Luento 3: Simplex-menetelmä

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Luento 3: Simplex-menetelmä"

Transkriptio

1 Luento 3: Simplex-menetelmä Kuten graafinen tarkastelu osoittaa, LP-tehtävän ratkaisu on aina käyvän alueen kulmapisteessä, eli ekstreemipisteessä (extreme point). Simplex-menetelmässä ekstreemipisteitä, ja tehtävän ratkaisua, etsitään algebrallisesti Gaussin eliminointia käyttäen. Lähtökohtana on LP-tehtävä standardimuodossa (standard LP form), joka saadaan seuraavasti: (1) Kaikki muuttujat muutetaan positiivisiksi: Jos x i on rajoittamaton x j = x + j x j,missä x+ j,x j 0. (2) Jokainen epäyhtälörajoitus (paitsi muuttujien positiivisuusrajoitukset) muutetaan yhtälörajoitukseksi lisäämällä tarvittavat alijäämä- tai ylijäämämuuttujat. Jokaisen rajoitusyhtälön oikean puolen täytyy olla positiivinen. Jos näin ei ole, yhtälö kerrotaan -1:llä. (3) Kohdefunktiota voidaan joko maksimoida tai minimoida. Muista: max f(x 1,...,x n )=min f(x 1,...,x n ) Standardia LP-tehtävää vastaavan yhtälöryhmän, eli ns. simplex-taulukon, kantaratkaisut (basic solutions) vastaavat käyvän alueen ekstreemipisteitä. Kantaratkaisujen laskeminen Simplex-taulukossa on m lineaarista yhtälöä ja n tuntematonta, m < n. Valitaan (n-m):n muuttujan arvoksi nolla (ns. nollamuuttujat) ja ratkaistaan yhtälöryhmä m:n muuttujan suhteen (ns. kantamuuttujat). Jos ratkaisu on yksikäsitteinen, ko. ratkaisua kutsutaan kantaratkaisuksi. Jos kantaratkaisun jokainen komponentti 0, sanomme ettäratkaisuonkäypä (vastaa geometristä ekstreemipistettä); muuten sanomme että ratkaisu ei ole käypä, tai on ei-käypä. Kantaratkaisujen maksimilukumäärä on ( n m),elin!/m!(n m)! Esim. x1 + x 2 + 4x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 8 4x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x 4 + 6x 5 = 4 1

2 m=2,n=5 korkeintaan 5!/3! 2! = 10 kantaratkaisua. Tapaus 1: Käypä kantaratkaisu Nollamuuttujat: (x 2,x 4,x 5 ) Yhtälöt: x1 + 4x 3 = 8 4x 1 + 2x 3 = 4 Ratkaisu: Yksikäsitteinen x 1 =0,x 3 =2 Status: Käypä kantaratkaisu Tapaus 2: Ei-käypä kantaratkaisu Nollamuuttujat: (x 3,x 4,x 5 ) Yhtälöt: x1 + x 2 = 8 4x 1 + 2x 2 = 4 Ratkaisu: Yksikäsitteinen x 1 =-6,x 2 =14 Status: Ei-käypä kantaratkaisu, koska x 1 < 0. Tapaus 3: Ääretön määrä ratkaisuja Nollamuuttujat: (x 1,x 2,x 5 ) Yhtälöt: 4x3 + 2x 4 = 8 2x 3 + x 4 = 4 Ratkaisu: Ei yksikäsitteistä ratkaisua, koska yhtälöt ovat lineaarisesti riippuvat. Status: Ääretön määrä ratkaisuja. Tapaus 4: Ei ratkaisua 2

3 Nollamuuttujat: (x 1,x 3,x 4 ) Yhtälöt: x2 + 3x 5 = 8 2x 2 + 6x 5 = 4 Ratkaisu: Ratkaisua ei ole, sillä yhtälöt ovat ristiriitaiset. Status: Ei ratkaisua. Gaussin eliminointi Y 1: ax+ by = e a 1 Y 2: cx+ dy = f 1 x+ a 1 by = a 1 e cx+ dy = f +( c) Y 1 1 x+ a 1 by = a 1 e 0 x+ (d ca 1 b)y = f ca 1 e (d ca 1 b) 1 1 x+ a 1 by = a 1 e +( a 1 b) Y 2 0 x+ 1 y = (d ca 1 b) 1 (f ca 1 e) 1 x+ 0 y = a 1 e a 1 b(d ca 1 b) 1 (f ca 1 e) 0 x+ 1 y = (d ca 1 b) 1 (f ca 1 e) 1 x+ 0 y = (ad bc) 1 [de bf] 0 x+ 1 y = (ad bc) 1 [ ce + af] [ ] [ ][ ] x d b e I =(ad bc) y 1 c a f [ ] a b A = ; deta = ad bc c d [ ] d b A 1 =(deta) 1 c a Gaussin eliminointi: Ax = b I x = A 1 b 3

4 Optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmällä Sateenkaaren optimointimallin standardimuoto: max z = 5x 1 +4x 2 s.t. 6x 1 +4x 2 +s 1 = 24 x 1 +2x 2 +s 2 = 6 x 1 +x 2 +s 3 = 1 x 2 +s 4 = 2 x 1, x 2, s 1, s 2, s 3, s 4 0 Aloitus simplex-taulukko: kanta z x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 ratkaisu z z-rivi s s 1 -rivi s s 2 -rivi s s 3 -rivi s s 4 -rivi Huom.: Kohdefunktiota, eli z-riviä, vastaa yhtälö z 5x 1 4x 2 =0. Aloitusratkaisu: Valitaan x 1 ja x 2 nollamuuttujiksi, x 1 =0,x 2 = 0, jolloin taulukosta voi suoraan lukea käyvän kantaratkaisun s 1 =24,s 2 =6,s 3 =1,s 4 =2.Geometrisesti ratkaisu vastaa origoa ja vastaava kohdefunktion z arvo on 0. Ratkaisu ei ole optimiratkaisu, koska z:n arvoa voidaan kasvattaa liikkumalla positiiviseen suuntaan pitkin x 1 -akselia tai pitkin x 2 -akselia. Valitaan uudeksi kantamuuttujaksi (ns. tuleva muuttuja (entering variable)) x 1, koska z kasvaa jyrkimmin x 1 :n suuntaan. Sääntö on,että tuleva muuttuja on se, jolla on z-rivillä itseisarvoltaan suurin negatiivinen kerroin: z 5x 1 4x 2 =0 x 1 on tuleva muuttuja. 4

5 x (1) (3) 3 (2) 2 1 C (4) A B = = = 6 1 x 1 Kuva 1: Simplex-iteraation eteneminen Sateenkaaren optimointitehtävässä Kuvan 1 mukaan x 1 :n arvoa voidaan kasvattaa siirtymällä pisteestä A = (0,0) pisteeseen B = (4,0). Algebrallisesti piste B saadaan jakamalla ratkaisusarakkeen luvut vastaavilla x 1 -sarakkeen luvuilla, jolloin saadaan rajoitussuorien ja x 1 -akselin leikkauspisteiden koordinaatit. kanta x 1 ratkaisu suhde s /6 = 4 (minimi) s /1 = 6 s /1 = -1 (ei-käypä) s /0 = (ei-käypä) Ainoastaan pienin positiivinen suhde vastaa käypää pistettä, eli pistettä B = (4,0). Kohdefunktion arvo kasvaa 5 4 :llä yksiköllä, kun siirrytään origosta pisteeseen B. 5

6 Määrätään seuraavaksi kannasta lähtevä muuttuja, eli ns. lähtevä muuttuja (leaving variable), joka saa arvon nolla, kun x 1 :stä tulee uusi kantamuuttuja. Koska s 1 =0vastaapienintä positiivista suhdetta, eli pistettä B,ons 1 lähtevä muuttuja. Uusi kantaratkaisu on siis (x 1,s 2,s 3,s 4 ) ja se lasketaan soveltaen Gaussin eliminointia aloitustaulukkoon. Määritellään pivot-sarake, pivot-rivi ja pivot-alkio ao. taulukosta: kanta z x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 ratkaisu z s pivot-rivi s s s pivotsarake Pivot-sarake on tulevaa muuttujaa vastaava sarake ja pivot-rivi lähtevää muuttujaa vastaava rivi. Pivot-alkio on alkio jossa pivot-sarake ja pivot-rivi leikkaavat, eli tässä tapauksessa 6. Uusi kantaratkaisu saadaan soveltamalla Gaussin eliminointia tekemällä seuraavat laskut 1. Pivot-rivi: uusi pivot-rivi = (nykyinen pivot-rivi)/(pivot-alkio) 2. Muut rivit: uusi rivi = (nykyinen rivi) - (rivin pivot-sarakkeen alkio) (uusi pivotrivi) Kun laskut suoritetaan ensimmäisen kerran, päädytään taulukkoon, jossa tuleva muuttuja x 1 korvaa lähtevän muuttujan s 1. Seuraava taulukko vastaa siis kantaratkaisua (x 1,s 2,s 3,s 4 ): 6

7 kanta z x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 ratkaisu z 1 0 2/3 5/ x /3 1/ s /3 1/ s /3 1/ s Samoin kuin aloitusratkaisu luettiin aloitustaulukosta, voidaan uusi kantaratkaisu nyt lukea uudesta taulukosta, kun nollamuuttujat saavat arvon 0, x 2 = s 1 = 0. Uusi kantaratkaisu on x 1 =4,s 2 =2,s 3 =5,s 4 = 2, ja uusi z:n arvo on 20. Uusi taulukko ei vielä anna optimiratkaisua, koska nollamuuttujan x 2 kerroin z-rivillä on negatiivinen. Kirjoitetaan z-rivi muotoon z = 2x 3 2 5s , jolloin nähdään että lisäämällä x 2 :n arvoa sen nykyisestä arvosta nolla, voidaan z:n arvoa kasvattaa. x 2 on siis uusi tuleva muuttuja. Lasketaan seuraava simplex-taulukko samaan tapaan kuin edellinen taulukko laskettiin aloitustaulukosta. s 2 on uusi lähtevä muuttuja, sillä sitä vastaa pienin positiivinen suhde (3/2) ao. taulukossa. Kohdefunktion z arvo kasvaa määrällä 2 3 =1, 3 2 jolloin uusi z:n arvo on z = = 21. kanta x 2 ratkaisu suhde x 1 2/3 4 6 s 2 4/3 2 3/2 (minimi) s 3 5/3 5 3 s Pivot-rivi on s 2 -rivi ja pivot-sarake on x 2 -sarake. Pivot-alkio on 4/3. Gaussin eliminointi tuottaa nyt seuraavan taulukon: kanta z x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 ratkaisu z /4 1/ x /4 1/ x /8 3/ /2 s /8 5/ /2 s /8 3/ /2 Koska kummankaan nollamuuttujan s 1,s 2 z-rivin kerroin ei ola negatiivinen, z:n arvoa ei enää voida kasvattaa. Taulukko vastaa siis optimiratkaisua. 7

8 Optimiratkaisu on x 1 =3,x 2 = 3/2, z = 21. Slack-muuttujien optimiarvot ovat s 1 =0,s 2 =0,s 3 =5/2,s 4 =1/2. Näiden tulkinta on seuraava. Raaka-aineet M1 ja M2 käytetään optimituotannossa kokonaan. Sanotaan, että ko. resurssit ovat niukkoja (scarce resource). Sen sijaan kysyntärajoituksissa slack-muuttujat ovat positiivisia. Sanotaan, että resurssi on runsas (abundant resource) näiden rajoitusten suhteen. Huom. Sateenkaaren optimointitehtävässä kohdefunktiota z maksimoitiin. Jos z:aa pyritään minimoimaan, muuttuu simplex-metodi seuraavasti. Koska min z = max (-z), uusi tuleva muuttuja on aina se nollamuuttuja, jonka z-rivin kerroin on suurin positiivinen luku. Taulukko vastaa optimiratkaisua, kun kaikki z-rivin kertoimet ovat 0. Sääntöjä, joilla uusi tuleva- ja lähtevä muuttuja valitaan, sanotaan optimaalisuus- ja käypyysehdoiksi. Optimaalisuusehto: Kun kohdefunktiota maksimoidaan (minimoidaan) uusi tuleva muuttuja on se, jolla on itseisarvoltaan suurin negatiivinen (positiivinen) z-rivin kerroin. Taulukko vastaa optimiratkaisua, kun jokainen z-rivin kerroin 0 ( 0). Käypyysehto: Kun kohdefunktiota maksimoidaan, tai minimoidaan, uusi lähtevä muuttuja on se kantamuuttuja, jota vastaava suhde on positiivisista suhteista pienin. Simplex-menetelmä etenee siis seuraavasti: Askel 0: Valitaan käypä aloitusratkaisu. Askel 1: Valitaan tuleva muuttuja käyttäen optimaalisuusehtoa. Lopeta, jos tulevaa muuttujaa ei ole. Askel 2: Valitaan lähtevä muuttuja käyttäen käypyysehtoa. Askel 3: Lasketaan uusi kantaratkaisu Gaussin eliminointia käyttäen. Siirrytään askeleeseen 1. 8

9 Uusi simplex-taulukko muodostetaan käyttäen aina samoja laskuja ja sääntöjä. Simplex-menetelmä on siis iteratiivinen menetelmä ja peräkkäisiä taulukoita kutsutaan Simplex-iteraatioiksi. Kuvasta 1 nähdään, että iteraatiot alkavat ekstreemipisteestä A ja jatkuvat ekstreemipisteen B kautta ekstreemipisteeseen C. Simplex-iteraatiot kulkevat aina käyvän alueen ekstreemipisteiden kautta. Simplex-menetelmä ei siis tuota iteraation aikana käyvän alueen sisäpisteitä, kuten ns. sisäpistemenetelmä, josta puhutaan luennolla 11. Aloitusratkaisun laskeminen M-menetelmä Kun LP-tehtävän kaikki rajoitukset ovat muotoa ( ) ja rajoitusehtojen oikeat puolet ovat ei-negatiivisia, löytyy käypä aloitusratkaisu helposti slackmuuttujien kannasta (x i =0,s i 0). Kun tehtävä sisältää myös (=) ja/tai ( ) rajoituksia, standardimuodossa ei ole käyvän aloitusratkaisun määrittämiseen tarvittavia slack-muuttujia. Näinollentehtävään lisätään keinomuuttujia ajamaan tarvittavien slack-muuttujien asiaa ensimmäisessä iteraatiossa. Tätä samaa periaatetta hyödyntävät hiukan eri tavoin M-menetelmä ja kaksivaihemenetelmä. M-menetelmän toiminta on esitetty seuraavan esimerkin avulla: Olkoon LP-tehtävä muotoa: min z = 4x 1 +x 2 s.t. 3x 1 +x 2 = 3 4x 1 +3x 2 6 x 1 +2x 2 4 x 1, x 2 0 Tehtävä muutetaan standardimuotoon lisäämällä ylijäämämuuttuja (surplusvariable) s 1 ja alijäämämuuttuja (slack-variable) s 2 : 9

10 min z = 4x 1 +x 2 s.t. 3x 1 +x 2 = 3 4x 1 +3x 2 s 1 = 6 x 1 +2x 2 +s 2 = 4 x 1, x 2, s 1, s 2 0 Toisin kuin sateenkaaren optimointitehtävässä, tästä standardimuodosta ei suoraan saada käypää aloitusratkaisua, koska ensimmäisessä ja toisessa rajoitusyhtälössä ei ole slack-muuttujia, joiden kannasta ratkaisu löytyisi. Näin ollen rajoitusyhtälöihinonlisättävä keinomuuttujat R 1 ja R 2, ajamaan slackmuuttujien asiaa. Koska keinomuuttujat ovat kuitenkin alkuperäisen tehtävän kannalta lisämuuttujia, toisin kuin slack- ja ylijäämämuuttujat, jotka eivät muuta alkuperäisen tehtävän ratkaisua, halutaan varmistaa, että niiden arvo iteroinnin päättyessä on nolla. Tämä tehdään siten, että kohdefunktioon lisätään (vähennetään, kun maksimoidaan) sakkotermi MR i kutakin keinomuuttujaa R i kohti. Tässä M on riittävän suuri luku, jotta sakkotermi toimii. Toisaalta, liian suuri M saattaa aiheuttaa numeerisissa laskuissa hankaluuksia pyöristysvirheiden takia. Näin saadaan LP-tehtävä: min z = 4x 1 +x 2 +MR 1 +MR 2 s.t. 3x 1 +x 2 +R 1 = 3 4x 1 +3x 2 s 1 +R 2 = 6 x 1 +2x 2 +s 2 = 4 x 1, x 2, s 1, s 2, R 1, R 2, 0 Nyt käypä aloitusratkaisu löytyy kannasta R 1, R 2, s 2, eli pisteestä [x 1,x 2,s 1,R 1,R 2,s 2 ] = [0,0,0,3,6,4]. Tehtävä on kirjoitettu alla olevaan simplex-taulukkoon. z-sarake on jätetty pois taulukosta, koska sen arvot eivät muutu iteraatioissa. kanta x 1 x 2 s 1 R 1 R 2 s 2 ratkaisu z M M 0 0 R R s

11 Taulukon z-rivi ei nyt ole konsistentti muun taulukon kanssa, siellä kohdefunktion arvo pisteessä [0,0,0,3,6,4] on z = M +6M +0=9M, eikä 0, kuten taulukon ratkaisusarakkeessa väitetään. Ongelma poistuu, kun suoritetaan seuraava laskutoimitus. Uusi z-rivi = vanha z-rivi + (M R 1 -rivi + M R 2 -rivi) Tällä operaatiolla eo. taulukko muuttuu muotoon kanta x 1 x 2 s 1 R 1 R 2 s 2 ratkaisu z 4 + 7M 1 + 4M M M R R s Nyt iteraatio etenee normaalin simplex-menetelmän tapaan, kunnes z-rivillä ei ole enää positiivisia kertoimia (minimointi). On tärkeää huomata, että M on suuri positiivinen luku. Näin ollen esim. eo. taulukosta tulevaksi muuttujaksi valitaan x 1, sillä M on z-rivin kertoimista suurin positiivinen luku. Ensimmäinen iteraatio johtaa taulukkoon kanta x 1 x 2 s 1 R 1 R 2 s 2 ratkaisu z 0 (1 + 5M)/3 M (4 7M)/ M x 1 1 1/3 0 1/ R 2 0 5/3 1 4/ s 2 0 3/5 0 1/ Seuraavaan iteraatioon valitaan x 2 tulevaksi ja R 2 lähteväksi muuttujaksi. Kolmannella iteraatiokierroksella löydetään optimi x 1 = 2/5, x 2 = 9/5, z = 17/5. Kuten esimerkistä huomataan, keinomuuttujat poistuvat kannasta, eli saavat arvon 0, ensimmäisillä iteraatiokierroksilla. Tämä johtuu siitä, että niitä sakotettiin suurella kertoimella M kohdefunktiossa. Kaksivaihemenetelmä M-menetelmän numeerinen ratkaisu saattaa kärsiä pyöristysvirheistä, jotka aiheutuvat suurten ja pienten kertoimien yhtäaikaisesta käsittelystä. Tätä ongelmaa ei ole käytettäessä kaksivaihemenetelmää, jonka ensimmäisessä vaiheessa etsitään käypä aloituspiste ja toisessa vaiheessa sovelletaan normaalia 11

12 simplex-menetelmää lähtien ensimmäisessä vaiheessa löydetystä aloituspisteestä. Ratkaistaan nyt edellisen kohdan ongelma kaksivaihemenetelmällä. Vaihe I Ensimmäisessä vaiheessa rajoitusehtoihin lisätään keinomuuttujat R 1 ja R 2 samoin kuin M-menetelmässä, mutta nyt minimoidaan näiden summaa. Eli ensimmäisen vaiheen tehtävä onmuotoa min r = R 1 +R 2 s.t. 3x 1 +x 2 +R 1 = 3 4x 1 +3x 2 s 1 +R 2 = 6 x 1 +2x 2 +s 2 = 4 x 1, x 2, s 1, s 2, R 1, R 2 0 Tehtävää vastaava simplex-taulukko on kanta x 1 x 2 s 1 R 1 R 2 s 2 ratkaisu r R R s Samoin kuin M-menetelmän tapauksessa, tässä taulukossa osalla kantamuuttujista on nollasta poikkeava kerroin r-rivillä. Ongelma poistuu seuraavalla laskutoimituksella. Uusi r-rivi = vanha r-rivi + (1 R 1 -rivi + 1 R 2 -rivi) Nyt saadaan seuraava taulukko. kanta x 1 x 2 s 1 R 1 R 2 s 2 ratkaisu r R R s

13 Kahden normaalin simplex-iteraation jälkeen päädytään optimiin ja seuraavaan taulukkoon. kanta x 1 x 2 s 1 R 1 R 2 s 2 ratkaisu r x /5 3/5 1/5 0 3/5 x /5 4/5 3/5 0 6/5 s Koska optimissa r = 0, olemme löytäneet käyvän aloitusratkaisun (x 1 = 3/5, x 2 = 6/5, s 2 = 1), ja voimme siirtyä vaiheeseen 2. Mikäli optimiratkaisussa olisi r > 0, tarkoittaisi se, että alkuperäisellä tehtävällä eiolekäypää ratkaisua. Tästä eteenpäin keinomuuttujille (R 1,R 2 ) ei ole enää käyttöä, joten niitä vastaavat sarakkeet voidaan jättää pois seuraavista taulukoista. Vaihe II Vaiheessa II lähdetään siis liikkeelle vaiheessa I löydetystä käyvästä aloitusratkaisusta, mutta kohdefunktion paikalle laitetaan nyt alkuperäinen kohdefunktio z. Näin saadaan muodostettua seuraava taulukko. kanta x 1 x 2 s 1 s 2 ratkaisu z x /5 0 3/5 x /5 0 6/5 s Jälleen kantamuuttujien arvot z-rivillä poikkeavat nollasta, joten täytyy tehdä seuraava laskutoimitus. Uusi z-rivi = vanha z-rivi + (4 x 1 -rivi + 1 x 2 -rivi) Näin saimme muodostettua seuraavan taulukon, josta löydämme alkuperäisen tehtävän optimin yhdellä simplex-iteraatiolla. kanta x 1 x 2 s 1 s 2 ratkaisu z 0 0 1/5 0 18/5 x /5 0 3/5 x /5 0 6/5 s

Simplex-algoritmi. T Informaatiotekniikan seminaari , Susanna Moisala

Simplex-algoritmi. T Informaatiotekniikan seminaari , Susanna Moisala Simplex-algoritmi T-6.5 Informaatiotekniikan seminaari..8, Susanna Moisala Sisältö Simplex-algoritmi Lähtökohdat Miten ongelmasta muodostetaan ns. Simplextaulukko Miten haetaan käypä aloitusratkaisu Mitä

Lisätiedot

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli Esimerkki. Maalitehdas valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M1 ja M2. Sisämaalin maksimikysyntä on 2 tonnia/päivä. Sisämaalin

Lisätiedot

Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali

Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Käsittelemme seuraavaksi lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa. Kuten luennossa 2 esitettiin, kohdefunktion optimiarvon herkkyys z, kun rajoitusyhtälön i, 1 i m, oikea

Lisätiedot

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. Luento : Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli simerkki: Maalifirma Sateenkaari valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M ja M. Sisämaalin maksimikysyntä on tonnia/päivä.

Lisätiedot

4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen

4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen 4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen Käypä kantaratkaisu löytyy helposti, esimerkiksi tapauksessa Ax b, b 0 x 0 jolloin sen määräävät puutemuuttujat. Tällöin simplex-menetelmän alustus

Lisätiedot

Lineaarinen optimointitehtävä

Lineaarinen optimointitehtävä Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä yhtälörajoittein: min kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Merkitään: z = alkuperäisen objektifunktion arvo käsiteltävänä

Lisätiedot

Harjoitus 8: Excel - Optimointi

Harjoitus 8: Excel - Optimointi Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-2.34 Lineaarinen ohjelmointi..27 Luento 5 Simplexin implementaatioita (kirja 3.2-3.5) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 27 / Luentorunko (/2) Simplexin implementaatiot Naiivi Revised Full tableau Syklisyys

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-2.3140 Lineaarinen ohjelmointi 4.10.2007 Luento 4 Ekstreemipisteiden optimaalisuus ja Simplex (kirja 2.4-2.6, 3.1-3.2) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 2007 / 1 Luentorunko Degeneroituvuus Ekstreemipisteiden

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-.4 Lineaarinen ohjelmointi..7 Luento 7 Duaalisimple ja herkkyysanalyysi (kirja 4.5, 5., 5.5-5.6) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / Duaalisimple Herkkyysanalyysi Luentorunko Parametrinen ohjelmointi

Lisätiedot

Lineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min!

Lineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min! Lineaarinen optimointi Harjoitus 6-7, 016. 1. Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän c T x = min! (T) Ax b x 0 duaalitehtävän duaali on tehtävä (T). Ratkaisu. (P) c T x = min! Ax b x

Lisätiedot

4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä

4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 4. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi.

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi. 5..0 Tehtävä Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi. (c) (d) Arvostelu Kanta on degeneroitunut jos ja vain jos sitä vastaava kantamatriisi on singulaarinen. Optimissa muuttujan

Lisätiedot

1. Lineaarinen optimointi

1. Lineaarinen optimointi 0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R

Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä

Lisätiedot

3 Simplex-menetelmä. c T x = min! Ax = b (x R n ) (3.1) x 0. Tarvittaessa sarakkeiden järjestystä voidaan vaihtaa, joten voidaan oletetaan, että

3 Simplex-menetelmä. c T x = min! Ax = b (x R n ) (3.1) x 0. Tarvittaessa sarakkeiden järjestystä voidaan vaihtaa, joten voidaan oletetaan, että 3 Simplex-menetelmä Lähdetään jostakin annettuun LP-tehtävään liittyvästä käyvästä perusratkaisusta x (0) ja pyritään muodostamaan jono x (1), x (2),... käypiä perusratkaisuja siten, että eräässä vaiheessa

Lisätiedot

8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku

8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku 38 8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku Edellä kuvattu simplex-algoritmi tarvitsee alkuratkaisuksi käyvän kantaratkaisun eli käyvän joukon kärkipisteen. Sellaisen voi konstruoida seuraavilla tavoilla:

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-.34 Lineaarinen ohjelmointi 5..7 Luento Kertausta Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / LP ja Simplex Kurssin rakenne Duaalisuus ja herkkyysanalyysi Verkkotehtävät Kokonaislukutehtävät Lineaarinen ohjelmointi

Lisätiedot

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista x + αd, α 0, on pisteestä x R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 2.2.217 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös muotoon

Lisätiedot

Osittaistuenta Gaussin algoritmissa: Etsitään 1. sarakkeen itseisarvoltaan suurin alkio ja vaihdetaan tämä tukialkioiksi (eli ko. rivi 1. riviksi).

Osittaistuenta Gaussin algoritmissa: Etsitään 1. sarakkeen itseisarvoltaan suurin alkio ja vaihdetaan tämä tukialkioiksi (eli ko. rivi 1. riviksi). Liukuluvut Tietokonelaskuissa käytetään liukulukuja: mikä esittää lukua ± α α α M β k ± ( M α i β i )β k, i= β on järjestelmän kantaluku, α α M liukuluvun mantissa, α,, α M lukuja,,,, β, siten että α Esimerkki

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: 1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 3. Luennon sisältö

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 3. Luennon sisältö JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 3. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän sallittu alue Optimointitehtävien muunnoksia Lineaarisen yhtälöryhmän perusmuoto ja perusratkaisut Lineaarisen optimointitehtävän

Lisätiedot

1 Johdanto LP tehtävän luonteen tarkastelua Johdanto herkkyysanalyysiin Optimiarvon funktio ja marginaalihinta

1 Johdanto LP tehtävän luonteen tarkastelua Johdanto herkkyysanalyysiin Optimiarvon funktio ja marginaalihinta Sisältö Johdanto 2 LP tehtävän luonteen tarkastelua 3 Johdanto herkkyysanalyysiin 5 2 Optimiarvon funktio ja marginaalihinta 5 3 Johdanto duaaliteoriaan 6 2 LP-tehtävän standardimuoto 9 Johdanto Optimoinnista

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma

Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma Antti Rasila 2016 Matriisihajotelmat 1/2 Usein matriisiyhtälön Ax = y ratkaiseminen on epäkäytännöllistä ja hidasta. Siksi numeerisessa matriisilaskennassa usein

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Luento 6: Monitavoitteinen optimointi

Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Monitavoitteisessa optimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f,,f m Esimerkki ortfolion eli arvopaperijoukon optimoinnissa: f

Lisätiedot

5 Lineaariset yhtälöryhmät

5 Lineaariset yhtälöryhmät 5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä

Lisätiedot

Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät

Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät ja sisäpistemenetelmät Lagrangen välttämättömien ehtojen ratkaiseminen Newtonin menetelmällä Jos tehtävässä on vain yhtälörajoituksia, voidaan minimipistekandidaatteja

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot 6,

Malliratkaisut Demot 6, Malliratkaisut Demot 6, 19.2.21 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös

Lisätiedot

Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät

Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Systeemianalyysin Laboratorio 19.3.2008 Sisällys Leikkaustasomenetelmät yleisesti Leikkaustasomenetelmät generoivilla kokonaislukujoukoilla Gomoryn leikkaavat

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot 5,

Malliratkaisut Demot 5, Malliratkaisut Demot 5, 2.2.25 Tehtävä : a) Tehtävä voidaan sieventää muotoon max 5x + 9x 2 + x 3 s. t. 2x +x 2 x 3 x 3 x 2 3 x 3 3 x,x 2,x 3 Tämä on tehtävän kanoninen muoto,n = 3 jam =. b) Otetaan käyttöön

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 4

Malliratkaisut Demo 4 Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) f(x) = 2x + 21. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että imoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) f(x) = x (pienin kokonaisluku

Lisätiedot

Harjoitus 3 (31.3.2015)

Harjoitus 3 (31.3.2015) Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja

Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja Seuraavassa esitetään optimointitehtävien numeerisia ratkaisumenetelmiä, eli optimointialgoritmeja, keittokirjamaisesti.

Lisätiedot

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2

Lisätiedot

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Ellipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio

Ellipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä

Lisätiedot

Jälki- ja herkkyysanalyysi. Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun

Jälki- ja herkkyysanalyysi. Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun Jälki- ja herkkyysanalyysi Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun 1 Hinnat ja varjohinnat Objektifunktio c T x = Kerroin c j ilmoittaa, paljonko

Lisätiedot

Kimppu-suodatus-menetelmä

Kimppu-suodatus-menetelmä Kimppu-suodatus-menetelmä 2. toukokuuta 2016 Kimppu-suodatus-menetelmä on kehitetty epäsileiden optimointitehtävien ratkaisemista varten. Menetelmässä approksimoidaan epäsileitä funktioita aligradienttikimpulla.

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 3 7.3.07 Tehtävä Olkoon tilamuuttujat Tällöin saadaan rekursioyhtälö f n (x n ) = max yn {0,} ynwn xn f 0 ( ) = 0. x n = vaiheessa n jäljellä oleva paino, n =,...,N, esine n pakataan

Lisätiedot

6. Luennon sisältö. Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa

6. Luennon sisältö. Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 6. Luennon sisältö Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa työkalu ratkaisun analysointiin Jälki- ja herkkyysanalyysiä mitä tapahtuu optimiratkaisulle, jos tehtävän vakiot hieman muuttuvat

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 5 10.4.2017 Tehtävä 1 x 2 7 0,7 9,8 6 5 4 x 1 x 2 7 x 1 x 2 1 3 2 x 1 0 4,3 x 1 9 1 0,0 x 2 0 9,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S Optimointitehtävän sallittu

Lisätiedot

b 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)

b 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b) TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.

Lisätiedot

Luento 6: Monitavoiteoptimointi

Luento 6: Monitavoiteoptimointi Luento 6: Monitavoiteoptimointi Monitavoiteoptimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f 1,, f m Esimerkiksi opiskelija haluaa oppia mahdollisimman hyvin ja paljon mahdollisimman

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 4 To 15.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 4 To 15.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä matriisimuodossa Ax = b

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

Kuljetustehtävä. Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan. Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij

Kuljetustehtävä. Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan. Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij Kuljetustehtävä Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij Lähtöpaikan i kapasiteetti on a i (oletetaan, että a i > 0

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa.

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7 Matriisilaskenta Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7.1 Lineaariset yhtälöryhmät Yhtälöryhmät liittyvät tilanteisiin, joissa on monta tuntematonta

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4 MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4 Ehtamo Duaalin muodostamisen muistisäännöt Duaalin muodostamisessa voidaan käyttää muistisääntötaulukkoa, jota voidaan lukea vasemmalta oikealle tai oikealta

Lisätiedot

Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki

Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Duaalisuus binäärisissä optimointitehtävissä Lagrangen duaalisuus Lagrangen

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

Lineaarinen optimointitehtävä

Lineaarinen optimointitehtävä Lineaarinen optimointitehtävä min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n b m x 1, x 2,..., x n 0 1

Lisätiedot

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo 2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Harjoitus 5 ( )

Harjoitus 5 ( ) Harjoitus 5 (14.4.2015) Tehtävä 1 Figure 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 2 To 8.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 2 To 8.9.2011 p. 1/33 p. 1/33 Lukujen tallennus Kiintoluvut (integer) tarkka esitys aritmeettiset operaatiot

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Kirjallisuuskatsaus sisäpistemenetelmiin ja niiden soveltamiseen eri optimointiluokille (valmiin työn esittely)

Kirjallisuuskatsaus sisäpistemenetelmiin ja niiden soveltamiseen eri optimointiluokille (valmiin työn esittely) Kirjallisuuskatsaus sisäpistemenetelmiin ja niiden soveltamiseen eri optimointiluokille (valmiin työn esittely) Ilari Vähä-Pietilä 28.04.2014 Ohjaaja: TkT Kimmo Berg Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa

Lisätiedot

Operatioanalyysi 2011, Harjoitus 3, viikko 39

Operatioanalyysi 2011, Harjoitus 3, viikko 39 Operatioanalyysi 2011, Harjoitus 3, viikko 39 H3t1, Exercise 3.1. H3t2, Exercise 3.2. H3t3, Exercise 3.3. H3t4, Exercise 3.4. H3t5 (Exercise 3.1.) 1 3.1. Find the (a) standard form, (b) slack form of the

Lisätiedot

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa. BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Osakesalkun optimointi

Osakesalkun optimointi Osakesalkun optimointi Anni Halkola Epäsileä optimointi Turun yliopisto Huhtikuu 2016 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Taustatietoja 2 3 Laskumetodit 3 3.1 Optimointiongelmat........................ 4 4 Epäsileän

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

LP-mallit, L19. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto. Graafisen ratkaisun vaiheet. Optimin olemassaolo

LP-mallit, L19. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto. Graafisen ratkaisun vaiheet. Optimin olemassaolo LP-mallit, L19 Yleistä 1 LP-mallit on yksi Operaatioanalyysin (Operations Research) perustyökaluista. Perusongelma: Miten pitää suorittaa operaatio mahdollisimman hyvin, kun käytettävissä on rajalliset

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot