Matematiikan tukikurssi

Transkriptio

1 Mtemtiikn tukikurssi Integrointi Integrointi on derivoinnin käänteistoimitus: jos funktion F(x) derivtt on f (x), niin funktion f (x) integrli on F(x). Täten, kosk esimerkiksi funktion x + e x derivtt on x + e x, niin tämän funktion x + e x integrli on x + e x. Tätä merkitään seurvsti: x + e x dx x + e x. Tässä ( )dx trkoitt yksinkertisesti että luseke ( ) integroidn. Se on yhtenäinen merkintä, jonk ost j dx eivät trkoit yksinään vrsinisesti mitään, joskin dx kertoo, että integrointi suoritetn x:n suhteen. Vstvsti ( )dy trkoitt integrointi y:n suhteen. Vstvsti huomtn esimerkiksi, että x 5 dx 6 x6, kosk d dx 6 x6 x 5. Integrointi on siis helppo, jos ost rvt, minkä funktion derivtt tietty funktio on. Tvlln siis ost jo integroid, jos ost derivoid. Integrlifunktio ei kuitenkn ole yksikäsitteinen: myös funktio /6x 6 + on funktion x 5 integrlifunktio, kosk funktion /6x 6 + derivtt on x 5. Itse siss jos F(x) on funktion f (x) integrlifunktio eli dx d F(x) f (x), niin myös funktio F(x) + C on funktion f (x) integrlifunktio millä thns vkion C rvoll, kosk d (F(x) + C) f (x) + f (x). dx Kun nyt puhutn integroinnist, trkoitetn määräämättömän integrlin lskemist. Lisäksi on olemss määrätty integrli. Näiden khden välinen ero selviää iknn.

2 Esimerkki.. ( Funktion ) 4x kikki integrlifunktiot ovt muoto 4 3 x3 + C, kosk dx d 43 x 3 + C 4x. Kosk integrointi on derivoinnin käänteistoimitus, niin jokist derivoimissääntöä vst käänteinen integroimissääntö. Otetn näistä esimerkkejä. Esimerkki.. Potenssifunktion x n derivtt on nx n. Täten x n dx n + xn+ + C. Eli kosk potenssin derivoimissääntö kertoo, että potenssi tulee eteen kertoimeksi j potenssi vähenee yhdellä, kertoo vstv integrointisääntö että potenssi ksv yhdellä j tämän yhdellä ksvneen potenssin käänteisluku tulee eteen kertoimeksi. Tästä seur esimerkiksi, että x 35 dx 36 x36 + C. Esimerkki.3. Tunnetusti logritmin ln x derivtt on /x. Täten dx ln x + C, x kun x >. Tähän mennessä käsitellyt integroinnit ovt olleet käytännössä melko suorviivisi. Hnklmpi tehtäviä ovt usein derivoinnin ketjusääntöön perustuvt integroinnit. Derivoinnin ketjusääntöhän kertoo, että yhdistetyn funktion f (g(x)) derivtt on f (g(x))g (x). Eli ulkofunktion derivtt (rvoll sisäfunktio g(x)) kert sisäfunktion derivtt. Täten tämä sääntö kertoo meille esimerkiksi, että Dx(x + 6x) (x + 6x) 9 (x + 6). Täten luonnollisesti (x + 6x) 9 (x + 6)dx (x + 6x) + C, eli käytännössä tässäkään integroimissäännössä ei ole mitään uutt: se kertoo inostn että f (g(x))g (x)dx f (g(x)) + C. Käytännössä vike on huomt, että luseke (x + 6x) 9 (x + 6) on muoto f (g(x))g (x).

3 Esimerkki.4. (3x + )e x3 +x+5 dx e x3 +x+5 + C. Mtemttisen nlyysin kurssilt muistuu mieleen myös, että logritmin derivoimissääntöä j ketjusääntöä voi yhdistää derivoitess funktion f (x) logritmi: Dx ln f (x) f (x) f (x). Tässä pitää muist, että logritmi on määritelty inostn, kun f (x) >. Toislt jos f (x) <, niin silloin puolestn ln( f (x)) on määritelty (kosk tällöin f (x) > ) j Dx ln( f (x)) f (x) f (x) f (x) f (x). Täten funktion f (x) integrointi tuott tuloksen ln f (x) + C, jos f (x) on f (x) positiivinen, j tuloksen ln( f (x)) + C, jos f (x) on negtiivinen. Nämä kksi tpust voi yhdistää kätevästi kirjoittmll, että f (x) dx ln f (x) + C, f (x) joss f (x) voi oll negtiivinen ti positiivinen, kunhn f (x). Kosk esimerkiksi Dx ln(x + 5x + ) x + 5 x + 5x +, niin vstv integrointi kertoo täten, että ( ) x + 5 x dx ln x + 5x + + C. + 5x + Eli jos tunnistt integroitvn funktion olevn muoto f (x), niin integrointitehtävän vstus on yksinkertisesti ln f (x) + f (x) C. Esimerkki.5. Integroidn nyt funktio x + 4 x 3 + x. 3

4 Tämä ei itse siss ole muoto f (x)/ f (x), mutt sen huomtn olevn muoto 4 f (x)/ f (x). Kosk integrointi on linerinen opertio, tämän lusekkeen integrointi voidn suoritt helposti siirtämällä kerroin 4 eteen: x + 4 x 3 + x dx 4 3x + x 3 + x dx 4 ln x 3 + x. Tässä vditn täydellisyyden vuoksi vielä ehto x 3 + x. Huom, että integrlifunktio F(x) on in derivoituv, kosk määritelmän mukn F (x) f (x). nlyysin peruskurssill osoitettiin, että derivoituv funktio on in jtkuv. Tästä seur, että integrlifunktio on in jtkuv. Tästä tuloksest on pu, kun hetn ploittin määriteltyjen funktioiden integrlej, kuten ll olevss tehtävässä: Esimerkki.6. Etsitään funktion { x, kun x f (x) x, kun x < integrlifunktio. luksi integroidn funktio ploittin: funktion x integrlifunktiot ovt muoto 3 x3 + C j funktion x integrlifunktiot ovt muoto x + C. Täten funkion f (x) integrlifunktiot F(x) ovt muoto { 3 x 3 + C, kun x F(x) x + C, kun x <. Tämän integrlifunktion pitää kuitenkin oll jtkuv, kosk integrlifunktiot ovt in jtkuvi. Tämä rjoitt vkioiden C j C rvoj. Jott tuo integrlifunktio olisi jtkuv, on oltv että pisteessä x nuo kksi plst yhtyvät, eli 3 x3 + C x + C, kun x. Tästä seur, että on oltv C C. Täten hlutut integrlifunktiot voidn ilmist muodoss: { 3 x 3 + C, kun x F(x) x + C, kun x <. Tämä trkoitt, että ( f (x) + bg(x))dx f (x)dx + b g(x)dx. 4

5 Tässäkin esimerkissä tuloksen oli siis joukko integrlifunktioit: yksi integrlifunktio jokist vkion C rvo kohden. Käytännössä sdn vin yksi rtkisu, jos rjoitetn funktion rvo tietyssä pisteessä. Jos yllä olevss esimerkissä vdittisiin vikkp, että F(3), niin silloin C eli C 9. Tällöin stisiin yksikäsitteinen integrlifunktio: F(x) { 3 x 3 9, kun x x 9, kun x <. Tämä ehto F(3) on esimerkki lkurvost, joit tulln tpmn lisää esimerkiksi differentiliyhtälöiden yhteydessä. Osittisintegrointi Mtemttisen nlyysin peruskurssill derivoitiin funktioit, jotk olivt khden funktion tuloj: esimerkiksi funktio (x + 3x + )(e x + 4x) on funktioiden x + 3x + j e x + 4x tulo. Tällinen funktio derivoitiin tulosäännöllä, jok menee seurvsti: (.) d dx ( f (x)g(x)) f (x)g(x) + f (x)g (x). Tällä kvll voidn lske esimerkiksi yllä olevn funktion derivtt: d ( ) (x + 3x + )(e x + 4x) (4x + 3)(e x + 4x) + (x + 3x + )(e x + 4). dx Derivoinnin tulosääntö eli yhtälö (.) voidn luonnollisesti integroid kummltkin puolelt: d dx ( f (x)g(x)) dx f (x)g(x)dx + f (x)g (x)dx. Kosk integrointi j derivointi ovt toistens käänteistoimituksi, yllä olevn yhtälön vsemmll puolell nämä kksi toimitust kumovt toisens j koko yhtälö sdn seurvn muotoon: f (x)g(x) f (x)g(x)dx + f (x)g (x)dx. Tästä yhtälöstä voidn nyt vähentää kummltkin puolelt termi f (x)g(x)dx, 5

6 jolloin sdn osittisintegroinnin kv: (.) f (x)g (x) f (x)g(x) f (x)g(x)dx. Eli: hlumme integroid funktion f (x)g (x). Jos tämä integrointi ei onnistu suorn (esimerkiksi kppleess esitetyllä tvll), voidn kokeill osittisintegrointi. Tällöin lsketn ensin funktion f (x) derivtt f (x) j funktion g (x) integrli g(x). Lopuksi lsketn integrli f (x)g(x)dx, minkä jälkeen hluttu integrli sdn kvst (.). Esimerkki.. Lsketn integrli xe x dx käyttämällä osittisintegrointi. Ensinnä luonnollisesti lskettvn integrlin on oltv muoto f (x)g (x)dx. Esimerkin luseke on tätä muoto, kun xe x f (x)g (x). Käytännössä smme in vlit, kumpi osist x j e x on f (x) j kumpi on g (x). Tämä tehtävä rtke inostn, jos vlitsemme nämä seurvsti: f (x) x g (x) e x. Seurv vihe osittisintegroinniss on in lske funktiot f (x) j g(x). Nämä on tällä kert helppo lske: f (x) g(x) e x. Tällöin termi f (x)g(x) on yhtä kuin xe x. Tämän tehtävään sovellettun osittisintegroinnin kv kertoo siis seurv: f (x)g (x)dx f (x)g(x) f (x)g(x) xe x dx xe x e x dx. 6

7 Kosk tuo viimeinen termi e x dx on yhtä kuin e x, on tehtävän rtkisu seurv: xe x dx xe x e x. Tämä on vielä hyvä vrmist derivoimll yllä olevn yhtälön oike puoli (käytetään derivoinnin tulosääntöä): Eli tehtävän tulos pätee. d dx (xex e x ) e x + xe x e x xe x. Tässä esimerkissä huomsimme osittisintegroinnin pääviheet:. Vlitn kumpi integroitvn lusekkeen osist on f (x) j kumpi on g (x).. Lsketn f (x) j g(x). 3. Lsketn integrli f (x)g(x)dx 4. Käytetään osittisintegroinnin kv. Tämä oli yksinkertinen osittisintegrointitehtävä j kikki nämä viheet sujuivt vivtt. Seurvss esimerkissä koht 3 ei toimi suorn, vn osittisintegrointi joudutn soveltmn usen kertn. Esimerkki.. Lsketn seurvksi integrli x e x dx. Vlitn funktiot seurvsti: f (x) x j g (x) e x, jolloin f (x) x j g(x) e x. Tällöin sdn osittisintegroinnin kv käyttäen: x e x dx x e x xe x dx. Tässä integrli xe x dx 7

8 ei ole lskettviss suorn, mutt sekin voidn lske osittisintegroinnill, mikä oikestn tehtiinkin jo (vkiot ville) edellisessä esimerkissä: xe x dx xe x dx (xe x e x ). x e x dx x e x xe x dx x e x (xe x e x )dx x e x xe x + e x dx. Tämän esimerkin opetus on siis, että joskus osittisintegrointi pitää sovelt usemmn kerrn smss tehtävässä. Seurv esimerkki puolestn kertoo, että joskus osittisintegrointi vtii hiemn luovuutt funktioiden f (x) j g (x) vlinnss. Esimerkki.3. Lsketn integrli ln xdx. Tässä funktiot f (x) j g (x) tuntuvt luksi mhdottomilt muodost, kosk integrlin sisässä näyttää olevn vin yksi funktio: ln x. Pienellä luovuudell huommme kuitenkin että tämäkin luseke voidn esittää khden funktion tulon: muodoss ln xdx, jolloin voidn vlit f (x) ln x j g (x). Nyt f (x)g(x) x ln x j f (x)g(x)dx x dx x, x jolloin ln xdx x ln x x. ll olevss esimerkissä esiintyy kolms tpus, jok kohdtn usein osittisintegroitess: integrointi ei vrsinisesti tuot tulost, mutt lopult sdn luseke, jost integrli sdn pääteltyä. 8

9 Esimerkki.4. Integroidn nyt osittisintegroinnill e x sin xdx. Vlitn f (x) e x j g (x) sin x. Täten f (x) e x j g(x) cos x (kosk kosiinifunktion derivtt on sin x), joten e x sin xdx e x cos x e x ( cos x) e x cos x + e x cos x Sovelletn nyt osittisintegrointi toiseen kertn: nyt tuohon jälkimmäisen integrliin e x cos x. Vlitn tässä f (x) e x j g (x) cos x. Täten f (x) e x j g(x) sin x j yllä olev luseke sdn seurvn muotoon: ( ) e x cos x + e x cos xdx e x cos x + e x sin x sin x(e x dx) e x cos x + e x sin x 4 sin xe x dx. Nyt huomtn, että tähän sti stu tulos kertoo itse siss seurv: e x sin xdx e x cos x + e x sin x 4 sin xe x dx Tässä integrli yhtälön vsemmll puolell on sm kuin yhtälön oiken puolen viimeinen termi, joten ne voidn siirtää smlle puolelle. Tämän jälkeen integrli rtke helposti: 5 e x sin xdx e x cos x + e x sin x 4 e x sin xdx e x cos x + e x sin x e x sin xdx ( ) e x cos x + e x sin x 5 sin xe x dx Tiivisteenä: osittisintegrointi on derivoinnin tulosäännön käänteistoimitus 3. Sitä knntt sovelt silloin, kun f (x)g (x)dx 3 Jos et muist tentissä osittisintegroinnin kv ulko, riittää että muistt tulon derivoimissäännön, jolloin voit joht osittisintegrlin kvn tästä. 9

10 on vike lske, mutt f (x)g(x)dx on helppo lske. Kuten in integroitess, voi osittisintegroinninkin tuloksen trkist derivoimll stu luseke. 3 Osmurtohjotelm Usein integroitvn on rtionlifunktio eli funktio, jok on muoto P(x) Q(x), joss P(x) j Q(x) ovt polynomej. Tällinen rtionlifunktio on esimerkiksi x 5 + 3x + x 3 + x. Tässä knntt kiinnittää luksi huomiot polynomien steisiin: yllä osoittjn ste on 5 j nimittäjän ste on 3. Polynomin ste on siis sen korkeimmn potenssin ste. Rtionlifunktioiden integrlej lskettess on oleellist huomt ensiksi, onko osoittjn ste suurempi kuin nimittäjän ste. Yllä osoittjn ste on suurempi, kun ts funktion x + 4x x 7 + 5x + nimittäjän ste (eli 7) on suurempi kuin osoittjn ste (eli ). Se onko osoittjn vi nimittäjän ste suurempi rtkisee miten näitä integrlej knntt lske. luksi käsittelemme tpuksen, joss nimittäjän steluku on suurempi. Esimerkki tällisest funktiost on (x 4)(x ), jonk nimittäjän steluku on kksi, minkä voi nähdä lskemll nimittäjän lusekkeen uki. Tätä funktiot on kuitenkin mhdotont integroid suorn. Oleellist tällisess tpuksess on tutki nimittäjän nollkohti. Yllä olevll funktioll on kksi erillistä nollkoht: x 4 j x.

11 Tällisess tpuksess tuolle funktiolle voi tehdä seurvnlisen osmurtohjotelmn: (x 4)(x ) x 4 + x. Tässä j ovt vkioit, jotk pitää rtkist. Käytännössä nämä rtkistn vlitsemll ne siten, että yllä olevn yhtälön vsen j oike puoli ovt smoj: (x 4)(x ) x 4 + x (x ) (x )(x 4) + (x 4) (x 4)(x ) (x ) + (x 4) (x 4)(x ) x + x 4. (x 4)(x ) Tästä voidn nyt rtkist j : täytyy päteä, että (x 4)(x ) x + x 4 (x 4)(x ) eli että x + x 4. Kosk tällä vsemmll puolell on pelkkä luku, eikä yhtään x:ää sisältävää termiä, niin on oltv että x + x eli +. Toinen ehto, jok sdn on 4. Kun nämä kksi ehto yhdistetään, sdn ensimmäisestä ehdost, että, jonk voi sijoitt toiseen ehtoon j rtkist 4 eli /, jolloin /. Täten tuo tehtävän rtionlifunktio voidn esittää muodoss (x 4)(x ) x 4 + x / x 4 / x. Nyt tämä oike puoli on integroitviss: / x 4 / x dx / x 4 dx / x dx / ln x 4 / ln x + C.

12 Täten tehtävän rtkisu on dx / ln x 4 / ln x + C. (x 4)(x ) Yleisesti otten kun integroitvn on rtionlifunktio f (x) P(x)/Q(x), jonk nimittäjän Q ste on suurempi kuin sen osoittjn P ste j jonk nimittäjällä on erilliset nollkohdt (Q(x) (x x )(x x ) (x x n )) niin integrli sdn rtkistu jkmll tehtävän funktio ensin osmurtoihin: P(x) Q(x) n x x x x x x n j rtkisemll tästä vkiot,..., n. Tästä sdn lopult integroimll rtkisuksi P(x) Q(x) dx ln x x + ln x x + + n ln x x n + C Esimerkki 3.. Hlutn lske integrli x x dx. Nyt pitää loitt jkmll nimittäjä tekijöihin, jolloin näemme sen nollkohdt: x x x(x ). Eli nimittäjän nollkohdt ovt selvästi j. Täten osmurtohjotelm on muoto x(x ) x + x. Tästä voidn rtkist kertoimet j vnhn mlliin: x(x ) x + x (x ) x(x ) + x x(x ) x + x. x(x ) Jälleen rtkistn termit j settmll x + x. Tästä seur heti, että. Tästä ts seur, että. Täten x(x ) dx x dx + x dx ln x dx + ln x + C.

13 Toinen osmurtotpus, jot käsittelemme, on tpus joss osoittjn steluku on suurempi kuin nimittäjän steluku. Tällinen funktio on esimerkiksi x 4 x 3x +. Tällinen polynomi pitää luksi muokt eri muotoon esimerkiksi jkokulmss. ll tämä muokkus kuitenkin suoritetn hiemn eri tvll. Iden on esittää osoittj x 4 muodoss nimittäjä kert jokin luku plus jokin luku. Eli yleisesti otten hlumme esittää rtionlifunktion P(x)/Q(x) muodoss (x)q(x) + b(x) Q(x) (x) + b(x) Q(x), joss (x) j b(x) ovt polynomej j P(x) (x)q(x) + b(x). Iden on, että osmäärä b(x) olisi muodoss, joss nimittäjän steluku olisi suurempi kuin osoittjn Q(x) steluku. Funktion x 4 x 3x + tpuksess hlumme siis lisätä osoittjn nimittäjän x 3x + kerrottun jollkin polynomill. Kosk osoittjss on termi x 4, niin kerrotn tämä nimittäjä termillä x, jolloin näiden tuloss esiintyy termi x 4 : x 4 x 3x + x (x 3x + ) + (3x 3 x ) x 3x + x + 3x3 x x 3x +. Tuoss jälkimmäinen termi 3x 3 x vlittiin siten, että pätee yhtäsuuruus x 4 x (x 3x + ) + (3x 3 x ). Tämän jälkeen osoittjn tekijät jettiin erikseen nimittäjällä. Sduss funktioss on kuitenkin edelleen tekijä (3x 3 x )/(x 3x + ), joss osoittjn ste ylittää nimittäjän steen. Sovelletn tähänkin sm tekniikk: esitetään sen osoittj nimittäjän kertoimen j jäännöstermin vull: 3x 3 x x 3x + 3x(x 3x + ) + (9x 6x) x 3x + 3x + 9x 6x x 3x +. 3

14 Tässä vlittiin jälleen nimittäjään kerroin 3x siten että osoittjn suurin termi 3x 3 stisiin nimittäjän j termin 3x kertoimen. Termi (9x 6x) vlittiin siten, että pätisi 3x 3 x 3x(x 3x + ) + (9x 6x). Nyt olemme sneet lkuperäisen funktion muotoon x 4 x 3x + x + 3x + 9x 6x x 3x +. Muoktn vielä tämä viimeinen termi smll tktiikll kuntoon. Esitetään se muodoss 9x 6x x 3x + 9(x 3x + ) + (x 8) x 3x + x x 3x + Täten olemme sneet muokttu lkuperäisen funktion muotoon x 4 x 3x + x + 3x x 8 x 3x +. Tämän viimeinen termi ei ole vieläkään integroitviss, mutt inkin se on tuttu tyyppiä, joss nimittäjän steluku ylittää osoittjn steluvun. Lisäksi sen nimittäjä voidn esittää tulomuodoss: x 3x + (x )(x ), joten luseke voidn esittää osmurtoin: x 8 x 3x + x + x. Tästä voidn rtkist vnhn tpn 3 j 4. Täten lkuperäinen funktio sdn integroitu seurvsti: x 4 x 3x + dx x + 3x x + 4 x dx 3 x3 + 3 x + 9x 3 ln x + 4 ln x + C. 4 Lisää osmurtoj Tutkitn jälleen rtionlifunktion P(x)/Q(x) integrointi. iemmin käsittelimme tpuksen, joss nimittäjä voidn esittää muodoss Q(x) 4

15 (x x )(x x ) (x x n ). Tässä siis nimittäjällä on n kpplett nollkohti: nollkohdt ovt x, x,..., x n, jotk olivt kikki keskenään erisuuri eli x i x j kun i j. Tällinen yhtälö stiin integroitu esittämällä se muodoss P(x) Q(x) x x + x x + + n x x n j integroimll tämän lusekkeen oike puoli. Tässä siis rtionlifunktio jettiin osmurtoihin. Nyt jtketn osmurtojen käsittelyä, mutt enää ei oletet että nimittäjän voi esittää muodoss Q(x) (x x )(x x ) (x x n ), joss nollkohdt ovt erisuuri. Voi oll esimerkiksi, että integroitv rtionlifunktio on (4.3) (x 3) (x 3)(x 3), jolloin nimittäjällä (x 3) on kksi kert toistuv nollkoht x 3. Smoin funktioll (x )(x ) 8 on 8-kertinen nollkoht x, minkä lisäksi sillä on selvästi nollkoht x. Tällinen usempikertinen nimittäjän nollkoht voidn myös rtkist osmurtohjotelmll, mutt se vtii erilist osmurtohjotelm. Ensinnä pitää huomt, että yllä yhtälö (4.3) on helppo integroid, sillä Jetn nyt yhtälö osmurtoihin seurvsti: (x 3) dx (x 3) dx (x 3) + C x 3 + C. (x )(x 3) (x )(x 3) x + x (x 3). 5

16 Nyt siis khteen kertn toistuv nollkoht 3 iheutt sen, että termi x 3 esiintyy osmurtohjotelmss sekä ensimmäisessä että toisess potenssiss. Nyt yllä olevst yhtälöstä voidn rtkist tuttuun mlliin kertoimet, j 3 : (x )(x 3) x + x (x 3) (x 3) (x )(x 3) + (x )(x 3) (x )(x 3) + 3(x ) (x )(x 3) (x 6x + 9) (x )(x 3) + (x 4x + 3) (x )(x 3) + 3(x ) (x )(x 3). Tästä yhtälöstä voidn rtkist kertoimet, j 3 settmll osoittjt yhtä suuriksi: (x 6x + 9) + (x 4x + 3) + 3 (x ). Tämän yhtälön vsemmll puolell ei esiinny termejä, joss olisi kertoimen x ti x. Täten on oltv esimerkiksi, että x + x +. Vstvll päättelyllä sdn yhtälöryhmä Tästä sdn rtkistu kertoimet /4 /4 3 /. Täten integrointi voidn suoritt seurvsti: (x )(x 3) dx /4 /4 x dx + x 3 dx + 4 ln x 4 ln x 3 / (x 3) dx ( ) + C. x 3 Yllä olevll tekniikll voidn rtkist myös luseke, joss toistuvi nollkohti on enemmän kuin kksi. Esimerkiksi yhtälö (x )(x 3) 3 6

17 jetn osmurtoihin seurvsti: (x )(x 3) 3 x + x (x 3) + 4 (x 3) 3. Yleisesti otten siis rtionlifunktio, jonk nimittäjässä on k-kertinen juuri, voidn jk osmurtoihin seurvsti: P(x) (x x )(x x ) k x x x x (x x ) + + k (x x ) k. Osmurtohjotelmist on nyt on käsitelty tpukset, joiss rtionlifunktion P(x)/Q(x) nimittäjä voidn esittää nollkohtiens tulon eli muodoss (x x ) (x x n ). Kuitenkin esimerkiksi funktion (x )(x + ) nimittäjän tekijällä x + ei ole yhtään nollkoht, kosk x + > kikill x. Tällöin osmurtohjotelm s seurvn muodon: (x )(x + ) x + Bx + C x +, joss, B j C ovt relilukuj. Tällä kert nollkohdttomn termin x + osmurtoon tulee termi, jok on muoto Bx + C. Tämän jälkeen lsku sujuu smn tpn kuin ikisemminkin. Esimerkki 4.. Integroidn rtionlifunktio x x 3 x + x. Ensinnä huomtn kokeilemll, että nimittäjän yksi nollkoht on x. Täten nimittäjä voidn esittää termin (x ) j jonkin toisen termin tulon. Huomtn, että itse siss nimittäjä voidn jk tekijöihin seurvsti: x 3 x + x (x )(x + ). Täten integroitvn on funktio x (x )(x + ). Tässä tekijällä x + ei ole yhtään nollkoht. Täten osmurtohjotelm on seurv: x (x )(x + ) x + Bx + C x +. 7

18 Tästä rtkistn seurvksi kertoimet, B j C: x (x )(x + ) x + Bx + C x + (x + ) (Bx + C)(x ) (x )(x + + ) (x )(x + ) x + (x )(x + ) + Bx Bx + Cx C (x )(x. + ) setetn jälleen smnkertoimiset termit yhtä suuriksi, jolloin sdn /5 B /5 C /5 Täten integrointi voidn suoritt seurvll hjotelmll: x (x )(x + ) dx 5 /5 /5x + /5 x dx + x dx + x dx x 5 x + dx + 5 x + dx 5 ln x 5 ln x + + rctn x + C. 5 Tässä toisell rivillä jettiin tekijä ( /5x + /5)/(x + ) khteen osn, joist toiseen käytettiin tulost, jonk mukn funktion /( + x ) integrli on rctn x. Nyt olemme käsitelleet kikki osmurtotpukset. Rtionlifunktio P(x)/Q(x) integroidn siis seurvsti:. Jos rtionlifunktio on muoto F (x)/f(x) se voidn integroid suorn: sen integrli on ln F(x) + C. Smoin jos rtionlifunktio on muoto /(x x n ) k, se voidn integroid suorn. Kolms suorn integroitv luseke on /( + x ).. Jos rtionlifunktio ei ole jomp kump näistä muodoist, se plutetn näihin muotoihin osmurtohjotelmn vull. Tästä on useit tpuksi: () Jos osoittjn ste on suurempi ti yhtä suuri kuin nimittäjän ste, se muoktn esimerkiksi jkokulmn vull muotoon, joss nimittäjän ste ylittää osoittjn steen. 8

19 (b) Jos nimittäjän ste ylittää osoittjn steen, rtionlifunktio esitetään osmurtojen summn. Osmurtojen trkk muoto riippuu siitä, onko nimittäjällä kuink mont nollkoht, j jos on, niin ovtko nämä nollkohdt usempikertisi vi uniikkej. Osmurtohjotelmn vull rtionlifunktio plutetn muotoon, joss se voidn esittää esimerkiksi muoto F (x)/f(x) olevien termien summn. 5 Sijoituskeino Jos integrli ei rtke tähän mennessä käsitellyillä tekniikoill, voidn integroitv luseke usein muokt rtkevn muotoon sijoittmll x:n piklle jokin muu muuttuj. Esimerkiksi integrlin x + 6x + dx voi rtkist sijoituskeinoll. Muoktn luksi nimittäjä x + 6x + muotoon, jost nähdään millinen sijoitus knntt tehdä. Huomtn, että x + 6x + x + 6x (x + 3) +, joten luontev sijoitus olisi vlit t x + 3. Eli nyt tekijä x + 3 korvtn t:llä: x + 6x + dx (x + 3) + dx t + dt Yllä sijoitettiin myös dx:n piklle dt, kosk integrointi suoritettiin lopult t:n suhteen. Nyt integrli on rtkevss muodoss, sillä integrli, jok on muoto /( + x ) on rkustngenttifunktion integrli. Eli: t dt rctn t + C + Sijoituskeino käyttäessä pitää muist lopuss sijoitt tkisin x:ää sisältävä luseke t:n piklle. Tässä tehtävässä siis sijoitetn t x + 3 tkisin, jolloin sdn lopullinen vstus: x dx rctn(x + 3) + C. + 6x + Sijoituskeinoss siis sijoitetn jonkin x:n lusekkeen piklle t. Tyypillinen sijoitus on esimerkiksi t x eli x t. 9

20 Tällisen sijoituksen ide on siis tehdä integroitvst lusekkeest helposti lskettv. Sijoituskeinoss siis korvtn x lusekkeell g(t) eli jollkin t:n funktioll. Käytännössä tehtävästä etsitään x:ää sisältäviä termejä, joiden piklle olisi kätevää sijoitt t. Yllä esimerkiksi vlitsimme termin x + 3 korvttvksi t:llä, kosk se teki integroinnist helpomp. Sijoituskeino soveltviss tehtävissä ongelmn on yleensä nimen omn keksiä mikä luseke knntt korvt t:llä. Usein ensimmäinen sijoitusyritys ei tuot tulost, vn on yritettävä uudestn eri sijoituksell. in kun sijoitt t:n lusekkeeseen, pitää muist myös korvt dx lusekkeell g (t)dt eli funktion g derivtn j dt:n tuloll. Yllä tämä ei ollut ongelm, kosk jos t x + 3 niin x t 3 g(t) j selkeästi g (t), jolloin dx dt. Esimerkki 5.. Lsketn integrli x x + dx sijoituksell. Tässä potentilisin sijoituksin tulee mieleen t x + j t x +. Tämä tehtävä rtke kätevästi tällä jälkimmäisellä sijoituksell, joten olkoon t x +. Ensin rtkistn tästä x: t x + t x + x t g(t) Tästä sdn, että g (t) t, jolloin meidän pitää muist sijoitt dx:n piklle tdt. Tällöin tehdään sijoitukset x + t x t j dx tdt jolloin luseke sdn muotoon x x + dx (t )t(tdt) t 4 t dt 5 t5 3 t3 + C

21 Lopullinen vstus sdn sijoittmll yllä t:n piklle tkisin luseke x + : x x + dx 5 ( x + ) 5 3 ( x + ) 3 + C 5 (x + )5/ 3 (x + )3/ + C. Yllä sijoituskeino rtkisi tehtävän melko suorn. Usein sijoituksen tuloksen kuitenkin päädytään lusekkeeseen, jot on muokttv esimerkiksi osmurroill prempn muotoon. Sijoituskeinoss j osmurroiss on siis kummsskin iden muokt integroitv lusekett helpompn muotoon. Usein lusekkeen s helpompn muotoon muullkin tvoin. Esimerkiksi jos lskettvn on integrli sin x cos xdx voimme käyttää kv sin x cos x sin x, joll integrli rtke helposti. 6 Määrätty integrli iemmin trkstelimme määräämätöntä integrli ( )dx, jonk hyöty on pääosin siinä, että se on derivoinnin käänteistoimitus. Nyt käsittelemme lustvsti määrättyä integrli b ( )dx. Tähän on iempn verrttun lisätty integroinnin rjt: integrointi loitetn pisteestä x j lopetetn pisteeseen x b. Eli väli (, b) on integrointiväli: funktio integroidn tältä väliltä. Määrätty integrli on hyvin kätevä käsite. Esimerkiksi jos f (x) on ei-negtiivinen funktio eli f (x), niin määrätty integrli b f (x)dx mitt funktion f j x-kselin rjoittmn lueen pint-l välillä x b. Määrätyn integrlin intuitio on se, että jos välin (, b) pituus on

22 (eli jos b + ), niin määrätty integrli nt funktion keskirvon tällä välillä. Esimerkiksi tiedetään, että x dx 3. Kosk välin (, ) pituus on yksi, niin voimme sno, että funktion x keskirvo tällä on tällä välillä on /3. Yllä huomtn, että määrätyllä integrlill on myös se hyvä puoli, että sen rvo on yksikäsitteinen. Sm ei voi sno määräämättömästä integrlist, joss on in mukn vkio C. Jos välin (, b) pituus ei ole yksi, voidn sno että määrätty integrli nt funktion keskirvon tällä välillä kerrottun välin (, b) pituudell eli luvull b : b ( ) f (x)dx Funktion f keskirvo välillä (, b) (b ). Tämän intuition vull voimme nt rvioit tietyn määrätyn integrlin rvolle. Jos tiedämme vikk, että funktio f s in rvons välillä / j 3/ eli / f (x) 3/, niin luonnollisesti tämän funktion keskirvo on myös tällä välillä. Kosk määrätty integrli on funktion keskirvo tietyllä välillä (, b) kerrottun tämän välin pituudell, voidn nyt sno (b ) b 7 Ylä- j lsumm f (x)dx 3 (b ). Määrätyn integrlin täsmällinen määritelmä vtii lsummn j yläsummn käsitteitä. Ylä- j lsumm kertovt yksinkertisesti rvion tietyn käyrän ll olevn lueen pint-llle. Oletetn nyt, että hlumme lske määrätyn integrlin f (x)dx eli hlumme lske funktion f (x) ll olevn lueen pint-ln, kun x (, ). lsumm nt tälle pint-llle lrjn j yläsumm ā nt puolestn tälle pint-llle ylärjn, eli f (x)dx ā

23 Kummnkin lskeminen loitetn jkmll väli (, b) osiin. Yllä käytetty väli on (, ). Tämän voi jk osiin esimerkiksi seurvsti: (, ) (, /3] (/3, /3] (/3, ) Tässä jkopisteet ovt /3 j /3. Ne siis jkvt välin (,) kolmeen osn. lsumm sdn tämän jon vull lskettu kolmess osss. Vlitn ensin väliltä (, /3) funktion f (x) pienin 4 rvo tällä välillä. Olkoon tämä m. Seurvksi vlitn funktion pienin rvo väliltä (/3, /3). Olkoon tämä m. Vlitn vstvsti funktion pienin rvo välillä (/3, ), jot merkitään m 3. Nyt näiden jkopisteiden määrittämä lsumm sdn lskettu kertomll nuo pisteet m, m j m 3 kyseisten välien pituuksill (eli luvull /3): 3 m + 3 m + 3 m 3. Yläsumm sdn vstvsti lskemll funktion suurimmt rvot yllä muodostetuill väleillä. Merkitään näitä suurimpi rvoj M, M j M 3. Näistä sdn lskettu yläsumm kvll ā 3 M + 3 M + 3 M 3. Esimerkki 7.. Lsketn integrlille x dx ylä- j lsumm. Ensin pitää päättää välin (, 3) jkopisteet. Vlitn pisteiksi 4/3 j 5/3, jolloin smme siis kolme väliä. Ensin pitäisi lske funktion pienemmät j suurimmt rvot näillä väleillä. Tämä on helppo, kosk f on välillä (, 3) idosti ksvv funktio: suurin rvo on siis in välin oikess päätepisteessä j pienin rvo on ts vsemmss päätepisteessä. Täten lsummn kv on 3 f () + 3 f (4/3) + 3 f (5/3) / / , Jos funktio ei svut minimiä tällä välillä, vlitn infimum minimin semest: m inf{ f (x) : x (, /3)}. 3

24 Vstvsti yläsummn kv on ā 3 f (4/3) + 3 f (5/3) + 3 f () 3 6/ / , 85 7 Todellisuudess tuo määrätty integrli on rvoltn 7/3, 33. Tässä tehtävässä nähtiin myös esimerkki siitä, että lsumm on in pienempi kuin yläsumm, kun ts itse määrätty integrli on näiden khden välissä. Yllä joimme välin vin kolmeen osn. Jko voi kuitenkin tihentää vlitsemll enemmän j enemmän jkopisteitä. Tällöin tämän jon määrittämät ylä- j lsummt lähestyvät toisin j niiden ntm rvio funktion rjoittmn ln pint-llle on yhä prempi. Tämän tki määrätty integrli määritellään ylä- ti lsummien rj-rvon, kun tuot jko tihennetään rjtt, eli kun jkopisteitä vlitn yhä enemmän j enemmän. Tästä määritelmästä nähdään myös, miksi määrätty integrli voidn tulkit keskirvon, kun integrointivälin pituus on. Jos jkopisteitä on luksi vikk 5, on lsumm 5 m + 5 m + 5 m m m 5 5 (m + m + m 3 + m 4 + m 5 ). Toisin snottun lsumm on funktion viiden rvon keskirvo. Jos jko tihennetään, niin funktiost otetn keskirvoj, joss on mukn yhä enemmän j enemmän funktion pisteitä. Esimerkiksi jos jkopisteitä on, sdn lsumm m i. i Täten määrätyn integrlin tulkint keskirvon on oikeutettu. Tästä nähdään myös, että määrätty integrli on siis eräänlinen summ. 4

25 8 Määrätyn integrlin lskeminen iemmin määrittelimme määrätyn integrlin b f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:. Mikäli f (x) on ei-negtiivinen eli f (x), niin määrätty integrli nt funktion f (x) j x-kselin välissä olevn lueen pint-ln välillä (, b).. Määrätty integrli b f (x)dx on funktion f (x) keskirvo välillä (, b) kerrottun tämän välin pituudell eli luvull b. Funktion f (x) määräämätön integrli f (x)dx määriteltiin puolestn ilmn vstvnlist intuitiot: se on inostn lskusääntö, jok on derivoinnin käänteistoimitus. Eli esimerkiksi ( x x ) dx 4 x4 + rctn x + C. Määräämätön integrli j määrätty integrli kuitenkin liittyvät toisiins kiinteästi, kuten näiden nimistäkin voi päätellä. Merkitään ll määräämätöntä integrli f (x)dx merkinnällä F(x). Eli F(x) f (x)dx. Täten esimerkiksi jos f (x) x 3, niin F(x) (/4)x 4 + C. Integrlilskennn pääluse snoo, että määrätyt integrlit voi lske määräämättömien integrlien vull: b f (x)dx F(b) F(). Eli: hlutn lske funktion f (x) määrätty integrli välillä (, b). Tämä sdn lskemll luksi funktion f määräämätön integrli F(x) j ktsomll, mikä sen rvo on pisteessä j mikä sen rvo on pisteessä b. Esimerkki 8.. Hlutn lske määrätty integrli 4 3 x dx. Integrlilskennn pääluseen mukn: 4 3 x dx F(4) F(3), 5

26 joss F on funktion x määräämätön integrli eli F(x) (/3)x 3 + C. Täten 4 x dx F(4) F(3) 3 ( C ) ( ) C Toisin snottun funktion x määrätty integrli välillä (3, 4) on 37/3, 3. Huom yllä, että vkio C häviää määrättyä integrli lskettess. Näin käy in, joten sitä on turh pitää lskuss mukn. Huom edellisessä esimerkissä, että tulos 4 3 x dx, 3 kertoo, että funktion x keskimääräinen rvo välillä (3, 4) on,3. Toinen tulkint on, että tämän funktion j x kselin väliin jää pint-l, jok on suuruudeltn,3 välillä (3, 4). Esimerkki 8.. Lsketn b ex dx. Kosk e x on om integrlins, niin b e x dx F(b) F() e b e. Huom, että tässä vkiot C ei pidetty lskuss mukn. Määrätyn integrlin lskemist helpott käytännössä, jos käytämme nottion F(b) F() semest merkintää b. Täten siis esimerkiksi b b ( ) (3x + )dx 3 ( 3 b + b x + x ) ( ) 3 +. Kuten yllä minitsimme, määrätyn integrlin voi nähdä keskirvon ti pint-ln. Tästä tulkinnst seur hyödyllisiä sovelluksi. Seurvss esimerkissä käytetään lisäksi tieto b f (x)dx + b eli integroinnin linerisuutt. g(x)dx 6 b ( f (x) + g(x)) dx,

27 Esimerkki 8.3. Lske käyrien y x j y x sekä suorien x j x reunustmn lueen pint-l. Rtkisu. Kuten tunnettu, pint-ln voi lske integrlin b f (x)dx. Kosk reunustmss on suort x j x, niin vlitn integroinnin päätepisteiksi j b. Lisäksi tiedetään. Integrli b x dx nt käyrän y x j x-kselin välissä olevn lueen pint-ln. Merkitään tätä l.. Integrli b xdx nt suorn y x j x-kselin välissä olevn lueen pint-ln. Merkitään tätä l B. 3. Välillä (, ) pätee x > x, eli käyrä y x on suorn y x yläpuolell. Täten käyrien y x j y x välissä olevn lueen pint-l sdn erotuksen B. Eli erotuksen b x dx b xdx b (x x)dx. Tästä seur, että käyrien y x j y x reunustmn lueen pint-l välillä (, ) sdn integroimll erotus x x integrointirjoill j b : (x ( x)dx 3 x3 ) x ( ) ( 3 ) Eli käyrien y x j y x sekä suorien x j x reunustmn lueen pint-l on 5/6. Esimerkki 8.4. Lske käyrien y x j y x sekä suorien x j x reunustmn lueen pint-l. Rtkisu. Integrointiväli on nyt (, ). Huomtn, että välillä (, ) pätee x > x, mutt välillä (, ) ts pätee x > x. Käyrien välistä pint-l 7

28 lskiess pitää in vähentää korkemmll olevst käyrästä mtlmmll olev käyrä, joten tämä tehtävä on lskettv khdess osss. Välillä (, ) pätee x > x, joten integroidn erotus x x tällä välillä: (x x )dx 3 6. ( x ) 3 x3 Välillä (, ) pätee x > x, joten integroidn tällä välillä puolestn erotus x x: (x ( ) x)dx ( x3 x ) ( 3 Täten käyrien y x j y x sekä suorien x j x reunustmn lueen pint-l on /6 + 5/6. ) 9 Määrätyn integrlin lskeminen sijoituksell iemmin lskimme määräämättömiä integrlej sijoituksell x g(t). Siinä siis integroitvn lusekkeen muuttuj x korvttiin sijoituksell g(t) j vstvsti termi dx korvttiin termillä g (t)dt. Määrätyn integrlin lskeminen tällä tvll on peritteess smnlist, mutt integroinnin rjt j b pitää myös muunt. Esimerkki 9.. Lsketn nyt integrli x x + dx. Tehdään luksi sijoitus t x +, jolloin x t j dx dt. Integrointilusekkeeseen tehdään nyt nämä sijoitukset, mutt pitää huomt että 8

29 sijoituksen tki myös integroinnin rjt muuttuvt. Integrointirjt j b on määritelty muuttujn x suhteen j nyt siirrytään muuttujn t x +. Täten jos x, niin t j jos x, niin t. Integrointirjojen j b piklle tulevt täten uudet rjt c j d. Tällöin integrli sdn muotoon x x + dx 5 3 (t ) tdt t 3/ t / dt ( 5 t5/ ) 3 t3/ 4 5 Seurvksi käsitellään trigonometristen funktioiden integroimist sijoituskeinoll. Määritellään luksi trigonometrisen funktiot yksikköympyrän vull. Trkstelln ll olev kuv. Huom ensinnä, että kuvss pätee Pythgorn luse + b c eli hypotenuusn neliö on yhtä kuin kteettien neliöiden summ: + t t x Eli pätee ( + t ) + t. Toislt kosk kulmn x sini on määritelmän mukn sen vstisen sivun j hypotenuusn suhde, pätee sin x t + t. 9

30 Vstvsti kulmn kosiini on sen kulmn viereisen sivun j hypotenuusn suhde, joten cos x. + t Tngentti puolestn on kulmn vstisen j viereisen sivun suhde eli kuvss tn x t. Näitä tietoj voi käyttää sovellettess sijoitust t tn x. Tätä sijoitust käytetään integrleihin, jotk ovt muoto Tällöin tehdään korvukset Esimerkki 9.. Integroidn + b sin x + c cos x dx. sin x t + t j cos x + t. π/4 π/4 4 3 sin x dx. Tehdään sijoitus tn x t. Täten x rctn t, joten dx dt/( + t ). Termin sin x piklle puolestn sijoitetn termi t /( + t ). Myös integroinnin rjt muuttuvt: kun x π/4, niin tn x j kun x π/4, niin tn x. Tehdään kikki nämä sijoitukset: π/4 π/4 4 3 sin x dx 4 3(t /( + t )) 4( + t ) 3t dt 4 + t dt. ( dt ) + t Tämä integrli näyttää nyt kohtlisen yksinkertiselt. Huomtn, että 3

31 tämä sdn lskettu rkustngenttifunkion vull: ( ) 4 + t dt 4 + (t/) dt ( ) rctn(t/) (rctn(/) rctn( /)) rctn(/). Tässä viimeinen yhtäsuuruus perustuu siihen, että rctn( /) rctn(/). Sijoituskeino käytettäessä pitää siis tehdä seurvt korvukset:. Muuttuj x sisältävät termit pitää korvt termillä g(t).. Termi dx pitää korvt termillä g (t)dt. 3. Integroinnin rjt pitää korvt uusill rjoill. Määrätyn integrlin derivoiminen Tutkitn nyt määrättyä integrli, jonk ylärj on muuttuj x. Tutkitn siis integrli x f (t)dt. Tämä integrli on nyt muuttujn x funktio, joten voidn merkitä F(x) x f (t)dt. Esimerkki tällisest funktiost on F(x) x (t + t)dt. Huom, että tämä on nimenomn muuttujn x funktio, eikä muuttujn t funktio. Muuttuj t häviää integroitess, joten yhtä hyvin voitisiin kirjoitt F(x) x (c + c)dc, 3

32 eli tuo integrlin sisässä olev kirjin ei ole lskennn knnlt oleellinen. f (t)dt de- Integrlilskennn toinen pääluse kertoo, että integrlin x rivtt muuttujn x suhteen on funktio f (x): d x f (t) f (x). dx Tämän tuloksen voi tulkit intuitiivisesti, kun muist, että määrätyn integrlin voi tulkit pint-ln. Derivtt d x dx f (t) siis kertoo, kuink funktion f (x) j x-kselin väliin jäävän lueen pint-l muuttuu, kun siirrytään hiemn oikelle eli ksvtetn rgumentti x hiemn. Vstus on, että l muuttuu funktion f rvon verrn. Tämä on sikäli intuitiivist, kosk kyseinen pint-l muuttuu pljon, jos f (x) on suuri luku j vähän jos f (x) on pieni luku. Esimerkki.. Lske derivtt F (x), kun F(x) x (t + t)dt. Rtkisu. Integrlilskennn pääluseen mukn x F (x) d (t + t)dt dx x + x. Seurvss esimerkissä käytetään tieto x f (t)dt x f (t)dt, eli jos integrointirjojen järjestystä viht, niin integrli kertoutuu luvull. Esimerkki.. Lske derivtt F (x), kun F(x) x ln tdt. Rtkisu. Integrlilskennn pääluseen mukn d ln tdt d dx x dx ln x. x ln tdt 3

33 Siispä lrjll olev muuttuj x on helppo plutt ylärjlle. Hiemn enemmän ongelmi tuott integrlin x f (t)dt lskeminen, sillä tässä ylärjn ei ole muuttuj x, vn tämän muuttujn funktio x. Tästä tilnteest selvitään kuitenkin sopivll nottioll: merkitään F(x ) x f (t)dt, eli nyt merkitään, että lskettv integrli on jonkin muuttujn F rvo pisteessä x. Täten siis F(x) x f (t)dt. Derivoinnin ketjusäännön perusteell pätee d dx F(x ) xf (x ), eli yhdistetyn funktion derivtt sdn sisäfunktion x j ulkofunktion F derivttojen tulon. Tästä seur, että d x dx f (t)dt x f (x ), joss siis x on sisäfunktion x derivtt j f (x ) on ulkofunktion F(x) derivtt rvioitun pisteessä x. Esimerkki.3. Derivoi funktio F(x ) x cos tdt. Rtkisu. Ketjusäännön j integroinnin pääluseen mukn d x cos tdt x cos x. dx Jos integroinnin rjn on jokin muu funktio kuin x, selvitään tästäkin ketjusäännön yksinkertisell sovelluksell. 33

34 Esimerkki.4. Derivoi funktio sin x ln tdt. Rtkisu. Merkitään ensinnä tätä integrli funktion F rvon pisteessä sin x: F(sin x) sin x ln tdt. Tässä siis sisäfunktio on sin x. Tämän derivtt on tunnetusti cos x. Nyt voidn jälleen sovelt ketjusääntöä: d sin x ln tdt cos x ln sin x. dx Yllä todettiin, että muuttuj x s esiintyä joko integroinnin l- ti ylärjll. Se voi kuitenkin esiintyä kummllkin rjll yhtä ik. Tämä ei tuot lskuihin ongelmi, kosk integrlin voi in jk osiin: x x f (t)dt x x f (t)dt + x f (t)dt + f (t)dt x f (t)dt. Integrlin x f (t)dt voi derivoid jälleen ketjusäännöllä: merkitään Täten Tämän perusteell F( x) x f (t)dt. d F( x) f ( x). dx d x f (t)dt d x f (t)dt + d dx x dx dx f ( x) + f (x). x f (t)dt Esimerkki.5. Derivoi x 3 x e t dt. 34

35 Rtkisu. Jetn tämä integrli ensin khteen osn: x 3 x e t dt e t + x x x 3 e t x 3 e t + Näistä kummnkin integrointi sujuu nyt kätevästi ketjusäännöllä: e t. d x 3 e t dt d x e t dt + d x 3 e t dx x dx dx e ( x) + 3x e (x3 ) e x + 3x e x6. Määrätyn integrlin sovelluksi Määrätyllä integroinnill on runssti sovelluksi, jotk perustuvt siihen, että integrli esittää pint-l. Tloustieteessä esimerkiksi kuluttjn ylijäämä on khden käyrän välissä olev pint-l, joten sen voi lske määrättynä integrlin. Integrlill voi lske pitsi loj, myös tilvuuksi. Tyypillinen sovellus on seurv: jokin käyrä y f (x) pyörähtää x-kselin ympäri tietyllä välillä (, b). Tällisell pyörähdyskppleell on tilvuus, jok on helppo lske integrlin vull: sen kv on π b ( f (x)) dx, eli kyseisen tilvuuden s integroimll f : neliön pyörähdysvälillä (, b) j kertomll tuloksen π:llä. Esimerkki.. Käyrä y x + pyörähtää x-kselin ympäri välillä (, ). Lske syntyneen kppleen tilvuus. 35

36 Rtkisu. Kyseinen tilvuus sdn integrlin π (x + ) dx π (x 4 + x + )dx π ( 5 x5 + 3 x3 + x) π( ) 8 5 π. Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss jokin käyrä y f (x) pyörähtää x-kselin ympäri jollkin välillä x b. Tällisen kppleen tilvuus stiin lskettu kvll π b ( f (x)) dx. Toislt määrätyn integrlin vull voi lske myös tällisen pyörähtämällä syntyneen kppleen vipn l. Tämä l B sdn lskettu kvll b B π f (x) + ( f (x)) dx. Esimerkki.. Käyrä f (x) + x pyörähtää x-kselin ympäri välillä x. Syntyneen kppleen tilvuus sdn lskettu yllä esitetyllä kvll: π π π π π b ( f (x)) dx ( + x) dx ( + x + x ) dx (x + x + 3 x3 ) (( ) ( + + )) π. 36

37 Vstvsti syntyneen pyörähdyskppleen vipn l B sdn lskettu seurvsti: b B π f (x) + ( f (x)) dx π + x + dx π ( + x) dx π (x + x ) ( ) 5 π 5 π. Tässä itseisrvot voitiin poist, kosk + x on positiivinen tutkitull välillä x. 3 Epäoleelliset integrlit Tähän mennessä lsketut integrlit ovt olleet hyvin käyttäytyviä eli muoto b f (x)dx, joss j b ovt olleet relilukuj. Tällinen integrli on ollut yleensä kohtuullisen suorviivisesti lskettviss: jos f (x) on jtkuv funktio, niin yllä olev tyyppiä olev integrli on in olemss eli voidn kirjoitt b f (x)dx, eli integrli b f (x)dx on jokin reliluku. Tässä oleellist siis on, että f on jtkuv funktio välillä [, b] j että j b ovt relilukuj. Tällöin tämä integrli on olemss eli f on integroituv välillä [, b]. Ennen kuin etenemme, on syytä ymmärtää intuitiivisesti miksi yllä olev tyyppiä olev integrli on in olemss. Tämän voi perustell sillä, että integrli voidn ymmärtää käyrän j x-kselin välissä olevn lueen pint-ln. Jos piirrät jtkuvn funktion f jollekin äärelliselle välille [, b], niin tämän funktion j x-kselin välissä on in pkoll äärellinen 37

38 pint-l. Täten jtkuv funktio on integroituv äärellisellä välillä. Nyt tutkimme tpust, joss f :n jtkuvuus ti :n j b:n äärellisyys eivät enää päde. Tyyppiesimerkki tälläisestä integrlist on x dx. Tässä siis toisen integrointirjn on ääretön. Onko tämä integrli olemss? Tämä riippuu intuitiivisesti siitä, onko käyrän y /x j x- kselin välissä olevn lueen pint-l ääretön vi äärellinen välillä x [, [. Tätä ei voi kuitenkn päättää ennen kuin tiedetään, miten tällinen integrli lsketn. Määritellään siis epäoleellinen integrli seurvnlisen rj-rvon: M f (x)dx lim f (x)dx. M Tässä määritelmässä siis hlutn lske integrli äärettömyydessä. Tämä tphtuu siten, että lsketn luksi integrli M f (x)dx, j nnetn tämän jälkeen integroinnin ylärjn ksv rjtt eli otetn rj-rvo M lim f (x)dx. M Tämä on siis määritelmän mukn sm si kuin integrli äärettömyydessä eli M lim f (x)dx f (x)dx. M Nyt voimme lske epäoleellisen integrlin x dx. Merkitään siis integroinnin ylärj kirjimell M j nnetn tämän ylä- 38

39 rjn ksv rjtt: dx lim x M lim M lim M M x dx M ( ) x ( M ) ( ) lim M ( M ). Täten tämä integrli on siis olemss j täten käyrän y /x j x- kselin välissä olevn lueen pint-l välillä [, [ on yksi. Epäoleellinen integrli lsketn täsmälleen smll tekniikll kuin yllä, jos integroitv on funktio jok on epäjtkuv integroimisvälillä. Esimerkki tälläisestä integrlist on Nyt funktio /x on epäjtkuv nollss, joten tämä integrli määritellään jälleen rj-rvon: x. dx lim x x dx. 4 Integrlien suppeneminen Yllä lskettiin esimerkkinä integrli dx. x Tässä siis epäoleellinen integrli oli olemss. Näin ei kuitenkn in käy. Tämä huomtn lskemll esimerkiksi funktion /x integrli vä- 39

40 lillä [, ] dx lim x M lim M M M x dx ln x lim (ln M ln ) M, eli kyseinen integrli on ääretön. Toisin snottun siis funktion /x j x-kselin välissä olev pint-l on ääretön välillä [, [. Jos integrli f (x)dx on rvoltn jokin reliluku, snotn että se suppenee. Jos tämä epäoleellinen integrli puolestn ei ole reliluku (vn esimerkiksi ääretön ti miinus ääretön), niin kyseinen integrli hjntuu. Usein hjntumisen ti suppenemisen voi päättää yksinkertisesti lskemll epäoleellisen integrlin, kuten ll olevss esimerkissä. Esimerkki 4.. Tutki suppeneeko vi hjntuuko xe x dx. Rtkisu. Integrli näyttää lkuun siltä, että siinä trvitsisi käyttää osittisintegrointi, mutt tämä itse siss sujuu helpommin, sillä integroitv luseke xe x on itse siss melkein muoto f (x) f (x), joss f (x) e x : xe x dx lim M lim M lim M M M xe x dx ( ) e x ( e M ( e ) ( /) /. ) 4

41 Usein integroitv funktiot ei kuitenkn voi suorn lske. Tällinen on esimerkiksi integrli e x dx, jot ei voi suorn lske siitä yksinkertisest syystä, että tähän lskuun trvittv määräämätöntä integrli e x dx ei ole olemss. Tämän j monet muut ei-negtiivisten funktioiden integrlit voi kuitenkin osoitt suppeneviksi mjornttiperitteen vull. Tätä peritett käytetään, kun hlutn osoitt että integrli 5 b f (x)dx. on olemss. Muistetn luksi, että integrli on pint-l. Hlumme siis osoitt, että jokin pint-l on äärellinen. Oletetn nyt, että löydetään jokin integrli b g(x)dx jok on suurempi kuin f :n integrli: b f (x)dx b g(x)dx. Jos tämä integrli b g(x)dx on nyt olemss äärellisenä, niin integrli b f (x)dx on myös pkoll olemss: pint-l b f (x)dx on äärellisenä olemss, kosk se on pienempi kuin pint-l b g(x)dx, jok on myös äärellisenä olemss. Oletetn siis että seurvt seikt pätevät:.. f (x) f (x) g(x) kun x [, b] 3. Integrli on äärellisenä olemss. b 5 Tässä b voi oll myös j voi oll. g(x)dx 4

42 Tällöin pätee b f (x)dx b g(x)dx j integrli b f (x) suppenee mjornttiperitteen nojll. Mjornttiperitteess siis etsitään suurempirvoinen integrli, jok suppenee. Esimerkki 4.. Osoit, että suppenee. e x dx Rtkisu. Nyt f (x) e x. Tämä funktio on in positiivinen, joten siihen voi mhdollisesti sovelt mjornttiperitett. Hlutn löytää tätä suurempirvoinen funktio g(x), jonk integrli suppenee. Välillä [, ] pätee e x e x e x e x. Täten funktioksi g voidn vlit g(x) e x. Tämän integrli on helppo lske: Eli e x dx lim M lim M M M e x dx ( e x ) lim M ( e M ( e )) e. e x dx e x dx e, joten esimerkin integrli suppenee mjornttiperitteen nojll. Nyt kun mjornttiperite on käsitelty, on helppo rvt mistä on kyse minornttiperitteess. Tässä trkstelln jälleen kht funktiot f j g, jotk ovt kumpikin ei-negtiivisi j joille pätee b g(x)dx b f (x)dx 4

43 j lisäksi oletetn, että integrli b g(x)dx hjntuu. Tällöin minornttiperitteen nojll myös integrli b f (x)dx hjntuu6. Eli intuitiivisesti jteltun funktion f j x-kselin välinen pint-l on ääretön, kosk tämä l on suurempi kuin funktion g j x-kselin välinen pint-l, jok on ääretön. Minornttiperitett käytetään seurvsti:. Hlutn todist, että jokin integrli b f (x)dx hjntuu.. Etsitään funktio g, jok on pienempi kuin f eli g(x) f (x) j jonk integrli b g(x)dx hjntuu. 3. Tällöin integrli b f (x)dx hjntuu. Esimerkki 4.3. Osoit minornttiperitteen vull, että integrli hjntuu. x dx Rtkisu. Nyt f (x) x. Pitäisi löytää tätä funktiot pienempi funktio g, jonk integrli hjntuu välillä [, ]. Helppo tp löytää pienempi funktio on ksvtt osoittj yhdellä: >. x x Eli nyt etsimämme funktio on g(x) / x. Tämän integrli voidn lske jälleen suorviivisesti: x dx lim M lim M M M x dx x lim M ( M ). 6 Tämä perite seur itse siss suorn mjornttiperitteest: jos f suppenisi, niin silloin mjornttiperitett voisi sovelt j myös g suppenisi. 43

44 Täten kosk x < x, niin integrli x hjntuu. 5 Tiheysfunktiot Kuten jo usen kertn on todettu, integrlill voi lske loj j tilvuuksi. Yksi määrätyn integrlin tärkeimpiä sovelluksi on lisäksi se, että sillä voi lske tphtumien todennäköisyyksiä. Tämän sovelluksen käyttäminen vtii kuitenkin tiheysfunktion käsitettä. Tiheysfunktio on mtemttisesti jteltun mikä thns ei-negtiivisi rvoj sv funktio, jok integroituu relikselill lukuun yksi eli jolle pätee f (x)dx j f (x). Grfisesti tulkittun tiheysfunktio on siis funktio, jok on jtkuvsti x- kselin yläpuolell (ti x-kselill) j jonk ll olevn lueen pint-l on yksi. Tiheysfunktion ide on seurv: jos stunnismuuttujll X on tiheysfunktio f (x), niin tätä tiheysfunktiot integroimll voi lske todennäköisyyksiä. Jos merkitään P( X b) todennäköisyyttä, että stunnismuuttuj X s rvon välillä [, b], niin tämän todennäköisyyden voi lske integroimll stunnismuuttujn tiheysfunktion f (x) tällä välillä: P( X b) b f (x)dx. ll oleviss esimerkeissä käytetään lisäksi seurv integrointisääntöä : jos funktio f (x) on jollkin välillä [i, j] noll eli pätee f (x), x [i, j], niin myös tämän funktion integrli välillä [i, j] on noll eli j f (x). Trkstelln nyt funktiot f (x), jok on määritelty ploittin: { e x, kun x [, b] f (x) muulloin. i 44

45 Eli funktio f s positiivisen rvon e x joukoss [, b] j on noll muull. Kun tätä funktiot nyt integroi välillä [, ], niin se lue joss funktio on noll voidn sivutt: b f (x)dx e x dx. Eli kosk funktion integrli on noll sillä lueell joss funktio on noll, niin integroitess tämä noll-lue voidn poist eli integroinnit rjt voidn muutt siten, että noll-lue poistuu. Trkstelln nyt esimerkkien vull tiheysfunktioit j niiden integrointi. Esimerkki 5.. Stunnismuuttuj X on tsjkutunut, jos todennäköisyys että X s rvon tietyssä joukoss riippuu inostn tämän joukon koost (eikä tämän joukon sijinnist x-kselill). Jos X on esimerkiksi tsjkutunut välillä [, ], sen tiheysfunktio on {, jos x f (x) muulloin. Tämä on tiheysfunktio, kosk se on in ei-negtiivinen j sen integrli relikselill on yksi: f (x)dx x. dx Nyt tätä tiheysfunktiot integroimll voi siis lske todennäköisyyksiä. Lsketn todennäköisyys, että X s rvon välillä [, /6]: P( X /6) /6 /6 dx x /. Esimerkki 5.. Toinen esimerkki stunnismuuttujn tiheysfunktiost on { e x, jos x f (x) muulloin. 45

46 Tämä on tiheysfunktio, kosk se on in ei-negtiivinen j se integroituu yhteen: f (x)dx lim M lim M e x dx M M e x dx e x lim M ( e M ( e )) ( ). Tämä on erään eksponenttijkumn tiheysfunktio. Integroimll tiheysfunktiot voidn jälleen lske välien todennäköisyyksiä: joss oletetn, että >. P( X b) b e x dx ( e ( e b ) e b e, Trkstelln nyt ploittin määriteltyä funktiot { x, jos x f (x) muulloin. Tässä on jokin vkio. Kysymys kuuluu: millä :n rvoll tämä funktio on tiheysfunktio? Kosk tiheysfunktiolt vditn ensinnäkin ei-negtiiviisuus, niin on pkko oll, että, sillä muuten yllä olev tiheysfunktio sisi negtiivi rvoj. Toislt tiheysfunktiolt vditn, että se integroituu yhteen relikselill eli f (x)dx. Integroidn nyt funktio f (x) x j ktsotn millä :n rvoll se 46

47 integroituu lukuun yksi: f (x)dx x dx x dx 3 x3. 3. Nyt tämä funktio on siis tiheysfunktio, kun tämä integrli s rvon yksi eli pätee, 3 eli 3/. Täten funktio { 3 f (x) x, jos x muulloin on tiheysfunktio. 6 Tsointegrlit Ennen tsointegrleihin siirtymistä käsitellään hiemn integroinnin nottiot. Trkstelln jälleen tvllist yksiulotteist integrli b f (x)dx. Tässä siis integrointi tphtuu välillä x [, b]. Tätä väliä [, b] voidn kuitenkin merkitä [, b], jolloin yllä olev integrli voidn merkitä vstvsti: b f (x)dx f (x)dx. Integrli f (x)dx ilmisee, että funktio f (x) integroidn joukoss. Tässä tpuksess kosk [, b], niin tämä on sm si kuin integrli b f (x)dx. 47

48 Tälle uudelle lyhyemmälle nottiolle tulee käyttöä, kun trkstelemme usemmn muuttujn funktion integroimist. Trkstelln khden muuttujn funktiot f : R R R, (x, y) f (x, y). Tämän muuttujn lähtöjoukko on nyt tso eli R R. Sen mlijoukko on puolestn reliluvut eli R. Yksi esimerkki tällisest khden muuttujn funktiost on f (x, y) x + y, jolle pätee siis esimerkiksi että f (, ) 3. Nyt tällist funktiot f (x, y) voi integroid tsoss eli khden muuttujn x j y suhteen. Syntynyt integrli on nimeltään tsointegrli. Seurvksi tsointegrli pitäisi määritellä. Plutetn luksi mieliin, että yhden muuttujn tpuksess määrätty integrli b f (x)dx määriteltiin l- j yläsummien vull. Esimerkiksi lsumm stiin lskettu jkmll ensin integrointiväli [, b] osiin j lskemll funktion f pienin rvo jokisess näistä osiss. Esimerkissämme väli [, b] jettiin kolmen osn, joiden jokisen pituus oli /3. Lskimme seurvksi funktion f pienimmän rvon jokisess näistä osiss: merkitsimme näitä m, m j m 3. lsumm stiin tämän jälkeen summn 3 m + 3 m + 3 m 3, joss siis jokisen välin pituus kerrottiin funktion pienemmällä rvoll kyseisellä välillä. Kuten yhden muuttujn tpuksess, määrätty integrli tsoss määritellään ylä- j lsummien vull. Nyt emme kuitenkn voi enää pelkästään ositt väliä, kosk tsointegrli on nimensä mukisesti määritelty tsoss eikä välillä. Vlitn integroitvksi funktioksi f (x, y) x + y. Tutkitn kuitenkin helppo esimerkkiä, joss integrointi tphtuu joukoss [, 3] [, 3], eli joukoss joss x [, 3] j y [, 3]. Tämä joukko on sikäli helppo, että se määritellään khden välin krteesisen tulon. Kyseinen joukko on siis yksinkertinen suorkulmio, jok näyttää kuvn seurvlt: 48

49 Tsointegrlin ylä- j lsummi lskettess tämä suorkulmio jetn osiin. Muodostetn ll olevss kuvss näkyvä mhdollisimmn yksinkertinen jko eli jetn väli [, 3] khti keskeltä: Tästä näkyy, että suorkulmio [, 3] [, 3] jettiin nyt neljään osn: osiin,, 3 j 4. lsumm määritellään vlitsemll funktion f pienin rvo jokisess näistä osist j kertomll se näiden osien pint-lll. Olkoon siis m( i ) funktion f pienin rvo joukoss i, joss luonnollisesti i on,, 3 ti 4. Kosk jokisen näiden joukon pint-l on, niin lsumm on tässä tpuksess m( ) + m( ) + m( 3 ) + m( 4 ). 49

50 Nyt integroitvn on funktio f (x, y) x + y. Kuv ktsomll huomtn, että tämän pienin rvo joukoss on yhtä kuin +. Vstvsti tämän funktion pienin rvo joukoss on + 3, joukoss 3 tämä pienin rvo on smoin + 3 j joukoss 4 tämä pienin rvo on + 4. Täten lsumm s rvon m( ) + m( ) + m( 3 ) + m( 4 ) Vstvsti yläsumm sdn vlitsemll jokisest joukost i funktion suurin rvo tässä joukoss. Merkitään tätä suurint rvo joukoss M( i ), jolloin yläsumm sdn jälleen helposti ktsomll yllä olev kuv: M( ) + M( ) + M( 3 ) + M( 4 ) Näin krkell osituksell ylä- j lsummt siis erovt toisistn melko pljon. Nämä summt ntvt siis ylä- j lrjn tsointegrlille, jot merkitään khdell integroimismerkillä f (x, y)dxdy joss joukko on suorkulmio [, 3] [, 3]. (x + y)dxdy, Esimerkki 6.. Lsketn vielä ylä- j lsummien ntmt rviot tsointegrlille (x y)dxdy, joss [ [, ] ] [[, ]. Tehdään nyt jko, joss x-rvojen väli [, ] jetn [ ] väleihin, j, ] j y-rvojen väli [, ] jetn neljään väliin:,, [ [ ] [, ],, j, ]. Nyt tällä joll suorkulmio [, ] [, ] sdn jettu khdeksn osn (piirrä kuv, tästä ei ot muuten selvää): [, ] [, ] [ ] [,, ] [ 3, ] [ ], [ ] [ ] 4,, 5 [ 5, ] [, 3 ] [ ] [ 6,, 3 ] [ 7, ] [ ] 3, [ ] [ ] 3 8,,

51 Näiden jokisen osn l on /4. Kosk integroitv funktio on f (x, y) x y, niin kyseisen funktion pienin rvo jokisess näistä joukost löytyy vlitsemll mhdollisimmn pieni x-rvo j mhdollisimmn suuri y- rvo. Täten lsummksi sdn 4 (m( ) + m( ) + m( 3 ) + m( 4 ) + m( 5 ) + m( 6 ) + m( 7 ) + m( 8 )) ( ) 9 4. Vstvsti yläsumm sdn järkeiltyä siten, että vlitn osituksen jokisess joukoss mhdollisimmn suuri x-rvo j mhdollisimmn pieni y-rvo. Täten tämä yläsumm on 4 (M( ) + M( ) + M( 3 ) + M( 4 ) + M( 5 ) + M( 6 ) + M 7 ) + M( 8 )) ( ). Jälleen siis ylä- j lintegrli tuottvt huomttvn erilisi tuloksi. Todellisuudess kyseinen integrli on. 7 Tsointegrlin lskeminen iemmin tutkimme ylä- j lsummien ntmi rvioit tsointegrlille f (x, y)dxdy. Tässä siis funktio f (x, y) integroidn muuttujien x j y suhteen jossin tson R osjoukoss. ikisemmiss esimerkeissä tämä integrointijoukko on ollut suorkulmio eli [, b] [c, d]. l- j yläsummien lskemisess iden oli ositt tämä suorkulmio osiin j lske tämän vull rvio tälle tsointegrlille. Kun tätä ositust hienonnetn, niin tämä rvio prnee j on lähempänä integrlin todellist rvo. Jos tsointegrli f (x, y)dxdy on olemss, niin se 5

52 voidn määritellä näiden ylä- j lsummien rj-rvon. Tsointegrlin f (x, y)dxdy geometrinen intuitio on, että se nt funktion f (x, y) j xy-tson välissä olevn lueen tilvuuden, kun x j y rjoitetn joukkoon. Esimerkki 7.. Jos integroinnin lue on suorkulmio [, ] [, ] j integroitvn on vkiofunktio f (x, y), niin integrli f (x, y)dxdy nt funktion f (x, y) j xy-tson suorkulmion [, ] [, ] välissä olevn lueen tilvuuden, jok selvästi on. Toinen intuitiivinen tulkint tsointegrlille on, että se nt funktion f keskirvon joukoss kerrottun tämän joukon pint-lll. Eli f (x, y)dxdy (Funktion f keskirvo joukoss ) (joukon pint-l). Tästä seur suorn, että funktion f keskirvo joukoss sdn jkmll integrli f (x, y)dxdy joukon lll: f (x, y)dxdy Funktion f keskirvo joukoss Joukon pint-l Esimerkiksi yllä olevss esimerkissä joukon [, ] [, ] pint-l oli, joten funktion keskirvo tässä joukoss oli /. Nyt kun tsointegrlille on esitetty intuitiivinen tulkint, käsittelemme kuink tämä tsointegrli käytännössä lsketn. Tämä on yllättävän helppo, kun integrointilue on suorkulmio [, b] [c, d]. Tällöin funktion f (x, y) integrointi joukoss voidn lske integroimll tämä funktion ensin x:n suhteen j integroimll tämän jälkeen syntynyt luseke y:n suhteen. Merkitään integrli seurvsti: xydxdy d b c f (x, y)dxdy. Nyt tämä integrointi sujuu lskemll luksi sisäintegrli, jot merkitään ll sulkujen sisässä olevn lusekkeen: d b d ( b ) f (x, y)dxdy f (x, y)dx dy c Eli lsketn luksi sisäintegrli b f (x, y)dx. Tämän jälkeen integroidn syntynyt luseke y:n suhteen, kuten ll olev esimerkki vlisee: c 5

53 Esimerkki 7.. Lske tsointegrli xydxdy, kun on suorkulmio [, ] [5, 6]. Rtkisu. Nyt tehtävän suorkulmioll on rjt x j 5 y 6. Täten tämä tsointegrli voidn kirjoitt muodoss xydxdy 6 5 xydxdy. Tämä on helppo lske: integroidn ensin x:n suhteen j tämän jälkeen integroidn syntynyt luseke y:n suhteen: 6 6 ( ) xydxdy xydx dy y 5 ( x y (y) dy ) Voit integroid tämän tsointegrlin myös toisess järjestyksessä eli lske integrlin ( 6 ) xydy dx. Tästä stv tulos on sm. 5 Kun integrointilue on suorkulmio, lsketn tsointegrli integroimll funktio f (x, y) ensin joko x:n ti y:n suhteen j tämän jälkeen jäljellä olevn muuttujn suhteen. Esimerkki 7.3. Lske tsointegrli y3 dxdy integroimll ensiksi y:n suhteen, kun on suorkulmio [, ] [3, 4]. Nyt tätä tsointegrli voidn jälleen merkitä seurvsti: y 3 dxdy dy y 3 dxdy.

54 Integroinnin järjestystä voi nyt viht vpsti: 4 ( ) ( 4 ) y 3 dx dy y 3 dy dx 3 3 ( ) 4 y 4 dx 3 4 ( 4 4 ) 4 34 dx 4 ( 54 7 ) dx 4 ( ) 89 dx x Yllä oleviss esimerkeissä integrointi sujui yhtä helposti kummsskin järjestyksessä: integrointi ensin x:n suhteen j sen jälkeen y:n suhteen oli yhtä helppo kuin integrointi ensin y:n suhteen j tämän jälkeen x:n suhteen. Käytännössä näin ei kuitenkn in ole, joten jos integrointi ei tunnu sujuvn tietyssä järjestyksessä, knntt yrittää viht integrointijärjestystä. Yllä olevist esimerkeistä nähtiin, että tsointegrlin lskeminen on yleensä helppo, jos integrointilue on suorkulmio. Ikävä kyllä integrointi muuttuu huomttvsti vikemmksi heti, kun tämä integrointilue ei enää ole yksinkertinen suorkulmio. ll kppleess 8 käsittelemme tpust, joss integrointi yli monimutkisempien lueiden onnistuu vlitsemll sopiv integrointijärjestys. Kppleess 9 ts käsitellään tpus, joss integrointi onnistuu muuttujnvihdoksell. 8 Tsointegrlin lskeminen monimutkisemmss joukoss Tsointegrlin f (x, y)dxdy lskeminen suorkulmioss [, b] [c, d] ei ole sen vikemp kuin yhden muuttujn funktion integroiminen. Tässä tpuksess tämä yhden muuttujn integrointi pitää vin suo- 54

55 ritt kksi kert peräkkäin: ensin x:n j sen jälkeen y:n suhteen ti toisin päin. Jtkoss käsitellään vikemp tpust, joss ei ole suorkulmio. Käsitellään luksi esimerkkitpus, joss integrointi tphtuu kolmioss, jonk kärkipisteinä ovt (, ), (, ) j (, ). Tämä integrointilue näyttää nyt seurvlt: Huomtn luksi, että kolmion kärjet (, ) j (, ) yhdistää viiv, jok on os suor y x. Tämän jälkeen huomtn, että tämä kolmio voidn esittää lueen, joss x on välillä [, ] j y on välillä y x. Tämä huomio mhdollist integroinnin tässä kolmioss. Esimerkki 8.. Integroidn tässä kolmioss funktio f (x, y) xy. Kuten yllä minittiin, tämä kolmio voidn esittää lueen, joss x j y x. Täten hluttu integrli sdn lskemll seurv integrli: x xydydx. Huom, että tässä sisäintegrlin on y:n suhteen integroitv luseke x xydy. Tämä johtuu siitä, että y:n rjt ovt monimutkiset eli si- 55

56 sältävät x:n termejä. Nyt tämän integrointi sujuu suorviivisesti: x ( x ) xydydx xydy dx ( ) x x y dx ( x ( x ) (x x 3 )dx ( x x4 4 ) ( 4 ) 8. ) dx Yllä olevss esimerkissä siis integrointilue esitettiin muodoss, joss x oli khden vkion välissä eli x b smll kun y oli khden x:ää sisältävän lusekkeen välissä eli g (x) y g (x). Yllä olevss esimerkissä siis g (x) j g (x) x. Usein siis integrointilue voidn esittää nimenomn tällisess muodoss eli lueen x b g (x) y g (x). Tällisen lueen yli integrointi suoritetn lskemll integrli b g (x) g (x) f (x, y)dydx. Esimerkki 8.. Tutkitn nyt ll olevss kuvss näkyvää integrointiluett, joss x on välillä [, ] j y on välillä x y x: 56

57 Integroidn tällä lueell funktio f (xy) xy. Tämän integrointi sujuu yllä esitellyllä tvll: b g (x) g (x) (xy)dydx x x x x (xy)dydx (xy )dx x (x x4 )dx (x x 5 )dx ( 3 x3 ) 6 x6 ( 3 ) 6 Näissä khdess esimerkissä siis x oli yksinkertisell välillä [, b] j y oli x:n funktioiden välillä. Pltn nyt kolmioon, joss x j y x. Huomtn, että täsmälleen smn kolmion voi esittää myös lueen y j x y. Eli tässä y on tietyllä yksinkertisell välillä [, b] j x on khden y:n funktion välissä eli g (y) x g (y). Nyt 57

58 tällä välillä voi integroid esimerkiksi funktion f (x, y) x: y y xdxdy x dy ( y) dy ( y + y )dy (y y + 3 y3 ) ( ) 6. Monet lueet voi siis esittää khdess muodoss: joko muodoss joss x on välillä [, b] j y välillä [g (x), g (x)] ti muodoss y on välillä [c, d] j y välillä [g 3 (x), g 4 (x)]. Näiden lueiden muodostminen on usein vike ellei niitä piirrä pperille. Jos tehtävän integroimislue voidn esittää khdess eri muodoss (kuten yllä), niin usein integrointi on helpomp toisell näistä lueist. Täten jos integrointi ei onnistu tietyllä lueell helposti, knntt miettiä josko tämän lueen voisi esittää eri muodoss. 9 Muuttujien vihto: siirtyminen npkoordintteihin Yhden muuttujn funktioiden tpuksess integrlit rtkesivt usein muuttujnvihdoll, joss integrliin b f (x)dx tehtiin korvus x g(t). Tämän jälkeen korvttiin vielä termi dx termillä g (t)dt j lskettiin integrli g (b) f (g(t))g (t)dt, g () joss integroinnit rjt on myös muutettu, kuten in muuttuj vihdettess on muistettv tehdä. Yhden muuttujn tpuksess muuttujn vihdoss iden on siis litt x:n piklle t:tä sisältävä luseke g(t), jonk vull integrli on usein 58

59 helppo lske. Yhden muuttujn muuttujnvihdos sisältää siis kolme elementtiä:. Jokinen integroitvn lusekkeen termi x korvtn termillä g(t) eli jollkin t:n lusekkeell.. Termi dx korvtn termillä g (t)dt. 3. Integroinnin rjt ovt lun perin x j x b. Nyt kun tehdään sijoitus x g(t), niin myös nämä rjt muuttuvt. Kun lkuperäinen rj on x, niin sijoituksest x g(t) sdn g(t) t g (). Smoin rjst x b sdn rj t g (b). Täten integrli sdn muotoon b f (x)dx g (b) g () f (g(t))g (t)dt. Tsointegrlin muuttujnvihdoksess on myös mukn nämä kolme elementtiä. Trkstelln nyt tsointegrli (xy)dxdy. Ensimmäinen muuttujnvihdoksen elementti on sijoitus. Tässä siis x j y korvtn joillkin muill termeillä. Nyt x korvtn termillä jot merkitään x(u, v) eli x korvtn khden muuttujn funktioll x(u, v). Smoin y korvtn khden muuttujn funktioll y(u, v). Otetn esimerkiksi muunnos, joss x(u, v) u + v j y(u, v) u v Tällöin integroitv luseke xy sdn muotoon (u + v)(u v) u v. Toinen muuttujnvihdoksen elementti on, että termi dxdy korvtn jollkin toisell termillä. Tämä termi on monimutkisempi kuin yhden muuttujn tpuksess, kosk sijoitetut funktiot ovt nyt khden muuttujn funktioit. Trkstelln yleistä sijoitust x x(u, v) y y(u, v). Nyt termi dxdy korvtn termillä J dudv. Tässä termi J on Jkobin determinntti, jok on yhtä kuin J x(u, v) u y(u, v) v x(u, v) v y(u, v). u 59

60 Jos esimerkiksi x(u, v) u + v y(u, v) u v, niin x(u,v) u, x(u,v) v, y(u,v) u j y(u,v) v. Tällöin Jkobin determinntti on ( ) (). Täten tämän muuttujnvihdoksen tpuksess termi dxdy korvtn termillä dudv eli termillä dudv. Esimerkki 9.. Trkstelln edelleen muuttujnvihdost x(u, v) u + v, y(u, v) u v. Lsketn integrli (x + y)dxdy tällä muuttujnvihdoksell. Olkoon integrointilue suorkulmio [, ] [, ]. Ensin pitää ktso miten tämä lue muuntuu tässä muuttujnvihdoksess. Rtkistn ensin yhtälöt x u + v j y u v muuttujien u j v suhteen. Tästä sdn rtkistu u x + y v x y. Täten, kun x on välillä x j y on välillä y, niin yllä olevist yhtälöistä nähdään, että u on välillä ( /, 3/) j v on välillä [ 3/, /]. 6

61 Lisäksi pitää muist sijoitt termin dxdy piklle termi J dudv dudv: / 3/ (x + y)dxdy ((u + v) + (u v))dudv 3/ / / 3/ 3/ / / 3/ 3/ / 3/ / 3/ / 3/ / 3/ / 3/ / (u)dudv (4u)dudv (u )dv (9/ /)dv (4)dv (4v)dv ( 3) 5. Tässä siis tehtiin kohtlisen yksinkertinen muuttujnvihto: siinä siirryttiin muuttujist x j y muuttujiin u j v. Usein tehdään kuitenkin kunninhimoisempi muuttujnvihtoj. Tsointegrlin tpuksess tyypillisin lienee siirtyminen npkoordintteihin. Tässä iden on viht muuttujt x j y muuttujiin r j θ tekemällä muuttujnvihto x(r, θ) r cos θ y(r, θ) r sin θ. Tämä muuttujnvihto voi vikutt nopesti ktsottun hiemn eksoottiselt, mutt tässä on iden se että kun summtn näiden neliöt eli x + y, niin sdn (x(r, θ)) + (y(r, θ)) r cos θ + r sin θ r (cos θ + sin θ) r kosk cos θ + sin θ. Täten jos integroitvss lusekkeess on termi x + y, niin npkoordinttimuunnoksell x(r, θ) r cos θ y(r, θ) r sin θ 6

62 tämä termi x + y voidn korvt termillä r. Tämä mhdollist monien integrlien lskemisen. Npkoordinttimuunnoksess termi dxdy pitää luonnollisesti korvt termillä J drdθ. Lsketn siis nyt Jkobin determinntti: x(r, θ) y(r, θ) x(r, θ) y(r, θ) J r θ θ r cos θ(r cos θ) ( r sin θ)(sin θ) r cos θ + r sin θ r(cos θ + sin θ) r. Täten Jkobin determinntti on npkoordinttimuunnoksen tpuksess r. Esimerkki 9.. Integroi x + y dxdy, kun on yksikköympyrä eli {(x, y) : x + y }. Rtkisu. Siirrytään npkoordintteihin, mikä tässä tpuksess onnistuu sijoituksell x + y r. Tällöin integroitv luseke x + y sdn muotoon r r. Nyt integroinnin rjt pitää myös muutt. Kosk lueen on x + y, niin r. Täten litetn r väille [, ]. Vstvsti npkoordinttimuunnoksess θ tulkitn kulmn. Kosk integrointilueen on koko yksikköympyrä, nnetn tämän kulmn θ kulke koko mtkns eli 6

63 θ π. Täten integrointi suoritetn seurvsti: π x + y dxdy π π π π 3. (r)rdrdθ r drdθ 3 r3 dθ 3 dθ Esimerkki 9.3. Olkoon joukko {(x, y) : x + y } eli yksikköympyrä. Lsketn nyt integrli e x +y dxdy. Tätä on vike integroid ilmn muuttujnvihto. Kosk integroitv luseke sisältää termin x + y, on npkoordinttimuunnos luonnollinen tp edetä. Eli tehdään korvus x r cos θ, y r sin θ, jolloin termi x + y voidn korvt termillä r. Jkobin determinntti J lskettiinkin jo yllä: se on r. Lopuksi muunnetn vielä integrointirjt: kun x + y niin luonnollisesti r. Täten sdn rj r. π 3 θ 63

64 Vstvsti θ π. Täten integrointi sujuu seurvsti: e x +y dxdy π e r J drdθ ) e r rdr dθ ( ) dθ π ( π π π er (e ) dθ (e ) θ (e ) π π (e ) Näissä esimerkeissä integrointilue oli siis koko yksikköympyrä. Käsitellään seurvksi tpus, joss integroitvn on khden ympyrän välissä olev lue. Esimerkki 9.4. Integroi x + y dxdy, kun on lue {(x, y) : x + y 4}. Rtkisu. Nyt integrointilue on x + y 4 eli r 4 eli 64

65 r. Lisäksi kulmn θ nnetn jälleen oll välillä [, π]: π x + y dxdy r rdrdθ π π π π π (r)rdrdθ r drdθ 3 r3 dθ ( )dθ ( 7 3 )θ 4π 3. Toinen tp, joll integroinnin rjt voivt erot iemmst, on että meillä ei ole integrointilueen enää täysi ympyrä, vn inostn tietty ympyrän os. Tällöin kulm θ ei enää mene täyttä kierrost [, π], vn inostn osn tästä. Esimerkki 9.5. Integroi x + y dxdy, kun on nyt lue {(x, y) : x + y 9, y }. Rtkisu. Nyt integrointilueell pätee x + y 9 eli r 3. Nyt on kuitenkin voimss lisärjoitus y. Tällöin integrointilueen on puoliympyrä eli kuvss näkyvä lue: 65

66 Tällöin kulm θ kulkee puoliympyrän verrn, jolloin θ π. Lsketn nyt tämä integrli näillä rjoill: π x + y dxdy 3 π 3 π 3 π π 9θ 9π. (r)rdrdθ r drdθ 3 r3 dθ (9)dθ vruusintegrli iemmin lskimme yksiulotteisi integrlej b f (x)dx, joss integrointilue on x-kselin väli [, b]. Lisäksi lskimme kksiulotteisi integrlej g(x, y)dxdy, joss integrointilue puolestn löytyi tsost eli R. Nyt siirrymme kolmnteen ulottuvuuteen j lskemme integrlej, joiss integrointilue on kolmiulotteisess vruudess eli R 3 :ss. Tällist vruusintegrli merkitään f (x, y, z)dxdydz. Tässä siis kolmen muuttujn funktio f (x, y, z) integroidn kikkien kolmen muuttujns x:n, y:n j z:n suhteen. Integrointilueen muoto rtkisee jälleen, kuink helppo integrointi käytännössä on. Helppo tämä integrointi on silloin, jos on suorkulminen särmiö eli [, b] [c, d] [p, q]. Eli toisin snottun on tässä joukko, joss x [, b], y [c, d] j z [p, q] eli kikki muuttujt rjoitetn vkioväleille. Tällöin integrointi sujuu suorviivisesti integroimll funktio jokisen muuttujns suhteen 66

67 vuoron perään: f (x, y, z)dxdydz q d b p c f (x, y, z)dxdydz. Esimerkki.. Integroidn funktio f (x, y, z) xyz joukoss [, ] [3, 4] [, ]. Tässä siis integroinnin rjt ovt nyt x [, ], y [3, 4] j z [, ]. Käytetään integrointiin yllä olev kv: f (x, y, z)dxdydz q d b p c 4 3 f (x, y, z)dxdydz (xyz)dxdydz. Nyt tämän integrlin voi lske missä järjestyksessä hlu. Integroidn tämä ll ensin x, sitten y:n j lopult z:n suhteen: 4 3 (xyz)dxdydz (x yz)dydz yz (x )dydz yz(3)dydz (y z)dz 4 z y dz 3 3 z(7)dz z 3 ( ) Tämä lsku siis on kohtlisen pitkä, mutt suorviivinen. 67

68 Esimerkki.. Edellisessä esimerkissä integrli lskettiin integroimll ensin x:n, sitten y:n j lopuksi z:n suhteen. Tämän integroinnin voi suoritt tällisen suorkulmisen särmiön tpuksess myös muuss järjestyksessä. Tulos on sm. Lsketn tämä integrli ll integroimll ensin y:n, sitten z:n j lopuksi x:n suhteen: 4 3 (xyz)dxdydz xdx 4 8 x dx. (xyz)dydzdx (xy z)dzdx 3 4 xz (y )dzdx 3 xz(7)dzdx xz dx Tulos on siis sm. Huom, että termien dx, dy j dz järjestys kertoo integrointijärjestyksen. Täten esimerkiksi dzdxdy trkoitt, että integrointi suoritetn ensin z:n, sitten x:n j lopuksi y:n suhteen. vruusintegrli yli monimutkisempien lueiden Yllä todettiin, että vruusintegrlien lskeminen suorkulmisiss särmiöissä on kohtlisen suorviivist. Integrointilueen on kuitenkin usein jokin vruuden R 3 monimutkisempi osjoukko. Integrointirjojen muodostminen on tällöin usein vike. Trkstelln nyt integrointi yleisessä vruuden joukoss R 3. H- 68

69 lumme siis lske integrlin f (x, y, z)dxdydz. Tämän lskeminen onnistuu smll tekniikll kuin ikisemmin esimerkiksi silloin, kun pystymme esittämään lueen seurvnlisen joukkon: x b, φ (x) y φ (x), v (x, y) z b v (x, y). Tässä siis x on vkiovälillä [, b]. Muuttujn y puolestn sllitn olevn khden x:n funktion välissä. Muuttujn z ts sllitn oll funktioiden v (x, y) j v (x, y) välissä. Tässä on siis kolme ehto:. Muuttujn x rjt eivät s riippu muist muuttujist: x on vkiovälillä.. Muuttujn y rjt svt riippu x:stä: y on funktioiden φ (x) j φ (x) välissä. 3. Muuttujn z rjt svt riippu x:stä j y:stä. Muuttuj z on funktioiden v (x, y) j v (x, y) välissä. Jos lue pystytään esittämään tässä muodoss, niin hluttu integrli sdn lskettu seurvll kvll: f (x, y, z)dxdydz b φ (x) v (x,y) φ (x) v (x,y) f (x, y, x)dzdydx. Eli: Integroidn funktio f (x, y, z) ensin z suhteen integrointirjoill v (x, y) j v (x, y). Seurvksi integroidn syntynyt luseke y:n suhteen integrointirjoill φ (x) j φ (x). Lopuksi integroidn tästä syntynyt luseke x:n suhteen välillä [, b]. Esimerkki.. Lsketn vruusintegrli ()dxdydz, kun on joukko jot rj tso x + y + 3z j koordinttitsot x, y j z. Nyt tämä lue pitäisi kirjoitt yllä esitellyssä muodoss. Rtkistn luksi yhtälö x + y + 3z muuttujn z suhteen: z ( x y). 3 69

70 Tämä on nyt z:n ylärj. Sen lrj sdn ehdost z, joten z ( x y). 3 Muuttujn y rjt puolestn sdn rtkisemll luseke x + y + 3z muuttujn y suhteen: x + y + 3z y x 3z. Tässä y on suurimmilln, kun z on pienimmillään: kun z. Yllä olevst yhtälöstä nähdään että tällöin y x. Tämä on y:n ylärj. Muuttujn y lrj on. Täten y on välillä [, x]. Muuttujn x rjt nähdään myös ktsomll yhtälöä x + y + 3z. Tästä nähdään, että x on integrointilueell suurimmilln silloin kun y j z ovt minimissään, eli silloin kun y j z. Tällöin x 6. Täten x 6. Nyt kun rjt on rtkistu, tämän funktion integrointi voidn suoritt suorviivisesti: b ()dxdydz φ (x) v (x,y) ()dzdydx φ (x) v (x,y) 3 x 3 ( x y) ()dzdydx Tässä oli integroinnin vike osuus: kun rjt on muodostettu, etenee integrointi suorviivisesti: ensin integroidn funktio f (x, y, x) muut- 7

71 tujn z suhteen, sitten y:n suhteen j lopuksi x:n suhteen: 3 x 3 ( x y) 3 x 3 x ( x y) ()dzdydx (z)dydx ( x y) dydx 3 x (y xy ) 3 y dydx x (4y 3 xy 6 ) y dx (4 ( x) 3 x ( x) 6 ) ( x) dx ( ) 3 x 8x + 4 dx ( ) 9 x3 4x + 4x Yllä olevss esimerkissä siis meillä oli neljä tso: x, y, z j x + y + 3z 4. Nämä tsot rjoittivt integrointilueen. Tehtävän hste oli löytää sopivt integroinnin rjt. Yhtälöistä z j x + y + 3z 4 oli kohtlisen suorviivist rtkist z:n rjt. Muuttujn y rjt puolestn stiin rtkistu vlitsemll z yhtälössä x + y + 3z 4. Muuttujn vihto: sylinterikoordintit Myös kolmen muuttujn funktiot f (x, y, z) integroitess voidn tehdä muuttujnvihdos. Nyt muuttujnvihdoksess x, y j z korvtn lusekkeill, jotk sisältävät muuttuji u, v j w: x x(u, v, w) y y(u, v, w) z z(u, v, w). 7

72 Nyt siis x korvtn funktioll x(u, v, w), y korvtn funktioll y(u, v, w) j z korvtn funktioll z(u, v, w). Esimerkki tällisest muuttujnvihdoksest on x u + v y u v z z, joss siis z pysyy omn itsenään, mutt muuttujt x j y muuntuvt. Tämä on kuitenkin hyvin yksinkertinen muuttujnvihdos. Käytännössä kksi käytetyintä muuttujnvihdost vruusintegrleille ovt siirtyminen sylinterikoordintteihin j siirtyminen pllokoordintteihin. Seurvss oletmme, että determinntin lskukv on tuttu. Jos näin ei ole, knntt hyväksyä tulokset sellisinn. Sylinterikoordinttimuunnos on melkein sm kuin iemmin käsitelty siirtyminen npkoordintteihin. Se on seurv muunnos: x r cos θ y r sin θ z z. Tässä siis muuttujt x j y korvtn täsmälleen smoill muuttujill kuin npkoordinttimuunnoksen tpuksess. Muuttuj z ei tässä muunnoksess muunnu. Tämän muunnoksen Jkobin determinntti on sm kuin npkoordinttimuunnoksell: (x, y, z) (r, θ, z) x x x r θ z y y y r θ z z z z r θ z cos θ r sin θ sin θ r cos θ cos θ r sin θ sin θ r cos θ cos θ (r cos θ) ( r sin θ(sin θ)) ( ) r cos θ + sin θ r. 7

73 Täten sylinterikoordintteihin siirryttäessä integrli muuttuu seurvsti: f (x, y, z)dxdydz D f (r cos θ, r sin θ, z) rdrdθdz, joss lkuperäinen integrointilue muuntuu sylinterikoordintteihin siirryttäessä lueeksi D. Sylinterikoordintteihin siirryttäessä on sm etu kuin npkoordintteihin siirryttäessä: termi x + y voidn korvt yksinkertisell termillä r. Tätä muunnost knntt käyttää muun muss silloin, kun integrointilue on muoto x + y j c z d, eli jos integrointilue on sylinterin muotoinen. Esimerkki.. Lsketn integrli (xy) dxdydz, joss lue on sylinteri x + y j z. Kosk x + y r, niin muuttujn r rjt ovt r. Puolestn muuttuj θ on tuttuun tpn välillä [, π], kosk integrointilueen on koko sylinteri eikä esimerkiksi sylinterinpuoliks. Kosk muuttuj z ei muunnu sylinterimuunnoksess mihinkään, sen rjt eivät muutu eli z. Täten integrointi sujuu tällä kert seurvsti: (xy) dxdydz 4 4. π π π π π (r cos θ) (r sin θ) rdrdθdz ( ) r 3 cos θ sin θ drdθdz ( ) 4 r4 cos θ sin θ dθdz (cos θ sin θ) dθdz (sin θ) dz Tässä integrointi suoritettiin siis koko sylinterissä, kosk kulm θ oli täydellä välillään [, π]. Huom lisäksi, että tulos kertoo että funktio 73

74 f (x, y, z) xy s keskimäärin rvon noll tehtävän sylinterissä. Tämä johtuu käytännössä siitä, että tämän funktion negtiiviset rvot tspinottvt sen positiiviset rvot integrointilueell. Kulm θ on usein jollkin pienemmällä välillä, kuin [, π]. ll olevss esimerkissä lisäehto y iheutt sen, että θ rjoittuu välille [, π]. Esimerkki.. Integroidn muuttuj e x +y puolisylinterissä, jonk rjt ovt x + y 9, z j y eli lsketn integrli e x +y dxdydz. Tehdään sylinterimuunnos, jolloin luseke e x +y sdn muotoon e r. Integroinnin rj x + y 9 muuttuu muotoon r 3 j rj y trkoitt, että θ rjoittuu välille [, π]. Puolestn rj z pysyy ennlln. Nyt integrli lsketn sylinterikoordintteihin siirtymällä seurvsti: ( e x +y ) dxdydz π 3 π 3 ( ) e r r drdθdz ( ) er dθdz π ( ) e 9 dθdz ( e 9 ) π (θ) dz ( e 9 ) (zπ) ( e 9 ) π. 3 Muuttujn vihto: pllokoordintit Yllä käsittelimme sylinterikoordinttimuunnoksen, jonk voi ymmärtää npkoordinttien yleistyksenä, kun integrointi tphtuu vruudess R 3. Tämä muunnos on hyödyllinen, kun integrointilueen oli joukko jok on muoto x + y b, v (x, y) z v (x, y). Sylinterikoordinttien hyödyllisyys perustuu siihen, että termi x + y voidn korvt 74

75 termillä r. Tutkitn nyt pllo. Pllo on lue vruudess, jok määrittyy yhtälöstä x + y + z, joss on jokin vkio. Jos integrointilueen on pllo ti pllon os, on usein hyödyllistä siirtyä pllokoordintteihin. Pllokoordinttimuunnoksess muuttujt x, y j z korvtn muuttujien r, θ j ϕ lusekkeill seurvsti: x r sin θ cos ϕ y r sin θ sin ϕ z r cos θ Tämä muunnos on nyt hiemn monimutkisempi kuin sylinterikoordinttimuunnos. Sen hyödyllisyys perustuu kuitenkin smntyyliseen seikkn kuin sylinterikoordinttienkin hyödyllisyys. Tämä nähdään summmll x + y + z yhteen: x + y + z r sin θ cos ϕ + r sin θ sin ϕ + r cos ( θ ) r sin θ cos ϕ + sin θ sin ϕ + cos θ r ( ) sin θ cos ϕ + sin ϕ }{{} ( ) r sin θ + cos θ r. + cos θ Täten pllokoordinttien hyöty on siinä, että pllomisill lueill esiintyvä termi x + y + z voidn korvt yksinkertisell termillä r. Tämä helpott integrointi huomttvsti. Puolestn pllokoordintiston muuttujt θ j ϕ pitää tulkit kulmin. Myös pllokoordinttien tpuksess meidän pitää löytää tämän muunnoksen Jkobin determinntti. Tämän lskeminen on tällä kert hiemn 75

76 työläämpää kuin ikisemmin: x x x (x, y, z) (r, ϕ, θ) r ϕ θ y y y r ϕ θ z z z r ϕ θ sin θ cos ϕ r sin θ sin ϕ r cos θ cos ϕ sin θ sin ϕ r sin θ cos ϕ r cos θ sin ϕ cos θ r sin ϕ Huomtn, että viimeisellä rivillä on noll. Täten tämä determinntti on helpoint lske, kun sen ljent viimeistä riviä käyttäen: (x, y, z) (r, ϕ, θ) cos θ r sin θ sin ϕ r cos θ cos ϕ r sin θ cos ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ sin θ cos ϕ r sin θ sin ϕ sin θ sin ϕ r sin θ cos ϕ Tästä seur prin rivin lskutoimituksen jälkeen, että (x, y, z) (r, ϕ, θ) r sin θ. Lopulliseen integrliin sijoitetn tämän Jkobin determinntin itseisrvo, eli r sin θ. Täten pllokoordintteihin siirryttäessä integrli muuttuu seurvsti: f (x, y, z)dxdydz Esimerkki 3.. Lsketn integrli D f (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ) r sin θdrdϕdθ. x + y + z dxdydz, kun integrointijoukko on pllo x + y + z. Kosk integrointilueess esiintyy termi x + y + z, on pllokoordinttimuunnos järkevä rtkisu. Korvtn siis termi x + y + z termillä r. Täten uutt integrointiluett rjoitt r r. Seurvksi pitää päättää kulmien ϕ j θ rjt. in kun integroimme täydessä ympyrässä, niin kulm ϕ käy täyden kierroksen eli ϕ 76

77 π. Kulm θ puolestn käy tällöin puoli kierrost: θ π. Täten integroinnin rjt ovt tässä tpuksess r ϕ π θ π. Rjojen muodostmisen jälkeen tämäkin integrointi on suorviivist, kunhn muistetn sijoitt Jkobin determinntin itseisrvo eli r sin θ tähän muunnettuun integrliin: π x + y + z dxdydz 4 π π π π π π π π π π π 5 (4π) π. 4 ( ) (r) r sin θ drdθdϕ ( ) r 3 sin θ drdθdϕ ( ) r 4 sin θ dθdϕ (sin θ) dθdϕ π ( cos θ) dϕ ( cos π + cos ) dϕ () dϕ (ϕ) Tässä siis integrointilueen oli koko pllo. Jos rjoitteen on lisäksi z, niin kulm θ pitää modifioid siten että integrointi tphtuu inostn puoliplloss, joss x + y + z j z. Tämä onnistuu rjoittmll θ välille [, π/]. Vstvsti rjoittmll kulmi θ j ϕ voidn integroid funktioit pllon eri osiss. 77

78 4 Ensimmäiseen välikokeeseen vlmistvi tehtäviä Ensimmäisen välikokeen koelue on pelkkää integrointi. Täten tentistä oleellist on hllit integrlien lskutekniikt. ll on hrjoituksi, joit tekemällä voit vlmistutu tenttiin. Ne käsittelevät os koelueen ihepiiristä, eivätkä kt koko koeluett. Rtkisut näihin j kikkiin muihinkin hrjoituksiin löytyvät liitteestä, jok lk sivult 83. Ennen hrjoituksen tekemistä voi oll syytä kerrt hrjoituksen ihepiiri sitä käsittelevästä kppleest. 4. Osittisintegrointi Ensimmäinen tässä käsiteltävä integrointitekniikk on osittisintegrointi (ktso sivu 5). Esitetään luksi osittisintegroinnin kv määrätyn integrlin tpuksess: b f (x)g (x)dx b ( f (x)g(x)) Esimerkki 4.. Lsketn integrli xe x dx b f (x)g(x). osittisintegroimll. Vlitn funktiot f (x) j g (x) seurvsti: f (x) x j g (x) e x. Tällöin f (x) j g(x) e x. Täten osittisintegroinnin kv käyttäen integrli sdn muokttu seurvn muotoon: xe x dx (xe x ) e x dx ( ) e e e (e ) e x ( e e e (e ) e (e ) ) e e e + e e. Osittisintegrointi käytettäessä on oleellist päättää mikä on f (x) j mikä on g (x). Tämän jälkeen integrointi onnistuu suorviivisesti osittisintegroinnin kv käyttäen. Tyypillisesti osittisintegrointi trvitn 78

79 seurvnlisi funktioit integroitess (ll n on kokonisluku j j b ovt vkioit):. Integrli x n e x dx. Tämä rtke kun vlitn f (x) x n.. Integrli x n sin bxdx j x n cos bxdx. Nämä rtkevt, kun vlitn f (x) x n. 3. Integrli x n ln(x)dx. Tämä rtke kun vlitn f (x) ln(x). 4. Trigonometriset funktiot, jotk on kerrottu e x :llä: e x sin bxdx j e x cos bxdx. Tämä rtke kun vlitn f (x) e x. Näistä khden ensimmäisen rtkisu perustuu siihen, että funktion f (x) x n derivointi n kert joht siihen, että termi x häviää. Koht 3 puolestn perustuu siihen, että termin f (x) ln(x) derivtt on /x. Kohdn 4 perite on monimutkisempi. Se selviää hrjoituksess 4.3. Osittisintegroitess pitää lisäksi muist, että joskus osittisintegrointi voi joutu soveltmn smss tehtävässä usen otteeseen. Hrjoitus 4.. Integroi xe x dx. Rtkisu sivull 83. Hrjoitus 4.. Integroi x ln xdx. Rtkisu sivull 83. Seurvn tehtävän integrli on tyyppiä e x sin bxdx. Tällisess tehtävssä trvitn osittisintegrointi khteen kertn sekä termien yhdistelyä. Hrjoitus 4.3. Integroi e x sin xdx. Rtkisu sivull 84. Seurvt kksi integrli rtkevt myös osittisintegroimll, vikkkn ne eivät ole yllä lueteltu neljää tyyppiä. Hrjoitus 4.4. Integroi (ln x) dx. Lske (ln x) dx. Rtkisu sivull 84. Hrjoitus 4.5. Lske integrli Rtkisu sivull 85. rctn xdx. 79

80 4. Osmurtohjotelmi Rtionlifunktiot eli khden polynomifunktion osmäärät rtkevt usein suorn: esimerkiksi tyyppiä f (x)/ f (x) olevn funktion integrli on muoto f (x) + C. Smoin tyyppiä /( + x ) olev funktio voidn integroid suorn: sen integrli on rctn x + C. Osmurtohjotelmiss iden on plutt rtionlifunktio P(x)/Q(x) tälliseen muotoon, jok on suorn integroitviss. Hrjoitus 4.6. Lske integrli Rtkisu sivull 86. x x + dx. 4.3 Yhden muuttujn sijoituskeino Yhden muuttujn sijoituskeinoss iden on korvt integroitvn lusekkeen termi x muuttuj t sisältävällä termillä g(t). Lisäksi pitää muist korvt termi dx termillä dt. Hrjoitus 4.7. Lske integrli Rtkisu sivull 87. Hrjoitus 4.8. Lske integrli x x + dx Rtkisu sivull 87. x 4 dx + x 4.4 Tsointegrlit Tsointegrlin lskeminen suorkulmioss [, b] [c, d] on helppo. ll olevt esimerkit käsittelevät integrointi yli monimutkisempien tson lueiden. Kummsskin tehtävässä tällinen lue on kolmio, mutt sm rtkisutekniikk soveltuu myös integrointiin yli muunlisten tson lueiden. 8

81 Hrjoitus 4.9. Lske tsointegrli xydxdy, kun on kolmio, jot rjoittvt pisteet (, ), (3, 3) j (3, ). Rtkisu sivull 87. Hrjoitus 4.. Lske tsointegrli xydxdy, kun on kolmio, jot rjoittvt pisteet (, ), (, ) j (, ). Rtkisu sivull Npkoordintit Npkoordinttimuunnost on hyvä käyttää, kun lskettvn on tsointegrli jonk integrointilue on joko ympyrä ti yleisemmin khden osympyrän väliin jäävä lue. Npkoordinttimuunnos on muunnos x r cos θ y r sin θ. Tätä muunnost käytettäessä on huomttv, että lkuperäisen lusekkeen termi x + y korvtn termillä r. Hsteen npkoordinttitehtävissä on usein vlit muuttujien r j θ integrointirjt oikein. Hrjoitus 4.. Lske tsointegrli ()dxdy, kun on neljäsosympyrä x + y 4, y j x. Rtkisu sivull 89. Hrjoitus 4.. Lske tsointegrli (x + y + )dxdy, kun on lue, jot rjoitt ympyrät x + y 9 j x + y 4 sekä koordinttikseli y. Rtkisu sivull 9. 8

82 4.6 Sylinterikoordintit Sylinterikoordinttimuunnos on npkoordinttimuunnoksen (yksi) yleistys vruusintegrleille. Kyseessä on muunnos x r cos θ y r sin θ z z. Tämä muunnos toimi hyvin pitkälti smll tvll kuin npkoordinttimuunnos. Tämän muunnoksen nimi tulee siitä, että jos integroitv lue on muoto x + y, b z c, niin se on vruuteen (R 3 ) piirrettynä sylinterin muotoinen. Hrjoitus 4.3. Lske integrli ( x + y + z ) dxdydz, kun on sylinteri x + y, z 3. Rtkisu sivull 9. Sylinterimuunnoksess muuttuj z voi oll muull kuin vkiovälillä, kuten seurvss tehtävässä. Hrjoitus 4.4. Lske integrli ( x + y ) dxdydz, kun on sylinteri, jot rjoitt tsot x + y, z j z x + y. Vditn lisäksi, että y. Rtkisu sivull Pllokoordintit Pllokoordinttimuunnos on muunnos, jok on nimensä mukisesti hyödyllinen integroitess pllomisill R 3 :n lueill. Kyseessä on muunnos, joss muuttujt x, y j z korvtn muuttujill r, θ j ϕ seurvsti: x r sin θ cos ϕ y r sin θ sin ϕ z r cos θ 8

83 Tämän muunnoksen hyöty on siinä, että sitä käytettäessä termi x + y + z voidn korvt termillä r. Hstv pllokoordinttimuunnost käytettäessä on muodost rjt uusille muuttujille r, θ j ϕ. Jos integrointi tphtuu täydessä plloss, joss x + y + z, niin rjt ovt Hrjoitus 4.5. Lske integrli r θ π ϕ π. () dxdydz, kun integrointijoukko on khden pllon rjoittm l: 4 x + y + z 5. Rtkisu sivull 9. Rtkisut hrjoituksiin. Osittisintegrointi Rtkisu hrjoitukseen 4. sivull 79. Vlitn luksi funktiot f (x) j g (x) seurvsti: f (x) x f (x) g (x) e x g(x) ex. Täten integrointi sujuu osittisintegroinnill seurvsti: xe x dx x ex ex dx x ex 4 ex + C. Rtkisu hrjoitukseen 4. sivull 79. Vlitn funktiot f (x) j g (x) seurvsti: f (x) ln x g (x) x f (x) x g(x) x. 83

84 Nyt integrointi etenee seurvsti: x ln xdx ln x x x ln x x x dx ln x x x 4 + C. ( ) dx x Rtkisu hrjoitukseen 4.4 sivull 79. Vlitn tässä funktiot f (x) j g (x) seurvsti: f (x) (ln x) f (x) ln x x g (x) g(x) x. Täten voimme käyttää osittisintegroinnin kv: ( ) (ln x) dx (ln x) ln x x xdx x (ln x) x ln xdx + C Integrli ln xdx lskettiin esimerkissä.3 sivull 8. Tulos on ln xdx x ln x x. Täten yllä olev yhtälö sdn muotoon: (ln x) dx (ln x) x ln xdx + C (ln x) x (x ln x x) + C. Rtkisu hrjoitukseen 4.3 sivull 79. Tämäkin rtke osittisintegroimll. Vlitn funktiot f (x) j g (x) seurvsti: f (x) e x f (x) e x g (x) sin x g(x) cos x. Nyt integrointi sujuu seurvsti e x sin xdx e x cos x e x cos x + ( cos x)e x dx cos x e x dx 84

85 Seurvksi integroidn cos x e x dx vstvnlisell osittisintegroinnill: e x sin xdx e x cos x + cos x e x dx ( ) e x cos x + sin x e x sin xe x dx e x cos x + sin x e x sin xe x dx Yhdistetään nyt yhtälön kummllkin puolell esiintyvät termit sin xe x : e x sin xdx e x cos x + sin x e x e x sin xdx ( ex cos x + sin x e x ) Tyyppiä e x sin bxdx ti e x cos bxdx olevt integrlit rtkevt in vstvll tekniikll: osittisintegroidn khteen kert j yhdistetään smt termit. (ln x) dx (ln x) x ln xdx Käyttämällä kv b f (x)g (x)dx (ln x) x (x ln x x) + C b ( f (x)g(x)) b f (x)g(x)dx smme lskettu rvon (ln x) dx: (ln x) ( ) dx (ln x) x (x ln x x) ( ) (ln ) (ln ) (( ln ) ( ln )) ln ( ln ) Rtkisu hrjoitukseen 4.5 sivull 79. Tämäkin rtke osittisintegroimll. Vlitn funktiot f (x) j g (x) seurvsti: f (x) rctn x f (x) + x g (x) g(x) x. 85

86 Nyt integrointi sujuu seurvsti rctn xdx (x rctn x) ( rctn ). Osmurtohjotelmi ( rctn ) ln(5). ( ) x + x dx ) ( ln( + x ) Rtkisu hrjoitukseen 4.6 sivull 8. Kirjoitetn luksi osmäärä x x+ seurvss muodoss: (x )(x + ). Huomtn, että tällä on kksi erillistä nollkoht. Täten tälle voi tehdä seurvnlisen osmurtohjotelmn: Rtkistn tästä j : (x )(x + ) x + x +. (x )(x + ) x + x + (x + ) + (x ) (x )(x + ) x + + x (x )(x + ) ( + )x + ( ) (x )(x + ) Litetn oiken j vsemmn puolen kertoimet yhtä suuriksi: sdn + Mistä sdn rtkistu 3 j 3. Täten integrointi sujuu seurvsti: (x )(x + ) dx /3 x dx /3 x + dx ln x 3 ln x + + C. 3 86

87 .3 Sijoituskeino Rtkisu hrjoitukseen 4.7 sivull 8. Tehdään sijoitus t x + x t. Täten dx dt. Integroinnin rj x korvutuu rjll t j rj x korvutuu rjll t 3: x x + dx 3 3 (t ) tdt (t 3/ t / )dt 3 ( 5 t5/ 3 ) t3/ ( 5 35/ 3 ) 33/ ( 5 5/ 3 ) 3/ Rtkisu hrjoitukseen 4.8 sivull 8. Huomtn luksi, että integrli voidn esittää muodoss x 4 + (x 5 ) dx. Tehdään sijoitus t x 5. Tällöin dt 5x 4 dx, joten x 4 dx /5dt j integroitvn lusekkeen nimittäjä x 4 dx voidn esittää muodoss /5dt. Lisäksi pitää muist muunt integroinnin rjt: kun x, niin t 5 j kun x, niin t 3. Täten integrointi onnistuu seurvsti: x 4 + (x 5 ) dx 3 3 /5dt + t 5 rctn t (rctn 3 rctn ). 5.4 Tsointegrlit Rtkisu hrjoitukseen 4.9 sivull 8. Nyt tehtävän kolmio voidn esittää lueen, joss x 3 j 3 x y x. Täten integrointi su- 87

88 juu seurvsti: xydxdy 3 x 3 xydydx 3 x x ( 3 x xy x x 3 ( x x 4 x4 ) dx ( y ) dx x 8 9 x3 dx 4 x 3 dx ( ) ) 3 x dx Rtkisu hrjoitukseen 4. sivull 8. Kun tämän kolmion piirtää, huom että sen voi esittää khten lueen: toinen lue on y, y x. Toinen on y, y x. Lsketn nämä kksi 88

89 integrli erikseen: xydxdy y y x dy y y ( + ) y dy (y + ) y dy ( y + ) 6 y3 ( + ) 6 3 ( + 4 ) 3 j jälkimmäinen integrli: y 5 3. xydxdy y x dy ( y ) y dy ( y y ) Täten xydxdy Npkoordintit Rtkisu hrjoitukseen 4. sivull 8. Siirrytään npkoordintteihin, eli tehdään muunnos x r cos θ, y r sin θ. Täten tunnetusti x + y r j kosk x + y 4, niin r 4 eli r. Ehdot y j x puolestn määrittävät kulmn θ rjt (piirrä kuv): θ π/. Lisäksi pitää muist lisätä npkoordinttimuunnoksen 89

90 Jkobin determinntti eli r mukn: π/ ()dxdy π/ π/ π/ π. (r)drdθ r dθ Rtkisu hrjoitukseen 4. sivull 8. Nyt integroinnin rjt ovt r 3 j θ π. Täten integrointi sujuu seurvsti: π (x + y + )dxdy 3 π 3 π π π π ( 4.6 Sylinterikoordintit 3 4 ( θ dθ (r + )rdrdθ ( ) r 3 + r drdθ ( 4 r4 + ) r dθ (( ) 3 ( ) dθ ) θ 4 ) π ( )) dθ Rtkisu hrjoitukseen 4.3 sivull 8. Tehdään sylinterimuunnos x r cos θ y r sin θ z z. 9

91 Tällöin integroitv luseke s muodon x + y + z r + z. Integroinnin rjt ovt nyt r, z 3. Lisäksi Jkobin determinntti on r: ( x + y + z ) 3 dxdydz π 3 π ( r + z ) rdrdθdz ( r 3 + rz ) drdθdz 3 π ( 4 r4 + z 3 π ( 4 + z 3 π ( 4 + ) z θdz 3 ( π 4 + ) z dz 3 ( z π 4 + ) 6 z3 (( ) 3 π π 6. r ) dθdz ) dθdz ( )) Rtkisu hrjoitukseen 4.4 sivull 8. Tehdään jälleen sylinterimuunnos. Nyt r on edelleen välillä r. Puolestn muuttuj z on välillä z x + y eli z r. Ehto y puolestn pkott kulmn θ 9

92 välille [, π]. Täten integrointi sujuu seurvsti: ( x + y ) dxdydz π r π r π π π π 6. π r ( ) r r dzdθdr ( r 3) dzdθdr ( ) r 3 z dθdr ( r 5) dθdr ( ) r 5 θ dr ( π r 5) dr ( ) 6 r6.7 Pllokoordintit Rtkisu hrjoitukseen 4.5 sivull 83. Nyt integroinnin rjksi sdn 4 r 5 eli r 5. Kulmt θ j ϕ ts svt täydet steens: θ π j ϕ π. Lisäksi pitää muist, että pllokoordintti- 9

93 muunnoksen Jkobin determinntin itseisrvo on r sin θ. Täten: () dxdydz 3 3 π π 5 π π π π π π π π π ( ) r sin θ drdθdϕ ( ) r 3 sin θ dθdϕ (sin θ) (5 3 3 )dθdϕ (sin θ) (7)dθdϕ π ( cos θ) dϕ ( cos π + cos ) dϕ ()dϕ 3 ( ) ( π π 3 3 ). 93