaskel tapahtuikin vasta 6-luvun lopulla, kun parivaljakko Newton ja Leibniz keksi integraalifunktion ja määrätyn integraalin välisen yhteyden. Myöhemmin heidän käyttämäänsä integraalin määritelmää on tarkenneltu useaan otteeseen. Vielä nykyäänkin integraalille on useita eri määritelmiä, joista lienee yleisin on Riemann-integraali, joka määrittelee alueen pinta-alan porrasfunktioiden avulla. Tämä määritelmä on helpompi ymmärtää, kuin esimerkiksi yleisempi Lebesgue-integraali, ja sen vuoksi se on vieläkin yleisesti käytössä. Integraalilaskennan peruskäsitteet ovat integraalifunktio ja määrätty integraali. 4. Määritelmiä Integraalifunktio: Integrointi on derivoinnin käänteistoimitus. Näin ollen funktion f integraalifunktioita ovat funktiot joiden derivaatta on f. Integraalifunktio ei siis ole yksikäsitteinen, vaan integraalifunktiot eroavat toisistaan vakiolla C. Integraalifunktiota kutsutaan myös määräämättömäksi integraaliksi tai antiderivaataksi. Huomaa, että määräämätön integraali ei ole funktio vaan funktiojoukko. Määrätty integraali ei puolestaan ole funktio, vaan lukuarvo tai pikemminkin raja-arvo. Määrätyn integraalin avulla pystytään laskemaan pinta-aloja, tilavuuksia, käyrien pituuksia ja kappaleiden painopisteitä. Tämän vuoksi integroinnilla on monia sovelluskohteita muilla tieteenaloilla, kuten fysiikassa, tähti-, tietojenkäsittely-, tilasto-, talous- ja lääketieteissä. Sitä käytetään myös muilla matematiikan aloilla, kuten todennäköisyyslaskennassa. Tämän materiaalin loppuosassa on luku sovellusesimerkeistä luku 7), johon on kerätty muutamia käytännön esimerkkejä integraalilaskennan sovelluskohteista. Alkeisfunktioita ovat muun muassa potenssi-, polynomi-, rationaali-, juuri- ja logaritmifunktiot, eksponenttifunktiot sekä trigonometriset funktiot. 9

10 5 Integraalifunktio Tässä luvussa tutustutaan tarkemmin integraalifunktion käsitteeseen ja sen määrittämiseen. Jo alaluvussa 4. kerrottiin mitä tarkoittaa integraalifunktio. Seuraavassa on esitetty integraalifunktion tarkempi määritelmä. Määritelmä 5.. [, Sivu 6] Olkoon funktio f määritelty välillä I. Funktio F on funktion f integraalifunktio tällä välillä, jos F x) f x) jokaisessa määrittelyvälin I pisteessä x. Tällöin F on on funktion f integraalifunktio. Määritelmän 5. mukaan välillä I funktiolla F on olemassa derivaatta F x). Tällöin funktio on derivoituva, joten F on myös jatkuva välillä I. Esimerkki 5.. Osoita, että funktio F x) x + 4x 7 on funktion f x) 6x + 4 integraalifunktio. Todistus. Käytetään hyväksi määritelmää 5. ja osoitetaan, että F x) f x). F x) D x + 4x 7 ) 6x + 4 f x). Huomaa, että edellä olevassa esimerkissä funktion F x) vakio 7 voisi olla mikä tahansa reaaliluku, mutta funktion derivaatta olisi silti 6x + 4. Integraalifunktio ei siis ole yksikäsitteinen, kuten jo alaluvussa 4. todettiin. Lause 5.. [6, Sivu 98]. Jos funktiolla f x) on integraalifunktio F x) välillä I, niin funktion f x) kaikki integraalifunktiot ovat muotoa F x) F x)+c, missä C R. Toisaalta jokainen muotoa F x) + C oleva funktio on funktion f x) integraalifunktio välillä I. Todistus. [5, Luku ].. Jokainen muotoa F x) + C oleva funktio on funktion f x) integraalifunktio välillä I, koska DF x) + C) DF x)) + DC) DF x)) + f x).. Olkoon F x) yksi funktion f x) integraalifunktioista välillä I. Tällöin DF x) F x)) f x) f x) kaikilla x I, joten lauseen. nojalla F x) F x) on vakio. Siis on olemassa sellainen C R, että F x) F x) C kaikilla x I. Täten F x) F x) + C.

11 Integraalifunktio ei siis ole funktio, vaan funktiojoukko, koska integrointivakio C käy läpi kaikki reaaliluvut. Graafisesti käyrän muoto pysyy samana, mutta C kertoo käyrän sijainnin y-akselilla. Seuraava esimerkki selventää asiaa. Esimerkki 5.. Määritä funktion f x) x kaikki integraalifunktiot. Mikä integraalifunktioista kulkee pisteen, 4) kautta? Ratkaisu: Funktion f x) integraalifunktiot ovat muotoa F x) x x + C, missä C on vakio. Kuva 5.: Integraalifunktiojoukko muutamalla C:n arvolla. Pisteen, 4) kautta kulkee funktio F x) x x + ks. kuva 5.). 5. Alkeisfunktioiden integrointikaavat Integrointi on siis derivoinnin käänteislaskutoimitus. Esimerkiksi potenssifunktion tapauksessa derivointi pienensi potenssifunktion astetta yhdellä, joten integrointi kasvattaa sitä yhdellä. Jo heti aluksi on hyvä palauttaa mieleen vakiofunktion derivointi. Vakiofunktion derivaattahan oli nolla. Tämän vuoksi integroidessa jotakin funktiota, ei voida tietää vakion arvoa. Siksi integrointivakiota merkitään symbolilla C, joka voi olla mikä tahansa reaaliluku. Määritellään nyt määräämättömän integraalin merkintä.

12 Määritelmä 5.. Funktion f x) integraalifunktioita merkitään f x) dx F x) + C, missä F x) on jokin funktion f x) integraalifunktio ja C on integrointivakio. Seuraavassa on esitetty muutama perusintegrointikaava, jotka voidaan johtaa suoraan samaisista derivointikaavoista integroimalla ne puolittain. Huomaa, että tulokset ovat voimassa vain integroitavien funktioiden määrittelyalueilla. Lause ) dx C, nollan integrointi, 5.) k dx kx + C, missä k on vakio, vakion integrointi, 5.) x n dx xn+ + C, n, n + potenssifunktion integrointi. Todistus. Todistetaan esimerkinomaisesti kaava 5.) muut vastaavasti). Osoitetaan, että derivoimalla yhtälön oikepuoli, saadaan merkkien ja dx välissä oleva lauseke. ) x n+ D n + + C n + n + )xn+ + x n, n. Esimerkki 5.. Määritä seuraavien funktioiden integraalifunktiot. a) f x), b) gx) x, c) hx) x 6. Ratkaisu: a) F x) dx x + C, vakion integrointi b) Gx) c) Hx) x dx + x+ + C x + C, x 6 dx 6 + x6+ + C 7 x7 + C. potenssifunkt. integrointi potenssifunkt. integrointi Jo nyt alkuvaiheessa on hyvä opetella tarkistamaan saatu lopputulos. Integrointi on derivoinnin käänteislaskutoimitus ja derivointi on usein helpompi suorittaa, kuin integrointi. Tämän vuoksi kannattaa opetella tarkistusderivoimaan TD) saadut ratkaisut virheiden välttämiseksi. Tarkistetaan esimerkiksi esimerkin 5. c-kohta: ) D 7 x7 + C 7 7 x7 + x 6.

13 Tarkistusderivointi on helpoimmissa tapauksissa helppo suorittaa päässälaskuna. Vaikeammissa tapauksissa se kannattaa suoritta paperilla. TD:n kanssa kannattaa kuitenkin olla varovainen, sillä joskus voi käydä niin, että tekee tarkistusderivoinnissa virheen, vaikka integrointi olisikin suoritettu oikein, ja tämä voi pilata koko tehtävän. Käydään seuraavaksi läpi vakion siirto ja summan integrointi, jotta päästään integroimaan polynomifunktoita. Lause ) kf x) dx k f x) dx, missä k on vakio, f ) 5.5) x) + gx) dx f x)dx + gx) dx, vakion siirto, summan integrointi. Todistus. ) ) 5.4) D k f x) dx kd f x) dx kf x), joten kf x) dx k f x) dx. ) ) ) 5.5) D f x) dx + gx) dx D f x) dx + D gx) dx f ) f x) + gx), joten x) + gx) dx f x) dx + gx) dx. Esimerkki 5.4. Laske. x a) 4 + 5x ) dx, x, b) c) Ratkaisu: x + x ) dx, x x 8) 4 + x dx, d) x dx, x. a) x 4 + 5x ) dx sum. int. x 4 dx + 5x dx + ) dx vakion siirto x 4 dx + 5 x dx dx ) 5 x5 + C + 5 ) x + C ) x + C

14 5 x5 5 x x + C + 5C C } {{ } C 5 x5 5 x x + C, kun x, b) x + x ) dx vakion siirto x + x ) dx sum. int. x dx + x dx ) x + C + 6x + C ) c) x + 78x + C + C } {{ } C x + 78x + C, x 8) dx 9x 48x + 64 ) dx binomin neliö sum. int. 9x dx + 48x) dx + 64 dx vakion siirto 9 x dx 48 x dx + 64 dx 9 x + 9C 48 x 48C + 64x + 64C x 4x + 64x + C, x 4 + x d) x dx x 4 ) x + x x dx x + ) dx sum. int. 4

15 x dx + dx vakion siirto x dx + dx x + C + x + C x + x + C, kun x. Integroitaessa on myös hyvä kiinnittää huomiota siihen, minkä muuttujan suhteen integroidaan. Edellä olevissa tehtävissä on muuttujana käytetty x:ää. Muuttuja voi kuitenkin olla mikä tahansa symboli, vaikka α. Tällöin merkittäisiin f α) dα. Muita kuin integrointisymboleita käsitellään vakioina. Esimerkki 5.5. Laske Ratkaisu: 5α 4 ) 5α 4 ) a) 5 dx, b) 5 dα, c) x + ) x 4 y4 β dy, d) 4 + ɛ x dɛ, x. a) 5α 4 5 ) dx vakion siirto 5α 4 5 dx 5α 4 5 x + C, b) 5α 4 5 ) dα vakion siirto 5 α 4 5 dα α C 5 9 α C, c) x + 4 y4 β ) dy summan integrointi 5

16 x dy + 4 y4 dy + β) dy vakion siirto x dy + 4 y 4 dy β dy d) x y y5 βy + C y5 + x β ) y + C, x 4 + ɛ dɛ x x + ɛ dɛ x x x + ɛ ) x dɛ ɛ x dɛ + x dɛ dɛ + x x ɛ dɛ x ɛ + x ɛ + C x ɛ + ɛ + C, kun x. x summan integrointi vakion siirto Harjoitustehtävänä voit tarkistaa esimerkin 5.5 kohdat a-b tarkistusderivoimalla. Onko tehtävä laskettu oikein? Laajennetaan vielä lisää integrointikaavojemme repertuaaria. Taas on pidettävä mielessä, että tulokset ovat voimassa vain integroitavien funktioiden määrittelyalueilla. 5.7) 5.8) 5.9) Lause 5.4. x dx ln x + C, x, funktion x integrointi, 5.6) e x dx e x + C, a x dx ax + C, a >, a, ln a funktion sin x dx cos x + C, funktion e x integrointi, ax integrointi, sinifunktion integrointi, 6

17 5.) cos x dx sin x + C, kosinifunktion integrointi. Todistus. Todistetaan kaavat 5.6), 5.8) ja 5.9). Muut harjoitustehtävinä. 5.6) Jaetaan funktion ln x tarkastelu osiin itseisarvojen vuoksi: D ln x + C ) x +, kun x >. x D ln x) + C ) x ) +, kun x <. x ) ) a x a x 5.8) D ln a + C D + ln a ln a D a x) ln a ax ln a a x. 5.9) D cos x + C ) sin x) + sin x. Esimerkki 5.6. Määritä a) sin x + ex + ) dx, x, b) x c) 5 x + sin x ) ) dx, x. x cos x + ) dx, Ratkaisu: a) sin x + ex + ) dx x sin x dx + sin x dx + e x dx + e x dx + x dx x dx summan integrointi vakion siirto cos x) + ex + ln x + C cos x + ex + ln x + C, kun x, b) cos x + ) dx summan integrointi cos x dx + dx vakion siirto 7

18 cos x dx + dx c) sin x + x + C, 5 x + sin x ) ) dx x 5 x + sin x ) dx + ) dx x summan integrointi vakion siirto 5 x + sin x ) dx x dx summan integrointi 5 x dx + sin x dx x dx 5 x ln 5 + cos x) ln x + C 5x ln 5 cos x ln x + C, kun x. Esimerkki 5.7. Määritä ) a) cos x ex sin x x dx, b) dx, 4 x c) + 8 x + cos x ) dx, x. 5 Ratkaisu: ) a) cos x ex dx 4 summan integrointi ) cos x dx + ex dx 4 vakion siirto cos x dx 4 e x dx sin x 4 ex + C, 8

19 joten g f x) ) f x) ) dx g f x) ) + C. sin x x b) dx sin x x ) dx vakion siirto summan integrointi sin x dx + x ) dx cos x 4 ) x4 + C ) cos x x4 + C, x c) + 8 x + cos x ) dx 5 x 8 cos x dx + x dx + dx 5 x dx + 8 x dx + 5 cos x dx summan integrointi vakion siirto x ln + 8 ln x + 5 sin x + C x ln + 8 ln x + sin x + C, kun x Yhdistetyn funktion integrointi Suuri osa integroitavista funktioista on yhdistettyjä funktioita. Yhdistetyn funktion integrointisääntö saadaan yhdistetyn funktion derivointikaavasta seuraavasti: Dg f x) ) g f x) ) f x), Yhdistettyä funktiota integroidessa on siis edullista pyrkiä siihen, että saattaa integroitavan funktion kahden funktion tuloksi siten, että toinen on toisen sisäfunktion derivaatta. Tämän jälkeen yhdistetyn funktion integrointisääntöä voidaan soveltaa suoraan ja integrointi sujuu vaivatta. Esimerkki 5.8. Integroi 9

20 Ratkaisu: a) c) a) x + ) dx, b) 4x dx, x, d) }{{} f x) x + ) } {{ } g f x)) dx x + ) dx, cos x sin 4 x dx. b) 4 x + )4 + C, x + ) dx x + ) dx vakion siirto }{{} f x) x + ) } {{ } g f x)) dx 4 x + )4 + C 48 x + )4 + C, c) 4x dx 4x ) dx 4 44x ) dx vakion siirto 4 }{{} 4 f x) 4x ) } {{ } g f x)) dx d) 4 4x ) + C 6 4x ) + C, kun x, cos } {{ } x f x) sin 4 x } {{ } g f x)) dx

21 5 sin5 x + C. Esimerkki 5.9. Integroi Ratkaisu: a) cos x + e x ) dx, b) c) x ) e x dx, x. a) cos x + e x ) dx x + ) dx, x, summan integrointi cos x dx + e x dx sin x + ex + C sin x + e x ) + C, b) x + ) dx x + + C 4x + + C, x, c) x ) e x dx x dx dx ex ) x e x + C summan integrointi x + e x + C e x + C, x. x Jos edellä esitetty tapa ei joissain tilanteissa toimi, kannattaa yrittää kertoa sulkulauseke auki ja integroida se sitten normaaliin tapaan.

22 Esimerkki 5.. Integroi a) x 4 + x) dx, b) x 5 + ) dx. Ratkaisu: a) x 4 + x) dx x 4 + x) + x) dx x x + 6x + 9x ) dx 4x 4 + x 5 + 9x 6) dx summan integrointi 4 5 x5 + x x7 + C. b) Kyseessä on binomin kuutio, jonka kertoimet saadaan Pascalin kolmiosta. x 5 + ) dx x 5 + x 5 + x 5 + ) dx x 5 + x + x 5 + ) dx summan integrointi 6 x6 + x + x6 + x + C. Monimutkaisia lausekkeita integroidessa käy monesti niin, että g f x) ) f x) muodon löytäminen on vaikeaa. Tällöin yhdistetyn funktion integrointisäännön käyttö hankaloituu.tämän ongelman ratkaisuun on kuitenkin kehitetty menetelmä nimeltään muuttujanvaihto. Menetelmä perustuu siihen, että muuttujasta x siirrytään uuteen muuttujaan t f x), jolloin dt f x) dx. Palaamme tämän menetelmän tarkempaan käsittelyyn myöhemmin tässä luvussa. 5. Paloittain määritellyn funktion integrointi Tässä alaluvussa opetellaan integroimaan paloittain määriteltyjä funktioita. Koska käsiteltävät funktiot ovat paloittain määriteltyjä, on hyödyllistä tarkistaa funktion jatkuvuus, sillä jos funktio on jatkuva, on se myös integroituva. Lause 5.5. Jokaisella jatkuvalla funktiolla on integraalifunktio.

23 Todistus. Sivuutetaan. Esimerkki 5.. Määritä funktion x + 4, kun x <, f x) x + 5, kun x, integraalifunktio. Ratkaisu:. Tarkistetaan funktion jatkuvuus: Funktion f arvo kohdassa x on f ) Funktion toispuoleiset raja-arvot ovat Siis lim f x) lim x + 4) 7, x x lim f x) lim x + 5 ) 7. x + x + f ) lim f x) lim f x) 7. x x + Koska funktion arvo on sama kuin raja-arvo pisteessä x, on funktio jatkuva kyseisessä pisteessä. Funktio on selvästi myös jatkuva, kun x. Funktio f x) on siis jatkuva, joten sillä on olemassa integraalifunktio.. Määritetään funktion f x) integraalifunktio F x): F x) missä C ja C ovat integrointivakioita. x + 4x + C, kun x <, x + 5x + C, kun x, Koska integraalifunktio F x) on derivoituva, on se myös jatkuva. Näin ollen F ) lim F x) lim F x) x x + eli Nyt joten C C C C, C C 6.

24 Merkitään C C, jolloin integraalifunktioksi saadaan F x) missä C on integrointivakio. x + 4x + C, kun x <, x + 5x 6 + C, kun x, Esimerkki 5.. Määritä funktion 4x +, kun x <, f x) e 4x +, kun x, se integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee pisteen, ) kautta. Ratkaisu:. Tarkistetaan funktion jatkuvuus: Funktion f arvo kohdassa x on f ) }{{} e 4 +. Funktion toispuoleiset raja-arvot ovat Siis lim f x) lim 4x + ). x x lim f x) lim e 4x + ). x + x + f ) lim f x) lim f x). x x + Koska funktion arvo on sama kuin raja-arvo pisteessä x, on funktio jatkuva kyseisessä pisteessä. Funktio on selvästi myös jatkuva, kun x. Funktio f x) on siis jatkuva, joten sillä on olemassa integraalifunktio.. Määritetään funktion f x) integraalifunktio F x): F x) missä C ja C ovat integrointivakioita. x + x + C, kun x <, 4 e4x + x + C, kun x, Koska integraalifunktio F x) on derivoituva, on se myös jatkuva. Näin ollen F ) lim F x) lim F x) x x + eli 4 e4 + + C + + C. 4

25 Nyt siis 4 + C C. Koska F x):n kuvaaja kulkee pisteen, ) kautta, niin joten ja F ) 4 e4 + + C, C 4 e8 C 4 + C 4 4 e8. Näin ollen kysytty integraalifunktio on x + x + 4 F x) 4 e8, kun x <, 4 e4x + x 4 e8, kun x. 5.4 Murtofunktion integrointi Rationaalilauseke on lauseke, jossa kaksi polynomia jaetaan keskenään. Siis jos P x) ja Qx) ovat polynomeja, saa rationaalilauseke muodon P x) Qx), missä Qx). Jos polynomia Qx) ei voida kokonaisuudessaan supistaa pois, eli nimittäjään jää muuttujia supistuksen jälkeen, kutsutaan rationaalilauseketta murtolausekkeeksi. Huomaa, että esimerkiksi lauseke x sillä x ei ole polynomi. on rationaalilauseke, mutta x ei ole, Murtolauseketta joudutaan usein muokkaamaan ennen integrointia seuraavilla tavoilla: Jakokulma ja supistaminen. Jakokulmaa käytetään, kun nimittäjän asteluku on sama tai pienempi kuin osoittajan asteluku. Osamurtoihin jako. Käytetään silloin, kun osoittajan asteluku on pienempi kuin nimittäjän ja nimittäjä jakautuu tekijöihin. Kun integroitava funktio on saatu sopivaan muotoon, käytetään lauseessa 5.4 esitettyä murtofunktion integrointikaavaa x dx ln x + C kaava 5.6)) murtolausekkeen integroimiseksi. Rajoitumme siis tutkimaan vain yhtä murtofunktioiden erikoistapausta. Seuraavaksi tutustumme siis murtofunktioiden integrointiin jakokulman sekä osamurtoihin jaon avulla. Nämä laskentamenetelmät eivät ole tämän kurssin osalta keskeisessä osassa, joten käymme ne vain lyhyesti läpi muutaman esimerkin avulla. 5

26 5.4. Jakokulma ja supistaminen Aina ensin kannattaa nimittäjä ja osoittaja jakaa tekijöihin ja pyrkiä supistamaan murtolauseke mahdollisimman yksinkertaiseen muotoon. Jos tämän jälkeen osoittajan asteluku on suurempi tai sama kuin nimittäjän asteluku, kannattaa käyttää jakokulmaa lausekkeen sieventämisen apukeinona. Tarkoitus on saada integroitava lauseke muotoon f x) f x), jonka jälkeen voidaan hyödyntää kaavaa 5.6). Esimerkki 5.. Integroi a) x 4x + 5x x x 4x + dx, b) x dx. Ratkaisu: a) x 4x + 5x x x x x 4x + 5 ) dx dx xx ) Käytetään jakokulmaa: x x x 4x + 5 x + x x + 5 x Nyt saadaan x 4x + 5 x dx b) Käytetään jakokulmaa: x + x 4x + 4x + x x + x + x + ) dx x x dx dx + x 4x + 5 dx. x x dx x x + ln x + C. summan integrointi 6

27 Nyt saadaan 4x + x dx x + + ) dx x x dx + dx + x + x + x } {{ } f x) x + x + ln x + C. x dx }{{} dx + C f x) summan integrointi 5.4. Osamurtoihin jako Usein tulee vastaan tilanteita, jolloin murtolausekkeen osoittajan asteluku on pienempi kuin nimittäjän. Tällöin edellä esitetyt keinot eivät toimi ja joudumme käyttämään osamurtoihin jakoa. Osamurtoihin jako tarkoittaa sitä, että alkuperäinen murtolauseke esitetään kahden tai useamman murtolausekkeen summana, joka on helpommin integroitavissa. Ideana on, että ensin nimittäjä jaetaan tekijöihin alkutekijöihin) ja sen jälkeen käytetään osamurtoja A x a) k ja Bx + C x + px + q) k. Ensimmäistä muotoa olevien murtolausekkeiden integroinnin käymme läpi esimerkkien avulla, mutta jälkimmäistä muotoa olevia murtolausekkeita emme käsittele tämän kurssin puitteissa, sillä ne ovat usein hyvin hankalia integroitavia. Esimerkki 5.4. Jaa lauseke osamurtoihin. x + 4 x x + x Ratkaisu: Jaetaan ensin nimittäjä tekijöihin: x x + x x x x + ) Nyt saadaan rationaalifunktio xx ). x + 4 xx ), 7

28 joka kirjoitetaan muotoon x + 4 xx ) A x + B x + C x ). Tarkoitus on siis ratkaista kertoimet A, B ja C. Laventamalla tekijällä xx ) saadaan lausekkeen osoittajista yhtälö x + 4 Ax ) + Bxx ) + Cx Ax x + ) + Bx + x) + Cx ja edelleen A + B)x + A + B + C)x + A A 4, A + B + C, A + B. Yhtälöryhmästä saadaan kertoimiksi A 4, B ja C 9. Siis x + 4 xx ) 4 x x + 9 x ). Osamurtoihin jako kannattaa aina tarkistaa laventamalla saatu tulos takaisin alkuperäiseen muotoonsa. Kokeile harjoitustehtävänä tarkistaa edellinen tehtävä. Tehtiinko osamurtoihin jako oikein? Esimerkki 5.5. Laske x x 4x 5 dx käyttäen apuna osamurtoihin jakoa. Ratkaisu: Huomataan, että x on yksi nimittäjän x 4x 5 juurista. Tällöin x x 4x 5 dx Suoritetaan osamurtoihin jako: x x + )x 5) dx. x x + )x 5) A x + + B x 5. 8

29 Laventamalla tekijällä x + )x 5) saadaan lausekkeen osoittajista yhtälö x Ax 5) + Bx + ) Ax 5A + Bx + B A + B)x 5A + B ja edelleen A + B, 5A + B. Yhtälöparista saadaan kertoimiksi A ja B. Nyt ) x x + )x 5) dx x + ) + dx x 5) ) ) dx + dx x + ) x 5) x + dx + x 5 dx sum. int. vakion siirto ln x + + ln x 5 + C. Yhteenvetona murtofunktion integrointi etenee seuraavasti [5, Luku 4.4]:. Esitetään funktio muodossa Rx) P x)+ P x) Qx), missä polynomin P x) aste on pienempi kuin polynomin Qx) aste. Jakokulma ja supistaminen.. Jaetaan Qx) alkutekijöihin. Juurten etsintä.. Suoritetaan osamurtoihin jako. 4. Integroidaan osamurrot ja polynomi P x). 5.5 Osittaisintegrointi Monesti tulee eteen lausekkeita, joihin ei suoraan voi soveltaa mitään edellä esitettyä integrointikaavaa. Tällöin lauseke pyritään muokkaamaan siten, että integrointisääntöjä voitaisiin taas käyttää. Näitä muokkauskeinoja on kolme, joista ensimmäinen eli osamurtoihin jako käsiteltiin jo alaluvussa Tässä alaluvussa tutustumme toiseen lausekkeen muokkausmenetelmään nimeltään osittaisintegrointi. 9

30 Lause 5.6. [, Sivu ]. Olkoot f ja g derivoituvia funktioita. Tällöin voidaan kirjoittaa f g ) g dx fg f ) dx. Todistus. Tulon derivointisäännön D fg ) f g + fg perusteella saadaan D fg ) f dx g + fg ) f dx fg g ) fg dx + ) dx f g ) g dx fg f ) dx. Lauseen 5.5 kaavaa kutsutaan osittaisintegrointisäännöksi, jota voi joutua soveltamaan useaan otteeseen samassa tehtävässä. Myös sillä on väliä kumman tulon tekijöistä valitsee f :ksi ja kumman g:ksi, sillä monesti osittaisintegrointisääntö helpottaa tehtävän laskentaa vain, kun valinta on tehty oikeinpäin. Valinnan tekoon oppii harjoittelemalla. Esimerkki 5.6. Laske x e x dx. Ratkaisu: Valitaan f x) e x ja gx) x, joten f x) ex ja g x) x. Nyt saadaan x e x dx ex x x ex dx ex x x e x dx soveltamalla osittaisintegrointisääntöä. Sovelletaan sitä uudestaan lausekkeeseen x e x dx: ex x x e x dx ex x ex x ex x ex x + 4 ex + C ex x x + ) + C. ) ex dx Esimerkki 5.7. Laske x sin 4x dx.

31 Ratkaisu: Valitaan f x) sin 4x ja gx) x, joten f x) 4 cos 4x ja g x). Nyt saadaan x sin 4x dx 4 cos 4x x 4 ) cos 4x dx vakion siirto cos 4x x + cos 4x dx cos 4x x + sin 4x + C 4 8 sin 4x cos 4x x + C soveltamalla osittaisintegrointisääntöä. Esimerkki 5.8. Laske ln x x dx. Ratkaisu: Valitaan f x) x ja gx) ln x, joten f x) x ja g x) x. Nyt saadaan ln x x dx x ln x x x dx x ln x x dx vakion siirto x ln x x + C x ln x ) + C soveltamalla osittaisintegrointisääntöä. 5.6 Sijoitusmenetelmä Kolmas menetelmä, jolla lausekkeita muokataan integroinnin helpottamiseksi on sijoitusmenetelmä. Menetelmää kutsutaan toisinaan myös muuttujanvaihtomenetelmäksi. Menetelmän ideana on, että funktion f x) paikalle sijoitetaan uusi muuttuja t eli f x) t. Yleensä f x) on jonkin toisen funktion sisäfunktio. Sijoituksen avulla lauseke yksinkertaistuu ja on siten helpompi integroida. Integroinnin jälkeen tulee tehdä muuttujan palautus eli t:n paikalle sijoitetaan jälleen f x). Integrointi sijoitusmenetelmällä etenee siis seuraavasti:

32 . Valitaan t f x) siten, että valinta tekee integroitavasta lausekkeesta helpomman. Usein f x):ksi kannattaa valita jonkin funktion sisäfunktio.. Ratkaistaan yhtälöstä t f x) muuttuja x, eli saadaan yhtälö x gt).. Derivoidaan yhtälö x gt) puolittain, josta saadaan dx g t) dt. 4. Tehdään sijoitukset f x) t, x gt) ja dx g t) dt alkuperäiseen yhtälöön. 5. Integroidaan yhtälö t:n suhteen. 6. Tehdään muuttujan palautus t f x). Sijoitusmenetelmä on tälle kurssille melko vaativa asia, joten käymme sen tässä läpi vain esimerkinomaisesti. Kurssilla differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi MAA) näihin asioihin paneudutaan syvällisemmin. Esimerkki 5.9. Laske käyttäen sijoitusmenetelmää. x x + dx Ratkaisu: Käytetään sijoitusta t x +, josta saadaan x ± t. Valitaan x t, joten dx dt. Näin ollen t x t x + dx t t dt t dt ln t + C. Nyt tehdään muuttujan palautus eli t x +, joten ln t + C ln x + ) + C. Esimerkki 5.. Laske käyttäen sijoitusmenetelmää. x x dx

33 Ratkaisu: Käytetään sijoitusta t x, josta saadaan x t + ja dx t dt. Näin ollen x t x dx + ) t t dt vakion siirto t 4 + t + ) t dt t 6 + t 4 + t ) dt summan integrointi 7 t7 + 5 t5 + ) t + C 7 t t5 + t + C lavennus 5 t t t + C 5 t 5t 4 + 4t + 5 ) + C. Tehdään nyt muuttujan palautus. Koska t x, niin t x. Tällöin t x ) x ja edelleen t 4 x ). Näin ollen 5 t 5t 4 + 4t + 5 ) + C 5 x ) x 5x ) + 4x ) + 5 ) + C 5 x ) 5 x x + ) + 4x ) + C 5 x ) 5x x x 7 ) + C 5 x ) 5x + x + 8 ) + C.

34 5.7 Harjoitustehtäviä. Mitkä seuraavista funktioista ovat funktion f x) x + cos x + integraalifunktioita? a) gx) x 4 + sin x + x + 8, b) hx) x4 + sin x + x +, c) kx) x x + ) + sin x Osoita, että funktio F x) x + ) on funktion f x) 8x integraalifunktio.. Määritä funktion f x) kaikki integraalifunktiot, kun a) f x) x, b) f x) cos x + x. 4. Määritä a) 6 dx, b) x dx, c) x 4 dx. 5. Laske a) x + ) dx, b) 4x + x ) dx, c) x 4 + x a ) dx. 6. Laske a) 8x + x x + ) dx, b) x + ) dx, c) 5x 6 + 5x 4 x 5x ) dx, x. 7. Laske a) x dx, b) x 4 + 4x ) dy, c) 8. Laske x + 6x + ) dx, kun x >. a) x + e t ) dx, b) x + e t ) dt, c) sin x + x cos x ) dx. 4

35 9. Määritä funktion gx) x + integraalifunktion suurin arvo, kun integraalifunktion kuvaaja kulkee origon kautta.. Integroi a) sinx) + x ) dx, b) ) x + cos4x) + dx, c) e x + e x cos x ) dx, d) cosx) sin x + cos x dx.. Määritä funktiolle f x) integraalifunktio, joka kulkee pisteen a kautta. a) f x) x, a, 6), b) f x) cosx), a π, ).. Laske a) 44x ) dx, b) 6x + ) 6 dx, c) x 5 x ) dx.. Laske a) c) ln x x dx, kun x >, b) sin x cos x dx. x dx, kun x >, x + 4. Määritä funktion x +, f x) x, kun x kun x < kaikki integraalifunktiot. 5. Tutki onko funktiolla f x) integraalifunktiota. Jos on, niin määritä funktion f x) kaikki integraalifunktiot. x 5 +, kun x 5 a) f x) 6, kun x < 5, e x +, kun x > b) f x) x +, kun x. 5

36 6. Määritä x dx, x >. x + 7. Jaa osamurtoihin. 6x 4 x x +, x 8. Laske x x dx, x >. x 9. Laske x x ) dx, x >.. Määritä. Määritä. Määritä x cos x dx. x sin x dx. x ln x dx.. Integroi sijoitusmenetelmää käyttäen 4x dx. 6

37 5.8 Harjoitustehtävien ratkaisut. hx) ja kx)... a) x x + C, b) sin x + x + C. 4. a) 6x + C, b) x + C, c) 5 x5 + C. 5. a) x + x + C, b) x x x + C, c) 5 x5 + x ax + C. 6. a) x 4 + x x + x + C, b) x + 6x + 4x + C, c) x + x + C. 7. a) x + C, b) x 4 y + 4x y + C, c) 5 x 5 6x + x + C. 8. a) x + e t x + C, b) xt + et + C, c) x cos x sin x + C a) x cosx) + ln + C, b) ln x + 4 sin4x) + x + C, c) e x + e x sin x + C, d) sinx) + C.. a) F x) x x +, b) F x) sinx) a) 4x ) + C, b) 7 x + )7 + C, c) 8 5 x ) 4 + C.. a) ln x + C, b) x + + C, c) 4 cos4 x + C F x) a) F x) b) Ei ole. x + x + C, kun x x x 7 + C, kun x <. x + x + C, kun x x x 7 + C, kun x <. 6. x 5 ln x + + C, x > x + x ), x. 8. ln x + ln x + C, x >. 9. ln x x + C, x >.. x sin x + cos x + C.. 4x sin x x ) cos x + C. 7

38 . x ln x ) + C.. 6 4x ) + C. 8

39 6 Määrätty integraali Jo alaluvussa 4. todettiin, että määrätty integraali on raja-arvo, jonka avulla pystytään laskemaan muun muassa pinta-aloja ja tilavuuksia. Kuinka tämä kyseinen raja-arvo sitten pystytään määrittämään? Alaluvussa 6. määrittelemme määrätyn integraalin ala- ja yläsummien avulla, joka auttaa hahmottamaan, mistä integraalilaskennassa oikein on kyse. Tämän jälkeen alaluvussa 6. johdetaan integraalilaskennan päälause, ja alaluvusta 6. eteenpäin pääsemme soveltamaan tähän asti opittuja integraalilaskennan taitoja hieman käytännönläheisemmissä tehtävissä. 6. Ala- ja yläsummat Tässä alaluvussa määrittelemme määrätyn integraalin ala- ja yläsummien avulla. Tämä määrittely perustuu siihen, että määrätty integraali koostuu äärettömän monesta äärettömän pienen tulon summasta. Rajoitumme tutkimaan tilannetta, jossa funktio f on ei-negatiivinen tutkittavalla välillä [a, b] muut tapaukset voidaan tutkia vastaavalla tavalla). Oletetaan lisäksi, että funktio f on jatkuva välillä [a, b]. Kuva 6.: Ala- ja yläsummat. Jaetaan väli [a, b] n:ään kappeleeseen osavälejä siten, että a x < x < < x n b. Nyt saamme siis osavälit [x, x ], [x, x ],..., [x n, x n ]. 9

40 Merkitään välien pituuksia x, x,..., x n. Koska f on jatkuva välillä [a, b], niin jokaisella suljetulla välillä [x i, x i ] on olemassa minimiarvo m i ja maksimiarvo M i, kun i,,..., n. Nyt saamme suorakulmiolle i minimipinta-alan m i x i ja maksimipinta-alan M i x i. Summaamalla suorakulmioiden pinta-alat yhteen, saamme alasummaksi n s n m i x i i ja yläsummaksi n S n M i x i. i Kokonaispinta-ala A on jotakin ala- ja yläsumman väliltä, joten voimme kirjoittaa s n A S n. Tihennetään nyt jakoa x, x,..., x n äärettömästi siten, että jakovälin maksimipituus lähenee nollaa. Nyt jos raja-arvo lim s n n lim S n n A on olemassa, on funktio f integroituva välillä [a, b]. Raja-arvo A on funktion f määrätty integraali yli välin [a, b], ja sitä merkitään A b a f x) dx. Huomautus: Välin [a, b] jako tulee suorittaa siten, että jakovälin maksimipituus lähenee nollaa. Muuten ei ole väliä kuinka osaväleihin jako suoritetaan, sillä kaikilla jaoilla saadaan sama raja-arvo, kunhan n lähestyy ääretöntä funktion f ollessa integroituva. 6. Integraalilaskennan päälause Tässä alaluvussa johdamme integraalilaskennan päälauseen derivaatan määritelmän avulla. Lauseen johto ei ole aivan täsmällinen, sillä oletamme esimerkiksi, että funktion f x) on oltava ei-negatiivinen, ja että suorakulmion korkeus e, kun x ks. kuva 6.4) problematisoimatta asiaa sen enempää. Nämä oletukset kuitenkin yksinkertaistavat tarkastelua ja ovat sen vuoksi perusteltuja kurssin vaatimustasoa silmällä pitäen. Lause 6.. Integraalilaskennan päälause. Olkoon funktio f jatkuva välillä [a, b]. Tällöin b f x) dx F b) F a), missä F on funktion f integraalifunktio. a 4

41 Todistus. Oheisessa kuvassa kuva 6.) on esitetty jatkuva ja ei-negatiivinen funktio f x). Funktion f x) ja x-akselin väliin jää alue, joka rajataan vielä y- akselin suuntaisilla suorilla pisteistä a ja x. Näin saamme alueen, jonka pintaalan haluamme määrittää. Merkitään pinta-alafunktiota symbolilla A. Koska sen arvo riippuu muuttujasta x, saamme pinta-alafunktioksi Ax). Kuva 6.: Pinta-alafunktio Ax). Lasketaan seuraavaksi funktion Ax) derivaatta A x) derivaatan määritelmän avulla. Olkoon h x h > ), jolloin vastaava pinta-alafunktion muutos kuva 6.) on A. Tarkastellaan nyt funktion Ax) ja muuttujan x muutosten suhdetta. Nyt kun h, niin derivaatan määritelmän avulla saadaan A x A x) lim h Ax + h) Ax) h lim h A h lim A h x. Kuva 6.: Pinta-alafunktion muutos. Piirretään nyt pisteeseen x, f x) ) vaakasuora viiva aina pystyviivalle x + h 4

42 asti. Nyt saimme muodostettua suorakulmion, jonka ala h f x) > A. Muodostetaan nyt toinen suorakulmio, jonka leveys on h ja korkeus e siten, että h f x) h e A kuva 6.4). Nyt saamme erotusosamääräksi Kuva 6.4: Suorakulmion muodostus. A h h f x) h e h f x) e. Asetetaan jälleen h. Tällöin A lähestyy nollaa, joten voidaan myös todeta, että e. Näin ollen ja toisaalta A lim h h A x) A lim h h Siis A x) f x). lim h f x) h e e h lim e f x) e) f x). Saimme siis tuloksen joka kertoo, että pisteessä x pinta-alafunktion derivaatta A x) ja funktio f x) saavat saman arvon. Tällöin siis funktion f x) pintaalafunktio Ax) on sama kuin funktion f x) integraalifunktio F x), eli Ax) on jokin integraalin f x) dx funktioista. Toisin sanoin Ax) F x) + C. Olemme siis laskemassa lukuarvoa pinta-alalle, joka riippuu muuttujasta x. Mikä on integrointivakion C arvo? Tarkalleen ottaen tämä pitää paikkaansa, kun funktio f x) on vähenevä tarkasteluvälillä. Jos funktio f x) on kasvava, niin silloin h f x) < A. Tällöin A h f x) + h e, joka johtaa samaan tulokseen. 4

43 Selvästi Aa), sillä kun x a, niin y-akselin suuntaiset pinta-alaa rajoittavat suorat ovat päällekkäin. Siis Aa) F a) + C, josta saamme Näin ollen ja erityisesti C F a). Ax) F x) F a) Ab) F b) F a). Yllä oleva lause yhdistää määrätyn integraalin ja integraalifunktion käsitteet toisiinsa. Lause on siinä mielessä kätevä, että sen avulla määrätty integraali on hyvin helppo määrittää, eikä lausetta käytettäessä tarvitse minkäänlaista raja-arvon laskentaa. Tosin joissain tapauksissa integraalifunktion määritys voi olla hyvin vaikeaa, jolloin määrätyn integraalin laskeminenkin vaikeutuu. Huomaa myös, että kyseisen lauseen todistusta tarkasteltiin tilanteessa, jossa funktio f oli ei-negatiivinen. Lause pätee myös tilanteissa, joissa funktio f on negatiivinen. Jos määrätyn integraalin arvo on negatiivinen, niin pintaalaa laskettaessa on muistettava vaihtaa etumerkkiä, sillä pinta-ala ei voi saada negatiivista arvoa määrätty integraali toki voi). Tilanteissa, joissa funktio on välillä positiivinen ja välillä negatiivinen, kannattaa pinta-alaa laskettaessa tarkastelu jakaa osiin kaavan 6.5) avulla, jota käsitellään myöhemmin alaluvussa 6.. Integroimisrajat tulee säilyttää laskutoimituksessa mukana vielä integroinnin jälkeenkin. Otetaan siksi käyttöön uusi merkintä, joka kertoo integroimisrajat integroinnin jälkeen. Määritelmä 6.. Sijoitusmerkintä: b a f x) dx missä F x) on f x):n integraalifunktio. / b a F x) F b) F a), Esimerkki 6.. Arvioi funktion f x) x kuvaajan, x-akselin sekä suorien x ja x 7 rajaaman alueen pinta-alaa ala- ja yläsummien avulla. Laske ala- ja yläsummat, kun väli [, 7] jaetaan a) yhteen, b) kolmeen yhtäpitkään osaväliin. 4

44 Ratkaisu: a) Arvioidaan pinta-alaa ala- ja yläsummilla s ja S : s f ) 6 6 ja S f 7) Siis < A <. Kuva 6.5: Ala- ja yläsummat a-kohdassa. b) Arvioidaan pinta-alaa ala- ja yläsummilla s ja S : Kuva 6.6: Ala- ja yläsummat b-kohdassa. s f ) + f ) + f 5) ja S f ) + f 5) + f 7) Siis 9 < A < 5. Kuten edellisestä esimerkistä huomataan, jakoa tihentämällä arvio pinta-alalle on tarkempi, sillä alasumma kasvaa ja yläsumma pienenee. Kun välijakoa tihennetään äärettömästi, saadaan pinta-alalle tarkka arvo. 44

45 Esimerkissä 6. pinta-alan tarkka arvo välillä [, 7] on 7 x / 7 x 7 ) Määrätyn integraalin laskusääntöjä Seuraavaksi laajennetaan määrätyn integraalin käsitettä laskusääntöjen avulla. Nämä laskusäännöt ovat samat kuin määräämättömällä integraalilla muutamia lisäyksiä lukuunottamatta. Tässä on kuitenkin hyvä pitää mielessä, että määräämätön integraali on derivoinnin käänteisoperaatio ja määrätty integraali on puolestaan raja-arvo. Määritelmä 6.. [6, Sivu 46]. 6.) 6.) a a b a f x) dx, a f x) dx b f x) dx, tyhjä integroimisväli, integroimisrajojen vaihto. Yllä olevasta määritelmästä huomataan, että integroimisrajojen vaihto on sallittua. Jos näin tehdään, on kuitenkin aina muistettava vaihtaa etumerkki. Ilman etumerkin vaihtoa määrätyn integraalin arvo olisi virheellinen. Otetaan esille vielä muutama laskusääntö ja tarkastellaan näiden käyttöä sitten esimerkkien avulla. Lause 6.. [6, Sivu 47]. 6.) 6.4) 6.5) b a b a b a b kf x) dx k ) b f x) + gx) dx f x) dx c a a f x) dx, missä k on vakio, a f x) dx + f x) dx + b c b a f x) dx, gx) dx, vakion siirto, summan integrointi, additiivisuus. Todistus. Sivuutetaan. Esimerkki 6.. Olkoon 4 f x) dx 8 ja 4 gx) dx. 45

46 Laske 4 a) f x) dx, b) 4 gx) f x) ) dx. Ratkaisu: a) 4 f x) dx 4 f x) dx vakion siirto 4 f x) dx , b) 4 gx) f x) ) dx summan integrointi gx) dx 4 gx) dx f x) dx 4 4 gx) dx f x) dx f x) dx vakion siirto integroimisrajojen vaihto 4 4 gx) dx, f x) dx Esimerkki 6.. Laske määrätty integraali 4 x ) dx 4 x ) dx + x ) dx. 46

47 Ratkaisu: 4 x ) dx x ) dx + x ) dx + x ) dx x ) dx x ) dx + x ) dx x ) dx integroimisrajojen vaihto x ) dx additiivisuus additiivisuus tyhjä integroimisväli 6.4 Pinta-ala Aiemmin muun muassa geometrian kurssilla olemme laskeneet erilaisten kappaleiden pinta-aloja. Näiden pinta-alojen määritys on usein ollut helppoa, koska kappaleet ovat koostuneet kolmioista, ympyröistä ja muista säännöllisistä kuvioista. Miten sitten voidaan määrittää sellaisen kappaleen pinta-ala, joka on hyvin epäsäännöllinen ja mielivaltainen? Tähän ongelmaan määrätty integraali ja eritoten lauseessa 6. esitetty integraalilaskennan päälause tuovat ratkaisun. Esimerkki 6.4. Laske funktion f x) x + 8 kuvaajan ja x-akselin rajaaman alueen pinta-ala. Ratkaisu: Selvitetään ensin integroimisrajat, jotka saadaan x-akselin ja funktion f x) kuvaajan leikkauspisteistä: 47

48 x + 8 x 8 x 4 x ±. Lasketaan nyt pinta-ala soveltamalla lausetta 6.. Koska kyseessä on alaspäin aukeava paraabeli, niin A x + 8 ) dx x dx + x dx dx / / x + 8 x dx )) ) + 8 )) summan integrointi vakion siirto pinta-alayksikköä. Esimerkki 6.5. Laske funktion f x) x 4 + 6x 8x kuvaajan ja x-akselin rajaaman alueen pinta-ala. Ratkaisu: Selvitetään ensin integroimisrajat, jotka saadaan x-akselin ja funktion f x) kuvaajan leikkauspisteistä. Siis x 4 + 6x 8x xx + x 4) x tai x + x 4 x tai x + x 4. 48

49 Kuva 6.7: Esimerkin 6.5 funktio. Kokeilemalla huomataan, että yhtälön x + x 4 yksi juuri on x. Nyt yhtälö saadaan muotoon x )x + 4x + 4) käyttämällä jakokulmaa. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa käyttämällä yhtälön x + 4x + 4 juureksi saadaan kaksoisjuuri x. Funktion f x) kuvaajan ja x-akselin leikkauspisteet ovat siis x, x ja x. Kuvassa 6.7 ne ovat a, b ja c. Jaetaan tarkastelu ensin osiin kaavan 6.5) avulla. b a x 4 + 6x 8x ) dx c a x 4 + 6x 8x ) dx + b c x 4 + 6x 8x ) dx. additiivisuus Vaihdetaan vielä jälkimmäisen integraalin etumerkki ja lasketaan sitten kysytty pinta-ala. Etumerkin vaihto täytyy tehdä, jotta pinta-alasta saadaan positiivinen alue välillä [, ] on x-akselin alla). A c a / x 4 + 6x 8x ) dx x 4 + 6x 8x ) dx b c 5 x5 + ) / x4 4x x 4 + 6x 8x ) dx x 4 + 6x 8x ) dx 5 x5 + ) x4 4x sum. int. 49

50 )5 + ) )4 4 ) [ )] ) + ) [ ] pinta-alayksikköä. Yllä olevissa esimerkeissä laskimme x-akselin ja funktion kuvaajan rajaaman alueen pinta-alaa. Mitä jos haluamme laskea kahden funktion kuvaajan rajaaman alueen pinta-alan? Tarkastellaan tätä ongelmaa seuraavan esimerkin avulla. Esimerkki 6.6. Laske funktioiden f x) x + 5 ja gx) x 4x + 5x kuvaajien rajaaman alueen pinta-ala kuvassa 6.8 pinta-ala A ). Ratkaisu: Selvitetään ensin integroimisrajat, jotka saadaan funktioiden kuvaajien leikkauspisteistä. Siis x + 5 x 4x + 5 x 4x xx ) x tai x. Periaatteena kahden funktion kuvaajan rajaaman alan laskennassa on se, että lasketaan ensin molempien funktioiden kuvaajien rajaamat alat x-akselin kanssa tarkasteluvälillä ja vähennetään sitten ne toisistaan siten, että saadaan haluttu ala selville. Tässä esimerkissä tarkasteluväli on [, ]. Kuvasta 6.8 nähdään, että funktion f x) kuvaaja rajaa suuremman alueen x-akselin kanssa A +A ), joten haluttu pinta-ala saadaan vähentämällä gx):n kuvaajan ja x-akselin välinen ala A ) 5

51 Kuva 6.8: Esimerkin 6.6 pinta-alat. funktion f x) kuvaajan rajaamasta alasta. Näin ollen A b a b a / f x) dx b a gx) dx ) f x) gx) dx x + 5 x 4x + 5 )) dx x + 4x ) dx ) x + x ) + + summan integrointi summan integrointi pinta-alayksikköä. Edellisessä esimerkissä huomattiin, että kahden funktion kuvaajan rajaama pinta-ala saadaan laskemalla ensin molempien funktioiden kuvaajien rajaamat alat x-akselin kanssa ja vähentämällä sitten saadut alat toisistaan siten, että haluttu pinta-ala saadaan selville. Toisaalta on oltava tarkkana kumpi ala 5

52 vähennetään kummasta. Jos vähennys tehdään väärinpäin, tulee alasta negatiivinen. Tällöin voimme kuitenkin aina ottaa itseisarvon saadusta luvusta ja saamme halutun pinta-alan. Kirjoitetaan tämä vielä lauseen muodossa: Lause 6.. Funktioiden f x) ja gx) kuvaajien sekä suorien x a ja x b rajaaman alueen pinta-ala on b b A da f x) gx) dx. a a Todistus. Sivuutetaan. Käytännössä on kuitenkin helpompaa ajatella asiaa kuvan avulla ja katsoa kumpi kuvaajista on ylempänä ja kumpi alempana, eikä tällöin itseisarvoja tarvitse käyttää. Jos kuvaajat risteävät tarkasteluvälillä, kannattaa tarkastelu jakaa osaväleihin. Esimerkki 6.7. Laske funktioiden f x) sin x ja gx) cos x kuvaajien sekä suorien x π ja x 5π rajaaman alueen pinta-ala. Ratkaisu: Selvitetään funktioiden kuvaajien leikkauspiste välillä [ π tarkastelu osiin. Leikkauspiste on sin x cos x cos ) π x cos x ) π x ±x + n π x π + n π tai π n π, 5π ] ja jaetaan sitten ) π sin x cos x 5

53 x π + n π tai ei ratkaisua 4 x 9π 4, välillä [ π, 5π ], kun n Z. Nyt jakamalla tarkastelu osiin saadaan A 9π 4 5π ) gx) f x) dx + f x) gx) ) dx π 9π 4 9π 4 5π π cos x sin x) dx + 9π 4 sin x cos x) dx sum. int. 9π 4 / π sin x cos x)) dx + 5π / 9π 4 cos x sin x) dx sin 9π 4 + cos 9π 4 sin π + cos π ) cos 5π sin 5π cos 9π 4 sin 9π 4 ) pinta-alayksikköä. Huomaa, että yllä olevassa tarkastelussa ensimmäisellä välillä funktion gx) kuvaaja on f x):n kuvaajan yläpuolella, mutta toisessa alapuolella. Sen vuoksi ensimmäisellä välillä laskimme gx) f x) ja toisella f x) gx). Tämän asian kanssa kannattaa olla tarkkana, sillä vähentämällä molemmilla väleillä funktioiden kuvaajat samoinpäin saadaan virheellinen lopputulos. Jos funktioiden kuvaajat olisivat koko tarkasteluvälillä samoinpäin, ei laskentaa tarvitsisi välttämättä jakaa osiin. Esimerkki 6.8. Laske funktioiden f x) 8 x + ja gx) 6 x + kuvaajien sekä suoran x rajaaman kaksiosaisen alueen pinta-ala. Ratkaisu: Selvitetään ensin funktioiden kuvaajien leikkauspisteet. 5

54 Leikkauspisteet ovat 8 x + 6 x + x x x x + ) x tai x. Lasketaan nyt kysytty pinta-ala. Huomaa, että nyt tarkastelua ei tarvitse jakaa osiin, koska funktioiden kuvaajat ovat välillä [, ] koko ajan samoinpäin. A / f x) gx) ) dx [ 8 x + )] 6 x + dx 8 x + ) 6 x dx 7 x4 + ) 8 x )4 + ) 8 ) summan integrointi

55 pinta-alayksikköä. Nyt olemme laskeneet x-akselin ja funktion kuvaajan sekä kahden funktion kuvaajan rajaamia pinta-aloja. Tutustutaan sitten tilanteisiin, joissa täytyy määrittää funktion kuvaajan ja y-akselin rajaamia pinta-aloja. Näissä tilanteissa integrointi suoritetaan samoin kuin aiemmin. Ainoana erona on se, että nyt integrointi tulee suorittaa muuttujan y suhteen. Esimerkki 6.9. Laske funktion y + 4x 6 kuvaajan ja suoran y 4x 4 rajaaman alueen pinta-ala. Ratkaisu: Ratkastaan ensin yhtälöt muuttujan x suhteen. Funktion yhtälö saa muodon y + 4x 6 4x 6 y ja suoran yhtälö muodon x 4 4 y y 4x 4 4x y + 4 x 4 y +. 55

56 Selvitetään sitten leikkauspisteiden y-koordinaatit. Muodostetaan yhtälöpari josta saadaan { x 4 4 y, x 4 y +, ja edelleen 4 4 y 4 y + 4 y + 4 y. Käyttämällä toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa, saamme juuriksi y ja y 4. Lasketaan nyt kysytty pinta-ala. Huomaa, että nyt tarkastelua ei tarvitse jakaa osiin, koska funktioiden kuvaajat ovat välillä [ 4, ] koko ajan samoinpäin. A 4 [ 4 4 / 4 f y) gy) ) dy 4 y y 4 y + ) y 8 y + y )] 4 y + dy dy ) 8 + 4) 8 4) + 4) ) sum. int pinta-alayksikköä. Esimerkki 6.. Määritä funktion x y 8 rajaaman alueen pinta-ala. kuvaajan ja suorien y ja y 56

57 Ratkaisu: Integrointirajat ovat siis y ja y. Lasketaan kysytty pinta-ala jakamalla tarkastelu osiin. A y dy + 8 y dy / y dy + 8 y dy 4 y4 + / 8 4 y4 vakion siirto 4 ) 4) ) ) 6.5 Tilavuus 6) + 7 pinta-alayksikköä. Nyt kun olemme tutustuneet pinta-alojen määrittämiseen, on aika ryhtyä laskemaan tilavuuksia. Pinta-aloja laskettaessa ajattelimme, että pinta-ala koostuu äärettömän monesta äärettömän pienestä suorakaiteesta, jotka yhteenlaskettuna muodostavat pinta-alan. Nyt ajattelemme aivan samalla tavalla. Tilavuus koostuu siis äärettömän monesta äärettömän ohuesta tilavuusalkiosta, jotka 57

58 yhteenlaskettuna muodostavat laskettavan tilavuuden. Ajatellaan ensin, että meillä on jokin sylinterimäinen tilavuus V, jonka poikkileikkaus säilyy vakiona. Poikkileikkauspinta on sylinterin akselia vastaan kohtisuorassa ja sen pinta-ala olkoon A. Sylinterin tilavuus on nyt helppo määrittää. Se on pohjan pinta-ala kertaa sylinterin korkeus h eli V A h, kun poikkileikkaus säilyy vakiona. Mitä jos poikkileikkauspinta ei olekkaan vakio, vaan vaihtelee akselin muuttujan suhteen? Kuva 6.9: Poikkileikkaus ei pysy vakiona lähde: Nyt tarvitsemme avuksi taas integraalilaskentaa. Olkoon x-akseli tarkasteluakseli ja oletetaan, että tilavuutta rajoittavat x-akselia vastaan kohtisuorat tasot a ja b. Poikkileikkauksen pinta-ala on Ax), sillä nyt se ei ole vakio, vaan riippuu muuttujasta x. Nyt voimme kirjoittaa kappaleen tilavuudelle V yhtälön V b a dv b a Ax) dx, missä Ax) on poikkileikkauksen pinta-ala ja dx on tilavuusalkion paksuus. Voimme siis todeta, että kappaleen tilavuus on keskimääräinen poikkileikkauspintaala A k kerrottuna tarkasteluvälillä, eli V A k b a). Tutustutaan ensin pyörähdyskappaleen tilavuuden määrittämiseen ja sen jälkeen tilavuuksiin, joiden tilavuusalkio ei ole ympyrälieriön muotoinen. Pyörähdyskappaleella tarkoitetaan sitä, kun jatkuvan funktion kuvaaja pyörähtää jonkin akselin ympäri muodostaen pinnan, joka yhdessä pyörähdysakselia vastaan kohtisuorien tasojen a ja b kanssa muodostaa tilavuuden. Tällöin tilavuusalkiot ovat ympyrälieriön muotoisia Pyörähdyskappale Monesti tilavuuden määrittämisessä suurin työ on löytää poikkileikkauksen pinta-alafunktio Ax). Pöyrähdyskappaleen tapauksessa se on kuitenkin help- 58

59 poa. Pyörähdyskappaleen tilavuusalkiot ovat ympyrälieriön muotoisia, joten voimme kirjoittaa tilavuudelle yhtälön V b a πf x) dx olettaen, että pyörähdysakselina on x-akseli. Yhtälö voidaan kirjoittaa samaan tapaan myös muiden akselien tapauksessa. Huomaa, että yllä olevassa yhtälössä pinta-alafunktio on saatu hyväksikäyttäen ympyrän pinta-alan kaavaa πr, missä ympyrän säteenä r on nyt funktio f x). Tällöin pinta-alafunktioksi saadaan Ax) πf x). Esimerkki 6.. Suora f y), x 6, pyörähtää x-akselin ympäri. Laske syntyneen ympyrälieriön tilavuus. Ratkaisu: Integrointirajat ovat siis x ja x 6. Kysytty tilavuus V 6 / 6 π dx 4π x 4π6 ) 4π tilavuusyksikköä. Huomaa, että tehtävä olisi voitu myös ratkaista suoraan käyttämällä suoran ympyrälieriön tilavuuden kaavaa V πr h. Esimerkki 6.. Funktion f y) y 8, y, kuvaaja pyörähtää y- akselin ympäri. Laske syntyvän kaksiosaisen kappaleen tilavuus vrt. esimerkki 6.). Ratkaisu: Integrointirajat ovat siis y ja y. Lasketaan kysytty tilavuus jakamalla tarkatelu osiin: 59

60 V π 64 ) π 8 y dy + / 7 y7 + π / 64 7 y7 ) π 8 y dy π 7 ) ) ) 448 9π 448 tilavuusyksikköä. Esimerkki 6.. Funktion f x) x kuvaajan positiivinen osa ja suora gx) x pyörähtävät y-akselin ympäri. Laske syntyvän kappaleen tilavuus. Ratkaisu: Nythän y x, joten x ± y, josta riittää valita positiivinen osa tarkastelun kohteeksi, eli x y. Lisäksi yhtälöstä y x saadaan x y. Määritetään integroimisrajat funktioiden kuvaajien leikkauspisteiden avulla. Jos y y, niin y 9 y ja edelleen y 9 y ). Näin ollen y tai y 9. Lasketaan kysytty tilavuus V siten, että lasketaan ensin funktion x y kuvaajan muodostama tilavuus ja vähennetään siitä sitten suoran x y muodostama tilavuus. V 9 π ) 9 y dy ) π y dy summan integrointi 6

61 9 9 π [ ) ) ] π y y dy / 9 π [y 9 y ] dy [ y ] 7 y [ π )] 7 [ 8 π 79 ] 7 [ 87 π ] 54 vakion siirto summan integrointi 79π 54 tilavuusyksikköä. Huomaa, että edellisessä esimerkissä laskimme kahden funktion kuvaajan välisen tilavuuden samalla periaatteella, kuin olisimme laskeneet kahden funktion kuvaajan välisen pinta-alan, eli vähensimme pienemmän tilavuuden suuremmasta. Voimme siis kirjoittaa, että V b a π [ f x) gx) ] dx. Jälleen on oltava tarkkana kummin päin vähennys tehdään, jotta päästään oikeaan lopputulokseen. 6

62 Otetaan vielä yksi lause esille. Jos meillä on kyseessä origon suhteen symmetrinen väli, eli esimerkiksi [ a, a], on integroimista mahdollisuus hieman helpottaa, jos kyseessä on parillinen tai pariton funktio. Pariton funktio on kyseessä, jos vastaluvut antavat funktiolle vastalukuarvot, eli f x) f x). Parillinen funktio on puolestaan kyseessä silloin, kun vastaluvut antavat funktiolle saman arvon, eli f x) f x). Esimerkiksi x on parillinen ja x pariton funktio. Lause 6.4. Olkoon a >. Jos funktio f on parillinen, niin a a Jos funktio f on pariton, niin a f x) dx a a f x) dx. f x) dx. Todistus. Sivuutetaan. Lauseen tulos pätee siis vain origon suhteen symmetriselle välille. Esimerkki 6.4. [6, sivu 75]. Osoita, että r-säteisen pallon tilavuus on V 4 πr. Todistus. Origokeskisen r-säteisen ympyrän yhtälö on x + y r. Kun puoliympyrä pyörähtää kierroksen x-akselin ympäri, saadaan r-säteinen pallo. Siis x + y r y r x y ± r x. 6

63 Nyt V r r π πyx) dx r r r x ) dx r π r x ) dx / r π π [ r x x ) r r r r )] vakion siirto parillisuus π r r ) 4 πr tilavuusyksikköä. Huomaa, että yllä olevassa esimerkissä käytettiin hyväksi funktion parillisuutta Muita tilavuuksia Jos joudumme määrittämään kappaleen tilavuuden, joka ei ole pyörähdyskappale, tulee meidän ensin määrittää pinta-alafunktio Ax). Kun Ax) on määritetty, voimme käyttää yhtälöä tilavuuden ratkaisemiseksi. V b a Ax) dx Esimerkki 6.5. [4, sivu 4]. Olkoon pyramidin korkeus h ja pohjaneliön särmän pituus r. Johda pyramidin tilavuuden kaava. Ratkaisu: Nyt jokainen poikkileikkauspinta-ala on neliön muotoinen. Olkoon pyramidin keskiakselina x-akseli, jolloin poikkileikkauspinnat ovat x-akselia kohtisuorassa. Asetetaan pyramidin pohjaneliön keskipiste origoon. 6

64 Nyt pohjaneliön särmän pituus s muuttuu x:n funktiona eli s sx). Saamme symmetrian perusteella yhtälön s h x r josta saamme särmän pituudelle funktion Tällöin pinta-alafunktio on h, sx) r h x). h Siis V Ax) sx) r h h x). b a Ax) dx r h h h x) dx h/ r h r h [ h x) h h) h ) ) ] r h. 64

65 Esimerkki 6.6. Olkoon meillä kappale, jonka x-akselia vastaan kohtisuora poikkileikkauspinta on neliö. Kappaleen pohjaa rajoittavat funktion y x kuvaaja ja x-akseli. Ratkaise kyseisen kappaleen tilavuus välillä [, ]. Ratkaisu: Nythän poikkileikkausneliön sivun pituus on x. Tällöin poikkileikkausneliön pinta-ala on x ) 4x. Siis V b a Ax) dx / 4x dx 4 x ) 8 tilavuusyksikköä. 65

66 6.6 Harjoitustehtäviä. Olkoon Laske a) f x) dx 4 7f x) dx, b) ja gx) dx 5. 6gx) 5f x) ) dx.. Laske määrätty integraali 5 4 5x + ) dx 5 5x + ) dx + 4 5x + ) dx.. Laske suoran y x + ja koordinaattiakselien rajoittama pinta-ala. 4. Laske funktion f x) x + 4 kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala. 5. Tasoaluetta rajoittavat suorat x, x sekä x-akseli ja funktion y x + a kuvaaja. Tasokuvion pinta-ala on 4. Määritä vakio a. 6. Laske funktion f x) sin x kuvaajan ja x-akselin rajoittama pinta-ala välillä [, π]. 7. Laske funktion f x) x x kuvaajan ja x-akselin rajoittama pintaala. 8. Laske funktioiden f x) x +x+5 ja gx) x+ kuvaajien rajoittaman alueen pinta-ala. 9. Laske funktion y x kuvaajan ja suoran y 4x rajoittaman alueen pinta-ala.. Funktion y xx 4) kuvaaja muodostaa silmukan. Laske syntyneen silmukan pinta-ala.. Laske funktioiden x y ) ja x y + y ) kuvaajien rajoittaman alueen pinta-ala.. Määritä funktion y x kuvaajan, suoran y 6 ja y-akselin rajaaman alueen pinta-ala.. Suora y, x pyörähtää x-akselin ympäri. Laske syntyneen ympyrälieriön tilavuus. 66

67 4. Suora y 4x pyörähtää x-akselin ympäri. Laske syntyvän kappaleen tilavuus välillä [, ]. 5. Funktion f x) x + kuvaaja ja suora y 4 pyörähtävät y-akselin ympäri. Laske syntyvän kappaleen tilavuus. 6. Funktioiden y x +6 ja y kuvaajien välinen alue pyörähtää suoran y ympäri. Laske syntyvän pyörähdyskappaleen tilavuus. 7. Laske sen pyörähdyskappaleen tilavuus, joka syntyy funktion y x + kuvaajan, x-akselin sekä suorien x ja y 9 rajoittaman alueen pyörähtäessä suoran x ympäri. [s.]. Vinkki: Tee koordinaatistomuunnos). 8. Lasista valmistettu maljakko on muodoltaan pyörähdyskappale, joka syntyy suorien y 4 ja y 4, paraabelin x + y sekä y-akselin rajoittaman alueen pyörähtäessä x-akselin ympäri. Maljakon pohjan halkaisija on 8, cm. Kuinka paljon maljakko painaa, kun lasin tiheys on 6 kg m. [k94.8]. 9. Johda kartion tilavuuden lauseke V A ph, missä A p on kartion pohjan pinta-ala ja h on kartion korkeus. 67

68 6.7 Harjoitustehtävien ratkaisut. a) 8, b) pinta-alayksikköä. 4. pinta-alayksikköä. 5. a pinta-alayksikköä. 7. pinta-alayksikköä pinta-alayksikköä pinta-alayksikköä pinta-alayksikköä.. 4 pinta-alayksikköä.. 8 pinta-alayksikköä.. 45π tilavuusyksikköä. 4. 5π tilavuusyksikköä. 5. 9π 4 tilavuusyksikköä π 5 tilavuusyksikköä. 7. π tilavuusyksikköä. 8., 6 kg

69 7 Integraalilaskennan sovelluksia Integraalilaskentaa sovelletaan monilla aloilla, joita ovat muun muassa lääketiede, tilastotiede, fysiikka ja monet muut tekniikan alat. Tässä luvussa on tarkoitus tuoda integraalilaskentaa hieman käytännönläheisemmäksi esittelemällä muutamien esimerkkien avulla, kuinka sitä voidaan soveltaa muilla aloilla. Periaatteena on se, että jokaisen esimerkin alkaessa on todettu mihin alaan esimerkki liittyy. Tämän luvun esimerkit ovat melko vaativia ja monet niistä ylittävät selvästi tämän kurssin vaatimustason. Niissä on myös monesti käytetty tietoja, jotka eivät välttämättä ole itsestään selviä ellei kyseisen esimerkin alaan ole perehtynyt tarkemmin. Esimerkkien tarkoitus onkin antaa aiheesta kiinnostuneille opiskelijoille lisämotivaatiota jatko-opintoja varten ja vastata kysymykseen "Mihin integraalilaskentaa oikein tarvitaan?". Esimerkki 7.. Fysiikka nopeus). Kappaleen, joka liikkuu suoraan eteenpäin, nopeus on yhtälön ) 4. ms ) v 8. m s mukainen. Laske paikan muutos ajanhetkestä t s ajanhetkeen t +4 s. Ratkaisu: Nopeus voidaan kirjoittaa muodossa v dx dt, joka tarkoittaa paikan muutosta ajan suhteen. Tällöin paikan muutos voidaan laskea yhtälöstä v dx dt dx v dt x t t v dt. + t muuttujien separointi integrointi puolittain Paikan muutos on siis nopeuden yhtälön integraali t:n suhteen. Näin ollen x t v dt t 4s s / 4s s 8. m s 8. m s ) ) + t + 4. ms )t ) dt 4. ms )t ) summan integrointi 69

70 ) 8. m s [ 4 s + 8. m s ) 4. ) m s s) + 4 s) 4. ) ] m s s). m m m. m m 6. m +. m m Huomaa, että paikka x saadaan integroitaessa nopeuden v yhtälö ajan t suhteen. Toisaalta kiihtyvyys a saataisiin derivoitaessa nopeuden yhtälö ajan suhteen. Esimerkki 7.. Biologia [6]. Auringonpaisteen tehoa voidaan mitata erityisillä mittalaitteilla. Biologisti halusi mitata metsän kasvien auringosta saaman energiamäärän ja asensi mittalaitteen metsään. Mittalaitteen lukema noudatti yhtälöä P t), 4t + 8t ) kj h aikavälillä [8, 9]. Kuinka paljon kasvit saivat energiaa auringosta kyseisellä aikavälillä? Ratkaisu: Aikavälillä laitteen vastaanottama energia on energiavuon kertymä, joten se saadaan integroimalla. Näin ollen E 9 8 / 9 8, 4t + 8t dx, 4 t + 8 t t, [, ] 58, , kj. Kasvit saivat siis noin kj energiaa auringosta kyseisellä aikavälillä. Esimerkki 7.. Fysiikka Työ) []. Muuttomiehet työntävät laatikkoa massaltaan m 8 kg pitkin lattiaa m matkan. Valitettavasti liippaaja on 7

71 tehnyt huonoa työtä ja lattia on ovea kohden mentäessä karheampi. Liukukitkakerrointa voidaan kuvata yhtälöllä µ k µ + ax, missä x paikkakoordinaatti alussa x ), µ, 7 lepokitkakerroin) ja a, 6 m kiihtyvyys). Kuinka suuren työn muuttomiehet tekevät siirtäessään laatikkoa m matkan? Ratkaisu: Pienimmillään työntävä voima on yhtä suuri kuin kitkavoima, joten F µ k N mg µ + ax ), missä N tukivoima ja g putoamiskiihtyvyys. Työn yhtälö on dw F dx, joten x dw F dx x x x mg µ + ax ) dx ja edelleen W mgµ x x x x dx + mga x x/ x/ mgµ x + mga x x mg x dx µ x x ) + ax x ) 8 kg 9, 8 m s ), 7 m +, 6 m m) ) 665 Nm 6, 7 kj. Yllä olevasta esimerkistä huomataan, että jos työntävä voima ei pysy vakiona, tarvitsemme tehdyn työn määrittämiseksi integraalilaskentaa. Esimerkki 7.4. Painopiste. Laske painopiste alueelle, jota rajoittavat suora y 4 ja paraabeli y x. 7

72 Ratkaisu: Syntyvä kuvio on symmetrinen y-akselin suhteen, joten painopiste sijaitsee janalla OB eli pisteessä p, y p ). Nyt tulee vielä selvittää painopisteen y koordinaatti y p. Jaetaan alue x-akselin suuntaisiin dy:n korkuisiin alkioihin. Pinta-alkio on helpompi muodostaa tekemällä oletus, että tarkasteltava kuvio olisikin toisinpäin kuin alkueräinen ks. kuva 7.), tehty oletus kompensoidaan tehtävän lopussa). Merkitään laskettavaa oletuskoordinaattia symbolilla y p. Nyt y x + 4 x 4 y x ± 4 y. Näin ollen pinta-alkioksi saadaan da 4 y dy, missä arvo huomioi symmetrisyyden, termi 4 y on leveys etäisyys origosta positiiviseen suuntaan) ja dy on alkion korkeus. Kuva 7.: Vasemmalla lähtötilanne ja oikealla oletustilanne. Painopisteen paikka janalla O B saadaan y :n arvojen painotettuna keskiarvona, kun kukin y :n arvo vastaa yhtä pinta-alkiota. Koordinaatti y p saadaan siis jakamalla tulojen y da summa kokonaispinta-alalla A, joka on yhtä kuin alkioiden summa da. Lasketaan ensin y da : 4 y da 4 4 y 4 y dy vakion siirto y 4 y dy osittaisintegrointi 7

73 [ / 4 4 y ) y [ / 4 [ / 4 [ / 4 [ ] y ) y + 4 y ) y + 4 y ) y 4 4 / 4 / 4 4 y ) dy ] vakion siirto 4 y ) dy ] 5 4 y ) 5 4 y ) ] 5 5 Lasketaan sitten kuvion pinta-ala A, joka voidaan laskea lähtötilanteen perusteella ks. kuvan 7. vasemmanpuoleinen kuvio): A Nyt saamme määritettyä y p:n: y p / 4 dx 4x / x dx x [ ] ] Koska alussa muodostimme pinta-alkion oletuksen perusteella, saadaan painopisteen y p paikka lausekkeesta 4 y p eli y p 5. Muodostuvan kappaleen painopiste sijaitsee siis koordinaatissa, 5 ). Esimerkki 7.5. Talotekniikka [, 9]. Vesi virtaa putken läpi, jonka pituus on, m ja halkaisija on, 5 mm. Paine-ero putken päiden välillä on, 5 kertaa 7

74 normaali ilmanpaine. Oletetaan, että virtaus on laminaarista ja veden viskositeetti on, Pa s. Määritä veden virtausnopeus putken keskiakselilla, kun virtausnopeudelle voidaan käyttää yhtälöä dv r ) dp dr, η dl missä v on nopeus, r on sisäosan säde, η on veden viskositeetti, p on paine ja l on putken pituus. Laminaarisella virtauksella tarkoitetaan sitä, että virtauksen kerrokset eivät sekoitu keskenään eli virtaus ei ole turbulenttista ks. kuva 7.). Ratkaisu: Viskositeetin takia virtauksella on nopeusprofiili siten, että putken pinnalla nopeus on nolla ja keskellä se on suurimmillaan. Tämän vuoksi nopeuden ratkaisemiseksi keskiakselilla, jossa r, tulee nopeuden yhtälö integroida putken säteen suhteen. Kuva 7.: Laminaarisen virtauksen virtausprofiili. Integroidaan annettu virtausnopeuden yhtälö puolittain R on putken kokonaissäde): dv r η ) dp v r dr dv r dl η R v η v η dp dl dp dl ) r R ) / r R ) dp dr dl r dr ) r v ) dp r R ) 4η dl v ) dp R r). 4η dl vakion siirto 74

75 Nyt saimme johdettua virtausnopeudelle yhtälön v ) dp R r), 4η dl jonka avulla saamme tehtävän ratkaistua. Tehtävänä oli määrittää virtausnopeus putken keskiakselilla, jolloin r. Voimme siis kirjoittaa v 4η dp dl Sijoitetaan annetut lukuarvot yhtälöön: v ) dp R 4η dl ) R r ) v 4η ) dp R. dl, 5, ) Pa 4,, 75 m) Pa s, m, 9 m s. Veden virtausnopeus putken keskiakselilla on siis noin, 9 m s. Esimerkki 7.6. Lääketiede [, 5]. Ateroskleroosia sairastavan henkilön sepelvaltimon halkaisija on pienentynyt %. Kuinka moninkertaiseksi paine sydämessä kasvaa, jos oletamme paineen sepelvaltimosuonen päässä sekä pulssin ja iskutilavuuden olevan samat kuin terveellä ihmisellä? Sepelvaltimon virtausta voidaan karkeasti arvioida Poiseuillen yhtälön q V π pr4 8ηL avulla. Johda ensin tämä yhtälö ja ratkaise sitten tehtävä. Veren viskositeetille voit käyttää arvoa η, Pa s. Ratkaisu: Esimerkin 7.5 perusteella tiedetään, että laminaarisen virtauksen virtausnopeus putkessa on v p R r ), 4ηL missä p on paine-ero, L on putken pituus, R on putken säde ja r on säde putken keskipisteestä tarkasteltavan kerroksen reunaan. Tarkastellaan nyt fluidikerrosta välillä [r, r + r]. Ajassa t fluidi etenee matkan v t. Näin ollen tilavuus, joka kulkee renkaan [r, r + r] läpi ajassa t 75

76 on πr rv t. Yhdessä aikayksikössä tämä tilavuus on πr rv. Nyt voimme määrittää putken läpi kulkevalle tilavuusvirralle yhtälön: q V R πrv dr R π r p R r ) dr 4ηL π p ηl R r R r ) dr π p [ R/ ηl r R π p [ ηl R4 ] 4 R4 R/ ] 4 r4 vakion siirto ja v:n sijoitus vakion siirto summan integrointi π p ηl 4 R4 π pr4 8ηL. Nyt olemme siis johtaneet Poiseuillen yhtälön q V π pr4 8ηL, jota voimme käyttää hyväksi tehtävän ratkaisussa. Koska sepelvaltimon halkaisija on pienentynyt %, myös säde on pienentynyt %. Merkitään ateroskleroosia sairastavan ihmisen sepelvaltimon sädettä R s ja terveen ihmisen R t. Näin ollen R s, 7R t. Ratkaistaan paine-ero Poiseuillen yhtälöstä: q V π pr4 p 8ηLq V 8ηL πr 4. Pituus, tilavuusvirta ja viskositeetti ovat samat sairaalla ja terveellä ihmisellä. Sairaan ja terveen ihmisen paine-erojen suhde on p s p t 8ηLq V π,7r) 4 8ηLq V πr 4 4, 6 4,., 74 Terveellä ja sairaalla ihmisellä verenpaine sepelvaltimon päässä on sama. Näin ollen paine-erojen suhde on sama kuin sydämen pään paineiden suhde. Siis sairaan ihmisen sydämessä on noin 4,-kertainen paine. 76

77 Esimerkki 7.7. Todennäköisyyslaskenta. Tiheysfunktio f x) e 4 x, 4 x, kuvaa jäätelöpaketin painon poikkeamaa ohjearvosta g. Jäätelöpaketti hyväksytään myyntiin, jos poikkeama on välillä [, 4]. Laske todennäköisyys p sille, että jäätelöpaketti hyväksytään myyntiin. Ratkaisu: Lasketaan ensin integraali yli koko tarkasteltavan alueen: 4 e 4 x dx 4 / 4 e 4 x dx e 4 x 4 4 e 4 e 4 4)) 4 e 4 e ) 756, 8. Lasketaan sitten integraali yli hyväksytyn alueen: 77

78 4 e 4 x dx 4 /4 e 4 x dx e 4 x 4 4 e 4 4 e 4 ) ) 4, 57. Todennäköisyys sille, että jäätelöpaketti hyväksytään myyntiin on laskettujen integraalien osamäärä. Siis p 4, , 8, 74. Esimerkki 7.8. Ydinvoimatekniikka. Käsitellään tässä painevesireaktoria. Painevesireaktorin PWR) sydän koostuu pääasiassa polttoainesauvoista ja jäähdytteestä vesi).tehtävämme on määrittää jäähdytteen lämpötilan yhtälö virtauskanavassa. Jäähdytteen lämpötilan avulla pystymme selvittämään lämpötilan myös polttoainesauvan suojakuoressa ja polttoaineen sisällä. Näiden lämpötilojen määrittäminen on tärkeää, koska jos reaktorin lämpötila nousee liikaa, johtaa se polttoaineen sulamiseen ja sitä kautta vakavaan ydinvoimalaonnettomuuteen. Seuraavassa on esitetty yhtälö, jonka avulla jäähdytteen lämpötila virtauskanavassa voidaan määrittää: ) z q m c p Tm z) T in L q z) dz q max z L ) πz cos dz, missä q m on jäähdytteen massavirta, c p on ominaislämpökapasiteetti, T m z) on jäähdytteen lämpötila korkeudella z, T in on jäähdytteen sisäänmenolämpötila, L on polttoainesauvan pituus, L on pituus jolloin neutronivuo poikkeaa nollasta ja q on lineaariteho ks. kuva 7.). Integroidaan yllä oleva lauseke: ) z q m c p Tm z ) T in q max L ) / z q m c p Tm z ) T in q max L cos ) πz L dz L π sin ) πz L dz L 78

79 Kuva 7.: Lineaaritehon riippuvuus korkeudesta z [, sivu 66]. ) q m c p Tm z ) T in q L [ max sin π T m z ) T in q max L [ sin q m c p π ) πz L sin ) πz L + sin )] πl L. π L L ) )] Siirretään T in vielä yhtälön toiselle puolelle, jolloin saamme yhtälön jäähdytteen lämpötilalle korkeuden z funktiona. T m z ) q max L [ ) )] πz πl sin q m c p π L + sin L + T in. Yllä olevan yhtälön avulla voimme määrittää virtuskanavan lämpötilan halutulla korkeudella z. Muut yhtälön muuttujat ovat usein tunnettuja tai helposti mitattavissa olevia suureita. Integraalilaskentaa tarvitaan ydinvoimatekniikassa hyvin paljon. Yllä esitettiin vain yksi esimerkki monista integraalilaskennan käyttökohteista ydinvoimatekniikan puolella. Esimerkki 7.9. Talous/maantiede. [k98.8]. Euroopan unionin tarkastaja mallintaa satelliittikuvassa näkyvän trombin tuhoaman metsän alueeksi, joka jää funktioiden y sin x ja y sin x kuvaajien väliin, kun x [, π]. Mikä on tuhoalueen tarkka pinta-ala mallin mukaan? Pituuden mittayksikkö on kilometri. Oletetaan, että trombin tuhoista maksetaan korvausta e ha. Kuinka paljon metsän omistaja saa korvausta? Ratkaisu: Määritetään ensin integroimisrajat funktioiden y sin x ja y sin x kuvaajien leikkauspisteiden avulla käyttämällä hyväksi sinin kaksinkertaisen kulman kaavaa sin x sin x cos x. 79

80 Nyt saamme siis yhtälön sin x sin x sin x cos x sin x sin x cos x sin x sin x cos x ) sin x tai cos x sin x tai cos x x nπ tai x π + nπ, n Z. Leikkauspisteet välillä [, π] ovat siis x, x π ja x π. Lasketaan kysytty pinta-ala jakamalla tarkastelu osiin: A π sin x sin x) dx + π π sin x sin x) dx summan integrointi π / cos x + cos x ) cos π + cos π + π/ cos x + ) cos x π cos + cos )+ cos π + cos π )) cos π + cos π 8