MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un tiedetään, että sen ulmaerroin on - ja sen ulee pisteen (-, ) autta. Rataisu: Kun tehtävässä puhutaan suorasta, tiedetään, että ysymys on ensimmäisen asteen polynomifuntiosta, jona yhtälö on muotoa f ( = + b. Ensimmäisen asteen polynomifuntion yhtälö on määritetty silloin, un on määritetty ulmaerroin ja vaiotermi b. Tässä tehtävässä ulmaertoimen arvo meille on annettu valmiisi ja voimme sijoittaa sen yhtälöön saman tien: f ( = + b f ( = + b Nyt tehtävän rataisu on enää iinni vaiotermin löytämisestä. Tehtävänannon muaan piste ( -, -) uuluu funtiolle. Tämä taroittaa sitä, että jos me sijoitetaan funtion yhtälöön :n paialle ja f(:n paialle -, yhtälö toteutuu. Ainut tuntematon suure siinä on silloin vaiotermi b, jona me voimme rataista: f ( ) = ( ) + b = + b = b = = 5 Nyt vaiotermi on löydetty ja voimme irjoittaa funtion yhtälö: Vastaus: f ( = 5 f ( = 5 Esimeri.8. Mio lähti ajamaan polupyörällä mummonsa luo ylään nopeudella 0 m/h. Mion nuorempi seru Matti asuu 5 m lähempänä mummoa uin Mio ja lähtee liieelle samaan aiaan Mion anssa 4 m/h nopeudella. Serut tulevat mummon luose samaan aiaan. Kuina auana Mion talosta mummo asuu ja uina pitään poiien mata mummon luose estää? (6)
MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen Rataisu: Matan ja nopeuden välinen yhteys ilmaistaan aavalla s = v t, eli mata = nopeus aia Mion liiettä uvaava yhtälö on tällöin s = 0t Matti liiuu ävellen 4 m/h nopeudella ja saa Miosta 5 m etumataan. Hänen liiettä silloin uvaa yhtälö s = 4t + 5 Kumpiin yhtälö on ensimmäisen asteen polynomifuntio. Funtion muuttujana tässä tapausessa toimii aia t ja ajan funtiona toimii mata s. Piirretään ummanin funtion uvaajan samaan oordinaatistoon. Vaaa-aselilla oordinaatistossa on aia t (muuttuja) ja pystyaselilla on mata s ( funtio): Piste, jossa uvaajat leiaavat toisiaan, vastaa poiien tapaamista mummon luona. Pisteen y-oordinaatti ertoo siitä, uina auana Mion talosta mummo asuu ja pisteen - oordinaatti ertoo uina auan poiien mata esti. (6)
MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen Tällöin voimme sanoa, että matan pituus on ollut 5 osa tuntia, eli 50 min. 6 Vastaus: Mummo asuu esti 50 minuuttia. 8 m ja mataan on mennyt 8 m päässä Mion talosta ja poiien mata hänen luo Esimeri.8. a) Funtioiden f ( = ja f ( uvaajat ovat ohtisuorat esenään. Määrittele funtion f ( ) yhtälö. Montao mahdollista rataisua on olemassa? b) Määrittele funtion f ( ) yhtälö tapausessa, jos lisäsi tiedetään, että Rataisu: uvaajien leiauspiste on,. a) Funtioiden uvaajat ovat ohtisuorat silloin, un ulmaertoimien tulo on -: Funtion = f ( = ulmaerroin on edelliseen ehtoon, saadaan: = Tästä löydetään toisen funtion ulmaerroin: = : = = =. Sijoittamalla tämä arvo Funtion f( yhtälö on tällöin f ( = + b. Vaiotermin määrittäminen ei ole tässä tapausessa tarpeellinen, sillä ainut tehtävässä annettu tieto funtioiden välisestä yhteydestä liittyy uvaajien väliseen ulmaan (tehtävän (6)
MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen muaan uvaajat ovat ohtisuorat, eli muodostavat 90 asteen ulman). Tehtävällä tällöin on niin monta rataisua, uin monta mahdollista arvoa on vaioertoimella, eli äärettömän monta. Oheisessa uvassa on esitetty asi rataisuvaihtoehtoa: Kuvassa on esitetty vain asi rataisuvaihtoehtoa. Huomaa, että ummanuin rataisusi elpaavan funtion ulmaerroin on. Funtioiden yhtälöt eroavat toisistaan vain vaiotermeillä, joten niiden uvaajat ovat esenään samansuuntaisia. b) Jos tiedetään taraan uvaajien leiauspisteen oordinaatit, voimme määritellä ysiäsitteisesti funtion f ( ) vaiotermin, eli tällöin tehtävällä tulee olemaan ysi ainut rataisu. Vaiotermi määritellään sijoittamalla funtion yhtälöön leiauspisteen oordinaatit: 4(6)
MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen f( = + b = + b b = + b = f( = + Yhtälö on nyt määritelty: rataisufuntion uvaaja: f ( = +. Piirretään myös Vastaus: Rataisuvaihtoehtoja on äärettömän monta. Kaiien rataisufuntioiden yhtälöt ovat uitenin muotoa f ( = + b Ehtoja vastaava rataisufuntio on f ( = + Esimeri.8.4 5(6)
MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen a) Ono suorilla f ( = 4 8 ja f ( = leiauspiste? Perustele. + b) Jos on, niin määrittele leiauspisteen oordinaatit Rataisu: a) Funtioiden ulmaertoimet eroavat toisistaan: = 4 ja, eli uvaajat eivät voi olla yhdensuuntaisia, joten niillä on leiauspiste. b) Leiauspiste uuluu ummallein uvaajalle ja ummanin funtion arvo eli siinä on yhtä suuri. Matematiian annalta tämä voidaan ilmaista muodossa: ( f ( f = 4 8 = + Tästä voimme rataista :n arvo, joa on samalla leiauspisteen -oordinaatti: 4 8 = + 4 = + 8 = = Sijoittamalla nyt löytämämme :n arvo jompaanumpaan yhtälöön rataistaan leiauspisteen y-oordinaatti (huomaa, ettei todellaaan ole väliä, umman funtion yhtälöön sijoitetaan :n arvo, sillä, uten olemme sanoneet aiemmin, funtiot saavat saman arvon leiauspisteessä). f ( ) = 4 ( ) 8 = 8 = 4 Samanlaisen tulosen olisimme saaneet sijoittamalla tämä arvo toiseen funtion yhtälöön: ( ) ( ) f = + = + = 9 + = 4 Leiauspisteen y-oordinaatti on tällöin 4. Vastaus: Suorat leiaavat toisiaan pisteessä (,4). = 6(6)