Usemmn muuttujn funktioiden integrlilskent Sekä jnkättösistä että pedgogisist sistä otn usemmn muuttujn integrlilskennn heti hden muuttujn integrlilskennn jtkoksi Eräät trvittvt käsitteet kuten esimerkiksi usemmn muuttujn funktioiden jtkuvuus jäävät möhemmin määriteltäviksi sointegrli Keskeinen jtus: f(, )dd on tsolueess integroituvn relifunktion keskirvo kerrottun :n lll Kuv : R f f 4 :n l (ruutu/cm ), joten jos esimerkiksi f(, ) on likipitäen vkio 4 :ss, niin f(, )dd 44 ( likipitäen sllii sen, että f s poiket pljonkin 4:stä pint-lltn hvin pienissä :n osiss) äsmällisen määritteln luksi käsitellään tpus, joss on suorkulmio, [, b] [c, d] {(, ) b, c d} (, b, c, d R, < b, c < d), j f : R on rjoitettu funktio Kuv: j sen ossuorkulmiot ij tpuksess k 5 j l 3 (ks ll) ȧ 3 4 b k c l d 3 3 3 3 33 4 4 43 5 5 53 4
Nt -kselin välin [, b] jko D (,, k ) (ks9) j -kselin välin [c, d] jko D (,, l ) määrittelevät :n jon D D D ossuorkulmioihin ij [ i, i ] [ i, i ] (i,, k, j,, l) Merkitään i i i, i i i j ij i i, ij :n l Olkoon M sup(f( )), m inf(f( )), M ij sup(f( ij )), m ij inf(f( ij )), jolloin Määritellään ntkin (vrt 9) Yläsumm S D k l M ij ij, lsumm s D k i j i j l m ij ij, j Riemnnin summt R D k m m ij M ij M i, j i j l f(u ij ) ij (u ij ij ) skin s D R D S D j s D S D kikill :n joill D j D j sdn määriteltä f:n lintegrli I sup s D j f:n läintegrli I inf S D D D li suorkulmion Ne toteuttvt epähtälöt missä ( ) (b )(d c) on :n l m ( ) s D I I S D M ( ), Määritelmä Jos I I I, niin f on integroituv :ssä (li :n) j luku I f fd f(, )dd R on f:n tsointegrli li :n Integroituvuustesti pätee (smll todistuksell) ntkin: Luse Rjoitettu funktio f : R on integroituv li :n jos j vin jos kikill ɛ > on olemss :n jko D siten, että S D s D < ɛ Yleisen rjoitetun joukon tpuksess tsointegrli f määritellään f:n nolljtkon vull pusuorkulmiot kättäen: Olkoon R rjoitettu joukko, ts joukko, jok sisält johonkin tson suorkulmioon Olkoon lisäksi f : R rjoitettu funktio ällöin f:n nolljtko on funktio {, (, ) / f : R R, f (, ) f(, ), (, ) Olkoon suorkulmio, jolle 4
3 Määritelmä f on integroituv li :n, jos sen nolljtko f on integroituv li :n ällöin luku f fd f(, )dd f R on f:n tsointegrli li :n Huomutus oidn osoitt, ettei f :n (j siis f:n) integroituvuus j integrlin rvo riipu pusuorkulmion vlinnst sointegrlin vull sdn nt suorkulmion pint-lst lähtien järkevä määritelmä monimutkisemmnkin osjoukon R pint-llle: 4 Määritelmä Rjoitetull joukoll R on pint-l () dd jos vkiofunktio : R on integroituv li :n ällöin snomme, että on (Riemnnin mielessä) mitllinen 5 Esimerkki ([, ] [, ]) (Q Q) ei ole mitllinen, sillä suorkulmion [, ] [, ] mielivltiselle jolle D vkiofunktion : R nolljtkoll {, (, ) : R, (, ), (, ) \ pätee lä- j lsummille, että S D, s D S D s D ɛ ], [ Perustelu: Jokisess D:n ossuorkulmioss ij on sekä :n että \ :n pisteitä (joten in M ij, m ij ), kosk jokisell välillä on Q:n j R \ Q:n pisteitä 6 Määritelmä Olkoon R, ɛ > j r (, ) R (i) Joukko ɛ (r ) [ U ɛ (r ) (r, ɛ) N ɛ (r ) jne] {(, ) ( ) + ( ) < ɛ } (eli r -keskinen ɛ-säteinen kiekko ilmn reunmprää) on r :n ɛ-mpäristö [j ɛ (r ) U ɛ (r ) o U ɛ (r ) ɛ (r ) \ {r } punkteerttu r :n ɛ-mpäristö] (ii) Piste r on joukon () sisäpiste, jos ɛ (r ) jollin ɛ >, (b) ulkopiste, jos ɛ (r ) R \ jollin ɛ >, (c) reunpiste, jos se ei ole sisä- eikä ulkopiste (iii) Joukon reun {(, ) R (, ) on :n reunpiste} 43
7 Esimerkki i) Q Q R ii) Meille tärkein joukkotppi tämän kärän rjoittm joukko on reunkärä (iii) kuten 5:ssä [, ] [, ] (iv) äärellinen (v) Z Z Mitllisi joukkoj j integroituvi funktioit on pljon: 8 Luse Olkoon R rjoitettu joukko j f : R rjoitettu funktio ällöin () on mitllinen on mitllinen j ( ) (ts on nollmittinen) () Jos on mitllinen j f on :ss jtkuv lukuunottmtt mhdollist nollmittist epäjtkuvuusjoukko, niin f on integroituv li :n (3) Jos (), niin f on integroituv li :n j f odistus Sivuutetn (Luseen sisältö tk sen, että mitllisuus j integroituvuus ovt kätännön tilnteiss melkein in voimss rjoitetuille j f) sointegrlille f pätee luseen 3 vstine: (i) (f + g) f + g (ii) cf c f (iii) m () f M (), m inf(f()), M sup(f()) (iv) f f + f, kun ( ) j j ovt mitllisi 44
sointegrlin lskeminen Kätännössä tsointegrli sdn useimmiten lskettu lskemll kksi peräkkäistä määrättä integrli sin liittvä teori esitetään seurvksi ilmn todistuksi Ensin suorkulmion tpus: 9 Luse Olkoon [, b] [c, d] tson R suorkulmio j f : R integroituv Jos f(, )d g() on olemss [, b], d niin c f b g()d b d c f(, )d d Jos b f(, )d h() on olemss [c, d], niin f d h()d d b c c f(, )d d Huomutus (i) Esimerkiksi jtkuv funktio f : R toteutt utomttisesti luseen 9 oletukset Jtkuvlle f pätee siis f b d c f(, )d d d c b f(, )d d Näistä integrleist toinen voi joskus oll helpompi lske kuin toinen (ii) Merkintätpoj: f b d d c b d c b d d f(, ) (sulkuj ei trvit) f(, )dd ( -merkit j d,d smss järjestksessä ) c f(, )d d 45
Esimerkki i) [, ] [, ], f(, ) + (?) f ( f:n keskirvo :ssä ) ( :n l) 3 }{{}}{{} 4 + 4 erifioidn llä olev rvus kunnon lskull: f / d d( + ) d( + 4 ) / d ( + 4 ) ( + 4 )d + 4 + 4 3 4 ii) [, ] [, π ], f(, ) cos() π ässä d π/ d cos() on hnkl, joten kokeilln toist järjeststä: f π/ d d cos() π/ / d sin() π/ sin d / π/ cos Jos joukko on -projisoituv ti -projisoituv, f voidn plutt iteroiduksi integrliksi pusuorkulmion vull utkimme tätä Määritelmä Olkoot g j g välillä [, b] jtkuvi relifunktioit j olkoon g () g () [, b] Kärien g (), g () j suorien j b rjoittm joukko (3) {(, ) b, g () g ()} on -projisoituv stvsti kärien g (), g () j suorien j b rjoittm joukko {(, ) b, g () g ()} on -projisoituv Sekä että ovt mitllisi 46
Kuvt: b g () g () -projisoituv ( vrjostettu) b g () g () -projisoituv ( vrjostettu) (uudet, b, g j g ) Kuvn suorkulmion vull sdn -projisoituvll joukoll kv tsointegrlille: b c d g () g () [, b] [c, d] kuten 3:ss f 3 f 9 b d c f (, )d d [kosk f, kun g () > ti g () < ] b g () g () f(, )d d merk b d g () g () d f(, ) (4) 5 Luse (sointegrlin lskuluse) Olkoon {(, ) b, g () g ()} -projisoituv j f : R jtkuv ällöin f b d g () g () d f(, ) 47
Jos on -projisoituv, niin {(, ) c d, h () h ()} f d c d h () h () d f(, ) 6 Esimerkki (i) Lske f, kun {(, ), } j f(, ) + Rtkisu (4, ) 4 on -projisoituv, joten sdn, että f / ii) Lske I Rtkisu d d( + ) [ + 4 5 4 3] d / d (5 + ) ( 5 ) 4 + 8 3 3 8 + 64 4 Leikkuspiste: Siten sijoitus :ään ( 5 4 3 + 4 ) d + dd, kun {(, ) } } { {(, ), } on -projisoituv j 48
f / / d + d ( + / ) d d + / / + d / ( )( + ) + d ( ) 4 ( / ) 4 ( )d 8 / / ( ) iii) Lske f, kun f(, ) j on suorien,, j 3 + reunustm puolisuunniks (kuv ll) Rtkisu 3 + 3 + 3 ( ) 3 (, ) (6 3, ) 6 3 7 Hvitn, että -projisoituvuutt kättäen integrli hjoisi lopuksi kolmeksi plksi lärjfunktion mutkikkuuden vuoksi Kätetään siksi -projisoituvuutt: {(, ), ( )} 3 j f d 3 ( ) d (7 43 ) d / / 3 ( ) d 7 4 9 3 7 4 9 63 8 8 (7 3 )d 55 8 3 8 sointegrlien teoriss määrättjen integrlien sijoituskeino vst muuttujin vihto 49
Muuttujin vihto tsointegrliss v g f R u Kun tsointegrliss f(, )dd hlutn suoritt muuttujn vihto kuvuksen g :, g(u, v) ( (u, v), (u, v) ), vull tät korvt (u, v):llä j (u, v):llä j lisäksi on otettv huomioon pintmittojen pikllinen muuntuminen siirrttäessä integroimn joukon li iimeksi minitun tekee g:n Jcobin determinntin (7) D u (u, v) D v (u, v) J g D u (u, v) D v (u, v) J g (D u )(D v ) (D v )(D u ) itseisrvo (ässä D u on derivointi u:n suhteen j D v v:n suhteen) Jos kuvus g : on jtkuvsti derivoituv melkein bijektio (joko g on injektio j \ g() on nollmittinen ti g on surjektio j ne :n pisteet, joille g vie usemmn kuin hden :n pisteen muodostvt nollmittisen :n osjoukon), smme siis muuttujnvihtokvn f (f g) J g eli (8) f(, )dd f ( (u, v), (u, v) ) J g (u, v) dudv 9 Esimerkki Olkoon suorkulmio, jot rjoittvt suort,, + j + Lske I f, kun f(, ) + 5
Rtkisu + + u v g Sijoitetn (, ) g(u, v), { u v + { 5 (u + v) 5 ( u + v), jolloin g(u, v) ( (u, v), (u, v) ) 5 (u + v, u + v) j J g (u, v) 5 5 5 5 5 j g(), missä [, ] [, ], jok on helpommin käsiteltävä suorkulmio Nt g on (trkk) bijektio j smme f (f g) J g u + v 5v 5 dudv 5 du dv ( u v + ) 5 du / (u ln v + v) 5 (u ln + )du 4 ln + 5 ärkein muuttujin vihto on siirtminen npkoordintteihin (vrt 53): R r ϕ (, ) r ϕ Ṙ π (r, ϕ) g J g r 5
Muunnos g(r, ϕ) ( (r, ϕ), (r, ϕ) ) (r cos ϕ, r sin ϕ) kuv (r, ϕ)-tson suorkulmion [, R] [, π] melkein bijektiivisesti kiekolle R ( (, ) ) {(, ) + R } j sen Jcobin determinntti on r: D r J g (r, ϕ) D r D ϕ D ϕ D r (r cos ϕ) D ϕ (r cos ϕ) D r (r sin ϕ) D ϕ (r sin ϕ) cos ϕ sin ϕ r(cos ϕ + sin ϕ) r ( ) Muuttujnvihtokvn (8) nojll sdn nt integroituvlle f : R ( R (, )) kv () f f(r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ r sin ϕ r cos ϕ Esimerkki (i) dd dd + () () r cos ϕ rdrdϕ (tässä [, ] [, π]) 4 dr π π dϕ r 3 cos ϕ cos ϕ + r 3 dr dϕ 4 π π 4 π cos ϕdϕ (ii) Lsketn puolikiekon {(, ) +, } keskiö () dd, dd Nt g : [, ] [, π], g(r, ϕ) (r cos ϕ, r sin ϕ), on jtkuvsti derivoituv melkein bijektio (sillä rjt on vlittu oikein, ts npkoordinttimuunnos piirtää :n kertlleen näillä rjoill: + r j ϕ [, π] r sin ϕ ässä on voimss kosk ϕ π) 5
Nt () 48 π j ilmeisesti dd (:n keskirvo :ss on ): dd r dr π dϕ r cos ϕ r r dr / π sin ϕ Edelleen dd r dr π dϕ r sin ϕ r r dr / π ( cos ϕ) 3 3 Siis :n keskiö on π (, 3 ) (, 4 3π ) Kuv: ( vrjostettu) (, ) Puolikiekon keskiö (, ) (, 4 3π ) 4 3π 444 Jos kiekon keskipiste on (, ) (eikä siis origo), kätetään muunnost { + r cos ϕ + r sin ϕ (npkoordintit npn (, )) Esimerkki Lske dd kun on (, )-keskinen mprärengs {(, ) ( ) + 4} Rtkisu f(, ) on jtkuv j muunnos g : [, ] [, π], g(r, ϕ) ( + r cos ϕ, r sin ϕ) on jtkuvsti derivoituv melkein bijektio j J g r 53
Kuv ( vrjostettu): (, ) (3, ) r ϕ (, ) litn r j ϕ π, jolloin peitt melkein bijektiivisesti muunnoksell g Siten dd dr π dϕ( + r cos ϕ) r rdr / π (ϕ + r sin ϕ) π rdr π / r 3π vruusintegrlit vruuden R 3 {(,, z),, z R} suorkulmisiss särmiöissä [, b] [c, d] [s, t] {(,, z) b, c d, s z t} määritelln rjoitetun funktion f : R integrli f (f:n keskirvo kerrottun :n tilvuudell) määritellään välien [, b], [c, d] j [s, t] jkojen D, D j D z määrittelemän :n jon D D D D z (ossärmiöihin) vull ivn kuten tsointegrli Sm menetteltp leist mös korkempiulotteisiin R n :n (n 4) särmiöihin Yleinen integroimisjoukko R 3 (ti R n ) käsitellään pusärmiön j f:n nolljtkon f vull ivn kuten tsotpuksess Sivuutmme ksitiskohtiset trkstelut j keskitmme lskutekniikkoihin Smistetn R R 3 kuvuksen (, ) (,, ) välitksellä, ts jtelln R R 3 :n -tsoksi Joukko (3) {(,, z) R 3 (, ) R, mitllinen, c (, ) z c (, )} on -projisoituv, jos c : R j c : R ovt jtkuvi j c c 54
Kuv: z z c (, ) z c (, ) -tso R ẋ Jos on -projisoituv kuten llä j f : R on jtkuv, niin c (,) f f(,, z)dz dd c (,) Jos tässä {(, ), b () b ()} on -projisoituv, vruusintegrli f plutuu kolminkertiseksi iteroiduksi integrliksi b () c (,) f f(,, z)dz d d (4) d b () b () b () d c (,) c (,) c (,) dz f(,, z) Kvoiss (3) j (4) projektiosuunnt ovt tilnteen mukn (z- j z-projisoituvt, - j z-projisoituvt jne) vihdettviss Jos esimerkiksi kvn (3) :llä on mös esits {(,, z) R 3 (, z), d (, z) d (, z)}, missä on z-tson z-projisoituv osjoukko {(, z) e z e, g (z) g (z)}, niin kvn (4) integrli sdn mös muodoss f e e dz g (z) g (z) d d (,z) d (,z) d f(,, z) j joskus tämä voi oll helpompi lske kuin (4) ti toisin päin 55
5 Esimerkki i) Lsketn f, kun [, ] [, ] [, 3] j f(,, z) + + z rvus: f ( + + 3 ) ( 3) 3 6 8 (:n keskirvo, :n j z:n 3 j :n tilvuus 6) Lsku: f ii) Lsketn kun d d 3 d dz( + + z) d(3 + 3 + 9 ) d(6 + 6 + 9) / d / 3 d / d (3 + 3 + 9 ) (3 + 5) 8 (z + z + z ) f, kun f(,, z) z j {(,, z) z } Nt {(,, z) (, ), z }, {(, ) } {(, ), }, joten on -projisoituv j -projisoituv Siten f z dz dd ( 3 3 3 )dd d d( 3 3 3 ) 3 ( 3 )d Muuttujnvihto vruusintegrliss sujuu tsointegrlin teorist tuttuun tliin: Jos integrliss f(,, z)dddz hlutn siirtä uusiin muuttujiin u, v, w jtkuvsti ( derivoituvn melkein) bijektiivisen muunnoksen g :, g(u, v, w) (u, v, w), (u, v, w), z(u, v, w) vull, on muistettv ott huomioon tilvuuksien pikllinen muuntuminen ämän tekee g:n Jcobin determinntin D u D v D w ( J g D u D v D w Jg (u, v, w) ) D u z D v z D w z 56
itseisrvo J g Smme kvn (6) f (f g) J g f ( (u, v, w), (u, v, w), z(u, v, w) ) J g (u, v, w) dudvdw ärkeimpiä muuttujnvihtoj ovt siirtmiset pllokoordintteihin ti slinterikoordintteihin Pllokoordintit z (,, z) θ ϕ R ämän pituus r p + + z R 3 :n kuuln {(,, z) + + z R } pisteellä (,, z) on esits ns pllokoordinttien vull: r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, z r cos θ, missä r + + z, pisteen (,, z) etäiss origost ( r R), θ pisteen (,, z) pikkvektorin j positiivisen z-kselin välinen kulm ( θ π), ϕ projektiopisteen (,, ) npkulm -tsoss ( ϕ π) Pllokoordinttimuunnos g : {}}{ [, R] [, π] [, π], g(r, θ, ϕ) (,, z) ( r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ ), 57
on suorkulmisen särmiön jtkuvsti derivoituv melkein bijektio :lle Edelleen D r D θ D ϕ sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ r sin θ sin ϕ J g D r D θ D ϕ sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ D r z D θ z D ϕ z cos θ r sin θ lske r sin θ ( ) j smme :ss integroituvlle funktiolle f : R muuttujnvihtokvn (7) f (f g) J g eli f(,, z)dddz R π dr dθ π dϕ f(r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ) r sin θ 8 Esimerkki i) Lsketn pllokoordinteill R-säteisen pllon (kuuln) tilvuus vol() vol() R π dr dθ π 3 R3 π 4 3 πr3 dϕ r sin θ R r dr π sin θdθ π dϕ ii) Lsketn puolipllon {(,, z) + + z, z } keskiö vol() dddz, dddz, zdddz (,, z ) Ilmeisesti smmetrisistä, j vol() 3 π kohdn i) nojll Kosk 58
puoliplloss on θ π, sdn joten zdddz R dr R 4 (,, z ) π/ dθ π r 3 dr / π/ dϕ r cos θ r sin θ π/ cos(θ) 4 (,, π 4 } cos θ {{ sin θ } sin(θ) dθ π π ) ( 3,, 3 ) π 8 π dϕ ( 4 + ) π 4 4, Slinterikoordintit Jos {(,, z) + R, z b}, kätetään :n pisteiden esittämiseen usein slinterikoordinttej ρ, ϕ, z: Pri (ρ, ϕ) on projektion (, ) (,, ) npkoordinttiesits -tsoss j z z Kuv : ( on kuvn slinteri) z b (,, z) ρ p +, ( ρ R) ϕ π z b ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z z ϕ ρ (,, ) R g : [, R] [, π] [, b], g(ρ, ϕ, z) (,, z) (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z) on jtkuvsti derivoituv melkein bijektio j cos ϕ ρ sin ϕ J g sin ϕ ρ cos ϕ ρ ( ), 59
joten smme slinterikoordinttien muuttujnvihtokvn (9) f (f g) J g eli R f(,, z)dddz dρ π b dϕ dz f(ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z) ρ 3 Esimerkki i) Lsketn slinterin [7, 9] tilvuus, kun {(, ) ( ) + ( 3) 4} on (, 3)-keskinen -säteinen kiekko Nt g(ρ, ϕ, z) (,, z) ( + ρ cos ϕ, 3 + ρ sin ϕ, z) on suorkulmisen särmiön [, ] [, π] [7, 9] melkein bijektiivinen jtkuvsti derivoituv surjektio :lle j J g ρ (vkiot j 3 häviävät derivoinneiss) Siten π 9 π 9 vol( ) dρ dϕ dz ρ ρdρ dϕ dz / ρ 7 π 8π kuten pitikin (pohjn l π, korkeus ) ii) Olkoon {(, ) +, } j [, ] Nt sdn slinterikoordinteill rjoin ρ, ϕ π, z bijektiivisesti, joten esimerkiksi π π ( + +z )dddz }{{} ρ ρdρ ρ π / dϕ ( ρ + 7 ) dρ π 3 ( 3 4 + 7 ) 6 dρ ) (ρ z + z3 π 3 3π / π dϕ ρdρ dz(ρ + z ) ρ ( ρ + 8 3 ρ ) 3 ρ 4 4 + 7 ( 4 6 ρ π 4 + 7 6 4 7 ) 6 7 6
Epäoleelliset tso- j vruusintegrlit Eräissä tpuksiss f voidn määritellä, vikk integroimisjoukko j/ti integroitv funktio f eivät olisi rjoitettuj ämä tehdään sopivill rj-rvotrksteluill, joist ksinkertisimmt liittvät merkin säilttävään funktioon f Keskitmme näihin esittelemällä pri perustpust Merkin säilttävällä f rjnkänneissä voi kättää tietntppisiä testijoukkoj Olkoon ensin R mitllinen (ts ( () ) j rjoitettu, r (, ), \ {r } j f : R jtkuv Jos f on rjoitettu j positiivinen joukoiss ɛ \ (ks 6i) {}}{ ɛ (r ) {(, ) ( ) + ( ) ɛ} (ɛ > ), niin määritellään f:n epäoleellinen tsointegrli (3) f lim ɛ ɛ f R (Ide: ɛ kun ɛ Piirrä kuvio!) edellttäen, että oikenpuoleinen rj-rvo on olemss j relinen ällöin snotn, että f suppenee; muuten se hjntuu 3 Esimerkki Olkoon () {(, ) + } origokeskinen ksikkökiekko utkitn epäoleellisen integrlin f suppenemist, kun f(, ) + (, ) \ {} Nt ɛ \ ɛ () on origokeskinen mprärengs (sisäsäde ɛ, ulkosäde ) j siten ɛ f npk ɛ dr π dϕ r r π ɛ / r π( ɛ) π, kun ɛ, joten epäoleellinen integrli f suppenee kohti luku π: < + dd π + Olkoon sitten f rjoitettu j positiivinen :ss, mutt rjoittmton Jos f on jtkuv j nollmittinen, niin :n rjoitetuiss osiss M M () (ks 6
kuv) f on integroituv: Kllin suurill M, M j on olemss määritellään (33) f lim M M f R M f ällöin edellttäen, että oikenpuoleinen rj-rvo on olemss j relinen ässä tpuksess snomme, että epäoleellinen integrli f suppenee; muuten se hjntuu Kuv ( M vrjostettu): f R M M [Reunkärän pint-l on ] 34 Esimerkki Olkoon {(, ) + } j f(, ) + Nt rvoill M >, M {(, ) + M} on origokeskinen mprärengs (sisäsäde, ulkosäde M) j npkoordintteihin siirtmällä sdn M f M dr π dϕ r r π / M Siten f hjntuu (vrt esim 3) r π(m ) M ärkeä erikoistpus suppenevist tsointegrleist ovt tihesfunktiot 35 Määritelmä Funktio f : R R on tihesfunktio, jos f(, ) (, ) R j R f(, )dd 6
36 Huomutus Jos stunnisvektorill Z (X, Y ) (X j Y ovt stunnismuuttuji) on tihesfunktion f : R R, niin jokisell tson mitllisell (reunltn nollmittisell) osjoukoll luku P (Z ) f(, )dd on sen tphtumn todennäköiss, että Z (X, Y ) osuu :hn 37 Esimerkki ) Lsketn R e dd Nt f(, ) e (, ) R j (33):n R j M M () on M-säteinen origokeskinen kiekko Siirtmällä npkoordintteihin sdn, että f M M π / M e r dr dϕ e r r π ( ) π e M ( ) π M Kvn (33) nojll on siis (38) f R R e dd π b) Osoitetn edellisen esimerkin integrlin (38) vull, että kuten esimerkissä 63(iii) luvttiin ätä vrten riittää nättää, että e d π R e dd e d j tähän riittää smmetrisistä todist kv M e d M π 4 4 R e dd (integrli li ensimmäisen neljänneksen >, > on neljäsos integrlist li koko tson) 63
Kuv Neliötä M mpäröivät neljänneskiekot C M (sisältä) j M (ulko) M M C M M M Merkitään M [, M] [, M] { M (, ) + M,, } j {C M (, ) + M,, }, jolloin neljänneskiekot C M, j M ovt kuten kuvss, C M M M M M Kosk f(, ) e >, on kikill M > f f f C M M M Kohdn ) nojll on C M f M π 4 j M f M π 4, joten kuristusperitteen nojll M f M π 4 Mutt toislt f M M M e e dd M e d M e d M e d Siis kuten pitikin M e d M π 4 64
c) -kohdn nojll R e dd π, joten funktio g(, ) π e on eräs tihesfunktio R R: g(, ) j R g(, )dd Epäoleellisi vruusintegrlej j korkempiulotteisi epäoleellisi integrlej määritellään j käsitellään epäoleellisten tsointegrlien esittelssä opitull tvll dmme hteen esimerkkiin: 39 Esimerkki Olkoon {(,, z),, z } j f(,, z) Suppeneeko f? ( + + z) 3 Rtkisu Kosk f(,, z) > (,, z), voidn ljenevin joukkoin kättää kuulien sijn mös esimerkiksi keskenään hdenmuotoisi särmiöitä tutkittess integrlin f suppenemist (vrt esimerkki 36 b) Merkitään C() [, ] [, ] [, ] ( > ), jolloin C() f / d d ( d d dz ( + + z) 3 ( + + ) ( + ) ( + + + ) d ln ( + ) ( + ) ln 3 4 ln 3 4 ln + + + stus: Ei suppene / ln + ( + ) ) ln 3 ( ) 4 d / d / d ( ( + + z) + + ) + (ln + ln + + ln ) 65