Maxwellin yhtälöt sähkämagneettiselle kentälle tyhjiössä differentiaalimuodossa: E =0, B =0, E = B/ t, B = ɛ o μ o E/ t.

Transkriptio

1 Osa 2: OPTIIKKAA 33. Valo ja sen eteneminen 33.1 Aallot ja säteet Kirjan luvussa 32 (kurssi fysp105) opitaan, että sähkömagneettista kenttää kuvaavilla Maxwellin yhtälöillä on aaltoratkaisuja. sim. tyhjiössä x-akselin suuntaan etenevälle aallolle sähkökentän pysyessä y-akselin suuntaisena ne ovat muotoa (x, t) =ê y y (x, t) =ê y max cos(kx ωt) B(x, t) =ê z B z (x, t) =ê z B max cos(kx ωt), missä sähkö- ja magneettikentän amplitudeille on max = cb max Maxwellin yhtälöt sähkämagneettiselle kentälle tyhjiössä differentiaalimuodossa: =0, B =0, = B/ t, B = ɛ o μ o / t. Väliaineessa ja sähkövarausten läsnäollessa yhtälöihin tulee pari lisätermiä. 97 ja valon nopeus tyhjiössä on c =1/ ɛ o μ o = m/s. B Väliaineessa valon nopeus on v =1/ ɛμ<c, x B missä parametrit ɛ ja μ ovat väliaineen permittiivisyys ja permeabiliteetti. Palautamme vielä mieleen aaltoliikkeen kuvailun peruskäsitteet v = λf ω = vk ω =2πf k =2π/λ (45) eli aallonpituus λ, taajuus f, kulmataajuus ω ja aaltoluku k. Tällä kurssilla tarkastelemme ilmiöitä, joiden kuvailuun riittää tieto, että valo on etenevää poikittaista sähkömagneettista (sm) aaltoliikettä. Tarkastelemme valoa(kin) makrotasolla, sivuuttaen sm-kentän ja materian välisen vuorovaikutuksen mikroskooppiset yksityiskohdat, erityisesti valon hiukkasluonteen eli sm-kentän ja vuorovaikutusten välittymisen kvantittumisen (kurssilla fysp106). 98

2 Aaltorintama = niiden pisteiden muodostama pinta, joissa aallon (värähtelyn) vaihe on sama. Valonsäde = suunnattu käyrä, joka kuvaa aallon etenemissuuntaa. Homogeenisessa ja isotrooppisessa materiaalissa valonsäde on lokaalisti kohtisuorassa aaltorintamaa vastaan ja valo etenee suoraan. rintamat sateet Huom: Toisinaan rintamalla tarkoitetaan myös etenevän aallon etureunaa, esimerkiksi ensimmäisen maksimin paikkaa. Optiikka tutkii valon käyttäytymistä ja sitä kuinka aine vaikuttaa valon etenemiseen. Perinteisesti optiikka jaetaan kahteen osaan: geometrinen optiikka säteet fysikaalinen optiikka aallot Yleisemmin: Valon lokaali etenemissuunta on aaltovektorin k suunta (k= k ) Heijastuminen ja taittuminen Materiaalien rajapintoihin osuessaan valo (osin) heijastuu ja (osin) taittuu. Kahden optisen (eli valoa läpaisevän) materiaalin (a ja b) väliselle sileälle rajapinnalle havaitaan: 1) Tuleva, heijastunut ja taittunut säde ovat tasossa (kuvassa paperin tasossa), joka on kohtisuorassa rajapinnan kanssa. materiaali a θ a θ r materiaali b 2) Heijastuskulma θ r on sama kuin tulokulma θ a riippumatta aallonpituudesta tai materiaalista: θ r = θ a (46) 3) Taitekulma θ b saadaan Snellin laista: n a sin θ a = n b sin θ b, (47) missä n a ja n b ovat materiaalien taitekertoimet. θ b 100

3 Aaltoliikkeen yleisistä ominaisuuksista seuraa (kts. luku 33.7), että materiaalin taitekerroin on kääntäen verrannollinen valon nopeuteen materiaalissa. Valitaan tyhjiön taitekertoimeksi 1 n = c/v 1 (48) materiaalille, jossa valon etenemisnopeus on v. Koska taajuus ei materiaalien rajapinnalla muutu, on aallonpituuden muututtava: Jos valon aallonpituus tyhjiössä onλ o, sen siirryttyä materiaaliin, jonka taitekerron on n, aallonpituus pienenee: v = λf λ = λ o /n λ o. Huom: Valon kulku on reversiibeli eli vastakkaissuuntaiseksi käännettynä valonsäde kulkee samaa reittiä takaisin. Huom: Heijastus- ja taittumislait voidaan johtaa ratkaisemalla Maxwellin yhtälöt tilannetta vastaavilla reunaehdoilla. Fenomenologisia tapoja johtaa ovat Huygensin ja Fermat n periaatteet Kokonaisheijastus b θ b θ = π/2 b θ a θ a a > θ crit θ = θ θ = θ a crit r a Jos n a >n b,onθ b =90 o, kun θ a on θ crit = arcsin n b n a (49) eli kokonaisheijastuksen rajakulma, jota suuremmilla tulokulman arvoilla valo heijastuu kokonaisuudessaan heijastumislain (46) mukaisesti. sim: Vedestä ilmaan n a 1.33 ja n b 1, joten θ crit 48.8 o. sim: Lasista ilmaan: n a 1.52 ja n b 1, joten θ crit 41.1 o. Koska lasista ilmaan on θ crit < 45 o, voidaan valon kulkusuunta (ilman häviöitä ja kuvan vääristymistä) kääntää lasiprismalla, jonka sisällä valo osuu kahdesti lasin ja ilman rajapintaan 45 o kulmassa. Tätä hyödynnetään kameroissa ja kiikareissa. Myös valoa johtavat optiset kuidut perustuvat kokonaisheijastukseen. 102

4 33.4 Dispersio dellä esitetty toimii sellaisenaan, kun valo on monokromaattista eli kun se sisältää vain yhtä aallonpituutta λ. Muulloin (eli yleensä) on otettava huomioon, että valon nopeus väliaineessa riippuu sen aallonpituudesta = dispersio. Siis materiaalin taitekerroin riippuu aallonpituudesta (ja taajuudesta). Optisella alueella: 1.7 n PISARA 1.6 piilasi S piilasi B valk pun sin kvartsi kruunulasi kvartsi 2 fluoriitti PRISMA valk λ o /nm Punainen valo (700 nm) taittuu vähiten, violetti (400 nm) eniten. 103 Huom: Vrt. elastiset aallot mekaniikassa (fysp102), jossa aallot etenevät hitaammin tiheämmässä aineessa: v = Y/ρ. Myös mekaniikassa aallot heijastuvat ja taittuvat aineiden rajapinnoilla. Huom: Ilman dispersiota ω(k)=vk ja v = ω/k on vakio. Dispersiivisessä materiaalissa ω = ω(k) ei ole lineaarinen k:n funktio ja aallon etenemisnopeus on v(ω) = dω(k)/dk = c/(n + ω dn/dω). Tarkkaan ottaen näin saatava nopeus ei ole sama kuin signaalin etenemisnopeus. Huom: Dispersio eli n:n (oikeastaan ɛ:n) riippuvuus taajuudesta johtuu siitä, että taajuudestaan riippuen väliaineessa kulkeva valo kytkeytyy eri tavalla elektroneihin, joilla on aineelle karakteristiset resonanssitaajuudet, joilla aine absorboi sm-säteilyä (resonanssit pehmenevät johtuen siitä, että kiihtyvässä liikkeessä olevat varaukset emittoivat sm-säteilyä). Aineen taitekerroin voidaan mikroskooppisesta teoriasta approksimatiivisesti laskeakin. 104

5 33.5 Polarisaatio Koska valo on poikittaista aaltoliikettä, se voi polarisoitua. Useimmissa sovelluksissa y VALON TNMIS SUUNTA on mielekästä tarkastella -kentän vuorovaikutusta aineen kanssa, joten keskitymme jatkossa siihen ( B-kentän suunta ja amplitudi määräytyvät sitten kuten luvussa 33.1 kerrottiin). Lineaarisesti polarisoituneen valon -kenttä pysyy yhdessä tasossa ja sen polarisaatiotasoksi määritellään -kentän taso, kuvan tilanteessa xy-taso kun (x, t) =ê y max cos(kx ωt). Polarisoivat materiaalit ovat (optisesti) epäisotrooppisia, esim. koostuvat yhdensuuntaisista molekyyliketjuista, jolloin tiettyyn suuntaan polarisoitunut valo voi absorboitua hyvin tehokkaasti. Tähänkin liittyy edellisen sivun kolmas huomautus. Molekyylin vuorovaikutus sähkömagneettisen kentän kanssa riippuu molekyylin spontaanin tai siihen indusoituvan dipolin suunnasta ja toki myös kentän taajuudesta. 105 x Asetetaanpa kaksi polarisaattoria peräkkäin, tuoden ensimmäiseen φ VALON polarisoitumatonta valoa, kuten TNMIS B SUUNTA A oheisessa kuvassa, jossa -vektori osoittaa valon polarisaatiotason (etenemissuunnan ja -kentän määräämä taso) kummankin polarisaattorin jälkeen. Poiketkoon A:n polarisoiman valon polarisaatiosuunta kulman φ verran B:n suunnasta. Lasketaan intensiteetti: Aaltoliikkeelle hyvin yleisesti intensiteetti energiatiheys (amplitudi) 2 B:n läpi tulleen aallon amplitudi cos φ ja intensiteetti cos 2 φ. Toisaalta jos φ = 0, niin intensiteetti B:n jälkeen on sama kuin intensiteetti A:n ja B:n välissä, joka olkoon I max Malusin laki VALON LAHD I = I max cos 2 φ. (50) Intensiteetti B:n jälkeen on siis pienempi (nolla jos φ = ±π/2). Tilanteesta riippuvaa terminologiaa: A = polarisaattori ja B = analysaattori. 106

6 Olkoon polarisoitumattoman luonnonvalon intensiteetti I 0. Keskiarvoistamalla sen sisältämien kaikkien polarisaatiosuuntien yli saamme intensiteetiksi yhden polarisaattorin jälkeen I = I 0 2π cos 2 φdφ= I / 0 2π ( 1 2π 0 2π 0 2 φ sin 2φ) = I 0 2. Polarisaatio heijastumalla: Kun θ r + θ b = 90 o, on heijastuva valo täydellisesti polarisoitunutta siten, että sen polarisaatiotaso on kohtisuorassa tulevan ja heijastuvan valonsäteen määräämää tasoa vastaan. Tätä vastaava tulokulma, jota merkitään θ p :llä, riippuu materiaalien taitekertoimista: (47):sta saamme sin θ p = n b sin θ b = n b sin(90 o θ p )= n b cos θ p, n a n a n a josta seuraa Brewsterin laki tan θ p = n b n a. (51) Tällä tulokulmalla taittuva valo on osittain polarisoitunutta. 107 Ympyräpolarisaatio ja elliptinen polarisaatio: -kentän suunta voi olla muullakin tavalla hyvin määritelty (joskin ajasta riippuva). Yhdistetään kaksi tasopolarisoitunutta aaltoa: = 1 + 2, missä 1 =ê z 1 max cos(kx ωt) 2 =ê y 2 max cos(kx ωt + δ) Jos tässä vaihe-ero on δ =90 o ja 1 max = 2 max, on tuloksena ympyräpolarisaatio (muulloin elliptinen polarisaatio): t = t o t = t o + 2π/8ω t = t o + 2π/4ω z y Kuvissa on ajan funktiona summakenttä paperin tasossa valon kulkusuunnan ollessa kohtisuoraan paperin läpi. Siis :n (ja B:n) suunta kiertyy yz-tasossa. Vrt. eteenpäin (kiertämättä) työnnettävä korkkiruuvi. 108

7 33.6 Valon sironta ilmakehässä Valo(kvantit) eksitoi(vat) kaasumolekyylejä niiden viritystiloille, jotka purkautuvat valoa edelleen tuottaen = sironta. 1) Koska auringosta(kin) tulevassa valossa sähkökentän värähtely on valon kulkusuuntaa vastaan kohtisuorassa tasossa, virittyvät polaaristen molekyylien muodostamat nanoantennit samassa tasossa, jolloin niiden maanpinnalle emittoima valo on osittain polarisoitunutta riippuen siitä mistä suunnasta alkuperäiseen valon tulosuuntaan nähden sitä havainnoidaan. 2) Teoria ja havainnot (mm. taivas on sininen) Sironnan todennäköisyys ja sironneen valon intensiteetti I sir riippuu valon taajuudesta. Aallonpituuksien avulla ilmaistuna: I sir λ 4. Siten sinisen valon sironta on noin kymmenkertaista punaisen valon sirontaan verrattuna, koska (700 nm/400 nm) Huygensin periaate Heijastumis- ja taittumislait (46-47) löydettiin kokeellisesti ja formuloitiin sädemallia käyttäen paljon ennen aaltoluonteen varmistumista. Sädemallin puitteissa ilmaistaan Fermat n periaate: Mahdollisista reiteistä valonsäde kulkee kahden pisteen välisen matkan siten, että matkaan kuluu vähiten aikaa. Valon aaltoluonteesta taasen saadaan Huygensin periaate: Aaltorintaman kutakin pistettä voidaan pitää lähteenä uudelle alkeisaallolle, joka leviää kaikkiin suuntiin aallon nopeudella. Fermat n periaate tarjoaa tavan johtaa geometrisen optiikan tuloksia yhdestä ad hoc -periaatteesta. Huygensin periaatteen lähtökohtana on valon luonne ja se osoittautuu laajempialaiseksi käytettävyydeltään geometrisessa ja fysikaalisessa optiikassa. 110

8 Johdetaan Huygensin periaatteesta heijastumis- ja taittumislait: Heijastumislaki A B θ r θ a Rintaman A palloilla merkityistä pisteistä lähteneet alkeisaallot (merkitty katkoviivoin) ovat samanaikaisesti rintamalla B. Kolmioiden pitkät kateetit ovat samanpituiset (sama aine sama nopeus) ja toisaalta kolmioilla on yhteinen hypotenuusa. Siten θ r = θ a (46), sillä kolmioiden yhdenmuotoisuuden perusteella sama konstruktio toimii mille tahansa tulokulmassa θ a tuleville valonsäteille. 111 Taittumislaki A v a Δt v a Δt θ a v b Δt B θ b v b Δt Tarkastellaan palloilla merkityistä pisteistä lähteneiden alkeisaaltojen (katkoviivat) kulkemaa matkaa aikavälillä Δt. Kolmioilla on yhteinen hypotenuusa, jonka pituus = v a Δt/ sin θ a = v b Δt/ sin θ b, ja toisaalta n a = c/v a ja n b = c/v b, joten n a sin θ a = n b sin θ b (47). Huom: Fermat n periaatetta testaamme toisessa yhteydessä. 112

9 33.X Kurssikirjan ja muita esimerkkejä xample 33.1 Vedessä kulkeva valonsäde osuu lasiin 60 o tulokulmassa. Laske heijastuskulma ja taitekulma. Ratkaisu: Heijastuskulma (46):sta θ r =60 o ja taitekulma (47):sta θ b =arcsin[(n a /n b ) sin(θ a )]=arcsin[((4/3)/(3/2)) sin(60 o )] 50 o. xample 33.2 Laske silmänesteen taitekerroin tiedoista, että punaisen laserin 633 nm valon aallonpituus silmän sisällä on 474 nm. Ratkaisu: Nyt on n a 1 ja (48):sta n b = n a v a /v b. Taajuuden pysyessä muuttumattomana (45) antaa v a /λ a = f = v b /λ b. Yhdistämällä nämä n b = n a λ a /λ b 1.34 (silmäneste on pääosin vettä, kuten muutenkin arvelisimme). Punaisen valon aallonpituus silmän verkkokalvolla on siis suunnilleen sama kuin sinisen valon aallonpituus ilmassa. Keskeinen valoa karakterisoiva onkin sen taajuus (avain moneen kahden aineen rajapintoja koskevaan ongelmaan), tässä f = v a /λ a Hz. 113 xample 33.3 Kaksi tasopeiliä on suorassa kulmassa toisiinsa nähden. Niistä ensimmäiseen osuu tulokulmassa θ a valonsäde, joka heijastuu edelleen toisenkin peilin kautta. Mikä näiden heijastusten jälkeen on valonsäteen kulkusuunta suhteessa alkuperäiseen? Ratkaisu: nsimmäisessä heijastuksessa säteen suunta muuttuu (kuten sivun 100 kuvassa) kulman δ = 180 o 2θ a verran. Sen tulokulma toiseen peiliin on θ a =90 o θ a ja suunnan muutos toisessa peilissä δ = 180 o 2θ a.säteen suunnan kokonaismuutos heijastuksissa on siten δ + δ = 180 o. xample 33.4 Kaksi polarisaattoria on peräkkäin ja niiden polarisaatiosuuntien välinen kulma on 30 o. Laske alunperin polarisoimattoman valon intensiteetin (I 0 ) muutos sen kulkiessa niiden läpi. Ratkaisu: Luonnonvalolle 1. polarisaattorin jälkeen I 1 = I 0 /2 (sivulta 107). Tälle polarisoituneelle valolle 2. polarisaattorin jälkeen (50):sta I 2 = I 1 cos 2 30 o =(3/4)I 1. Valon intensiteetin vaimeneminen on siten I 2 /I 0 =(I 2 /I 1 )(I 1 /I 0 )=(3/4)(1/2)=3/8. 114

10 Reunahuom: Heijastuvan ja taittuvan valon sm-kentän suunta Käytetäänpä tulevan ja heijastuvan valonsäteen määräämässä tasossa oleville ja sitä vastaan kohtisuorille :n komponenteille merkintöjä ja. Koska heijastuviin ja taittuviin valonsäteisiin liittyvät kentät muodostuvat tulevaan valonsäteeseen liittyvästä kentästä, saadaan (tietyin oletuksin) ehdot b / a =2n a cos θ a /(n a cos θ b + n b cos θ a ) b / a =2n a cos θ a /(n a cos θ a + n b cos θ b ) r/ a =(n b cos θ a n a cos θ b )/(n a cos θ b + n b cos θ a ) r / a =(n a cos θ a n b cos θ b )/(n a cos θ a + n b cos θ b ) missä alaindeksit a, b ja r viittaavat tulevaan, taittuneeseen ja heijastuneeseen aaltoon (todistus sivuutetaan). Nämä suhteet määrävät taittuneen ja heijastuneen valon intensiteetit. 115 rityisesti, soveltamalla kolmanteen yhtälöön Snellin lakia (47) r/ a = tan(θ a θ b )/ tan(θ a + θ b ), jonka nimittäjä, kun θ r + θ b 90 o (θ r = θ a )ja r/ a 0. Heijastuvalla valolla on tällöin vain komponentti r, tuloksena siis Brewsterin laki (51), jonka aiemmin esitimme puhtaasti kokeellisena havaintona. Sivun 115 yhtälöistä havaitsemme lisäksi, että tyypillisesti heijastuminen ja taittuminen polarisoivat valoa osittain (Brewsterin lain tilanteessa täydellisesti): Tulevan ja lähtevän valonsäteen tasossa ja sitä vastaan kohtisuorassa olevien :n (ja B:n) komponenttien amplitudit muuttuvat rajapinnalla eri tavoin. Siirrymme nyt joksikin aikaa puhtaasti sädeoptiikan puolelle: 116