Monikulmion pinta-ala ylioppilaille

Transkriptio

1 Solmu 3/9 Monikulmion pint-l lioppilille Mik Koskenoj Mtemtiikn j tilstotieteen litos Helsingin liopisto Tehtävä. Kuusikulmion M kärjet ovt tson pisteissä (, ), (3, ), (, ), (4, 3), (, ) j (, ). Lske M:n pint-l. 3 M Vektorinlsin lkeit Koulumtemtiikn funktio-opiss käsitellään lähinnä relirvoisi funktioit, jotk on määritelt relikselin osjoukoss. Kun R, niin funktio f : R kuv määritteljoukon jokisen luvun joksikin reliluvuksi f(). Tällisen funktion kuvj on tpn esittää tson pisteinä (, f()). All olevss kuvss on esitett erään välillä [, ] määritelln jtkuvn funktion kuvj, jok on tsokärä. f() (, f()) sitin Solmun numeross /9 kirjoituksess Monikulmion pint-l koululisille tehtävälle kksi keskenään smntpist rtkisu, jotk vtivt inostn jo peruskoulun läluokkien oppiliden hllitsemi lkeisgeometrin tietoj. Jtkn nt smst iheest esittäen tehtävälle tstin erilisen rtkisun, jok perustuu vst liopistomtemtiikn luss opittviin vektorinlsin perusteisiin. Prin kuitenkin siihen, että tämänkertisenkin rtkisun seurmiseen riittää lukion pitkän mtemtiikn derivointi- j integrointititojen hvä hllint. nsimmäinen skel vrsinisen vektorinlsin puolelle tehdään tutkimll relirvoisi funktioit, jotk on määritelt tson osjoukoss. Relitso R koostuu järjestetistä relilukupreist (, ), joit kutsutn tson pisteiksi. Nt funktio f : D R, missä D R, kuv pisteen (, ) D reliluvuksi f(, ). Tällisen funktion kuvj voidn esittää kolmiulotteisen vruuden pisteinä (,, f(, )). Seurvss kuvss on neliössä N [, ] [, ] määritelln jtkuvn funktion f : N R, f(, ), kuvj, jok on pint vruudess R 3.

2 Solmu 3/9 Osittisderivtt Relikselin osjoukon tillle funktion määritteljoukoksi setettiin edellä tson osjoukko. Toislt funktioiden käsittelä voidn leistää niin, että rvojoukoksi setetn tso R relilukujoukon R sijst. Kun R, niin funktio f (f, f ): R kuv määritteljoukon jokisen luvun joksikin relilukupriksi f() (f (), f ()) R. Funktioit f, f : R kutsutn funktion f koordinttifunktioiksi. Mös nt funktion f (f, f ) kuvj voidn esittää kolmiulotteisen vruuden pisteinä (, f (), f ()). All olevss kuvss on esitett erään välillä [, ] määritelln jtkuvn funktion (eli polun) kuvj, jok on kärä R 3 :ss. f () f () Funktion määrittel- j rvojoukkojen ljennukset tsoon voidn hdistää tutkimll funktioit f (f, f ): D R, missä D R. Tällöin f kuv jokisen relilukuprin (, ) D relilukupriksi f(, ) (f (, ), f (, )) R. Nt pisteistä (,, f(, )) (,, f (, ), f (, )) R 4 koostuvn funktion kuvjn hvinnollistminen ei ole mhdollist htä helposti kuin edellä. Sen sijn koordinttifunktioiden f j f kuvjt voidn esittää vruuden R 3 pistejoukkoin (,, f (, )) j (,, f (, )), jtkuvss tpuksess eritisesti pintoin. Funktiot f (f, f ): D R kutsutn vektorikentäksi. Koulumtemtiikst tuttujen funktioiden f : R, R, nlsissä derivointi j integrointi ovt keskeisiä tökluj. Näin on mös vektorinlsissä, joten käsittelemme seurvksi vektorifunktioiden derivointi j integrointi. Trkstelemme tson voimiss ti suljetuiss joukoiss määriteltjä funktioit, joiden rvot ovt tilnteest riippuen joko relilukuj ti relilukuprej. 5 Aloitetn derivtn käsittel tutkimll funktioit f : D R, missä D R on voin. Olkoon (, ) D. Jos rj-rvo f(, ) lim h f( + h, ) f(, ) h on olemss, niin se on funktion f osittisderivtt muuttujn suhteen pisteessä (, ). Vstvsti, jos f(, ) lim h f(, + h) f(, ) h on olemss, niin se on funktion f osittisderivtt muuttujn suhteen pisteessä (, ). Melko helposti hvitn, että osittisderivttojen lskeminen plutuu tuttuun ksiulotteiseen derivointiin. Kun nimittäin trkstelln voimell välillä ] r, + r[ määriteltä funktiot g() f(, ), niin f(, ) g ( ), kunhn derivtt on olemss. Vstvsti, kun trkstelln voimell välillä ] r, + r[ määriteltä funktiot h() f(, ), niin ollessn olemss f(, ) h ( ). simerkki. Olkoon f : R R, f(, ), jonk kuvj neliössä N [, ] [, ] on esitett tämän sivun ensimmäisessä kuvss. Nt f(, ) j f(, ). Näin ollen esimerkiksi f(, 3) j f(, 3) 3 6. Trkstelimme edellä ensimmäisen kertluvun osittisderivttoj. Voimme jtk toisen kertluvun osittisderivttoihin. Jos ensimmäisen kertluvun osittisderivtt ovt olemss jokisess D:n pisteessä, niin ne määräävät kksi uutt funktiot f : D R j f : D R, joit voimme rittää osittisderivoid. Jos kseiset toisen kertluvun osittisderivtt ovt olemss jokisess D:n pisteessä, niin merkitsemme niiden määräämiä funktioit f, f, f j f. Voimme jtk edelleen korkemmn kertluvun osittisderivttoihin pitäen mielessä, että ne eivät välttämättä ole olemss, vikk lemmn kertluvun osittisderivtt olisivtkin. Kun siirrmme vektorikenttään f (f, f ): D R, niin voimme trkstell koordinttifunktioiden f : D R j f : D R osittisderivttoj f i (, ) j f i (, ), i,. dellä esitetllä menettelllä voimme lske näillekin korkemmn kertluvun osittisderivttoj, mikäli ne ovt olemss.

3 Solmu 3/9 3 simerkki. Trkstelln vektorikenttää f : R R, f(, ) ( sin, cos ). Nt f (, ) sin, joten f (, ) cos j f (, ) sin. Vstvsti f (, ) cos, joten f (, ) cos j f (, ) sin. Koordinttifunktion f toisen kertluvun osittisderivtoiksi sdn f (, ) sin, f (, ) cos, f (, ) j f (, ) cos. Vstvsti f :n toisen kertluvun osittisderivtoiksi sdn f (, ), f (, ) sin, f (, ) cos j f (, ) sin. Snomme, että funktio f : D R on n kert jtkuvsti derivoituv D:ssä, jos sillä on olemss n. kertluvun osittisderivtt jokisess pisteessä (, ) D j osittisderivttojen määräämät funktiot ovt jtkuvi. ritisesti f on kerrn (kksi kert) jtkuvsti derivoituv D:ssä, jos sillä on olemss ensimmäisen (ensimmäisen j toisen) kertluvun osittisderivtt jokisess pisteessä (, ) D j osittisderivttojen määräämät funktiot ovt jtkuvi. Vektorikenttä f (f, f ): D R on n kert jtkuvsti derivoituv D:ssä, jos f j f ovt n kert jtkuvsti derivoituv D:ssä. Jtkuvn derivoituvuuden määritelmät tehdään vstvsti mös funktioille f : R, missä R on voin. Hvitsemme esimerkistä, että f cos f j f sin f. Tämä ei ole vin sttum, sillä kseiset htälöt toteutuvt in kksi kert jtkuvsti derivoituville funktioille, jollinen mös esimerkin vektorikenttä f on. Pint- j käräintegrlit Lukion pitkässä mtemtiikss tulee tutuksi määrätt integrli j sille voimss olev nlsin perusluse f()d / F() F() F(), missä F on välillä [, ], <, määritelln rjoitetun funktion f integrlifunktio. Määrätn integrlin geometrinen merkits on -kselin, suorien j sekä jtkuvn j positiivisen funktion f kuvjn väliin jäävän lueen A pint-l, ks. seurv kuv. Huom, että suljetull välillä [, ] määritelt jtkuv funktio on in rjoitettu tällä välillä. l(a) Pintintegrli. Joukon, jonk li integroidn, ei trvitse välttämättä oll jn -kselill. Jos R on riittävän säännöllinen suljettu j rjoitettu joukko, sekä f : R on jtkuv j positiivinen, niin pintintegrlin f()d rvo on joukon, sen reunn kutt kulkevn tso vstn kohtisuorn umpinisen pinnn j funktion f kuvjn z f(, ) rjmn kppleen tilvuus. Pintintegrli määritellään vstvsti kuin relikselin määrätt integrli Riemnnin summien vull, ks. [Mrtio, luku 4]. Riittävän säännöllinen merkitsee tässä htedessä sitä, että joukon reun ei ole liin monimutkinen. simerkiksi monikulmiot ovt in riittävän säännöllisiä. Itse siss on melko hnkl konstruoid joukko, jok ei ole trpeeksi säännöllinen pintintegrlin lskemiseksi. Kätännössä pintintegrlin rvo voidn usein lske iteroitun integrlin. Jos suljettu j rjoitettu joukko voidn lusu muodoss {(, ) R : g() h(), [, ]}, missä funktiot g, h: [, ] R ovt jtkuvi j g() h() kikill [, ], niin f(, )dd ( h() g() ) f(, )d d. nsin funktiot f integroidn välillä [g(), h()] muuttujn suhteen niin kuin olisi vkio, jolloin integroitvksi funktioksi sdn vin :stä riippuv funktio, jot sitten integroidn :n suhteen välillä [, ]. h([, ]) g([, ]) simerkki 3. Olkoon R kolmio, jonk kärjet ovt pisteissä (, ), (, ) j (, ). Lsketn tsointegrli li :n funktiolle f(, ). Vlitn nt funktioiksi g, h: [, ] R, g() j h(), ks. seurv kuv. Tällöin f(, )dd ( ) d ( d d ) d / ( / ) d

4 4 Solmu 3/9 f(, ) (,, f(, )) (,, ) (, ) (,, ) (,, f(, )) (,, ) f() (,, f(, )) (,, ) (, ) (, ) (,, ) Hvitsemme kuvst, että edellä lskemmme tsointegrlin rvo 4 3 on sellisen monithokkn tilvuus, jonk kärjet ovt pisteissä (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) j (,, ). Tässä tson pisteet (, ), (, ) j (, ) on smistettu R 3 :n pisteiden (,, ), (,, ) j (,, ) knss. Hvinto. Jos integroidn vkiofunktiot f li riittävän säännöllisen joukon, niin sdn joukon, sen reunn kutt kulkevn -tso vstn kohtisuorn umpinisen pinnn j vkiofunktion kuvjn rjmn kppleen tilvuus. Hvitsemme, että stu luku on itse siss smll mös joukon pint-l, eli l() dd. Vstvsti ksiulotteisess tpuksess välin [, ] pituus sdn integrlin d /, <, jok on toislt -kselin, suorien j sekä vkiofunktion f kuvjn väliin jäävän lueen A pint-l. Hvitsemme lisäksi, että A on suorkide, jonk knnn pituus on j korkeus on. mikäli tvlliset derivtt i (t) pisteissä t ], [ j toispuoleiset derivtt pisteissä j ovt olemss. Jos derivtt on olemss koko välillä [, ], niin snomme, että on derivoituv. Jos on derivoituv lukuunottmtt äärellistä määrää pisteitä t [, ], niin snomme, että on ploittin derivoituv. delleen, mikäli (ploittin) derivoituvn polun koordinttifunktiot j ovt jtkuvsti derivoituvi j (t) (, ) (mhdollisesti lukuunottmtt äärellistä määrää pisteitä t [, ]), niin snomme, että polku on (ploittin) säännöllinen. simerkki 4. Merkitään tson pisteet K (, ) j K (, ) hdistävää jn [K, K ], jolloin siis [K, K ] R. Jn [K, K ] esittävä polku (, ): [, ] [K, K ] on (t) ( t)(, ) + t(, ) (( t) + t, ( t) + t ) ( (t), (t)), t [, ]. Tällist polku on tpn kutsu jnpoluksi. : [, ] [K, K ] t K (, ) () (t) K (, ) () Polku : [, ] D on umpininen, jos () (). Olkoon nt D sellinen suljettu j rjoitettu joukko, että sen reun voidn esittää umpinisell (ploittin) säännöllisellä polull : [, ]. simerkiksi kikkien n-kulmioiden reun voidn esittää umpinisell ploittin säännöllisellä polull. Joukon reun esittävän polun snotn olevn positiivisesti suunnistettu, jos kiertää joukon inostn kerrn j on pisteen (t) läheisdessä vektorin (t) vsemmll puolell kikiss pisteissä t [, ], joiss (t) on olemss. f(, ) f() A Käräintegrli. Olkoon : [, ] R (ploittin) derivoituv polku (t) ( (t), (t)), t [, ]. Jos ([, ]) D R j f : D R on jtkuv, niin päädtään (sklrikentän) käräintegrliin Polku. Olkoon D R voin j <. Jtkuv kuvust (, ): [, ] D snotn poluksi joukoss D. Kuvuksen jtkuvuus trkoitt, että molemmt koordinttifunktiot i : [, ] R, i,, ovt jtkuvi. Polun derivtt (t) pisteessä t [, ] on vektori (t) ( (t), (t)) R, f ds f((t)) (t) + (t) dt. Tämä on tvllinen -ulotteinen määrätt integrli. Sen geometrinen tulkint on polulle setetun idn A pint-l, kun idn korkeus pisteessä (t) on f((t)), ks. seurv kuv.

5 Solmu 3/9 5 f((t)) (t) l(a) Jos käräintegrliss f, niin sdn polun pituus l() ds (t) + (t) dt. simerkki 5. Yksikkömprän kehä {(, ) R : + } voidn esittää polull : [, π] R, (t) ( (t), (t)) (cost, sint), t [, π], jok on umpininen, säännöllinen j positiivisesti suunnistettu. Tällöin (t) sint j (t) cost, joten l() π sin t + cos t dt π dt / π t π, jok on tunnetusti ksikkömprän kehän pituus, mutt se on siis mös ksikkömprän kehää esittävän polun (jok on kuvus) pituus. : [, π] R t π (t) () (π) (, ) Olkoon tilnne muuten kuten edellä sklrikentän käräintegrli määriteltäessä, mutt oletetn, että f (f, f ): D R on jtkuv vektorikenttä. Tällöin määritellään (vektorikentän) käräintegrli f d s f((t)) (t)dt ( f ((t)) (t) + f ((t)) (t)) dt, jok on edelleen tvllinen -ulotteinen määrätt integrli. Jos integroidn li umpinisen polun, niin käräintegrleille on tpn kättää merkintöjä f ds j f ds. Monet määrätn integrlin perusominisuudet ovt voimss mös tso- j käräintegrleille. simerkiksi linerisuus integroitvn funktion suhteen on tsointegrlille voimss muodoss (c f + c g)dd c f dd + c g dd, kun f, g: R j c, c R. Vektorikentän käräintegrlille dditiivisuus integroimisjoukon suhteen s muodon f d s f d s + f d s, kun polku on suunnistuksen säilttäen hdiste khdest polust j. Kun käännetään polun : [, ] R n suunt määrittelemällä uusi polku (t) ( (t )), t [, ], niin f d s f d s. Mitä määrätn integrlin tuttu kv tämä vst? Greenin luse j monikulmion pint-l Greenin luse on ksi nlsin perusluseen leistksistä tsoon, joiss on oleellist, että pintintegrli li tson joukon voidn lusu integrlin li joukon reunn. Tämähän on mös nlsin perusluseen keskeinen ominisuus: integroimisjoukkon olev relikselin väli [, ] korvtn siinä välin päätepisteillä, kun määrätn integrlin rvo sdn integrlifunktion pisteissä j smien rvojen erotuksen. Seurv Greenin luseen muotoilu on trpeisiimme sopiv j riittävä, mutt tuloksell on useit erilisi j leisempiäkin muotoiluj. Greenin luse. Olkoon D R voin j rjoitettu, j olkoon f (f, f ): D R kerrn jtkuvsti derivoituv vektorikenttä. Jos D on suljettu joukko, jonk reun esittää ploittin säännöllinen positiivisesti suunnistettu polku, niin f ds ( f (, ) f (, )) dd. Seurus. Olkoon R suljettu j rjoitettu joukko, jonk reun esittää ploittin säännöllinen positiivisesti suunnistettu polku. Tutkitn vektorikenttää f : R R, f(, ) (, ). Tällöin funktion f koordinttifunktiot ovt f (, ) j f (, ), joten f (, ) j f (, ). Hvinnon j Greenin luseen mukn l() dd ( )dd ( f (, ) f (, ))dd f d s.

6 6 Solmu 3/9 Seurus. (Monikulmion pint-l) Jos n-kulmion M kärjet ovt vstpäivään kiertäen pisteissä K i ( i, i ), i,...,n, niin M:n pint-l on l(m) n i missä n+ j n+. ( i+ + i )( i+ i ), Todistus. sitetään n-kulmion M reun M siten, että i on polku, jok esittää jn kärjestä K i kärkeen K i+, i : [, ] [K i, K i+ ], i (t) ( i, (t), i, (t)), missä i, (t) ( t) i + t i+, i, (t) ( t) i + t i+, i,...,n j t [, ]. Tällöin i, (t) i+ i j i, (t) i+ i. Nt vektorikentän käräintegrlin määritelmän perusteell i f ds f( i (t)) i (t)dt (, ( t) i + t i+ ) ( i+ i, i+ i )dt ( i+ i ) (( t) i + t i+ )dt / ( i+ i ) ( i t + ( i+ i )t ) ( ( i+ i ) i + ) i+ i ( i+ + i )( i+ i ). Kosk polkujen i hdiste reunn esitksenä on ploittin säännöllinen j positiivisesti suunnistettu, niin seuruksen j vektorikentän käräintegrlin dditiivisuusominisuuden perusteell sdn n l(m) f ds f d s M n i i i ( i+ + i )( i+ i ). Seuruksen perusteell smme tehtävän rtkisuksi l(m) [ (3 + )( ) + ( + 3)( + ) + (4 + )(3 ) + ( + 4)( 3) + ( )( ) + ( + )( ) ] [ ] 6 8. Tulos on tietsti sm kuin Solmun /9 rtikkeliss Monikulmion pint-l koululisille khdell eri tvll lskettu M:n pint-l. Monikulmion pint-ln kvst seur eräs mielenkiintoinen hvinto. Jos n-kulmion M (kuink monimutkisen thns) kärjet ovt kokonislukupisteissä (l, m) Z, niin l(m) k, missä k Z +, sillä monikulmion pint-ln summkvss osoittjss olev termi ( i+ + i )( i+ i ) on tällöin in kokonisluku. Jtkn smst iheest josskin Solmun tulevss numeross vielä kolmnnell kirjoituksell. sitän tehtävälle khdess kirjoituksessni jo esitetistä tvoist poikkevn rtkisun, jok perustuu Pickin luseeseen. Tehtäviä lukijlle Tehtävä. Lske lle piirretn -kulmion pint-l Tehtävä. Johd r-säteisen mprän pint-l πr Greenin luseen (seuruksen ) vull. Tehtävä 3. Johd säännöllisen kuusikulmion, jonk sivun pituus on s, pint-l 3 3 s Greenin luseen (seuruksen ) vull. Johd sm tulos tsogeometrisesti kättäen hväksesi Pthgorn lusett. Tehtävä 4. Kuusikulmion M kärjet ovt vstpäivään kiertäen pisteissä (, ), (6, ), (6, ), K (, ), (3, 4) j (, 3). Määritä kärjen K (, ) ensimmäinen koordintti siten, että M:n pint-l on ), ) 3, c) 5. Piirrä kuvt! Tehtävä 5. Piirrä kuv itse keksimästäsi -kulmiost j lske sen pint-l. Kirjllisuutt Adms, Roert A., Clculus: complete course, 6th edition, Addison Wesle, 6. Lehto, Olli, Differentili- j integrlilskent II, Offset O, 98. Mrtio, Olli, Vektorinlsi, Limes r, 4.