3 x ja 4. A2. Mikä on sen ympyräsektorin säde, jonka ympärysmitta on 12 ja pinta-ala mahdollisimman

Transkriptio

1 HTKK, TTKK, LTKK, OY, ÅA/Insinööriosastot alintauulustelujen matematiian oe 900 Sarja A A Lase äyrien y, (Tara vastaus) y, ja rajaaman äärellisen alueen inta-ala A Miä on sen ymyräsetorin säde, jona ymärysmitta on ja inta-ala mahdollisimman suuri? A Tason vetoreilla a ja b on yhteinen aluiste suoralla y etorin a louiste on (0, ) ja vetorin b louiste (0, ) Miä on yseinen aluiste, un a b (vetorin a salaarirojetio vetorilla b ) on / vetorin b ituudesta? A Bateeriviljelmässä bateerien luumäärä asinertaistuu joa tunti, un bateereille annetaan ravintoliuosta, ja vähenee % joa tunti, un ravintoliuosta ei anneta Eräässä oeessa, jossa ravintoliuosen antaminen aloi hetellä t 0 ja loui hetellä t h, havaittiin tunnin välein tehdyissä mittausissa, että hetellä t h, eli tuntia aluheten t 0 jäleen, bateerien luumäärä oli ensimmäisen erran ienemi uin aluhetellä Arvioi oehavaintojen erusteella, millä välillä rosenttiluu voi olla (Anna välin ääteisteet yhden desimaalin taruudella) A Kahden erääisen voimaaan maanjäristysen (voimauus yli, Richterin asteiolla mitattuna) välinen aia t (ysiönä vuoroausi) on satunnaismuuttuja, joa noudattaa esonentiaalijaaumaa tiheysfuntiona f ( t) t e 90 0, un, un t 0 t 0 Millä todennäöisyydellä seuraava voimaas maanjäristys a) sattuu vuoroauden aiana, b) ei satu ensimmäisen viion aiana siitä un edellinen voimaas järistys on juuri sattunut? (Anna todennäöisyydet olmen desimaalin taruudella) A Astiassa on vedellä laimennettua etanolia, jota uluu jatuvasti Alutilanteessa, jolloin astia on täynnä, etanolin ja veden seoitussuhde on : Tämän jäleen, aina un seosta on ulunut uolet astian sisällöstä, astia, astia täytetään lisäämällä etanolia ja vettä seoitussuhteessa :9 Miä on seosen etanoliitoisuus :nnen täytön jäleen? Mitä arvoa itoisuus lähestyy, un täyttöertojen luumäärä asvaa rajatta? Coyright HTKK 00

2 HTH, TTH, TH, UU, ÅA/Ingenjörsavdelningar Inträdesförhör i matemati 900 Serie A A Bestäm arean av det ändliga område, som begränsas av urvorna och (Eat svar) y, y, A Bestäm radien av den cirelsetor med omretsen, vars area är maimal A Planvetorerna a ja b har en gemensam utgångsunt å den räta linjen y, samt ändunterna (0, ) resetive (0, ) Bestäm utgångsunten ifråga, då a b (vetorn a :s salära rojetion å vetorn b ) är / av vetorn b :s längd A I en baterieodling fördubblas bateriernas antal varje timme, då baterierna ges en näringsvätsa Om näringsvätsan uteblir, minsar bateriernas antal med % varje timme I ett eerimet inleddes tillförseln av näringsvätsa vid tidunten t 0, och uhörde vid tidunten t h id observationer, som gjordes med en timmes mellanrum, unde man onstatera, att bateriernas antal vid tidunten t h, dvs timmar efter begynnelsetidunten t 0, för första gången var mindre än vid begynnelsetidunten I vilet intervall an rosenttalet ligga å basis av observationerna? (Ge intervallets ändunter med en decimals noggrannhet) A Tiden t (enhet dygn) mellan två raftiga jordbävningar (styra över, å Richtersalan) är en stoastis variabel med eonentiell täthetsfuntion f ( t) t e 90 0, för, för t 0 t 0 Med vilen sannolihet inträffar följande raftiga jordbävning a) inom dygn, b) inte under de fem första vecorna, efter det att en raftig jordbävning just har inträffat? (Ge sannoliheterna med tre decimalers noggrannhet) A Ett ärl innehåller med vatten utsätt etanol, som ontinuerligt förbruas Till att börja med, då ärlet är fullt, är etanolets och vattnets blandningsförhållande : Härefter fylls ärlet alltid å nytt, då hälften av dess innehåll förbruats, genom tillsättning av etanol och vatten i blandningsförhållandet :9 Bestäm ärlets innehålls etanolhalt efter den :te åfyllningen ilet värde närmar sig halten, då antalet åfyllningar väer obegränsat? Coyright HTH 00

3 INSMAT 00 A B C D Alue muodostuu osista ja A :, y, A :, y, joiden inta-alat ovat a(a ) = ( )d ( ln()) ln ln /, ln ln ln ln ln ln a(a ) = ( )d ( ln()) ln ln / ln ln ln ln ln ln Koo alueen inta-ala on siis a(a ) + a(a ) = 0 0

4 INSMAT 00 A B C D Jos ymyrän säde on r ja setorin esusulma on (rad), on vastaava aarenituus r, joten setorin ymärysmitta on r + r Kosa siis r + r =, on = = 0 = r r 0 r r Setorin inta-ala säteen funtiona on silloin A(r) = r r ( ) r r r A(r) = 8r - r A(r) = 0r - r A(r) = r - r Ehdosta A (r) = 0 - r = 0 saadaan A:n masimiohta: r = r = r = r = (A:n uvaaja on alasäin aueava arabeli)

5 INSMAT 00 A C B D Oloon yhteinen aluiste (, ) Silloin a (0, ) (, ) (, ), b (0, ) (, ) (, ) Nyt b ja mistä saadaan a b 0 a b, b 0 0 = 0 = = 0 = Siis haettu iste on (, ) ( rataisua) iste on (, )

6 INSMAT 00 A C B D Oletetaan, että bateerien luumäärä aluhetellä t = 0 on A > 0 Meritään (t) = bateerien luumäärä hetellä t (ysiönä tunti) Silloin siis (0) = A, ja (t) = t A, un 0 t ; erityisesti () = 8 A Kun t >, on (t) = ( ) t () 00 Oletusen muaan on () < A < (0) eli ( ) 8 8A < A < ( ) 8A, () < A < () ( ) 0 8A < A < ( ) 9 8A mistä saadaan eli > 89, ja toisaalta eli < Siis (yöristettynä) toteuttaa 9 < < 88 < < 0

7 INSMAT 00 tehtävä Aia seuraavaan voimaaaseen järistyseen on välillä 0 < t < toden- näöisyydellä 90 t / e dt e t e / 0 0 astaavasti t > taahtuu todennäöisyydellä 0 90 e t dt ( e ) e 08 (tai yhtä hyvin: 90 e t dt e 0 08)

8 INSMAT 00 tehtävä Oloon astian tilavuus ja oloon q = etanoliitoisuus :nnen täytön jäleen, = 0,,, Siis itoisuus alussa on q 0 = Täytössä lisätään etanolia aina määrä 9, joten q = ) 0 ( 0 ja q = q q jne; yleisesti q = 0 Sievennys => q = 0 0 Selvästi 0 q