MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
|
|
- Tarja Myllymäki
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla f() sellaisia löytyy yksi ( = -,5), funktion g() kuvaajilla nollakohtia on kaksi ( = ja = -)
2 b) Piirtämällä etsitään: f () = 7, g (-) = -4, g (-4) = 5, f (-) =. Aloitetaan piirtämällä koordinaatisto ja sijoittamalla siihen pisteet. Kahden pisteen välinen etäisyys on sama, kuin niitä yhdistävän janan pituus. Piirretään kuvaan myös janan. Samalla huomataan, että meitä kiinnostavan janan AB pituus on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa. Janan pituuden laskemiseen voimme tällöin käyttää Pythagoraan teoreemaa, jonka mukaan suorakulmaisessa kolmiossa kateettien neliöiden summa on yhtä suuri, kuin hypotenuusan neliö: c = a + b eli AB = a + b AB = a + b Kateettien pituuden voidaan löytää pisteiden A ja B - ja y- koordinaattien erotuksena: a = b = y y Sijoittamalla nämä edellisen lausekkeeseen saadaan:
3 AB = a + b = + y y AB = + y y = = + = Vastaus: AB =. Ensimmäisen asteen polynomifunktio. Muistetaan, että kulmakerroin k on sama kuin luku, jolla muuttuja on kerrottu ja vakiotermi on siihen lisätty luku. a) k = 9; b =,5 4 b) k = ; b = 5 c) k = 7; b = 0 d) k = ; b = 8 7 e) k = 0, 5; b = 0, f ) k = ; b = 4.. a) f ( ) = = 4 = 6 f (0) = 0 = f (0) = 0 = 0 = 8 b) f ( ) = 4, 4 + = 8,84 + =,84 f (0) = 4, = f (0) = 4,4 0 + = 44, + = 4, c) f = + 4 f ( ) = ( ) + = 5 + = f (0) = 0 + = 4 4 f (0) = 0 + = 5 + = a) Pystymme määrittämään ensimmäisen asteen polynomifunktion yhtälön kun tiedetään sen kulmakerroin ja vakiotermi. Yhtälön yleinen muotohan on f = k + b Kuvaajan ja y-akselin leikkauspisteen koordinaatti vastaa vakiotermin arvoa. Eli b = 5. Kun tiedetään, että funktion kuvaaja on samansuuntainen funktion
4 4 f = + kanssa, voimme päätellä, että kulmakertoimen on oltava yhtä suuri kuin funktion f() kulmakerroin, eli k =. Voimme nyt kirjoittaa funktion yhtälö: g = + 5 Vastaus: g = + 5 b) Kirjoita yhtälö sellaiselle funktiolle, jonka kuvaaja on kohtisuora funktion f = 6 + kuvaajan kanssa ja leikkaa sitä pisteessä (-, -5). Jälleen aloitetaan siitä, että saadaksemme funktion määritettyä, tarvitaan kulmakertoimen ja vakiotermin arvoa. Jos etsimämme funktion kuvaaja on kohtisuorassa funktion f = 6 + kuvaajan kanssa, niiden kulmakertoimet täyttävät ehto: k k =. Tämän perusteella kirjoitetaan: 6 k = : 6 k = 6 Funktio g() on siis muotoa g = + b. Enää ei puutu kuin vakiotermi ja sen 6 voimme etsiä käyttämällä hyväksi tietoa, että funktioiden kuvaajat leikkaavat pisteessä ( -, -5). Piste kuuluu kummallekin funktiolle, toisin sanoin, pisteen koordinaatit täyttävät kummankin funktion yhtälön. Sijoitetaan koordinaatit etsimäämme funktion yhtälöön: g = + b 6 g( ) = ( ) + b = b = 5 6 b = 5 = Tällöin etsimämme funktion yhtälö on g = Vastaus: g = Tiedetään, että ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaaja kulkee pisteiden A (5, 8) ja B (-, -6) kautta. Kirjoita funktion yhtälö. Ratkaisu: Aloitetaan piirtämällä koordinaatisto ja sijoittamalla siihen pisteet:
5 5 Heti sijoitettuamme pisteet ja piirrettyjä kuvaajan, huomaamme, että kuvaaja leikkaa y-akselin pisteessä. Vakiotermin arvo on tällöin saatu selville. Seuraavaksi meitä kiinnostaa kulmakerroin. Käyttämällä kappaleessa annettuja tietoja, voimme ratkaista: k = y y 8 ( 6) 4 k = = = 5 ( ) 7 Funktion yhtälö on tällöin muotoa: f = Vastaus: f =
6 6.5 Ratkaise graafisesti yhtälöpari: y = a) y = + 7 y = b) y = y = 4 + c) y = 4 Yhtälöparin graafisessa ratkaisemisessa on kyseessä kahden funktion kuvaajien leikkauspisteen tai pisteiden löytäminen. a) f() = -- (,y) 0 f(0) =0- =- (0, -) f() = --=- (, -) - f(-) = -(-)-= 0 (-, 0) Vastaavalla tavalla laaditaan taulukko toisen funktion kuvaajaa varten: f() = - +7 (,y) 0 f(0) =7 (0, 7) f() = 5 (, 5) - f(-) =9 (-, 9) Piirretään koordinaatisto ja sijoitetaan pisteet siihen: Yhtälöparin ratkaisu löytyy kuvaajien leikkauspisteen koordinaateista. Koordinaatit ovat (8, -9) ja, vastaavasti, = 8 ja y = 9 Vastaus: = 8 ja y = 9
7 7 b) Samalla tavalla, kuin edellisessäkin kohdassa lasketaan funktioille muutaman pisteen koordinaatit: ja f() = (,y) 0 f(0) =0 (0, 0) f() = (, ) - f(-) = - (-, -) f() = - (,y) 0 f(0) =- (0, -) f() = - (, -) - f(-) = - (-, -) Sijoitetaan pisteet koordinaatistoon, piirretään kuvaajat ja etsitään niiden leikkauspiste: Kuvaajat leikkaavat toisiaan pisteessä (-, -), eli yhtälöparin ratkaisu on = ja y =. Vastaus: = ja y = c) Tässä kohdassa olisi mahdollista menetellä samalla tavalla, mutta yhtälöistä voimme nähdä, että kuvaajien kulmakertoimet ovat yhtä suuria, mikä tarkoittaa, että kuvaajat ovat samansuuntaisia, eikä yhteisiä pisteitä ole. Tämän perusteella voimme päätellä, että yhtälöparilla ei ole ratkaisua..6 Laske suoran f () = ja - ja y- akselien rajoittaman alueen pinta- ala. Ratkaisu:
8 Piirretään suora koordinaatistoon ja merkitään kysytty alue: 8 Ratkaistaan muodostuvan kolmion kärkipisteet A, B ja C. A = (0, 0) - kyseessä on - ja y-akselin leikkauspiste eli origo. Molemmat koordinaatit ovat siis nollia. Piste B = (0, 4) - Piste on y-akselilla, joten -koordinaatti on nolla. Suoran vakiotermi on 4, joten se kertoo leikkauspisteen y-akselin kanssa. Piste C = (, 0) - Piste on -akselilla, joten y-koordinaatti on nolla. Merkitään suoran yhtälöön y:n arvoksi nolla ja ratkaistaan = 0 - = -4 : (-) = Siis kolmion korkeus on 4 ja kanta on. Kolmion ala = (kanta korkeus) : = (4 ) : = 8 : = 4 Vastaus: Kolmion ala on 4..7 a) Laske suorien f () = 5, g() = + ja h () = + ja -akselin rajoittaman monikulmion pinta-ala Ratkaisu: Piirretään suorat koordinaatistoon (pisteitä laskemalla tai kulmakertoimen ja vakiotermin avulla) ja merkitään kysytty alue:
9 9 Ratkaistaan muodostuvan monikulmion kärkipisteet A, B, C ja D. Piste A on -akselin ja suoran g() = + leikkauspiste. Merkitään y:n arvo nollaksi ja ratkaistaan. + = 0 = - : = -A = (-, 0) Piste B on suorien f() = 5 ja g() = +. Merkitään y:itä kuvaavat lausekkeet yhtäsuuriksi ja ratkaistaan. + = 5 = : =,5 B = (,5; 5) Piste C on suorien f() = 5 ja h() = - + leikkauspiste. - + = 5 - = 5 - = -7 = 7 C = (7, 5) Piste D on suoran h() = - + ja -akselin leikkauspiste. - + = 0 - = - = Kyseessä on puolisuunnikas. Sen pinta-ala saadaan kertomalla korkeus kantojen keskiarvolla. Janan AD pituus = - (-) = + = Janan BC pituus = 7,5 = 5,5 Korkeus = 5 Pinta-ala = ( + 5,5) : 5 = 8,5 : 5 = 9,5 5 = 46,5 Vastaus: Monikulmion ala on 46,5. b) Laske suorien g() = + ja h () = + ja -akselin rajoittaman monikulmion pinta-ala Ratkaisu:
10 0 Piirretään suorat koordinaatistoon (pisteitä laskemalla tai kulmakertoimen ja vakiotermin avulla) ja merkitään kysytty alue: Ratkaistaan muodostuvan monikulmion kärkipisteet A, B, C ja D. Piste A on -akselin ja suoran g() = + leikkauspiste. Merkitään y:n arvo nollaksi ja ratkaistaan. + = 0 = - : = - A = (-, 0) Piste B on suorien g() = + ja h() = - + leikkauspiste. Merkitään y:itä kuvaavat lausekkeet yhtäsuuriksi ja ratkaistaan. + = - + = 0 : = Ratkaistaan vastaava y-koordinaatti: + = 8 B =, 8 Piste C on suoran h() = - + ja -akselin leikkauspiste. 0 = - + = 0 - = - = C = (, 0) Kolmion kanta = (-) = Kolmion korkeus = 8 = 6 Kolmion ala = (kanta korkeus) : : = = = = 6 56
11 Vastaus: Kolmion ala on 56 Toisen asteen polynomifunktiot. a) ) a = ; b = 5; c = 9 ) a = ; b = 4; c = 0,6 ) a = ; b = 0; c = 4) a = ; b = 4; c = 0 b) ) f = + 7 ; a = < 0, joten paraabeli on alaspäin aukeava. Paraabelin ja y akslein leikkauspiste on (0,7 ) 5 f = + a = > joten paraabeli on ylöspäin aukeava ) 5 6 8; 5 0,. Paraabelin ja y akslein leikkauspiste on (0,8). ) f = 0, ; a = 0, < 0, joten paraabeli on alaspäin aukeava. Paraabelin ja y akslein leikkauspiste on (0, ) 4) f = 5 + 7; a = 5 > 0, joten paraabeli on ylöspäin aukeava. Paraabelin ja y akslein leikkauspiste on (0, 7). 5) f = 7 + ; a = < 0, joten paraabeli on alaspäin aukeava. Paraabelin ja y akslein leikkauspiste on (0,) 6) f = 0 + 5, ; a = 0 > 0, joten paraabeli on ylöspäin aukeava. Paraabelin ja y akslein leikkauspiste on (0,0) ( huomaa, että funktion yhtälössä vakiotermi on 0)
12 . a ) + = 0, ( ) b ± b ac ± 4 ± ±, ) : 5, 4 8 = = = = = ± a Vastaus : = ± b = = 5 = ± 5 Vastaus : = ± 5 c =, ) = 0 = 0 = 0 tai = 0 = 0 tai = Vastaus : = 0 tai = )8 5 0 d + = b b ac b ± b 4ac ± ± 69 ±, = = = = a =, = 8 5 Vastaus : =, = 8 4 e) + = 0 t + = 0 4 :. : Tehdään muuttujan vaihto merkitään = t Silloin = t t ± 4 t, = a t =, t = Nyt ratkaistaan : = ja = = ± ja = ± Vastaus : = ± ja = ± ± 4 ± = =
13 . Piirretään funktioiden kuvaajat:
14 4
15 5.4 a f ja g ) = + 4 = b) f = ja g = + 5 Ratkaistaan tehtävää ensin algebrallisesti: f = + 4 a) g = Koska funktioiden arvojen leikkauspisteissä on oltava yhtä suureet, kirjoitetaan : f = g + = Siirretään kaikki termit samalle puolelle : = = 5 0 ( + 5) = 0 = 0 tai + 5 = 0 = 0 =,5 Nyt voidaan laskea funktioiden saavuttama arvo sijoittamalla : n arvot jompaankumpaan funktion yhtälöön : f (0) = = 4 f (,5) =,5 + 4 = 7,5 + 4 =, 5 Tällöin leikkauspisteiden koordinaatit ovat = = = + = 0, 4 ja,5;,5 f = b) g = + 5 Koska funktioiden arvot ovat yhtä suureet, kirjoitetaan : f g Siirretään kaikki termit samalle puolelle : b ± b 4ac ± 4 6 ± 5, = = = a + 5 = = 5 = = Nyt voidaan taas laskea funktioiden saavuttama arvo sijoittamalla : n arvot jompaankumpaan funktion yhtälöön : f ( ) = = 4 f () = = Tällöin leikkauspisteiden koordinaatit ovat (, 4) ja(,) Piirretään funktioiden kuvaajat taulukoiden tai laskimen avulla:
16 6 Tästä näemme, että graafisesti löytämämme leikkauspisteiden koordinaatit ovat samoja, kuten algebrallisesti määritettyjä. Samoin käy myös kohdan b) ratkaisun etsimisessä:
17 7 Kun olemme kumpaakin menetelmää käyttämällä päätyneet samoihin ratkaisuihin, voimme olla varmoja siitä, että tehtävä on ratkaistu oikein. Vastaus: Leikkauspisteiden koordinaatit ovat: a) A(-,5;,5) ja B (0,4) b) A (-,-4) ja B (,).5 Aloitetaan muutamalla nopeuden yksiköt km/h metreiksi sekunnissa: km = m = 5 m h 600s s 5t s( t) = 5t + Seuraavaksi sijoitetaan annettuun matkaa kuvaavan yhtälöön suureiden arvot: at s( t) = v0t s( t) = = ,5 = 7,5m Auton kulkema matka on tällöin 7,5m. Kirjoitetaan nyt matkaa kuvaavan lausekkeen: 5t s( t) = 5t + Tämän lausekkeen avulla pystymme laskemaan kiihdytysmatkaa millä tahansa ajan arvolla. Vastaus: a) Auton kiihdytyksen aikana kulkema matka on 7,5m b) Kiihdytysmatkaa kuvaava lauseke on muotoa:.6 Etsi kaksi peräkkäistä luonnollista lukua, joiden tulo on 40. Ratkaisu: Merkitään pienemmän luvuista :llä. Silloin, tehtävän ehtojen mukaan, toinen luku on +. Lukujen tulo on 40, eli: ( + ) = 40 Ratkaistaan yhtälö:
18 + = 40 + = = 0 8 b ± b 4ac ± ±, = = = a = = 6 < 0, ei sovi, koska tehtävässä puhutaan kahdesta luonnollisesta luvusta + 0 = = 5 Toinen luku etsitään lisäämällä : 5 + = 6 Vastaus : luvut ovat 5 ja 6.
19 9 4. Eksponenttifunktio 4. Vertaile keskenään: a) ja 5 4 Kantaluvut ovat yhtä suuria ja positiivisia. Tällöin mitä suurempi on eksponentti, sitä suuremman arvon saadaan. Oikea ratkaisu siis löydämme vertaamalla keskenään eksponentteja : 5 > 4 > b 5 4 ( ) )( 5) ja 5 Ratkaisu : Kantalukuna toimii negatiivinen kokonaisluku. Muistetaan, että korottamalla negatiivinen luku parillisella luvulla ilmaistuun potenssii5 n saadaan positiivinen luku. Jos eksponentti on pariton, niin tulos on negatiivinen. Tämän perusteella : ja 5 > 0 5 < 0, eli ( 5) > ( 5) 5 < 5 ( c) 5 ja 5 Tässä tapauksessa kantalukuna toimii luku 5. Miinusta ei ole laitettu sulkujen sisään( kuten, esim. tehtävässä ( b)), joten eksponentti ei siihen vaikuta ks. kohta a)) ja miinusmerkki huomioon ottaen : 5 > 5 d)4 ja 4 Kuten kohdassa a) : 4 > 4 4 e) ja Tässä tapauksessa kantalukuna toimii murtoluku. Tämä taas tarkoittaa sitä, että mitä isompi on eksponentti, sitä pienempi on saamamme arvo, eli : 4 >
20 0 4. Vertaile keskenään: a) ja 8 0 Kaksi potenssia voimme verrata keskenään silloin, kun niiden kantaluvut ovat samoja Aloitetaan siitä että kirjoitetaan kantaluku 9 8 = = = Nyt voimme verrata lausekkeet keskenään : > 0 9 eli > 8 0 b)0 ja 00 6 Samalla periaatteella : 4 00 = 0 = 0 = 0 0 > 0 0 > c) ja = = = < < 7 d )0,5 ja 0, 5 0, 5 = 0,5 0,5 0, 5 0,5 0, 5 e) ja 6 = = 6 = = = = = f )4 ja = 4 = 4 = 4 4 > 4 4 > kuten., 8 :
21 4. Ratkaise seuraavat yhtälöt: + a) = 8 Ratkaisu: Muistetaan, että a a y = a + y, joten 4 = 8 = = = 5 = 8 5 : 4 b) 4 = Ratkaisu 5 = ( ) = 5 = 5 = = = 5 5 c) = 50 Käytetään tulon potenssin kaavaa takaperin: = 50 Jaetaan vielä jälkimmäisessä tulossa luku 4 kertolaskuksi: = 50 Otetaan 5 yhteiseksi tekijäksi: 5 (5 ) = 50 5 (5 ) = 50 5 = = 50 : 46 5 = 5 5 = 5 = d) = 8 Ratkaisu: Otetaan yhteiseksi tekijäksi = = 5 = = 8 7
22 7 = 8 7 = 8 = = a) Tilannetta voimme kuvata seuraavalla tavalla: Jos alkuhetkellä bakteerien määrä on N 0, niin: 4 tunnin kuluttua bakteerien määrä on N, 8 tunnin kuluttua bakteereita on N = N,..., t t tunnin kuluttua 4 bakteereita on N Näin ollen bakteerimäärän kasvua kuvaa lauseke : t 4 N = N b) 0 0 t 4, t 4 = t 4 5 = 0 Kun bakteerimäärä on kasvanut ker ta, voimme kirjoittaa : N N = Toisaalta, N N = josta seuraa : t = 5 4 t = 5 4 t = 0 4 Vastaus: a) populaation kasvua kuvaava lauseke on muotoa N = N b) populaatio kasvaa kerta 0 tunnin kuluessa. t 0
23 5. Logaritmifunktio 5. Vertaile keskenään: a) log < log 4 4 b)log 5 > log c) ln 5 > ln 5 d)lg 0 > lg4 5. Etsi funktioiden f()=ln(+) ja g()= -5 leikkauspisteiden koordinaatit graafisesti. Ratkaisu: Vastaus: funktioiden f()=ln (+) ja g()=-5 leikkauspisteiden koordinaatit ovat A (7,09;,09) ja B (-, -6) 5. Radioaktiivisen hajoamisen prosessin seurauksena hajoavan aineen ytimien määrän vähenemistä kuvaa yhtälö: N t = N e λt 0 Tehtävänannossa puhutaan ytimien määrän puolittumisesta, joka tarkoittaa, että N ( t) N = 0 Käytetään se hyväksemme muuttamalla hajoamista kuvaava yhtälö muotoon:
24 4 N( t) λt = e N o Yhtälön vasemmalla puolella meillä on Neperin luvun potenssi, josta voimme päästä eroon ottamalla yhtälön kummaltakin puolelta luonnollisen logaritmin: N( t) λt ln = ln( e ) N0 ln = λt ln = λt ln = λt ln = λt ln t = λ ln t = = 09,vk 4 6,8 0 vk Vastaus: Aikaa ytimien määrän puolittumiseen kuuluu siis 09, vuorokautta, eli likimain kolme vuotta.
25 5 5.4 Ratkaise seuraava yhtälö: ( ) = ( + ) log log log Määritellään määrittelyjoukko( t. s. muuttuja. n " sallitut " arvot) : > 0 > 0 + > 0 > 0,5 > 0 > 0,5 > log7 = log7 ( + ) Koska kantaluvut ovat yhtä suuria, voidaan kirjoittaa : = + = ( + ) = + + = 0 = 0 = = tai = Jälkmmäinen arvo joudutaan jättämään pois, koska se ei kuulu määrittelyjoukkoon, joten =. Vastaus : =
26 6 5.5 a e )e 0 = 60 ln( e ) ln 60 = ln 60 = ln 60,047 b) log = 4 Määrielmän mukaan : = 4 = 64 = = c) log + log = log (5 + 4) Tarkastellaan määrittelyjoukko : > 0 > > 0 > 0 > 0 > 0 4 > 5 Ratkaistaan yhtälö : log = log (5 + 4) = = b ± b 4ac 5 ± ± 5 ±, = = = = a `0 = = = 5 = = Kahdesta löytämästämme arvosta jälkimmäinen ei sovi määrittelyjoukkoon, joten yhtälöillä on ainut juuri =. d) log 5 log = log = 5 + Aloitetaan taas määrittelyjoukon tarkistamisella : 5 > 0 > 0 + > 0 0 > 0 > 0 > Ratkaistaan yhtälö : log 5 log = log + ( ) log log 5 = + 5 = = =
27 7 0 > 0 > 0 > Ratkaistaan yhtälö : = 5 + log 5 log = log + ( ) log log 5 = + 5 = = =
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotKERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
Lisätiedot1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
Lisätiedotyleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
Lisätiedotx 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)
MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon
Lisätiedotc) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
LisätiedotKäy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä
Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
Lisätiedotmäärittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.
MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä
LisätiedotLaudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
Lisätiedot4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on
Lisätiedot1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
Lisätiedotk-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia
3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio
Lisätiedot1.1. YHDISTETTY FUNKTIO
1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)
LisätiedotOlkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
LisätiedotKertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
Lisätiedot2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotTehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
Lisätiedotmäärittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.
MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,
Lisätiedot11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
LisätiedotJuuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =
Lisätiedot4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
LisätiedotPotenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 5 4 = Yleisesti.
x 3 = x x x Potenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 4 = Yleisesti a n = a a a n kappaletta a n eksponentti kuvaa tuloa, jossa a kerrotaan
LisätiedotMAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
LisätiedotEksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b
ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotHuippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
YHTÄLÖITÄ ALOITA PERUSTEISTA A. Luku on yhtälön ratkaisu, jos luku toteuttaa yhtälön. a) Sijoitetaan luku = yhtälöön. 6 = 0 0 = 0 Yhtälö on tosi, joten = on yhtälön ratkaisu. Vastaus: on b) Sijoitetaan
LisätiedotMAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.
MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotLukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]
Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja funktioita
Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)
LisätiedotKaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!
MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
LisätiedotMAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x
MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotParaabeli suuntaisia suoria.
15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki
LisätiedotA-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.
MAB2 koe Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Muista, että välivaiheet perustelevat vastauksesi. Muista kirjoittaa konseptille nimesi ja tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan. A-osio. Ei laskinta!
Lisätiedotorigo III neljännes D
Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä
LisätiedotKERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x
LisätiedotRATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
Lisätiedot3 Eksponentiaalinen malli
Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,
Lisätiedot3 Määrätty integraali
Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue
LisätiedotKahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)
Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
LisätiedotMAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
Lisätiedotx 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
LisätiedotMAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut
MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x
LisätiedotAloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi
Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)
LisätiedotHarjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.
MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö
Lisätiedotx = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x
KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9
LisätiedotPyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi
Lisätiedot1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotMAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5
LisätiedotLisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
Lisätiedot4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
Lisätiedot5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet
.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
LisätiedotFunktio. Funktio on kahden luvun riippuvuuden ilmaiseva sääntö, joka annetaan usein laskulausekkeena.
n ja muuttujan arvon laskeminen on kahden luvun riippuvuuden ilmaiseva sääntö, joka annetaan usein laskulausekkeena. ESIMERKKI Tarkastele funktiota f() = + 7. a) Laske funktion arvo, kun =. b) Millä muuttujan
LisätiedotHuippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan
Lisätiedot102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 10
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen
Lisätiedot2 arvo muuttujan arvolla
Mb Mallikoe Määritä funktion f ( ) arvo muuttujan arvolla a) b) c) k 6 a) Määritä suorien y 0 ja y leikkauspiste b) Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteen (, ) kautta ja on yhdensuuntainen suoran
Lisätiedot