Derivaatta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka

Transkriptio

1 Derivaatta 6 Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Helsingissä Kustannusosakehtiö Otava

2 Kirjan rakenne Aiemmin opiskeltua -tehtävät palauttavat mieleen aiempien kurssien asioita. Ennakkotehtäviä on jokaisen luvun aloitusaukeamalla kaksi: helpompi ja vaikeampi. Tehtävät on mahdollista ratkaista aiempien tietojen avulla. Digijohdanto ja johdanto aloittavat jokaisen alaluvun. Digijohdanto on appletti, jossa ratkaistaan alaluvun uuteen asiaan johdattava tehtävä. Johdannossa uuteen asiaan tutustutaan selittävän esimerkin avulla. Johdannon keskeiset havainnot kootaan lauseessa tai määritelmässä. Harjoitustehtävät on jaoteltu dintehtäviin, vahvistaviin tehtäviin ja sventäviin tehtäviin. Ydintehtävät on tarkoitettu kaikille, ja niissä kohdataan keskeiset uudet asiat. Ydintehtäviä monipuolisemmat vahvistavat tehtävät lujittavat osaamista ja antavat vankan pohjan tulevien asioiden mmärtämiselle. Aiheen perusteellista hallintaa tavoiteltaessa on stä tehdä sventäviäkin tehtäviä. Ylioppilastehtävän tiedot on merkitt hakasulkeisiin. Esimerkiksi [K5/] on kevään 05 pitkän matematiikan kokeen tehtävä. Teknisten apuvälineiden kätöstä on mainittu harjoitustehtävässä erikseen, jos tehtävä on tarkoitus ratkaista ilman teknisiä apuvälineitä tai sopivalla ohjelmalla. Teknisellä apuvälineellä tarkoitetaan ohjelman toimintoa, josta on matematiikan kannalta apua. Muilta osin tietokoneen tai muun laitteen kättäminen ratkaisun kirjaamisessa on aina sallittua. Kertausosiossa kurssin keskeiset ideat esitellään tiiviissä muodossa ja niitä harjoitellaan muutamalla tehtävällä. Kertausosion perässä on kokoavia tehtäviä koko kurssista. Logojen merkitkset ovat seuraavat: Asiaan liitt appletti osoitteessa Tehtävään on vihje kirjan lopussa. SYVENNÄ Asiaan liittviä tehtäviä on vain sventävissä tehtävissä.

3 Aiemmin opiskeltua Kertaa aiempien kurssien asioita, joita tarvitset tällä kurssilla. Vastausosiossa on tehtävien ratkaisut.. Vastaa funktion f kuvaajan perusteella. a) Määritä f (). b) Millä muuttujan arvoilla f () = 0? c) Mikä on funktion f suurin arvo? d) Millä väleillä f () > 0? = f(). Kuvaajat esittävät kahden puhelinliittmän kuukausilaskun suuruutta puheajan funktiona. Kummassa liittmässä lasku kasvaa nopeammin? 6 lasku ( ) lasku ( ) aika aika (min) (min) kuvaaja kuvaaja. Laske ilman teknisiä apuvälineitä. a) + b) c) 8 d) + 6. Määritä pisteiden (, 7) ja (5, ) kautta kulkevan suoran htälö. 5. Jaa toisen asteen polnomi tekijöihin. a) 6 + b) 9 c) + d) + 6. Ködellä, jonka pituus on m, rajataan erilaisia suorakulmion muotoisia aitauksia. Mikä on aitauksen pinta-ala, kun hden sivun pituus on metriä? 7. Hahmottele polnomifunktion f kuvaaja merkkikaavion perusteella. f() Mitkä luvut toteuttavat a) htälön = 0 b) epähtälön < 0? 5

4 Derivaatta Tällä kurssilla funktioiden tarkastelua svennetään kolmella uudella käsitteellä: raja-arvo, jatkuvuus ja muutosnopeus eli derivaatta. Derivaatan avulla voidaan tutkia funktion kulkua ja ratkaista monenlaisia ääriarvoihin liittviä ongelmia. Uudet käsitteet liittvät analsiksi kutsuttavaan matematiikan osa-alueeseen. Tämän kurssin lisäksi analsia käsitellään kursseilla 7 9 ja. Optimointia ja tangentteja Virvoitusjuomatölkki valmistetaan ohuesta alumiinilevstä. Tölkin pohjan tulee olla kaksi kertaa niin paksu kuin seinämät. Tällä kurssilla opitaan, miten tölkin mitat tulisi valita, jotta alumiinia kuluisi valmistusvaiheessa mahdollisimman vähän. Sdne Harbour Bridge on maailman levein pitkän jännevälin teräksinen kaarisilta. Missä kulmassa kaari leikkaa vaakasuoran ajotien? Tämän ongelman ratkaisemiseen tarvitset derivaattaa. = 0,7 + 0,6 6

5 Derivaatan sovelluksia Lämpötilaerosta johtuvaa energian siirtmistä aineessa kuvaa niin sanottu lämpö htälö. Yhtälö liittää toisiinsa lämpötilan muutos nopeuden eli derivaatan ja lämpötila jakauman muodon. Mös useat muut fsiikan lait ovat itse asiassa derivaattoja sisältäviä differentiaali htälöitä. Vedenalaiseen putkeen kohdistuva rasitus aiheuttaa putkeen väsmisvaurioita, jotka voivat johtaa putken rikkoutumiseen. Rasitusta voidaan arvioida laskemalla erilaisia derivaattoja. Analsin alkutaival Analsi kehitti alun perin tarpeesta ratkaista pinta-aloihin, mekaniikkaan, optiikkaan ja tähtitieteeseen liittviä ongelmia. Analsin käsitteistö saavutti nkisen tarkkuuden ja täsmälliset merkinnät vasta satojen vuosien kuluessa. Varaudu siis siihen, että analsin salaisuuksiin tutustuminen vie sinultakin aikaa. 7

6 Raja-arvo ja jatkuvuus Tässä luvussa opitaan, miten funktiota voidaan tutkia mös sellaisten kohtien läheisdessä, joissa funktion arvoa ei voida laskea. Funktion jatkuvuus on tärkeä funktion kättätmisestä kertova ominaisuus.

7 Ennakkotehtävät Uusi asia on helpompi mmärtää, kun sitä on jo pohtinut ennakkotehtävissä.. Suorakulmion kärjistä ksi on origossa, ksi -akselilla, ksi -akselilla 8 ja ksi kärällä = oheisen kuvan mukaisesti. + 7 a) Arvioi, mitä lukua suorakulmion pinta-ala lähest, kun -akselilla oleva kärki lähest origoa. b) Selvitä tarkka arvo luvulle, jota suorakulmion pinta-ala lähest. = Voit hahmottaa suorakulmion muuttumista appletin avulla. 7, kun >. Selvitä, katkeaako funktion f( ) = + 05, + 0, 5, kun kuvaaja kohdassa =.

8 . Funktion raja-arvo Digijohdanto: Määritä tihenevän portaikon pituus. Johdanto Tarkastellaan funktiota f( ) =. Arvioi, mitä lukua funktion arvo 5 lähest, kun muuttuja lähest kohtaa =. Ratkaisu Funktion f määrittelehto on 5 0 eli. Funktion arvoa kohdassa = ei siis voida laskea. Voidaan kuitenkin tutkia, mitä arvoja funktio saa lähellä kohtaa =. Piirretään funktion f kuvaaja ja taulukoidaan funktion arvoja kohdan = molemmin puolin hä lähempänä kohtaa =. 5 = f() 5 lähest kohtaa vasemmalta ( < ). lähest kohtaa oikealta ( > ).,5,9,99,995,005,0,,5 f (),869,5,679,68,705,708,879,67 Taulukkoon laskettujen arvojen perusteella funktion arvo nättää lähestvän lukua,7. Näin kä riippumatta siitä, lähesttäänkö kohtaa = vasemmalta (lukua pienemmät luvut) vai oikealta (lukua suuremmat luvut). Saman päätelmän voi tehdä funktion f kuvaajan avulla. Raja-arvo ja jatkuvuus

9 Johdannossa havaittiin, että vaikka funktion f( )= arvoa 5 nimittäjän nollakohdassa = ei voida laskea, on silti mahdollista selvittää, mitä lukua funktion arvo lähest muuttujan lähestessä kohtaa =. Määritelmä Funktion f raja-arvo kohdassa a on luku b, jos funktion arvo lähest lukua b, kun lähest kohtaa a. Tällöin merkitään lim f ( ) = b. a Limes on latinaa ja tarkoittaa rajaa. Merkintä lim f ( ) = b luetaan limes f, kun lähest a:ta, on b. a Mainitun raja-arvon voi merkitä mös f () b, kun a. b = f() f() a Huomautus Funktion arvolla kohdassa = a ei ole raja-arvon olemassaolon eikä itse raja-arvon kannalta merkitstä. Funktion ei tarvitse olla edes määritelt kohdassa = a. Kaikissa alla olevissa kuvissa lim f( ) =. = f() = f() = f() lim f( ) =, f () = lim f( ) =, f () = lim f( ) =, f () ei määritelt. Funktion raja-arvo 5

10 Esimerkki Määritä funktion f raja-arvo kohdassa =, kun a) f( ) =, 7 7 b) f 8 ( ) =,. Ratkaisu a) Kun muuttuja lähest lukua, osoittaja lähest lukua = 7 ja nimittäjä 7 lukua 7 =. Osamäärä lähest siis lukua =. 8 Muodollisesti tämä lasku merkitään seuraavasti: lim = 7 = = = f() Raja-arvo saadaan siis tässä tapauksessa sijoittamalla luku funktion f lausekkeeseen. 6 b) Kun muuttuja lähest lukua, osoittaja 8 lähest lukua 8 = 0 ja nimittäjä lukua = 0. Koska 0 ei ole 0 mikään luku, tästä ei voida päätellä raja-arvosta mitään. Muoto 0 kertoo kuitenkin sen, että = on sekä osoittajan että 0 nimittäjän nollakohta. Tällöin sekä osoittajalla että nimittäjällä on tekijä, joten lauseke supistuu. Nimittäjänä on suoraan, ja osoittajassa tulee näkviin, kun erotetaan hteinen tekijä. 8 ( ) = = On siis voimassa f () = kaikilla. Funktion f raja-arvo saadaan sijoittamalla luku sievennettn lausekkeeseen. 8 lim = lim = = Appletissa nätetään, miten raja-arvo voidaan laskea smbolisen laskennan ohjelmalla. 6 Raja-arvo ja jatkuvuus

11 Esimerkki Määritä funktion f( ) = +,, raja-arvo kohdassa =. Ratkaisu Sijoitetaan luku funktion lausekkeeseen: + 5 = 0. Suora sijoittaminen tuottaa määrittelemättömän muodon. Koska osoittaja + ei saa kohdassa = arvoa 0, osamäärää + ei voida supistaa kuten esimerkissä b. Lasketaan funktion f arvoja kohdan = läheisdessä ja piirretään funktion kuvaaja. lähest kohtaa vasemmalta ( < ). lähest kohtaa oikealta ( > ).,5,9,99,995,005,0,,5 f () Kun lähest kohtaa oikealta, funktio saa aina vain suurempia positiivisia arvoja. Tämä johtuu siitä, että funktion lausekkeen osoittaja + lähest nollasta eroavaa lukua 5 ja nimittäjä lukua 0 positiiviselta puolelta. Kun lähest kohtaa vasemmalta, funktio saa aina vain pienempiä negatiivisia (itseisarvoltaan suuria) arvoja. Tämä johtuu siitä, että osoittaja + lähest nollasta eroavaa lukua 5 ja nimittäjä lukua 0 negatiiviselta puolelta = f() 6 8 Funktion f arvo ei siis lähest mitään tiettä lukua, kun lähest kohtaa. Funktiolla ei ole tämän perusteella raja-arvoa kohdassa =.. Funktion raja-arvo 7

12 Esimerkkien ja periaatteet ovat leistettävissä: Lause a) Polnomi- ja rationaalifunktion raja-arvo voidaan laskea sijoittamalla raja-arvokohta funktion lausekkeeseen, jos funktio on määritelt kseisessä kohdassa. b) Jos raja-arvokohdan sijoitus rationaalifunktion lausekkeeseen tuottaa muodon 0, lauseketta voidaan sieventää. 0 Jos funktiolla on raja-arvo, se saadaan sijoittamalla raja-arvokohta sievennettn lausekkeeseen. c) Jos sijoitus tuottaa muodon a, jossa a 0, raja-arvoa ei ole olemassa. 0 Esimerkki Määritä raja-arvo. a) lim + b) lim + 0 Ratkaisu a) Sijoitus = tuottaa muodon + = 0, joten sievennetään lauseketta. lim = lim ( + )( ) ( )( + ) + = + lim = + = + Osoittaja: a b = (a + b)(a b) Nimittäjä: a + b + c = a( )( ) 5 " 0" 0 b) lim lim ( )( + = ) + ( ) = lim + = + = 0 Osoittaja: a + b + c = a( )( ) Nimittäjä: a ab + b = (a b) Raja-arvoa ei siis ole olemassa, vaikka sijoitus = alkuperäiseen lausekkeeseen tuottikin muodon Raja-arvo ja jatkuvuus

13 Harjoitustehtävät YDINTEHTÄVÄT 0. Yhdistä merkintä ja ilmaisu. A lim f( ) = I Funktion f raja-arvo kohdassa = on. B f () = II Funktion f arvo kohdassa kolme on ksi. C lim f( ) = III Funktion f arvo kohdassa = on. D f () = 0. a) Yhdistä kuvaaja ja taulukko. IV Funktion f arvo lähest lukua kolme muuttujan lähestessä kohtaa ksi. kuvaaja kuvaaja kuvaaja f () f () f () 0,9,85 0,9, 0,9,99 0,95,98 0,95,05 0,95,9975 0,999,998 0,999,00 0,999,999999,00,00,00,999,00,999999,05,08,05,95,05,9975,,58,,9,,99 taulukko taulukko taulukko b) Mihin kuvaajista merkintä lim f( ) = sopii? 0. Määritä oheisen kuvaajan perusteella a) lim f( ) b) lim f( ) 5 c) lim f( ) d) f () ja f (5). = f() Funktion raja-arvo 9

14 Määritä raja-arvo tehtävissä 0 ja 05 ilman teknisiä apuvälineitä a) lim( 5 ) b) lim c) lim a) lim ( ) 5 b) lim c) lim a) Laske funktion f arvoja taulukkolaskentaohjelmalla ja arvioi, 8 mikä on funktion f raja-arvo kohdassa =, kun f( ) =,. b) Tutki funktion f kuvaajaa kohdan = läheisdessä. Varmista a-kohdan tulos kuvaajan avulla. VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 07. Seuraavista päättelistä vain ksi on oikein. Mikä? A Jos halutaan laskea funktion f raja-arvo kohdassa =, ensin on varmistettava, että arvo f () on olemassa. B Funktion arvo ja raja-arvo kohdassa = a voivat olla eri suuria. C Jos tiedetään, että lim f( ) =, niin f ( ) =. 08. a) Funktiosta f tiedetään, että lim f( ) =. Mitkä kuvaajista sopivat funktion f kuvaajaksi? Perustele. kuvaaja kuvaaja kuvaaja b) Mihin kuvaajista oheinen taulukko liitt?,9,95,999,00,05, f (),,,00,998,9,8 09. Määritä ilman teknisiä apuvälineitä funktion f raja-arvo kohdassa =. a) f( ) =, b) f + ( ) =, c) f( ) =, 0 d) f( )= 0 Raja-arvo ja jatkuvuus

15 0. Määritä raja-arvo ilman teknisiä apuvälineitä. + a) lim + b) lim ( ). Onko väite tosi vai epätosi? Perustele. f a) Jos lim ( ) =, niin lim ( ) a g( ) f = ja lim g ( ) =. a a f b) Jos lim ( ) = ja lim ( ), a g( ) f = niin lim g ( ) =. a a 9 c) lim Olkoon f( ) =, kun. Määritä raja-arvo lim f( ) ilman teknisiä apuvälineitä. Onko funktiolla nollakohtia? Arvioi tuloksia vertaamalla kuvaajaan.. Tutki funktiota f( ) =, 6 ±. a) Määritä lim f( ) ilman teknisiä apuvälineitä. b) Minkä merkkisiä arvoja funktio saa? Saako funktio arvoa nolla? Tarkastele mös kuvaajaa.. Raja-arvon lim määrittäminen lauseketta sieventämällä ei onnistu. Määritä raja-arvon likiarvo kahden desimaalin tarkkuudella taulukoimalla arvoja. Varmista tulos kuvaajalta. Määritä raja-arvo tehtävissä 5 7 ilman teknisiä apuvälineitä. 5. lim + ( + + ) 8 6. a) lim 9 b) lim a) lim b) lim 9 + ( ) kautta kulkee suora. 8. Paraabelin = pisteiden (, ) ja a, a Mitä lukua suoran kulmakerroin lähest, kun luku a lähest lukua? a) Arvioi tulosta appletin avulla. b) Määritä kulmakertoimen raja-arvo laskemalla.. Funktion raja-arvo

16 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 9. Määritä sellainen luku a, että funktiolla f on raja-arvo kohdassa =. Määritä tämän jälkeen kseinen raja-arvo. a a) f( ) =, b) f + a + ( ) =, 0. Voidaanko vakio c valita siten, että funktiolla f( )= on raja-arvo kohdassa =? 6+ 9 c. Muodosta lauseke rationaalifunktiolle, jolla on raja-arvo kohdassa = 0 mutta jota ei ole määritelt tässä kohdassa.. Suorakulmaisen kolmion ABC kärki A on origossa, kärki B funktion f ( ) = +, ja 0, kuvaajalla ja kärki C -akselilla. Kulma C on suora. Mitä lukua kolmion pinta-ala lähest, kun -akselilla oleva kärki lähest origoa?. Ymprän s htälö on ( ) + ( ) = 0. Piste P on mprän s kehällä. Ymprän t kehä kulkee pisteiden (, ) ja P sekä mprän s keskipisteen kautta. Tarkastellaan aluetta, joka jää kummankin mprän sisälle. Tutki sopivalla ohjelmalla, mitä lukua tämän alueen pinta-ala lähest, kun piste P lähest pistettä a) (, ) b) (, ). Raja-arvo ja jatkuvuus