3. Yhtälön numeeristen ratkaisujen etsimisestä

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "3. Yhtälön numeeristen ratkaisujen etsimisestä"

Transkriptio

1 Olkoon funktio f x jatkuva jollain välillä [a;b]. Jos on olemassa sellainen luku c, että a < c < b ja f a f b 0, niin on olemassa sellainen luku c, että a < c < b ja f c =0. Tämän Bolzanon lauseen mukaan jatkuva funktio vaihtaa merkkiä siis vain nollakohdan kautta. Jos siis tiedät vaikkapa juuri Bolzanon lauseen nojalla tai Algebran peruslauseen nojalla, että yhtälöllä on (ainakin yksi) ratkaisu, mutta et joko osaa etsiä ratkaisun kaavaa tai tiedät, että sellaista ei ole olemassa, niin voit turvautua johonkin lukuisista numeerisista ratkaisumenetelmistä. Numeerisissa ratkaisumenetelmissä on ohjelmoitavasta laskimesta suunnaton apu. Vielä parempi on, jos koneesi osaa myös esittää funktioitten kuvaajia graafisessa muodossa. Graafisen laskimen avulla tai vastaavalla tietokoneohjelmalla voit ensin katsoa, missä nollakohta suunnilleen on ja sitten kokeilemalla tarkentaa silmämääräistä arviotasi. Jos koneessasi on toiminto, jolle usein annetaan nimi SOLVER, et joudu itse kokeilemaan, vaan koneesi tekee sen puolestasi. Kokeilemista hienostuneempi menetelmä on käyttää kaavaa, jolla ratkaisua voi arvioida eli käyttää likiarvoa eli approksimaatiota. Nämä käyttävät usein iteraatioksi kutsuttavaa prosessia. Iteroiminen tarkoittaa sitä, että on olemassa jokin laskumenetelmä, jota toistamalla saadaan likimääräinen, numeerinen ratkaisu, jonka tarkkuus on tiettyyn ohjelmistokohtaiseen kierrosten lukumäärään saakka tyypillisesti sitä parempi mitä suurempaa iterointikierrosten määrää käytetään. Iteroiminen sopii erityisen hyvin tietokoneella tai tietysti laskimella ohjelmoitavaksi. Eräällä hyvin kuuluisalla yhtälöllä, niin sanotulla Keplerin yhtälöllä, ei ole olemassa suljetussa muodossa olevaa ratkaisua. Keplerin yhtälö on muotoa E=M e sin E, missä kulma E (poikkeama ympyrästä, eccentric anomaly) on muuttuja, joka pitäisi ratkaista. Myös M on kulma (keskipoikkeama, mean anomaly), mutta siitä ei nyt tarvitse välittää kuten ei myöskään eksentrisyydestä (eccentricity) e, joka ellipsin tapauksessa on nollan ja ykkösen välissä. Tämä yhtälö joudutaan kuitenkin ratkaisemaan aina, kun lasketaan taivaankappaleen rata. Esimerkiksi Newtonin menetelmä, joka kuuluu tällä kurssilla käsiteltäviin asioihin, ilmaistaan iteraatiokaavan eli suomeksi palautuskaavan avulla. Kun nyt mainitsin kulman käsitteen siis kulmat M ja E niin totean heti seuraavan asian. Teen siitä oikein huomautuksen. Huomaa! Tällä kurssilla ja näissä yhteyksissä yleensäkin, kulma ilmaistaan radiaaneissa. Seuraavassa kappaleessa jatkan tarinaani kertomalla lisää muun muassa noista yllä mainituista 1(22)

2 asioista. Aloittakaamme Iteroiminen sopii siis hyvin tietokoneella tehtäväksi. Koska tämä kurssi ei ole ohjelmointikurssi eikä laskimen käytön kurssi, niin vältän laskin- tai ohjelmointikielispesifisiä asioita. Pyrin sellaiseen asioitten kuvailuun, että kunhan olet lukenut koneesi ja ohjelmistosi käsikirjat, osaat itse soveltaa niitä omissa välineissäsi. Siis: tunne työvälineesi! Ainakin seuraavilla laskimenvalmistajilla on nyt käsillä oleviin asioihin erinomaisesti sopivia malleja: Casio, Hewlett-Packard, Sharp ja Texas Instruments. Jos sinulla on jonkin muun valmistajan kone, se saattaa sopia ihan yhtä hyvin. Aloitetaan Keplerin yhtälön kanssa. Se on yleisesti muotoa E=M e sin E. Tarkastellaan sitä tapauksessa M = 1 ja e = 1. Vaihdetaan myös tuntematon E x:ksi. Tällöin x=1 sin x (1) Tapaus, jossa eksentrisyys on yksi tarkoittaisi sitä, että planeetta ammutaan Auringosta suoraan ylös jollekin äärelliselle etäisyydelle, josta se sitten tipahtaisi takaisin. No, jotain tällaista protuberanssit tekevät. Esimerkki 22 Yhtälön (1) tutkiminen tarkoittaa jatkuvien funktioitten summana jatkuvan funktion K x = x sin x 1 nollakohtien etsimistä. Työ kannattaa aloittaa hahmottelemalla K:n kuvaajaa. 2(22)

3 Kuva antaa ymmärtää, että yhtälöllä on ratkaisu ainakin välillä (1,5;2). Graafisissa laskimissa on usein mahdollisuus etsiä nollakohtaa, kun käyrän yhtälö on annettu. Esimerkiksi TI 84Plus antaa tällaisen toiminnon avulla ratkaisun x = 1, Jos saatu arvo puolestaan sijoitetaan funktion yhtälöön x:n paikalle, niin edellä mainittu laskinmalli saa tuloksen 1,45776E 8. Ei siis tarkalleen nolla, mutta aika lähellä. Tarkempi arvio x:lle on 1, Onko yhtälöllä muita ratkaisuja? Derivoidaan K(x): K ' (x) = 1 cos(x), joka puolestaan on aina nolla tai suurempi. Funktio on siis kasvava eikä sillä ole muita nollakohtia. Huomaa! Kysymys ratkaisujen lukumäärästä on yhtä tärkeä kuin alkuperäinen kysymyksemme, onko ratkaisuja ylipäätään yhtään. Ota huomioon riski, että ratkaiset yhtälön muuten oikein, mutta annat vastauksena ratkaisun, jota ei kysytty tai tarvittu. Esimerkki 23 Tarkastellaan yhtälöä x 3 1 x 3=0. Onko sillä ratkaisuja? Kuinka monta, jos on? Mitä suuruusluokkaa ne ovat? Ratkaisu Annetaan koneen tehtäväksi piirtää kuva funktiosta f x =x 3 1 x 3, joka on jatkuva muualla paitsi x:n arvolla 0. Ohessa tietokoneella piirretty kuva. Kuvan perusteella yhtälöllä on kaksi ratkaisu. Koska mukana on x:n käänteisluku on selvää, että x:n arvo 0 on vedenjakaja. Tutkitaan funktion f x =x 3 1 x 3 derivaattafunktiota f' x =3x 2 1 x 2. Se on nolla x:n reaaliarvoilla ja 1 4 3, joita vastaavissa käyrän pisteissä funktiolla on vastaavasti maksimi ja minimi. Koska f 1 4 x 0, niin funktio ei ole nolla millään x:n negatiivisella arvolla. 3(22)

4 Koska myös f 1 4 x 0 ja koska derivaatan merkkitarkastelun nojalla suorita se! funktio on laskeva :aa pienemmillä x:n arvoilla sekä nouseva :aa suuremmilla x:n arvoilla, niin funktiolla on kaksi nollakohtaa x:n positiivisilla arvoilla. Arvioidaan näistä kahdesta juuresta pienempää. Arvioidaan kuvan avulla kaksi x:n arvoa nollakohdan molemmilta puolilta. Laskimella huomataan, että f 0,2 0 ja f 0,4 0. Bolzanon lauseen nojalla ratkaisu on välillä (0,2;0,4). Kokeillaan x:n arvoa, joka on näitten puolivälissä: välillä (0,3;0,4). Lasketaan 0,2 0,4 =0,3 ja f 0,3 0. Juuri on siis 2 f 0,3 0,4 = f 0,35 0, 2 joten juuri on välillä (0,30;0,35). Kokeillaan vielä arvoa 0,325: f 0,325 = 0,11. Juuri on välillä (0,325;0,35). Se tarkentuu melko hitaasti. Hitaus on puolitusmenetelmän heikkous. Vastaus: Nollakohtia on kaksi. Ne ovat välillä (0,325;0,350) ja kuvan mukaan välillä (1,0;1,5). Laskimen yhtälönratkaisija antaa Esimerkin 23 kuuden merkitsevän numeron tarkkuudella juuret 0, ja 1, Iteroikaamme siis: puolitusmenetelmästä Puolitusmenetelmän etu on sen yksinkertaisuus ja haitta sen hitaus. Hitaudella tarkoitan tässä yhteydessä sitä, että tarvitaan monta iterointikierrosta halutun tarkkuuden saavuttamiseksi. Todellisissa tilanteissahan yhtälön ratkaisijalla on mielessään selvä käsitys siitä, millä tarkkuudella hän ratkaisun tarvitse. Puolitusmenetelmän idea on puolittaa askel kerrallaan alue, josta juuri löytyy. Oletetaan, että Bolzanon lauseen ehdot voimassa yhtälön juuren ympäristössä [a;b]. Voit käyttää seuraavaa algoritmia: Piirrä kuva yhtälöä vastaavan funktion kuvaajasta Valitse pisteet, joista toisessa funktio on negatiivinen toisessa positiivinen ja jotka pisteet ovat mahdollisimman lähellä toisiaan 4(22)

5 Laske funktion arvo x:n arvolla, joka on näitten kahden arvon puolivälissä Valitse uusi väli: rajat ovat äskeinen x:n arvo ja se x:n arvo, jossa funktio on erimerkkinen Laske funktion arvo x:n arvolla, joka on uusien rajojen keskiarvo Toista 4. askeleesta alkaen Pientä lukua merkitään matematiikassa usein symbolilla (epsilon). Esimerkki 24 Ratkaise yhtälö log x x 2=0 kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. Ratkaisu Ohessa funktion f x =log x x 2 kuvaaja tietokoneen piirtämänä. Kuvasta tai kokeilemalla nähdään, että 1,5 < x < 2. Jos sinulla ei ole graafista laskinta, voit arvailla nollakohdan sijaintia sen perustella, mitä tiedät logaritmifunktion (tässä tehtävässä) ja muiden funktioiden kulusta. Ensimmäinen väli on siis (1,5;2,0). 5(22)

6 Lasketaan f 1,5 2,0 = 0, Uusi väli on siis (1,75;2,00). Lasketaan seuraava x:n 2 arvio: f 1,75 2,00 = 0, Laaditaan tästä taulukko. 2 Väli Keskipiste Funktion arvo keskipisteessä (1,5;2,0) 1, , (1,75;2,00) 1, , (1,750;1,875) 1, , (1,7500;1,8125) 1, , (1,7500;1,78125) 1, , (1,7500;1, ) 1, , (1,75000;1, ) 1, , (1, ;1, ) 1, , (1, ;1, ) 1, , (1, ;1, ) 1, , (1, ;1, ) 1, , (1, ;1, ) 1, , (1, ;1, ) 1, , Tulos: 1,76 Koska kolmeen merkitsevään numeroon pyöristetty tulos ei muutu arvosta 1,76, päätellään, että yhtälön ratkaisu tällä tarkkuudella on 1,76. Koska funktion derivaattafunktio yksi ratkaisu. f' x = log e 1 0, kun x > 0, niin yhtälöllä on tarkalleen x Vastaus: Ratkaisu kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella on 1,76. Puolitusmenetelmää kehittyneempi menetelmä on haarukointimenetelmä. Se soveltaa paljolti samaa ideaa kuin puolitusmenetelmä, mutta haarukointimenetelmä ei jaa väliä välttämättä puoliksi. Sen käyttö näyttääkin vähän erilaiselta kuin puolitusmenetelmän käyttö, mutta ei anneta tämän sivuseikan hämätä. Voit myös ajatella, että puolitusmenetelmä on eräs tapa soveltaa haarukointimene- 6(22)

7 telmää. Iteroikaamme siis: haarukointimenetelmästä Haarukointimenetelmää käytettäessä laskin pääsee näyttämään tehonsa paremmin kuin puolitusmenetelmän kanssa. Olkoot Bolzanon lauseet ehdot voimassa asiaan kuuluvalla välillä [a;b]. Esimerkki 25 Ratkaise yhtälö 2x sin x 2=0 viiden merkitsevän numeron tarkkuudella. Ratkaisu Ohessa funktion f x =2x sin x 2 kuvaaja tietokoneen piirtämänä. Koska funktio on jatkuvien funktioitten summa, se on itsekin jatkuva. Koska funktion derivaattafunktio on kaikilla x:n reaaliarvoilla nollaa suurempi ja koska f 1,3 = 0, ja koska vielä f 1,7 = 0, , niin annetulla yhtälöllä on tarkalleen yksi ratkaisu. Sovelletaan haarukointimenetelmää. Jos laskimessasi on taulukkolaskentaohjelma, nyt olisi sen käytön paikka. Toinen, ehkä mielenkiintoisempi vaihtoehto on kirjoittaa itse ohjelma, joka hoitaa homman. Canonilla, Casiolla, HP:lla ja Sharpilla on varmasti vastaavat mallit, mutta Texas- Istruments'in mallin TI-84Plus yksi mahdollinen ohjelmalistaus on seuraava: 7(22)

8 :1.3 X :While X 1.7 :2*X sin(x) 2 Y :X+1 X :Disp Y :End Se tuottaa luettelon: Luettelosta nähdään, että funktion merkki vaihtuu toisen ja kolmannen rivin välillä eli ratkaisukandidaattien 1,4 ja 1,5 välissä. Jaetaan nyt tämä väli sopivankokoisiin osiin ja korjataan ohjelma sen mukaiseksi. Merkki vaihtuu nyt 1,4:n ja 1,5:n välissä. Jaetaan nyt tämä osiin. Huomataan, että ratkaisu on välillä ]1,498;1,499[. Nyt koodi : X :While X :2*X sin(x) 2 Y :X X :Disp Y :End tuottaa tuloksen: (22)

9 Lopulta koodilla : X :While X :2*X sin(x) 2 Y :X X :Disp Y :End saadaan ratkaisu : se on lukujen 1, ja 1, välissä. Vastaus: 1,4987. Huomaa, että minä en vetoa piirrokseen, vaan derivaattaan, kun päättelen, että Esimerkin 25 yhtälöllä on tarkalleen yksi ratkaisu. Huomaa, että kehotus ratkaise yhtälö sisältää myös kehotuksen tutkia ratkaisujen lukumäärää ja etsiä ne kaikki tai kertoa, että ratkaisua ei ole. Esimerkki 26 Ratkaise yhtälö x ln 1 x =0 viiden merkitsevän numeron tarkkuudella. Ratkaisu Merkitään: f x =x ln 1 x = x ln x. Tällöin f' x = 1 x 1 0, kun x > 0. Funktion kuvaajan perusteella yhtälöllä on yksi ratkaisu välillä (0,5;0,6). Kopioin tähän taulukkolaskentaarkin ensimmäisen ja viimeisen sarjan. Niistä nähdään, että ratkaisu on 0, Tee sinä koko sarja! [0,5;0,6] f(x),500 -,193,510 -,163,520 -,134,530 -,105,540 -,076,550 -,048,560 -,020,570,008,580,035,590,062,600,089 9(22)

10 Ohessa funktion kuvaaja, jonka tein tietokoneella. [0,5671;0,5672] f(x), ,00012, ,00009, ,00006, ,00004, ,00001,56715,00002,56716,00005,56717,00007,56718,00010,56719,00013,56720,00016 Vastaus: x = 0, Iteroikaamme siis: Newtonin menetelmästä Newtonin menetelmä arvioi tutkittavaa funktiota sen tangenttien avulla. Menetelmän etu verrattuna puolitusmenetelmään sekä haarukointimenetelmään on sen suppenemisen nopeus. Toinen etu on, että hankalan funktion nollakohdan hakeminen muutetaan suoran nollakohdan hakemiseksi. Nyt joudutaan kuitenkin vaatimaan, että tarkasteltava funktio on derivoituva ainakin jossain nollakohdan x ympäristössä ]x ε;x + ε[, missä ε > 0 sekä täyttää Bolzanon lauseen oletukset 10(22)

11 vastaavalla suljetulla välillä. Huomaa varmistaa, että funktiosi todella on 1) määritelty kohdassa x 2) derivoituva sen ympäristössä. Newtonin menetelmän käyttö aloitetaan etsimällä juurelle likiarvo eli alkuarvo. Olkoon se nyt x 0. x 1 x 0 Alkuarvo valitaan läheltä kohtaa, jossa juuri näyttää olevan. Lasketaan funktion ja funktion derivaatan arvot tällä muuttujan arvolla eli lasketaan f(x 0 ) ja f ' (x 0 ). Juuren seuraava likiarvo x 1 on se x:n arvo, jossa pisteeseen (x 0 ;f(x 0 )) piirretty käyrän tangentti leikkaa x akselin. Seuraava likiarvo x 2 saadaan taas pisteeseen (x 1 ;f(x 1 )) piirretyn tangentin avulla ja niin edelleen. Lopulta tangentti osoittaa kohti ratkaisua! Kun tätä menetelmää sovelletaan toistuvasti riittävän säännölliseen funktioon, niin kukin juuren arvio on edeltäjäänsä tarkempi. Jos funktio on hankala derivaatta tulee nollaksi väärässä kohdassa tai muuta sellaista voi käydä niinkin, että ratkaisua ei näin saada, vaikka se on olemassa. Oheisen kuvan paksu, musta käyrä esittää tutkittavan funktion kuvaajaa. Ruskehtavan keltaiset pystyviivat ovat suorien x = x 0 ja x = x 1 kuvaajat. Niitten avulla merkitään vastaavat käyrän pisteet, 11(22)

12 jotka on merkitty sinisillä viivanpätkillä. Piirroksen suora r on käyrän kohtaan x 0 piirretty tangentti. Suora s taas on kohtaan x 1 piirretty tangentti. Newtonin algoritmi 1. Tarkista Bolzanon lauseen ehdot sekä yhtälön derivoituvuus nollakohdan ympäristössä 2. Valitse alkuarvo x 0 3. Laske f(x 0 ) ja f ' (x 0 ) 4. Arvo x n on pisteeseen (x n-1 ;f(x n-1 )) piirretyn tangentin ja x akselin leikkauskohta 5. Valitse alkuarvoksi x n 6. Jatka kohdasta 2. eli lyhyemmin: Jos ratkaistavana on yhtälö f x =0, niin silloin Newtonin menetelmän mukaan on x n 1 = x n f x n f' x n, missä f ' x n 0, n = 0, 1, 2 Esimerkki 27a Ratkaise yhtälö x 5 3x 8=0 viiden merkitsevän numeron tarkkuudella. Ratkaisu Yhtälöä vastaava funktio on polynomifunktiona kaikkialla jatkuva ja derivoituva ja sen derivaattafunktio on f' x =5x 4 3. Valitaan alkuarvoksi x 0 arvo 1. Laskut tuottavat seuraavan taulukon: x n x n 1 = x n y n y' n 1, , , , , , (22)

13 3, , , , , , , , , , , , , , , , , , Tulos ei muutu arvon 1,6706 jälkeen. Vastaus: x = 1,6706. Monissa funktiolaskimissa on toiminto, joka palauttaa edellisen laskun tuloksen. Jos et halua kirjoittaa ohjelmaa, joka iteroi vastauksen, voit käyttää tätä toimintoa. Toimi seuraavalla tavalla. Annan ohjeet, jotka toimivat Texas Instruments'in mallien ti-83 ja TI- 84Plus kanssa. Jossain muussa koneessa saattaa olla ENTER'in tilalla EXE. Vastaavat toiminnot tehokkaassa laskimessa kuitenkin on. Näppäile TI:hin siis 1 ja paina ENTER. Näppäile sitten koneeseesi seuraava tai sitä vastaava listaus. Etsi siitä vastaavuudet yhtälön x n 1 = x n f x n f' x n ja lausekkeitten x 5 3x 8 sekä 5x 4 3 kanssa: ANS (ANS^5 3 * ANS 8)/(5*ANS^4-3) Paina nyt ENTER'iä (vastaavasti EXE) riittävän monta kertaa. Näet, kuinka saat yllä olevan taulukon oikeanpuoleisen sarakkeen. Esimerkki 27b Palataan äskeiseen yhtälöön vielä hetkeksi. Ratkaistavana on siis yhtälö Valitaan alkuarvoksi suurpiirteisesti x 0 = 0. Tehdään uusi taulukko. x 5 3x 8=0 jälleen. 13(22)

14 x n x n 1 = x n y n y' n 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Kävipä ohraisesti! Valmista ei tule. Tämä johtuu siitä, että tarkasteltavan funktion derivaatta on nolla x:n arvolla noin 0,88 eli ennen kuin juuri on löytynyt. Sen yli ei Newtonin metodilla päästä. Alkuarvo kannattaa siis valita lähempää. Iteroikaamme siis: sekanttimenetelmästä Sekanttimenetelmä voidaan johtaa Newtonin menetelmästä korvaamalla tangentti sekantilla, joka yhdistää yhtälön funktion kuvaajan kaksi ennalta valittua tai laskettua pistettä. Kun luovutaan tangentista, niin funktiolta ei tarvitse vaatia derivoituvuutta. Luonnollisesti Bolzanon lauseen ehtojen täytyy kuitenkin olla voimassa jollain välillä [a;b]. Sekanttimenetelmä käyttää kahta alkuarvoa, jotka ovat sekantin päätepisteiden x koordinaatit. Merkitään niitä nyt kirjaimilla x 0 ja x 1. Tämä johtaa oheisen kuvan merkinnöin yleisen suoran 14(22)

15 yhtälön avulla kaavaan x 2 = x 1 f x 1 x 1 x 0 f x 1 f x 0, missä pisteen (x 0 ;f(x 0 )) tilalle voi tietysti valita myös pisteen (x 1 ;f(x 1 )). Tämä yleistyy yhtälöksi x n 1 = x n f x n x n x n 1 f x n f x n 1, n = 1,2,3 x 2 x 0 x 1 Tämä yhtälö ei edellytä funktion merkin vaihtumista arvojen x n ja x n+1 välissä, mutta joskus alkuarvot kannattaa valita niin, että nollakohta osuu heti ensimmäisinä valittujen pisteitten väliin. x n x n 1 Jos äskeisen yhtälön termi eli sekantin kulmakerroin tulee jollain n:n arvolla f x n f x n 1 nollaksi, niin sekantti on vaakasuorassa eikä iterointiprosessia voi jatkaa. Yritä uudestaan eri alkuarvoilla. Huomaa, että monilla sovelluksilla laskimella tai tietokoneohjelmistolla jo kulmakertoimen arvo 10-6 on käytännössä sama kuin nolla ja jopa arvo 10-4 epäilyttää. 15(22)

16 Esimerkki 28 Ratkaise x=cos x, x [0; 2 ]. Ratkaisu Tarkastellaan funktiota f x =x cos x, missä x [0; 2 ]. Lasketaan ensin funktion arvot välit päätepisteissä: f(0) = 1, f(2 ) = 2 1. Yhtälöllä on siis ainakin yksi ratkaisu. Koska funktion derivaattafunktio f ' x =1 sin x on aina nolla tai suurempi, ei yhtälöllä ole annetulla välillä useampia kuin yksi ratkaisu. Tehtävän antaja ei kerro, millä tarkkuudella vastaus pitäisi antaa. Valitsen itse tarkkuudeksi kuusi merkitsevää numeroa. Sovellan sekanttimenetelmää annetun yhtälön ainoan ratkaisun etsimiseen. Valitsen kuvan opastamana: x 0 = 0,5 x 1 = 0,9 16(22)

17 joista 0,9 0,5 x 2 =0,9 f 0,9 f 0,9 f 0,5 =0, Lasken välivaiheet kymmenellä merkitsevällä numerolla, jotta kurittomasti kasautuvat pyöristysvirheet pysyvät jollain tavalla ruodussa. Teenpä taas taulukon laskuista. i : x i : 0 0, , , , , , , Ainakaan taulukon kuuden merkitsevän tarkkuuden arvo ei muutu enää, joten päättelen, että tulos on kuuden merkitsevän numeron tarkkuudella 0, Vastaus: Yhtälön ainoa ratkaisu on kuuden merkitsevän numeron tarkkuudella 0, Esimerkin 28 voit laskea TI-84Plus koneella seuraavasti. Tallenna ensin luku 0,5 muistipaikkaan A ja luku 0,9 muistipaikkaan B. Kirjoita ja aja sitten seuraava koodi. :B-(B-COS(B))*(B-A)/(B-COS(B)-(A-COS(A)) STOŒC :B STOŒ A :C STOŒ B :Disp C Kun olet ajanut tämän kerran käyttämällä koneen PRGM valikkoa, paina toistuvasti ENTER niin monta kertaa kuin on tarpeen. Muut merkit ja mallit vastaavalla tavalla! 17(22)

18 Iteroikaamme siis: kiintopistemenetelmästä Kiintopistemenetelmä on nopea eli se suppenee nopeasti tai nähdään nopeasti, että se ei toimi. Sitä sanotaan alan kirjallisuudessa myös Picard'in iteraatiomenetelmäksi. Kiintopistemenetelmää voidaan pitää oikeana iteroinnin tyyppiesimerkkinä. Valitettavasti on myös olemassa harmaa alue, josta on tapauskohtaisesti selvitettävä, toimiiko kiintopistemenetelmä vai ei. Tähän viittaan myös lauseen Riittävä ehto kiintopistemenetelmän suppenemiselle yhteydessä. On siis olemassa tilanteita, missä mainitun lauseen ehto ei täyty, mutta jotka ovat ratkaistavissa kiintopistemenetelmän avulla. Olkoon meillä taas ratkaistavana yhtälö, jota vastaava funktio on jokin f(x). Luonnollisesti Bolzanon lauseen ehtojen täytyy nytkin toteutua jollain välillä [a;b]. Jotta kiintopistemenetelmää voi soveltaa, yhtälö f(x) = 0 on voitava kirjoittaa muodossa x = g(x) eli se on voitava jakaa yhtälön y = x ja y = g(x) leikkauspisteen ratkaisuyhtälöksi. Aloitan esimerkillä. Esimerkki 29 Ratkaise yhtälö x 5 17x 8=0. Ratkaisu Tunnetuin menetelmin voit helposti itse todeta, yhtälöllä on tarkalleen yksi ratkaisu (Derivaattafunktio on 5x ). Annan taas koneelle tehtäväksi piirtää kuva. että Nyt kirjoitan annetun yhtälön funktion sitten muotoon x = g(x): x 5 17x 8=0 8 x5 x= 17. Valitaan alkuarvoksi x = 0, joka 8 sijoitetaan g(x):ään, joten x = 17. Kuvan mukaan tämä on ilmeisesti jo selvästi parempi ratkaisun arvio kuin 0. Annanpa koneen piirtää kuvat myös suorasta y = x ja funktiosta y = g(x). 18(22)

19 Kuten varmaan jo huomasit, tämä on suorastaan ihanteellinen tapaus laskinta ajatellen. Annetaan alkuarvo x 0 yllä valittiin nolla jonka avulla lasketaan seuraava eli x 1, jonka avulla lasketaan seuraava, jonka avulla Voit siis käyttää ANS komentoa tai millä nimelle juuri sinun koneesi sen sitten tunteekin. Tuloksena on taulukko: x 0 0, x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0, Kuusi merkitsevää numeroa on ihan hyvä saavutus, joten lopetan tämän laskemisen tähän. Vastaus: Yhtälöllä on tarkalleen yksi reaalilukuratkaisu. Se on kuuden merkitsevän numeron tarkkuudella 0, (22)

20 Esimerkki 30 Ratkaise yhtälö x 5 3x 8=0 viiden merkitsevän numeron tarkkuudella. Ratkaisu Toimitaan kuten Esimerkissä 29. Helposti nähdään, että yhtälöllä on tarkalleen yksi ratkaisu. Kirjoitetaan yhtälö siis muotoon päin. Saadaan tauluko: 8 x5 x= 3. Otetaan alkuarvoksi taas 0 ja jatketaan sitten eteen x 0 0, x 1 2, x 2-42, x x x 5 Miksi näin? Miksi se toimi äsken, mutta ei enää? Esimerkissä 29 sekä x että x 5 pysyivät nollan ja ykkösen välissä, jolloin iteraatio suppeni kohti äärellistä arvoa. Esimerkissä 30 taas jouduttiin heti tilanteeseen, missä ykköstä isompaa lukua korotettiin viidenteen potenssin. Sellainen hajaantuu nopeasti. Esimerkki 31 Ratkaise yhtälö x 5 3x 8=0 viiden merkitsevän numeron tarkkuudella. Ratkaisu Kirjoitetaan yhtälö äskeisen sijasta nyt muotoon x= 8 3x 5, jotta käsiteltävät luvut pysyvät jonkinlaisessa hahmossa. Juurrettava on ykköstä isompi, mutta juuren ottamisen takia tämä lukujono suppenee kohti ratkaisua. Nyt saadaan taulukko: 20(22)

21 x 0 0, x 1 1, x 2 1, x 3 1, x 4 1, x 5 1, x 6 1, x 7 1, x 8 1, x 9 1, x 10 1, Valitulla laskutarkkuudella tulos ei enää muutu. Viiden merkitsevän numeron tarkkuudeksi saadaan 1,3218. Vastaus: Ratkaisu on 1, (22)

22 Yleensä yhtälö, josta käytin edellä säännönmukaisesti merkintää f(x) = 0, voidaan kirjoittaa muotoon x = g(x) useammalla eri tavalla. Jotkut näistä suppenevat, toiset hajaantuvat. Seuraavassa lause, joka antaa riittävän ehdon suppenemiselle. Sen todistus voidaan tukea esimerkiksi differentiaalilaskennan väliarvolauseeseen, mutta minä sivuutan sen. Riittävä ehto kiintopistemenetelmän suppenemiselle Merkitään yhtälön f(x) = 0 juurta X:llä, ja olkoon [a ; b] sellainen väli, että x 0 [a;b]. Jos on olemassa sellainen reaalivakio k, että tämä yhtälö on kirjoitettavissa välillä [a ; b] muotoon x = g(x), missä g ' x k 1. niin kiintopistemenetelmän mukaisten x n :n jono suppenee kohti juurta X. Huomaa, että kirjoitin juuri riittävä ehto. Tämä sananvalinta vihjaa, että on tilanteita, missä vähempikin riittää. Esimerkki 32 Edellä Esimerkeissä 30 ja 31 yhtälö x 5 3x 8=0 kirjoitettiin kahdella eri tavalla ratkaisumenetelmän mukaiseen muotoon. Ne olivat 8 x5 x= 3 ja x= 5 8 3x. Tarkastellaan näitä yhtälöitä äskeisen lauseen valossa. Ratkaisu Koska olemassa. D 8 x5 = 5x4 3 3, joka kasvaa rajatta. Lauseen ehto ei siis täyty eli lauseen vakiota k ei ole Tutkitaan sitten g(x):n toisen version derivaattafunktion itseisarvo: D 5 8 3x = 3 8 3x 4 5. Tämän raja-arvo äärettömyydessä on nolla, joten päätellään, että lauseen vakioksi k kelpaa esimerkiksi 0 tai 0 + ½ = ½ tai jokin muu ykköstä aidosti pienempi vakio. 22(22)

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo.

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Iterointi on menetelmä, missä jollakin likiarvolla voidaan määrittää jokin toinen,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio.

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio. Harjoituskokeiden ratkaisut 8.6.7 Painoon mennyt versio. PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Koe a) i) =,, = kpl ii) 9,876 =,9876,99 = 9,9 iii),66,66 =,7 =,7

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Grafiikkalaskin on oivallinen apuväline ongelmien ratkaisun tukena. Sen avulla voi piirtää kuvaajat, ratkaista yhtälöt ja yhtälöryhmät, suorittaa funktioanalyysin

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko. Valitse kuusi tehtävää seuraavista kahdeksasta. Perustele vastauksesi!

Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko. Valitse kuusi tehtävää seuraavista kahdeksasta. Perustele vastauksesi! MAA Loppukoe 70 Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan! Vastauksiin välivaiheet, jotka perustelevat vastauksesi! Lue ohjeet huolellisesti! Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko Valitse

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä Calculus Lukion 7 MAA Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Grafiikkalaskin on oivallinen apuväline ongelmien ratkaisun tukena. Sen avulla voi piirtää kuvaajat, ratkaista yhtälöt ja yhtälöryhmät, suorittaa funktioanalyysin

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Projektityö M12. Johdanto

Projektityö M12. Johdanto Projektityö M12 Johdanto Projektityö sisältää kuutta tehtävää, kuitenkin ne kaikki koskevat saman yhtälön ratkaisua. Yhtälö on sin x 2 =e 2x (1.1) Sen ratkaisu voidaan käsitellä tutkimalla funktio y=e

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8906 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 3 tuntia (180 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

1.5. Trigonometriset perusyhtälöt

1.5. Trigonometriset perusyhtälöt Tämän asian otsake on takavuosina ollut Trigonometriset yhtälöt ja sen käsittely tuolloin ollut huomattavasti laajempi. Perusyhtälöillä tarkoitetaan muotoa sin x = a tan x = c cos x = b (cot x = d) olevia

Lisätiedot

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora

Lisätiedot