1 Rajoitettu optimointi II - kustannusfunktio, Lagrangen kertoimet varjohintoina

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1 Rajoitettu optimointi II - kustannusfunktio, Lagrangen kertoimet varjohintoina"

Transkriptio

1 Taloustieteen mat.menetelmät syksy27 materiaali II-2 Rajoitettu optimointi II - kustannusfunktio, Lagrangen kertoimet varjohintoina. Tuotanto Yritys valmistaa yhtä tuotetta n:stä tuotannontekijästä/panoksesta panosten määrät x 2 R n tyypillinen tapaus: x = (K; L), missä K on fyysinen pääoma ja L työpanos tuotanto y Teknologia määrittää tuotantomahdollisuuksien joukon, eli mahdolliset (y; x) parit, ns. tuotantojoukko jos käytössä on panokset x niin tuotoksena saadaan enintään f(x), tätä kutsutaan tuotantofunktioksi.2 Kustannusten minimointi Panosten yksikköhinnat w ; : : : ; w n kustannus panosten x käyttämisestä on w x = P i w ix i Yrityksen kustannusten minimointitehtävä yritys pyrkii tuottamaan määrän y mahdollisimman kustannustehokkaasti min x w x; s.e. y = f(x); x w ja y ovat eksogeenisia.3 Kustannusfunktio Kustannusten minimointitehtävän ratkaiseva panosten käyttö z(y; w) conditional factor demand (ehdollinen tuotannontekijöiden kysyntä) kohdefunktion optimaalinen arvo on C(y; w) = w z(y; w), eli kustannusfunktio!

2 .4 Esimerkki f(k; l) = p kl ja w = (w k ; w l ) Oletetaan, että optimissa k; l > Ensimmäisen kertaluvun ehto: w k p = (=2) p l=k, w l p = (=2) p k=l ja p kl = y havaitaan, että l=k = 4w 2 k =2 ja k=l = 4w 2 l =2, mistä saadaan 2 = 4w k w l ja edelleen l=k = w k =w l ehdon p kl = y avulla saadaan k = ( p w l =w k )y ja l = ( p w k =w l )y.5 Herkkyysanalyysi Taloustietelijää kiinnostaa usein se miten optimointitehtävän ratkaisu riippuu eksogeenisista muuttujista esimerkiksi miten kuluttajan optimi muuttuu kun tulot kasvavat huom. aikaisemmin kurssilla käsiteltiin herkkyysanalyysiä (comparative statics) yhtälöryhmien tapauksessa Tarkastellaan optimointitehtäviä, joissa maksimoidaan funktiota f(x; a) rajoitteilla h(x; a) =, missä a on eksogeeninen ratkaisu x riippuu eksogeenisista muuttujista, eli se on funktio x(a) miten x(a) muuttuu kun a muuttuu, entä f(x(a); a)? funktiota f(x(a); a) kutsutaan joskus arvofunktioksi (value function).6 Lagrangen kertoimien tulkinta Tarkastellaan tehtävää f(x ; x 2 ) rajoitteella h(x ; x 2 ) = a, missä a on eksogeeninen muuttuja Ajatellaan, että ratkaisu on a:n funktio siis x(a) ja (a), ja tätä Lagrangen kerrointa vastaten x(a) on kriittinen piste Lagrangen funktiolle L(x; ; a) = f(x) [h(x) a] Tulkinta h(x) = a kuvaa resurssirajoitetta, a=resurssin määrä, tutkitaan miten resurssin muutos vaikuttaa kohdefunktioon optimissa tutkittavana siis f(x(a)):n muutos, eli df(x(a))=da, joka siis kuvaa esim. tuoton muutosta suhteessa h resurssin i muutokseen h i Siis lasketaan df(x(a))=da dx(a) da 2 2

3 rajoite pitäisi saada jotenkin mukaan matriisimuodossa tämä voitaisi kirjoittaa [D a x(a)] T r x f(x(a)) (alaindeksi viittaa tässä muuttujaan/vektoriin jonka suhteen derivoidaan) Ensimmäisen kertaluvun ehdot ovat 2 = h(x(a)) = a kaksi ensimmäistä vektorimerkinnöin r x f(x(a)) [D x h(x(a))] T (a) = Havainto: f:n osittaisderivaatat optimissa x(a) voidaan lausua h:n i i vektorimuodossa r x f(x(a)) = [D x h(x(a))] T (a) Saadaan df()=da = (a) P h i h dxi() i i summattavana oleva lauseke on dh(x(a))=da ja tämä on koska h(x(a)) = a (oikean puolen derivaatta on )! Lopputuloksena df(x(a)) da = (a) Lause: Oletetaan, että x(a) ratkaisee tehtävän max f(x) s.e. h(x) = a, missä h : R n 7! R m, ja että x(a) on di erentioituva. Oletetaan myös, että ei-degeneroituvuus kvali kaatio pätee rajoitteille. Tällöin df(x(a))=da i = i (a). Miksi juuri nämä oletukset? Entä milloin voidaan olla varmoja, että x(a) on di erentioituva? Huom. tulos kertoo f:n muutoksen a:n pienille poikkeamille (ei suurille) Lagrangen kertoimet voidaan tulkita varjohintoina!.7 Esimerkki toimivuudesta f(x ; x 2 ) = x 2 x 2 ja h(x ; x 2 ) = 2x 2 + x 2 2 a Ratkaistaan tehtävä eliminoimalla toinen muuttuja rajoitteesta ja sijoitetaan tämä kohdefunktioon, saadaan rajoittamaton optimointitehtävä 3

4 näin voidaan yleisemminkin ratkoa yhtälörajoitettuja tehtäviä, tämä konsti ei kuitenkaan aina yksinkertaista ratkaisemista koska muuttujien eliminointi voi olla hankalaa Eliminoidaan x 2, eli x 2 = (a x 2 2)=2 ja sijoitetaan kohdefunktioon, jolloin maksimoitavana on x 2 (a x 2 2)=2 asetetaan derivaatta nollaksi a 3x 2 2 =, eli x 2 = p a=3 ja x = p a=3, optimi on x = ( p a=3; p a=3) Entäs Lagrangen kerroin: = 2x x 2 ja = 4x, joten (a) = x 2 (a)=2 = p a=2 Kokeillaan: a = 3 ja a 2 = 3:3 teorian perusteella [f(x(a 2 )) f(x(a ))]=[a 2 a ] (a ) f(x(a 2 )) f(x(a )) :537 ja (a ) = :5 (a )(a 2 a ) = :3 :5 = :5, ero kolmannessa desimaalissa!.8 Toinen esimerkki Tuotetta tuotetaan kahdesta raaka-aineesta, määrät x, x 2 tuotantofunktio x x 2, yksikkökustannukset c ja c 2, hinta p kohdefunktio (voitto) px x 2 c x c 2 x 2 Viranomaiset asettavat tuotteen koostumukselle rajoitteen x = x 2 Ajatellaan tilannetta, jossa yritys haluasi lisätä raaka-ainetta tuotteeseen kohta nähdään mitä ehtoja tämä vaatimus asettaa eksogeenisille muuttujille matemaattisesti ilmaistuna yritys kohtaisi mielummin rajoitteen x = x 2 + a, a > kuin alkuperäisen rajoitteen Arvioidaan kuinka paljon yrityksen kannattaisi enintään maksaa viranomaiselle (tai investoida lobbaukseen) resurssirajoitteen muuttamisesta muotoon x = x 2 + a Ratkaistaan tehtävä tekemättä sijoitusta x = x 2 kohdefunktioon (vaikka tämä olisi houkuttelevaa) huom. Lagrangen kertoimien sisältämä informaatio on usein niin kiinnostavaa, että turhan tuntuiset rajoitteet kannattaa huomioida analyysissä 4

5 Ens. krt. luvun ehdot: px x 2 c = px x 2 c 2 + = x = x 2 Sijoitetaan x 2 = x kahteen muuhun ehtoon ja eliminoidaan toisesta saadaan px + + px + c c 2 = =(+ ) ratkaisuna x = x 2 = [(c + c 2 )=(p( + ))] Lagrangen kertoimeksi saadaan = (c 2 c )=( + ) Kun c 2 > c, niin yritys haluaisi lisätä raaka-ainetta kun a on pieni niin yrityksen kannattaisi maksaa enintään a rajoitteen muuttamisesta, siis kuvaa rajoitteen hintaa 2 Verhokäyräteoreema Tarkastellaan rajoittamatonta tehtävää max x f(x; a), missä a 2 R on eksogeeninen Miten optimaalinen f muuttuu kun a muuttuu? haetaan siis derivaattaa df(x(a); a)=da Lause: Oletetaan, että ratkaisu x(a) on di erentioituva. Tällöin df(x(a); a)=da mistä nimi verhokäyräteoreema? paljon hyödyllisempi tulos kuin miltä äkkiseltään näyttäisi kvalitatiivisia tuloksia saadaan ratkaisematta optimi x:ää osittaisderivaatta on hyvin helppo laskea, kokonaisderivaatta ei ole 2. Esimerkki f(x; a) = x 2 + 2ax + 4a 2 Optimi derivoimalla: x(a) = a Sijoita kohdefunktioon ja derivoi a:n suhteen g(a) = f(x(a); a) = 5a 2, joten dg(a)=da = df(x(a); a)=da = a Sama tulos = 2x + 8a = a 5

6 2.2 Marginaalikustannukset Oletetaan, että yritys tuottaa määrän q minimoimalla kustannukset kustannukset riippuvat myös käytettävissä olevasta pääomasta K (esim. koneet) kustannusfunktio c(k; q) Pitkällä aikavälillä yritys valitsee pääoman siten että kustannukset minimoituvat ) K(q), lyhyellä aikavälillä pääoma on kiinteä oletetaan että c(k; q) kertoo lyhyen aikavälin optimikustannuksen Pitkän aikavälin ja lyhyen aikavälin marginaalikustannukset ovat samat verhokäyräteoreemasta dc(k(q); q)=dq Huom. verhokäyräteoreema toimii myös minimointitehtävälle Kokeillaan tuotantofunktiolla p KL, missä L on työ pääoman ja työn yksikkökustannukset = kustannus= K + L missä p KL = q, eli L = q 2 =K, siis c(k; q) = q 2 =K + K pitkän ajan optimi K(q) = q ja c(k(q); q) = 2q, eli dc(k(q); q)=dq = 2 Havaintoja: funktion c(k; q) graa on c(k(q); q):n yläpuolella paitsi kun q = K pisteessä q = K eo. funktioden tangentit ovat samat 2.3 Yleisempi verhokäyräteoreema Yhdistetaan edellä esitetyt tulokset, eli verhokäyräteoria ja Lagrangen kertoimien tulkinta Tarkastellaan tapausta, jossa sekä kohdefunktio että rajoitteet riippuvat eksogeenisesta muuttujasta a 2 R siis funktiot muotoa f(x; a) ja h(x; a) oletetaan taas, että ratkaisu x(a) ja Lagrangen kertoimet (a) ovat di erentioituvia, tarvitaan myös oletus ei-degeneroituneisuudesta Tulos: df(x(a); a)=da (a); huom. rajoittamattomalle tehtävälle kyseessä on verhokäyräteoreema jos parametrinen riippuvuus on vain rajoitteessa ja se on muotoa h(x) = a, niin saadaan edellä ollut tulkinta Lagrangen kertoimille 6

7 2.4 Shepardin lemma Jatkoa kustannusfunktion johtamiseen Yrityksen kustannuksen minuimointitehtävän ratkaisuna saatiin kustannusfunktio C(y; w) = w z(y; w), missä z(y; w) on optimaalinen panosten käyttö Shephardin lemma z i (y; w) i, i = ; : : : ; n seuraa verhokäyräteoreemasta 2.5 Ratkaisujen derivoituvuus Milloin x(a) on derivoituva, entä mikä on sen derivaatta? Tarkastellaan ensin rajoittamatonta tehtävää välttämätön optimaalisuusehto on i =, i = ; : : : ; n merk. F (x; a) = implisiittifunktiolauseen perusteella yhtälöryhmän ratkaisu x(a) on derivoituva jos F :n Jacobin matriisi x:n suhteen on kääntyvä havainto D x F = D 2 xf, eli F :n Jacobin matriisi x:n suhteen on f:n Hessin matriisi implisiittifunktiolauseen oletukset toteutuvat kun f on kahdesti jatkuvasti di erntiotuva (F jatk. di erentioituva) ja D 2 xf on kääntyvä 7

8 Vastaava tarkastelu voidaan tehdä yhtälörajoitetulle tehtävälle ensimmäisen kertaluvun ehdot muodostavat yhtälöryhmän, jonka ratkaisuna saadaan x(a) ja (a) nämä ehdot voidaan kirjoittaa muodossa r x L(x; ; a) = h(x; a) = implisiittifunktiolauseen oletukset vaativat nyt että eo. yhtälöryhmän Jacobin matriisi (x; ):n suhteen on kääntyvä tämä ehto myös takaa ei-degeneroituvuus oletuksen voimassaolon merkitään ensimmäisen kertaluvun ehtoa F (x; ; a) =, implisiittifunktiolause: D(x(a); (a)) = 2.6 Kuluttajan teoriaa Tehtävä max U(x) rajoitteella p x = I [D (x;) F (x; ; a)] D a F (x; ; a) tässä x = (x ; : : : ; x n ) ja p = (p ; : : : ; p n ) (pystyvektori) tulkinta: budjettirajoite oletetaan aktiiviseksi ja lisäksi oletetaan, että x i > kaikilla i Välttämätön ehto: ru(x) p = I p x = Ehdot toteuttavat x(p; I), (p; I) ovat di erentioituvia, kun matriisi D H(x; p) = 2 U(x) p p T on kääntyvä H on ensimmäisen kertaluvun ehdon määräämän yhtälöryhmän Jacobin matriisi (x; ):n suhteen H on kääntyvä mm. silloin kun D 2 U(x) on neg.def. Esim. U(x ; x 2 ) = ln x + ln x 2, nyt ensimmäisen kertaluvun ehto on =x p = =x 2 p 2 = I p x p 2 x 2 = ja H(x; p) =x2 p =x 2 2 p 2 A p p 2 8

9 implisiittifunktiolauseen avulla voidaan laskea (x(p; I); (p; I)):n Jacobin matriisi (p; I):n suhteen: D (p;i) (x(p; I); (p; I)) = [H(x; p)] D (p;i) F (x; ; p; I); missä D (p;i) F (x; ; p; I) A x x 2 esimerkiksi kun p = (2; 2) ja I =, niin x = x 2 = =4 ja = 2, implisiittifunktiolauseesta D (p;i) (x(p; I); (p; I)) = saadaan D (p;i) (x(p; I); (p; 6 2A A =4 =4 =8 =4 =8 =4A 2 huom. tuloksen voi tarkistaa laskemalla x(p; I):n ja derivoimalla sitä 9

1 Rajoitettu optimointi I

1 Rajoitettu optimointi I Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause

1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause Taloustieteen matemaattiset menetelmät 27 materiaali 4 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause. Johdanto Jo opiskeltu antaa nyt valmiu tutkia taloudellisia malleja Kiinnostava malli voi olla

Lisätiedot

1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100

1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100 HARJOITUS, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE 07.. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 0x +0xy +5y (b.) f(x,y) = 4x y xy +x+y +00 (a.) Funktion kriittiset pisteet ratkaisevat

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista x + αd, α 0, on pisteestä x R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät

Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät ja sisäpistemenetelmät Lagrangen välttämättömien ehtojen ratkaiseminen Newtonin menetelmällä Jos tehtävässä on vain yhtälörajoituksia, voidaan minimipistekandidaatteja

Lisätiedot

Harjoitus 7: vastausvihjeet

Harjoitus 7: vastausvihjeet Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.

Lisätiedot

Y56 Laskuharjoitukset 4 Palautus viim. ti klo (luennolla!) Opiskelijan nimi. Opiskelijanumero

Y56 Laskuharjoitukset 4 Palautus viim. ti klo (luennolla!) Opiskelijan nimi. Opiskelijanumero Y56 Kevät 2010 1 Y56 Laskuharjoitukset 4 Palautus viim. ti 30.3. klo 12-14 (luennolla!) Opiskelijan nimi Opiskelijanumero Harjoitus 1. Tuotantoteknologia Tavoitteena on oppia hahmottamaan yrityksen tuotantoa

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

1 Di erentiaaliyhtälöt

1 Di erentiaaliyhtälöt Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R

Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä

Lisätiedot

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2

Lisätiedot

Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali 1

Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali 1 Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali 1 1 Taloustiede tutkii niukkojen resurssien kohdentamista kilpaileviin tarkoituksiin mikä on hyvä tapa kohdentaa? miten arvioida tuloksia? mitä niukkuus tarkoittaa?

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot

Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot Luvut 20 ja 21 Marita Laukkanen November 3, 2016 Marita Laukkanen Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot November 3, 2016 1 / 17 Kustannusten minimointiongelma

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x

Lisätiedot

b 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)

b 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b) TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016

Lisätiedot

Pienimmän Neliösumman menetelmä (PNS)

Pienimmän Neliösumman menetelmä (PNS) neliösumman Perusongelman kuvaus 1 Tarkastellaan neljää pitkää aikasarjaa q 1 = (q 11,q 21,...,q 10,1 ) T, q 2 = (q 12,q 22,...,q 10,2 ) T, q 3 = (q 13,q 23,...,q 10,3 ) T, ja p 1 = (p 11,p 21,...,p 10,1

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2 MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain

Lisätiedot

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

5 Usean muuttujan differentiaalilaskentaa

5 Usean muuttujan differentiaalilaskentaa 5 Usean muuttujan differentiaalilaskentaa Edellä on jo käsitelty monia funktioita, joissa lähtö- (ja/tai) maalijoukko on useampi- kuin 1-ulotteinen: Esim. A-, B- ja C-raaka-ainemäärien yhdistelmien x =

Lisätiedot

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että

Lisätiedot

Häiriöteoriaa ja herkkyysanalyysiä. malleissa on usein pieniä/suuria parametreja. miten yksinkertaistetaan mallia kun parametri menee rajalle

Häiriöteoriaa ja herkkyysanalyysiä. malleissa on usein pieniä/suuria parametreja. miten yksinkertaistetaan mallia kun parametri menee rajalle Häiriöteoriaa ja herkkyysanalyysiä malleissa on usein pieniä/suuria parametreja miten yksinkertaistetaan mallia kun parametri menee rajalle jatkuvuus ja rajayhtälöt säännölliset ja epäsäännölliset häiriöt

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Sivu 1 / 8. A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste. Olli Kauppi

Sivu 1 / 8. A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste. Olli Kauppi Sivu 1 / 8 A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste Olli Kauppi Monisteen ensimmäinen luku käsittelee derivointia hieman yleisemmästä näkökulmasta. Monisteen lopussa on kurssilla

Lisätiedot

KKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n.

KKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n. TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.139 Optimointioppi Kimmo Berg 7. harjoitus - ratkaisut 1. Oletetaan aluksi, että epäyhtälöt eivät ole aktiivisia p i > 0. Tässä tapauksess KKTehdot

Lisätiedot

Panoskysyntä. Luku 26. Marita Laukkanen. November 15, Marita Laukkanen Panoskysyntä November 15, / 18

Panoskysyntä. Luku 26. Marita Laukkanen. November 15, Marita Laukkanen Panoskysyntä November 15, / 18 Panoskysyntä Luku 26 Marita Laukkanen November 15, 2016 Marita Laukkanen Panoskysyntä November 15, 2016 1 / 18 Monopolin panoskysyntä Kun yritys määrittää voitot maksimoivia panosten määriä, se haluaa

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita

Lisätiedot

1 Useamman muuttujan di erentiaalilaskenta

1 Useamman muuttujan di erentiaalilaskenta Taloustieteen matemaattiset menetelmät 207 materiaali 3 Useamman muuttujan di erentiaalilaskenta. Lineaariset funktiot Funktio f R n! R m on lineaarinen jos. Kaikille 2 R ja kaikille x 2 R n pätee 2. Kaikille

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu

Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Matias Leppisaari 29.1.2008 Esityksen rakenne Yleinen malli Käypyys ja rajoitusehdot Mallin ratkaisu Kotitehtävä

Lisätiedot

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat 1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali

Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Käsittelemme seuraavaksi lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa. Kuten luennossa 2 esitettiin, kohdefunktion optimiarvon herkkyys z, kun rajoitusyhtälön i, 1 i m, oikea

Lisätiedot

Harjoitus 8: Excel - Optimointi

Harjoitus 8: Excel - Optimointi Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille

Lisätiedot

Luento 6: Monitavoitteinen optimointi

Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Monitavoitteisessa optimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f,,f m Esimerkki ortfolion eli arvopaperijoukon optimoinnissa: f

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Lokaalit ääriarvot Yhden muuttujan funktion f (x) lokaali maksimi on piste x 0, jossa f (x) on suurempi kuin muualle pisteen x 0 ympäristössä, eli kun f (x 0 )

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Voidaan laskea siis ensin keskimääräiset kiinteät kustannukset AFC: 100 000 /10000=10

Voidaan laskea siis ensin keskimääräiset kiinteät kustannukset AFC: 100 000 /10000=10 Harjoitukset 3 Taloustieteen perusteet Ratkaisuehdotukset Kesäyliopisto 2014 1. a) Autonrenkaita valmistavalla yhtiöllä on 100 000 :n kiinteät kustannukset vuodessa. Kun yritys tuottaa 10 000 rengasta,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Luku 19 Voiton maksimointi

Luku 19 Voiton maksimointi Kevät 00 Luku 9 Voiton maksimointi Edellisessä luvussa tarkastelimme yrityksen teknologisia rajoitteita ja niiden vaikutusta tuotantoon. Tuotannon syntymistä tuotannontekijöistä katsottiin niin samatuotoskäyrien

Lisätiedot

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.

Lisätiedot

Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja

Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja Seuraavassa esitetään optimointitehtävien numeerisia ratkaisumenetelmiä, eli optimointialgoritmeja, keittokirjamaisesti.

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

a) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää.

a) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää. .. Markkinakysyntä ja joustot a) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää. Markkinoiden kysyntäkäyrä saadaan laskemalla

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Este- ja sakkofunktiomenetelmät

Este- ja sakkofunktiomenetelmät Este- ja sakkofunktiomenetelmät Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Luennon kulku Este- ja sisäpistemenetelmät LP-ongelmat ja logaritminen estefunktio Polun seuranta Newtonin menetelmällä Sakkofunktiomenetelmistä

Lisätiedot

Matemaattinen lisäys A. Derivaatta matematiikassa ja taloustieteessä

Matemaattinen lisäys A. Derivaatta matematiikassa ja taloustieteessä Matemaattinen lisäys A. Derivaatta matematiikassa ja taloustieteessä Edellä rajakustannuksia MC(x) ja rajahyötyä MB(x) tarkasteltaessa käsiteltiin vain tapausta, jossa x on diskreetti suure (mahdollisia

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

Kimppu-suodatus-menetelmä

Kimppu-suodatus-menetelmä Kimppu-suodatus-menetelmä 2. toukokuuta 2016 Kimppu-suodatus-menetelmä on kehitetty epäsileiden optimointitehtävien ratkaisemista varten. Menetelmässä approksimoidaan epäsileitä funktioita aligradienttikimpulla.

Lisätiedot

Taloustieteen matemaattiset menetelmät - pikakertausta ja toimintaohjeita Kurssin 1. osa

Taloustieteen matemaattiset menetelmät - pikakertausta ja toimintaohjeita Kurssin 1. osa Taloustieteen matemaattiset menetelmät - pikakertausta ja toimintaohjeita Kurssin 1. osa Topi Hokkanen July 10, 2017 Esitiedoiksi oletetaan tuntemus vektoreista ja matriiseista (siis se, minkälaatuisia

Lisätiedot

* Hyödyn maksimointi on ihmisten toimintaa ja valintoja ohjaava periaate.

* Hyödyn maksimointi on ihmisten toimintaa ja valintoja ohjaava periaate. KANSANTALOUSTIETEEN PERUSTEET Yrityksen teoria (Economics luvut 13-14) 14) KTT Petri Kuosmanen Optimointiperiaate a) Yksilöt pyrkivät maksimoimaan hyötynsä. * Hyödyn maksimointi on ihmisten toimintaa ja

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5)

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5) 4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5) Opimme tässä ja seuraavissa luennoissa että markkinat ovat hyvä tapa koordinoida taloudellista toimintaa (mikä on yksi taloustieteen

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan ensiksi välttämättömät ehdot diskreettiaikaiselle optimisäätötehtävälle.

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan ensiksi välttämättömät ehdot diskreettiaikaiselle optimisäätötehtävälle. Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 9 1. Johdetaan ensiksi välttämättömät ehdot diskreettiaikaiselle optimisäätötehtävälle. Tilayhtälö on x k+1 = f k (x k, u k ), k = 1,..., N 1 alkuehdolla

Lisätiedot

Opetusmonisteita. Luentoja kansantaloustieteen matemaattisista menetelmistä

Opetusmonisteita. Luentoja kansantaloustieteen matemaattisista menetelmistä Opetusmonisteita Helsingin yliopiston kansantaloustieteen laitos Tapio Palokangas Luentoja kansantaloustieteen matemaattisista menetelmistä Syyslukukausi 2007 1 1 Determinantit 11 Mitä ovat determinantit?

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: 1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 4

Malliratkaisut Demo 4 Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) f(x) = 2x + 21. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että imoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) f(x) = x (pienin kokonaisluku

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

7 Yrityksen teoria: tuotanto ja kustannukset (Mankiw & Taylor, Ch 13)

7 Yrityksen teoria: tuotanto ja kustannukset (Mankiw & Taylor, Ch 13) 7 Yrityksen teoria: tuotanto ja kustannukset (Mankiw & Taylor, Ch 13) Tavaroiden ja palvelujen tuotanto tapahtuu yrityksissä Yritykset tuntevat niiden valmistukseen tarvittavan teknologian teknologia on

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 12. Usean muuttujan funktiot Osittaisderivaatta Gradientti Suhteellinen muutosnopeus ja osittaisjousto

Talousmatematiikan perusteet: Luento 12. Usean muuttujan funktiot Osittaisderivaatta Gradientti Suhteellinen muutosnopeus ja osittaisjousto Talousmatematiikan perusteet: Luento 12 Usean muuttujan funktiot Osittaisderivaatta Gradientti Suhteellinen muutosnopeus ja osittaisjousto Aiemmilla luennoilla Tähän mennessä olemme tarkastelleet Erilaisia

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

MIKROTEORIA, HARJOITUS 5 YRITYKSEN VOITON MAKSIMOINTI JA KUSTANNUSTEN MINIMOINTI

MIKROTEORIA, HARJOITUS 5 YRITYKSEN VOITON MAKSIMOINTI JA KUSTANNUSTEN MINIMOINTI MIKROTEORIA, HARJOITUS 5 RITKSEN VOITON MAKSIMOINTI JA KUSTANNUSTEN MINIMOINTI Olkoon ritksen kustannusfunktio c ( F a ritksen rajakustannukset kertovat, paljonko ritksen kustannukset muuttuvan kun tuotantoa

Lisätiedot