Demo 1: Lineaarisen tehtävän ratkaiseminen graafisesti ja Solverilla

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Demo 1: Lineaarisen tehtävän ratkaiseminen graafisesti ja Solverilla"

Transkriptio

1 MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 2 Ehtamo Demo 1: Lineaarisen tehtävän ratkaiseminen graafisesti ja Solverilla Ratkaise lineaarinen optimointitehtävä graafisesti ja Excelin Solverin avulla. a) max 8 + 3x 2 s.e x x x 2 1 0, x 2 0 b) min + x 2 s.e x x 2 1 0, x 2 0 c) Kirjoita tehtävät a) ja b) myös matriisimuodossa: min c T x s.e. Ax b x 0 Ratkaisu a) Piirretään, x 2 -kuvaajaan epäyhtälörajoitusten mukaiset suorat. Suoran piirtämisessä kannattaa esim. laskea :n ja x 2 :n arvot kahdessa eri pisteessä, joiden kautta piirtää suoran. Käypä alue jää rajoitusehtojen mukaisten suorien sisään. Optimaalinen ratkaisu löytyy piirtämällä kohdefunktion vakiokäyriä eli suoria, joissa kohdefunktio saa saman arvon. Siirrytään vakiokäyrillä kohdefunktion derivaatan eli suoran normaalin suuntaan, jolloin optimaalinen ratkaisu löytyy viimeisestä käyvästä pisteestä käyvällä alueella. Optimaalinen ratkaisu löytyy rajoitusehtosuorien 4 + 3x 2 21 ja 2x 2 1 leikkauspisteestä eli pisteestä = 4, 09 ja x 2 = 1, 55, jolloin kohdefunktion arvo on 37,36. Kannattaa muistaa, että lineaarisen optimointitehtävän ratkaisu löytyy aina jostain käyvän alueen kulmapisteestä. 1

2 x 2 48 x x x x Ratkaistaan tehtävä Excelin Ratkaisimella. Ratkaisu saadaan samalla tavalla kuin Harjoituksessa 1. Esitellään myös lineaarisen optimointitehtävän matriisiesitykseen perustuva ratkaisutapa Excelin Ratkaisimelle (kts. tehtävän c- kohta). Sijoitetaan päätösmuuttujat soluihin B2 ja C2. Sijoitetaan kustannusfunktion kertoimet soluihin B4 ja C4 ja lasketaan kustannusfunktion arvo soluun E4 kaavalla =SUMPRODUCT($B$2:$C$2;B4:C4), joka laskee yhteen vastaavien solujen tulot. $-merkit sijoitetaan soluviittauksen kirjaimen ja numeron eteen, jotta nämä solut lukkiutuvat. Näin ollen, kun kaavasolua kopioidaan alaspäin, soluviittaus pysyy samana. Kirjoitetaan 1. rajoitusehdon muuttujien kertoimet 3 ja 8 soluihin B7 ja C7 ja lasketaan kaavalla =SUMPRODUCT($B$2:$C$2;B7:C7) rajoitusehdon mukainen arvo soluun E7. Sijoitetaan rajoitusehdon mukainen vakioarvo 24 soluun G7. Toistetaan sama muille rajoitusehdoille soluihin G8 ja H8 ja käytetään näitä soluja Ratkaisimessa rajoitusehtojen asettamiseksi ja kohdefunktion solua E7 Aseta tavoite-kohdassa. b) Piirretään epäyhtälörajoitusten mukaiset suorat kuvaan käyvän alueen selvittämiseksi. Siirretään kohdefunktion vakiokäyrää kohdefunktion derivaatan suuntaan, jolloin optimaalinen ratkaisu löytyy, kun suora leikkaa käyvän alueen viimeiset arvot. Tässä tehtävässä optimaaliset ratkaisut ovat käyvän alueen reunalla eli + x 2 = 2, 0 ja x

3 x x x x Kirjoitetaan tehtävä a-kohdan mukaisessa muodossa Exceliin. Tehtävää ratkaistessa huomataan, että alkuarvoa vaihtelemalla löydetään useita ratkaisuja, joissa + x 2 = 2, kun 0 ja x 2 1. c) Tehtävä a) Päätösmuuttujat ovat pystyvektorissa x eli [ ] x1 x = ja päätösmuuttujien kustannuskertoimet ovat pystyvektorissa c eli [ ] 8 c =. 3 Näin kohdefunktiosta muodostuu max c T x = [ 8 3 ] [ ] x 2 x 2 = 8 + 3x 2. Päätösmuuttujien epäyhtälömuotoisten rajoitusehtojen kertoimet ovat matriisissa A 3 8 A = ja rajoitusehtojen arvot pystyvektorissa b eli 48 b =

4 Näin ollen rajoitusehdoista saadaan 3 8 [ ] 3 + 8x 2 48 Ax b 4 3 x1 = 4x + 3x x 2 1 Ei-negatiivisuusrajoitusehdoiksi tulee Tehtävä b) x 0 [ x1 x 2 ] [ ] 0 0 Tässä tehtävässä kohdefunktiosta muodostuu max c T x = [ 1 1 ] [ ] = x + x 2. 2 Rajoitusehdoissa on -rajoitusehtoja, jotka täytyy muuttaa -rajoitusehdoiksi kertomalla epäyhtälön molempia puolia -1:llä, jolloin epäyhtälö kääntyy eli 2 + 2x x 2 4 ja x 2 1 x 2 1. Näin rajoitusehdoista saadaan 2 2 [ ] 2 2x 2 4 Ax b 1 0 x1 = x x 2 1 ja ei-negatiivisuusrajoitusehdoiksi tulee x 0 [ x1 x 2 ] [ ] 0 0 Demo 2: Lineaarisen optimointitehtävän formulointi Suomen Teräs Oy on heikentyneen taloustilanteen vuoksi päättänyt optimoida tuotantoaan, joka koostuu hiiliteräksestä, ruostumattomasta teräksestä ja työkaluteräksestä. Yrityksellä on viikon aikana käytettävissä 100 tonnia rautaa ja 10 tonnia kromia tuotantoaan varten. Kaksivuoroisen työviikon ansiosta tehokasta työaikaa on 80 h. Yhden hiiliterästonnin tuottamiseen tarvitaan 1,1 tonnia rautaa ja 1 h työaikaa. Yhden ruostumattoman terästonnin tuottamiseen menee 1 tonni rautaa, 0,1 tonnia kromia ja 1 h 15 min työaikaa. Yksi työkaluterästonni taasen tarvitsee 1 tonnin rautaa, 0,15 tonnia kromia ja 1 h 45 min työaikaa. Yritys on myös tehnyt United Components Ltd.:n kanssa sopimuksen, jonka mukaan yritys toimittaa United Componentsille joka viikko 25 tonnia hiiliterästä markkinahintaan. Nykyisten markkinahintojen mukaan hiiliteräksestä maksetaan 400 e/tonni, ruostumattomattomasta teräksestä 500 e/tonni ja työkaluteräksestä 700 e/tonni. Kuinka paljon yrityksen tulee tuottaa kutakin terästyyppiä saadaakseen suurimman tuoton teräksen myynnistä? Formuloi lineaarinen optimointitehtävä ja ratkaise se Excelin Solverilla. 4

5 Ratkaisu Valitaan päätösmuuttujiksi tuotantomäärät tonneina: := x 2 := x 3 := hiiliteräksen määrä ruostumattoman teräksen määrä työkaluteräksen määrä Tavoitteena on maksimoida tuotannosta saatavaa voittoa eli terästen hintoja kerrottuna terästen määrillä: max x x 3. Kaikkien terästen tuotannossa vaadittua rautaa on käytettävissä viikon aikana 100 tonnia, mikä rajoittaa terästen tuotantomäärää, koska yksi hiiliterästonni vaatii rautaa 1,1 tonnia, yksi ruostumaton terästonni 1 tonnin ja työkaluterästonni myös 1 tonnin: 1, 1 + x 2 + x Ruostumattoman ja työkaluteräksen tuotanto tarvitsee myös kromia, jota on viikon aikana käytössä 10 tonnia ja jota tarvitaan 0,1 tonnia yhteen ruostumattomaan terästonniin ja 0,15 tonnia työkaluterästonniin: 0, 1x 2 + 0, 15x Tuotannossa on tehokasta työaikaa 80 tuntia, mikä rajoittaa kaikkien terästen tuotantoa, koska yhden hiiliterästonnin valmistamiseen kuluu työaikaa 1 h, yhteen ruostumattomaan terästonniin 1,25 h ja yhteen työkaluterästonniin 1,75 h: + 1, 25x 2 + 1, 75x Yritys on tehnyt sopimuksen, jonka mukaan se tuottaa vähintään 25 tonnia hiiliterästä, jolloin rajoitusehdoksi saadaan: 25. Terästen tuotantomäärät eivät voi olla negatiivisia eli rajoitetaan ne vähintää nolliksi: 0, x 2 0 ja x 3 0. Ratkaistaan tehtävä Excelin ratkaisimella. Ratkaisuksi saadaan, että tehtaan tulee tuottaa vain vaaditut 25 tonnia hiiliterästä ja käyttää loput resurssit työkaluteräkseen, jota tuotetaan 31,42 tonnia. Näin saadaan e tuottoa. 5

6 Tehtävä 1: Lineaarisen tehtävän ratkaiseminen Ratkaise lineaarinen optimointitehtävä graafisesti ja Excelin Solverin avulla. Kuvaa käyvästä alueesta ei tarvitse laatia itse. a) max 6 + 5x 2 s.e x x x x 2 1 0, x 2 0 b) min 6 + 5x 2 s.e x x x 2 9 0, x 2 0 Ratkaisu a) Piirretään käypä alue ja kohdefunktion vakiokäyriä. Tehtävän ratkaisuksi saadaan rajoitusehtosuorien 5 + 3x 2 12 ja 3 + 8x 2 24 leikkauspiste eli = 0, 774 ja x 2 = 2, 710, jolloin kohdefunktion arvoksi tulee 20,13. Sama ratkaisu löytyy myös Excelin Ratkaisimella x x x x x 2 1 x b) Rajoitusehdot määrittelevät käyvän alueen ja kohdefunktion vakiokäyrät. Tehtävän ratkaisuksi saadaan = 0 ja x 2 = 3 eli rajoitusehtosuorien 0 ja 6

7 3 + 5x 2 15 leikkauspiste, jolloin kohdefunktion arvoksi saadaan 15. Samaan ratkaisuun päädytään myös Excelin Ratkaisimella x x 2 15 x x 2 14 x Tehtävä 2: Putte-Possun nimipäivät Putte-Possulla on nimipäiväjuhlat. Perinteisille juhlille saapuu joka vuosi entistä enemmän väkeä, ja tänä vuonna paikalle Putte odottaa 100 henkilöä. Juhlat eivät tosin ole mitään ilman tarjoiluja, ja Puten onkin valmistettava juhlaväelle valtava määrä herkkuja. Jotta hommat eivät paisuisi ihan mahdottomuuksiin, Putte on rajannut tarjoilut kolmeen vaihtoehtoon: täytekakku, jättikeksit ja pullat. Täytekakusta riittää syömistä 10 henkilölle, keksistä yhdelle ja pullasatsista 20 henkilölle. Juhliin on valitettavasti enää 10 h aikaa, ja sitä ennen pitäisi kaikki olla valmista. Yhden kakun tekemiseen hän tarvitsee 30 min tehokasta työaikaa, kekseihin menee keskimäärin 1 min, ja pullan leipomiseen 40 min. Vuosittaiset nimipäiväjuhlat käyvät Puten säästöjen päälle, joten kulujen kanssa on oltava tarkkana. Kakun ainekset maksavat 5 e, pullataikinan 10 e ja keksin 1 e. Minkälaiset määrät kutakin sorttia Puten kannattaa tehdä, jotta hän pääsisi mahdollisimman halvalla? Huomaa kuitenkin, että Putte on herrasmies, eikä hän kehtaa tarjota ainoastaan yhtä sorttia. Kutakin lajiketta on oltava tarjolla vähintään 20 henkilölle, ja kakkua on oltava tarjolla kaksi kertaa useammalle kuin keksejä. Formuloi tehtävä lineaarisena optimointitehtävänä, ja ratkaise se Excelillä. 7

8 Ratkaisu Valitaan päätösmuuttujiksi tarjoiltavien herkkujen määrät: := x 2 := x 3 := täytekakkujen määrä (kpl) keksien määrä (kpl) pullasatsien määrä (kpl) Putte-Possu minimoi herkkujen valmistusaineista aiheutuvat kustannukset: min 5 + x x 3. Juhliin Putte arvioi saapuvan 100 henkilöä, joille kaikille hän haluaa herkkujensa riittävän. Täytekakku ruokkii 10 henkilöä, keksi yhden henkilön ja pullasatsi 20 henkilöä, jolloin rajoitusehdoksi saadaan: 10 + x x Putte herrasmiehenä haluaa, että jokaista herkkua on vähintään 20 hengelle tarjolla, joten: 10 20, x 2 20 ja 20x Putte haluaa myös, että täytekakkua on tarjolla kaksi kertaa useammalle kuin keksejä eli: 10 2 x 2. Putella on 600 min aikaa valmistella herkut ja koska täytekakun valmistamiseen kuluu aikaa 30 min, keksiin 1 min ja pullasatsiin 40 min. Näin saadaan rajoitusehto: 30 + x x Herkkujen valmistusmäärät eivät voi olla negatiivisia, joten: 0, x 2 0 ja x 3 0. Ratkaistaan tehtävä Excelin Ratkaisimella, jolloin saadaan ratkaisuksi, että Putte valmistaa 6 täytekakkua, 20 keksiä ja yhden pullasatsin. Näiden valmistusaineet aiheuttavat 60 e:n kustannukset. Optimiratkaisu toteuttaa epäyhtälörajoitukset yhtälöinä, eli rajoitukset ovat aktiivisia. Pisteissä, joissa rajoitusehdot eivät ole aktiivisia, kohdefunktion arvo on pienempi kuin optimissa. Tehtävällä on itse asiassa useita ratkaisuja, ja 60 e:n kustannuksiin päästään muillakin päätösmuuttujien arvoilla kuin edellä esitetyillä. 8

9 Tehtävä 3: Asuinalueen kaavoitus Rakennusyhtiö omistaa 800 ha maata, jolle voidaan rakentaa omakoti-, pari- sekä kolmiperhetaloja. Arvioidaan, että omakotitalo voidaan myydä hintaan e, sen vaatima maapinta-ala on 1 ha, rakentaminen aiheuttaa kustannuksen e, ja sen vedenkulutus on l/vrk. Paritalon kohdalla vastaavat arvot ovat e, 1,5 ha, e, l/vrk, ja kolmiperhetalolle e, 2 ha, e ja l/vrk. ˆ Vähintään 50 % rakennettavista taloista on oltava omakotitaloja. ˆ Alueen vedenkulutus ei saa ylittää l/vrk. ˆ Jokaista 200 perhettä kohti on varattava pinta-alaltaan 0,5 ha suuruinen virkistysalue. Virkistysalueiden kustannukset ovat e ja vedenkulutus on l/vrk. ˆ Katujen yms. rakentamiseen käytetään 15 % koko alueen pinta-alasta. Muodosta lineaarinen optimointitehtävä, ratkaise se Excelin Solverilla ja tutki, mitä taloja yhtiön tulisi rakentaa talojen tuottamien tulojen maksimoimiseksi. Huomaa. Lineaarisen tehtävän voi ratkaista myös kokonaislukutehtävänä rajoittamalla muuttujat kokonaisluvuiksi (integer) Solverin Constraints-kohdassa int rajoitteella. Ratkaisu Valitaan päätösmuuttujiksi rakennettavien talojen ja virkistysalueiden määrät: := x 2 := x 3 := x 4 := omakotitalojen määrä (kpl) paritalojen määrä (kpl) kolmiperhetalojen määrä (kpl) virkistysalueiden määrä (kpl) Rakennusyhtiö pyrkii maksimoimaan taloista saamaansa voittoa, joka jää, kun taloista saaduista myyntituloista vähennetään rakennuskustannukset: max x x x x x 4 Omakotitalojen määrän tulee olla vähintään puolet rakennettavien talojen kokonaismäärästä, jolloin saadaan rajoitusehto: 1 2 ( + x 2 + x 3 ) x x 3 0. Alueen vedenkulutus ei saa olla yli l/vrk, kun omakotitalo kuluttaa l/vrk, paritalo l/vrk, kolmiperhetalo 3200 l/vrk ja virkistysalue 2500 l/vrk eli: x x x Jokaista 200 perhettä kohti tulee olla yksi virkistysalue, joten rajoitusehdoksi tulee, kun omakotitalossa yksi perhe, paritalossa kaksi ja kolmiperhetalossa kolme: x ( + 2x 2 + 3x 3 ) x x 3 + x

10 Rakennusyhtiöllä on käytettävissä 800 hehtaaria (ha) maata, josta 15 % (120 ha) käytetään katujen yms. rakentamiseen, jolloin talojen ja virkistysalueiden rakentamista rajoittaa käytettävissä oleva pinta-ala, kun omakotitalo tarvitsee maata 1 ha, paritalo 1,5 ha, kolmiperhetalo 2 ha ja virkistysalue 0,5 ha: + 1, 5x 2 + 2x 3 + 0, 5x Talojen ja virkistysalueiden määrät eivät voi olla negatiivisia, jolloin rajoitetaan päätösmuuttujat seuraavasti: 0, x 2 0, x 3 0 ja x 4 0. Ratkaistaan tehtävä Excelin Ratkaisimella, jolloin ratkaisuksi saadaan, että yrityksen tulee rakentaa noin 180 omakotitaloa, 180 paritaloa, ei yhtään kolmiperhetaloa ja 3 virkistysaluetta, jolloin yrityksen tuotoiksi tulee noin 23 miljoonaa e. Tehtävän muuttujat voidaan myös asettaa Excelin Ratkaisimessa kokonaisluvuiksi lisäämällä Reunaehto-kohtaan viittaus päätösmuuttujien soluihin ja valitsemalla rajoitukseksi kok. Tällöin ratkaisuksi saadaan 182 omakotitaloa, 177 paritaloa, ei yhtään kolmiperhetaloa ja 3 virkistysaluetta. Tehtävä 4: 3-ulotteinen graafinen ratkaiseminen Ratkaise tehtävä graafisesti (kuvaa käyvästä alueesta ei tarvitse laatia itse). Tarkista vastauksesi Excelin Solverilla. max 4x + 2y + 11z s.e. x + 2y + 3z 15 x + z 6 z 2 x 0, y 0, z 0 Ratkaisu Piirretään rajoitusehtojen mukaiset tasot x, y, z-kuvaajaan, jolloin saadaan esiin käypä alue. 10

11 Piirretään kohdefunktion vakiokäyrä, tässä tasopinta, ja siirretään sitä tason normaalin suuntaan, kunnes käyvästä alueesta jää jäljellä vain yksi piste, optimaalinen ratkaisu. Optimaalinen ratkaisu on x = 4, y = 2, 5 ja z = 2, jolloin kohdefunktion arvo on 43. Tehtävä 5: Herkkyysanalyysi* *Ylimääräinen tehtävä; ei esitellä taululla Tässä tehtävässä tutustutaan Excelin Ratkaisimen herkkyysanalyysiraporttiin. Ratkaise tehtävä 2 Ratkaisimen avulla, jolloin avautuu Ratkaisimen tulokset-ikkuna, jonka oikeasta reunasta valitaan halutut raportit (Herkkyysanalyysi, Vastaus ja Rajoitus). Selvitä mitä raporttien arvot kuvaavat. Tutki erityisesti Varjohintaa. Vinkki. Koita miten optimiratkaisu muuttuu, kun muutat esimerkiksi jonkin epäyhtälörajoituksen vakiotermiä yhdellä ja ratkaiset tehtävän uudelleen. Ratkaisu Tutkitaan Tehtävän 2 ratkaisua valitsemalla Ratkaisimen tulokset-ikkunasta Herkkyysanalyysi-kohta, jolloin Excel luo tiedostoon uuden sivun, jossa tutkitaan lineaarisen mallin herkkyyttä. Valitaan samalla myös Vastaus- ja Rajoitus-kohdat. Näin avautuu kolme uutta välilehteä, joista löytyy vastaavat raportit. 11

12 Vastaus-välilehdeltä ensimmäiseltä riviltä löytyy Ratkaisimen kohdefunktion lähtöja loppuarvo. Seuraavaksi löytyy päätösmuuttujien alku- ja loppuarvot ja Kokonaisluku-kohdasta nähdään, että onko muuttuja reaaliarvoinen vai kokonaisluku. Reunaehdot-kohdasta nähdään rajoitusehdon saama arvo, rajoitusehdon soluviittausten kaavat. Tila-kohta kertoo onko rajoitusehto sitova (yhtäsuuruus pätee) vai ei. Liukuma-kohta kertoo kuinka paljon rajoitusehdon saama arvo pystyy muuttumaan (ennen kuin yhtäsuuruus pätee). Herkkyys-välilehden ensimmäisessä osassa nähdään päätösmuuttujien lopulliset arvot, Vähentyneet kustannukset-kohta kertoo kuinka paljon muuttujan kohdefunktion kertoimen tulee kasvaa ennen kuin muuttuja siirtyy kantaan (kantamuuttujille arvo on 0), ja Tavoitekerroin ilmaisee kuinka paljon kohdefunktion arvo muuttuu, jos tietyn päätösmuuttujan arvoa muutetaan yhdellä. Sallittu lisäys ja vähennys kertovat kuinka paljon päätösmuuttujan kerroin kohdefunktiossa saa lisääntyä tai vähentyä ennen kuin optimaalisen ratkaisun päätösmuuttujien arvot muuttuvat. Välilehden toisessa osassa Varjohinta kertoo kuinka paljon kohdefunktion arvo kasvaa, jos rajoitusehdon vakiotermin arvoa kasvatetaan yhdellä. Oikean puolen reunaehto kertoo rajoitusehdon vakiotermin arvon ja Sallittu lisäys ja vähennys kertovat kuinka paljon vakiotermin arvo voi lisääntyä tai vähentyä ilman, että optimaalisen ratkaisun päätösmuuttujien arvot muuttuvat. Rajoitus-välilehdeltä löytyy ensimmäisenä kohdefunktion arvo. Toisess osiossa kerrotaan jokaisen päätösmuuttujan nykyinen arvo, sen mahdollisimman pieni ja suuri arvo ja näillä arvoilla saatavat kohdefunktion arvot, kun muiden päätösmuuttujien arvot pysyvät vakioina. 12

13 Huomaa. Tehtävällä on kaksi optimaalista ratkaisua, joissa = 4 ja x 3 = 2 tai = 5 ja x 3 = 1, mikä vaikuttaa raportin antamiin kohdefunktion arvoihin. 13

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4 MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4 Ehtamo Duaalin muodostamisen muistisäännöt Duaalin muodostamisessa voidaan käyttää muistisääntötaulukkoa, jota voidaan lukea vasemmalta oikealle tai oikealta

Lisätiedot

Demo 1: Simplex-menetelmä

Demo 1: Simplex-menetelmä MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 12. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla

Talousmatematiikan perusteet: Luento 12. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Talousmatematiikan perusteet: Luento 12 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,

Lisätiedot

Harjoitus 8: Excel - Optimointi

Harjoitus 8: Excel - Optimointi Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,

Lisätiedot

Demo 1: Excelin Solver -liitännäinen

Demo 1: Excelin Solver -liitännäinen MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 1 Ehtamo Demo 1: Excelin Solver -liitännäinen Ratkaise tehtävä käyttäen Excelin Solveria. max 3x 1 + x 2 s.e. 2x 1 + 5x 2 8 4x 1 + 2x 2 5 x 1, x 2 0 Ratkaisu

Lisätiedot

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli Esimerkki. Maalitehdas valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M1 ja M2. Sisämaalin maksimikysyntä on 2 tonnia/päivä. Sisämaalin

Lisätiedot

30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset

30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset 30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset Mitä on lineaarinen optimointi (LP)? LP= lineaarinen optimointiongelma (Linear Programming) Menetelmä, jolla etsitään

Lisätiedot

Demo 1: Branch & Bound

Demo 1: Branch & Bound MS-C05 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 7 Ehtamo Demo : Branch & Bound Ratkaise lineaarinen kokonaislukuoptimointitehtävä käyttämällä Branch & Boundalgoritmia. max x + x s.e. x + 4x 9 5x + x 9 x Z

Lisätiedot

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. Luento : Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli simerkki: Maalifirma Sateenkaari valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M ja M. Sisämaalin maksimikysyntä on tonnia/päivä.

Lisätiedot

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen

Lisätiedot

Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R

Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet

Talousmatematiikan perusteet kevät 19 / orms.30 Talousmatematiikan perusteet 8. harjoitus, viikko 11 (11.03..03.19) L Ma 12 A2 R0 Ti 14 16 F43 R01 Ma 12 14 F43 L To 08 A2 R02 Ma 16 18 F43 R06 To 12 14 F140 R03 Ti 08 F42 R07 Pe 08

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali

Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Käsittelemme seuraavaksi lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa. Kuten luennossa 2 esitettiin, kohdefunktion optimiarvon herkkyys z, kun rajoitusyhtälön i, 1 i m, oikea

Lisätiedot

Lineaarinen optimointitehtävä

Lineaarinen optimointitehtävä Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä yhtälörajoittein: min kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Merkitään: z = alkuperäisen objektifunktion arvo käsiteltävänä

Lisätiedot

Lineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min!

Lineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min! Lineaarinen optimointi Harjoitus 6-7, 016. 1. Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän c T x = min! (T) Ax b x 0 duaalitehtävän duaali on tehtävä (T). Ratkaisu. (P) c T x = min! Ax b x

Lisätiedot

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 4/2008, Ratkaisut

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 4/2008, Ratkaisut Projektien valintapäätöksiä voidaan pyrkiä tekemään esimerkiksi hyöty-kustannus-suhteen (so. tuottojen nykyarvo per kustannusten nykyarvo) tai nettonykyarvon (so. tuottojen nykyarvo - kustannusten nykyarvo)

Lisätiedot

1. Lineaarinen optimointi

1. Lineaarinen optimointi 0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x

Lisätiedot

b 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)

b 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b) TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}

Lisätiedot

1 Johdanto LP tehtävän luonteen tarkastelua Johdanto herkkyysanalyysiin Optimiarvon funktio ja marginaalihinta

1 Johdanto LP tehtävän luonteen tarkastelua Johdanto herkkyysanalyysiin Optimiarvon funktio ja marginaalihinta Sisältö Johdanto 2 LP tehtävän luonteen tarkastelua 3 Johdanto herkkyysanalyysiin 5 2 Optimiarvon funktio ja marginaalihinta 5 3 Johdanto duaaliteoriaan 6 2 LP-tehtävän standardimuoto 9 Johdanto Optimoinnista

Lisätiedot

Luento 6: Monitavoitteinen optimointi

Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Monitavoitteisessa optimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f,,f m Esimerkki ortfolion eli arvopaperijoukon optimoinnissa: f

Lisätiedot

4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä

4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 4. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot 6,

Malliratkaisut Demot 6, Malliratkaisut Demot 6, 19.2.21 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

Harjoitus 10: Optimointi II (Matlab / Excel)

Harjoitus 10: Optimointi II (Matlab / Excel) Harjoitus 10: Optimointi II (Matlab / Excel) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen ja ratkaiseminen

Lisätiedot

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi

TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Jussi Hakanen Tietotekniikan laitos jussi.hakanen@jyu.fi AgC 426.3 Yleiset tiedot Tietotekniikan kandidaattiopintojen valinnainen kurssi http://users.jyu.fi/~jhaka/ldo/

Lisätiedot

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 Ehtamo Demo 1: Arvaa lähimmäksi Jokainen opiskelija arvaa reaaliluvun välillä [0, 100]. Opiskelijat, joka arvaa lähimmäksi yhtä kolmasosaa (1/3) kaikkien

Lisätiedot

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit

Lisätiedot

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi.

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi. 5..0 Tehtävä Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi. (c) (d) Arvostelu Kanta on degeneroitunut jos ja vain jos sitä vastaava kantamatriisi on singulaarinen. Optimissa muuttujan

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 2.2.217 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös muotoon

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet

Talousmatematiikan perusteet kevät 2019 / orms.1030 Talousmatematiikan perusteet 7. harjoitus, viikko 7 1. Oheisessa taulukossa on erään tuotteen hintaindeksejä. Laske hinnan keskimääräinen kasvuvauhti vuosina 2000-2005 vuosi indeksi

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 5 10.4.2017 Tehtävä 1 x 2 7 0,7 9,8 6 5 4 x 1 x 2 7 x 1 x 2 1 3 2 x 1 0 4,3 x 1 9 1 0,0 x 2 0 9,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S Optimointitehtävän sallittu

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa

Lisätiedot

Luento 3: Simplex-menetelmä

Luento 3: Simplex-menetelmä Luento 3: Simplex-menetelmä Kuten graafinen tarkastelu osoittaa, LP-tehtävän ratkaisu on aina käyvän alueen kulmapisteessä, eli ekstreemipisteessä (extreme point). Simplex-menetelmässä ekstreemipisteitä,

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) vasemman puolen

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x

Lisätiedot

6. Luennon sisältö. Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa

6. Luennon sisältö. Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 6. Luennon sisältö Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa työkalu ratkaisun analysointiin Jälki- ja herkkyysanalyysiä mitä tapahtuu optimiratkaisulle, jos tehtävän vakiot hieman muuttuvat

Lisätiedot

Lineaarinen optimointitehtävä

Lineaarinen optimointitehtävä Lineaarinen optimointitehtävä min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n b m x 1, x 2,..., x n 0 1

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 5 2.2.28 Tehtävä a) Tehtävä voidaan sieventää muotoon max 5x + 9x 2 + x 3 s. t. 2x + x 2 + x 3 x 3 x 2 3 x 3 3 x, x 2, x 3 Tämä on tehtävän kanoninen muoto, n = 3 ja m =. b) Otetaan

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 4

Malliratkaisut Demo 4 Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) f(x) = 2x + 21. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että imoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) f(x) = x (pienin kokonaisluku

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-2.3140 Lineaarinen ohjelmointi 4.10.2007 Luento 4 Ekstreemipisteiden optimaalisuus ja Simplex (kirja 2.4-2.6, 3.1-3.2) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 2007 / 1 Luentorunko Degeneroituvuus Ekstreemipisteiden

Lisätiedot

Y56 Laskuharjoitukset 4 Palautus viim. ti klo (luennolla!) Opiskelijan nimi. Opiskelijanumero

Y56 Laskuharjoitukset 4 Palautus viim. ti klo (luennolla!) Opiskelijan nimi. Opiskelijanumero Y56 Kevät 2010 1 Y56 Laskuharjoitukset 4 Palautus viim. ti 30.3. klo 12-14 (luennolla!) Opiskelijan nimi Opiskelijanumero Harjoitus 1. Tuotantoteknologia Tavoitteena on oppia hahmottamaan yrityksen tuotantoa

Lisätiedot

4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen

4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen 4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen Käypä kantaratkaisu löytyy helposti, esimerkiksi tapauksessa Ax b, b 0 x 0 jolloin sen määräävät puutemuuttujat. Tällöin simplex-menetelmän alustus

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Luento 6: Monitavoiteoptimointi

Luento 6: Monitavoiteoptimointi Luento 6: Monitavoiteoptimointi Monitavoiteoptimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f 1,, f m Esimerkiksi opiskelija haluaa oppia mahdollisimman hyvin ja paljon mahdollisimman

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Demo 1: Pareto-optimaalisuus

Demo 1: Pareto-optimaalisuus MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 6 Ehtamo Demo 1: Pareto-optimaalisuus Tunnista Pareto-optimaaliset ratkaisut. a) Risk FTW solutions ltd. Creative Solutions ltd. Focus inc. SoftCorp inc. Tull

Lisätiedot

Harjoitus 5 ( )

Harjoitus 5 ( ) Harjoitus 5 (14.4.2015) Tehtävä 1 Figure 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 4 3.4.017 Tehtävä 1 Tarkastellaan harjoituksen 1 nopeimman reitin ongelmaa ja etsitään sille lyhin virittävä puu käyttämällä kahta eri algoritmia. a) (Primin algoritmi) Lähtemällä

Lisätiedot

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9.

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9. Python linkit: Python tutoriaali: http://docs.python.org/2/tutorial/ Numpy&Scipy ohjeet: http://docs.scipy.org/doc/ Matlabin alkeet (Pääasiassa Deni Seitzin tekstiä) Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä.

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku

8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku 38 8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku Edellä kuvattu simplex-algoritmi tarvitsee alkuratkaisuksi käyvän kantaratkaisun eli käyvän joukon kärkipisteen. Sellaisen voi konstruoida seuraavilla tavoilla:

Lisätiedot

2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa

2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa Monissa käytännön tilanteissa, joiden kaltaisista kappaleessa Epäyhtälöryhmistä puhuttiin, tärkeämpää kuin yleinen mahdollisten ratkaisujen etsiminen, on löytää tavalla tai toisella jotkin tavoitteet täyttävät

Lisätiedot

KKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n.

KKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n. TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.139 Optimointioppi Kimmo Berg 7. harjoitus - ratkaisut 1. Oletetaan aluksi, että epäyhtälöt eivät ole aktiivisia p i > 0. Tässä tapauksess KKTehdot

Lisätiedot

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: 1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n

Lisätiedot

Johdatus verkkoteoriaan luento Netspace

Johdatus verkkoteoriaan luento Netspace Johdatus verkkoteoriaan luento 3.4.18 Netspace Matriisioperaatio suunnatuissa verkoissa Taustoitusta verkkoteorian ulkopuolelta ennen kuljetusalgoritmia LP-ongelma yleisesti LP = linear programming =

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 15. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 15. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta Talousmatematiikan perusteet: Luento 15 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden rajoittamatonta optimointia:

Lisätiedot

Harjoitus 7: vastausvihjeet

Harjoitus 7: vastausvihjeet Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.

Lisätiedot

Jälki- ja herkkyysanalyysi. Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun

Jälki- ja herkkyysanalyysi. Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun Jälki- ja herkkyysanalyysi Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun 1 Hinnat ja varjohinnat Objektifunktio c T x = Kerroin c j ilmoittaa, paljonko

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 3. Luennon sisältö

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 3. Luennon sisältö JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 3. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän sallittu alue Optimointitehtävien muunnoksia Lineaarisen yhtälöryhmän perusmuoto ja perusratkaisut Lineaarisen optimointitehtävän

Lisätiedot

Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita.

Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tehtävä 1 Mitä seuraavat käsitteet tarkoittavat? Monitahokas (polyhedron).

Lisätiedot

Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien

Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien ratkaiseminen Jerri Nummenpalo 17.09.2012 Ohjaaja: TkT Juuso Liesiö Valvoja: Prof. Ahti Salo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla.

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-.4 Lineaarinen ohjelmointi..7 Luento 7 Duaalisimple ja herkkyysanalyysi (kirja 4.5, 5., 5.5-5.6) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / Duaalisimple Herkkyysanalyysi Luentorunko Parametrinen ohjelmointi

Lisätiedot

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Luento 7: Kokonaislukuoptimointi

Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Lineaarisessa optimointitehtävässä (LP) kaikki muuttujat ovat jatkuvia. Kokonaislukuoptimoinnin (ILP = Integer LP) tehtävässä kaikilla muuttujilla on kokonaislukurajoitus

Lisätiedot

Lineaarinen optimointi

Lineaarinen optimointi L u e n t o Tuotevalikoimapäätökset Lineaarinen optimointi Luennon sisältö LP:n perusteet Mallien ratkaiseminen Kuinka paljon kahta tuotetta (A ja B) tulisi valmistaa seuraavan kuukauden tuoton maksimoimiseksi,

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

LP-mallit, L19. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto. Graafisen ratkaisun vaiheet. Optimin olemassaolo

LP-mallit, L19. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto. Graafisen ratkaisun vaiheet. Optimin olemassaolo LP-mallit, L19 Yleistä 1 LP-mallit on yksi Operaatioanalyysin (Operations Research) perustyökaluista. Perusongelma: Miten pitää suorittaa operaatio mahdollisimman hyvin, kun käytettävissä on rajalliset

Lisätiedot

OPERAATIOANALYYSI ORMS.1020

OPERAATIOANALYYSI ORMS.1020 VAASAN YLIOPISTO Talousmatematiikka Prof. Ilkka Virtanen OPERAATIOANALYYSI ORMS.1020 Tentti 2.2.2008 1. Yrityksen tavoitteena on minimoida tuotannosta ja varastoinnista aiheutuvat kustannukset 4 viikon

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 4

Malliratkaisut Demo 4 Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) () = 2+1. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että minimoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) () = (suurin kokonaisluku

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2

73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2 73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2 Risto Silvennoinen Tampereen teknillinen yliopisto, kevät 2004 1. Peruskäsitteet Optimointiteoria on sovelletun matematiikan osa-alue, jossa tutkitaan funktioiden

Lisätiedot

Harjoitus 5 ( )

Harjoitus 5 ( ) Harjoitus 5 (24.4.2014) Tehtävä 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

Lineaarinen yhtälöryhmä

Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät

Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Systeemianalyysin Laboratorio 19.3.2008 Sisällys Leikkaustasomenetelmät yleisesti Leikkaustasomenetelmät generoivilla kokonaislukujoukoilla Gomoryn leikkaavat

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

1 Rajoitettu optimointi I

1 Rajoitettu optimointi I Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,

Lisätiedot

Luento 7: Kokonaislukuoptimointi

Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Lineaarisessa optimointitehtävässä (LP) kaikki muuttujat ovat jatkuvia. Kokonaislukuoptimoinnin (ILP = Integer LP) tehtävässä kaikilla muuttujilla on kokonaislukurajoitus

Lisätiedot

Kon Konepajojen tuotannonohjaus: ILOG CPLEX Studion käyttö

Kon Konepajojen tuotannonohjaus: ILOG CPLEX Studion käyttö Kon-15.4199 Konepajojen tuotannonohjaus: ILOG CPLEX Studion käyttö 22.1.2016 Harjoituksessa 1. Varmistetaan että kaikilla on pari! Ilmoittautukaa oodissa etukäteen! 2. Tutustutaan ensimmäiseen tehtävään

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }.

[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }. Mat-2.48 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 3. Johdetaan lineaarisen aikainvariantin seurantatehtävän yleinen ratkaisu neliöllisellä kustannuksella. Systeemi: x k+

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot