5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

Transkriptio

1 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + <, c) d) > +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) , b) n n, c) , d) n.. Määritä lusekkeiden rvot 4 ) (l), b) l= 5 ( )k, c) 4. Todist induktioperitteen vull, että n ) j n(n + )(n + ) =, n N, b) n n n +, n N. 6 j= 5. Millä reliluvun rvoill k= ) =, b) 7 =, c) = 5, d) 5 < 4, e), f) 4 >? 6. ) Osoit, että ( + b) b kikill, b. b) Sievennä () ( ) 8( ) (4 ). 7. Osoit, että + y, kun j y. 8. Olkoon z = i j w = + i. Lske z + w, z w, w, zw, iw, w, w, 9. Tutki, ovtko vektorit ) = i j k, = j + k, = i + 4 j k, b) v = i j + k, v = i + j k, v = i + j k j= 8. z w j w. linerisesti riippumttomi j muodostvtko ne vruuden R knnn. Jos vektorit muodostvt knnn, määrää vektorin u = (4,, 4) koordintit ko. knnn suhteen.. ) Olkoot A(,, ), B(,, ) j C(, 4, 5) vruuden R pisteitä. Lske AB AC j AB AC sekä vektoreiden AB j AC välinen kulm rdinein. b) Tutki, ovtko vektorit u 4 v j u + v kohtisuorss toisin vstn, kun tiedetään, että u = j v = sekä u v = 4.. Määrää reliluvut s j t siten, että u v = 5 i + 5 k, kun u = 4 i + s j t k j v = s i + j + s k. Tote, että tällöin u = v.. ) Tutki vektoritulon vull, ovtko vektorit u = i+6 j 9 k j v = 4 i 8 j+ k yhdensuuntiset. b) Tutki sklrikolmitulon vull, muodostvtko vektorit u = i j + k, v = 4 i + j 4 k j w = i + j + k knnn vektorivruuteen R.. ) Määrää sen suorn vektorimuotoinen prmetriesitys, jok kulkee pisteiden A(,, ) j B(,, ) kutt. Missä pisteessä suor leikk z-tson? Tutki, onko piste Q(4, 5, 5) tämän suorn piste. b) Olkoot l : p = + t u = (,, ) + t(,, ), t R, j l : r = b + s v = (,, ) + s(,, ), s R, kksi suor. Määrää suorien leikkuspiste sekä sen suorn vektorimuotoinen prmetriesitys, jok kulkee suorien leikkuspisteen kutt j jonk suuntvektori on kohtisuorss suorien l j l suuntvektoreit u j v vstn.

2 4. Määrää vektoritulon vull pisteen P (,, ) etäisyys suorst l : p = (,, 5) + t(,, ), t R. 5. Määrää pisteiden A(, 7, ), B(4,, ) j C(, 4, ) kutt kulkevn tson vektorimuotoinen prmetriesitys j yhtälö normlimuodoss + by + cz + d =. 6. Määrää tson T : p = + s u + t v = (,, ) + s(,, ) + t(,, ), s, t R, j suorn l : r = b + m w = (,, ) + m(,, ), m R, leikkuspiste sekä pisteen P (, 4, ) etäisyys tsost T. 7. ) Osoit, että pisteen P (, y, z ) etäisyys tsost T : + by + cz + d = voidn lske kvst + by + cz + d. + b + c b) Määrää piste P -kselilt siten, että sen etäisyys tsoist T : 6y + 5z + = j T : + y z = on yhtä suuri. 8. Ellipsin isokseli on suorll y = j pikkukseli suorll =. Lisäksi ellipsin isokselin pituus on j polttopisteiden välinen etäisyys 6. Määritä ellipsin yhtälö muodoss A +By +C+Dy+E =, missä A, B, C, D, E R. Mikä on ellipsin eksentrisyyden e lukurvo? 9. Määrää hyperbelin 9y + 8 = keskipiste sekä eksentrisyyden e lukurvo.. Määrää prbelin y + = huippu.. Määritteleekö yhtälö ) y =, b) y =, c) y = + y:n :n funktion? Hhmottele kuvjt.. Määrää funktion f määritysjoukko, kun ) f() =, b) f() = , c) f() = ) Olkoot f j g funktioit, joille f() = j g() =. Määrää funktiot f + g, fg j f g määritysjoukkoineen M f+g, M fg j M f. g b) Olkoon f() = 5 + funktio, jonk määritysjoukko M f = [, [. Olkoon edelleen g() = 5 funktio, jonk määritysjoukko M g = [4, [. Määrää yhdistetyt funktiot f g, g f j f f määritysjoukkoineen M f g, M g f j M f f. 4. Tutki funktion f prillisuus/prittomuus, kun ) f() = +, b) f() = +, c) f() = +, d) f() =, e) 5 f() = 5 +,. 5. Määritä funktion f perusjkso, kun ) f() = cos(7), b) f() = sin(), c) f() = tn(5). 6. Rtkise ) sin() = cos, b) cos() >, c) sin() <.

3 7. Esitä seurvt lusekkeet muodoss A sin(ω + ϕ): ) sin() + cos(), b) 4 sin + cos. 8. Rtkise ) + =, b) > 4, c) ( ), d) =, e) e e =, f) sinh() =. 9. Mikä on funktion f käänteisfunktio f määritysjoukkoineen M f, kun ) f() = +, b) f() = +, 6, c) f() = 5 8,?. Rtkise ) log = 5, b) log 4 ( + 4) log 4 ( + ) =, c) log ( + + ).. Määritä funktion f määritysjoukko M f j kuvjoukko K f, kun ) f() = sin(rc sin ), b) f() = sin(rc cos ), c) f() = cos(rc sin ). Sievennä f:n määrittelylusekkeet.. Rtkise ) rc sin() =, b) rc cos(4) <, c) rc tn(4 + ) > 4.. Lske rj-rvot ) lim, b) lim ( ), c) lim, sin() d) lim 4. Lske rj-rvot, e) lim sin(4), f) lim cos sin ) lim 7, b) lim + 9 +, sin() + 9. c) lim ( + ), d) lim Määritä ) lim 6. Määritä ( ) lim sin, b) lim ), b) lim, c) lim ln cos( ) Olkoon + sin(b), < f() = cos() +, < cosh(ln( )) + b,. Määritä ne vkioiden, b R rvot, joill funktio f on jtkuv koko relilukujen joukoss R. 8. Osoit, että välillä [, ] funktio f() = 4 sin() + s rvon ) Osoit, että yhtälöllä sin = on inkin yksi rtkisu. b) Funktio f on jtkuv välillä [, ] j < f() <, kun. Osoit, että funktioll f on inkin yksi kiintopiste välillä ], [ ts. inkin yksi ], [ siten, että f( ) =.

4 4. Johd derivtt määritelmää käyttäen funktiolle ) f() = 5 +, b) f() =, >. 4. Esitä derivtt käyttäen (vliten sopivt merkinnät): ) kppleen nopeus on suorn verrnnollinen ikn, b) kppleen lämpötiln muutosnopeus on suorn verrnnollinen kppleen j ympäristön lämpötiln erotukseen, c) kppleen kiihtyvyys on kääntäen verrnnollinen nopeuteen. 4. Määritä prbelin y = f() = + ) pisteen (, ) kutt kulkev tngentti, b) pisteen (, ) kutt kulkevt tngentit. 4. Pllon säteen r rvo sdn mittuksi trkkuudell r. cm. Määritä differentili pun käyttäen r:n mittusvirheestä pllon tilvuuden V (r) = 4 r j pint-ln A(r) = 4r rvoon iheutuv bsoluuttinen j suhteellinen virhe, kun r:ksi mitttiin. cm. 44. Derivoi ) e e +, b) (4 + + ) cos(), c) 45. Derivoi tn() +. ) e, b) ln( 4 + ), c) tnh(), d) rc sin( ), e) rc tn(e ), f) cos, g) e ln, h) e, i) ln(ln + 4). 46. ) Lske (f ) (), kun f() = +, 6. b) Voidn osoitt, että funktioll f() = ln( + ) + 4 rc tn( + ), > on olemss käänteisfunktio. Määritä (f ) (). 47. Näytä, että funktio y(t) = Ce t, missä C, R, toteutt yhtälön y (t) y(t) =. Mikä on y(t), kun = j y() = 4? 48. Olkoon y() = C sin() + C cos(), C, C R. Näytä, että y toteutt yhtälön y + 4y =. Määritä selliset vkiot C j C, että y() = j y () =. 49. Lske rj-rvot ) lim ln( ) + 4, b) lim sin() + e cos(), c) lim ln(sin ) ( ), d) lim + ln(), e) lim (e + ), f) lim ( + sin( )). 5. ) Osoit derivtn vull, että funktioll f() = 5 4 4, R, on käänteisfunktio y = f (). Lske (f ) (8). b) Osoit derivtn vull, että funktioll f() = e 6( ), >, on käänteisfunktio, j määrää käänteisfunktion kuvj y = f () pisteessä (7, ) sivuvn tngentin yhtälö. 5. ) Määrää funktion f() = ( ) kriittiset pisteet j käännepisteet. Tutki myös kriittisten pisteiden ltu. b) Määrää funktion f() = e piklliset äärirvot. 5. Määrää funktion f() = rc tn suurin j pienin rvo välillä [, ].

5 5. Määrää kokonisdifferentili usen muuttujn funktiolle f, jolle ) f(, y, z) = yz + yz + y, b) f(, y) = y cos y. 54. Rinnn kytkettyjen vstusten R j R kokonisvstus on R = R R R +R. Kuink suuri on korkeintn R:n bsoluuttinen j suhteellinen virhe, kun mitttiin ohmin trkkuudell R = j 4 ohmin trkkuudell R =. 55. Yhtälö + y +y = 4 määrittelee muuttujn y muuttujn funktion (y = f()) pisteen (, ) ympäristössä. ) Osoit, että piste (, ) on yhtälön määrittelemällä käyrällä. b) Määrää y ( ). c) Määritä käyrää pisteessä (, ) sivuvn tngentin yhtälö. 56. Funktio y = f() määritellään implisiittisesti yhtälöllä e y (y y + ) = 9. Määritä derivtt y () = f () implisiittisesti eli muuttujien j y vull lusuttun. 57. Määrää y muuttujien j y vull, kun y + y =. 58. Olkoon y-tson käyrä. (t) = t + t y(t) = t + t, t >, t ) Määrää käyrää pisteessä (, ) sivuvn tngentin yhtälö. b) Määrää ne käyrän pisteet, joiss tngentin kulmkerroin on 9. c) Määrää niiden tngenttien yhtälöt, jotk käyrälle voidn piirtää origon (, ) kutt. 59. Olkoon kppleen pikk jnhetkellä t yhtälön mukinen. ) Mikä on kppleen pikk hetkellä t =? b) Millä hetkellä kpple on pisteessä ( 4, 5 4 )? r(t) = (rc tn( et ), e t + ) c) Mikä on kppleen nopeus, vuhti j kiihtyvyys pisteessä ( 4, 5 4 )? 6. Lske käyrän ((t), y(t)) = ( t, ln(t + )), t krevuus pisteessä (4, ln 5) ) lähtien nnetust prmetrimuodost, b) muuntmll ensin käyrän yhtälö muotoon y = y(). 6. ) Lusu npkoordinteiss y-tson piste (, ). b) Lusu npkoordinteiss ympyrän ( + ) + y = 9 yhtälö. 6. ) Minkä y-tson pisteen npkoordinttiesitys on (r, φ) = (5, 4 )? b) Minkä y-tson käyrän npkoordinttiesitys on r = 5 sin φ (määritä myös järkevät φ:n rvot)? 6. Esitä seurvt kompleksiluvut muodoss z = re iφ : ) 7, b) 5i, c) + i ) Mille kompleksiluvuille z on voimss yhtälö z + 4z + =? b) Ann yhtälön z + 7 = kikki rtkisut sekä muodoss z = re iφ, missä r > j φ [, [, että muodoss z = + ib, missä, b R.

6 65. Määrää ) ( ) d, b) d) 9 d, e) + 4 d, c) 5 d, f) + ( ) d, d. 66. Integroi ) sin(4) d, b) sin (4) d, c) sin (4) d, d) cos (4) d, tn (4) e) cos d, f) tn () d, g) e d, h) cos()e sin() d, (4) i) e ln() d, j) sin() cos()e cos () d, k) d, l) ln() d, m) d, n) d, o) + + d, p) d Lske määrätyt integrlit ) d) 6 ( e ) d, b) tn() d, e) 68. Määritä se funktion / /4 e 4 d, c) ln cosh(4) d, ln d, f) e 4 e + d. f() = 4 + integrlifunktio, jonk kuvj kulkee pisteen (5, ) kutt. 69. Olkoon f() = Määritä funktion f piklliset äärirvokohdt. 7. Lske 7. Lske cos() + d. ) e d, b) d) rc tn() d, e) 7. Lske nnettu sijoitust käyttäen: ) c) (t )e t dt. sin() d, c) e + e d, t = e, b) ( 4) + 5 d, t = + 5, d) ln d, + 7 d, f) e sin d. 5 4 d, t = 4,, ( + ) d, t = ) Määritä käyrän y = f() = 4 7, -kselin sekä suorien = j = rjoittmn + äärellisen lueen pint-l. b) Määritä käyrän = y j suorn y = rjoittmn lueen pint-l.

7 74. ) Lske npkoordinttimuodoss nnetun käyrän r = φe φ sekä positiivisen - j positiivisen y-kselin väliin jäävän lueen l. b) Lske npkoordinttimuodoss nnettujen käyrien r = ( +φ) j r = φ väliin jäävän lueen pint-l, kun φ. 75. Lske ) d, b) + 9 d, c) 9 d, d) 9 d, e) 9 9 d. 76. Integroi ) d, b) ) Määrää sellinen funktion 6 4 ( d, c) ) f() = ( + ) (4 + ) integrlifunktio, jonk kuvj kulkee pisteen (, 4 ) kutt. b) Lske sijoitust t = e käyttäen 78. ) Käyrä e + e + 8e (e + ) (e + ) d ( + ) ( ) d. y = f() = 4 + ( + )( + 4), pyörähtää -kselin ympäri. Lske muodostuneen kppleen tilvuus. b) Käyrien y = j y = rjoittm lue pyörähtää -kselin ympäri. Lske muodostuneen kppleen tilvuus. 79. Yhtälön (y )(y + 4y + 7) = y + 7y 6,, y määrittämä käyrä pyörähtää y-kselin ympäri. Lske muodostuneen kppleen tilvuus. 8. ) Lske kren pituus funktiokäyrälle y =, 8. b) Lske prmetriesityksen { = t + y = t määrittelemän käyrän pisteiden (, ) j (, ) välisen kren pituus. c) Lske kren pituus npkoordinttiesityksen määrittelemälle käyrälle r = e φ, φ. 8. ) Käyrä y =, pyörähtää -kselin ympäri. Lske muodostuneen kppleen vipn l. b) Lutsntennin heijstuspinnn voidn tulkit muodostuneen siten, että prbelin kri y =, 6 5 on pyörähtänyt y-kselin ympäri. Lske ntennin heijstuspinnn pint-l.

8 Vstuksi hrjoitustehtäviin syksy 4. ) = ti = ti = 4 b) < ti > c) 4 < d) < ti < < 7 e) ti < +. ) 5 n k b) k k d) n ( ) k k k= k= k c) k k= k=. ) b) 4 c) 8 5. ) = ti = b) = ± ti = ± c) ei millään reliluvun rvoll d) 5 < < e) ei millään reliluvun rvoll f) kikill reliluvun rvoill 6. b) z + w = 5 i, z w = 4i, w = i, zw = 9 7i, iw = + i, w = i, w =, z w = i, w = 8 + 6i 9. ) ei, eivät muodost knt b) kyllä muodostvt knnn, vektorin u koordintit,,. ) AB AC = 6, AB AC =, kulm.9 rd b) eivät ole kohtisuorss toisin vstn. s = ± j t =. ) ovt yhdensuuntiset b) muodostvt knnn. ) p = ( t) i + ( + t) j + ( t) k, t R, piste (,, ), piste Q(4, 5, 5) on suorn piste b) leikkuspiste (,, 6), suor p = ( + t) i + ( + t) j + (6 t) k, t R p = ( + s + t) i + (7 s t) j + ( + 4s + 4t) k, s, t R, 8 + 4y z 78 = 6. leikkuspiste ( 4,, 7 ), etäisyys 6 7. b) P (,, ) ti P ( 4,, ) y + y 84 =, e =.6 9. keskipiste (, ), e =. huippu (, ). ) kyllä b) ei c) kyllä. ) M f = R \ { 4, } b) M f =], [ c) M f = [ 4, 4] \ {}. ) (f + g)() = + 5, M f+g = R \ {, }, (fg)() = +, M fg = R \ {, }, ( f g )() = , M = R \ {, } f g b) (f g)() =, M f g = [8, [, (g f)() =, M g f = [, [, (f f)() = , M f f = [, [ 4. ) prillinen b) priton c) ei prillinen eikä priton d) prillinen e) priton 5. ) 7 b) c) 5 6. ) = 4 + n, n Z ti = 8 + n, n Z b) 6 + n < < 6 + n, n Z c) 5 + n < < 7 + n, n Z 7. ) sin( + 4 ) b) 5 sin( +.645) 8. ) = ln ln 4 ln ln ln b) < ln c) + ln d) = ln e) = ln( + ) f) = ln( + ) 9. ) f () = ( ), M f = R b) f () = + M f = [ 7, 4 5 ] 4+96 c) f () = 5, M f = [, ]. ) = 5 b) = c) < <. ) M f = [, ], K f = [, ], f() = b) M f =], ] [, [, K f = [, [, f() = c) M f = [, ] K f = [, ] f() =. ) = 6 b) < 4 c) >. ) b) c) 6 d) e) 4 f) 8 4. ) 7 b) c) d) 5. ) b) c) ei ole olemss 6. ) b) 7. = 7, b = 7 4. ) + b), > 4. ) d dt dt = kt b) dt = c(t (t) T (t)) c) dv dt = r v 4. ) y = 4 + b) y =, y = V.4 cm, V V %, A 7.6 cm, A A 7% e 44. ) (e +) b) (8 + ) cos() ( ) sin() c) ( tn() +) cos () ( +)

9 45. ) e b) c) cosh () d) e e) +e f) ln sin cos g) e ( ln + ) h) e e ( ln + ) i) ( +4) ln( +4) 46. ) (f ) () = 4 (+), 7 < < 4 5 b) (f ) () = 47. y(t) = e t 48. C =, C = 49. ) 6 5 b) 6 c) 8 d) e) e f) e 6 5. ) (f ) (8) = 96 b) y = ) = j = 5 5 = j = 5 5 itoj pikllisi mksimipisteitä, itoj pikllisi minimipisteitä, käännepisteet (, ), ( 5 5, ), ( 5 5, ) b) f() = ito pikllinen minimi, f() = 4e ito pikllinen mksimi 5. suurin rvo f() =, pienin rvo f( ) = + 5. ) df = (yz + yz + y) d + (z + z + ) dy + (yz + yz) dz b) df = ( y cos( y ) sin( y )) d + ( cos( y ) + y sin( y )) dy 54. R Ω, R R % 55. b) y ( ) = 4 c) y = y () = e y (y +) 57. y () = 8 (+y) 58. ) y = 9 4 b) (, ) c) y = 59. ) (rc tn( ), ) b) t = ln c) nopeus r (ln ) = i j, vuhti r (ln ) =, kiihtyvyys r (ln ) = j 6. κ = ) (r, φ) = (, ) b) r = cos φ + cos φ + 8, φ [, [ 6. ) (, y) = ( 5, 5 ) b) + (y 5 ) = ( 5 ), φ [, ] 6. ) 7 = 7e i b) 5i = 5e i c) + i 5 = 6e irc tn ) z = ± i b) z = e i = + i, z = e i = + i, z = e i 5 = + i( ) 65. ) + 4 ln ( ) C b) C c) 6 ( ) + C d) 8 ln(9 + ) + C e) 5 rc tn(5) + C f) ln + C 66. ) 4 cos(4) + C b) 6 sin(8) + C c) 4 cos(4) + cos (4) + C d) 4 tn(4) + C e) tn (4) + C f) tn() + C g) e + C h) e sin + C i) e + C j) + C k) ecos ln () + C l) ln ln() + C m) rc tn( 4 5 ) + C n) rc tn( + ) + C o) 4 rc sin( 4 ) + C p) rc sin( ) + C 67. ) ln e + e b) e 4 c) 55 8 d) ln e) 6 f) ln F () = rc tn( ) 69. = ito pikllinen mksimikoht, = ito pikllinen minimikoht ) e 9 e + C b) 8 c) ln d) 4 rc tn() rc tn() C e) f) 5 e (cos + sin ) + C 7. ) rc tn(e ) + C b) 4 5 c) 5 88 ( 5 d) + ) C 7. ) ln( 9 ) b) ) 8 ( e ) b) ) rc tn()+c b) 8 ln 9 +C c) ) ln + + C b) ln ) F () = + + rc tn() ) ln 7 b) b) ln( e+ 79. ln rc tn ( ) 8. ) 7 (7 7 ) b) ( ) c) ( e ) 8. ) (48 4) b) ( ) ln +C d) 54 ln 9 +C e) ln 9 +C + C c) ln (+) + + C e + ) + (e ) (e+) + rc tn(e) 4

10 u v = KAAVAKOKOELMA VÄLI- JA LOPPUKOKEISIIN u i v i u v = i= d(p, l) = i j k u u u v v v u ( AP ) u sin + cos = tn = sin ( ) sin = sin( ) = cos u v w = u u u v v v w w w n ( AP ) d(p, T ) = n cot = cos tn ( ) cos = cos( ) = sin sin = sin cos cos = cos sin = cos = sin sin α = b sin β = c = b + c bc cos α sin γ sin( + y) = sin cos y + cos sin y cos( + y) = cos cos y sin sin y sinh = (e e ) cosh = (e + e ) tnh = sinh coth = cosh cosh sinh cosh sinh = D n = n n D sin = cos D cos = sin D tn = cos = + tn De = e D = ln ( > ) D ln = Drc sin = Drc cos = D log = ( >, ) ln Drc tn = + (f ) (y ) = f ( ), missä y = f( ) κ(t) = (t)y (t) (t)y (t) [( (t)) + (y (t)) ] n d = n+ + C (n ) d = ln + C tn d = ln cos + C n + d cos = ( + tn d ) d = tn + C sin = ( + cot ) d = cot + C d d = rc sin + C = rc tn + C + s = b A = b φ f() d A = (r(φ)) dφ φ φ + (f ()) d s = (r (φ)) + (r(φ)) dφ s = V = b φ (f()) d b A = b f() + (f ()) d Q() = ( ) k... ( r ) k r ( + c + d ) l... ( + c s + d s ) l s ; P () Q() = A, A,k ( ) k A r, r A r,k r ( r ) k r ( (t)) + (y (t)) dt + B, + C, + c + d B,l + C,l ( + c + d ) l B s, + C s, B s,l s + C s,ls + c s + d s ( + c s + d s ) ls ϕ cos ϕ sin ϕ 6 4