MIKROTEORIA 1, HARJOITUS 1 BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA

Transkriptio

1 MIKROTEORIA, HARJOITUS BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA tilasto (600 00) 00 a. Kulmakerroin: = = =, koska 00 sivua lisää ta aiheuttaa (00 400) 00 luopumisen 00 sivusta tilastoa. Toisin sanoen yksi lisäsivu ta maksaa kolme sivua tilastotiedettä. Kiinnitetään hintatason yksiköksi tilastotieteen sivun lukemiseen kuluva aika. Nyt yllä esitetyn nojalla yhden kansiksen sivun hinta on kolme tilastotieteen sivua. Tilastotieteen sivun hinnaksi tulee siis, jolloin kansiksen sivun hinnaksi tulee. Tästä seuraa, että budjettisuora voidaan kirjoittaa muodossa ptilasto tilasto + p = * tilasto + * = y, missä y on nyt Liisan lukema kirjallisuus tilastotieteen sivuissa mitattuna. Tehtävänannosta tiedetään, että sen täytyy olla yhtäsuuri kuin 00 tilaston sivua ja 400 kansiksen sivua, joten tulee päteä y tilasto + = 00 + * 400 = 500. Eli budjettisuora = tilasto + kokonaisuudessaan voidaan kirjoittaa muodossa = tilasto Series Siten jos Liisa ei lue lainkaan kansantaloustiedettä, hän ehtisi lukea 500 sivua tilastotiedettä. Ja jos Liisa ei lue lainkaan tilastotiedettä, hän ehtisi lukea 500 sivua kansantaloustiedettä ( 0 = 500 = 500 ). + b. Koska automaatti hyväksyy vain tasarahan, Eero saa automaatista tölkkejä täsmälleen niin monta kuin hänen lompakostaan löytyy kolikkokombinaatiota, jossa on yksi kahden euron kolikko ja kaksi kahdenkymmenen sentin kolikkoa. Toisin sanoen, jos Eerolta löytyy kahden euron kolikkoa ja y kahdenkymmenen sentin kolikkoa, Eero saa automaatista tölkkejä täsmälleen niin monta kuin on pienempi luvuista ja y/ (yhteen tölkkiin kuluu aina kaksi 0 sentin kolikkoa, joten tölkkejä voi ostaa enintään y/ kappaletta) tai minimifunktiota käyttäen: tölkkien lukumäärä=min{,y/}. Jos Eerolla on esimerkiksi kahden euron kolikkoa ja 5 kahdenkymmenen sentin kolikkoa, on se tällä janon hetkellä Eeron kannalta aivan yhtä hyvä kuin kahden euron kolikkoa ja 6 kahdenkymmenen sentin kolikkoa. Kummallakin kolikkokombinaatiolla Eero saa ostettua täsmälleen kokistölkkiä. Kyseessä on siis ns. täydellisten komplementtien tapaus. Alla on kuvattu kolikkokombinaatiot, joilla Eero saa ostettua, ja kokistölkkiä. Myös kombinaatiot, joilla Eero ei saa ainuttakaan kokistölkkiä löytyvät kuvasta. Mistä? 500

2 c. Pikku-Tommin mielestä sekä kaikki suuremmat että pienemmät määrät ovat huonompia kuin juuri 8 leivosta ja 4 lasia maitoa. Tämä on Tommin saturaatiopiste ts. kaikki muut yhdistelmät ovat heikompia toista edes yhtä hyvää yhdistelmää ei ole. Pisteen (8,4) ympärillä on tätä huonompia, mutta keskenään yhtä hyviä yhdistelmiä. Tommin hyötytaso nousee ellipsien lähentyessä kyseistä pistettä. Maito (lasi) leivos

3

4 . Täytä oheinen taulukko: u(, ) MU (, ) MU (, ) MRS(, ) + + ln + v( ) + v ( ) -v ( ) a b a a- b b a b- ( + a)( + b) + b + a a + b a a- b b- a b a b + b + a a b 4a. Taulukoi ja piirrä indifferenssikäyrät. = 0-4 = , 8,

5 b. Mikä on Antin indifferenssikäyrän I A kulmakerroin pisteessä (9, 8). Entä pisteessä (4, ). Arvioi graafisesti. c. Hyötyfunktio on todennäköisesti kvasilineaarinen. MU = MU = MU MRS = MU = MRS(9,8) = -/ MRS(4,) = - d. Piirrä Antin budjettisuora y.o. kuvaan. Montako pähkinää ja kirsikkaa Antin on ostettava, jotta hänen hyötynsä olisi suurin mahdollinen? Budjettisuora: + = 4. = 0, niin =. = 0, niin = 4. Kuviosta nähdään, että indifferenssikäyrä sivuaa budjettisuoraa pisteessä (6,4). MU p * e. Optimiehdosta: MRS = = = = = 4 = 6. MU p * Budjettisuorasta: = = 4. 5a. Derivoituvan funktion ääriarvot löytyvät joko derivaatan nollakohdista tai määrittelyalueen renapisteistä. Funktion määrittelyalue on tässä tapauksessa koko reaalilukujen joukko, jolla ei ole reunaa. Etsitään siis derivaatan nollakohdat: f '( ) = = 0 = 0. Funktio on tunnetusti alaspäin aukeava paraabeli, joten se saa löydetyssä kohdassa suurimman arvonsa. Tämä nähdään myös derivoimalla funktio toisen kerran: f ''( ) = < 0. Funktio on siis konkaavi (tai kupera) kaikissa määrittelyjoukon pisteissä ja löydetty derivaatan nollakohta on siis sen globaali maksimi. Nyt arvo. f (0) = 0 = 0, joka on funktion suurin

6 4 b. Nyt f '( ) = 0,75 = 0 = = + = + (funktiota ei ole määritelty 0,75 ( ) ( ) negatiivisilla :n arvoilla). Vastaavasti kuin edellä f ''( ) =,5 < 0 kaikilla > 0. Funktio on siis taas kupera kaikissa määrittelyjoukkonsa pisteissä, joten löydetty derivaatan nollakohta on myös funktion globaalimaksimikohta. Tällä kertaa 4 f ( ) = 0,5*( ) = ( ( )( ) ) = ( ) =. 4 c. Tällä funktiolla ei ole maksimia: 6 8 lim f ( ) = lim = lim ( + + ) =. Tämä voidaan perustella seuraavasti: kasvaa rajatta :n kasvaessa. Sulkujen sisällä kaikki termit lukua lukuunottamatta lähestyvät nollaa ja sulkutermi siis lähestyy lukua. Näin ollen sulkutermin ja funktion tulo kasvaa myös rajatta. Tuon tulon raja-arvo on puolestaan yllä esitetyn laskun nojalla sama kuin funktion f raja-arvo. Valitsemalla riittävän suuri argumentti funktion f arvo saadaan siis mielivaltaisen suureksi erityisesti suuremmaksi kuin mikään ehdotettu maksimi.

7