Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio (=yksinkertinen prmetriesitys). Huomutus 4.1.7. Emme ole näyttäneet, miksi kren sileydestä luopuminen on sllittu. Tämä seur smn tpn kuin Luseen 4.1.3 yhteydessä. Trkempi todistus sivuutetn. Määritelmä 4.1.12. Olkoon C R m yksinkertinen kri j γ : [, b] R m sen yksinkertinen prmetriesitys, jok on ploittin C 1 -polku. (i) Yksinkertinen kri C on suunnistettu pisteestä γ() pisteeseen γ(b), kun sille sllitn vin yksinkertisi prmetriesityksiä γ, joiden lkupiste on γ() j loppupiste on γ(b). Suunnistettu yksinkertist krt merkitään C +. (ii) Jtkuvn vektorikentän f : D R m R m integrli yli yksinkertisen suunnistetun kren C + on f ds = f(γ(t)) γ (t)dt C + missä γ on C + :n jokin yksinkertinen prmetriesitys j Riemnn-integrli lsketn vstvsti ploittin.
Esimerkki 4.1.9. Olkoot I 1 jn pisteestä (0, 1) pisteeseen (1, 1), I 2 jn pisteestä (1, 1) pisteeseen (1, 1) j C = I 1 I 2. Tällöin C on yksinkertinen kri, sillä sen eräs yksinkertinen prmetriesitys on { (t, 1) kun 0 t 1 γ(t) =. (1, t 2) kun 1 t 3 γ on injektiivinen. γ on ploittin C 1 j sen derivtt välillä [0, 1] on γ (t) = (1, 0) (0, 0) j derivtt välillä [1, 3] on γ (t) = (0, 1) (0, 0). (Huom! derivtt pisteessä t = 1 ei ole, vn inostn toispuoliset derivtt). Suunnistetn C + pisteestä (0, 1) pisteeseen (1, 1). Funktion f(x 1, x 2 ) = 1 2 ( x 1x 2, x 2 ), missä x 1, x 2 R, kri-integrli yli suunnistetun yksinkertisen kren C + on 3 1 f ds = f(γ(t)) γ 1 3 1 (t)dt = (t, 1) (1, 0)dt+ C + 0 0 2 1 2 ( t+2, t 2) (0, 1)dt = 1 4
4.2 Suljetut käyrät j polut Ljennetn kri-integrlin käsite sellisille käyrille, joiden päätepisteet yhtyvät. Toisin snoen käyrän päätepisteet rikkovt käyrän prmetriesityksen injektiivisyyden, jolloin kysessä ei ole yksinkertinen kri. Määritelmä 4.2.1. (i) Jtkuv funktio γ : [, b] R m on suljettu yksinkertinen polku, jos γ() = γ(b) j kuvus γ : [, b) R m on injektiivinen. (i) Joukko C R m on yksinkertinen suljettu käyrä, jos löytyy sellinen suljettu yksinkertinen ploittin C 1 -polku γ : [, b] R m, että C = γ([, b]). Tällöin snotn, että γ on suljetun yksinkertisen käyrän C yksinkertinen prmetriesitys. (iii) Yksinkertinen suljettu käyrä C R m on suunnistettu yksinkertisen prmetriesityksen γ suuntn, jos sille sllitn vin sellisi yksinkertisi prmetriesityksiä γ, jotk kiertävät käyrää C smn suuntn kuin γ.
Esimerkki 4.2.1. ) Neliön kehä j ympyrän kehä ovt yksinkertisi suljettuj käyriä. b) Kun piirrät numeron 8, niin tällöin muodostunut tsokäyrä ei ole yksinkertinen suljettu käyrä, sillä käyrän prmetriesityksen injektiivisyyys rikkoutuu khteen kertn. (Mielikuv: muurhinen juoksee pitkin käyrää j pysähtyy, kun ensimmäisen kerrn kulkee smn pisteen yli. Jos muurhisen kulkem reitti peittää koko käyrän, niin käyrä on yksinkertinen j suljettu).
c) Olkoon C = {(x 1, x 2 ) R 2 : x 2/3 1 +x 2/3 2 = 1}. Tällöin C on yksinkertinen suljettu käyrä, sillä funktio γ(t) = (cos 3 (t), sin 3 (t)), missä t [0, 2π] on sellinen, että γ([0, 2π]) = C γ : [0, 2π) R 2 on injektiivinen γ on C 1 -funktio (mutt ei sileä).
Määritelmä 4.2.2. (i) Olkoon C yksinkertinen suljettu käyrä j olkoon γ : [, b] R m sen yksinkertinen prmetriesitys. Olkoon f : D R m R sellinen jtkuv funktio, että C D. Funktion f kri-integrli yli C:n on fds = f(γ(t)) γ (t) dt, (4.2.4) missä γ on jokin C:n yksinkertinen prmetriesitys. C (ii) Olkoon C + yksinkertinen suljettu käyrä j olkoon γ : [, b] R m sen yksinkertinen prmetriesitys. Olkoon f : D R m R m sellinen jtkuv funktio, että C D. Funktion f kri-integrli yli C + :n on f ds = f(γ(t)) γ (t)dt, (4.2.5) C + missä γ on jokin C + :n yksinkertinen prmetriesitys. Seurv luse näyttää, että yhtälön (4.2.4) oiken puolen rvo ei riipu prmetriesityksen vlinnst (yhtälö (4.2.5) sivuutetn). Tämä osoitt, että (4.2.4) on hyvin setettu määritelmä. Luse 4.2.1. Olkoon C R m yksinkertinen suljettu käyrä j olkoon γ : [, b] R m j γ : [c, d] R m sen yksinkertisi prmetriesityksiä. Olkoon f : D R sellinen jtkuv funktio, että C D. Silloin d f(γ(t)) γ (t) dt = f( γ(t)) γ (t) dt c
Todistus. Trkstelln vin tpus joss molemmt polut kiertävät käyrää C smn suuntn. Vstkkiset kiertosuunnt käsitellään smn tpn. Olkoon ensin γ() = γ(c) Jtkuvn funktion integrlifunktio on jtkuv, joten ε f(γ(t)) γ (t) dt = lim f(γ(t)) γ (t) dt ε 0 Kun 0 < ε < b, niin C ε = γ([, b ε]) on yksinkertinen kri, jonk yksinkertinen prmetriesitys on γ [,b ε. Merkitään [c, d ε ] = γ 1 (C ε ), missä d ε = γ 1 (γ(ε)). Tällöin γ : [c, d ε ] C ε on bijektio (j C 1 -polku). Kosk d ε riippuu jtkuvsti luvust ε, on lim ε 0 dε c f( γ(t)) γ (t) dt = d c f( γ(t)) γ (t) dt. (4.2.6) Lisäksi funktion f integrlit pitkin injektiivisiä polkuj γ [,b ε] j γ [c,dε ] ovt smt (Luse 4.1.3). Tällöin ε f(γ(t)) γ (t) dt = lim f(γ(t)) γ (t) dt ε 0 dε = lim f( γ(t)) γ (t) dt = ε 0 c Täten luseen väite pätee, kun γ() = γ(c). d c f( γ(t)) γ (t) dt.
Oletetn seurvksi, että γ() γ(c). Silloin löytyy sellinen t 0 (, b), että γ(t 0 ) = γ(c). Määritellään polun γ periodinen jtke γ kikille reliluvuille settmll γ(t + m(b )) := γ(t) kikill t [, b] j m Z. Trkestelln jtkeen rjoittum γ : [t 0, t 0 + (b )]. Tällöin γ(t 0 ) = γ(c), jolloin funktion f integrlit pitkin polkuj γ [t0,t 0 +(b )] j γ yhtyvät yllä olevn nojll. Lisäksi funktion f polkuintegrli pitkin polku γ : [t 0, t 0 + (b )] on t0 +b t0 fds = f(γ(t)) γ (t) dt = f(γ(t)) γ +b (t) dt + f(γ(t)) γ (t) dt t 0 t 0 b γ [t0,t 0 +b ] = = = t 0 f(γ(t)) γ (t) dt + t 0 f(γ(t)) γ (t) dt + f(γ(t)) γ (t) dt. t0 t0 f(γ(t + b )) γ (t + b ) dt f(γ(t)) γ (t) dt
Esimerkki 4.2.2. Olkoon f(x 1, x 2, x 3 ) = ( x 2, x 2 1, 2x 2 3) kikill x 1, x 2, x 3 R. Olkoon C = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 2 1 + x 2 2 = 1 j x 3 = 1}. Silloin C on yksinkertinen suljettu käyrä, sillä sen yksinkertinen prmetriesitys on γ(t) = (cos(t), sin(t), 1), t [0, 2π]. (Selvästi γ : [0, 2π] C on surjektio, γ : [0, 2π) C on injektio j γ on C 1 -funktio). Suunnistetn C + prmetriesityksen γ suuntn. Silloin 2π f ds = f(γ(t)) γ (t)dt C + = = 0 2π 0 2π 0 ( sin(t), cos 2 (t), 2) ( sin(t), cos(t), 0)dt sin 2 (t) + cos 3 (t)dt = π.
4.2.1 Anlyysin perusluseen yleistys Anlyysin perusluse kertoo, että f (t)dt = f() f(b) kikille C 1 -funktioille f : [, b] R. Osoitetn seurvksi nlyysin perusluseen moniulotteinen vstine. Luse 4.2.2. Olkoon D R m voin j f : D R C 1 -funktio. Jos γ : [, b] R m on sellinen ploittin C 1 -polku, että γ([, b]) D, niin f(γ(b)) f(γ()) = f dγ. (4.2.7) Todistus. Riittää näyttää tpus, joss γ on C 1 -polku, sillä väite seur silloin summmll yhteen integrlej yli osvälien. Lsketn yhdistetyn funktio f γ derivtt: Luseen 3.2.2. nojll funktioll γ : [, b] R m löytyy C 1 -ljennus johonkin voimeen joukkoon (, b ) jok sisältää suljetun välin [, b]. Voidn olett, että ljunnuksen kuvjoukko sisältyy joukkoon D. (Trvittess ljennus voidn rjoitt vointen joukkojen (, b ) j γ 1 (D) leikkukseen). γ
Nyt f j γ on määritelty voimiss joukoiss, jolloin derivoinnin ketjusäännön nojll (f γ) (t) = m j=1 f (γ(t)) dγ i(t) x i dt erityisesti jokisell t [, b]. Anlyysin perusluseen nojll = f(γ(t)) γ (t), Toislt, f(γ(b)) f(γ()) = (f γ) (t)dt = (f γ) (t)dt. f(γ(t)) γ (t)dt = γ fdγ.
Korollri 4.2.1. Olkoot D R m voin j f : D R C 1 -funktio. (i) Jos γ, γ ovt sellisi C 1 -polkuj pisteestä p D pisteesen q D joiden kuvjoukot sisältyvät joukkon D, niin f dγ = f d γ. (ii) Jos γ : [, b] R m on sellinen C 1 -polku, että γ() = γ(b), niin f dγ = 0. Todistus. Seur Luseest 4.2.2. γ γ Esimerkki 4.2.3. Olkoon g(x) = 1 x kun (0, 0, 0) x R3. Lske työ, jonk vektorikenttä G = g tekee, kun hiukkseen vikutt voim G [yksikkö=newton] j hiukknen liikkuu pitkin polku γ(t) = (t, t 2, exp(t 2 )), [yksikkö=metri] missä t [1, 2]. Rtkisu: 1 G dγ = g(γ(2)) g(γ(1)) = 22 + 2 4 + e + 1 52[ yksikkö=joule]. 8 1 + 1 + e 2 γ γ
4.2.2 Konservtiivinen vektorikenttä Määritelmä 4.2.3. Olkoon D R m voin j G : D R m jtkuv. Vektorikenttä G on konservtiivinen, jos löytyy sellinen C 1 -funktio g : D R, että G = g. Kuvust g nimitetään tällöin vektorikentän G potentilifunktioksi. Esimerkki 4.2.4. )Vektorikentän G(x) = (0, 0, 1) missä x R 3, potentilifunktio on g(x 1, x 2, x 3 ) = x 3. b) Vektorikentän G(x) = x x, missä 0 x Rm potentilifunktio on log( x ). Opetelln seurvksi tunnistmn konservtiivisi vektorikenttiä o luseen vull. Luse 4.2.3. Olkoon D R m voin j G : D R m jtkuv vektorikenttä. Seurvt väitteet ovt yhtäpitäviä: 1. On olemss sellinen C 1 -funktio g : D R, että G = g. 2. Jos γ, γ ovt ploittin C 1 -polkuj pisteestä p pisteeseen q, joiden kuvjoukot sisältyvät joukkoon D, niin γ G dγ = γ G d γ. 3. Löytyy sellinen C 1 -funktio g : D R, että γ G dγ = g(q) g(p), missä γ on sellinen vpsti vlittu ploittin C 1 -polku pisteestä p pisteeseen q, että sen kuvjoukko sisältyy joukkoon D. 4. Jokisell p D j jokisell selliselle ploittin C 1 -polulle γ pisteestä p pisteeseen p pätee γ G dγ = 0.
Todistus. L. 4.2.2 j Kor. 4.2.1 seur, että (1) (2), (3), (4). Sivuutetn muiden impliktioiden näyttö. Esimerkki 4.2.5 (Tp 1: Eri poluill eri integrli). Tutki, onko vektorikenttä G(x 1, x 2 ) = ( x 2, x 1 ), missä x 1, x 2 R, konservtiivinen. Rtkisu: Näytetään, että Väite 2 ei ole tott. Olkoon missä t [0, π/2] j γ(t) = (cos(t), sin(t)), γ(t) = (cos( t), sin( t)) = (cos(t), sin(t)), missä t [0, 3π/2]. Silloin kummnkin polun lkupiste on (1, 0) j loppupiste on (0, 1). (Polut kulkevt eri reittejä). Silloin π/2 G dγ = ( sin(t), cos(t)) ( sin(t), cos(t))dt = π 2 j γ γ G d γ = 0 3π/2 0 (sin(t), cos(t)) ( sin(t), cos(t))dt = 3π 2. Nähdään, että Väite 2 ei päde, jolloin G ei ole konservtiivinen. (Oikeiden polkujen löytäminen on joskus hnkl).
Esimerkki 4.2.6 (Tp 2: Pyörteettömyys). Olkoon G(x 1, x 2, x 3 ) = (e 1+x 2 1 +sin(x 3 ) 2, x 2, x 3 ) kikill x 1, x 2, x 3 R. Silloin G toteutt jtkuvuutt tiukemmn ehdon G C 1 (R 3 ; R 3 ). Jos G 0, niin Väite 1 ei ole tott, sillä muutoin tulisi oll g 0. Lsketn e 1 e 2 e 3 G(x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 x 3 e 1+x 2 1 +sin(x 3 ) 2 x 2 x 3 ( ) = 0,, 0 + sin(x 3) cos(x 3 ) 1+x 2 1 + x 2 1 + sin(x 3 ) 2e 1 +sin(x 3 ) 2, 0 (0, 0, 0). Täten vektorikenttä G ei ole konservtiivinen. (Tämän strtegin onnistuminen riippuu G:n muodost j jtkuvst differentioituvuudest. Tulos G = 0 ei trkoit, että G olisi konservtiivinen!).
Esimerkki 4.2.7 (Tp 3: Etsi g osittisdifferentiliyhtälöiden vull). Olkoon G(x 1, x 2, x 3 ) = (2x 1 x 2 x 3 + x 3, x 2 1x 3 + 1, x 2 1x 2 + x 1 ) kikill x 1, x 2, x 3 R. Kirjoitetn osittisdifferentiliyhtälöt (jotk rtkistn nlyysin perusluseen vull integroimll yhden muuttujn suhteen) g x 1 (x 1, x 2, x 3 ) = 2x 1 x 2 x 3 + x 3 g (x 1, x 2, x 3 ) = x 2 x 1x 3 + 1 2 g (x 1, x 2, x 3 ) = x 2 x 1x 2 + x 1 3 Vertmll g:n lusekkeit sdn selville vlint x1 0 dx 1 g(x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1x 2 x 3 + x 3 x 1 + C(x 2, x 3 ) }{{} =g(0,x 2,x 3 ) x2 0 dx 2 g(x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1x 2 x 3 + x 2 + C(x 1, x 3 ) x3 0 dx 3 g(x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1x 2 x 3 + x 1 x 3 + C(x 1, x 2 ) g(x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1x 2 x 3 + x 2 + x 1 x 3 Täten vektorikenttä G on konservtiivinen, kosk se toteutt Väitteen 1. (Joskus päädytään hnkliin osittisdifferentiliyhtälöihin).
4.2.3 Yhteenveto polkuintegrleist Kun f : D R m R on jtkuv, γ : [, b] R m on C 1 (ti ploittin C 1 ) j γ([, b]) D, niin polkuintegrli fds = f(γ(t)) γ (t) dt. Mitä trkoitt ploittin C 1? γ : [, b] R m on jtkuv γ väli [, b] voidn jk osväleihin, joill γ on C 1 -funktio. (Tämä sllii, että eri osvälien yhteisissä päätepisteissä γ:n toispuoliset derivtt voivt oll erisuuret.) Kun f : D R m R m on jtkuv, γ : [, b] R m on C 1 (ti ploittin C 1 ) j γ([, b]) D, niin polkuintegrli f dγ = f(γ(t)) γ (t)dt. Kun f = g, niin polkuintegrlin lskeminen on helppo g dγ = g(b) g(). γ γ
4.2.4 Yhteenveto kri-integrleist Kri-integrlist käytetään myös nimitystä viivintegrli. Kun C R m on yksinkertinen kri j f : C R on jtkuv, niin fds = f(γ(t)) γ (t) dt, C missä γ : [, b] R m on kren C yksinkertinen prmetriesitys. Käytännössä täytyy ensin etsiä kren yksinkertinen prmetriesitys! γ : [, b] C surjektio j injektio γ : [, b] R m (ploittin) C 1 -polku Kun C R m on yksinkertinen kri j f : C R m on jtkuv, niin kren C suunnisus (=polkujen kulkusuunt) on vlittv ennen funktion f kri-integrlin lskemist. (Muutoin kri-intgrlin merkki vihtuisi eri poluill). Kun suunnistus on C +, niin funktion f kri-integrli fds = f(γ(t)) γ (t)dt, C + missä γ : [, b] R m on kren C + yksinkertinen prmetriesitys.
Yksinkertisen kren yleistys sdn liimmll kren päätepisteet yhteen, jolloin päädytään yksinkertiseen suljettuun käyrään. Jtkuvn funktion f : C R kriintegrli yli yksinkertisen suljetun käyrän C on fds = f(γ(t)) γ (t) dt, C missä γ : [, b] R m on suljetun käyrän C yksinkertinen prmetriesitys (γ([, b]) = C, injektio välillä [, b) ploittin C 1 ). Jtkuvn funktion f : C R m integrli yli suunnistetun yksinkertisen suljetun käyrän C + on f ds = f(γ(t)) γ (t)dt, C + missä γ : [, b] R m on C + :n yksinkertinen prmetriesitys (surjektio, injektio välillä [, b), ploittin C 1, suunnistus).