Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Transkriptio

1

2 Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden pistetulon eli sklritulon. Opetustilnteiss on sopiviss yhteyksissä totuttu käyttämään myös ristitulo j sklrikolmitulo. Tämä tiivistetty ineisto on ldittu tätä opettmisen vihtoehto vrten. Aineisto tukee myös opiskelij hänen siirtyessään lukiost mtemttis-luonnontieteellisiin jtko-opintoihin. Ristitulo eli vektoritulo Vektoreiden j ristitulo eli vektoritulo trkoitt vektori = sin(, ) e Merkintä luetn " risti ". Vektori e on vektoreit j vstn kohtisuorss olev yksikkövektori niin, että, j e tässä järjestyksessä muodostvt oiken käden järjestelmän (vrt. ll olev kuv). Kun j ovt yhdensuuntisi, niin määritelmän mukn = 0. Erikseen sovitn, että 0 = 0= 0. Kosk in sin(, ) 0 j e =, on vektorin pituus = sin(, ). Toislt tämä luseke ilmoitt vektoreiden j määräämän suunnikkn pintln, sillä vstvn kolmion l on sin(, ), j suunnikkn l on kksi kert niin suuri. e = suunnikkn pint - l Ristitulo noudtt eräin poikkeuksin lukujen tulolle ominisi lskulkej. Niiden perusteell voidn vektoreiden = i + j k j = i + j k ristitulo lske seurvn säännön mukisesti: x y + z x y + = ( ) i+ ( ) j+ ( ) k y z z y z x x z x y y x z

3 Tulos voidn esittää determinnttin seurvss esimerkissä esitettyä muistisääntöä. Esimerkki Lske, kun = i + j + k j = i + j + 4k. = x y z j lske käyttämällä x y z = i j k 4 i j tulo tulon vstluku = 8 i 6 j + k + 4k i 4 j = i 0 j + k Sklrikolmitulo Kolmen vektorin, j c muodostm tulo ( ) c snotn sklrikolmituloksi. Merkintä voidn kirjoitt ilmn sulkeit, kosk vektoritulo on jok tpuksess lskettv ensin, jott luseke olisi määritelty. Koordintiston vektoreiden sklrikolmitulo voidn lske determinnttin x y z c=. Tästä voi vrmistu niin, että ensin muodostetn vektori, x y z cx cy cz sitten tämän j vektorin c pistetulo j verrtn näin stu tulost determinntist muodostettuun lusekkeeseen. Tulkitn sklrikolmitulo c geometrisesti. Kun vektorit, j c lkvt smst pisteestä, ne määräävät suuntissärmiön. Sen pohjn pint-l on. c α h Jos vektoreiden j c välinen kulm on α, sdn pistetulon määritelmän mukn ( ) c= c cosα. Tässä c cos α on särmiön korkeus ti sen vstluku sen mukn, onko α terävä vi tylppä. Särmiön korkeus on siis in c cosα, joten vektoreiden, j c määräämän suuntissärmiön tilvuus on V = c.

4 Esimerkki Lske sklrikolmitulo c, kun = i j k, = i + j k j c = i j + k. c = = = 0 Sklrikolmitulo on noll. Silloin myös vektoreiden, j c määräämän suuntissärmiön tilvuus on noll, mikä merkitsee, että vektorit, j c ovt smss tsoss. Seurviss sovelluksiss rtkisut esitetään ensin ilmn ristitulo j sitten sitä käyttäen. Kolmion pint-l Lske kolmion A(,, )B(, 0, )C(, 4, 6) pint-l. Vlitn kolmion sivuvektoreiksi AB = = i j + k j AC = c = i + j + k. Pistetulo soveltmll sdn niiden välisen kulmn kosiniksi cos α = = = 7 7 on näin ollen 8 7, jolloin sin α = 8 ( ) 7 A = sin α = 7 7 = 7. 7 = 7. Kolmion pint-l Edellisessä kohdss muodostetut vektorit j c määräävät suunnikkn, jonk pint-l on c. Ristitulovektori on c = = 0i + j 0k, joten = =. Kolmion l on siis A = c = 7.

5 4 Tson yhtälö Tso kulkee pisteiden A(,, ), B(,, 0) j C(,, ) kutt. Esitä tson yhtälö muodoss x + y + cz + d = 0. Tson suuntvektoreiksi voidn vlit vektorit AB = i j + k j AC = i j. Tson normlivektori n = i + j + ck on kohtisuorss suuntvektoreit vstn, joten vstvt pistetulot ovt nolli. Sdn yhtälöpri + c = 0 j = 0, jost = j c = 4. Tällöin n = i + j + 4k j normlivektoriksi voidn vlit i + j + 4k. Tson yhtälö on x + y + 4z + d = 0. Sijoittmll tähän esimerkiksi pisteen B koordintit sdn + + d = 0 eli d = 4. Hettu yhtälö on x + y + 4z 4 = 0. Tson normlivektoriksi voidn ott AB AC = = i + j + 4k. 0 Tson yhtälö on siis x + y + 4z + d = 0. Sijoittmll tähän esimerkiksi pisteen B koordintit sdn + + d = 0 eli d = 4. Tson yhtälöksi sdn näin ollen x + y + 4z 4 = 0. Suuntissärmiön tilvuus Lske sen suuntissärmiön tilvuus, jonk kärkinä ovt origo O j pisteet A(,, 0), B(0,, ) j C( 4, 0, ). Pikkvektoreiden OA = = i + j j OB = = j + k välisen kulmn kosini on cos α = =, joten sin α =. Pohjn olevn suunnikkn pintl on A = sin α =. Pisteiden O, A j B kutt kulkevn tson 8 yhtälöksi sdn x y z = 0. Pisteen C etäisyys tästä tsost on h = 4 0 =. Suuntissärmiön tilvuus on V = Ah = 8. Muodostetn pikkvektoreiden = i+ j, = j+ k j c= 4i+ k sklrikolmitulo. 0 Sdn c = 0 = 8. Suuntissärmiön tilvuus on 4 0 siis V = c = 8.

6 Tetredrin tilvuus Smst pisteestä lkvien vektoreiden, j c määräämän tetredrin tilvuus sdn lskemll ensin vstvn suuntissärmiön tilvuus. Suuntissärmiö voidn jk vektorin c suuntisell :n j :n kärkien kutt kulkevll tsoll khteen smnliseen kolmisivuiseen särmiöön. Vektoreiden, j c määräämän tetredrin tilvuus on kolmsos tällisest särmiöstä eli kuudesos suuntissärmiön tilvuudest. All olev kuv hvinnollist si. c c c Pisteen etäisyys vruussuorst Lske pisteen A(, 4, 7) etäisyys pisteiden B(,, ) j C(,, 6) kutt kulkevst suorst. Kuvn merkityt vektorit ovt A(, 4, 7) = i + j + 9k j = 4 i 6 j + 8k. Silloin d = = = = 6. C(,-, 6) 6 6 B(,,-) Tämä on suorkulmisen kolmion kteetin pituus. Kosk hypotenuusn pituus on = 9, on toisen kteetin pituus eli ky- sytty etäisyys d = 9 6 = 6. 4 Ilmistn vektoreiden j määräämän suunnikkn l khdell tvll: = d, jost d =. Kosk = 9 = 78i + 8 j 8k, ( 8) 7 9 niin d = = =

7 6 Tehtäviä. Lske ristitulo. ) = i j + k, = i + j + k ) = i 4 j + k, = i j + k c) = i + k, = j + k. Vektorit = i j + k j = i + j k ovt suunnikkn sivuin. Lske suunnikkn pint-l.. Kolmion kärkipisteet ovt A(,, 0), B(,, ) j C(,, ). Lske kolmion ABC pint-l. 4. Tson suuntvektorit ovt u = i j + k j v = i + j k. Määritä jokin tson normlivektori.. Lske pisteen A(,, ) etäisyys pisteiden B(,, ) j C(,, ) kutt kulkevst suorst. 6. Lske sklrikolmitulo c. ) = i j + k, = i + j k j c = i + j + k ) = j + k, = i + k j c = i + j + k c) = i + j, = j + k j c = i + k 7. Tutki, ovtko vektorit, j c smss tsoss, kun = i + j 4k, = i + j 4k j c = i + j. 8. Suuntissärmiön pohjsärminä ovt vektorit i j k j i + j 4k sekä sivusärmänä vektori 4 i + j + k. Määritä suuntissärmiön ) tilvuus, ) korkeus. 9. Tetredrin särminä ovt smst pisteestä lkvt vektorit i j + k, i + j k j i + j + k. Lske tetredrin tilvuus. 0. Tetredrin kärkinä ovt pisteet A(,, ), B(,, 0), C(4, 0, 6) j D(, 4, ). Lske tetredrin tilvuus. Vstuksi:. ) i j + k ) 7i 0 j 9k c) i j k. 66 8,. 6 4, 0 4. esim. n = i + j + k. 6. ) 8 ) 7 c) 7. ovt 8. ) 60 )