1 Rajoitettu optimointi II - kustannusfunktio, Lagrangen kertoimet varjohintoina

Transkriptio

1 Taloustieteen mat.menetelmät syksy27 materiaali II-2 Rajoitettu optimointi II - kustannusfunktio, Lagrangen kertoimet varjohintoina. Tuotanto Yritys valmistaa yhtä tuotetta n:stä tuotannontekijästä/panoksesta panosten määrät x 2 R n tyypillinen tapaus: x = (K; L), missä K on fyysinen pääoma ja L työpanos tuotanto y Teknologia määrittää tuotantomahdollisuuksien joukon, eli mahdolliset (y; x) parit, ns. tuotantojoukko jos käytössä on panokset x niin tuotoksena saadaan enintään f(x), tätä kutsutaan tuotantofunktioksi.2 Kustannusten minimointi Panosten yksikköhinnat w ; : : : ; w n kustannus panosten x käyttämisestä on w x = P i w ix i Yrityksen kustannusten minimointitehtävä yritys pyrkii tuottamaan määrän y mahdollisimman kustannustehokkaasti min x w x; s.e. y = f(x); x w ja y ovat eksogeenisia.3 Kustannusfunktio Kustannusten minimointitehtävän ratkaiseva panosten käyttö z(y; w) conditional factor demand (ehdollinen tuotannontekijöiden kysyntä) kohdefunktion optimaalinen arvo on C(y; w) = w z(y; w), eli kustannusfunktio!

2 .4 Esimerkki f(k; l) = p kl ja w = (w k ; w l ) Oletetaan, että optimissa k; l > Ensimmäisen kertaluvun ehto: w k p kl=@k = (=2) p l=k, w l p kl=@l = (=2) p k=l ja p kl = y havaitaan, että l=k = 4w 2 k =2 ja k=l = 4w 2 l =2, mistä saadaan 2 = 4w k w l ja edelleen l=k = w k =w l ehdon p kl = y avulla saadaan k = ( p w l =w k )y ja l = ( p w k =w l )y.5 Herkkyysanalyysi Taloustietelijää kiinnostaa usein se miten optimointitehtävän ratkaisu riippuu eksogeenisista muuttujista esimerkiksi miten kuluttajan optimi muuttuu kun tulot kasvavat huom. aikaisemmin kurssilla käsiteltiin herkkyysanalyysiä (comparative statics) yhtälöryhmien tapauksessa Tarkastellaan optimointitehtäviä, joissa maksimoidaan funktiota f(x; a) rajoitteilla h(x; a) =, missä a on eksogeeninen ratkaisu x riippuu eksogeenisista muuttujista, eli se on funktio x(a) miten x(a) muuttuu kun a muuttuu, entä f(x(a); a)? funktiota f(x(a); a) kutsutaan joskus arvofunktioksi (value function).6 Lagrangen kertoimien tulkinta Tarkastellaan tehtävää f(x ; x 2 ) rajoitteella h(x ; x 2 ) = a, missä a on eksogeeninen muuttuja Ajatellaan, että ratkaisu on a:n funktio siis x(a) ja (a), ja tätä Lagrangen kerrointa vastaten x(a) on kriittinen piste Lagrangen funktiolle L(x; ; a) = f(x) [h(x) a] Tulkinta h(x) = a kuvaa resurssirajoitetta, a=resurssin määrä, tutkitaan miten resurssin muutos vaikuttaa kohdefunktioon optimissa tutkittavana siis f(x(a)):n muutos, eli df(x(a))=da, joka siis kuvaa esim. tuoton muutosta suhteessa h resurssin i muutokseen h i Siis lasketaan df(x(a))=da dx(a) da 2 2

3 rajoite pitäisi saada jotenkin mukaan matriisimuodossa tämä voitaisi kirjoittaa [D a x(a)] T r x f(x(a)) (alaindeksi viittaa tässä muuttujaan/vektoriin jonka suhteen derivoidaan) Ensimmäisen kertaluvun ehdot ovat 2 = h(x(a)) = a kaksi ensimmäistä vektorimerkinnöin r x f(x(a)) [D x h(x(a))] T (a) = Havainto: f:n osittaisderivaatat optimissa x(a) voidaan lausua h:n i i vektorimuodossa r x f(x(a)) = [D x h(x(a))] T (a) Saadaan df()=da = (a) P h i h dxi() i i summattavana oleva lauseke on dh(x(a))=da ja tämä on koska h(x(a)) = a (oikean puolen derivaatta on )! Lopputuloksena df(x(a)) da = (a) Lause: Oletetaan, että x(a) ratkaisee tehtävän max f(x) s.e. h(x) = a, missä h : R n 7! R m, ja että x(a) on di erentioituva. Oletetaan myös, että ei-degeneroituvuus kvali kaatio pätee rajoitteille. Tällöin df(x(a))=da i = i (a). Miksi juuri nämä oletukset? Entä milloin voidaan olla varmoja, että x(a) on di erentioituva? Huom. tulos kertoo f:n muutoksen a:n pienille poikkeamille (ei suurille) Lagrangen kertoimet voidaan tulkita varjohintoina!.7 Esimerkki toimivuudesta f(x ; x 2 ) = x 2 x 2 ja h(x ; x 2 ) = 2x 2 + x 2 2 a Ratkaistaan tehtävä eliminoimalla toinen muuttuja rajoitteesta ja sijoitetaan tämä kohdefunktioon, saadaan rajoittamaton optimointitehtävä 3

4 näin voidaan yleisemminkin ratkoa yhtälörajoitettuja tehtäviä, tämä konsti ei kuitenkaan aina yksinkertaista ratkaisemista koska muuttujien eliminointi voi olla hankalaa Eliminoidaan x 2, eli x 2 = (a x 2 2)=2 ja sijoitetaan kohdefunktioon, jolloin maksimoitavana on x 2 (a x 2 2)=2 asetetaan derivaatta nollaksi a 3x 2 2 =, eli x 2 = p a=3 ja x = p a=3, optimi on x = ( p a=3; p a=3) Entäs Lagrangen = 2x x 2 = 4x, joten (a) = x 2 (a)=2 = p a=2 Kokeillaan: a = 3 ja a 2 = 3:3 teorian perusteella [f(x(a 2 )) f(x(a ))]=[a 2 a ] (a ) f(x(a 2 )) f(x(a )) :537 ja (a ) = :5 (a )(a 2 a ) = :3 :5 = :5, ero kolmannessa desimaalissa!.8 Toinen esimerkki Tuotetta tuotetaan kahdesta raaka-aineesta, määrät x, x 2 tuotantofunktio x x 2, yksikkökustannukset c ja c 2, hinta p kohdefunktio (voitto) px x 2 c x c 2 x 2 Viranomaiset asettavat tuotteen koostumukselle rajoitteen x = x 2 Ajatellaan tilannetta, jossa yritys haluasi lisätä raaka-ainetta tuotteeseen kohta nähdään mitä ehtoja tämä vaatimus asettaa eksogeenisille muuttujille matemaattisesti ilmaistuna yritys kohtaisi mielummin rajoitteen x = x 2 + a, a > kuin alkuperäisen rajoitteen Arvioidaan kuinka paljon yrityksen kannattaisi enintään maksaa viranomaiselle (tai investoida lobbaukseen) resurssirajoitteen muuttamisesta muotoon x = x 2 + a Ratkaistaan tehtävä tekemättä sijoitusta x = x 2 kohdefunktioon (vaikka tämä olisi houkuttelevaa) huom. Lagrangen kertoimien sisältämä informaatio on usein niin kiinnostavaa, että turhan tuntuiset rajoitteet kannattaa huomioida analyysissä 4

5 Ens. krt. luvun ehdot: px x 2 c = px x 2 c 2 + = x = x 2 Sijoitetaan x 2 = x kahteen muuhun ehtoon ja eliminoidaan toisesta saadaan px + + px + c c 2 = =(+ ) ratkaisuna x = x 2 = [(c + c 2 )=(p( + ))] Lagrangen kertoimeksi saadaan = (c 2 c )=( + ) Kun c 2 > c, niin yritys haluaisi lisätä raaka-ainetta kun a on pieni niin yrityksen kannattaisi maksaa enintään a rajoitteen muuttamisesta, siis kuvaa rajoitteen hintaa 2 Verhokäyräteoreema Tarkastellaan rajoittamatonta tehtävää max x f(x; a), missä a 2 R on eksogeeninen Miten optimaalinen f muuttuu kun a muuttuu? haetaan siis derivaattaa df(x(a); a)=da Lause: Oletetaan, että ratkaisu x(a) on di erentioituva. Tällöin df(x(a); a)=da a)=@a mistä nimi verhokäyräteoreema? paljon hyödyllisempi tulos kuin miltä äkkiseltään näyttäisi kvalitatiivisia tuloksia saadaan ratkaisematta optimi x:ää osittaisderivaatta on hyvin helppo laskea, kokonaisderivaatta ei ole 2. Esimerkki f(x; a) = x 2 + 2ax + 4a 2 Optimi derivoimalla: x(a) = a Sijoita kohdefunktioon ja derivoi a:n suhteen g(a) = f(x(a); a) = 5a 2, joten dg(a)=da = df(x(a); a)=da = a Sama tulos a)=@a = 2x + 8a = a 5

6 2.2 Marginaalikustannukset Oletetaan, että yritys tuottaa määrän q minimoimalla kustannukset kustannukset riippuvat myös käytettävissä olevasta pääomasta K (esim. koneet) kustannusfunktio c(k; q) Pitkällä aikavälillä yritys valitsee pääoman siten että kustannukset minimoituvat ) K(q), lyhyellä aikavälillä pääoma on kiinteä oletetaan että c(k; q) kertoo lyhyen aikavälin optimikustannuksen Pitkän aikavälin ja lyhyen aikavälin marginaalikustannukset ovat samat verhokäyräteoreemasta dc(k(q); q)=dq q)=@q Huom. verhokäyräteoreema toimii myös minimointitehtävälle Kokeillaan tuotantofunktiolla p KL, missä L on työ pääoman ja työn yksikkökustannukset = kustannus= K + L missä p KL = q, eli L = q 2 =K, siis c(k; q) = q 2 =K + K pitkän ajan optimi K(q) = q ja c(k(q); q) = 2q, eli dc(k(q); q)=dq = 2 Havaintoja: funktion c(k; q) graa on c(k(q); q):n yläpuolella paitsi kun q = K pisteessä q = K eo. funktioden tangentit ovat samat 2.3 Yleisempi verhokäyräteoreema Yhdistetaan edellä esitetyt tulokset, eli verhokäyräteoria ja Lagrangen kertoimien tulkinta Tarkastellaan tapausta, jossa sekä kohdefunktio että rajoitteet riippuvat eksogeenisesta muuttujasta a 2 R siis funktiot muotoa f(x; a) ja h(x; a) oletetaan taas, että ratkaisu x(a) ja Lagrangen kertoimet (a) ovat di erentioituvia, tarvitaan myös oletus ei-degeneroituneisuudesta Tulos: df(x(a); a)=da (a); a)=@a huom. rajoittamattomalle tehtävälle kyseessä on verhokäyräteoreema jos parametrinen riippuvuus on vain rajoitteessa ja se on muotoa h(x) = a, niin saadaan edellä ollut tulkinta Lagrangen kertoimille 6

7 2.4 Shepardin lemma Jatkoa kustannusfunktion johtamiseen Yrityksen kustannuksen minuimointitehtävän ratkaisuna saatiin kustannusfunktio C(y; w) = w z(y; w), missä z(y; w) on optimaalinen panosten käyttö Shephardin lemma z i (y; w) w)=@w i, i = ; : : : ; n seuraa verhokäyräteoreemasta 2.5 Ratkaisujen derivoituvuus Milloin x(a) on derivoituva, entä mikä on sen derivaatta? Tarkastellaan ensin rajoittamatonta tehtävää välttämätön optimaalisuusehto on a)=@x i =, i = ; : : : ; n merk. F (x; a) = implisiittifunktiolauseen perusteella yhtälöryhmän ratkaisu x(a) on derivoituva jos F :n Jacobin matriisi x:n suhteen on kääntyvä havainto D x F = D 2 xf, eli F :n Jacobin matriisi x:n suhteen on f:n Hessin matriisi implisiittifunktiolauseen oletukset toteutuvat kun f on kahdesti jatkuvasti di erntiotuva (F jatk. di erentioituva) ja D 2 xf on kääntyvä 7

8 Vastaava tarkastelu voidaan tehdä yhtälörajoitetulle tehtävälle ensimmäisen kertaluvun ehdot muodostavat yhtälöryhmän, jonka ratkaisuna saadaan x(a) ja (a) nämä ehdot voidaan kirjoittaa muodossa r x L(x; ; a) = h(x; a) = implisiittifunktiolauseen oletukset vaativat nyt että eo. yhtälöryhmän Jacobin matriisi (x; ):n suhteen on kääntyvä tämä ehto myös takaa ei-degeneroituvuus oletuksen voimassaolon merkitään ensimmäisen kertaluvun ehtoa F (x; ; a) =, implisiittifunktiolause: D(x(a); (a)) = 2.6 Kuluttajan teoriaa Tehtävä max U(x) rajoitteella p x = I [D (x;) F (x; ; a)] D a F (x; ; a) tässä x = (x ; : : : ; x n ) ja p = (p ; : : : ; p n ) (pystyvektori) tulkinta: budjettirajoite oletetaan aktiiviseksi ja lisäksi oletetaan, että x i > kaikilla i Välttämätön ehto: ru(x) p = I p x = Ehdot toteuttavat x(p; I), (p; I) ovat di erentioituvia, kun matriisi D H(x; p) = 2 U(x) p p T on kääntyvä H on ensimmäisen kertaluvun ehdon määräämän yhtälöryhmän Jacobin matriisi (x; ):n suhteen H on kääntyvä mm. silloin kun D 2 U(x) on neg.def. Esim. U(x ; x 2 ) = ln x + ln x 2, nyt ensimmäisen kertaluvun ehto on =x p = =x 2 p 2 = I p x p 2 x 2 = ja H(x; p) =x2 p =x 2 2 p 2 A p p 2 8

9 implisiittifunktiolauseen avulla voidaan laskea (x(p; I); (p; I)):n Jacobin matriisi (p; I):n suhteen: D (p;i) (x(p; I); (p; I)) = [H(x; p)] D (p;i) F (x; ; p; I); missä D (p;i) F (x; ; p; I) A x x 2 esimerkiksi kun p = (2; 2) ja I =, niin x = x 2 = =4 ja = 2, implisiittifunktiolauseesta D (p;i) (x(p; I); (p; I)) = saadaan D (p;i) (x(p; I); (p; 6 2A A =4 =4 =8 =4 =8 =4A 2 huom. tuloksen voi tarkistaa laskemalla x(p; I):n ja derivoimalla sitä 9