T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut"

Transkriptio

1 T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut 1. Jokaiselle toteutuvalle lauselogiikan lauseelle voidaan etsiä malli taulumenetelmällä merkitsemällä lause taulun juureen ja soveltamalla sen jälkeen taulusääntöjä, kunnes taulu on valmis. a) b) 1. P Q) Q P) ) 2. P Q 1) 3. Q P) 1) 4. Q 3) 5. P 3) 6. P 2) 7. Q 2) Taulun juurena olevan lauseen malli voidaan muodostaa valmiin taulun minkä tahansa avoimen haaran avulla keräämällä joukoksi kaikki haarassa esiintyvät ei-negatoidut) atomilauseet. Yllä olevan taulun molemmista haaroista saadaan annetulle lauseelle sama malli M = {Q}. 1. ) P R) R P Q) 2. P R) R 1) 3. P Q 1) 4. P R) R 2) 5. P R) R 2) 11. P R 4) 6. P R) 5) 12. R 4) 7. R 5) 13. P 11) 14. R 11) 8. P 6) 15. P 3) 16. Q 3) 9. R 6) 10. R 9) Tauluun jää yksi avoin haara, josta saadaan lauseelle malli M = {P, Q, R}. 2. Lauselogiikan lauseen loogista seuraavuutta annetusta lausejoukosta voidaan tutkia taulumenetelmällä merkitsemällä taulun juureen kaikki lausejoukossa olevat lauseet ja lisäämällä tutkittavana olevan lauseen negaatio tauluun näiden jälkeen. Sovelletaan tämän jälkeen taulusääntöjä, kunnes taulu on valmis. Looginen seuraavuus pätee, jos tuloksena syntyneen taulun kaikki kaikki haarat ovat suljettuja. Tehtävässä saadaan siten taulu 1. Q P 2. R P Q) 3. P Q R) 4. Q 5. Q 4) 6. Q 1) 7. P 1) 8. P 3) 9. Q R 3) 10. Q 9) 11. R 9) 12. R 2) 13. P Q 2) 14. P 13) 15. Q 13) Koska valmiiseen tauluun jää yksi avoin haara, lause Q ei seuraa loogisesti tehtävässä annetusta lausejoukosta Σ. Tulos voidaan perustella muodostamalla taulun avoimesta haarasta vastamalli loogiselle seuraavuudelle malli, joka toteuttaa kaikki lausejoukon Σ lauseet, mutta jossa Q on epätosi). Vastamalliksi saadaan M = {P, Q, R}. 3. Lauselogiikan lause on konjunktiivisessa normaalimuodossa, jos se on muotoa L 1 1 L 1 ) n1 Lm 1 L m ), missä kukin lauseista nm on literaali atomilause tai sen negaatio). L j i Lauseen disjunktiivinen normaalimuoto on puolestaan muotoa L 1 1 L 1 n1 ) Lm 1 L m nm ) lauseet Lj i literaaleja). Lauseen disjunktiivinen normaalimuoto saadaan esimerkiksi etsimällä ensin lauseen kaikki mallit taulumenetelmällä ja keräämällä syntyneen taulun kaikista avoimista haaroista syntyvät mallit yhdeksi disjunktioksi. 1 2

2 1. P Q) P Q) 2. P Q) 1) 3. P Q 1) 4. P 2) 6. P 3) 7. Q 3) 5. Q 2) Taulun avoimista haaroista saadaan taulun juuressa olevalle lauseelle disjunktiivinen normaalimuoto P Q) P Q, joka voidaan vielä sieventää muotoon P Q. Konjunktiivisen normaalimuodon ratkaisemiseksi muodostetaan ensin lauseen negaation disjunktiivinen normaalimuoto: 1. P Q) P Q) ) 2. P Q 1) 3. P Q) 1) 4. P 3) 5. Q 3) 6. P 2) 7. Q 2) Lauseen negaation P Q) P Q) ) disjunktiiviseksi normaalimuodoksi saadaan taulun avoimesta haarasta P Q. lkuperäisen lauseen konjunktiivinen normaalimuoto saadaan tästä negatoimalla ja käyttämällä sitten hyväksi De Morganin sääntöjä. Lauseen P Q) P Q) konjunktiivinen normaalimuoto on siten P Q) P Q. Tässä tapauksessa siis lauseen disjunktiivinen ja konjunktiivinen normaalimuoto ovat samat. Tämä ei kuitenkaan päde yleisesti.) 3 4. a) 1. x 1 x 2Px 1,x 2) x 1 x 2 Px1,x 2) Px ) 2,x 1) 2. x 1 x 2 Px 1, x 2 ) 1) 3. x 1 x 2 Px1,x 2) Px 2, x ) 1) 1) 4. x 2 Pc,x 2 ) 2,x 1 /c) 5. Pc, d) 4,x 2 /d) 6. x 2 Pc, x2 ) Px 2,c) ) 3,x 1 /c) 7. Pc,d) Pd,c) 6,x 2 /d) 8. Pc, d) 7) 9. Pd, c) 7) 10. x 2 Pd,x2 ) Px 2,d) ) 3,x 1 /d) 11. Pd,c) Pc,d) 10,x 2/c) 12. Pd,c) 11) 13. Pc,d) 11) 14. Pc, c) Pc, c) 6,x 2/c) 15. Pd,d) Pd,d) 10,x 2 /d) 16. Pc, c) 14) 17. Pc, c) 14) 18. Pd,d) 15) 19. Pd, d) 15) 20. Pd,d) 15) 21. Pd,d) 15) Valmiiseen tauluun jää neljä avointa haaraa. Kunkin avoimen haaran avulla voidaan määritellä rakenne struktuuri), joka antaa mallin taulun juuressa olevalle lauseelle. Muodostetaan struktuuri taulun vasemmanpuoleisimman avoimen haaran avulla. Olkoon universumi = {1, 2}, ja määritellään c = 1, d = 2 sekä P = { 1, 2, 2, 1 }. Tarkistetaan, että lause on tosi rakenteessa. Koska esim. 1, 2 = c,d P, niin = Pc,d), joten edelleen myös pätee. Myös on voimassa, koska = x 1 x 2 Px 1,x 2 ) = x 1 x 2 Px 1,x 2 ) Px 2,x 1 )), = Pc,c) Pc,c), = Pc,d) Pd,c), = Pd,c) Pc,d) ja = Pd,d) Pd, d), 4

3 sillä c = 1, d = 2, c,c = 1, 1 P jolloin = Pc,c)), c,d = 1, 2 P jolloin = Pc,d)), d,c = 2, 1 P joten = Pd,c)) ja d,d = 2, 2 P = Pd,d)). b) Tässä tapauksessa taulumenetelmän avulla ei saada aikaan valmista äärellistä taulua. Osoittautuu, että taulumenetelmää sovellettaessa käyttöön joudutaan ottamaan toistuvasti lisää uusia vakioita, koska taulun kaikkia haaroja ei saada ristiriitaisiksi. Vakioiden soveltaminen uudelleen tauluun syntyviin universaalisti kvantifioituihin lauseisiin pakottaa ottamaan käyttöön lisää uusia vakioita jne. Tämä on esimerkki predikaattilogiikan puoliratkeavuudesta: ei ole olemassa systemaattista menetelmää, jonka avulla voidaan äärellisen monella askeleella joko etsiä malli mielivaltaiselle predikaattilogiikan lauseelle tai osoittaa se toteutumattomaksi.) Lause on kuitenkin tosi esim. seuraavassa rakenteessa : Olkoon universumi = {1}. Lisäksi tarvitaan vakiosymboli c ja predikaatti P siten, että Tarkistetaan, että c = 1 ja P = { 1, 1 }. = x 1 x 2 Px 1,x 2 ) x 1 x 2 x 3 Px 1,x 2 ) Px 2,x 3 ) Px 1,x 3 )) pätee. Koska universumissa on ainoastaan yksi alkio c = 1) ja 1, 1 P jolloin = Pc,c)), pätee. Samasta syystä = x 1 x 2 Px 1,x 2 ) = x 1 x 2 x 3 Px 1,x 2 ) Px 2, x 3 ) Px 1,x 3 )), 5. a) b) xpx) ) ) ) 1. xqx) x Px) Qx) 2. xpx) xqx) 1) 3. x Px) Qx) ) 1) 4. xpx) 2) 5. xqx) 2) 6. Pc) Qc) ) 3,x/c) 7. Pc) 6) 8. Qc) 6) 9. Pc) 4,x/c) 1. y xpx) Py) ) 2. xpx) Pc) ) 1,y/c) 3. xpx) 2) 4. Pc) 2) 5. Pd) 3,x/d) 6. xpx) Pd) ) 1,y/d) 7. xpx) 6) 8. Pd) 6) koska = Pc,c) Pc,c) Pc, c). 5 6

4 T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 2 Ratkaisut 1. a) Jos ϕ on tosi, niin agentti tietää ϕ:n. b) Jos agentti ei tiedä ϕ:tä, niin agentti tietää, että se ei tiedä ϕ:tä. c) Jos agentti tietää, että ϕ:stä seuraa ψ, niin silloin, jos agentti tietää ϕ:n, niin agentti tietää ψ:n. d) gentti tietää, että ϕ on tosi tai agentti tietää, että ϕ ei ole tosi: toisin sanoen agentti tietää, onko ϕ tosi. 2. a) ϕ LKϕ b) Lϕ Lψ Lϕ ψ) c) Kϕ Lϕ d) LLϕ Lϕ 3. Olkoon P = ulkona sataa. a) K a K b P K b K a K b P b) K a K b P K b P) c) K b K a P K a P) d) K a K b K a P K a K b K a P 4. Tehtävässä annettu malli M = S, R, v on B s 2 s 1 a) M,s 1 ei päde, koska s 1,s 2 R ja M,s 2. b) M,s 1 B pätee, joss M,s 1 B 1 tai M, s 1 pätee. Koska s 1,s 2 R ja M,s 2 B, ei M,s 1 B päde. M,s 1 pätee, joss M,s 2 ja M, pätevät. Koska ei kuitenkaan ole olemassa maailmaa s S siten, että s 2,s R, seuraa, että M,s 2, ja edelleen, että M,s 1 ja M,s 1 B eivät päde. c) M, pätee, joss M,s 1 tai M, pätee. M,s 1 puolestaan pätee, joss M,s 2 tai M,. Koska ei ole olemassa maailmaa s S, jolle s 2,s R, seuraa, että M,s 2 pätee. Siten myös M,s 1 ja edelleen M, pätevät. d) M,s 1 B ) pätee, joss M,s 2 B ja M, B pätevät. M,s 2 B pätee, koska M,s 2 B. M, B pätee, joss M, B tai M,. M, B ei toteudu, koska v,b) = false. Nyt M,, joss M,s 1 ja M, pätevät. Näin myös on, koska s 1, R, esim.), R ja v,) = true. Siten M, ja M, B pätevät. Seuraa siis, että myös M,s 1 B ) pätee. e) M,s 1 ) pätee, joss M,s 2 tai M,. Nähdään, että M,s 2 pätee, koska sekä M,s 2 että M,s 2, mikä seuraa siitä, että ei ole olemassa maailmaa s S siten, että s 2,s R. 5. Tehtävässä annettu malli M = S, R, v on s 1 s 4 s 2 s 5 2

5 Tässä tehtävässä voitaisiin lauseen totuusarvot eri maailmoissa määrittää suoraan modaalilogiikan operaattorien ja määritelmiä hyväksi käyttäen kuten edellisessä tehtävässä. Voitaisiin siis esimerkiksi tutkia järjestyksessä, päteekö M,s 1, M,s 2 jne., kunnes löydetään maailma, jossa annettu modaalilogiikan lause pätee. Vaihtoehtoisesti voidaan kuitenkin lähteä liikkeelle annetun lauseen pienimmistä alilauseista tässä tapauksessa atomilause ) ja johtaa niiden totuusarvojen sekä modaalioperaattorien määritelmien avulla joidenkin suurempien alilauseiden totuusarvot kaikissa mallin maailmoissa. Tätä voidaan toistaa järjestyksessä yhä suuremmille alilauseille, kunnes lopulta saadaan selville mallin kaikki maailmat, joissa lause pätee. Vastaukseksi voidaan valita silloin jokin näistä maailmoista. Koska vs 1,) = vs 4,) = vs 5,) = true ja muutoin vs,) = false, nähdään, että M,s 1, M,s 4 ja M,s 5 ja muulloin M,s ). Koska nyt esim. s 1,s 4 R,,s 5 R, s 4,s 1 R ja s 5,s 5 R, seuraa modaalioperaattorin semantiikasta, että M,s 1, M,, M,s 4 ja M, s 5 pätevät. Sen sijaan M,s 2 ei ole voimassa, koska maailmalla s 2 on ainoana seuraajanaan R-relaatiossa maailma, mutta M,. Modaalioperaattorin semantiikan määritelmän avulla päätellään, että M,s 2, M, ja M,s 4, sillä kunkin maailman s 2, ja s 4 kaikille R-relaation seuraajamaailmoille s pätee M,s. Todetaan lisäksi, että nämä ovat mallin ainoat maailmat, joissa lause pätee. Lause ei päde maailmoissa s 1 ja s 5, sillä näillä maailmoilla on R-relaatiossa seuraajana maailma s 2, jolle M,s 2.) Soveltamalla jälleen modaalioperaattorin semantiikan määritelmää todetaan, että M,s 1, M,s 2 ja M,s 5, sillä kullakin maailmoista s 1, s 2 ja s 5 on seuraajamaailma, jossa pätee koska edellisen perusteella M,s 2 ja M,, 3 ja esim. s 1,s 2 R, s 2, R ja s 5, s 2 R). Nähdään myös, että lause ei päde maailmassa koska :n ainoa seuraaja R-relaatiossa on s 5, mutta M,s 5 ) eikä maailmassa s 4 koska M,s 1 ja M,s 5, eikä s 4 :llä ole muita seuraajia relaatiossa R). Operaattorin semantiikan avulla todetaan lopulta, että M,, M,s 4 ja M,s 5 pätevät, sillä kaikille maailmojen, s 4 ja s 5 R-seuraajille s pätee M,s. Havaitaan lisäksi, että, s 4 ja s 5 ovat ainoat tehtävän lauseen toteuttavat maailmat. Näistä siis mikä tahansa voidaan valita tehtävän vastaukseksi. Huomaa, että jokaisessa vaiheessa on tärkeää etsiä kaikki ne mallin maailmat, jossa ko. vaiheessa tutkittavana oleva alilause pätee, sillä muuten voidaan päätyä tilanteeseen, jossa jonkin muun alilauseen totuusarvoa ei voidakaan päätellä aiemmin laskettujen tulosten perusteella suoraan. Jos esimerkiksi todettaisiin pelkästään, että M,s 5 ja M, koska,s 5 R), ei nyt ainoastaan tämän tiedon avulla voida päätellä esim. alilauseen totuusarvoa s 4 :ssä, sillä se riippuu myös lauseen totuusarvoista s 1 :ssä ja s 5 :ssä, jotka on s 4 :n seuraajia. Erityisesti olisi nyt virhe olettaa, että esim. M,s 4 olisi voimassa; kuten yllä todettiin, lause itse asiassa pätee maailmassa s 4.) 4

6 T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitu Ratkaisut 1. a) M = S,R, v, S = {s,t}, R = { s,s, s,t }, vs,) = true, vt,) = false. s t M,s pätee, koska s,s R ja M,s. M, s ei kuitenkaan päde, koska s,t R ja M,t. Siis M,s. b) M = S, R, v, S = {s,t}, R = { s,t }, vs,) = vt,) = false. s t Koska s,t R ja M,t, M,s. Siten M, s pätee. Koska maailmalla t ei ole seuraajia relaatiossa R, M,t pätee. Tällöin M,t, mistä seuraa, että M,s koska s,t R). Siis M,s. c) M = S,R,v, S = {s,t, u}, R = { s,t, s,u, t,t }, vs,) = vu,) = false ja vt,) = true. s t u M,t, koska t,t R ja M,t. Koska t on itsensä ainoa seuraaja R-relaatiossa, myös M,t pätee. Siten M,t pätee, mistä seuraa, että M,s ) pätee koska s,t R). Koska u:lla ei ole R-relaatiossa seuraajia, M,u. Koska s,u R, seuraa tästä, että M,s. Siten M,s ). d) M = S, R, v, S = {s,t}, R = { s,s, s,t }, vs,) = vt,b) = true, vs,b) = vt,) = false. s t, B,B M,s pätee, koska s,s R ja M,s pätee. Myös M,s B on voimassa, koska s,t R ja M,t B. Siten M,s B. M,s B) ei kuitenkaan päde, sillä s:llä ei ole olemassa sellaista seuraajaa s R-relaatiossa, jolle pätisi M,s B. Siis M, s B) B). 2. Olkoon M = S, R, v. ) Oletetaan, että on pätevä mallissa. Olkoon s S mikä tahansa mallin maailma. Oletuksen perusteella M, s pätee, mistä seuraa, että on olemassa t S siten, että s, t R ja M,t. Edelleen päätellään, että jos M, s, niin silloin välttämättä myös M, t, s:n seuraajalle t, ja siksi M,s. Siis jos M,s, niin silloin myös M,s. Siten M,s, eli myös on pätevä mallissa. ) Oletetaan, että on pätevä mallissa. Olkoon s S. Osoitetaan, että nyt on välttämättä olemassa t S siten, että s,t R. Jos näin ei olisi, s:llä ei olisi R-relaatiossa yhtään seuraajaa, jolloin M,s olisi voimassa. Koska on oletuksen mukaan pätevä mallissa, olisi nyt välttämättä oltava myös M, s, mistä seuraa ristiriita. On siis olemassa t S siten, että s,t R. Siten M,t, jolloin myös M, s pätee. Seuraa, että on pätevä mallissa. 3. Käytetään tehtävässä hyväksi generoiduille alimalleille 1 voimassa olevaa tulosta: 1 Olkoon annettu malli M = S,R, v. Joukon S 0 S generoima alimalli M = S, R, v on malli, joka toteuttaa seuraavat ehdot: 1. S on pienin S:n osajoukko, joka toteuttaa ehdot S 0 S. S on R-suljettu: jos on olemassa maailmat s S ja t S siten, että s, t R, niin silloin on oltava myös t S. 2. R = S S ) R. 3. Kaikille atomilauseille P ja kaikille maailmoille s S : v s, P) = vs,p). 1 2

7 Jos M = S,R,v on mallin M = S, R, v maailmojen joukon S 0 S generoima alimalli, niin silloin kaikille lauseille P ja kaikille maailmoille s S pätee Koska tehtävässä annettu lause M,s P joss M,s P. ) ) ) ) ) ) ) on tosi tehtävässä annetun mallin M maailmassa s 4, se on tosi myös missä tahansa M:stä generoidussa alimallissa, joka sisältää maailman s 4. Tehtävän malli M: s 1 s 2 s 5 Muodostetaan maailmojen joukon S 0 = {s 4 } generoima alimalli M = S,R,v. Koska S 0 S, niin s 4 S. Koska nyt S, s 5 S ja s 4, R, s 4,s 5 R, on oltava S ja s 5 S, jotta S olisi R-suljettu. Edelleen, koska s 2 S ja,s 2 R, on myös oltava s 2 S. Koska maailma s 1 ei ole saavutettavissa maailmoista s 2,, s 4 tai s 5 R-relaation kaarten välityksellä, maailmojen joukko {s 2,,s 4,s 5 } on R-suljettu. Selvästi tämä joukko on myös pienin S:n R-suljettu osajoukko, joka sisältää maailman. Generoidun alimallin ehtojen täyttämiseksi voidaan siis määritellä s 4 S = {s 2,,s 4,s 5 }, R = { s 2, s 5,,s 2,,s 4, s 4,, s 4,s 5 } ja v s 2, ) = v,) = true, v s 4,) = v s 5,) = false, jolloin malli M on Koska tehtävän lause toteutuu mallin M maailmassa s 4, se toteutuu myös mallin M maailmassa s 4, koska M on generoitu alimalli. Koska M sisältää neljä mahdollista maailmaa, se on eräs tehtävän ratkaisu. 4. F = S, R : s 1 s 2 s 4 F = S,R, missä S = {r 1, r 2 } ja R = { r 1,r 2, r 2,r 1 }: r 1 r 2 Muodostetaan kuvaus f : S S : Kuvaus f on p-morfismi, koska fs 1 ) = f ) = r 1 fs 2 ) = fs 4 ) = r 2 1. f on surjektiivinen esim. r 1 = fs 1 ) ja r 2 = fs 2 )) 2. s,t S : jos srt pätee, niin fs)r ft) pätee Esimerkiksi paria s 1,s 2 R vastaa pari fs 1 ),fs 2 ) = r 1,r 2, joka kuuluu relaatioon R ; loput relaation R parit voidaan tarkistaa vastaavasti.) 3. s S t S : jos fs)r t pätee, niin on olemassa u S siten, että sru ja fu) = t pätee Esimerkiksi r 2,r 1 = fs 4 ),r 1 R, ja havaitaan, että s 1 S, s 4 Rs 1 ja fs 1 ) = r 1 ; loput tapaukset vastaavasti.) P-morfismeja koskevan proposition perusteella seuraa, että kaikille lauseille P. jos F = P, niin F = P s 2 s 5 s 4 3 4

T Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut

T Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut T-79.146 Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut 1. Jokaiselle toteutuvalle lauselogiikan lauseelle voidaan etsiä malli taulumenetelmällä merkitsemällä lause taulun

Lisätiedot

ja s S : ϕ Υ : M,s ϕ, mutta M,s Q. Erityisesti M, t P kaikilla t S, joten

ja s S : ϕ Υ : M,s ϕ, mutta M,s Q. Erityisesti M, t P kaikilla t S, joten T-79.50 kevät 007 Laskuharjoitus 4. Vastaesimerkiksi kelpaa malli M = S, R,v, missä S = {s}, R = { s,s }, ja v(s,p) = false. P s M = P P pätee (koska M,s P), ja M,s P pätee myös, koska s,s R, M,s P, eikä

Lisätiedot

Taulun avoimista haaroista saadaan kelvolliset lausejoukot

Taulun avoimista haaroista saadaan kelvolliset lausejoukot T-79.5101 kevät 2006 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 1. M : a, Q b c d Lauseen X( UQ) sulkeuma: CL ( X( UQ) ) = { X( UQ), X( UQ), UQ, X ( UQ), ( UQ),, Q, X ( UQ),, } Muodostetaan

Lisätiedot

T Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka ) A ( B C) A B C.

T Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka ) A ( B C) A B C. T-79.3001 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka 6.1 7.2) 27. 29.2.2008 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 6.1 a) A (B C) Poistetaan lauseesta ensin implikaatiot.

Lisätiedot

Esimerkkimodaalilogiikkoja

Esimerkkimodaalilogiikkoja / Kevät 2005 ML-4 1 Esimerkkimodaalilogiikkoja / Kevät 2005 ML-4 3 Käsitellään esimerkkeinä kehyslogiikkoja Valitaan joukko L kehyksiä S, R (tyypillisesti antamalla relaatiolle R jokin ominaisuus; esim.

Lisätiedot

Taulumenetelmä modaalilogiikalle K

Taulumenetelmä modaalilogiikalle K / Kevät 2004 ML-6 1 Taulumenetelmä modaalilogiikalle On vaikeaa löytää Hilbert-tyylisiä todistuksia: Käytössä Modus Ponens -sääntö: jotta voidaan johtaa Q, täytyy johtaa P ja P Q. Mutta mikä on sopiva

Lisätiedot

2. M : T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 1. M :

2. M : T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 1. M : T-79.5101 kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 2. M : a 1. M : a c b, e b f,r c e a) M,a = A(U), sillä (esim.) (a,b,,,,...) on tilasta a alkava täysi polku, joka ei

Lisätiedot

T Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )

T Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79.3001 Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3 3.4) 21. 24.3.2006 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio

Lisätiedot

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka )

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka ) T-79.3001 Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka 2.1 3.4) 5.2. 9.2. 2009 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 2.1 Merkitään lausetta φ:llä, ja valitaan atomilauseiden

Lisätiedot

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka )

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka ) T-79.3001 Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka 10.3. 11.4) 26. 30.3. 2009 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 10.5 Allaolevat kolme graafia pyrkivät selventämään

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka ) T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation

Lisätiedot

3. Predikaattilogiikka

3. Predikaattilogiikka 3. Predikaattilogiikka Muuttuja mukana lauseessa. Ei yksikäsitteistä totuusarvoa. Muuttujan kiinnittäminen määrän ilmaisulla voi antaa yksikäsitteisen totuusarvon. Esimerkki. Lauseella x 3 8 = 0 ei ole

Lisätiedot

Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet

Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet 1. Etsi lauseen ((p 0 p 1 ) (p 0 p 1 )) kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa normaalimuodossa, (b) konjunktiivisessa normaalimuodossa.

Lisätiedot

Logiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos.

Logiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät 2005 Logiikan kertausta Antti-Juhani Kaijanaho antkaij@mit.jyu.fi Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos TIE303 Formaalit mentetelmät, 2005-01-27 p. 1/17 Luento2Luentomoniste

Lisätiedot

Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13

Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b } 0, jatkoa jatkoa 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen

Lisätiedot

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT: Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi

Lisätiedot

Tehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6)

Tehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6) Tehtävä 1 Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 }, {p 1, p 2, p 3 }, { p 2, p 3 }, {p 3 }}, b. {{ p 0, p 2 }, {p 0, p 1 }, {{ p 1, p 2 }, { p 2 }}, c. {{p

Lisätiedot

Goldblatt Thomasonin lause transitiivisille kehyksille

Goldblatt Thomasonin lause transitiivisille kehyksille TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mikko Kivinen Goldblatt Thomasonin lause transitiivisille kehyksille Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2009 Tampereen yliopisto

Lisätiedot

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia

Lisätiedot

Kirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi:

Kirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi: 1 Logiikan paja, kevät 2011 Ratkaisut viikolle I Thomas Vikberg Merkitään propopositiosymboleilla p i seuraavia atomilauseita: p 0 : vettä sataa p 1 : tänään on perjantai p 2 : olen myöhässä Valitaan konnektiiveiksi,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.

Lisätiedot

Äärellisen mallin ominaisuus filtraation kautta

Äärellisen mallin ominaisuus filtraation kautta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Johanna Savolainen Äärellisen mallin ominaisuus filtraation kautta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Huhtikuu 2012 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden

Lisätiedot

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos... 2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

LAUSELOGIIKKA (1) Sanalliset ilmaisut ovat usein epätarkkoja. On ilmaisuja, joista voidaan sanoa, että ne ovat tosia tai epätosia, mutta eivät molempia. Ilmaisuja, joihin voidaan liittää totuusarvoja (tosi,

Lisätiedot

Johdatus logiikkaan 1

Johdatus logiikkaan 1 Johdatus logiikkaan 1 Åsa Hirvonen Kevät 2016 Sisältö 1 ropositiolauseet 3 2 Rekursiiviset määritelmät ja induktio rakenteen suhteen 7 3 Totuusjakaumat ja totuustaulut 12 3.0.1 Negaatio..........................

Lisätiedot

T Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 11 (predikaattilogiikka )

T Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 11 (predikaattilogiikka ) T-79.3001 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 11 (predikaattilogiikka 14.1 14.5) 23. 25.4.2008 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 14.1 Herbrand-universumi U muodostuu termeistä,

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet 9.1 9.5) 30.11. 3.12.2004 1. Osoita lauselogiikan avulla oheisten ehtolausekkeiden ekvivalenssi. (a)!(a

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetyhteenveto, 3. osahuhtikuuta

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

Totuusjakaumat. Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B.

Totuusjakaumat. Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B. Totuusjakaumat Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B. Totuusjakauma v voidaan aina laajentaa kuvaukseksi V : {A A on L kaava}

Lisätiedot

T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003

T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003 T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio R

Lisätiedot

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).

Lisätiedot

LAUSELOGIIKKA. 1 Lauselogiikan kieli. 1.1 Lauselogiikan aakkosto. atomiset lauseet: A,A 1,A 2,...,B,B 1,...,C, Lauselogiikan kieli

LAUSELOGIIKKA. 1 Lauselogiikan kieli. 1.1 Lauselogiikan aakkosto. atomiset lauseet: A,A 1,A 2,...,B,B 1,...,C, Lauselogiikan kieli -79.3001 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 1 LAUSELOGIIKKA 1. Lauselogiikan kieli 2. Lauselogiikan semantiikka 3. Semanttiset peruskäsitteet 4. Semanttinen taulu 5. Vaihtoehtoisia todistusjärjestelmiä 6. Normaalimuodot

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta). Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)

Lisätiedot

Luonnollisen päättelyn luotettavuus

Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä

Lisätiedot

Johdatus logiikkaan (Fte170)

Johdatus logiikkaan (Fte170) Johdatus logiikkaan (Fte170) Teoreettinen filosofia, 5 op, periodit I ja II, 2010 Markus Pantsar 1. Johdanto 1.1 Filosofinen logiikka Logiikkaa tutkitaan pääasiallisesti kolmen tieteen piirissä: filosofian,

Lisätiedot

SAT-ongelman rajoitetut muodot

SAT-ongelman rajoitetut muodot SAT-ongelman rajoitetut muodot olemme juuri osoittaneet että SAT on NP-täydellinen perusidea on nyt osoittaa joukolle kiinnostavia ongelmia A NP että SAT p m A, jolloin kyseiset A myös ovat NP-täydellisiä

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset

Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset 2000-08-03T10:30/12:00 Huomaa, että joihinkin kysymyksiin on useampia oikeita vastauksia, joten nämä ovat todellakin vain mallivastaukset. 1 Logiikkaa

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Pikapaketti logiikkaan

Pikapaketti logiikkaan Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

Loogiset konnektiivit

Loogiset konnektiivit Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä. Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Roosa Niemi Riippuvuuslogiikkaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Syyskuu 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö ROOSA NIEMI: Riippuvuuslogiikkaa

Lisätiedot

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. 5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Perinnöllinen informaatio ja geneettinen koodi.

Perinnöllinen informaatio ja geneettinen koodi. Tehtävä A1 Kirjoita essee aiheesta: Perinnöllinen informaatio ja geneettinen koodi. Vastaa esseemuotoisesti, älä käytä ranskalaisia viivoja. Piirroksia voi käyttää. Vastauksessa luetaan ansioksi selkeä

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

13. Loogiset operaatiot 13.1

13. Loogiset operaatiot 13.1 13. Loogiset operaatiot 13.1 Sisällys Loogiset operaatiot AND, OR, XOR ja NOT. Operaatioiden ehdollisuus. Bittioperaatiot. Loogiset operaatiot ohjausrakenteissa. Loogiset operaatiot ja laskentajärjestys.

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Diskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1

Diskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 811120P 3. 5 op Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 ja laskenta tarkastelemme terveeseen järkeen perustuvaa päättelyä formaalina järjestelmänä logiikkaa sovelletaan

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

Laskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 10. joulukuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS.

Laskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 10. joulukuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 10. joulukuuta 2015 Sisällys TM vs yleiset kieliopit Lause Jokaiselle kielelle A seuraavat ovat yhtäpitävät: 1.

Lisätiedot

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien

Lisätiedot

on rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen.

on rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen. 6.5 Turingin koneiden pysähtymisongelma Lause 6.9 Kieli H = { M pysähtyy syötteellä w} on rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen. Todistus. Todetaan ensin, että kieli H on rekursiivisesti

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa

Lisätiedot

Mallintarkastus. Mallin generointi. Esimerkki mallin SMV-kuvauksesta. Tila-avaruuden symbolinen esitys (I)

Mallintarkastus. Mallin generointi. Esimerkki mallin SMV-kuvauksesta. Tila-avaruuden symbolinen esitys (I) / Kevät 2005 ML-10 1 Mallintarkastus / Kevät 2005 ML-10 3 Esimerkki mallin SMV-kuvauksesta Onko annettu lause P tosi annetussa mallissa M? Malli M: järjestelmän malli Saadaan järjestelmän kuvauksesta,

Lisätiedot

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan:

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: LOGIIKKA 1 Mitä logiikka on? päättelyn tiede o oppi muodollisesti pätevästä päättelystä 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: sisältö, merkitys: onko jokin premissi

Lisätiedot

Luku 5. Löwenheimin ja Skolemin lause. kompaktisuuslause. Tässä luvussa tutustumme tärkeimpiin täydellisyyslauseen (ja sen todistuksen) seurauksiin.

Luku 5. Löwenheimin ja Skolemin lause. kompaktisuuslause. Tässä luvussa tutustumme tärkeimpiin täydellisyyslauseen (ja sen todistuksen) seurauksiin. Luku 5 Löwenheimin ja Skolemin lause, kompaktisuuslause Tässä luvussa tutustumme tärkeimpiin täydellisyyslauseen (ja sen todistuksen) seurauksiin. Löwenheimin ja Skolemin lause Sanomme, että kaavajoukko

Lisätiedot

Kokonaislukuoptimointi

Kokonaislukuoptimointi Kokonaislukuoptimointi Algebrallisen geometrian sovelluksia Sisältö Taustaa algebrallisesta geometriasta Gröbnerin kanta Buchbergerin algoritmi Kokonaislukuoptimointi Käypyysongelma Algoritmi ratkaisun

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Bisimulaatio modaalilogiikassa

Bisimulaatio modaalilogiikassa Bisimulaatio modaalilogiikassa Tuomo Lempiäinen Kandidaatintutkielma Maaliskuu 2013 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Sisältö 1 Johdanto 2 2 Modaalilogiikan perusteet 3 2.1 Syntaksi..............................

Lisätiedot

T Syksy 2006 Tietojenkäsittelyteorian perusteet T Harjoitus 7 Demonstraatiotehtävien ratkaisut

T Syksy 2006 Tietojenkäsittelyteorian perusteet T Harjoitus 7 Demonstraatiotehtävien ratkaisut T-79.1001 Syksy 2006 Tietojenkäsittelyteorian perusteet T Harjoitus 7 Demonstraatiotehtävien ratkaisut Lemma (Säännöllisten kielten pumppauslemma). Olkoon A säännöllinen kieli. Tällöin on olemassa n 1

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2017-2018 Yhteenveto Yleistä kurssista Kurssin laajuus 5 op Luentoja 30h Harjoituksia 21h Itsenäistä työskentelyä n. 80h 811120P Diskreetit rakenteet, Yhteenveto 2 Kurssin

Lisätiedot

6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä

6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä 6 Relaatiot 6. Relaation määritelmä Määritelmä 6... Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Jos R µ X Y, sanotaan, että R on joukkojen X ja Y välinen relaatio. Jos R µ X X, sanotaan, että R on joukon X relaatio.

Lisätiedot

Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m.

Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Väite: T (n) (a + b)n 2 + a. Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Huomaa että funktion x x 2 + (m 1 x) 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saavuttaa suurimman

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Logiikka I. Kaarlo Reipas 17. huhtikuuta 2012 Ψ. Tämä materiaali on vielä keskeneräinen. 1 Johdanto Mitä logiikka on?... 3

Logiikka I. Kaarlo Reipas 17. huhtikuuta 2012 Ψ. Tämä materiaali on vielä keskeneräinen. 1 Johdanto Mitä logiikka on?... 3 Φ Logiikka I Kaarlo Reipas 17. huhtikuuta 2012 Ψ Tämä materiaali on vielä keskeneräinen. Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mitä logiikka on?.............................. 3 2 ropositiologiikka 4 2.1 Lauseet...................................

Lisätiedot

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu. Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos

Lisätiedot

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1) Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 3. Logiikka 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim.

Lisätiedot

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 6 MAA11 Lukuteoria ja logiikka Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Lukuteoria ja logiikka (MAA11) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b). Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei

Lisätiedot

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit 1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät

Lisätiedot

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä.

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. Kaksi järjestettyä paria ovat samat, jos niillä on samat ensimmäiset alkiot ja samat toiset alkiot:

Lisätiedot