Lineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min!
|
|
- Raimo Pesonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Lineaarinen optimointi Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän c T x = min! (T) Ax b x 0 duaalitehtävän duaali on tehtävä (T). Ratkaisu. (P) c T x = min! Ax b x 0 A R m n x, c R n b R m Väite: Tehtävän (P) duaalin duaali on (P). Duaalitehtävä on muotoa (D) λ T b = max! λ T A c T λ 0 λ T ( b) = min! λ T ( A) c T λ 0 λ R m λ T b = min! λ T Ã c T λ 0 Tässä λ T b = bt λ ja λ T Ã c T ÃT λ c. Siis bt λ = min! (D) Ã T λ c λ R m λ 0 Tämän tehtävän duaali on: x T c = max! x T Ã T b T x 0 c T x = min! Ax b x 0. Määrää tehtävän 900x x = min! x 1 + x 5 x 1 + 3x 9 duaalin ratkaisu simplex-taulukon avulla.
2 Ratkaisu. Muodostetaan simplex taulukko: A 1 A A 3 A 4 b r T : Kanta vastaa duaalisallittua ratkaisua, koska c j z j > 0, joten valitaan (x B ) i < 0 ja poistetaan sitä vastaava muuttuja kannasta. Valitaan esim. i =. Laketaan min{ z j c j y j } = 450 j = 1. Tukialkio on y,1. Suoritetaan taulukon päivitys, saadaan: Seuraava tukialkio on y 1 = 1. Päivitetään taulukko, saadaan: Tehtävän duaalin ratkaisu on (-500,-00) ja tehtävän ratkaisu on x = (3, 1). Kustannusfunktion optimiarvo on 4300 molemmille tehtäville. 3. Ratkaise tehtävä duaalisella simplex-menetelmällä. 7x 1 + 7x x 3 x 4 6x 5 = min! 3x 1 x + x 3 x 4 = 3 x 1 + x + x 4 + x 5 = 4 x 1 + 3x 3x 4 + x 6 = 1 x i 0 i = 1,..., 6 Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävä simplex-taulukon muotoon: A 1 A A 3 A 4 A 5 A 6 b r T :
3 Modostetaan kanta vektoreista {A 3, A 5, A 6 }, ts. kerrotaan 1.rivi :lla ja summataan viimeisseen ja kerrotaan.rivi 6:lla ja summataan viimeiseen. Saadaan Kanta vastaa nyt duaalisallittua ratkaisua, koska kaikki c j z j > 0 mutta x B ei ole sallittu. Valitaan jokin (x B ) i < 0 poistettavaksi kannasta (tässä tapauksessa i=1). Tukialkio löytyy laskemalla suhteet z j c j y 1j, y 1j < 0 ja valitsemalla minimiä vastaava indeksi (ts. valitaan min{ 11, 1 }). Tukialkio on y Päivitetään taulukko, saadaan: Ratkaisu x = (x 1, x, x 3, x 4, x 5, x 6 ) = (0, 0, 0, 3, 5, 33 ). Kustannusfunktion optimiarvo on Ratkaise dual-simplex menetelmällä (taulukko) tehtävät: (a) (b) minimoi x 1 + x + x 4 + x 5 rajoittein x 1 x + x 3 x 4 x 5 = 8 x 1 + x + 6x 4 + x 5 + x 6 = 10 ja x i 0. minimoi x 1 + x rajoittein x 1 + x + x 3 = 1 x 1 x ja x i 0. + x 4 = Ratkaisu. (a) A 1 A A 3 A 4 A 5 A 6 b r T :
4 Nyt kanta {x 3, x 6 } on duaalisallittu, mutta ei käypä. Poistamme muuttujan x 3 = 8 kannasta ja tuomme tilalle muuttujan x 1. A 1 A A 3 A 4 A 5 A 6 b r T : Tehtävän ratkaisu on x = (4, 0, 0, 0, 0, 6) ja kustannusfunktion arvo on 4. (b) A 1 A A 3 A 4 b r T : Nyt kanta {x 3, x 4 } on duaalisallittu, mutta ei käypä. Poistamme muuttujan x 4 = kannasta ja tuomme tilalle muuttujan x 1. A 1 A A 3 A 4 b r T : Tehtävän käypä joukko on tyhjä, koska kaikki y 1,j > 0, j = 1,..., Öljynjalostamo käyttää kevyttä ja raskasta raakaöljyä. Kevyt raakaöljy maksaa $55/tynnyri ja raskas raakaöljy $50/tynnyri. Jalostamo tuottaa raakaöljyistä bensiiniä, kevyttä polttoöljyä ja lentobensiiniä allaolevan taulukon ilmoittamat määrät per raakaöljytynnyri: Bensiini Kevyt polttoöljy Lentobensiini Kevyt raakaöljy 0,3 0, 0,3 Raskas raakaöljy 0,3 0,4 0, Jalostamo on sopinut toimittavansa tynnyriä bensiiniä, tynnyriä kevyttä polttoöljyä ja tynnyriä lentobensiiniä. (a) Kuinka monta tynnyriä kevyttä ja raskasta raakaöljyä jalostamon on hankittava, jotta se täyttää sopimuksensa minimikustannuksin? (b) Anna (a)-kohdan ongelma standardimuodossa sekä (a)-kohdan ongelmaa vastaava duaalitehtävä. Miten saisit duaaliratkaisun selville komplementaarisuuslauseen avulla. Ratkaisu. Taulukkomuoto:
5 K rö R rö milj. Be 0,3 0,3 0,9 Kpö 0, 0,4 0,8 LBe 0,3 0, 0,5 hinta Saadaan LP tehtävä (x 1 =K-rö ja x = R-rö): rajoitteilla 55x x min! 0.3x x x x x x 0.5. Optimiratkaisu (piirrä kuva) on x 1 = 0, x = 3 ja optimiarvo on 150 e. Sama dual-simplex menetelmällä. Muokataan ensin standardimuotoon, saadaan: rajoitteilla 55x x min! 3x 1 3x + x 3 = 9 x 1 4x + x 4 = 8 3x 1 x + x 5 = 5 x 0 Saadaan matriisit A = = [A 1, A, A 3, A 4, A 5 ]. 3 = 0 1 Saadaan simplex-taulukko: b = ( 9, 8, 5) T, c T = (55, 50, 0, 0, 0) A 1 A A 3 A 4 A 5 b r T : Siirretään x 4 pois kannasta. Valitaan tukialkion sarake-indeksi siten, että se vastaa min{ 55/, 50/ 4}, ts. tukialkio on y, = 4.
6 Päivitetään taulukko: A 1 A A 3 A 4 A 5 b 3/ 0 1 3/ / 1 0 1/ / 1 1 r T : / Siirretään x 3 = 3 pois kannasta. Siirretään x 4 kantaan, tukialkio on y 1,4 = 3/4. Päivitetään taulukko: A 1 A A 3 A 4 A 5 b 0 4/ / / r T : kanta-alkiot ovat positiivisia joten käypä kantaratkaisu x = (0, 3, 0, 4, 1) ja kustannusfunktion minimiksi tulee c T x = = 150milj. Tehtävän duaali on: rajoitteilla 0.9λ 1 0.8λ 0.5λ 3 max! 0.3λ 1 0.λ 0.3λ λ 1 0.4λ 0.λ 3 50 λ R 3. LP voidaan ratkaista dual-simplex menetelmällä. CS-lause 1.5 sanoo seuraavaa: koska primäärin ratkaisussa x > 0, niin vastaava rajoite duaalissa on yhtälö. Lisäksi, koska primäärin toisessa ja kolmannessa rajoitteessa on pelivaraa niin λ = 0, λ 3 = 0. Saadaan: 0.3λ 1 = 50 Saadaan (λ 1, λ, λ 3 ) = ( 50/0.3, 0, 0). Duaalin kustannusfunkrion arvo on 150. Piste toteuttaa duaalin rajoitteet. 6. Ratkaise LP-tehtävän max x 1 + 4x + 3x 3 + x 4 rajoittein 3x 1 + x + x 3 + 4x 4 1 ja x 0. x 1 3x + x 3 + 3x 4 7 x 1 + x + 3x 3 x 4 10 duaaliratkaisu käyttämällä hyväksi pelivaran komplementtiperiaatetta. Tiedetään, että LP-tehtävän ratkaisu on z = 4, x 1 = 0; x = 10.4; x 3 = 0; x 4 = 0.4. Käytä tätä tietoa ja pelivaran kmplementaarisuutta duaalitehtävän ratkaisemiseksi.
7 Ratkaisu. Kirjoitetaan ensin tehtävän duaalimuoto: min 1y 1 + 7y + 10y 3 rajoittein 3y 1 + y + y 3 ja y 0. y 1 3y + y 3 4 y 1 + y + 3y 3 3 4y 1 + 3y y 3 1 CS-ehtojen avulla duaalin ratkaiseminen kulminoituu yhtälöryhmän ratkaisemiseksi, missä on yhtä monta tuntematonta ja yhtälöä. Yhtälöt ovat niitä, mitkä vataavat positiivisia primäärimuuttujia. Esimerkissä x ja x 4 ovat positiivisia, mikä tarkoittaa CS-ehtojen nojalla, että duaalissa yhtälöt ja 4 toteutuvat yhtäsuuruuksina, siis: y 1 3y + y 3 = 4 4y 1 + 3y y 3 = 1 Lisäksi tiedetään, että jos primääri rajoite ei ole sidottu, niin vastaava duaalimuuttuja on nolla. Primääritehtävän toinen rajoite ei ole sidottu, joten y = 0, ts. y 1 + y 3 = 4 4y 1 y 3 = 1 Saadaan y 1 = 1 ja y 3 = 3. Vektori y = (1, 0, 3) on käypä duaalille ja duaalifunktion arvo pisteessä on 4 (niinkuin pitääkin). 7. Käytä pelivaran komplementaarisuutta tarkistaaksesi, voiko piste (1, 4) olla LPtehtävän max x 1 x rajoittein x 1 + x x 1 x x 1 + x 5 ja x 0. optimiratkaisu. Tarkista samanlaisella päättelyllä, että voisiko piste (4, 1) olla LP-tehtävän ratkaisu. Ratkaisu. Tehtävän duaali on: min y 1 + y + 5y 3 rajoittein y 1 + y + y 3 1 ja y 0. y 1 y + y 3 1
8 Tarkistetaan ensin pisteen (1, 4) käypyys primääritehtävälle. Mikäli se ei ole käypä ei se ole myöskään ratkaisu. Positiivisuusehto toteutuu ja resurssiehdoista ensimmäinen ja kolmas toteutuvat yhtälöinä ja toinen ehto ei ole sidottu. Jos piste (1, 4) on optimiratkaisu primäärille ja sen komponentit ovat positiivisa niin duaalitehtävän molemmat rajoitteet ovat sidottuja duaalitehtävän optimiratkaisulle. Lisäksi primäärin toisella rajoitteella on pelivaraa, joten y = 0. Saadaan yhtälöryhmä: y 1 + y 3 = 1 y 1 + y 3 = 1 Saadaan y = (, 0, 1 ) olisi duaalin ratkaisu. Tämä ei ole kuitenkaan käypä ratkaisu duaalitehtävälle (negatiivisia lukuja), joten piste (1, 4) ei ole primääritehtävän 3 3 optimiratkaisu. Samanlaisella päättelyllä nähdää, että piste (4, 1) on primääritehtävän optimiratkaisu. Duaalin ratkaisu on y = (0,, 1 ). Optimiarvo on 3 molemmille tehtäville Tutki geometrisesti KKT-lauseen nojalla mikä ääripiste on optimi tehtävälle: (1) () (3) (4) x 1 + 3x min!, x 1 x 4, x 1 x 4, x 1, x 0 Kuva 1: KKT-ehtojen geometrinen toteaminen Ratkaisu: Kustannusfunktion ja rajoitteiden gradientit ovat: c = ( 1, 3), a 1 = (1, ), a = 1, 1), e 1 = (1, 0), e = (0, 1) Tarkastellaan ääripisteitä:
9 (a) Pisteessä (0, 0) kustannusfunktion gradientti c ei sisälly sidottujen rajotteiden gradientiien määräämään kartioon. Piste ei ole optimi. (b) Sama tilanne pisteessä (0, ). (c) Sama tilanne pisteessä (0, 4). (d) Pisteessä ( 4, 8 ) sisältyy c sidottujen rajoitteiden gradienttien määräämään 3 3 kartioon, joten piste on optimi. 9. Osoita että, jos luentojen Primal-Dual Algoritmin Askel 3:ssa u 0 A j 0, j, niin primääritehtävällä ei ole käypää ratkaisua. Ratkaisu: Vektori λ ε = λ 0 + εu 0 on duaalikäypä kaikille ε > 0, koska u 0 A 0. Lisäksi λ ε b = λ 0 b + εu 0 b ja, koska u 0 b = 1y > 0, niin kasvattamalla ε:n arvoa duaalitehtävän kustannusfunktion arvo lähestyy ääretöntä. Duaalisuuslauseen nojalla tästä seuraa, että primääritehtävällä ei ole käypää ratkaisua. 10. Osoita että, jos luentojen Primal-Dual Algoritmin Askel 3:ssa on olemassa ainakin yksi indeksi j siten, että u 0 A j > 0, niin Algoritmin kavoilla (6.6), (6.7) annettu ratkaisu on duaalikäypä ja duaalitehtävän optimiarvo kasvaa. Ratkaisu: Koska u 0 on rajoitetun duaalitehtävän (6.5) ratkaisu, niin u 0 A j 0, i P ja on olemassa ε > 0 siten, että vektori λ ε = λ 0 + εu 0 on duaalikäypä. Kasvatetaan ε:a kaavassa (6.7) kunnes epäyhtälöstä λ ε A j < c j, j / P tulee yhtälö (yhtäsuuruus). Näin määräytyy ε 0 ja indeksi k. Uudelle vektorille λ saadaan λb = λ 0 b + ε 0 u 0 b, joten duaalin objektiarvo kasvaa (u 0 b > 0). 11. Olkoon x ja y duaaliparin käyvät ratkaisut. Osoita, että ratkaisut x ja y ovat optimaalisia duaaliparille jos ja vain jos (5) (6) (A T y c) j x j = 0 j (Ax b) i y i = 0 i Ratkaisu: Koska x ja y käypiä, niin (7) c T x (y T A)x y T b. Duaaliteoreeman nojalla, x, y optimaalisia c T x = b T y c T x = y T Ax = b T y ( kaava (7)) (y T A c T )x = 0 ja y T (Ax b) = 0 n m (A T y c T ) j x j = 0 ja (Ax b) i y i = 0 j=1 (5) ja (6), koska summan n j=1 (AT y c T ) j x j termit ovat ei-negatiivisia ja summan m i=1 (Ax b) iy i termit ovat ei-positiivisia. 1. Olkoon luentojen symmetrisessä tehtäväparissa (5.1) & (5.) ( ) ( ) A =, b =, c = i=1
10 (a) Tarkastele dualisuuden avulla, onko piste x = (0, 1, 13 ) perustehtävän optimi? 4 4 (b) Ratkaise perustehtävä duaalitehtävän avulla Ratkaisu: (a) Piste x = (0, 1, 13 ) on käypä piste. Jos se on optimaalinen, niin sen tulisi 4 4 toteuttaa komplementaarisuusehdot: x > 0 (y T A) = c, x 3 > 0 (y T A) 3 = c 3, 4y 1 + y = 1 0y 1 y = 3, mistä saadaan y = (y 1, y ) = (1, 3). Jäljelle jäävä duaalirajoite y 1 3y 4 toteutuu myös, joten piste (1, 3) on käypä duaalille. Nyt, molemmat x ja y ovat käypiä ja toteuttavat komplementaarisuusehdon, joten ne ovat optimipisteitä. Vaihtoehtoisesti voidaan todeta, että x ja y ovat käypiä ja c T x = 10 = b T y, joten ne ovat optimipisteitä. (b) Ratkaistaan ensin duaalitehtävä graafisesti (kuva). Kuva : Käypä joukko Sen optimi ratkaisu on y = (1, 3), joten (komplementaarisuus): y 1 > 0 (Ax) 1 = b 1, x 1 4x = 1 y > 0 (Ax) = b, = 3x 1 x + x 3 = 3 y 1 3y < 4, (y T A) 1 < c 1 x 1 = 0, joten x = (0, 1, 13) Ratkaise duaalitehtävän avulla 10x x + 0x 3 + 0x 4 max! rm rajoittein 1x 1 + 8x + 6x 3 + 4x x 1 + 6x + 1x 3 + 4x 4 10 x 1, x, x 3, x 4 0
11 Ratkaisu: Duaalitehtävä on 10y y min! rm rajoittein 13y 1 + 3y 10 8y 1 + 6y 10 6y 1 + 1y 0 4y 1 + 4y 0 y 1, y 0 Duaalin optimi on suorien (1) ja (3) leikkauspisteessä (kuva). Kuva 3: Käypä joukko Koska toisella ja kolmannella rajoitteella on pelivaraa optimissa, niin x = x 4 = 0. Lisäksi, koska y 1, y > 0, niin } 1x 1 + 6x 3 = 10 x 3x 1 + 1x 3 = 10 1 = 10, x 3 = 15. Ratkaisu on x = (10, 0, 15, 0).
Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R
Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.4 Lineaarinen ohjelmointi..7 Luento 7 Duaalisimple ja herkkyysanalyysi (kirja 4.5, 5., 5.5-5.6) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / Duaalisimple Herkkyysanalyysi Luentorunko Parametrinen ohjelmointi
Lisätiedot1 Johdanto LP tehtävän luonteen tarkastelua Johdanto herkkyysanalyysiin Optimiarvon funktio ja marginaalihinta
Sisältö Johdanto 2 LP tehtävän luonteen tarkastelua 3 Johdanto herkkyysanalyysiin 5 2 Optimiarvon funktio ja marginaalihinta 5 3 Johdanto duaaliteoriaan 6 2 LP-tehtävän standardimuoto 9 Johdanto Optimoinnista
LisätiedotJälki- ja herkkyysanalyysi. Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun
Jälki- ja herkkyysanalyysi Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun 1 Hinnat ja varjohinnat Objektifunktio c T x = Kerroin c j ilmoittaa, paljonko
LisätiedotLuento 4: Lineaarisen tehtävän duaali
Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Käsittelemme seuraavaksi lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa. Kuten luennossa 2 esitettiin, kohdefunktion optimiarvon herkkyys z, kun rajoitusyhtälön i, 1 i m, oikea
Lisätiedot4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen
4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen Käypä kantaratkaisu löytyy helposti, esimerkiksi tapauksessa Ax b, b 0 x 0 jolloin sen määräävät puutemuuttujat. Tällöin simplex-menetelmän alustus
Lisätiedot3 Simplex-menetelmä. c T x = min! Ax = b (x R n ) (3.1) x 0. Tarvittaessa sarakkeiden järjestystä voidaan vaihtaa, joten voidaan oletetaan, että
3 Simplex-menetelmä Lähdetään jostakin annettuun LP-tehtävään liittyvästä käyvästä perusratkaisusta x (0) ja pyritään muodostamaan jono x (1), x (2),... käypiä perusratkaisuja siten, että eräässä vaiheessa
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.3140 Lineaarinen ohjelmointi 4.10.2007 Luento 4 Ekstreemipisteiden optimaalisuus ja Simplex (kirja 2.4-2.6, 3.1-3.2) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 2007 / 1 Luentorunko Degeneroituvuus Ekstreemipisteiden
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotMalliratkaisut Demot 6,
Malliratkaisut Demot 6, 19.2.21 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös
LisätiedotKokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät
Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Systeemianalyysin Laboratorio 19.3.2008 Sisällys Leikkaustasomenetelmät yleisesti Leikkaustasomenetelmät generoivilla kokonaislukujoukoilla Gomoryn leikkaavat
Lisätiedot2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo
2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan
LisätiedotDuaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki
Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Duaalisuus binäärisissä optimointitehtävissä Lagrangen duaalisuus Lagrangen
LisätiedotDemo 1: Simplex-menetelmä
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 2.2.217 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös muotoon
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 12. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 12 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 5 2.2.28 Tehtävä a) Tehtävä voidaan sieventää muotoon max 5x + 9x 2 + x 3 s. t. 2x + x 2 + x 3 x 3 x 2 3 x 3 3 x, x 2, x 3 Tämä on tehtävän kanoninen muoto, n = 3 ja m =. b) Otetaan
LisätiedotKKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n.
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.139 Optimointioppi Kimmo Berg 7. harjoitus - ratkaisut 1. Oletetaan aluksi, että epäyhtälöt eivät ole aktiivisia p i > 0. Tässä tapauksess KKTehdot
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x
Lisätiedot6. Luennon sisältö. Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 6. Luennon sisältö Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa työkalu ratkaisun analysointiin Jälki- ja herkkyysanalyysiä mitä tapahtuu optimiratkaisulle, jos tehtävän vakiot hieman muuttuvat
LisätiedotEllipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio
Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.34 Lineaarinen ohjelmointi..27 Luento 5 Simplexin implementaatioita (kirja 3.2-3.5) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 27 / Luentorunko (/2) Simplexin implementaatiot Naiivi Revised Full tableau Syklisyys
LisätiedotLuento 3: Simplex-menetelmä
Luento 3: Simplex-menetelmä Kuten graafinen tarkastelu osoittaa, LP-tehtävän ratkaisu on aina käyvän alueen kulmapisteessä, eli ekstreemipisteessä (extreme point). Simplex-menetelmässä ekstreemipisteitä,
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotJohdatus verkkoteoriaan luento Netspace
Johdatus verkkoteoriaan luento 3.4.18 Netspace Matriisioperaatio suunnatuissa verkoissa Taustoitusta verkkoteorian ulkopuolelta ennen kuljetusalgoritmia LP-ongelma yleisesti LP = linear programming =
Lisätiedotb 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}
LisätiedotLuento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät
Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät ja sisäpistemenetelmät Lagrangen välttämättömien ehtojen ratkaiseminen Newtonin menetelmällä Jos tehtävässä on vain yhtälörajoituksia, voidaan minimipistekandidaatteja
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.34 Lineaarinen ohjelmointi 5..7 Luento Kertausta Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / LP ja Simplex Kurssin rakenne Duaalisuus ja herkkyysanalyysi Verkkotehtävät Kokonaislukutehtävät Lineaarinen ohjelmointi
LisätiedotOvatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi.
5..0 Tehtävä Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi. (c) (d) Arvostelu Kanta on degeneroitunut jos ja vain jos sitä vastaava kantamatriisi on singulaarinen. Optimissa muuttujan
LisätiedotLineaarinen optimointitehtävä
Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä yhtälörajoittein: min kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Merkitään: z = alkuperäisen objektifunktion arvo käsiteltävänä
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotLuetteloivat ja heuristiset menetelmät. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki
Luetteloivat ja heuristiset menetelmät Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Branch and Bound sekä sen variaatiot (Branch and Cut, Lemken menetelmä) Optimointiin
Lisätiedot8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku
38 8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku Edellä kuvattu simplex-algoritmi tarvitsee alkuratkaisuksi käyvän kantaratkaisun eli käyvän joukon kärkipisteen. Sellaisen voi konstruoida seuraavilla tavoilla:
LisätiedotKuljetustehtävä. Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan. Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij
Kuljetustehtävä Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij Lähtöpaikan i kapasiteetti on a i (oletetaan, että a i > 0
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
LisätiedotEste- ja sakkofunktiomenetelmät
Este- ja sakkofunktiomenetelmät Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Luennon kulku Este- ja sisäpistemenetelmät LP-ongelmat ja logaritminen estefunktio Polun seuranta Newtonin menetelmällä Sakkofunktiomenetelmistä
LisätiedotLineaarinen optimointitehtävä
Lineaarinen optimointitehtävä min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n b m x 1, x 2,..., x n 0 1
LisätiedotHarjoitus 8: Excel - Optimointi
Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen
Lisätiedot4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 4. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista x + αd, α 0, on pisteestä x R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin
LisätiedotMS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4 Ehtamo Duaalin muodostamisen muistisäännöt Duaalin muodostamisessa voidaan käyttää muistisääntötaulukkoa, jota voidaan lukea vasemmalta oikealle tai oikealta
Lisätiedot1. Lineaarinen optimointi
0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on
LisätiedotOperatioanalyysi 2011, Harjoitus 3, viikko 39
Operatioanalyysi 2011, Harjoitus 3, viikko 39 H3t1, Exercise 3.1. H3t2, Exercise 3.2. H3t3, Exercise 3.3. H3t4, Exercise 3.4. H3t5 (Exercise 3.1.) 1 3.1. Find the (a) standard form, (b) slack form of the
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x
LisätiedotHarjoitus 7: vastausvihjeet
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.
Lisätiedot1 Rajoitettu optimointi I
Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotSimplex-algoritmi. T Informaatiotekniikan seminaari , Susanna Moisala
Simplex-algoritmi T-6.5 Informaatiotekniikan seminaari..8, Susanna Moisala Sisältö Simplex-algoritmi Lähtökohdat Miten ongelmasta muodostetaan ns. Simplextaulukko Miten haetaan käypä aloitusratkaisu Mitä
LisätiedotHarjoitus 6 ( )
Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotKeskeiset tulokset heikko duaalisuus (duaaliaukko, 6.2.1) vahva duaalisuus (6.2.4) satulapisteominaisuus (6.2.5) yhteys KKT ehtoihin (6.2.
Duaalisuus Lagrangen duaalifunktio ja duaalitehtävä määrittely ja geometria max θ(u,v), missä θ(u,v)=inf x X ϕ(x,u,v) s.e u 0 Lagr. funktio ϕ(x,u,v)=f(x)+u T g(x)+v T h(x) Keskeiset tulokset heikko duaalisuus
LisätiedotKirjallisuuskatsaus sisäpistemenetelmiin ja niiden soveltamiseen eri optimointiluokille (valmiin työn esittely)
Kirjallisuuskatsaus sisäpistemenetelmiin ja niiden soveltamiseen eri optimointiluokille (valmiin työn esittely) Ilari Vähä-Pietilä 28.04.2014 Ohjaaja: TkT Kimmo Berg Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa
LisätiedotLuento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.
Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli Esimerkki. Maalitehdas valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M1 ja M2. Sisämaalin maksimikysyntä on 2 tonnia/päivä. Sisämaalin
Lisätiedot1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100
HARJOITUS, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE 07.. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 0x +0xy +5y (b.) f(x,y) = 4x y xy +x+y +00 (a.) Funktion kriittiset pisteet ratkaisevat
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
Lisätiedotλ T b = max! λ T A c T (5.2)
5 LP tehtävän duaalitehtävä Annettuun LP-tehtävään liittyy duaalinen tehtävä, jolla on usein käytännön sovellutuksissa hyödyllinen (taloudellinen) tulkinta ja jota voidaan käyttää simplex menetelmän yhteydessä
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotKäänteismatriisin ominaisuuksia
Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit
LisätiedotMalliratkaisut Demo 1
Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 3. Luennon sisältö
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 3. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän sallittu alue Optimointitehtävien muunnoksia Lineaarisen yhtälöryhmän perusmuoto ja perusratkaisut Lineaarisen optimointitehtävän
LisätiedotLineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotHarjoitus 6 ( )
Harjoitus 6 (21.4.2015) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s. t. g(x) 0 h(x) = 0 x X olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on missä max θ(u, v) s. t.
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.34 Lineaarinen ohjelmointi 9..7 Luento Kokonaislukuoptimoinnin algoritmeja (kirja.-.) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / Luentorunko Gomoryn leikkaava taso Branch & Bound Branch & Cut Muita menetelmiä
LisätiedotKahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)
Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole
LisätiedotOptimaalisuusehdot. Yleinen minimointitehtävä (NLP): min f(x) kun g i (x) 0 h j (x) = 0
Optimaalisuusehdot Yleinen minimointitehtävä (NLP): min f(x) kun g i (x) 0 h j (x) = 0 i = 1,..., m j = 1,..., l missä f : R n R, g i : R n R kaikilla i = 1,..., m, ja h j : R n R kaikilla j = 1,..., l
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu Luennolla 6 Tarkastelimme yhden muuttujan funktion f(x) rajoittamatonta optimointia
Lisätiedot. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +
Lisätiedotax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu
LisätiedotMalliratkaisut Demot 5,
Malliratkaisut Demot 5, 2.2.25 Tehtävä : a) Tehtävä voidaan sieventää muotoon max 5x + 9x 2 + x 3 s. t. 2x +x 2 x 3 x 3 x 2 3 x 3 3 x,x 2,x 3 Tämä on tehtävän kanoninen muoto,n = 3 jam =. b) Otetaan käyttöön
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
Lisätiedot30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset
30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset Mitä on lineaarinen optimointi (LP)? LP= lineaarinen optimointiongelma (Linear Programming) Menetelmä, jolla etsitään
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 28 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 a) A + B b) AB BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A ja B = 2 1 6 3 1 2. Laske seuraavat determinantit
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotVektorit, suorat ja tasot
, suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
LisätiedotTEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS
1. Suorakaiteen muotoisen lämmönvaraajan korkeus on K, leveys L ja syvyys S yksikköä. Konvektiosta ja säteilystä johtuvat lämpöhäviöt ovat verrannollisia lämmönvaraajan lämpötilan T ja ympäristön lämpötilan
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet
kevät 19 / orms.30 Talousmatematiikan perusteet 8. harjoitus, viikko 11 (11.03..03.19) L Ma 12 A2 R0 Ti 14 16 F43 R01 Ma 12 14 F43 L To 08 A2 R02 Ma 16 18 F43 R06 To 12 14 F140 R03 Ti 08 F42 R07 Pe 08
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 5. luento.2.27 Lineaarialgebraa - Miksi? Neuroverkon parametreihin liittyvät kaavat annetaan monesti
LisätiedotLineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen
Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen Jos sallittuja kokonaislukuratkaisuja ei ole kovin paljon, ne voidaan käydä kaikki läpi yksitellen Käytännössä tämä ei kuitenkaan ole yleensä mahdollista
Lisätiedot