2.1 Erotusosamäärä. Derivaatan määritelmä

Transkriptio

1 .1 Erotusosamäärä. Derivaatan määritelmä Ken ei tässä vaieessa osaa muodostaa kaden pisteen kautta kulkevan suoran ytälöä, ei ole edes vaarassa pudota kärryiltä, vaan jää kyydistä kokonaan. Jos tasolta on annettu kaksi pistettä, suoran piirtämiseen tarvitaan vain kynä ja viivoitin. Astetta vaativampaa on muodostaa suoralle (kuuluvien pisteiden koordinaattien välinen) ytälö. Suoran suuntakulma tarkoittaa suoran ja x-akselin välistä kulmaa, jota on pidettävä negatiivisena, jos suora on laskeva. Suoran kulmakerroin tarkoittaa tämän kulman tangenttia. Mitä puolestaan tarkoittaa kulmien samankotaisuus? x, y ) ( ( y y1) ( x1, y1) α α ( x x1) tanα y x y1 x1 Jos suoran kulmakerroin k ja yksi sen piste ( x, y) tunnetaan, niin suora on määrätty ja sen ytälö on y y k(x x). Kun suoran kaksi pistettä tunnetaan, niin sen ytälö voidaan edellä esitetyn nojalla kirjoittaa esimerkiksi muodossa y y y y 1 1 (x x1). x x1

2 Joskus suora saattaa olla jommankumman koordinaattiakselin suuntainen, jolloin edellä kirjoitettua täytyy iukan lisäkorjailla, mutta jätetään arjoitustetäväksi. Kuitenkin nämä ovat erittäin keskeisiä asioita ainakin derivaatan geometrisen tarkastelun kannalta. Funktion kuvaajan, tavallisesti jonkin käyrän (viivan) sekantiksi (s) sanotaan suoraa, joka kotaa käyrän (ainakin) kadessa sen pisteessä. Käyrän tangenttia voidaan pitää sekantin eräänä raja-asentona, ja jo tässä yteydessä tarvitaan rajaarvon käsitettä. Pannaan käyrän sekantti, pisteiden P ja Q kautta kulkeva suora muuttamaan suuntaansa siten, että piste Q rajattomasti läestyy paikoillaan pysyvää pistettä P. Sekantin saavuttettua sen raja-asennon, missä käyrällä ja suoralla on (tavallisesti) enää yksi yteinen piste, sanotaan sekantin kiertyneen käyrän tangentiksi (t). t s s Q P Esim. 1 Määritettävä paraabelin y 3 x pisteeseen P ( 1, ) asetetun se-kantin kulmakerroin, kun sekantin ja paraabelin toisen leikkauspisteen Q x koordinaatti on a) b).5 c).9 d).99 e).999 f) g) 1.1 ) 1.1 i) 1.1 j) Mikä on kulmakertoimen raja-arvo, kun x 1? 3 1 Kun x, saadaan sekantin kulmakertoimeksi 1. ( 1) 1 Lasketaan kulmakerroin taulukkoon muilla pisteen Q x koordinaatin arvoilla.

3 1 -,5 1,5 -,9 1,9 -,99 1,99 -,999 1, ,1,1-1,1,1-1,1,1 j) Näyttää taulukon mukaan olevan vavoja viitteitä siitä, että kulmakerroin läestyy rajattomasti kakkosta, kun x 1. Tämä todistetaan tavalla, jota melko usein käytetään ns. derivoimiskaavoja jodettaessa. P Q P (1,). Merkitään pisteen Q x-koordinaattia 1 + 1, jolloin Q:n y-koordinaatti on 3 ( 1) 3 ( + 1) + y Sekantin kulmakerroin yleisessä tapauksessa kaavan y1 nojalla x x , kun.huomaa, että kun 1 ( 1), niin Q P. Edellissivun taulukosta on syytä uomata, että Q voi läestyä pistettä P kummasta suunnasta yvänsä, mikä merkitsee sitä, että luku voi olla ytä yvin positiivinen kuin negatiivinenkin. Täten paraabelille pisteeseen P (1, ) asetetun tangentin kulmakerroin on.! Sekantin kulmakertoimen antavaa lauseketta, jonka osoittaja on pisteiden Q ja P y-koordinaattien erotus y(1 + ) y(1) + ja nimittäjä samojen pisteiden x-koordinaattien erotus, sanotaan funktion y 3 x erotusosamääräksi 1

4 pisteessä x 1. Jos jo tässä vaieessa saat painettua mieleesi, että derivaatta on erotusosamäärän raja-arvo, niin voit katsoa turvallisemmin tulevaisuuteen. ****************************************************************** Määritelmä 8 (by Watson Fulks: Advanced calculus ) Let f be a function defined in a neigbourood of a point x. Te ratio f x f (x + ) f (x) f (x) f (x ) ( x x x ) x x is called te difference quotient of f at x. If f (x + ) f (x) f (x) f (x) x x exist, it is called te derivative of f at x and is written f (x), Df (x) or sometimes, recalling te common notation y f(x) y (x), dy dx f (x ) f (x ) Jos erotusosamäärällä + on äärellinen raja-arvo, kun, niin sanotaan, että funktio f on derivoituva pisteessä x. Jos erotusosamäärällä on äärellinen raja-arvo jonkun (avoimen) välin jokaisessa pisteessä, niin funktio f on derivoituva tällä välillä. Jos itse derivaattakin on jatkuva tällä välillä, niin funktiota f sanotaan jatkuvasti derivoituvaksi. Jos funktio ei ole derivoituva jossain pisteessä, sillä saattaa silti olla toispuoleinen derivaatta. Näiden käsitteiden, oikealta ja vasemmalta derivoituva, määrittely jää arjoitustetäväksi. ******************************************************************

5 Esim. Määritettävä funktion y kx + b derivaatta pisteessä x. Muodostettaessa derivaattaa määritelmän mukaan, siis erotusosamäärän raja-arvona, tullaan uomaamaan, ettei niin sanottujen käsittely ollut täysin turaa. muotojen f (x + ) f (x) k(x + ) + b kx b kx + k kx k, kun. k k Erotusosamäärän muokkauksen jälkeen joudutaan määrittämään vakion raja-arvo. Ensiasteen polynomifunktion derivaatta on siten sama kuin kyseistä funktiota kuvaavan suoran kulmakerroin. Derivaattaa ei luonnollisesti rydytä jokaiselle funktiolle ja jokaisessa tarvittavassa pisteessä erikseen jotamaan erotusosamäärän raja-arvona, vaan käytetään ns. derivoimiskaavoja. Tätä ennen on kuitenkin yvä oppia tunnistamaan sellaiset pisteet, joissa funktiolla ei missään tapauksessa ole derivaattaa. Esim. 3 Osoita, ettei funktiolla f: f(x) x + 1, kun x 3 x +, kun x < 3 pisteessä x 3. ole derivaattaa Esimerkissä 7.18 saatiin tulos, jonka mukaan funktion y kx + b derivaatta on k, ja tätä voidaan tässäkin tetävässä käyttää kaikissa muissa pisteissä, mutta ei lainvaitumiskodassa, koska erotusosamäärällä on tässä pisteessä erilainen esitysmuoto riippuen siitä, läestytäänkö pistettä x 3 negatiiviselta vai positiiviselta puolelta eli onko < vai >. Esimerkin 7.18 nojalla voidaan eti kirjoittaa f (x), kun x > 3, kun x < 3 ja on siis syytä uomata, että piste x 3 on käsiteltävä erikseen.

6 f (3 + ) f (3) (3 + ) > ja on kyseessä vakiofunktion raja-arvo: f (3 + ) f (3), kun +. f (3 + ) f (3) (3 + ) < +, kun. Erotusosamäärällä on siis oikeanpuoleinen raja-arvo (äärellisenä) olemassa pisteessä x 3, mutta ei vasemmanpuoleista raja-arvoa eli f (3 + ) f (3) ei ole olemassa. Siten myöskään f (3) ei ole olemassa. Saatat myös uomata, että funktio f on epäjatkuva pisteessä x 3. 1 ****************************************************************** LAUSE 11 Oletus: Funktio f on derivoituva pisteessä x. Väite: Funktio f on jatkuva pisteessä x. f (x Tod.: Oletus + ) f (x) f (x) f (x) x x massa. Pyritään käyttämään jatkuvuuden määritelmää: on ole-

7 f (x) + [ f (x) f (x ) + f (x )] [ f (x) f (x )] f (x) f (x) x f (x) f (x ) x xo f (x ) + f (x) f (x) f (x) (x x) + f (x) xo (x x) + f (x) + ****************************************************************** Derivoituvuus eli erotusosamäärän raja-arvon olemassaolo takaa siis funktion jatkuvuuden. Tämä on niitä kuuluisia välttämätön mutta ei riittävä eto. Voidaan siis sanoa, että jos funktio on jossain pisteessä epäjatkuva, niin se ei missään tapauksessa ole derivoituva tässä pisteessä. Toisaalta, vaikka funktio olisi jatkuva, se ei välttämättä vielä ole derivoituva. Tämä on elppo osoittaa vastaesimerkillä. Esim. 4 Osoita, ettei funktio f: f(x) x ole derivoituva origossa. Voidaan nojautua tetävään Nimittäin on x, kun x 1, kun x > f (x) x f (x) x, kun x < 1, kun x < x x + f (x) x f (x) x ( 1) 1 Derivaatan toispuoleiset raja-arvot origossa ovat eri suuret, joten tällä funktiolla ei ole derivaattaa origossa. Funktio on kyllä derivoituva kaikkialla muualla reaalilukujen joukossa. y f Erotusosamäärän esittely delta-symbolein, tai saattaa merkintänä olla x x tuttua fysiikan puolelta. Siellään määritellään esimerkiksi keskivauti jollakin

8 s s s välillä v 1 k ja etkellinen vauti jollakin tietyllä ajanetkellä t t1 t saadaan em. lausekkeen raja-arvona, kun tarkasteltavan aikavälin pituus läenee rajattomasti nollaa (kummalta puolen yvänsä). s s v(t ) 1 1 s (t1). t t t t1 1 Edellä esitetyn perusteella voidaan siis sanoa, että vauti on kappaleen paikkakoordinaatin (ajan suteen otettu) derivaatta. On syytä korostaa sitä tosiasiaa, että fysiikassa derivaatalla on erittäin paljon sovellutuksia, vaikkakaan tämä ei lukiotasolla kenties vielä kovin yvin paljastu, Derivaattaaan ei oikein voi käyttää, ennekuin se matematiikan opinnoissa käsitellään, ja tämä saattaa tapatua vasta lukio-opinnoissa toisen vuoden loppupuolella. Esimerkiksi kiityvyys on vaudin aikaderivaatta, voima on liikemäärän aikaderivaatta, säkövirran voimakkuus on varauksen aikaderivaatta, voiman momentti on pyörimismäärän aikaderivaata, jne. Sanottakoon vielä sekin, että viime aikoina painetuissa oppikirjoissa derivaatan merkitystä korostetaan uomattavan paljon funktion muutosnopeutena. Muutama vuosikymmen sitten ns. standardi lukiolainen saattoi määritellä derivaatan: Tangentin kulmakerroin sisäistämättä ollenkaan sitä tosiasiaa, että derivaatta syvimmältään on eräs raja-arvo. On tunnustettava, että eräs Raimo kuului näiin standardilukiolaisiin uoatta siitä että Raimo, kuten jokainen luokkatoverinsa osasi ulkoa Kalle Väisälän mainioon oppikirjaansa ylöskirjaaman määritelmän: Derivaatta on funktion ja argumentin vastaavien lisäysten suteen raja-arvo, kun argumentin lisäys läenee rajattomasti nollaa. Tässä yteydessä ei liene tarpeen puolustella sitä tosiasiaa, että raja-arvon teoreettiselle käsittelylle ei käytetty kovinkaan paljon aikaa.